圆锥曲线离心率的求法总结版(教师)

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圆锥曲线离心率的几种求法

2020-4-28
诚·敬
一、例题讲解：Байду номын сангаас
1、利用圆锥曲线的定义：
例 1(1)以正方形 ABCD 的两个顶点 A, B 为焦
点，且过 C, D 两点的椭圆的离心率为___
一、例题讲解：
1、利用圆锥曲线的定义：
一、例题讲解：
1、利用圆锥曲线的定义：
一、例题讲解：
2、利用向量的简单性质
一、例题讲解：
2、利用向量的简单性质
一、例题讲解：
3、利用圆锥曲线的几何定义：
一、例题讲解：
3、利用圆锥曲线的几何定义：
一、例题讲解：
4、利用函数值域
一、例题讲解：
5、利用圆锥曲线中一些几何量的有界性
一、例题讲解：
5、利用圆锥曲线中一些几何量的有界性

圆锥曲线离心率的求法

离心率是圆锥曲线的一个几何性质.与圆锥曲线离心率有关的问题主要考查圆锥曲线的定义、性质以及离心率的公式，属于一类基础性的问题.求圆锥曲线离心率的关键是求得圆锥曲线方程中a、b、c的值或关系式.本文重点介绍求圆锥曲线离心率的三种方法，以供大家参考.一、公式法公式法是指运用公式e=c a求出离心率的方法.在解题时，我们可以根据已知条件以及圆锥曲线的标准方程、性质建立与a、c相关的关系式，结合圆锥曲线中a、b、c之间的关系求出a、c的值，然后利用公式e=ca求得离心率的大小.例1.过双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0的左顶点A作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且||AB=||BC,则双曲线的离心率为____.解：由双曲线的方程可知a=1，∴点A()-1,0，∴直线l方程为y=x+1，∵双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0知两条渐近线分别为y=bx,y=-bx，∴Bæèöø-1b+1,b b+1，Cæèöø1b-1,b b-1，∵||AB=||BC，∴b2=9，c=b2+1=10，∴e=c a=10.我们首先根据双曲线的方程求出a的值，然后由B、C两点的坐标以及已知条件||AB=||BC建立关于b的式子，求得b、c的值，便可利用离心率公式求得问题的答案.二、齐次式法齐次式法是求圆锥曲线离心率的重要方法之一.齐次式法是指通过构建齐次式来解答问题的方法.有些问题中a、c的值不易直接求出，我们可以结合已知条件构造关于a、c的齐次式，通过解方程得到e=ca的值.例2.已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为____.解：结合题意绘制如图的图形，设||OF1=c，MF1的中点为P，∴点P的横坐标为-c2，∵||PF1=12||F1F2=c，由焦半径公式可得||PF1=-2x p-a，∴c=-c a×æèöø-c2-a，化简得c2-2a2-2ac=0，∴e2-2e-2=0，解方程得e1=1+3，e2=1-3()舍去，∴双曲线的离心率为1+3.在解答上题的过程中，需建立关于a、c的齐次式，再将其左右同除以a2，通过整理和化简得到关于e的一元二次方程，解方程便可求得e的值.三、定义法定义法是指利用圆锥曲线的定义求出离心率的方法.一般地，圆锥曲线的定义中都蕴含着a（动点到圆锥曲线上两焦点的距离之和或差）与c（焦点之间的距离）之间的关系.因此在求圆锥曲线的离心率时，我们可以根据圆锥曲线的定义绘制相应的图形，找出a、c对应的线段，建立关系式，便可求得圆锥曲线的离心率.例3.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P在椭圆C,线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30∘，则椭圆的离心率为_____.解：∵线段PF1的中点在y轴上，F1F2的中点为点O，∴PF2//y轴，∴PF2⊥F1F2,∵∠PF1F2=30∘,∴在Rt△PF1F2中，||PF1:||PF2:||F1F2=2:1:3,∵2a=||PF1+||PF2,2c=|F1F2∴e=c a=2c2a=||F1F2||PF1+||PF2=.解答本题，需结合题意绘制出图形，通过解直角三角形PF1F2得到||PF1、||PF2、||F 1F2的关系式，结合椭圆的定义求得a与c的值以及e的值.公式法、齐次式法、定义法都是解答圆锥曲线离心率问题的有效方法.其中公式法和定义法是比较常用的方法，齐次式法虽然较为复杂，但能有效地简化运算.(作者单位:广东省惠州市博罗县石湾中学)解题宝典翟勇超38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

高中数学圆锥曲线离心率解法汇总

高中数学圆锥曲线离心率解法汇总
椭圆离心率求解方法主要有：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式方程，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=1，分别解出c或b 的值，c值就是离心率
【第一讲】离心率基础
【第二讲】利用椭圆第一定义求离心率
【第三讲】焦点三角形与余弦定理
【第四讲】顶角直角三角形型
【第五讲】焦半径与第二定义
【第六讲】第三定义与中点弦
【第七讲】焦点三角形：双底角型
【第八讲】焦点三角形：双余弦定理型
【第九讲】焦点弦与定比分点
【第十讲】焦点圆
【第十一讲】椭圆与圆
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高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。

本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。

每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。

方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。

对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。

这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。

方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。

当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。

当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。

这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。

方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。

通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。

这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。

方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。

通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。

这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。

方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。

通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。

这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。

方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。

根据圆锥曲线的离心率知识点总结

根据圆锥曲线的离心率知识点总结
圆锥曲线是高等数学中的重要内容，离心率是其中一个重要的参数。

本文将对离心率相关的知识点进行总结。

定义
离心率是指一个圆锥曲线上的一点到该曲线的一个焦点的距离与该点到该曲线上的直线的距离的比值。

对于椭圆和双曲线，离心率的值在0到1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于直线，离心率为无穷大。

计算公式
对于椭圆，离心率的计算公式为：
$$
e = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
$$
其中，a为长轴长度，b为短轴长度。

对于双曲线，离心率的计算公式为：
$$
e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}
$$
同样的，a为距离双曲线两支的两个焦点的距离的一半，b为
双曲线的半轴长。

对于抛物线，离心率的值为1。

性质
椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，则椭圆越圆；离心率越接近1，则椭圆越扁。

双曲线的离心率大于1，离心率越大，则双曲线的两支越“开”，曲线的形状越细长。

抛物线的离心率等于1，离心率为定值。

应用
离心率在几何、天文等领域中都有广泛应用。

其中，在行星运动、卫星轨道计算等天文领域中，离心率是一个十分重要的参数。

总之，离心率是圆锥曲线的一个重要参数，具有重要的理论和应用价值。

一题多解,思维开花——浅谈离心率取值范围的多种求法

32 福建中学数学 2020年第6期一题多解，思维开花——浅谈离心率取值范围的多种求法郑婕华南师范大学（510631）离心率e 是圆锥曲线的重要特征量，求离心率的取值范围是数学高考和数学竞赛中经常考察的热点问题之一，解决这类问题的关键是构造a c ，或者e 的不等式．本文拟通过一题多解的形式，浅谈如何通过构造不等式求圆锥曲线离心率的取值范围．1 题目展示如图1，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F ，，若椭圆上存在点P ，使1260F PF ∠= ，求椭圆离心率e 的取值范围．2 解法赏析2.1 利用圆锥曲线上点的坐标范围构造不等式解法1 设00()P x y ，，由椭圆焦半径公式有：10||PF a ex =+，20||PF a ex =−．由焦点三角形面积公式可得：212601tan ||||sin 6022S b PF PF ==⋅⋅ ，化简得2222243a b x e e =−．又因为2200x a ≤<，所以2222403a b a e ≤−<，将222b a c =−代入，解得1[1)2e ∈，． 2.2 利用焦半径取值范围构造不等式解法2 设2||PF x =，由椭圆的定义可知1||2PF a x =−，同样由面积公式得：212601tan ||||sin 6022S b PF PF ==⋅⋅ ，可得23(2)4b x a x =−．因为a c x a c −<<+，所以222233)44a cb a (−<≤，解得1[1)2e ∈，．2.3 利用焦点三角形顶角范围构造不等式解法3 P 为椭圆上任意一点，当P 点移动到椭圆的短轴端点B 时，12F PF ∠最大．由已知椭圆上存在点P ，使1260F PF ∠= ，所以一定有1260F BF ∠≥ ，230OBF ∠≥ （O 为坐标原点）．在2t OBF ∆R 中，21sin sin 302c OBF a ∠=≥=，故1[1)2e ∈，．2.4 利用均值不等式构造不等式解法4 由余弦定理得2221212||||||PF PF F F +− 122||||cos 60PF PF =⋅⋅⋅ ，即22121212(||||)||3||||PF PF F F PF PF +−=⋅⋅，由椭圆定义有12||||2PF PF a +=，12||2F F c =，于是22124||||()3PF PF a c ⋅=−．又由均值不等式12||||PF PF ⋅2212||||()2PF PF a +≤=，所以2224()3a c a −≤，解得1[1)2e ∈，．2.5 利用二次方程有实根的条件构造不等式解法5 由解法4可知12||||2PF PF a +=，22124||||()3PF PF a c ⋅=−．所以12||||PF PF ，可以看成方程2242(3x ax a −+−2)0c =的两个根，于是有222164()03a a c ∆=−−≥，整理得22214c e a=≥，即1[1)2e ∈，． 3 小结通过上述解法可以看出，合理建立不等关系是求解圆锥曲线离心率的取值范围的关键，而构造不等式大致可分为利用几何关系以及利用代数关系两xx2020年第6期福建中学数学 33 种思路．即在求解这类问题时，一方面可以将所求量离心率e 与已知范围的量如圆锥曲线上点的坐标、焦半径、焦点三角形顶角建立联系，利用已知取值范围求解；另一方面也可以从代数关系如均值不等式、二次方程有实根的条件入手，灵活运用余弦定理、焦点三角形面积公式等知识辅助解题，同样可求出离心率的取值范围．这类题目凸显了知识之间的综合性、联系性，能较好地考察学生思维的全面性、缜密性，具有训练价值．事实上，进行一题多解的训练可以提升思维水平和应试技巧，思维开花，下笔如有神．但重要的是，在做题时应不断总结，择优解题，才能真正在习题训练中提升解题技巧，开拓解题思路．参考文献[1]包建民．圆锥曲线离心率取值范围的九种求法[J]．数学大世界（教师适用），2011（1）：54圆锥曲线问题解决中引入参数需要厘清的问题雷雄军广东省东莞市第六高级中学（523420）圆锥曲线作为高考解答题必考内容，考查的范围比较广，难度比较大，是提升学生数学抽象，直观想象，逻辑推理，数学运算等数学核心素养的很好的载体．因此，一线高三数学教师在一轮复习和二轮专题复习中都会在这块知识上花很多的时间和精力，但是效果很多时候并不理想．很多的学生还是仅满足于做出第（Ⅰ）问，对第（Ⅱ）问不敢深入涉及．第（Ⅱ）问主要涉及定点、定值、范围、最值、存在性问题等等下文称作圆锥曲线热点问题．在热点问题的解答过程中，经常会涉及参数的问题．学生正是因为对参数使用把控不到位，所以对第（Ⅱ）问解答只能望而却步．笔者结合近年圆锥曲线的高考题，阐释参数引入过程中需要厘清的几个问题．1 问题1：引入什么变量作为参数圆锥曲线中的热点问题破解的基本思路是建立求解目标与参数的关系（不等关系、函数关系等），最后通过参数的恰当处理，使得热点问题得以解决．这里有一个很重要步骤就是引入恰当的参数．例1 （2016年高考北京卷·理20）已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>(0)A a ，，(0B ，)b ，(00)O ，，OAB ∆的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于N ．求证：||||AN BM ⋅ 为定值．解析（Ⅰ）椭圆C 的方程是2214x y +=．（Ⅱ）涉及的是热点问题中的定值问题，这类问题求解的基本思想是求解目标与某个变量（参数）无关．而题目中没有给出直接参数，这就需要我们引入参数．由于问题中需要解决的是当椭圆C 上点P 动的时候||||AN BM ⋅为定值．因此就自然选择动点P 的坐标作为参数．解答过程如下：（Ⅱ）由（Ⅰ）知(20)A ，，(01)B ，．设00()P x y ，，则22004x y +=．（ⅰ）当00x ≠时，直线PA 的方程为00(2y y x x =− 2)−．令0x =，得0022M y y x =−−，从而002|||1||1|2M y BM y x =−=+−．在直线PB 的方程0011y y x x −=+中令0y =，得001N x x y =−−，从而00|||2||2|1N x AN x y =−=+−．所以00002|||||2||1|12x y AN BM y x ⋅=+⋅+−−． 22000000000044484||22x y x y x y x y x y ++−−+=−−+=000000004484||22x y x y x y x y −−+−−+4=．。

圆锥曲线离心率的求法

圆锥曲线离心率的求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率地求法总结材料[精]

圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式）2. 几何法3. 与其它知识点结合求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c、不等关系求解.2. 运用数形结合建立a c、不等关系求解3. 利用曲线的范围，建立不等关系4. 运用函数思想求解离心率5. 运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1. 利用a与c的关系式（或齐次式）题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为．题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为6 2题3：设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（）（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c ，故选择C 。

题4：(2009浙江理) 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12AB BC u u u r u u u r =，则双曲线的离心率是（）（A ）2（B ）3 （C ）5 （D ）102. 几何法题1：以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是11211,2,3,31MF F F MF e ====-题2： F l ，F 2为椭圆的左、右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P、Q 两点，PF 1^PQ ，且1PF PQ =，求椭圆的离心率．题3：12212(05,,221A.B. C. 2 2 D. 2122F F F P F PF 全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）－－－∆（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）解：如右图所示，有12222||||2122221c c c ea a PF PF c c ===+===-++离心率的定义椭圆的定义故选D3. 与其它知识点结合题1：已知M 为椭圆上一点，F l ，F 2是其两个焦点，且∠MF l F 2= 2a ，∠MF 2F l =a (a ≠ 0)，则椭圆的离心率为( )(A)1—2sin a (B)l —sin 2a (C)1-cos2a (D)2cos a -1题2：已知P 为双曲线右支上一点，F l 、F 2是其左、右两焦点，且∠PF l F 2= 15°，∠PF 2F l =75°，则双曲线的离心率为．练习：.22221(0),4x y a b a b -=<<1.设双曲线半焦距为c,直线l 过点(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为（）A 32.已知双曲线的渐近线为34y x =?，则双曲线的离心率为 55,343.过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ，A 为双曲线的距F 较远的顶点，∠MAN=90°，双曲线的离心率等于 2221212224.(071(0,0)||A.x y F F a b A B O OF a bF AB 安徽卷)和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）-=>>∆2b a ca=+22121222125.(07190,||3||,A.x y F F A F AF a bAF AF o 全国Ⅱ)设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且则双曲线的离心率为（ B ）-=∠==二、求离心率的取值范围1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解.题1：（2008福建）双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B. 点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.题2：（04重庆）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A43 B 53 C 2 D 73∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为513e <≤，故选B.练习： 1. 已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞解析222122222(2)4448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.2. 利用曲线的范围，建立不等关系题1．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1、F 2，如果椭圆上存在点P ，使1290F PF ?o ，求离心率e 的取值范围。

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。

例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。

解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。

变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。

解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。

因此，选C。

变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。

变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。

设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。

设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。

其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。

高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法

高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质。

椭圆的离心率：0＜e＜1；双曲线的离心率：e＞1；抛物线离心率：e=1。

下面介绍求圆锥曲线离心率的常用方法。

一、直接求出a、c，求解e在求解离心率e，椭圆中存在：a2=b2+c2双曲线中存在：c2=a2+b2这两个关系对于求解椭圆与双曲线的离心率是非常重要的。

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。

例1、过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A. B. C. D. 分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。

解：易知A（-1，0），则直线的方程为。

直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。

例2、已知椭圆C的短轴长为6，左焦点F到右端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于多少？解：二、变用公式，整体求出e椭圆与双曲线求离心率还有如下变形例3、已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。

解：由（其中k为渐近线的斜率）。

这里，则，从而选A。

三、统一定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例4、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。

由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。

四、(等量关系)利用题目中所给的几何关系或者条件得出a，b，c的关系，然后根据b2=a2-c2(椭圆)或者b2=c2-a2(双曲线)，消除b，得到关于a，c的方程，从而得到e的方程，继而解出e。

谈谈求圆锥曲线离心率的技巧

离心率是圆锥曲线的重要性质之一，是用来描述圆锥曲线轨道形状的量.求圆锥曲线的离心率问题的难度一般不大，但题型多变.本文主要介绍求圆锥曲线离心率的三个技巧，以帮助同学们提升解题的效率.一、巧用定义法定义法是求圆锥曲线离心率的重要方法.圆锥曲线的离心率是指圆锥曲线上的动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比.在椭圆中，焦距与长轴长的比为离心率，即e=c a；在双曲线中，焦距与实轴长的比为离心率，即e=c a；抛物线的离心率e=1.由圆锥曲线离心率的定义可知，求圆锥曲线的离心率关键是求得椭圆或双曲线方程中参数a、c、c a的值.例1.已知两个正数a，b的等差中项等于5，等比中项等于4，则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为_____.解：由题意可得：a+b=10，ab=16，解得{a=2，b=8，或{a=8，b=2，∴c=a2+b2=17，∴e=ca=17或.在利用定义法求圆锥曲线的离心率时，要学会根据椭圆中a、b、c之间的关系c=a2+b2，双曲线中a、b、c的关系c=a2-b2，求得a、c的值.二、构造焦点三角形若P是双曲线上任意一点（异于两交点），椭圆的左右焦点分别是F1、F2，则△PF1F2为焦点三角形.由于该三角形的两个顶点为焦点，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，根据双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a；若∠F2PF1=θ，则4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ.在求圆锥曲线的离心率时，可根据焦点三角形的几何性质、圆锥曲线的定义、正余弦定理来建立关于a、b、c的关系式，从而求得a、c的值和离心率.例2.已知F1，F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为______.解：设MF1=m，因为sin∠MF2F1=13，所以MF2=3m，因为MF1与x轴垂直，所以|F1F22根据双曲线的定义可知：2a=|MF21，2c=|F1F2|=22m，所以离心率e=ca=2.焦点三角形MF2F1为直角三角形，设出MF1，便可根据直角三角形的性质分别求得焦点三角形三条边的长度，再根据双曲线的定义，即可求得离心率的值.三、构造关于a、c的齐次式有些圆锥曲线离心率问题较为复杂，我们可根据题意设出圆锥曲线的方程，将其代入题设中建立关于a、b、c的关系式，再根据椭圆中a、b、c之间的关系c=a2+b2，双曲线中a、b、c的关系c=a2-b2，构造关于a、c的齐次式，得到关于e的一元二次方程，通过解方程求得椭圆或双曲线的离心率.例3.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0,b>0的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若F1A=AB，F1B⋅F2B=0，则C的离心率为______.解：根据题意绘制如图所示的图形，∵F1B⋅F2B=0，∴F1B⊥F2B，∵O为F1F2的中点，∴OB=OF1=OF2，∵F1A=AB，∴F1A=AB，∴BF2∥OA，∴∠BF2O=∠AOF1，∴∠BOF2=∠AOF1，∴∠BOF2=∠BF2O，∵OB=OF2，∴△BOF2是正三角形，即∠BOF2=60°，∴渐近线OB的斜率为：ba=3，∴双曲线的离心率e=ca=1+()32=2.解答本题，需得到等量关系b a=3，并构造齐次式，然后根据双曲线中a、b、c的关系c=a2-b2求得离心率.相比较而言，第一个技巧比较常用，且最为简单，通常适用于求解较为简单的题目；第二、三个技巧较为复杂，适用于求解较为复杂的题目.由上述分析可知，求解圆锥曲线的离心率，需重点研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质，建立关于a、b、c的关系式.（作者单位：江苏省南京市江宁高级中学）解题宝典39。

求圆锥曲线离心率的方法

思路探寻离心率是圆锥曲线中双曲线和椭圆的重要性质.在解答圆锥曲线离心率问题时，要重点关注圆锥曲线的性质、离心率公式以及圆锥曲线的标准方程，根据题中所给的条件求出a 、c 的值或关系式，进而求得圆锥曲线的离心率.具体可采用以下三种方法.一、公式法我们知道，离心率e =ca.在求圆锥曲线的离心率时，我们可以根据题目中的已知条件直接对问题进行求解.求出a 、b 、c 的值或关系式后，结合圆锥曲线标准方程中a 、b 、c 之间的关系来求得a 、c 的值，再根据公式e =ca求出离心率.例1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1()a >0,b >0，双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点构成一个四边形，且四边形中有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为.解：设双曲线C 的焦点坐标是F 1和F 2，虚轴的两个端点是B 1和B 2，则四边形F 1B 1F 2B 2为菱形．若∠B 2F 1B 1=60°，则∠B 2F 1F 2=30°，由勾股定理可知c=3b ,a =2b ,故双曲线C 的离心率e =c a =.若∠F 1B 2F 2=60°，则∠F 1B 2B 1=30°，由勾股定理可知b =3c ，不满足c ＞b .综上所述，双曲线C 的离心率为e =.解答本题，我们需首先根据题意绘制出几何图形，然后根据菱形的性质和勾股定理求出a 、c 的关系式，再利用离心率公式求得结果.二、定义法定义法是根据圆锥曲线的定义来求其离心率的方法.运用这一方法解题，需熟知圆锥曲线的第一定义和第二定义.我们根据第一定义，分析曲线上的点与两焦点的距离，便可以求出2a 、2c 的值或关系式；根据第二定义，通过研究曲线上点到准线的距离，就可以确定曲线的离心率.例2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1()a >0,b >0，过双曲线C 的右焦点F 且斜率为3的直线与双曲线C交于A ,B 两点，若 AF =4FB ,则C 的离心率为.解：设l 为双曲线C :x 2a 2-y2b2=1的右准线，过A ,B分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，BD ⊥AM 于D ，如图所示，∵直线AB 的斜率为3，∴AB 的倾斜角为60∘，∴∠BAD =60∘,|| AD =12|| AB .根据双曲线的第二定义可得||AM -||BN =||AD =1e()AF - FB =12|| AB =12()||AF +|| FB .又∵ AF =4 FB ，1e ∙3FB =52FB ，∴e =65.我们首先根据圆锥曲线的第二定义作出准线，结合几何图形找出曲线上的点到准线的距离，建立关系式，便可求出曲线的离心率.三、齐次式法有时，我们根据已知条件和圆锥曲线的定义、性质很难求出a 、c 的值，只能得到相关的关系式，此时，可以根据已知条件构造关于a 、c 的齐次式，然后通过恒等变换将其转化为关于离心率e 的一元二次方程，解方程便可快速求得曲线的离心率.例3.已知F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ,B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是.解：∵F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，∴F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，A æèçöø÷-c ,b 2a ，B æèçöø÷-c ,b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1＜45°，∴tan ∠AF 2F 1＜1，∴b 2a 2c＜1，整理得b 2＜2ac ，∴a 2－c 2＜2ac ，两边同时除以a 2并整理得e 2+2e -1＞0，解得e ＞2-1或e ＜-2-1(舍去)，∵0＜e ＜1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1,1).我们首先根据锐角三角形的性质确定∠AF 2F 1的取值范围，由此建立关于a 、c 的二次齐次式，然后将其转化为关于e 的一元二次方程来进行求解.上述三种方法都是求圆锥曲线离心率的常用方法.其中，公式法与定义法是同学们使用较多的方法，也较为简单.而齐次式法一般适用于求解较为复杂的题目，解题过程中的计算量也较大.(作者单位:新疆阿克苏地区第二中学)求圆锥曲线离心率的方法荀文文53Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

圆锥曲线离心率的求法修改版!!!(教师版)

离心率的专题复习姓名_______________________一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace=来解决。

1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（） A.43 B.32 C.21 D. 412：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23 B. 26C.23D2二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 324+B 13- C.213+ D.13+变1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D.332 B. 变2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线离心率为（）A3 B26 C36 D33 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

变1．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B为焦点，且过C 、D变2．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF1变3．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离四、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式．（一）基本问题例1．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是．（二）数形结合例．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 . Ex1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 .配套练习1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．31 B ．33C ．21 D ．23 2．已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（） A 35 B 34 C 45 D 23 3．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A2 B22C21 D424．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A3 B 5C25D 13+ 5．设1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（）A25 B 210C215D 5 6．已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A[]2,1 B ()2,1 C [)+∞,2 D ()+∞,2。

解圆锥曲线离心率的求法大全

求解圆锥曲线离心率的方法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。

椭圆的离心率e ∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式来解决。

例１. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.B. C.D.解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D ．变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( ) A.34 B.23 C.12 D.14解：由F1、F2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=c a =12.故选C.变式练习２：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A.32B.62C.32D2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=ca=32,因此选C变式练习３：点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得．则。

故选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例２. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。

由焦半径公式，即，得，解得，故选D。

变式练习１：设双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为( )A.2B. 3C. 2D.233解：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0. 由点到直线的距离公式，得 aba 2+b2＝34c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2,两边平方，得16a 2(c 2﹣a 2)=3c 4.两边同除以a 4，并整理，得 3e 4-16e 2+16=0.解得 e 2＝4或e 2＝43.又0<a<b ，∴e 2＝c 2a 2＝a 2+b 2a 2=1+b2a2>2，∴e 2＝4，∴e ＝2.故选A.变式练习２：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为（）（A ） 3 （B ）62 （C ）63（D ）33解：如图所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则|MF 1|=|MF 2|=c 2+b 2.又|F 1F 2|＝2c ，在△F 1MF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|,即(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 22c 2+b 2·c 2+b2)＝cos120°＝﹣12，∴b 2﹣c 2b 2＋c 2＝﹣12， ∵b 2＝c 2﹣a 2，∴﹣a 22c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B.三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例３．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

冲刺热点圆锥曲线离心率方法归纳教师版

离心率离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率及其范围的求解是一类常见问题，也是历年高考考查的热点，难易题目皆有．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞类型一利用几何性质【例1】【2020山东省实验中学期中】已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（） A ．4 B ．6C．D ．8【例2】【2019·广东金山中学期末】已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o，则椭圆的离心率e 的取值范围为A．(0,2B．[2C．(0,2D．,1)2【指点迷津】1.在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线.2.几何性质是解析几何的灵魂，从平面几何知识入手，寻找图形中的平行、垂直关系，以及三角形的相似，然后转化为椭圆、双曲线的元素a ，b ，c 的齐次关系式解题. 【举一反三】1. 【2020浙江金华二中期中】如图，A ，B 分别为椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，O为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB 上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．33C ．23D ．632. 【2019·宁夏银川二中月考】设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（） A ．12B ．23C ．34D ．45类型二利用坐标运算【例3】【2020河南开封二中期末】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，P 为椭圆C上一点，且2PF x ⊥轴，点,22c c G ⎛⎫⎪⎝⎭到1F P 的距离为2c，则椭圆C 的离心率为（）A ．14B ．12C ．22D ．32【例4】已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（）A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 2⎫⎪⎪⎣⎭ C. ⎛ ⎝⎦ D. 2⎛ ⎝⎦【指点迷津】1.例4的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解，可灵活选择.2.由于椭圆(双曲线)的元素a ，b ，c 在图形、方程中具有一定的几何意义，所以借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题. 【举一反三】1. 【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN=60°，则C 的离心率为________.2.【2020·河南洛阳新安一中月考】已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．2)C ．D ．类型三数形结合法【例5】【2020·广西南宁二中期末】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线:2l y x =与椭圆C 交于M ，N 两点.若点A 到直线l 的距离是1，且MF NF +不超过6，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【例6】【2020·四川绵阳期末】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若112PF QF =，且123PFQ π∠=，则椭圆C 的离心率为( )A B C D 【指点迷津】求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 【举一反三】1.（2017•新课标Ⅲ，理10）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A B C D ．132.【2016·全国卷Ⅲ】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23D.34三．强化训练1.【2020天津蓟县一中期末】过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）AB C ．2D 2.【2019•新课标Ⅱ，理11】设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为( )A B C ．2D3.【2019·湖南长郡中学月考】设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．2C D 4．【2020四川成都七中月考】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（） A ．14B ．13C ．12D ．235．【2020·凤城一中月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，O为坐标原点，若121||||2OP F F =，且212||||PF PF a =，则该椭圆的离心率为（）A ．34B C ．12D ．26．【2020·黑龙江大庆二中期末】已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于,A B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r（其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．127．【2019·黑龙江省大庆中学期中】）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆，则该双曲线的离心率为（）A ．5B ．4C ．3D ．28．【2020·黑龙江省双鸭山一中高三期末】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =．若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A ．43B ．53C ．2D ．3。