常微分方程与运动稳定性_第三篇1
常微分方程的稳定性和周期性
常微分方程的稳定性和周期性常微分方程是研究自然现象变化过程的一种数学方法。
它描述的是一个变量随时间的变化规律，广泛应用于微积分、物理学、生物学、天文学等领域。
而稳定性与周期性是常微分方程解的重要特征。
稳定性是指一个解在微小扰动后仍能保持其原有的状态。
以简单的单摆为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。
摆的稳定性取决于它的初始位置和速度，如果初始位置偏离了平衡点太远，摆就会摆动得很大。
但是如果初始位置非常接近平衡点，摆就会缓慢地回到平衡点，并逐渐停止摆动。
这就是稳定性表现出来的效果。
对于常微分方程的解来说，稳定性的研究可以帮助我们预测解的长期行为，以及在实际问题中制定合适的控制策略。
周期性则是指一个解在固定时间间隔内周期性地变化。
周期性解是常微分方程非常重要的一个特殊类型，它在自然界中很常见，如天体运动、震荡等。
以简单的谐振运动为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。
在特定的参数条件下，谐振运动会产生周期性解，这种解有着固定的振动频率和振幅。
对于周期性解的研究，可以帮助我们了解自然现象的规律，找到有效的调控途径和优化方案。
那么如何判断一个常微分方程的解是否稳定或者周期性呢？这里有一些常用的方法。
首先是线性稳定性分析。
线性稳定性分析是判断一个非线性系统稳定性的一种重要方法。
它利用一个非线性系统在某个平衡点的线性近似来分析系统的稳定性。
如果近似后的系统方程具有稳定性，则原方程也是稳定的。
通过计算特征方程的特征根，可以得到系统的稳定性。
其次是Lyapunov函数法。
Lyapunov函数是判断非线性系统稳定性的一种常见方法。
一个Lyapunov函数是一个实数函数，它可以度量系统状态与平衡点的距离。
如果Lyapunov函数是严格下降的，那么系统就是稳定的。
通过构造合适的Lyapunov函数来判断系统的稳定性，是非常实用的方法。
最后是Poincaré-Bendixson定理。
Poincaré-Bendixson定理是关于非线性系统稳定性和周期性的一个重要定理。
常微分方程定性与稳定性方法
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第二部分是主体部分，详细介绍了常微分方程定性与稳定性的各种方法。其 中包括了稳定性理论、线性化与中心流形方法、Lyapunov第二方法、PoincaréBendixson定理等。这些方法都是解决常微分方程定性稳定性问题的关键工具， 通过学习这些方法，读者可以更好地理解和应用常微分方程。
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《常微分方程定性与稳定性方法》是一本关于常微分方程的学术著作，其目 录作为书籍内容的指引，具有重要意义。通过对目录的深入分析，我们可以了解 这本书的主要内容、结构以及编者的思路。
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从目录的结构来看，这本书大致可以分为三个部分。第一部分是引言，主要 介绍了常微分方程的基本概念、研究背景以及本书的目的和内容概述。这一部分 对于读者理解全书内容起到了很好的引导作用。
阅读感受
这本书从常微分方程的基本概念入手，逐步深入到其定性分析和稳定性方法。 让我印象深刻的是，作者不仅仅是在讲解理论知识，更是将理论与实践紧密结合。 例如，书中提到了极限环的概念，这是我之前未曾深入了解的领域。通过书中的 解释，我了解到极限环在很多实际问题中都有着广泛的应用，如生态系统的种群 动态、电路的振荡等。
内容摘要
还通过实例阐述了线性化方法在近似求解非线性问题中的应用。
Lyapunov第二方法涉及了中心流形定理和分岔理论。这一章通过深入浅出的方式，介绍了中心 流形定理的基本概念和计算方法，以及分岔理论的分类和应用。还结合实例探讨了非线性系统在 分岔点附近的动态行为。
本书的最后两章分别介绍了时滞微分方程的稳定性和混沌理论的相关内容。时滞微分方程在现代 科技领域中有着广泛的应用，如生态学、电路系统和控制系统等。这一章重点讨论了时滞微分方 程的稳定性条件和计算方法，以及与连续系统和离散系统的关系。也通过实例探讨了混沌理论在 时滞微分方程中的应用和意义。
4.1常微分方程的定性与稳定性
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四、初等奇点及其分类
1、线性系统
x a1 x a2 y
y
b1
x
b2
y
(5)
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
在( x0 , y0 )附近可将(3)改写为
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是稳定焦点；
当 1 2 i ， 0, 0，即 p 0，q 0，p2 4q时， 是不稳定焦点；
当 1 2 i ， 0即 p 0，q 0时，是中心。
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q p2 4q
不
稳
稳
中
定
不 稳 定 结
定
心
焦
焦
区
点
点
区
区
稳 定 结
点
点
区
区
O
p
鞍点区
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2、非线性系统
定义 2 设 x* ( x1*,, xn*)T 是方程 组(1)的平 衡点，x x(t) ( x1(t),, xn (t))T 是方程组(1)的任一 解 ， 如果存在 x * 的某邻域 U( x*) ，使得当
x(t0 ) U ( x*)时，必有
lim
t
x
常微分方程与运动稳定性第三篇
第二节 一次奇点
由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化 为原点，因而总认为原点是（5.1）的奇点。
在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数，得：
(5.3) X2，Y2 ----所有二次项
以上的全体.
则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。 5
研究以下线性系统
特征方程是
其中
其特征根为
(5.5)
(5.7)
y
若λ2<λ1<0，则积分曲线在原
点与 x 轴相切，如图示。反
x
之，若λ1<λ2<0，则积分曲线 在原点与 y 轴相切。
p16
—— 奇点称为稳定结点
o图5.2 p17
对于q > 0，p < 0，p2－4q>0，λ1、λ2为相 p20 异正实根，积分曲线方向远离原点。
——奇点为不稳定结点
8
(3) q>0，p>0，p2－4q<0，λ1,λ2为共轭复根且实 部为负。
A
向进入奇点O(0, 0). 定义2：设O(0, 0) 为孤立奇点，
r θ0
θ
若点列 An(rn,θn)，当n→∞时，
O
rn→0 ,θn→θ0 ,且αn→0 ，αn为An点的方向场向量
与向径夹角的正切，称θ=θ0为特征方向。
显然，若θ=θ0为固定方向，则必为特征方向
鞍 点： 0，/2, 3 /2， 结 点： 0，/2, 3 /2，
焦 点： 无
退化结点： /2, 3 /2 或 0，
临界结点：任意方向
p7 p8
p9 p10
p11 16
定义3： 轨线L与θ=θ0相交于P ,若P点向径与方向场
夹角为: 0 < αp < ,则为正侧相交； < αp < 2 ,
常微分方程解的稳定性的意义
常微分方程解的稳定性的意义
就是因为微分方程求解比较困难，利用稳定性理论和相轨线分析法来研究解的变化趋势和一些特征。
常微分方程稳定性理论亦称运动稳定性理论，是常微分方程理论的一个分支，其研究常微分方程的解在微小扰动下的性质。
简介
常微分方程稳定性理论亦称运动稳定性理论，是常微分方程理论的一个分支，其研究常微分方程的解在微小扰动下的性质。
粗略地说，系统的某个状态，如果在微小扰动之下其状态变化保持是小的，则称它是稳定的，否则，称它是不稳定的。
由于在实际系统中不可避免地会出现各种偶然的扰动，所以只有稳定的状态或过程才有现实意义。
因此，研究描写实际系统的微分方程解的稳定性具有重要的意义。
发展
稳定性的概念和理论由俄国数学家李亚普诺夫于19世纪90年代所创立，并提出称之为第一方法和第二方法的两种解决方法。
20世纪五六十年代，美国数学家莱夫谢茨(Lefschetz,S.)和拉萨尔(Lasalle,J.P.)进一步发展了稳定性理论。
现状
现在稳定性理论和方法已推广到泛函微分方程、广义微分方程及偏微分方程等更广泛的系统中去。
目前，稳定性的概念已被推广和应用到自然科学和工程技术的许多领域之中，并形成了非常丰富的理论。
这里主要研究常微分方程解的稳定性。
常微分方程第三章基本定理
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线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题 转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它 简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的 方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方 程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来 说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近 似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续 。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。
【精品】常微分方程解的稳定性修改
【关键字】精品常微分方程解的稳定性摘要本文简要介绍了常微分方程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分方程相关问题的重要意义。
最后，介绍用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。
关键字：常微分方程稳定性李雅普诺夫函数V函数构造方法引言常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法,开创了常微分方程定性理论, 同时在分析中引入几何方法,搭建起分析与几何之间的沟通桥梁,带来了微分方程研究的新突破。
李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上,转而进入了新的稳定性研究。
如今,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。
不仅有精确的定义,更有严格的分析证明,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。
本文论述常微分方程解的稳定性的定义及其研究常微分方程相关问题的重要思想，并用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。
1、常微分方程稳定性微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心。
数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力,但始终没有从根本上摆脱求确定解的桎梏,致使研究的道路越来越窄。
此时单纯的定量分析已不能解决问题,必须用一种综合化、整体化的思想加以考虑. 躲开微分方程求精确解的定量方法,转向运用稳定性方法探求解的性质,从而解决常微分方程（组）的解的问题.考虑微分方程组（2.1）其中函数对和连续，对满足局部利普希茨条件。
设方程（2.1）对初值存在唯一解, 而其他解记作. 本文中向量的范数取.如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性。
现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。
如果对于任意给定的和都存在,使得只要就有对一切成立，则称（2.1）的解是稳定的，否则是不稳定的。
常微分方程的稳定性分析
常微分方程的稳定性分析稳定性分析是常微分方程理论中的一个重要内容，它研究的是在一定条件下，常微分方程解的性质及其随时间变化的行为。
稳定性分析不仅在数学中具有深远意义，而且在物理、工程等应用领域也具有重要的价值。
1. 引言常微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学方程。
它在各个学科中都有广泛的应用，如物理学中的运动学、生物学中的生态系统模型、经济学中的经济增长模型等。
稳定性分析是对常微分方程解的行为进行评估和预测的方法，具有重要的理论和应用意义。
2. 稳定性的定义在稳定性分析中，我们关注的是方程解在微小扰动下的行为。
一个常微分方程解是稳定的，如果它对于任意微小的初始扰动都能保持接近原解。
换句话说，一个稳定的解在扰动下不会发生剧烈的变化。
相反，如果方程解对于微小扰动非常敏感，那么这个解就是不稳定的。
3. 稳定性的分类根据方程解的性质，我们可以将稳定性进一步分为以下几种：3.1 渐近稳定性如果一个方程解在长时间的演化过程中会趋向于某个特定的值，我们就称这个解是渐近稳定的。
换句话说，当时间趋向于无穷大时，解会趋于一个固定的稳定点或者稳定状态。
3.2 李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性是一种更加严格的稳定性概念。
一个解是李亚普诺夫稳定的，当且仅当对于任意微小的初始扰动，解都能保持在一条逐渐靠近稳定状态的曲线上。
3.3 指数稳定性指数稳定性是对解的衰减速度的描述。
一个解是指数稳定的，如果其衰减速度超过了任何指数函数。
4. 稳定性分析的方法稳定性分析的方法有很多，其中一些常用的方法包括线性稳定性分析、李亚普诺夫函数的构造以及隐函数定理的应用等。
4.1 线性稳定性分析线性稳定性分析是一种简单而常用的方法。
它基于线性化的概念，即将非线性方程在稳定点附近进行线性逼近。
通过线性化方程，我们可以得到关于稳定性的有用信息。
4.2 李亚普诺夫函数的构造李亚普诺夫函数是一种在稳定性分析中常用的工具。
通过构造适当的李亚普诺夫函数，我们可以判断解的稳定性，并对解的演化过程进行描述。
常微分方程的稳定性
常微分方程的稳定性常微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学工具。
在科学和工程领域中，我们经常遇到描述自然现象或系统动态演化的问题，而常微分方程正是用来描述这些变化过程的数学语言。
对于一个常微分方程而言，了解和判断它的稳定性是十分重要的，因为它反映了系统的长期行为和演化方向。
一、稳定性的概念稳定性是指系统在经历一定的扰动后，能回归到原来的状态或者逐渐趋向于某一稳定的状态。
在常微分方程的研究中，我们主要关注的是方程解的稳定性。
解的稳定性可以分为以下几种情况：1. 稳定解：如果在解的某个附近，初始条件的微小扰动不会引起解的显著变化，那么我们称这个解是稳定的。
2. 汇合解：如果初始条件的微小扰动会使解趋向于某个特定的解，那么我们称这个解是汇合解，或者吸引解。
3. 不稳定解：如果初始条件的微小扰动会导致解远离原来的状态，那么我们称这个解是不稳定的。
二、线性方程的稳定性对于一阶线性常微分方程$$\frac{dy}{dx} = f(x)y$$线性方程的稳定性可以通过解的特征值来判断。
1. 实特征值：如果特征值的实部为负，则解是稳定的。
如果特征值的实部为正，则解是不稳定的。
2. 复特征值：如果特征值的实部小于零，解是稳定的；如果特征值的实部大于零，解是不稳定的。
而特征值的虚部则决定了解的振荡程度，如果虚部存在，则解是振荡的。
三、非线性方程的稳定性非线性方程的稳定性分析相对复杂，没有统一的判据。
在研究中，我们主要使用的方法有：1. 线性化法：将非线性方程近似为线性方程，然后用线性方程的稳定性条件进行分析。
2. Lyapunov函数法：通过构造Lyapunov函数来判断解的稳定性。
如果能找到一个满足特定条件的Lyapunov函数，那么解是稳定的。
3. 相图法：通过画出相图来观察解的稳定性。
相图可以展示出解的演化轨迹及其吸引子，从而判断其稳定性。
四、稳定性的应用常微分方程的稳定性理论在科学和工程中有广泛的应用。
1. 科学研究：稳定性理论可以用于描述自然现象和生物系统的变化过程，比如描述人口增长、化学反应动力学等问题。
最新常微分方程第三版1.1
R(0) R0
这里 k0,是由R于 (t)随时间的增加.而减 解之得:
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的基尔霍夫（Kirchhoff）第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电 流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI,RI, Q,
二、微分方程的研究内容
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通 解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解
的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。
2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在
性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
3、微分方程解析理论 由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
马知恩周义仓编常微分方程定性与稳定性方法部分习题参考解答
马知恩周义仓编常微分⽅程定性与稳定性⽅法部分习题参考解答第⼀章 基本定理1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n. \eex$$试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 的领域内, 此 Cauchy 问题的解存在惟⼀.证明: 由 $f\in C^1(G)$ 蕴含 $f\in C(G)$ 且在 $G$ 内适合 Lipschitz 条件知有结论.2试讨论下列⽅程解的存在区间:(1) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{1}{x^2+y^2}}$;(2) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=y(y-1)}$.解答:(1) 由 $\dps{\frac{\rd x}{\rd y}=x^2+y^2}$ 的解的存在区间有限知 $y$ 有界, ⽽由解的延拓定理, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$.(2) 直接求解有 $\dps{y=\frac{1}{1-\frac{y_0-1}{y_0}e^x}}$, ⽽a.当 $0\leq y_0\leq 1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$;b.当 $y_0<0$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{\ln\frac{y_0}{y_0-1},\infty}}$;c.当 $y_0>1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{-\infty,\ln\frac{y_0}{y_0-1}}}$.3 设有⼀阶微分⽅程式 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}. \eex$$ 试证: 过任⼀点 $(t_0,x_0)\in\bbR^2$ 的右⾏解的存在区间均为 $[t_0,+\infty)$.证明: 由 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}=\left\{\ba{ll} <0,&x>t,\\ >0,&x<t \ea\right. \eex$$ 知解在 $\sed{x>t}$ 内递减,在 $\sed{x<t}$ 内递增. 当 $x_0>t_0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR, t_0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤解的延伸定理知解定与$\sed{x=t}$ 相交, 之后解递增, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x<t} \eex$$ 内应⽤延伸定理及⽐较定理即知结论.4设有⼀阶⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=f(x)}$, 若 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且当 $x\neq 0$ 时有 $xf(x)<0$. 求证过 $\forall\(t_0,x_0)\in\bbR^2$, Cauchy 问题的右⾏解均在 $[t_0,+\infty)$ 上存在, 且 $\dps{\lim_{t\to+\infty}x(t)=0}$.证明: 由题意, $$\bex f(x)\left\{\ba{ll} >0,&x<0,\\ <0,&x>0. \ea\right. \eex$$ ⽽由 $f$ 的连续性, $f(0)=0$. 于是当 $x_0=0$ 时,由解的唯⼀性知 $x=0$. 当 $x_0>0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递减趋于 $0$. 当 $x_0<0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x_0<x<0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递增趋于 $0$.5若 $\bbf(t,\bbx)$ 在全空间 $\bbR\times\bbR^n$ 上连续且对 $\bbx$ 满⾜局部 Lipschitz 条件且 $$\bex \sen{\bbf(t,\bbx)}\leq L(r),\quad r=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\quad \bbx=(x_1,\cdots,x_n)^T, \eex$$ 其中 $L(r)>0, r>0$, 且 $$\bee\label{1.5:1}\int_a^{+\infty}\frac{\rd r}{L(r)}=+\infty,\quad a>0. \eee$$ 试证: 对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in\bbR\times\bbR^n$, Cauchy 问题的解均可对 $t$ ⽆限延拓.证明: 由解的延伸定理, 仅须证明在任何有限区间 $-\infty<\alpha<t<\beta<+\infty$ 上, $\bbx(t)$ 有界. 为此, 令 $y(t)=\sen{\bbx(t)}$,则 $$\beex \bea \frac{\rd y(t)}{\rd t}&=2\bbx(t)\cdot\frac{\rd \bbx(t)}{\rd t} =2\bbx(t)\cdot \bbf(t,\bbx(t)),\\\sev{\frac{\rd y(t)}{\rd t}} &\leq 2\sqrt{y(t)}\cdot L\sex{\sqrt{y(t)}},\\ \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}}&\leq \rd t,\\ \int_\alpha^\beta \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}} &\leq \int_\alpha^\beta \rd t=\beta-\alpha. \eea \eeex$$ 这与\eqref{1.5:1} ⽭盾 (事实上, 当 $\alpha,\beta\gg 1$, $|\alpha-\beta|\ll 1$ 时, 不等式右端可任意⼩, ⽽不等式左端有积分发散知可⼤于某⼀正常数).6设有微分⽅程 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx), \eex$$ $\bbf\in C(G\subset \bbR\times\bbR^n)$, 试证: 若对$\forall\ (t_0,\bbx^0)\in G$, Cauchy 问题的解都存在唯⼀, 则解必对初值连续依赖.证明: 参考[家⾥蹲⼤学数学杂志第134期, 常微分⽅程习题集, 第1600页].7 试在定理 1.1 的假设下, 利⽤ Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖性.证明: 参考定理 1.7 的证明.8 设有⼀阶 Cauchy 问题 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=x^2+(y+1)^2,\quad y(0)=0. \eex$$ 试利⽤⽐较定理证明, 若设解的右⾏饱和区间为 $[0,\beta)$, 则 $\dps{\frac{\pi}{4}\leq \beta\leq 1}$.证明: 仅须注意到当 $0\leq x\leq 1$ 时, $$\bex (y+1)^2\leq x^2+(y+1)^2\leq 1+(y+1)^2. \eex$$ 再利⽤⽐较定理即知结论.第⼆章 动⼒系统的基本知识1试证明: $\Omega_P=\vno$ 的充要条件是 $L_P^+$ 趋于⽆穷.证明: $\ra$ ⽤反证法. 若 $L_P^+$ 不趋于⽆穷, 则 $$\bex \exists\ M>0, t_n\nearrow +\infty,\st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)}\leq M. \eex$$ 由 Weierstrass 定理, $$\bex \exists\ \sed{t_n'}\subset \sed{t_n},\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q,\eex$$ ⽽ $Q\in \Omega_P$, 这是⼀个⽭盾. $\la$ 亦⽤反证法. 若 $\Omega_P\neq \vno$, ⽽设 $Q\in \Omega_P$, 则 $$\bex\exists\ t_n\nearrow+\infty,\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q. \eex$$ 这与 $L_P^+$ 趋于⽆穷⽭盾.2试证明: 若 $\Omega_P$ 仅含惟⼀奇点 $P^*$, 则当 $t\to+\infty$ 时必有 $L_P^+$ 趋向于 $P^*$.证明: ⽤反证法. 设 $$\bee\label{2.2:1} \exists\ \ve_0>0,\ t_n\nearrow+\infty, \st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)-P^*}\geq\ve_0. \eee$$ 则(1)若 $\sed{t_n}$ 有有界的⼦列, 则适当抽取⼦列 $\sed{t_n'}$ 后有 $$\bex \mbox{ $\varphi$}(P,t_n')\to Q. \eex$$ 于是 $Q\in\Omega_P=\sed{P^*}$. 这与 \eqref{2.2:1} ⽭盾.(2)若 $\sed{t_n}$ ⽆有界的⼦列, 则 $\dps{\lim_{n\to\infty}\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)=\infty}$, ⽽ $\infty\in\Omega_P=\sed{P^*}$, ⼜是⼀个⽭盾.3试证明: 若 $\Omega_P$ 有界且 $\Omega_P$ ⾮闭轨, 则 $\forall\ R\in \Omega_P$, $\Omega_R$ 与 $A_R$ 必均为奇点.证明: ⽤反证法证明 $\Omega_R$ 为奇点集, $A_R$ 为奇点集类似可证. 设 $\Omega_R$ 含有常点. 由 $R\in \Omega_P$ 及$\Omega_P$ 为不变集知 $L_R\subset \Omega_Q$. 于是按引理 2.3, $L_R$ 为闭轨线, $L_R=\Omega_R\subset \Omega_P$. 这与 $\Omega_P$ ⾮闭轨⽭盾.4试证明: ⼀系统的圈闭奇点的集合是⼀闭集.证明: 全体奇点的集合为 $$\bex \sed{\bbx^*\in G; \bbf(\bbx^*)=\mbox{ $0$}}. \eex$$ 由 $\bbf$ 的连续性即知结论.5 若 $L_P^+$ 有界且 $\Omega_P$ 仅由奇点构成, 能否断定 $\Omega_P$ 仅含⼀个奇点?解答: 不能断定. 仅能说 $\Omega_P$ 为由奇点构成的连通闭集或闭轨线.6 设 $O(0,0)$ 是⼀平⾯⾃治系统的惟⼀奇点, 且是稳定的, 全平⾯没有闭轨线. 试证: (1) 此系统的任⼀轨线必负向⽆界; (2) 任⼀有界的正半轨闭进⼊奇点 $O$.证明:(1) ⽤反证法. 若有⼀轨线负向有界, 则在定理 2.8 中, 由全平⾯没有闭轨线知 (3),(4) 不成⽴; 由 $O$ 为惟⼀奇点知 (1),(2),(5) 不成⽴. 这是⼀个⽭盾.(2) 对有界正半轨⽽⾔, 定理 2.8 中仅有 (1),(2),(5) 可能成⽴. 若 (1),(2) 成⽴, 则结论已证; ⽽由全平⾯没有闭轨线知 (5) 不成⽴.第三章 稳定性理论1 讨论⽅程 $$\bee\label{3.1:1} \sedd{\ba{ll}\frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-a^2\sin x_1\ea} \eee$$ 零解的稳定性.解答: 选取 $$\bex V(\bbx)=\frac{x_2^2}{2}+a^2(1-\cos x_1), \eex$$ 则 $V$ 在原点的⼀邻域内是正定的, 且沿 \eqref{3.1:1} 的轨线有 $$\bex \dot V(\bbx)=V_{x_1}x_1'+V_{x_2}x_2'=0. \eex$$ 由此, 零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.2 证明⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-x+x^2}$ 的零解是指数渐近稳定的, 但不是全局渐近稳定的.证明: 解该微分⽅程有: $$\bex \ba{ccc} -\frac{1}{x^2}\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{1}{x}-1,&\frac{\rd y}{\rd t}=y-1\\sex{y=\frac{1}{x}},&\frac{\rd z}{\rd t}=-e^{-t}\ \sex{z=e^{-t}y},\\ z=e^{-t}+C,&y=Ce^t+1,&x=\frac{1}{1+Ce^t}. \ea \eex$$由此, 原微分⽅程的解为 $$\bex x=0,\mbox{ 或 }x(t)=\frac{1}{1+Ce^t}. \eex$$ 取初值 $(t_0,x_0),\ x_0\neq 0$, 有 $$\bexx(t,t_0,x_0)=\frac{x_0}{1+e^{t-t_0}(1-x_0)}. \eex$$ 故当 $|x_0|<1$ 时, $$\bex |x(t,t_0,x_0)|\leq \sev{\frac{1}{x_0}-1}e^{-(t-t_0)}. \eex$$ 这说明零解是指数渐近稳定的. 但由于从 $(t_0,1)$ 出发的解 $x(t,t_0,1)=1$ 不趋于零解, ⽽零解不是全局渐近稳定的.3 在相空间 $\bbR^n$ 中给出 $\dps{\frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\ \bbf(t,0)=0}$ 的零解稳定、渐近稳定、不稳定的⼏何解释.解答: 零解是稳定的 $\lra\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ P\in B_\delta,\ L_P^+\subset B_\ve$; 零解是渐进稳定的$\lra\ \exists\ U\ni O,\ \forall\ P\in U,\ L_P^+\to 0$; 零解是不稳定的 $\lra\ \exists\ \ve_0>0,\ \exists\ P_n\to0, \stL_{P_n}^+\bs B_\ve\neq \vno$.4判断下列系统零解的稳定性:(1) $\dps{\sedd{\ba{ll} \frac{\rd x_1}{\rd t}=mx_2+\alpha x_1(x_1^2+x_2^2),\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-mx_1+\alphax_2(x_1^2+x_2^2); \ea}}$;(2) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}+\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^3+f(x)=0,}$ 其中 $xf(x)>0\ (x\neq 0), f(0)=0$;(3) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}-\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^2sgn\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}+x=0}$.解答:(1) 取 $$\bex V=x_1^2+x_2^2, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $$\bex \dot V=2\alpha(x_1^2+x_2^2)\sedd{\ba{lll} \mbox{正定},&\alpha>0,\\ 0,&\alpha=0,\\ \mbox{负定},&\alpha<0. \ea} \eex$$ 于是当 $\alpha>0$ 时, 由定理 3.3, 零解是不稳定的; 当 $\alpha=0$ 时, 由定理 3.1, 定理是稳定的; 当 $\alpha<0$ 时, 由定理 3.1, 零解是渐近稳定的.(2) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=-x_2^3-f(x_1). \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}f(t)\rd t, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=-x_2^4\leq 0.$再 $$\bex \sed{\bbx;\dot V(\bbx)=0}=\sed{0}, \eex$$ 我们据定理 3.2 知零解是渐近稳定的.(3) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=x_2^2sgn(x_2)-x_1. \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=x_2^2|x_2|$是正定的. 我们据定理 3.3 知零解是不稳定的.5 若存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,\bbx)$, 它沿着 $$\bex (3.3.1)\quad \frac{\rd\bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbf(t,0)=0 \eex$$ 解曲线的全导数 $\dot V(t,\bbx)$ 负定, 证明 (3.3.1) 的零解是渐近稳定的.证明: 仅须注意到存在正定函数 $W(x)$, $W_1(x)$ 使得 $$\bex W(\bbx)\leq V(t,\bbx)\leq W_1(\bbx). \eex$$ ⽽可仿照定理 3.1 的证明.6 讨论 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{g'(t)}{g(t)}x}$ 零解的稳定性, 其中 $\dps{g(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^4(t-n)^2}}$. 能否得到零解渐近稳定的结果? 为什么?解答: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{g(t_0)}{g(t)}, \eex$$ ⽽由 $$\bex |x(t)|\leq\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n\neq [t],[t]+1}\frac{1}{1+n^4(t-n)^2}} \leq \frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}} \eex$$ 知零解是稳定的; 由$$\bex |x(k)|=\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{1+\sum_{n\neq k}\frac{1}{n^4(k-n)^2}}\geq \frac{|x_0|}{g(t_0)} \eex$$ 知零解不是渐近稳定的.7证明 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-\frac{x}{t+1}}$ 的零解是渐近稳定的, 但不存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,x)$, 使得 $\dotV(t,x)$ 负定 (该习题表明习题 5 中渐近稳定性定理中的条件不是必要的).证明: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{1+t}. \eex$$ ⽽零解是渐近稳定的.。
常微分方程第三版1
所以每天共有 Ns(t)个健康者被感染.
于是病人增长率为
N di Nsi,
dt
又因s(t) i(t) 1,再由初始条件得
di i(1 i)
dt
i(0) i0
思索与练习
1.曲线上任一点旳切线与两坐标轴所围成旳三角形
旳面积都等于常数 a2 ,求该曲线所满足旳微分方程.
解: 过点(x, y)的切线的横截距与纵截距分别为:
第一章 绪论
常微分方程是当代数学旳一种主要分支,是人们处理多 种实际问题旳有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛旳应用,本 章将经过几种详细例子,粗略地简介常微分方程旳应用,并 讲述某些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联络着自变量,未知函数及其导数旳关系式.
假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变, 时间以天为计量单位, 假设条件为 :
(1)在时刻t人群中易感染者(健康)和已感染者 (病人)在总人数中所占比例分别为s(t)和i(t).
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是, 称日接触率.
解: 根据题设,每个病人每天可使
s(t)个健康者变为病人.
因为病人总人数为 Ni(t),
物体旳温度与其所在旳介质旳温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 旳温度为 u(t). 根据导数旳物理意义, 则
温度旳变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为百分比系数. 此数学关系式就是物体冷却过程旳
数学模型.
u 注意:此式子并不是直接给出 和 t 之间旳函数关系,而只是
解: 设t时该时镭元素的量为R(t),
4.1常微分方程的定性与稳定性
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定理 4 对于非线性系统(7)，假设det A 0，A
的特征值为1和 2，且当( x, y) ( x0 , y0 )时，
X 2 ( x, y) Y 2 ( x, y) O{[( x x0 )2 ( y y0 )2 ]1 }
其中 0是常数，那么
1) 当 1 2 0时， P0是(7)的稳定结点；
y
g( x,
y)
(3)
方程组(3)的相空间是 x-y 平面，称为相平面。
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
R
n
,
F
(t
,
x)
R
n
.
xn
fn (t, x)
设(a,b) R, D Rn,当F (t, x)在(a,b) D连续,
且关于 x 有连续的一阶偏导数时,对任意
(t0 , x0 ) (a,b) D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲
线) x (t;t0 , x0 )满足 x(t0 ) x0.
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(6)
设系统(6)有孤立奇点P0 ( x0 , y0 )，且在P0 附近可写为
x
y
a1( x b1( x
x0) x0)
a2( b2(
y y
y0 y0
) )
X(x, y) Y(x, y)
(7)
其中a1 f x( x0 , y0 )，a2 f y( x0 , y0 )，b1 gx ( x0 , y0 )， b2 gy ( x0 , y0 )。
常微分方程的存在唯一性与稳定性
常微分方程的存在唯一性与稳定性存在唯一性与稳定性是常微分方程研究中的重要问题。
在本文中，我们将探讨常微分方程存在唯一解的条件以及解的稳定性。
一、常微分方程的存在唯一性常微分方程描述了一个未知函数及其导数之间的关系。
对于形如dy/dx = f(x, y)的一阶常微分方程，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知函数，我们来讨论方程的存在唯一性。
1. 狄利克雷条件（Dini定理）狄利克雷条件是常微分方程存在唯一解的充分条件之一。
具体而言，如果在所考虑的区域上，函数f(x, y)连续且关于y满足Lipschitz条件，则常微分方程dy/dx = f(x, y)在该区域上存在唯一解。
2. 古典解与强解对于一阶常微分方程，如果解y的导数也是函数x的连续函数，则称该解为古典解。
如果解y满足方程dy/dx = f(x, y)，且在给定的初始条件下，解在某一区间上存在且唯一，则称该解为强解。
3. 积分常数的任意性在某些情况下，常微分方程的解不是唯一的，而是存在积分常数。
这意味着在通解中会出现某个常数，而不同的常数取值将对应不同的特解。
二、常微分方程的稳定性稳定性是指在微小扰动下，解是否保持不变或趋于某个特定值。
常微分方程的稳定性可以分为以下几种情况：1. 渐近稳定性如果对于一个常微分方程的解，当自变量趋于无穷大时，解趋于某个有界值，则称该解为渐近稳定解。
2. 指数稳定性如果对于一个常微分方程的解，存在一个常数K和正数C，使得解的绝对值小于Ce^Kx，则称该解为指数稳定解。
3. Lyapunov稳定性Lyapunov稳定性是一种更加一般化的稳定性概念。
它涉及到一个称为Lyapunov函数的函数，通过对该函数的变化率进行研究来判断解的稳定性。
总之，常微分方程的存在唯一性与稳定性是常微分方程理论中的重要研究内容。
通过适当的条件和方法，我们可以确定常微分方程的解的存在性，并对解的稳定性进行分析。
这对于解决实际问题和理解动态系统的行为具有重要意义。
常微分方程的解的稳定性
常微分方程的解的稳定性常微分方程的解的稳定性在数学领域中具有重要意义。
稳定性是指当微分方程的初始条件发生微小变化时，解是否保持接近原来的解。
在本文中，将介绍常微分方程解稳定性的概念和几种常见的稳定性分类方法。
一. 稳定性的定义常微分方程的解稳定性描述了解在微小扰动下是否趋向于原来的解。
稳定性的分析对于理解和预测系统的行为至关重要。
二. 稳定性的分类1. 渐近稳定性渐近稳定性是指当时间趋向于无穷大时，解会趋向于稳定的平衡点或解。
2. 指数稳定性指数稳定性是指解与稳定的平衡点或解之间存在一个指数下降的关系。
3. 有界稳定性有界稳定性是指解在有界时间内保持在有界的范围内。
三. Lyapunov稳定性定理Lyapunov稳定性定理是判断微分方程解稳定性的一种重要方法。
Lyapunov稳定性定理利用Lyapunov函数来判定系统的稳定性。
四. 线性稳定性分析线性稳定性分析适用于线性微分方程。
线性稳定性分析通过判断特征根的位置来确定解的稳定性。
五. 非线性稳定性分析非线性稳定性分析适用于非线性微分方程。
非线性稳定性分析通常用Lyapunov函数和LaSalle不变集定理等方法来判断解的稳定性。
六. 实例分析以一个一阶非线性常微分方程为例：dy/dt = y^2 - y - 2通过求解方程的平衡点，我们得到y = -1和y = 2。
然后，对于每个平衡点，可以进行稳定性分析。
通过计算特征根或使用Lyapunov函数等方法，我们可以确定每个平衡点的稳定性。
当y = -1时，特征根为-1和2，因此平衡点y = -1是不稳定的。
当y = 2时，特征根为-1和2，因此平衡点y = 2是稳定的。
七. 结论本文介绍了常微分方程解的稳定性及其分类方法。
稳定性的分析在数学和物理领域中具有广泛的应用。
通过对微分方程解稳定性的研究，可以更好地理解和预测系统的行为。
在实际问题中，稳定性分析也有着重要的应用，例如在控制系统和生物学中的应用等。
常微分方程的稳定性
常微分方程的稳定性常微分方程是非常常见的一类数学模型，它描述了很多物理现象和自然现象。
稳定性是判断微分方程解的性质的重要指标，也是数学中一个很古老、很有趣的研究领域。
一、稳定性的定义稳定性指的是微分方程解在不同条件下的性质是否相同，即判断解是否会随着某些参数或初始条件的变化而发生剧烈的变化。
在实际问题中，我们经常需要研究微分方程的解的稳定性，比如我们可以用微分方程来描述一个力学系统的运动，而稳定性则决定了系统在不同初始状态下的行为。
二、稳定性的分类根据微分方程的解的变化趋势，可以将稳定性分为三类：渐近稳定、无穷稳定和不稳定。
1. 渐近稳定指的是微分方程的解在趋近某一个状态时，会以指数的方式趋近于该状态，并最终趋近于该状态。
比如，我们可以考虑一个人在飞机上跳伞的问题，假设这个人的质量为m，重力加速度为g，空气阻力可以用速度的平方来描述，那么可以写出如下的微分方程：m * dv/dt = mg - kv^2其中k是一个常数，其代表了空气阻力的大小。
我们可以通过数值计算或者理论推导等方法来确定在不同的初始条件下，人跳伞后的运动情况。
这个问题的稳定性就取决于k的大小，如果k比较小，那么方程的解会趋近于一个常数，即人的下落速度稳定下来；如果k比较大，那么人的下落速度会一直变化，最终也不会趋近于一个常数。
所以对于这个问题而言，当k比较小时，该微分方程解的稳定性是渐近稳定。
2. 无穷稳定指的是微分方程的解在经过无限次的变化后，最终会趋近于一个稳定的状态。
值得一提的是，这个稳定状态可能是一个恒定值，也可能是一个运动轨迹。
例如，我们考虑一个简单的谐振子模型，其运动方程可以写成：d^2x/dt^2 + kx = 0其中k是一个常数。
我们可以通过解微分方程来得到x的具体形式，显然，当k>0时，由于势能的作用，谐振子总是会回到平衡位置，这个微分方程解的稳定性是无穷稳定。
3. 不稳定指的是微分方程的解在任何条件下都不会稳定下来，一旦发生了微小的变化，就会出现剧烈的变化。
常微分方程定性与稳定性方法答案
由于常微分方程定性与稳定性方法是一个比较大的领域，这里只能提供一些基本的概念和答案，供参考：
什么是常微分方程？
常微分方程是描述物理、化学、生物等自然现象中的变化的方程。
常微分方程一般由一个或多个未知函数及其导数组成，通常用数学公式表示。
什么是定性分析？
定性分析是研究常微分方程解的行为特征而非求解具体解的方法。
它通常包括研究解的图像、相图、相平面等几何图形。
什么是稳定性？
稳定性是指一个系统在受到微小扰动后，是否能够回到原来的稳定状态的特性。
在常微分方程中，稳定性通常与平衡点相关。
什么是平衡点？
平衡点是指一个微分方程解中，导数为零的点。
在平衡点附近的解通常表现为一些稳定性特征，如稳定、不稳定、半稳定等。
什么是极限环？
极限环是指在相平面上，解沿着一个封闭轨迹无限接近平衡点的情况。
极限环通常是非线性微分方程中出现的现象，其表现形式与解在相平面上的轨迹有关。
以上是常微分方程定性与稳定性方法的一些基本概念和答案，仅供参考。
实际上，这个领域非常广阔，需要深入研究和掌握相关的理论和方法才能应用到实际问题中。
常微分方程的周期解的稳定性
常微分方程的周期解的稳定性稳定性是常微分方程中一个重要的概念。
周期解的稳定性问题一直是研究者关注的焦点之一。
本文将从常微分方程的周期解及其稳定性的定义开始讨论，然后介绍稳定性的几个常用准则，并以具体的例子说明。
一、周期解的定义在常微分方程中，如果存在一个非零解函数x(t)，使得对于任意时刻t，有x(t+T)=x(t)，其中T>0，称x(t)为周期解，T为周期。
周期解的存在往往与方程的非线性性质有关。
二、稳定性的定义对于常微分方程的周期解x(t)，如果在其附近的任意初始条件下，解函数都趋向于该周期解，即具有局部吸引性，那么称这个周期解是稳定的。
而如果周期解的附近存在一些初始条件，使得解函数趋向于该周期解，而其他的初始条件使得解函数趋向于周期解的其他解或发散，那么称该周期解是不稳定的。
三、稳定性判定的常用准则1. 李雅普诺夫稳定性准则李雅普诺夫稳定性准则是判断常微分方程周期解稳定性的重要方法之一。
该准则表述为：设x(t)为常微分方程的周期解，如果存在一个正实数ε>0，使得对于任意初始条件x(0)满足0<||x(0)-x(0)||<ε时，解函数在t→+∞时趋向于周期解x(t)，那么该周期解是稳定的。
2. 线性化稳定性准则对于常微分方程的周期解x(t)，如果其线性化方程的解对应的矩阵的所有特征值具有负的实部，那么该周期解是稳定的。
如果有部分特征值具有正实部，那么该周期解是不稳定的。
3. 拉普拉斯稳定性准则拉普拉斯稳定性准则是用于判断常微分方程周期解稳定性的另一种方法。
具体表述为：若常微分方程的周期解x(t)满足拉普拉斯稳定性准则下的某个条件，那么该周期解是稳定的。
四、周期解稳定性的例子现考虑以下的常微分方程：dx/dt = -x该方程的周期解为x(t) = Acos(t)，其中A为常数。
对应的线性化方程为dy/dt = -y，其解为y(t) = Be^(-t)，其中B为常数。
根据线性化稳定性准则，由于线性化方程对应的特征值为负的实数-1，所以原方程的周期解x(t)稳定。
第3章常微分方程
2K2
2K3
K4
)
K1
f (xn , g(xn ,
yn , yn ,
zn ) zn )
K2
f (xn g ( xn
h, 2 h, 2
yn yn
h 2 h 2
K (1) 1
,
zn
K (1) 1
,
zn
h 2 h 2
K1(
2)
)
K1(2) )
K2
F(x
h 2
,Y
h 2
K1)
K3
f g
y(
xn1
))]
h3 12
f
''( )
所以，有格式为：
yn1
yn
h[ 2
f
(xn ,
yn )
f
( xn1 ,
yn 1 ) ]
--------梯形格式
类似，可以算出其误差估计式：
en，要用迭代法求解
将梯形法和Euler法相结合，可得到改进的Euler法：
yn1
3
ha2
xn1 (x xn )( x xn1) dx 1 h
xn1 (xn2 xn )( xn2 xn1)
3
Tn1
xn1 xn1
y(4) (
(3)!
)
(x
xn
)( x
xn1)( x
xn2
)dx
1 3
h4
y(4)
( )
例：建立p=2,q=2的隐格式
p=2，积分区间为 xn1 y'(x)dx xn2
➢ 基于数值积分的构造法
将 y f ( x, y) 在[xn p , xn1] 上积分，得到
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o
x
p30
图5.1
(2) q 0, p 0, p 4q 0
2
xe
2t
,y c x
2 1
λ 1， λ 2 为 相异负实根
y
若λ2<λ1<0，则积分曲线在原 点与 x 轴相切，如图示。反 之，若λ1<λ2<0，则积分曲线 在原点与 y 轴相切。 —— 奇点称为稳定结点
O O O
B
B
B
结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向： 即： 0 ‾ 或 ‾ 2 。因此有三类正常区域： A A A II I III
O O O
B B B 引理：若Δ为正常区域 I ，从 OA, AB与AB上出发 的轨线都进入O（当t→∞时）; 若Δ为正常区域 II , AB上有一点或一段闭弧，从其 上出发的轨线都进入O（当t→∞时）; 若Δ为III , 有两种情况: (1) 没有轨线进入O; (2) POA或 AB: POA时, OP上出发的轨线都进入O; PAB时, QOAAP, 从Q出发的轨线都进入O
dr 2 1 r 2 (1 cos 2 2 sin 2 ) O(r 2 ) 2 dt 2 1 d ( )sin 2 O( r ) dt 2
(A5) (A6)
dθ/dt = 0 θ = 0, /2, , 3 /2 ----特征方向
0 d 0 dt 0 0
1 2
tan
o
1 2
x
结论：当ε→0, ①, ③内只有 一对轨线沿y轴趋于原点(当 t→-∞时); ②, ④内只有一对轨 线沿x轴趋于原点(当t→∞时 ). 原点为鞍点
3. 焦点与中心的情况 焦点情况与结点、鞍点相似：线性部分为焦点
时，加上非线性项仍为焦点且稳定性不变;
对于线性部分为中心的情况，加上非线性项后，可 能依然为中心，但也可能变为（不）稳定焦点;
x
p16
o 图5.2
p17 对于q > 0，p < 0，p2－4q>0，λ1、λ2为相 p20 异正实根，积分曲线方向远离原点。 ——奇点为不稳定结点 p p 2 4q
1,2
2
(3) q>0，p>0，p2－4q<0，λ1,λ2为共轭复根且实 部为负。 令λ1,λ2＝－u +i v，其中u>0, v>0，将(5.5)化为：
2
(A7)
dr
dt dt
0, 0,
when tg 2 when tg
2
1
①
y (A8)
2 2 ④
dr 2
1
②
x
2 2 tan 1 ( 1 / 2 )
= 0, /2, , 3 /2 ―― 特征方向 ③ d 0 I, III象限内 dt 0 II, IV象限内
(5.14)
y
其解为r=r0,θ=θ0+vt, 其 轨线如图
------奇点称为中心
p p 2 4q 1,2 2
x
o
图5.6
奇点分类如下： 1. q<0, 两根异号―鞍点; 2. q>0, p>0, p2-4q>0, 两根相异负实根―稳定结点;
3. q>0,p>0,p2-4q=0, 两根为相等负实根―临界结点或 退化结点。 4. q>0,p<0,p2-4q>0, 两根为相异正实根―不稳定结点; 5. q>0,p<0,p2-4q=0, 两根为相等正实根―临界结点或 退化结点; 6. q>0,p<0,p2-4q0, 两根为共轭复根，实部为负―稳 定焦点; 7. q>0,p<0,p2-4q<0, 两根为共轭复根，实部为正―不 稳定焦点。 8. q>0,p＝0, 两根为共轭纯虚根―中心.
点P(x0,y0）称为(5.1)的奇点，若: X ( x0 , y0 ) 0, Y ( x0 , y0 ) 0
第二节 一次奇点
由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化 为原点，因而总认为原点是（5.1）的奇点。 在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数，得： dx ax by X 2 dt (5.3) dy cx dy Y2 X2，Y2 ----所有二次项 dt 以上的全体. a b 0 (5.4) 如果 c d
第五章 奇 点
第一节 常点与奇点
第二节 一次奇点 第三节 非线性项对奇点的影响
第一节 常点与奇点
研究二维方程组
dx dt X ( x, y ) dy Y ( x, y ) dt
(5.1)
(5.2) 反之,如 X(x0,y0), Y(x0,y0) 中至少有一个不等于零， 则此点称为(5.1)的常点。 性质:过常点有唯一解，但奇点处解至少不唯一
总之，若线性奇点为结点，加上非线性项之后仍为 结点，并且稳定性保持不变。
2. 鞍点情况 两特征根均为实根：设λ1<0, λ2>0
dr 2 2r 2 ( 1 cos 2 2 sin 2 ) O( r 3 ) dt d 1 ( 1 2 )sin 2 O( r ) dt 2
若满足：
x y 0
2
lim 2
X 2 ( x, y ) x y
2 2
2lim 2
Y2 ( x, y ) x y
2 2
x y 0
0
(A3)
则原点（零解）若是(A2)的鞍点,正常结点、焦点， 也是(A1)的鞍点,正常结点、焦点（解的结构相同）， 且稳定性保持不变；但(A2)的临界或退化结点，对 (A1) 来说其结构可能发生变化。
例：x y x( x y ) x=r cos θ y=r sin θ 2 2
2 2
y x y( x y ) 线性部分为中心
0 中心 可见： 0 稳定焦点 0 不稳定焦点
dr 1 2 r dt 2 d 1 dt
q
源
不稳定临界结 点或退化结点 不稳定 焦点
中心
汇
2－4q=0 pp 2 4q 0
稳定 焦点
稳定临界结 点或退化结 点
稳定结点
不稳定结点
p
高次奇点
o 鞍 点
高次奇点
p p 4q 1,2 2
2
图5.7
第三节 非线性项对奇点的影响
研究以下非线性系统 x ax by X 2 (A1) X2，Y2 ----所有高 y cx dy Y2 于二次项的全体. 相应的线 x ax by (A2) 性系统 y cx dy
• 所有轨线在原 点均与轴相切， 如图所示。 —稳定退化结点
y y
x
o o 图5.5
x
0
0
p17
q >0, p<0, p2－4q=0:λ1,λ2 —— 一对正重根 不稳定临界结点和退化结点
(5) q>0, p＝0:λ1＝-λ2 ＝vi,为一对共轭纯虚根
dr 0 dt 将(5.5)化为： d v dt
x ux vy y vx uy
(5.10)
y
p16
x
再变换 x =r cosθ, y =r sinθ
r ur (5.10) v
-ut，θ=θ
o
(5.11)
图5.3
p17
其解为r= r0 e 0+ v t，相应的轨线如图 ——奇点为稳定焦点 • q>0, p<0, p2-4q<0:λ1,λ2为共轭复根但实部为正 p p 4q ——奇点为不稳定焦点 2
根据特征根的各种可能情况，对奇点进行分类： (1) q < 0, 此时λ1,λ2异号 通过非奇异线性变换，可将(5.5)化为： p16 dx dy 1 x, 2 y (5.9) dt dt y x=x 0 e1t ,y=y 0 e2t 其解为 设λ1> 0，λ2< 0, 则其轨线在原点 领域的分布情况如图所示，这 样的奇点为鞍点。 p17
1. 结点情况
考虑结点为稳定时， 非奇异变换，将 (A1) 化为： x 1 x F2 ( x1 y ) (A4) p7 y 2 y G2 ( x1 y ) 其中F2，G2 是 x, y 二次以上的函数,且满足(A3) 。令 x=rcosθ, y=rsinθ，运算可得:
2 1,2
（4）q>0, p>0, p2-4q=0, λ1λ2为一对负重根。这 又可分为两种情况； p16 (a) 初等因子是简单。(5.5)可化为： y x 1 x (5.12) 0 x y 2 y 1t 1t 其解为 x x0e , y e y cx 其轨线形状如图 -----稳定临界结点. 图(5.4)
3.1 奇点的性质 定义1：设 L 为轨线, 其上的点 A(r,θ),当 A r→0时,θ→θ0 （t→∞ ），称L沿固定方 向进入奇点O(0, 0). r θ0 定义2：设O(0, 0) 为孤立奇点， θ 若点列 An(rn,θn)，当n→∞时， O rn→0 ,θn→θ0 ,且αn→0 ，αn为An点的方向场向量 与向径夹角的正切，称θ=θ0为特征方向。 显然，若θ=θ0为固定方向，则必为特征方向 鞍 点： 0，/2, 3 /2， p7 结 点： 0，/2, 3 /2， p8 焦 点： 无 p9 退化结点： /2, 3 /2 或 0， p10 临界结点：任意方向 p11
则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。
研究以下线性系统 dx ax by dt (5.5) dy cx dy p ( a d ) dt (5.7) 其中 q ad bc 特征方程是 a b 2 I ( ) p q 0 (5.6) c d 其特征根为 p p 2 4q (5.8) 1,2 2