高三理科数学常见三角函数解题方法

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高三理科数学培优专题——三角函数

三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。

α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。

（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。

（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。

asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。

2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A.①②③B. ②③④C. ②④D. ①③3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（） A.15[,]24 B.13[,]24C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()0,24.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 A ．12- B ．12C． D6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换7.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.8.已知向量(cos ,sin ),a x x =向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅ （1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程；（2）若x 是第一象限角且'3()2()f x f x =-，求tan()4x π+的值.考点六：解三角形9．ABC ∆中，角,,A B C成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥C ．()()sin sin f A f B ≥D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2abc 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足()222.AB AC a b c ⋅=-+（1）求角A 的大小；（2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.14．（2009全国II ， 17，10分）设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB +=-，2b ac =.求B ∠的大小.14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1,AD DC ==，求BD 和AC 的长.15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域． ★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα……………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅ ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………6分ααsin 21cos 23+=………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………8分 [0,)απ∈ 4[,)333πππα∴+∈………9分 sin 123πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭…………12分()αf ∴的值域是⎛⎤⎥ ⎝⎦………………………………13分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=，………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=-………………4分21(2(32=⨯-⨯=-.………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． ……2分所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分（Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266x x x ππ=+- 12cos 22x x =- sin(2)6x π=-． ……10分因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤．当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分（2）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ，换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ω意义 ……4分因为22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤，无范围讨论扣分所以当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. 和差角公式逆用 ………………3分（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤.所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=，…………………9分两边平方，得021sin 29x += 同角关系式所以 07sin 29x =-…………11分因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-.所以20742cos 21()99x =--=. ……………………………………13分解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分又因为000ππ2()2)2)22443x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=. ……………………………………10分所以20π12cos()1()433x +=-=. ……………………………………11分所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=. 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知π72sin()4A +=，ππ(,)42A ∈．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sin sin2f x x A x=+的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A<<，且πsin()4A+=，πcos()410A+=-．ππππcos()cos sin()sin4444A A+++31021025=-+=．所以3cos5A=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A=．212sin2sinx x=-+2132(sin)22x=--+，x∈R．因为sin[1,1]x∈-，所以，当1sin2x=时，()f x取最大值32；当sin1x=-时，()f x取最小值3-．所以函数()f x的值域为3[3,]2-．8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.解：和差角公式逆用所以2sin cos sin()sin()sinA B B C A A=+=π-=. ………3分因为0A，所以sin0A.所以1cos2B=. ………5分3Bπ=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos25A A⋅=-+m n，…………………8分所以2212343cos2cos12(cos)5525A A A⋅=-+-=--m n. …10分所以当3cos5A=时，⋅m n取得最小值.A），于是tan同角关系或三角函数定义……12分所以tan11tan()4tan17AAAπ--==+. ……………13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数23cossinsin3)(2-+=xxxxf()Rx∈．（Ⅰ）求)4(πf的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC∆中，若BA<，21)()(==BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2-+=ππππf21=．4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf-=+232sin21-xxx2cos232sin21-=)32sin(π-=x．…6分2π<<x，32323πππ<-<-∴x．∴当232xππ-=时，即125π=x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ） )32sin()(π-=xxf，若x是三角形的内角，则π<<x令21)(=xf，得解得4π=x或127π=x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin4sinsinsin==ππ==CAABBC．……13分10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．边化角整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b c bc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ．取等条件别忘所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为． ……………………13分 11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵，（或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=．……………………5分（Ⅱ）2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =-- , …………………4分(B - 角关系 ………5分（II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A =. …………………7分因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分所以sin B=sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a = …………………11分所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角，∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系 ∴…………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ．又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ． ∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。

高三理科数学常见三角函数解题方法

高三数学复习-----复数与三角函数解题方法集锦近几年来，特别是使用了新教材后，高考试题中的三角函数试题的难度有所降低，无论是选择题、填空题，还是解答题，都是以中低档的形式为主。

考查内容主要包括三角函数的求值、三角函数的图象和性质以及解三角形等。

高考对复数的考查也降低了难度，试题一般均为选择题或是填空题，主要考查复数的概念和运算，在解答题中要注重复数与三角知识的综合题。

一、三角函数的求值例1 已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于A.322 B. -322 C.32 D.- 32分析：解决这类问题的关键是找到已知条件与所求式子的关系，抓住三角函数式中角、函数名称以及函数式等方面的特点，有效地进行转化。

解：因为sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ= 1-21sin 22θ=95,所以sin 22θ=98.又θ是第三象限角，故4k π+2π<2θ<4k π+3π,所以sin 2θ=322.例2 （95年上海）已知tan(+4πθ)=3，求sin2θ-2cos 2θ的值。

分析：本题考查三角函数的基本公式及其应用，建立tan(+4πθ)与sin2θ、2cos 2θ的关系是解题的关键。

解：由tan(+4πθ)=θθtan 1tan 1-+=3，得：tan θ=21。

所以,21cos sin =θθ即:51sin ,1cos sin ,sin 2cos 222=∴=+=θθθθθ又.所以，sin2θ-2cos 2θ=2 sin θ cos θ-2cos 2θ=-4 sin 2θ=-54.评说：一般地，在sin θ±cos θ、sin θcos θ、tan θ中，只要已知其中的任意一个，均可求出其余的三个。

二、三角函数的图象和性质例3 已知函数y=2sin(2x+3π)，则（1）函数y=2sin(2x+3π)的图象经过怎样的变换可得到函数y=sinx 的图象？（2）把函数y=2sin(2x+3π)的图象在终坐标不变的情况下横坐标变为原来的4倍，再向右平移3π个单位，则得到函数的图象。

高中三角函数常见题型与解法

三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

（6）万能代换法。

巧用万能公式可将三角函数化成tan 2θ的有理式。

2、证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4、解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。

2、三角变换的一般思维与常用方法。

注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如ααββαββαα22122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。

解三角函数的方法和技巧

解三角函数的方法和技巧解三角函数的方法和技巧如下：1. 利用三角函数的基本关系：三角函数之间有一些基本的关系，如正弦函数和余弦函数的关系是互余的，正切函数和余切函数的关系也是互余的等等。

利用这些关系，可以将一个三角函数的求解转化为其他三角函数的求解，从而简化计算过程。

2. 利用特殊角的性质：特殊角是指某些角度值下三角函数具有特殊性质的角。

常见的特殊角包括30度、45度、60度等等。

对于这些特殊角，可以事先计算出它们的三角函数值，然后利用比例关系得出其他角度的三角函数值。

3. 利用诱导公式：诱导公式是指通过某些三角函数的和差关系，得到其他三角函数的公式。

常见的诱导公式有正弦和差公式、余弦和差公式以及正切和差公式等。

利用这些公式，可以将一个角的三角函数值转化为其他角的三角函数值。

4. 利用周期性质：三角函数具有周期性的特点，即在一定范围内，三角函数的函数值重复出现。

例如，正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数和余切函数的周期是π。

如果要求解一个角的三角函数值超出了一个周期，可以利用周期性质将其转化到一个周期内进行计算。

5. 利用三角恒等式：三角恒等式是指三角函数之间的一些特殊关系。

常见的三角恒等式有正弦的平方加余弦的平方等于1，正切等于正弦除以余弦等等。

通过利用这些恒等式，可以简化三角函数的计算过程。

6. 利用三角函数图像的性质：三角函数的图像在坐标平面上具有一定的性质，如正弦函数的图像是一个周期性的正弦曲线，余弦函数的图像是一个周期性的余弦曲线等等。

通过观察三角函数的图像，可以对其函数值的范围和变化趋势有一定的直观认识，从而辅助计算三角函数的值。

7. 利用计算工具：对于复杂的三角函数计算，可以利用计算工具如计算器、数学软件等进行计算，以提高计算的准确性和效率。

(完整版)三角函数的常见解法

(完整版)三角函数的常见解法三角函数是数学中一种重要的函数类型，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在解决三角函数的问题时，常常需要采用不同的解法。

本文将介绍三角函数的常见解法。

1. 代数解法代数解法是一种基于代数运算的方法来解决三角函数的问题。

通过运用三角函数的性质和恒等式，我们可以利用代数运算的规律来求解。

例如，在解决三角方程sin(x) = 0时，可以通过运用正弦函数的性质得出解x = 0。

这是因为正弦函数的零点是周期性出现的，其周期为2π，因此解集为{x | x = kπ, k ∈ Z}。

2. 几何解法几何解法是一种基于几何关系的方法来解决三角函数的问题。

通过利用三角函数在几何上的意义和性质，我们可以通过几何图形的分析来求解。

例如，在解决三角方程cos(x) = 1/2时，可以通过考虑单位圆上的点对应的角度来求解。

由于余弦函数表示的是一个点在单位圆上的横坐标，而1/2对应的角度是π/3，因此解集为{x | x = π/3 +2kπ, k ∈ Z}。

3. 三角恒等式的应用三角恒等式是三角函数中一个重要的工具，通过运用三角恒等式，我们可以将复杂的三角函数问题化简为简单的表达式，从而求解问题。

例如，在解决三角方程sin(2x) = √3/2时，可以运用双倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)来化简为2sin(x)cos(x) = √3/2。

然后，运用三角函数的定义sin(x) = √3/2时的解集，即{x | x = π/3 + 2kπ, k ∈ Z}，可以求得原方程的解集。

以上是三角函数的常见解法，包括代数解法、几何解法和三角恒等式的应用。

通过灵活运用这些解法，我们可以解决各种三角函数问题。

在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的解法，可以更高效地求解三角函数的问题。

数学三角函数解题技巧

数学三角函数解题技巧
数学中的三角函数是一类非常重要的函数，常用于解决与角度有关的问题。

在学习三角函数时，很多学生会遇到各种各样的困难和难题。

以下就是一些关于解决三角函数解题的技巧。

1. 熟悉三角函数的定义
三角函数的定义有很多种，例如正弦函数，余弦函数，正切函数等等。

在解题过程中，首先需要对每种函数的定义进行熟悉和理解，才能更好地应用它们来解决问题。

2. 熟悉三角函数的基本性质
三角函数有很多基本性质，例如周期性，对称性，奇偶性等等。

熟悉这些基本性质，可以帮助我们更快地解决问题。

3. 转化为代数式解决问题
有些三角函数问题可以通过将三角函数转化为代数式来解决。

例如，可以使用和差化积公式或倍角公式将三角函数转化为代数式，然后再用代数式解决问题。

4. 利用三角函数的图像解决问题
三角函数的图像是一种很好的解题工具。

通过观察图像，可以了解函数的周期、振幅、极值等信息，从而更好地解决问题。

5. 利用三角函数的特殊值解决问题
三角函数有很多特殊值，例如正弦函数的最大值和最小值是1和-1，余弦函数的最大值和最小值是1和-1。

利用这些特殊值，可以更快地解决问题。

总之，解决三角函数问题需要多加练习和思考，掌握好以上技巧，相信可以更好地应对各种各样的三角函数问题。

高中三角函数解题技巧

高中三角函数解题技巧
一、了解基本概念
在解题过程中，首先需要了解三角函数的基本概念，包括正弦、余弦、正切等。

熟悉三角函数的定义和性质，能够帮助我们理解和
解决相关的问题。

二、掌握基本公式
掌握三角函数的基本公式对于解题非常重要。

例如，正弦函数
的基本公式是sinθ = 对边/斜边，余弦函数的基本公式是cosθ = 邻
边/斜边。

熟练运用这些公式，可以更快速地求解三角函数的值。

三、利用特殊关系
在解题过程中，有时可以利用三角函数的特殊关系简化问题。

例如，利用正弦函数和余弦函数的关系sin(π/2-θ)= cosθ，可以将一
个三角函数转换为另一个三角函数，从而简化计算过程。

四、利用三角函数的周期性
三角函数具有周期性，即在一定范围内的值是重复的。

例如，
正弦函数和余弦函数的周期都是2π。

利用这一特性，我们可以根
据给定角度的范围，将角度转化为对应周期内的角度，便于计算和
比较。

五、解三角方程
解三角方程是高中三角函数解题的重要内容。

通过对方程两边
进行一系列变换和化简，可得到与角度相关的等式。

掌握解三角方
程的一般方法和技巧，能够解答各种类型的问题。

六、练和总结
要掌握三角函数解题技巧，需要进行大量的练。

通过多做题目，积累经验，总结规律，逐步提高解题能力。

总结：
通过了解基本概念、掌握基本公式、利用特殊关系和周期性、
解三角方程以及进行练习和总结，我们能够提高在高中数学中解决
三角函数相关问题的能力。

希望这些技巧能对你有所帮助！。

三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐

三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐下面给大家介绍一下三角函数解题技巧，希望能够帮助到大家哦！三角函数解题技巧一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式.1.sin(kπ α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ α)=(-1)kcosα(k∈Z);3. tan(kπ α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα cosα>0(或<0)óα的终边在直线y x=0的上方(或下方);2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理：熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα tanβ=tan(α β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;2.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称;3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx φ)和函数y=Acot(wx φ)的对称性质。

三角函数解题技巧求解析式

三角函数解题技巧求解析式三角函数是数学中重要的一部分，解题时经常会遇到需要求解三角函数的值或等式的问题。

在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算并得到解析式。

1. 利用特殊角的值：我们可以通过记忆特殊角的正弦、余弦和正切的值，来简化计算。

一些常见的特殊角包括：0度、30度、45度、60度和90度。

比如，sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2， tan(60°)=√3。

2. 多角和差公式：三角函数的多角和差公式可以帮助我们将一个角的三角函数转化为两个角的三角函数，从而更容易进行计算。

常用的公式包括：- sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B- cos(A±B) = cos A cos B ∓ sin A sin B- tan(A±B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)3. 三角函数的平方和差公式：三角函数的平方和差公式可以将一个三角函数的平方转化为两个三角函数的和或差。

常用的公式如下：- sin²A = (1 - cos 2A) / 2- cos²A = (1 + cos 2A) / 2- tan²A = (1 - cos 2A) / (1 + cos 2A)4. 倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式包括：- sin 2A = 2 sin A cos A- cos 2A = cos²A - sin²A = 2 cos²A - 1 = 1 - 2 sin²A- tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan²A)5. 半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式如下：- sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]- cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]- tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]6. 和差化积公式：和差化积公式可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积。

高中数学三角函数备考攻略

高中数学三角函数备考攻略三角函数是高中数学中的重要概念，准确理解和掌握三角函数知识，对于高中数学考试至关重要。

本文将为大家提供一些备考攻略，帮助大家更好地应对三角函数相关的考试题目。

一、基本概念复习三角函数的基本概念包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在备考过程中，首先需要复习这些基本概念，并掌握它们的定义和性质。

可以通过例题来加深理解，同时注意记忆常见的三角函数值和特殊角度的性质。

二、角度制与弧度制的转换在数学中，角度可以采用角度制或弧度制来表示。

备考过程中，要掌握如何在这两种制度之间进行转换。

同时，要明确角度对应的三角函数值与弧度对应的三角函数值的关系，以及它们的图像特点。

三、常见三角函数的性质和公式备考中要熟练掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和公式，包括图像的性质、周期性和奇偶性等。

同时，要了解它们之间的基本关系，如正切函数与正弦函数和余弦函数的关系。

四、三角函数的图像与变换掌握三角函数的图像特点对备考非常重要。

了解正弦函数、余弦函数和正切函数的图像变换规律，如平移、伸缩和反转等，能够帮助我们更好地理解和解答相关的题目。

五、三角函数的应用备考过程中要了解三角函数在实际问题中的应用。

例如，应用正弦函数的模型解决角度的测量问题，应用余弦函数的模型解决力的分解问题，应用正切函数的模型解决角的比较问题等。

通过解决实际问题，能够提高对三角函数的理解和应用能力。

六、习题训练与真题解析备考过程中要进行大量的习题训练，并结合真题进行解析。

可以选择一些经典习题进行针对性训练，同时分析真题中常考的一些考点，了解出题的规律和解题技巧。

通过习题的训练和真题的解析，可以提高应试能力和应对各种题型的能力。

七、总结和归纳备考结束后，要进行总结和归纳，梳理知识点和考点，将重要的公式和性质记忆牢固。

同时，可以制作思维导图或总结表格，方便复习和回顾。

在总结和归纳的过程中，可以再次强化对三角函数的理解和记忆。

总结：在备考高中数学三角函数时，需要注重掌握基本概念、性质和公式，熟练掌握各种角度的三角函数值，熟悉图像特点和变换规律，并通过大量的习题训练和真题解析提高应试能力。

三角函数最值问题的十种常见解法

三角函数最值问题的十种常见解法解法一：利用图像性质求解利用三角函数的图像性质，首先将函数图像画出来，观察函数在指定区间上的最大值和最小值所对应的点的坐标。

解法二：使用导数求解通过对三角函数进行求导，然后将导数等于零进行求解，可以得到函数的关键点，进而通过函数的变化趋势确定最值。

解法三：使用平均值不等式求解根据平均值不等式的性质，可以得到三角函数的最值。

例如，对于正弦函数sin(x)，可以利用平均值不等式得到最值。

解法四：使用二次函数的性质求解将三角函数转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求解最值。

例如，可以将正弦函数sin(x)转化为二次函数的形式。

解法五：使用三角函数的周期性质求解三角函数的周期性质可以帮助我们确定最值所在的区间。

通过观察函数的周期性质，可以得到函数的最大值和最小值。

解法六：使用三角函数的反函数求解利用三角函数的反函数，可以将问题转化为求解反函数的最值问题。

通过对反函数的最值进行求解，可以得到原函数的最值。

解法七：使用三角函数的恒等式求解利用三角函数的恒等式，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。

例如，可以利用和差公式将三角函数的角度转化为相对简单的形式。

解法八：使用三角函数的基本关系求解利用三角函数的基本关系，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。

例如，可以利用正切函数和余切函数的基本关系求解最值。

解法九：使用三角函数的积分求解通过对三角函数进行积分，可以得到函数的积分表达式，并通过积分表达式求解最值。

例如，可以通过对正弦函数进行积分得到函数的积分表达式。

解法十：使用泰勒级数展开求解利用泰勒级数展开，可以将三角函数转化为幂级数形式，进而求解最值问题。

通过计算前几项幂级数的和，可以得到函数的近似值，并进一步求解最值。

高考数学中的解三角函数题技巧

高考数学中的解三角函数题技巧数学是高考中最重要的科目之一，而解三角函数题更是数学中的重点和难点之一。

在高考中，解三角函数题往往可以占到总分数的30%，因此，我们必须掌握一些解题技巧，才能在高考中取得好的成绩。

下面，我将分享一些解三角函数题的技巧，希望对大家有所帮助。

一、基本得数解三角函数题，首先需要掌握的就是基本的三角函数值，包括正弦、余弦、正切等。

这是解题的基础，也是高考中比较容易考察的内容。

因此，我们需要利用课余时间逐渐掌握这些基本的三角函数值。

二、替换在解三角函数题中，有些题目比较复杂，难以直接求解。

这时，我们可以通过替换变量的方式简化问题。

例如，如果题目中出现了$3\sin x-\cos x=2$，我们可以令$y=\sin x$，然后将原式转化为$3y-4y^2=2$。

这样，我们就可以利用常规的求解方法来求解该方程，最后再回归到变量$x$中，得到最终的答案。

通过替换变量，我们可以将原本复杂的问题简化为易于处理的问题。

三、换元除了替换变量以外，还可以通过换元的方式简化问题。

例如，如果我们遇到了$2\cos x+\sqrt{3}\sin x=1$这样的方程，我们可以尝试利用恒等式($\cos^2 x+\sin^2 x=1$)来进行换元。

具体来说，我们可以将该式变形为$2\cos x+\sqrt{3}(1-\cos^2 x)=1$，然后令$y=\cos x$，得到$2y+\sqrt{3}(1-y^2)=1$。

这样，我们就可以利用常规的求解方法来求解方程。

通过换元，我们可以将复杂的问题转化为易于处理的问题。

四、化简有时，在解题过程中，我们会遇到较为繁琐的式子，难以进行进一步的运算。

这时，我们可以尝试通过化简的方式来简化问题。

例如，如果题目中出现了类似于$\frac{\cos x}{\sin x+\sqrt{3}}$这样的式子，我们可以将分母进行有理化，得到$\frac{\cos x}{\sinx+\sqrt{3}}\times\frac{\sin x-\sqrt{3}}{\sin x-\sqrt{3}}=\frac{\cosx(\sin x-\sqrt{3})}{\sin^2 x-3}$。

三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题

浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（）。

高考三角大题解法大全

高考数学中的三角大题是指综合运用三角函数、三角恒等式和三角方程等知识进行解答的题目。

以下是一些常见的三角大题解法：
1. 利用三角函数的性质：
-利用正弦定理、余弦定理、正切定义等三角函数的性质，建立方程并求解未知量。

-根据三角函数的周期性、对称性等特点，将复杂的三角函数表达式转化为简化形式，进而进行计算。

2. 运用三角恒等式：
-根据三角恒等式中的等价关系，将复杂的三角函数表达式化简成易于计算的形式。

-利用和差角、倍角、半角等三角恒等式，将复杂角度的三角函数表达式转化为简单角度的三角函数表达式。

3. 转化为三角方程：
-将三角函数表达式与已知条件相比较，通过建立等式或方程组，求解未知量的值。

-利用三角方程的性质，如周期性、对称性、解集范围等，求得满足条件的解。

4. 利用图形性质：
-利用三角函数图像在坐标平面上的性质，通过观察和分析图像，推导出所需的结果。

-利用几何图形的性质，如正多边形、扇形、三角形等的面积、角度关系等，求解相关问题。

5. 利用向量方法：
-利用向量的性质，将三角函数表达式转化为向量表达式，通过向量运算求解问题。

-利用向量的共线、垂直等关系，建立方程组求解未知量。

以上是一些常见的三角大题解法，但需要根据具体题目的要求和条件灵活运用，并注意合理化简和化繁为简的思路。

在备考过程中，多做相关的练习题和真题，加深对不同解法的理解和掌握，提高解题能力。

高中数学解题技巧之三角函数方程求解

高中数学解题技巧之三角函数方程求解在高中数学中，三角函数方程是一个重要的考点。

解三角函数方程需要运用一些特定的技巧和方法，本文将重点介绍一些常见的解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生或他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、基本概念回顾在解三角函数方程之前，我们首先需要回顾一些基本概念。

三角函数方程是指含有三角函数的方程，如sin(x) = 0、cos(2x) = 1等。

在解三角函数方程时，我们通常需要找到方程的解集，即满足方程的所有x的取值。

二、基本解的求解解三角函数方程的第一步是求解基本解。

基本解是指满足方程的最小正周期内的解。

对于sin(x) = 0这样的方程，其最小正周期为2π，因此基本解为x = 0、x = π。

对于cos(2x) = 1这样的方程，其最小正周期为π，因此基本解为x = 0、x = π/2。

三、一般解的求解在求得基本解之后，我们需要进一步求解一般解。

一般解是指满足方程的所有解。

对于三角函数方程，一般解可以通过基本解加上周期的整数倍来表示。

例如，对于sin(x) = 0这样的方程，一般解可以表示为x = nπ，其中n为整数。

对于cos(2x) = 1这样的方程，一般解可以表示为x = nπ/2，其中n为整数。

四、应用举例下面我们通过一些具体的例题来说明三角函数方程的求解技巧。

例题1：求解sin(x) = 1的所有解。

解析：根据基本解的求解方法，我们知道sin(x) = 1的基本解为x = π/2。

由于sin函数的最小正周期为2π，因此一般解可以表示为x = π/2 + 2nπ，其中n为整数。

所以，sin(x) = 1的所有解为x = π/2 + 2nπ，其中n为整数。

例题2：求解cos(2x) = -1的所有解。

解析：根据基本解的求解方法，我们知道cos(2x) = -1的基本解为x = π/4。

由于cos函数的最小正周期为2π，因此一般解可以表示为x = π/4 + nπ，其中n为整数。

高中数学解决三角函数问题的五种方法(带答案)

高中数学解决三角函数问题的五种方法（带答案）方法一：角度法1. 计算给定角度的三角函数值。

2. 利用已知三角函数值的关系进行运算或计算未知三角函数值。

3. 根据问题给出的条件，确定需要解决的三角函数问题类型，如求角度、边长等。

4. 根据已知和未知的三角函数值，利用三角函数的简单性质和公式解决问题。

5. 最后，确保结果符合问题的要求，有必要的话进行合理的近似处理。

方法二：等式法1. 将问题中的三角函数转换成等式形式。

2. 根据已知的等式，利用等式的性质和公式进行推导和运算。

3. 通过求解等式，得到未知三角函数值或角度。

4. 判断结果是否符合问题的要求，并进行必要的近似处理。

方法三：图像法1. 根据给定的角度，画出三角函数图像。

2. 根据图像性质分析问题中的条件，确定需要求解的问题类型。

3. 利用图像，在合适的位置找到所需的三角函数值或角度。

4. 确认结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。

方法四：三角恒等式法1. 根据问题中的条件，利用已知的三角恒等式进行变形和推导。

2. 将问题转化为包含已知三角函数的等式。

3. 通过求解等式，得到所需的三角函数值或角度。

4. 验证结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。

方法五：三角函数特性法1. 根据问题中的条件，利用三角函数的特性进行分析。

2. 根据已知的特性，推导出所需的三角函数值或角度。

3. 判断结果是否满足问题要求，如有必要，进行近似处理。

这些方法是解决高中数学中三角函数问题常用的方法。

通过选择合适的解决方法，结合问题中给出的条件，可以有效地解决各种三角函数问题。

请注意，以上所提供的答案仅供参考，具体问题的解决方法可能因具体条件而有所不同。

解决数学问题时，请始终独立做出决策，并确保所引用的内容能够得到确认。

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题，设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3．求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八．数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8．求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九．判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十．分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1）当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2）当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3）当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的6种方法(按题型分类版)

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的 6 种方法（按题型分类版）三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。

其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。

题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。

掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。

1．y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。

解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

应用课本中现成的公式即可： y= tan φ= basin(x+φ )，其中例 1 已知函数 f (x )=2cos x sin(x + π)－3 sin 2x +sin x cos x (1)求函数 f (x )的最小正周期； (2)求 f (x )的最小值及取得最小值时相应的 x 的值； (3)若当 x ∈［ π ， 7π］时，f (x )的反函数为 f －1(x )，求 f -－1(1)的值.12 12解：(1)f (x )=2cos x sin(x + π)－ 3=2cos x (sin x cos π+cos x sin π)－sin 2x +sin x cos x sin 2x +sin x cos x 3 3=2sin x cos x + cos2x =2sin(2x + π)3∴f (x )的最小正周期 T =π (2)当 2x + π=2k π－ π，即 x =k π－ 5π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.3 2 12 (3)令 2sin(2x + π)=1，又 x ∈［ π, 7π］,3 2 2 ∴2x + π∈［ π, 3π］,∴2x + π= 5π，则3 3 2 3 6x = π，故 f -－1(1)= π.4 42．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。

数学解决三角函数问题的六种方法

数学解决三角函数问题的六种方法在数学学习中，三角函数是一项基础而重要的内容。

解决三角函数问题，需要掌握不同的解题方法和技巧。

本文将介绍六种常用的数学解决三角函数问题的方法，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。

方法一：利用定义和基本公式三角函数的定义和基本公式对于解决问题非常重要。

例如，正弦函数的定义是一个直角三角形的斜边与对边之比，可以表示为sinθ = a/c。

利用这个定义和基本公式，我们可以求解一些基本的三角函数值，如sin(30°) = 1/2。

方法二：利用三角函数图像特征三角函数的图像特征可以帮助我们更好地理解和应用它们。

例如，正弦函数的图像是一条连续的波形，取值范围在[-1, 1]之间。

利用这个特征，我们可以根据给定的角度，通过观察三角函数图像来确定函数值。

方法三：利用三角函数的周期性质三角函数具有周期性的特点，即sin(θ + 2π) = sinθ，cos(θ + 2π) =cosθ。

利用这个周期性质，我们可以将任意角度转换成特定区间范围内的角度，从而简化计算。

方法四：利用三角函数的恒等变换三角函数的恒等变换是一种将一个三角函数表示为其他三角函数的等价形式。

例如，sin(θ) = cos(π/2 - θ)。

利用这种恒等变换，我们可以将复杂的三角函数问题转化为简单的形式，从而更便于求解。

方法五：利用特殊角的三角函数值特殊角（如0°、30°、45°、60°、90°等）具有特殊的三角函数值，这些值是我们在计算过程中常常用到的。

例如，sin(0°) = 0，cos(90°) = 0，tan(45°) = 1等。

熟记这些特殊角的三角函数值，可以大大简化计算过程。

方法六：利用三角函数的性质和定理三角函数具有一系列的性质和定理，如和差化积公式、倍角公式、半角公式等。

利用这些性质和定理，我们可以根据已知条件，推导出新的关系式，从而求解三角函数问题。

浅谈高中三角函数解题方法

浅谈高中三角函数解题方法三角函数是高中数学的重要部分，它涉及到数学和物理领域的大量问题。

高中三角函数解题方法包括找到三角函数，解三角函数方程，化简三角函数表达式等等。

在本文中，我们将详细介绍几种高中三角函数解题方法。

1. 找到三角函数在解三角函数题目时，我们需要首先确定问题中涉及的三角函数类型，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

一旦确认了三角函数类型，我们就可以使用相关的公式和技巧来解决各种题目。

例如，如果我们要解决以下问题：$\sin(2x) =\dfrac{1}{2}$我们可以使用反正弦函数解决。

首先，我们知道因此，可以得到以下两个解：$2x = 30^{\circ} + 360^{\circ}n$或其中 n 为整数。

解三角函数方程是另一个重要的高中三角函数解题技巧。

为了解决三角函数方程，我们需要找到三角函数周期的性质，或者通过代换或转化来将其转化为可解的方程。

我们可以通过用 $\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$ 来消去分母：$(1 + \sin x)(1 - \sin x) = \cos x (1 + \sin x)$$cosx − sinx · cosx = 1$再用代换 $t = \sin x$，则：$t^{2} - t - 1 = 0$解得 $t = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$，再用 $\sin x = t$ 解得 $x = 72^{\circ} + 360^{\circ}n$ 或 $x = 180^{\circ} - 72^{\circ} + 360^{\circ}n$。

其中 n 为整数。

3. 化简三角函数表达式化简三角函数表达式是高中三角函数解题的另一个重要技巧。

我们可以使用三角恒等式简化表达式，例如：通过使用这些三角恒等式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，从而更好地理解问题。

总结高中三角函数解题涉及到多种技巧和方法，需要对不同的三角函数类型和三角恒等式有着深刻的理解。