幂的四则运算综合

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指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为防止讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n na a =()m n m m n na a a ==-1m nm naa=3．运算法则当a ＞0,b ＞0时有：〔1〕nm nma a a +=⋅；〔2〕()mn nma a =；〔3〕()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；〔4〕()mm m b a ab =.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.要点二、根式的概念和运算法则1．n 次方根的定义：假设x n=y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，00n =. 2．两个等式〔1〕当1n >且*n N ∈时，nnaa =；〔2〕⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能防止出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数〔如15/4〕，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式： a 2－b 2＝〔a －b 〕〔a ＋b 〕，a 3－b 3＝〔a －b 〕〔a 2＋ab ＋b 2〕，a 3＋b 3＝〔a ＋b 〕〔a 2－ab ＋b 2〕，〔a ±b 〕2＝a 2±2ab ＋b 2，〔a ±b 〕3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：〔1〕形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．〔2〕为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a <，则对于一些函数，比方(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了。

幂级数的运算

微积分Ⅱ
Calculus Ⅱ
第十章无穷级数
§10.1 无穷级数的概念 §10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
幂级数的运算
一四则运算

设幂级数 an xn , bn xn 收敛半径分别为 R1, R2
n0 n!
例

求幂级数 ( n 1 ) x n 的和函数。
n1

解:
设 s(x) (n 1)xn , | x | 1
n1
两边积分得
x

s(x)dx
x
(n 1)xndx

xn1
x2
0
n1 0
n1
1 x
两边求导得
s(x)

x2

1 x
n1 (n 1)! n0 n!
即
s(x) s(x), s(x) 1
s(x)
积分得
x s(x) dx
x
dx
0 s(x)
0
ln s(x) ln s(0) x
因为
s(0) 1,
所以因此得
s(x) ex
x n e x , x ( , )
n0
n0
记 r min{R1, R2 }, 则当 x (r, r )时，有

1) an xn bn xn (an bn )xn
n0
n0
n0

2) an xn bn xn cn xn
n0
n0
n0

第四节幂级数

lim
n
an1 xn1 an xn
l x
则由比值判别法有
13
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(1)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
an xn 则绝对收敛;
n0
(2)若l x 1,即xFra bibliotek1 (l
0),
l
an xn 发散;
n0
(3)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
2
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一. 函数项级数的概念
设 un ( x) (n 1, 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
un ( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对 x0 I , 若常数项级数 un ( x0 ) 收敛, x0 称为其收 n1
我们称这种函数项级数为幂级数.
7
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二.幂级数及其收敛性
形如 an xn a0 a1 x an xn
(9.4.1)
n0
与 an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0
(9.4.2)
的级数, 分别称为x的幂级数与(x - x0)的幂级数. 其中
S '( x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
(3) 设幂级数 an xn 的和函数为S( x), 收敛半径为R, 则S(x) n0
在 (R, R) 内可积, 且
x s( x)dx
0
x 0
an xndx
n0

指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n na a =()m n m m n na a a ==-1m nm naa=3．运算法则当a ＞0,b ＞0时有：（1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm m b a ab =.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.要点二、根式的概念和运算法则1．n 次方根的定义：若x n=y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，00n =. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，nnaa =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式： a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了。

幂的运算(知识总结)

幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。

用式子表示为：nm nma a a -=÷。

(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。

) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。

三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数）注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算指数运算种类同底数幂乘法乘法加法幂的乘方乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。

用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。

第三节、幂级数-精品文档62页

a(xx)n aXn
n
0
n
n0
n0
n
Sn(x) akxk a 0 a 1 x a n x n ,
k0

称为axn n n1
的部分和.
当幂级数收敛时, 由
li(S m (x)S (x) )0
n n
可知, 不论“和函数”多么复杂, 我们可以用多
证明

(1)
n0
a n
xn收 0
敛
,ln i m anx0n0,
M, 使a n x 得 0 nM (n 0 ,1 ,2 , )
anxn
anx0n
xn x0n

an x0n

x x0
n

M
n
x x0
当 x 1时, x0
等比级数 Mx
n
收敛 ,
n0 x0

n1
a
n
x
n
是否也具有上述现象？
2.收敛性:
定理 1 (Abel 定理)

若幂级 anxn 在数 xx0（0x 0）处 , n0
则对任 |x|何 |x| 满的 x足值幂 ,级数.绝 0 若幂 an 级 xn 在数 xx0 处发则散对 n 0 任何|x 满 ||x足 |的 x值幂 ,级数 . 0
幂级数
一、幂级数的定义二、幂级数的收敛性三、幂级数的运算
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设 un( x) 是定义在 I R 上的函数列 , 则

un( x) u1( x) u2( x) un( x)

指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：3．运算法则当a＞0,b＞0时有：（1）；（2）；（3）；（4）.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.要点二、根式的概念和运算法则1．n次方根的定义：若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根，即x=.n为奇数时， y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.2．两个等式（1）当且时，；（2）要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．②如果，则是个常量，就没研究的必要了。

教学设计4：2.1.1 指数与指数幂的运算第二课时

2.1.1 指数与指数幂的运算第2课时导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=352)(a =a 2=a510;②8a =24)(a =a 4=a 28; ③412a =443)(a =a 3=a 412; ④210a=225)(a =a 5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =n a1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,n mx=x nm .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m 的n 次方根是x nm . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么a m 的n 次方根可表示为na m =a n m ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =n a1(a≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是a mn =n ma(a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ), （3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例思路1例1求值:①832;②2521-③(21)-5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4;②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5-1=51; ③(21)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)-3=827.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(-3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8. 活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n 83-)8=m841⨯n883⨯-=m 2n -3=32n m . 点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练求值:(1)33·33·63;(2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(nm =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4计算下列各式: （1）(125253-)÷425; （2）322aa a •(a ＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解：（1）原式=(2531-12521)÷2541=(532-523)÷521 =52132--52123-=561-5=65-5;（2）322a a a •=32212aa a •=a32212--=a 65=65a .思路2例1比较5,311,6123的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为5=635=6125,311=6121,而125＞123＞121,所以6125>6123>6121.所以5>6123>311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值:(1)432981⨯;(2)23×35.1×612.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981⨯=421344)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)432981⨯=［34×(334)21］41=(3324+)41=(3314)41=367=633;(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311++·3613121++=2×3=6.例3计算下列各式的值: （1）［(a 23-b 2)-1·(ab -3)21(b21)7］31;（2）1112121-+-++--a a a aa;(3)14323)(---÷a b b a.活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.解：(1)原式=(a23-b 2)31-(ab -3)61·(b 21)37=a 21b32-a 61b21-b 67=a6121+b672132+--=a 32b 0=a 32;另解：原式=(a 23b -2a 21b 23-·b 27)31 =(a2123+b27232+--)31=(a 2b 0)31=a 32;（2）原式=11111-+-++a aa aa =)1(1-+a a a =)1(11-+-a a a a=)111(1-+-a a a= )1(2--a a =)1(2a a a-;（3）原式=（a 21b32）-3÷(b -4a -1)21=a23-b -2÷b -2a21-=a2123+-b -2+2=a -1=a1. 例4已知a ＞0,对于0≤r≤8,r ∈N *,式子(a )8-r ·)1(4ar能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a 的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：(a )8-r ·)1(4ar=a 28r -·a4r -=a448rr --=a4316r -.16-3r 能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂.点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例5已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x . （1）求［f （x ）］2－［g （x ）］2的值；（2）设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求)()(y x g y x g -+的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］=（e x －e -x +e x +e -x ）（e x －e -x －e x －e -x ）=2e x （－2e -x ）=－4e 0=－4; 另解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=(e x -e -x )2-(e x +e -x )2 =e 2x -2e x e -x +e -2x -e 2x -2e x e -x -e -2x =-4e x -x=-4e 0=-4;(2)f （x ）·f （y ）=（e x －e -x ）（e y －e -y ）=e x +y+e -(x+y)－e x -y －e -(x -y)=g （x+y ）－g （x －y ）=4, 同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8, 得方程组⎩⎨⎧=++=+8,y)-g(x y)g(x 4,y)-g(x -y)g(x 解得g （x+y ）=6,g （x －y ）=2.所以)()(y x g y x g -+=26=3.点评：将已知条件变形为关于所求量g （x+y ）与g （x －y ）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 知能训练课本P 54练习 1、2、3. ［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列运算中,正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(-a 2)3=(-a 3)2 C.(a -1)0=0 D.(-a 2)3=-a 6(2)下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a （各式的n ∈N ,a ∈R ）中,有意义的是( )A.①②B.①③C.①②③④D.①③④ (3)24362346)()(a a •等于( )A.aB.a 2C.a 3D.a 4(4)把根式－232)(--b a 改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a -b)52- B.-2(a -b)25-C.-2(a52--b 52-) D.-2(a25--b 25-)(5)化简（a 32b 21）（-3a 21b 31）÷（31a 61b 65）的结果是( )A.6aB.-aC.-9aD.9a2.计算：(1)0.02731-－（－71）-2+25643－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x =4,5y =2,则52x -y =________.3.已知x+y=12,xy=9且x ＜y,求21212121yx y x +-的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：21212121yx y x +-=))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=yx yy x x -+-21212.因为x+y=12,xy=9,所以(x -y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为x ＜y,所以x -y=-2×33=-63.所以原式36612--=33-. 拓展提升1.化简111113131313132---+++++-x xx x x x x x .活动：学生观察式子特点,考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到: x -1=(x31)3-13=(x 31-1)·(x 32+x 31+1); x+1=(x31)3+13=(x 31+1)·(x 32-x 31+1);x -x 31=x 31［(x31)2-1］=x 31(x 31-1)(x 31+1).构建解题思路教师适时启发提示.解：111113131313132---+++++-x xx x x x x x =111)(11)(3131323131333131323331---+++++-x x x x x x x x x=)1()1)(1(1)1)(1(1)1)(1(31313131313132312132313231-+--++-++++++-x x x x x x x x x x x x x=x 31-1+x 32-x 31+1-x 32-x 31=-x 31. 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a 21-b 21)(a 21+b 21)=a -b, (a 21±b21)2=a±2a 21b 21+b,(a 31±b 31)(a32 a 31b 31+b 32)=a±b.2.已知a 21+a 21-=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a -1;(2)a 2+a -2;(3)21212323----aa a a .解：(1)将a 21+a21-=3,两边平方,得a+a -1+2=9,即a+a -1=7;(2)将a+a -1=7两边平方,得a 2+a -2+2=49,即a 2+a -2=47; (3)由于a 23-a23-=(a21)3-(a 21-)3, 所以有21212323----aa a a =2121212112121))((-----++-aa a a a a a a =a+a -1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值. 课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn=n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n-=m na 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ),②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ),③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).(4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(a n )n m =n mn a ⨯=a m 来计算.作业课本P 59习题2.1A 组 2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.。

同底数幂四则运算练习题

同底数幂四则运算练习题一、同底数幂的加法运算1. 计算：$2^3 + 2^3$2. 计算：$5^2 + 5^2 + 5^2$3. 计算：$3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4$4. 计算：$4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5$5. 计算：$10^2 + 10^2 + 10^2 + 10^2 + 10^2 + 10^2$二、同底数幂的减法运算1. 计算：$2^5 2^4$2. 计算：$3^6 3^5 3^5$3. 计算：$4^7 4^6 4^6 4^6$4. 计算：$5^8 5^7 5^7 5^7 5^7$5. 计算：$6^9 6^8 6^8 6^8 6^8 6^8$三、同底数幂的乘法运算1. 计算：$2^2 \times 2^3$2. 计算：$3^3 \times 3^4$3. 计算：$4^4 \times 4^5$4. 计算：$5^5 \times 5^6$5. 计算：$6^6 \times 6^7$四、同底数幂的除法运算1. 计算：$2^5 \div 2^3$2. 计算：$3^7 \div 3^4$3. 计算：$4^9 \div 4^6$5. 计算：$6^{13} \div 6^{10}$五、混合运算1. 计算：$2^3 + 2^4 2^2$2. 计算：$3^4 \times 3^3 \div 3^2$3. 计算：$4^5 + 4^6 4^4 \times 4^3$4. 计算：$5^7 \div 5^6 + 5^5 5^4$5. 计算：$6^8 \times 6^7 \div 6^6 6^5 + 6^4$六、特殊底数幂的运算1. 计算：$\left(\frac{1}{2}\right)^4 +\left(\frac{1}{2}\right)^4$2. 计算：$\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^5$3. 计算：$\left(\frac{3}{4}\right)^6 \times\left(\frac{3}{4}\right)^6$4. 计算：$\left(\frac{4}{5}\right)^7 \div\left(\frac{4}{5}\right)^7$5. 计算：$\left(\frac{5}{6}\right)^8 +\left(\frac{5}{6}\right)^8 \left(\frac{5}{6}\right)^8$七、指数比较1. 比较：$2^7$ 和 $2^8$2. 比较：$3^5$ 和 $3^6$3. 比较：$4^4$ 和 $4^3$4. 比较：$5^9$ 和 $5^{10}$八、指数表达式简化1. 简化表达式：$2^3 \times 2^4 \div 2^2$2. 简化表达式：$3^5 + 3^5 3^4$3. 简化表达式：$4^6 \div 4^5 \times 4^4$4. 简化表达式：$5^7 5^6 + 5^5$5. 简化表达式：$6^8 + 6^7 \div 6^6$九、指数方程求解1. 求解方程：$2^x = 2^3$2. 求解方程：$3^y = 3^4$3. 求解方程：$4^z = 4^5$4. 求解方程：$5^a = 5^6$5. 求解方程：$6^b = 6^7$十、指数不等式求解1. 解不等式：$2^x > 2^2$2. 解不等式：$3^y < 3^5$3. 解不等式：$4^z \geq 4^4$4. 解不等式：$5^a \leq 5^7$5. 解不等式：$6^b > 6^3$十一、应用题1. 如果一个数的同底数幂是64，另一个数的同底数幂是16，这两个数相乘后的同底数幂是多少？2. 一个数的同底数幂是81，另一个数的同底数幂是27，这两个数相除后的同底数幂是多少？3. 一个数的同底数幂是125，另一个数的同底数幂是25，这两个数相加后的同底数幂是多少？4. 一个数的同底数幂是256，另一个数的同底数幂是64，这两个数相减后的同底数幂是多少？5. 一个数的同底数幂是8，另一个数的同底数幂是2，这两个数进行混合运算（加、减、乘、除）后的同底数幂是多少？答案一、同底数幂的加法运算1. $2^3 + 2^3 = 2^4 = 16$2. $5^2 + 5^2 + 5^2 = 3 \times 5^2 = 75$3. $3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4 = 4 \times 3^4 = 324$4. $4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5 = 5 \times 4^5 = 2048$5. $10^2 + 10^2 + 10^2 + 10^2 + 10^2 + 10^2 = 6 \times 10^2 = 600$二、同底数幂的减法运算1. $2^5 2^4 = 2^4(2 1) = 2^4 = 16$2. $3^6 3^5 3^5 = 3^5(3 2 1) = 3^5 = 243$3. $4^7 4^6 4^6 4^6 = 4^6(4 3 2 1) = 4^6 = 4096$4. $5^8 5^7 5^7 5^7 5^7 = 5^7(5 4 3 2 1) = 5^7 = 78125$5. $6^9 6^8 6^8 6^8 6^8 6^8 = 6^8(6 5 4 3 2 1) = 6^8 = 1679616$三、同底数幂的乘法运算1. $2^2 \times 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32$2. $3^3 \times 3^4 = 3^{3+4} = 3^7 = 2187$3. $4^4 \times 4^5 = 4^{4+5} = 4^9 = 262144$4. $5^5 \times 5^6 = 5^{5+6} = 5^{11} = 48828125$5. $6^6 \times 6^7 = 6^{6+7} = 6^{13} = 130691232$四、同底数幂的除法运算1. $2^5 \div 2^3 = 2^{53} = 2^2 = 4$2. $3^7 \div 3^4 = 3^{74} = 3^3 = 27$3. $4^9 \div 4^6 = 4^{96} = 4^3 = 64$4. $5^{11} \div 5^8 = 5^{118} = 5^3 = 125$5. $6^{13} \div 6^{10} = 6^{1310} = 6^3 = 216$五、混合运算1. $2^3 + 2^4 2^2 = 2^2(2^2 + 2^2 1) = 2^2 \times 7 = 4 \times 7 = 28$2. $3^4 \times 3^3 \div 3^2 = 3^{4+32} = 3^5 = 243$3. $4^5 + 4^6 4^4 \times 4^3 = 4^5(1 + 4 4^2) = 4^5\times 9 = 1024 \times 9 = 9216$4. $5^7 \div 5^6 + 5^5 5^4 = 5^1 + 5^5 5^4 = 5 + 3125 625 = 3555$5. \(6^8 \times 6^7 \div 6^6 6^5。

幂的乘方公开课获奖课件

幂的乘方法则应用示范
01
02
03
幂的乘方法则
幂的乘方即指数相乘，即 $(a^m)^n = a^{m times n}$。
示范解题步骤
通过具体的数学题目，展示幂的乘方法则的应用过程，并强调解题的规范性和准确性。
易错点提示
指出学生在应用幂的乘方法则时容易出现的错误，并给出相应的纠正方法。
复杂表达式简化技巧
03
幂运算性质在幂乘方中应用
同底数幂相乘原理讲解
同底数幂相乘的定义
当底数相同时，指数相加，即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
与实数运算的对比
将幂运算与实数运算进行对比，强调幂运算的特殊性和重要性。
举例说明
通过具体的数学例子，如$2^3 times 2^4$，来详细解释同底数幂相乘的原理。
通过图像理解幂乘方意义
通过观察幂函数图像的变化，理解幂的乘方实际上是底数不变，指数相乘的过程。利用图像可以直观地比较不同幂函数之间的大小关系，加深对幂乘方概念的理解。
通过图像还可以解释幂的乘方运算法则，如$(a^m)^n=a^{m times n}$等。
图形化解题策略分享
在解决幂的乘方问题时，可以先画出相应的幂函数图像，帮助理解题目中的条件和要求。
再相乘。
推导过程详细解析
利用同底数幂乘法推导
首先，我们可以将幂的乘方表示为多个同底数幂相乘的形式，然后根据同底数幂乘法的法则，将指数相加得到新的指数。
利用乘法公式推导
另外，我们也可以利用乘法公式，如二项式定理等，将幂的乘方展开成多项式形式，然后通过比较系数得到新的指数。
利用数学归纳法推导
对于幂的乘方的一般形式，我们可以使用数学归纳法来证明其正确性。首先验证基础情况，然后假设当指数为$n$时成立，再证明当指数为$n+1$时也成立。

微分的四则运算法则

微分的四则运算法则微分是数学中的一个重要分支，它以求导数为主要内容，是数学分析领域中最基本、最重要的内容之一。

在微分学中，微分的四则运算法则是非常重要的基础知识之一，本文将深入介绍微分的四则运算法则。

一、常数函数求导在微分学中，常数函数是指一个函数在定义域上的函数值都是一个确定的常数，如f(x) = 3或f(x) = 1/2等。

对于常数函数f(x) = c，其导数就是0，即f'(x) = 0。

二、幂函数求导幂函数是指f(x) = x^n的形式，其中n是一个正整数。

对于幂函数f(x) = x^n，其导数就是f'(x) = nx^(n-1)。

例如f(x) = x^3，则f'(x) = 3x^2。

三、指数函数求导指数函数是指f(x) = a^x的形式，其中a是一个正实数。

对于指数函数f(x) = a^x，其导数是f'(x) = a^xlna，其中lna是以e为底的自然对数函数。

例如f(x) = 2^x，则f'(x) = 2^xln2。

四、对数函数求导对数函数是指f(x) = loga(x)的形式，其中a是一个正实数且不等于1。

对于自然对数函数f(x) = ln(x)，它的导数就是f'(x) = 1/x。

当a不等于e 时，对数函数f(x) = loga(x)的导数可以用换底公式转化为f'(x) =1/(xlna)。

例如f(x) = log2(x)，则f'(x) = 1/(xln2)。

五、三角函数求导在微分学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

对于正弦函数和余弦函数，它们的导数分别是它们的导函数cos(x)和-sin(x)，即(f(x))' = cos(x)和(g(x))' = -sin(x)。

对于正切函数f(x) = tan(x)，它的导数是f'(x) = sec^2(x)，其中sec(x)是secant函数，是cos(x)的倒数。

幂级数教案

两个分界点关于原点对称（图7－4－1）.至此我们可得到如下重要推论:推论 1 如果幂级数不是仅在一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必存在一个确定的正数存在, 使得（1）当时, 幂级数绝对收敛；（2）当时, 幂级数发散；（3）当时, 幂级数可能收敛, 也可能发散.我们把此正数称作幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛区间.若幂级数的收敛域为 ,则),(R R -⊆⊆D ],[R R -即幂级数的收敛域是收敛区间与收敛端点的并集.4、特别地, 如果幂级数只在处收敛, 则规定收敛半径 , 此时的收敛域为只有一个点；如果幂级数对一切都收敛, 则规定收敛半径 , 此时的收敛域为 . 5、幂级数的收敛半径求法定理2: 如果幂级数0nn n a x∞=∑系数满足 ∞→n lim |1n na a +|=ρ,则幂级数的收敛半径:R=1/, 0<,, 00, ρρρρ<+∞⎧⎪+∞=⎨⎪=+∞⎩证明:考察幂级数(3)的各项取绝对值所成的级数|a 0|+|a 1x|+|a 2x 2|+…+|a n x n|+ (5)这级数相邻两项之比为:||||11nn n n x x αα++=|n n αα1+|•|x|. 1) 如果∞→n lim |nn αα1+|=ρ(ρ≠0)存在,根据比值审敛法,则: 当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(5)收敛,从而级数(3)绝对收敛; 当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且从某一个n 开始|a n+1x n+1|>|a n x n|,因此一般项 |a n x n|0所以 anxn 0, 从而级数(3)发散,于是收敛半径R= .3、求幂级数∑=1n )1(n n+x n的收敛区间.解: 由于∞→n lim[nn n2)11(+]=e,因此R=1/e.当|x|=1/e 时,由于∞→n lim 2)11(n n+n e 1=∞→n lim n nen ])11([+=e -1/2因此级数的收敛区间为(-1/e,1/e).四、幂级数的运算1. 设幂级数: a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n+…及 b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…分别在区间 (-R,R) 及 (-R ′,R ′) 内收敛, 对于这两个幂级数,可以进行下列四则运算:加法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)+(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+(a 2+b 2)x 2+…+(a n +b n )x n+….减法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)- (b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=(a 0-b 0)+(a 1-b 1)x+(a 2-b 2)x 2+…+(a n -b n )x n+….根据收敛级数的基本性质,上面两式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.乘法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x+(a 0b 2+a 0b 2+a 2b 0)x 2+…+(a 0b n +a 1b n-1+…+ a n-1b 1+a n b 0)x n+…这是两个幂级数的柯西乘积,可以证明上式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.除法:++++++++++n n n n x b x b x b b x x x 22102210αααα=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c n x n+…,假设b 0≠0.为了决定系数c 0,c 1,c 2,…,c n …,可以将级数∑∞=0n nn xb 与∑∞=0n n nx c相乘,并令乘积中各项系数分别等于级数∑∞=0n n nx α中同次幂的系数,即得: a 0=b 0c 0,a 1=b 1c 0+b 0c 1,a 2=b 2c 0+b 1c 1+b 0c 2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由这些方程就可以顺序地求出c 0,c 1,c 2,…c n ,….相除后所得幂级数∑∞=0n n nx c的收敛区间可能比原来两级数收敛区间小.2. 幂级数的和函数性质: 性质1:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内连续；如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在x=R 处左连续（或在x=-R 处有连续）. 性质2:设幂级数∑∞=0n n nx α的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内是可导的,且有逐项求导公式:10()()()nnn n n n n n n S x a x a x na x ∞∞∞-==='''===∑∑∑其中|x|<R, 逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3:设幂级数∑∞=0n n nx α的和函数s(x)在收敛区间 (-R,R)内是可积的,且有逐项积分公式:其中|x|<R,逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例8 求幂级数n x n n n ∑∞=--01)1(的和函数及数项级数n n n 1)1(01∑∞=--的和. 解由例2 （1）的结果知, 幂级数的收敛域为 , 设其和函数为 , 即+-++-+-=-nx x x x x x s nn 1432)1(432)(，)1,1(-∈x 则由逐项可导性, 得+-+-+-='--112)1(1)(n n x x x x sxx +=--=11)(11两边积分, 即得幂级数得和函数为⎰+=+=xx dx xx s 0)1ln(11)(再令和函数中的 , 可得到数项级数的和为 . 例9 求幂级数的收敛区间及和函数. 解（1）由 , 得到收敛半径 .当时, 级数为 , 一般项不趋于０, 因此它发散；当时, 级数为 , 一般项不趋于０, 它也发散；所以幂级数的收敛区间为 . （2）用传统方法求和函数设和函数为:两边由０到积分, 得错误!未找到引用源。

幂级数的和函数

幂级数的和函数一、幂级数的运算：设与0nn n a x∞=⋅∑0n nn bx ∞=⋅∑两个幂级数，收敛半径分别为1R ,2R ,则在它们的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：nnnn n n ax b xλμ∞∞==⋅±⋅∑∑=()n nn n ab x λμ∞=±∑其中λ、μ为常数。

当12R R ≠时，上式的收敛半径为12min{,}R R R =ii 乘法和除法：00nnn n n n n a x b x c x ∞∞∞===⋅=∑∑∑n 1其中011n n n n c a b a b a b −=++⋅⋅⋅+二、和函数：设的收敛半径为R (R>0)，为和函数，则有以下性质成立0nn n a x∞=∑0()nn n S x a x ∞==∑i 和函数在（-R,+R ）内可导，并且有逐项求导公式：10()()n n n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。

ii 由此，和函数S （x ）在（-R,+R ）内任意次可导，并有逐项求导公式：()()()()(1)(2)(1)k n k n n n kn n S x a x n n n n k a x∞=∞−===−−⋅⋅⋅−+∑∑它的收敛半径仍然为R 。

iii 在（-R,+R ）内逐项积分公式成立1000()1xxnn n n n n a S t dt a t dt n ∞∞+====+∑∑∫∫并且，逐项积分后收敛半径也不变iv 若幂级数在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n n n a x ∞=∑（A ） 0lim ()nn x R n S x a R ∞→−==∑lim ()()n n x R n S x a R ∞→+==−∑（B ）可以在[0,R]或者[-R,0]上逐项积分，即：100()1Rn n n a S x dx n ∞+==+∑∫ 010()()1n n n Ra S x dx R n ∞+=−−=−+∑∫（C ）逐项求导之后的级数1()()nn n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑在X=R(-R)处可能发散。

幂的运算方法归纳总结

幂的运算方法总结作为整式乘除的前奏，幂的运算看似非常简单，实际运用起来却灵活多变。

不过，只要熟悉运算的一些基本方法原则，问题就迎刃而解了。

而且通过这些方法原则的学习，不但能使我们熟悉幂的运算，还可得到全面的思维训练，现在对此做一探索。

幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：①am×an=am+n ②(am)n=amn③(ab)m=ambm ④am÷an=am-n只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。

问题1已知a7am=a3a10，求m的值。

思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。

方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。

方法原则：可用公式套一套。

但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。

问题2已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。

思路探索：(x2y)3n中没有xn和yn，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。

因此可简解为，(x2y)3n=x6ny3n=(xn)6(yn)3=26×33=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。

方法原则：整体不同靠一靠。

然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。

思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。

简解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3×25×4=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。

方法原则：逆用公式倒一倒。

当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4已知22x+3－22x+1=48，求x的值。

思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。

次幂是什么意思

次幂是什么意思
次幂又称乘方。

表示一个数自乘若干次的形式，如a自乘n次的幂为a^n，或称a^n为a的n次幂。

a称为幂的底数，n称为幂的指数。

在扩充的意义下，指数n也可以是数、负数，也可以是任意实数或复数。

乘方
一个数都可以看作自己本身的一次方，指数1通常省略不写。

在写分数和负数的n次方时要加括号。

四则运算顺序：先乘方，再括号（先小括号，再中括号，最后大括号），接乘除，尾加减。

计算一个数的小数次方，如果那个小数是有理数，就把它化为（即分数）的形式。

特别的，除0以外的任何数的0次方均等于1。

0的非正指数幂没有意义。

专升本高等数学第一章函数对数函数四则运算法则

专升本高等数学第一章函数对数函数四则运算法则高等数学的第一章是关于函数与极限的内容，其中涉及到函数的四则运算法则和对数函数的性质。

本文将详细介绍这些内容，确保不低于1200字。

函数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法四种运算。

在进行函数的四则运算时，需要注意以下几个原则：1.定义域的确定：在进行函数的四则运算时，首先要确定每个函数的定义域，然后确定运算结果的定义域。

通常情况下，函数的定义域为使得函数有意义的实数集合。

2.加法和减法：对于函数f(x)和g(x)的加法和减法运算，其运算结果为h(x)=f(x)±g(x)。

当f(x)和g(x)的定义域相同时，h(x)的定义域也相同，并且h(x)的取值等于相对应的f(x)和g(x)取值的和或差。

3.乘法：对于函数f(x)和g(x)的乘法运算，其运算结果为h(x)=f(x)×g(x)。

当f(x)和g(x)的定义域相同时，h(x)的定义域也相同，并且h(x)的取值等于相对应的f(x)和g(x)取值的乘积。

4.除法：对于函数f(x)和g(x)的除法运算，其运算结果为h(x)=f(x)÷g(x)，其中g(x)≠0。

要确定h(x)的定义域，需要排除使得g(x)等于0的那些值。

同时，h(x)的取值等于相对应的f(x)和g(x)取值的商。

通过上述原则，我们可以对函数进行四则运算，得到运算结果的定义域和取值。

二、对数函数的性质对数函数是指由指数方程y=a^x(a>0，且a≠1)所确定的函数。

对数函数有以下几个重要的性质：1.定义与性质：自然对数函数y = ln(x)是指数方程y = e^x（e为自然对数的底数）的反函数。

自然对数函数是对数函数中的一种特殊形式，其定义域为正实数集合，值域为实数集合。

2.对数函数的图像：对数函数的图像在一、三象限中是递增幂函数的图像（以其中一点反射对称）。

自然对数函数的图像在二象限中，渐进线为y轴。

3.对数函数的性质：（1）对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。

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