第3次课 第一章 矢量分析(3)

1.3.2. 矢量场的散度 如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A 在点P处的散度，记作
A ndS divA lim
S V 0
V
♥ 一个矢量场的散度是一个标量，可理解为穿过包围单位体 积的闭合表面的通量。因此，人们也习惯地将散度称为通
量源密度。
电磁场与电磁波
1.3 矢量的通量和散度
1.3.2. 矢量场的散度
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1.3 矢量的通量和散度
1.3.2. 矢量场的散度
一个矢量函数A 的梯度是一个标量
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1.3 矢量的通量和散度
1.3.2. 矢量场的散度 散度的基本公式
其中，
为常矢；
为常数； 为标量函数， 为矢量函数。
♥ 值得注意的是：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它 们不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。
积称为矢量场A穿过dS的通量记作
A· = A dS cos Adscos dS
因此，矢量场A穿过整个曲面S的通量为
A dS A cos dS
S S
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1.3 矢量的通量和散度
几点说明： ♥ 开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与面 积元矢量的方向选取有关。 ♥ 闭合曲面的正法线方向规定为由的内部指向外部，即外法 线方向。 ♥ 发出通量线的点称为“源”，吸收通量线的点称为“沟”。 例如，静电场中的正电荷是发出电力线的“源”，负电荷 是吸收电力线的“沟”。 ♥ 穿过整个闭合曲面的总通量等于“源”发出的通量线减去 “沟”吸收的通量线，通量是可叠加的。
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1.3 矢量的通量和散度
1.3.2. 矢量场的散度
(1) 散度的定义
设有矢量场A，在其中任一点P处作一个包含P点
在内的闭合曲面S，设S所限定的体积为ΔV，当体积 ΔV以任意方式缩向P点时，取下列极限:
V 0
A ndS lim
S
V
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1.3 矢量的通量和散度
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
本次课内容
1.3 矢量的通量和散度
1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 矢量线和通量 矢量场的散度 散度值的意义 高斯散度定理
电磁场与电磁波
1.3 矢量的通量和散度
1.3.1 矢量线和通量
♥ 矢量线 —— 为了形象地描述矢量场，通常在矢量场中作一 系列有方向的曲线，该线上每一点的切线方向代表该点矢 量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场的大小。 通量 ——矢量场穿过曲面 的矢量线的总数。
电磁场与电磁波
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1.3 矢量的通量和散度
1.3.4. 高斯散度定理
高斯（Gauss）散度定理 —— 矢量场穿过空间任一闭合曲
面的通量等于该矢量的散度在曲面所包围体积内的体积分。
散度定理搭建了面积分与体积分之间的转换桥梁。
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1.3 矢量的通量和散度
1.3.5. 随堂练习
P32 1.18(1)
电磁场与电磁波
1.3 矢量的通量和散度
1.3.3. 散度值的意义
三种典型的散度值
♥ 对静电场而言，在有电荷存在的点上，散度不为零。并且
散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷。而 对恒定磁场而言，因为不存在磁荷，散度必处处为零。
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1.3 矢量的通量和散度
1.3.3. 散度值的意义 散度可能有三种取值，在P点： 当divA>0时，则该点有发散出通量线的正源； 当divA<0时，则该点有吸收通量线的负源； 当divA=0时，则该点无源；
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1.3 矢量的通量和散度
1.3.1 矢量线和通量 在矢量场A中取一个有向 面元dS及与该面元垂直的单 位矢量n（外法向矢量，如图 所示），则面元矢量表示为： dS = ndS
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A
n

dS
1.3 矢量的通量和散度
1.3.1 矢量线和通量 由于所取的面元dS很小，因此可认为在面 元上各点矢量场A的值相同，A与面元dS的标量