量子力学第2次作业
量子力学第一，第二章作业
1、 束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos2202ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=> （a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
3、由下列两定态波函数计算概率流密度：（1）、11i k r e r ψ=（2）、21i k r e rψ-= 4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？5、（a ）、若已知电子、氢原子和铀原子的动能都等于100 eV , 试计算这些粒子的德布罗意波长。
（b ）、若电子和中子的德布罗意波长都等于1A, 试求它们的速度和动能。
6、一维运动的粒子处于状态(),00,0x Axe x x x λψ-⎧≥=⎨<⎩ 之中，其中0λ>，A 为待求的归一化常数，求粒子坐标的概率分布函数。
7、粒子在一维无限深势阱中运动，势能函数V(x)为:()202a x V x a x ⎧∞>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩求该粒子的定态波函数和能量允许值。
8、推导下式： [][][][])()2)(1()()12()()1()()()()()()2)(1()()12()()1()()()()(22212112222121211212222x n n x n x n n x x x x x n n x n x n n x x x x x x n n n n dx d n n n n n dxdn n n n n n n n n +-++-+-++-++++--=-=+++++-=+=ψψψψψψαψψψψψψψψααα9、设12ψψ，是S-方程的两个解，证明*12d ψψ+∞-∞Ω⎰与时间无关。
10、计算线性谐振子的第一激发态出现在经典禁区之外的概率。
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
量子力学导论作业答案-第02章
[
] ]
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) − (∇ψ 2 ) ⋅ (∇ψ 1* ) + (∇ψ 1* ) ⋅ (∇ψ 2 ) ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 )
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
]
=−
即
2m ∫
2
(ψ
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) ⋅ dS = 0 ， （无穷远边界面上，ψ 1 ,ψ 2 → 0 ）
（1）
（2）
取（1）之复共轭：
−i
（3）
4
似水骄阳
ψ 2 × （3） − ψ 1* × （2）,得
对全空间积分：
−i
2 ∂ * ( ψ 1ψ 2 ) = − ( ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 ) ∂t 2m
−i
2 d 3 * ( ) ( ) d r ψ r t ψ r t = − d 3 r ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 , , 1 2 ∫ ∫ dt 2m
T=
2m ∫
2
d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ
2
（3）
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
ω=
2m
∇ψ * ⋅∇ψ + ψ *Vψ ,
（4）
且能量平均值
E = ∫ d 3r ⋅ω 。
（b）由（4）式，得
⎤ 2 ⎡ ∂ω ⎢∇ ∂ψ ∗⋅∇ψ + ∇ψ * ⋅∇ ∂ψ ⎥ + ∂ψ ∗ Vψ + ψ *V ∂ψ = ∂t 2m ⎢ ∂t ∂t ⎥ ∂t ∂t ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 2 ⎡ ∂ψ ∗ ∂ψ ∂ψ 2 * ⎟ ⎥ ∂ψ ∗ ∂ψ * ⎟ ⎜ ∂ψ ∗ 2 ⎢ ⎜ Vψ + ψ *V = ∇⋅ ∇ψ + ∇ψ − ∇ψ + ∇ψ + ⎟ ⎜ ∂t ⎟⎥ 2m ⎢ ⎜ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝
量子力学——第二章作业参考答案
+
⎛ ⎜ ⎝
∂ψ ∂t
*
Vψ
+
∂ψ ∂t
Vψ
*
⎞ ⎟
，
⎠
（2）
ψ 、ψ * 满足薛定谔方程
i
∂ψ ∂t
=
⎛ ⎜ ⎝
−
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
，
−i
∂ψ * ∂t
=
⎛ ⎜
−
⎝
2
∇2 2m
+V
⎞⎟ψ * ， ⎠
（3） （4）
用 ∂ψ * 乘以（3）式加上用 ∂ψ 乘以（4）式得
∂t
∂t
∂ψ ∂t
Vψ *
dt
s
通常 < 2V2 >≠ 0 ，也就是说在整个区域找到粒子的概率随时间发生变化，概率守恒破缺；
即使 < 2V2 >= 0 ，由（8）式知概率守恒也存在局域破缺除非V2 (r ) = 0
（b）证明如下： 由（a）得
d dt
∫∫∫ d 3rψ τ
*ψ
=
−∫∫ dsi s
j
+
∫∫∫ d 3rψ τ
*
2V2 ψ
第二章作业参考答案
(曾谨言著《量子力学教程》(第二版) 习题 1 P24-P26)
∫ 1.1 证明：（a）能量的平均值 < E >= d 3rψ *Hˆψ ，
哈密顿量 Hˆ = Pˆ 2 2m +V (r ) ，波函数ψ =ψ (r ,t ) ，（1）式变为
（1）
∫ < E >=
d 3r
⎛ ⎜ψ
*
Pˆ 2
+
∂ψ ∂t
上海理工大学大物A2-11第十九章 量子力学基础2作业及期末复习题
(D) -r2Bcos．
5、2107 一电子以 v = 105 m·s-1 的速率，在垂直于均匀磁场的平面内作半径 R = 1.2 cm 的圆周运动，
求此圆周所包围的磁通量． (忽略电子运动产生的磁场，已知基本电荷 e = 1.6×10-19 C，电子质量
B
n
me = 9.11×10-31 kg)
为它所占据的空间内场是均匀的．当此线圈的 pm 与 z 轴平行时，所受磁力矩大小为 M =5×10-9 N·m，方向沿 x 轴负方向；
当此线圈的 pm 与 y 轴平行时，所受磁力矩为零．则空间 A 点处的磁感强度 B 的大小为____________，方向为______________．
12、2133 载有恒定电流 I 的长直导线旁有一半圆环导线 cd，半圆环半径 为 b，环面与直导线垂直，且半圆环两端点连线的延长线与直导线相交， I
14、2769 由质量为 m、电阻为 R 的均匀导线做成的矩形线框，宽为 b，在 t =0 时由静止下
落，这时线框的下底边在 y =0 平面上方高度为 h 处(如图所示)． y =0 平面以上没有磁场；
b
y =0 平面以下则有匀强磁场 B ，其方向在图中垂直纸面向里．现已知在时刻 t = t1 和 t = t2， t = 0
，它在基态的电子组态为
.
【答】
5. （自测提高 18）如果电子被限制在边界 x 与 x +x 之间，x =0.5 Å，则电子动量 x 分量的不确定量近似地为 kg·m／s． (不确定关系式x·p≥h)
【答】
三. 计算题
1. （基础训练 23）已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为 子的概率为最大的位置． 解：
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学(2)答案
作业11 量子物理基础Ⅱ(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子)一. 选择题[ ]1. 直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是(A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验(C) 戴维孙－革末实验(D) 斯特恩－革拉赫实验．[ ]2. 氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为(A) (2，2，1，21-) (B) (2，0，0，21)(C) (2，1，-1，21-)(D) (2，0，1，21)．[ ]3. 粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x <a ，x > a 三个区域发现粒子的概率，则有(A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0．（D)ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． [ ]4. 在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性.(D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性．二. 填空题1.在主量子数n =2，自旋磁量子数21=s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是___2. 在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态：(1) n =2，l =___ __，m l = -1，21-=s m ． (2) n =2，l =0，m l =__ __，21=s m ．(2) n =2，l =1，m l = 0，m s =___ __．3. 在下列给出的各种条件中，哪些是产生激光的条件，将其标号列下： ．(1)自发辐射．(2)受激辐射．(3)粒子数反转．(4)三能极系统．(5)谐振腔． 4. 有一种原子，在基态时n = 1和n = 2的主壳层都填满电子，3s 次壳层也填满电子，而3p 壳层只填充一半．这种原子的原子序数是 ;它在基态的电子组态为： 三. 计算题1. 试求出一维无限深方势阱中粒子运动的波函数x an A x n π=sin)(ψ ( n = 1, 2, 3, …)的归一化形式．式中a 为势阱宽度． 解：2. 已知氢原子的核外电子在1s 态时其定态波函数为 ar a/3100eπ1-=ψ式中 220em ha e π=ε ．试求沿径向找到电子的概率为最大时的位置坐标值．解：参考答案：一. 选择题:1.D 2.C 3. C 【提示】隧道效应4.C二. 填空题:1. 4 2.(1)n =2，l =___1___，m l = -1，21-=s m ． (2)n =2，l =0，m l =__0___，21=s m ．(3)n =2，l =1，m l = 0，m s =1122或- 3. (2) (3 ) (4) (5) 4、15 ;1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 3三. 计算题 1. 解：2. 解：221sin 122()sin()1,2,3n n xA a A an x x a an ψψππψ∞∞∞∞ == =⋅⋅⋅⎰⎰*--归一化条件是：dx＝由此：dx＝推得：故归一化波函数：2210022222221002142()(2)00.52910()r a r r a a e s r r dr w r drw r e w dw d r r e r e dr dr a hr =a =m m eψπεπ---- →+=∝==-==⨯氢原子态的定态波函数为球对称的，在径向区间找到电子的概率为：即： 沿径向对求极大值，令：得：。
量子力学作业题
《量子力学》作业题号及题目教材：曾谨言，《量子力学教程》，科学出版社（2003）（以下简称教材）作业题号：（章节按上课讲义为序）第一章量子力学的历史渊源作业：（无）第二章波函数与Schrödinger方程作业：教材P25-27，1、2、3、5第三章一维势场中的粒子作业：教材P50-52，1、2、3、4、6、10、11第四章力学量用算符表示作业：教材P74-75，1、2、3、4、10、12、14、15、16第五章量子力学的矩阵形式与表象理论作业：教材P142-143，1、2、3、4、6；P175，1第六章守恒量与对称性作业：教材P94-95，1、2、3、4、6、9第七章中心立场作业：教材P115-116，1、3、4、5、12第八章电磁场中粒子的运动作业：教材P126，3第九章自旋与角动量理论初步作业：教材P160-161，1、2、4、7、8第十章微扰论及其他近似方法作业：教材P195，1、2、4；P240，2、3第十一章量子跃迁作业：教材P220-221，1、3、4、6第十二章散射作业：教材P195，6参考书：曾谨言，《量子力学导论》（第二版），北京大学出版社（以下简称参考书）没有教材，使用上书的同学相应的作业题号和题目如下（与教材的题目一样）注：下面的作业题目中，“补充题目”是指布置了的在教材中有而在参考书中没有的作业题目，列出是为了便于只使用参考书的同学。
作业题目：注意：如果公式显示有问题，请安装mathtype5.2第一章 量子力学的历史渊源作业：（无）第二章 波函数与Schrödinger 方程作业：参考书P47-48，1、2、6以及下面题目补充题目：（相应教材P25，3）对于一维自由粒子，（a ）设波函数为()ipx p x ψ= ，试用Hamilton 算符 222222d H p m m dx ==− 对()p x ψ运算，验证 2()()2p p p H x x mψψ=。
量子作业-有答案版本
En = n 2
h2 , n = 1, 2,3 8md 2
2
（提示：非相对论的动能动量关系为 P = 2mEk ） 解：由 n ⋅
λ
2
= d ，由德布罗意关系 p =
( r , t ) 是应该满足什么样的标准条件？ ψ ( r , t ) dτ 的物理含义是什
2
么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是 单值、 有限和连续的；ψ ( r , t ) dτ 表示在 t 时刻
2
r
附近 d τ 体积元中粒子出现的几率。
2、写出定态波函数，定态的特点？ 答：由定态波函数描述的状态称为定态；定态波函数为ψ ( r , t ) = ψ ( r ) exp(− 的特点： （1） 粒子处于定态时能量具有确定的值，即为 E ； （2）粒子处于定态时的几率密度，几率流密度与时间无关。 3、简述玻尔理论的核心思想？ 玻尔假设： （1）定态假设： 电子沿着特定的轨道运动，在这些特殊的轨道上电子处于稳定状态，不向外辐射电磁波； （2）频率条件： 电子由定态向定态 En 跃迁时吸收或辐射频率为ν 的光子，且满足关系式 Em − En = hν （3）轨道角动量量子化假设： 电子只能沿着特定的轨道运动，满足轨道量子化 4、简析波恩关于量子力学的统计解释？ 答：微观粒子的运动状态由波函数描述，波函数的模的平方 Ψ(r , t ) 表示在 t 时刻
1
解得 c =
π
，则ψ =
1 π 1 − ix
1
（2）由
dw( x) d 2 w( x) = 0 ，解得 xm = 0 ，由 < 0 ，故为极大值。即 x = 0 处找到 dx x = xm dx 2 x =0 1
量子力学曾谨严 第2章作业答案
教材P50 ~ 52：2、3、5、6、7、13 2.解：一维无限深势阱中粒子的本征波函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψa x n a x n πsin 2)(，a x <<0 0)(=x n ψ，a x x ><,0计算平均值22cos 1212sin 2)()(0200*a dx a x n x a dx a x n x a dxx x x x aaan n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰ππψψ222220202*223sin 2)()(ππψψn a a dx a x n x a dxx x x x aan n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰（查积分表）因此126112)(2222222a n a x x x x n →∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-π 在经典力学中，粒子处于dx x x +~的概率为a dx ，而2a x =，则有()1222202a a dx a x x x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎰因此当∞→n 时，量子力学结果→经典力学结果。
3.解：用p34（12）式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ2,02,exp exp 221cos 2)(1a x ax a x i a x i a a x a x πππ其Fourier 逆变换为dx px i x p a a ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰-exp )(21)(21ψπΦ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=22222cos 2 p a a a pa πππ此即粒子动量表象波函数，因此粒子动量分布的概率密度为2)()(p p W Φ=。
5.解：在0=t 时刻22212m a Eπ=，⎪⎩⎪⎨⎧><<<⎪⎭⎫⎝⎛=ψax x a x a x a x ,0,00,sin 2)0,(π 阱宽为a 2时粒子Hamilton 量的本征问题的解为,3,2,1,82222==n n man πε⎪⎩⎪⎨⎧><<<⎪⎭⎫⎝⎛=Φax x a x a x n a x n 2,0,020,2s i n 1)(π因波函数的定义域不同，所以)0,(x ψ已不是这时的本征态。
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
量子力学 第二章习题与解答1
第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
量子力学作业2
1.热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩定律表示：b T m =λ，其中b=2.8978K m ⋅⨯-310，求人体热辐射的峰值波长（设体温为37c ︒）解：T=273.15+37=310.15K 15.310108978.23-⨯==⇒T b λ≈9.34um2．宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于T=2.726K 黑体辐射。
此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？解：726.2108978.23-⨯==T b λ≈1.06mm可得在红外线波段3.波长为nm 01.0=λ的X 射线光子与静止的电子发生碰撞。
在与入射方向垂直的方向上观察时，散射X 射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV ？解：2πθ= )cos 1(0θλ-=∆⇒c m h=m 12831341043.2100.3101.910626.6---⨯≈⨯⨯⨯⨯=∆⇒λ nm 01243.001.000243.0=+=+∆='λλλ Hz c v 199981076.2)1001.011001243.01(100.3)11(⨯-≈⨯-⨯⨯⨯=-'=∆--λλ 电子碰撞后获得的能量等于光子损耗的eV J v h E 51419341014.11083.1)1076.2(10626.6⨯=⨯≈⨯-⨯⨯-=∆-=--4.在一束电子束中，但电子的动能为E=20eV ，求此电子的布罗意波长解：221mV E =⇒ c s m m E V <<⨯≈⨯⨯⨯⨯==--/10652.2101.9106.1202263119J mV P 246311041.210652.2101.9--⨯≈⨯⨯⨯==︒---=⨯≈⨯⨯==A m P h 75.21075.21041.210626.6102434λ5.1.设归一化波函数：=)(x ψ 2221x a Ae-（∞<<∞-x ），a 为常数，求归一化常数A 。
刘觉平量子力学作业答案 (2)
请按照下述格式打中、英文以及公式（用MathType ，将题中公式Copy 后换成你的公式，这样就能保持同一格式了！）。
请各位按时交电子作业（WORD 文档，文档命名为学号+姓名+QMEx4）给研究生王峰 Wfa365@Deadline 是10.2晚24:00.习题四3-1．求出算符00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭本征值和本征态。
若对自旋态αβ⎛⎫ ⎪⎝⎭测量y s ，结果为2的概率是多少？解：由()det 0y I σλ-=，得出本征值是λ=1±， 当1λ= 时， y x x σ= 解得本征矢为1112i ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭， 当1λ=-时， y x x σ=- 解得本征矢为1112i ϕ--⎛⎫= ⎪⎝⎭而2y y S σ=，故112y S ϕϕ= 112y S ϕϕ--=-， 因此，结果为2的概率为()222*1112Im 448yP S i αϕαβαββ⎡⎤==⋅+=-⎣⎦ 3-2．J 为角动量算符，i ⨯= J J J ，即,J J i J αβαβγγε⎡⎤=⎣⎦ ，,,1,2,3αβγ=。
若m 和n 为任意方向的矢量（注意：它们不是算符），证明： （1）[],i ⋅=⨯ J J n n J ； （2）[],()⋅⋅=⋅⨯ J m J n J m n（3）2,0n J J ⎡⎤=⎣⎦解：（1）由定义可直接证明得：(),J J n J J n J n J n J J J J n i J i n Jαββαββββαβαββαβαβγγε⎡⎤=-⎣⎦=-==⨯（2）已知：[]()()()(),,,Jm J n J m J n J m J n J n J m m n J J m n i J ααββααββββαααβαβαβαβγγε⎡⎤⋅⋅=⋅⋅⎣⎦=⋅⋅-⋅⋅⎡⎤=⎣⎦=而()J m n m n J αβγαβγε⋅⨯=， 所以等式等于()i J m n ⋅⨯（3）已知：[][][]2,,,,0n i i n i i n i n ijnk j k k j J J J J J J J J J J J i J J J J ε⎡⎤==+⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=所以等式成立3-3. 在自旋角动量x -分量的表象中，求自旋角动量y -分量和z -分量的不确定度。
量子力学第二章习题 答案
第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为 12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
量子力学第二章作业
量⼦⼒学第⼆章作业第⼆章2.1设波函数(,)x t ψ为体系所描述的状态,则下列函数与(,)x t ψ所描述的状态是不是同⼀状态.()422.(,)(,)x x t e x t ψψ= ()33.(,)(,)x t x x t ψψ= ()344.(,)(,)ix t e x t ψψ= 2.2 如果1ψ和2ψ是体系可能的状态，问下列态是不是体系的⼀个可能状态 ()1121 i ψψψ=+ ()2122 x ψψψ=+ ()73123 10sin 6 ie πψψψ=+2.3 态叠加原理有如下说法,如果1ψ和2ψ是体系可能的状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+也是体系的⼀个可能状态.有⼈认为上述说法可有以下理解: (1). ()()()1122x c x c x ψψψ=+ (2). ()()()()()1122,x t c t x c t x ψψψ=+()11.(,)10(,)x t x t ψψ=(3). ()()()()()1122,,,x t c t x t c t x t ψψψ=+ (4). ()()()1122,,,x t c x t c x t ψψψ=+ 其中12,c c 是任意复常数, ()()12,c t c t 是t 的任意复函数.那种理解正确,为什么?2.4 有⼈认为1?与11i e θ?所描述的状态是同⼀状态, 2?与22i e θ?也是描述的同⼀状态,故它们的叠加11122c c ψ??=+,与1221122i i c e c e θθψ??=+应是相同的状态.这种看法正确吗? 2.5 若()iEtA x e-和()iEt B x e分别是能量本征态,那么()()(),i E ti E t x t A=+是否是能量本征态.2.7求解定态薛定谔⽅程,得到波函数12(,),(,)x t x t ψψ,它们对应于不同能级12,E E 那么1122c c ψψψ=+满⾜定态薛定谔⽅程吗?2.8证明:对⼀维势场,若势函数V 为实数,ψ是定态薛定谔⽅程的⼀个解,则*()x ψ也是⽅程的⼀个解，对应的能量也是E 。
李俊清物质结构导论部分习题解答
第一次作业
(a)CH2=CH2分子的对称元素： 恒等元素：E; 旋转轴：C2轴 3个相互垂直的C2 轴(垂直于面的当作主轴); 对称面：3个对称面（1σh个 、2σv个 ）; 对称中心:i ；
属于 D2h点群
CH2=CH2
（b） CH2=CHF分子的对称元素：
恒等元素：E；
对称面：1个对称面 ；
H
Cs 属于 点群
(c)CH2=CF2分子的对称元素： 恒等元素：E； 对称轴：1个C2 轴；
对称面：两个包含C2轴的σv 面；
C 属于 2v点群
(d)cis-CHCl=CHCl分子的对称元素： 恒等元素：E； 对称轴：1个C2轴， 对称面：两个σv 面；
对称直积 反对称直积
[χ(R)]2 = 4 1 0 4 1 0 进一步，E2=E,(C32) =C32 ,(C22)=E, (σh2)=E,(S32)=S32,(σv2)=E 所以，χ(R2)= 2 -1 2 2 -1 2
*
2 i
e3
cos 2
3
i sin 2
3
*
EXE*(E1XE2)=A
定理2：子群的阶必是母群阶的整数因子。
D2: {E，C2，C2’ ，C2’’} D2的子群：C1，C2，D2； C3: {E，C3，C32} C3 的子群：C1，C3； S4: {E，S41，S42，S43} S4 的子群：C1，C2，S4；
第二次作业
C2v
Γ=A1⊕3B1⊕B2
C3v
aA1=1/6(292-119x2+8x3) =13 aA2=1/6(292-119x2-8x3)= 5 aE=1/6(292x2+119x2) =137 Γ=13A1⊕5A2⊕137E
苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第二章2.19-2.21#15(延边大学)三年级
2.19~2.212.19设势场为22()/U r Br A r =+， （A 、0B >），求粒子的能量本征值。
解波函数可写为(,,)()(,)lm r R r Y ψθϕθϕ= 代入球坐标下的定态Schroedinger 方程22222211[()(sin )]()2sin sin r U r E mr r r θψψθθθθϕ⎧⎫∂∂∂∂∂-+++=⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭分离变量可得径向部分方程为2222222(1)()22d dR A l l r Br R ER mr dr dr r m r ⎡⎤+-+++=⎢⎥⎣⎦ 即2222221()(1)22d dR r Br A l l R ER mr dr dr r m ⎧⎫⎡⎤⎪⎪-++++=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭与三维各向同性谐振子径向部分Schroedinger 方程相似:22222221()(1)222d dR r m r l l R ER mr dr dr mr ω⎧⎫''-+++=⎨⎬⎩⎭ 令22212(1)(1)22B m A l l l l m m ω⎧=⎪⎪⎨⎪''++=+⎪⎩解得 222121()22B m m A l l ω⎧=⎪⎪⎨⎪'=±++-⎪⎩三维各向同性谐振子 能量本征值为2AB 1/4(/)A B3()2E N ω=+ 其中2r N n l '=+,,0,1,2,r n l '=（……） 故本题所求能量本征值为223(2)221322228422r n r r r r E n l m A B n m B m A n m ω'=++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,0,1,2,r n l =（……）2.20 一个质量为m 的粒子被限制在半径为r a =和r b =的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势场。
求粒子的基态能量和基态波函数。
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3.2 氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
3.5 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是IL H 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ描写，A 为归一化常数，求粒子的能量几率分布和能量的平均值。
3.9.设氢原子处于状态 ),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
3.2解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/2320⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/23220/232202/2322214 4 s i n s i n 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 s i n )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
(4)222ˆ21ˆ-==μμ p T ⎰⎰⎰∞--∇-=ππϕθθπμ02002/2/32 s i n )(1200d d r d r e e a T a r a r ⎰⎰⎰∞---=ππϕθθπμ02002/22/302 sin )]([11200d drd r e dr d r drd re a a r a r⎰∞----=0/02032 )2(1(240dr e a r r a a a r μ2220204022)442(24a a a a μμ =-= (5) τϕθψψd r r p c p),,()()(*⎰= ⎰⎰⎰-∞-=ππθϕθθππ20cos 02/302/3 sin 1)2(1)(0d d edr r eap c pr ia r⎰⎰-=-∞-πθθπππ0c o s 0/2302/3)c o s ( )2(20d edr er apr ia r⎰∞--=c o s/232/30)2(2πθπππpr ia r eipr dr e r a ⎰∞---=/302/3)()2(20dr e e re ip a pr ipria rπππ])1(1)1(1[)2(22020302/3p i a p i a ip a+--=πππ 222200330)1(421p a a ipip a +=π 22220440033)(24+=p a a a a π222202/30)()2(+=p a a π动量几率分布函数422025302)(8)()(+==p a a p c p πω3.5 解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 22Z L L =哈米顿算符 22222ˆ21ˆϕd d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H与ˆ无关，属定态问题) )(2)( )()(2222222ϕφϕϕφϕφϕφϕ IE d d E d d I -==-令 222IEm =，则 0)()( 222=+ϕφϕϕφm d d 取其解为 ϕϕφim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有ϕπϕϕφπϕφim im e e =⇒=++)2()()2( 即 12=πm i e ∴m= 0，±1，±2，…转子的定态能量为Im E m 222 = (m= 0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。
定态波函数为 ϕφim m Ae = A 为归一化常数，由归一化条件ππϕϕφφππ2121 220220*=⇒===⎰⎰A A d A d m m∴ 转子的归一化波函数为 ϕπφim m e 21=综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为2ˆ21ˆL IH= t H与ˆ无关，属定态问题，其本征方程为),(),(ˆ212ϕθϕθEY Y L I= (式中),(ϕθY 设为Hˆ的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(ˆ2ϕθϕθI E Y Y L = 令 22 λ=IE ，则有),(),(ˆ22ϕθλϕθY Y L= 此即为角动量2ˆL的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL 其波函数为球谐函数ϕθϕθim m m m e P N Y )(cos ),( = ∴ 转子的定态能量为2)1(2IE +=可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。
3.8 解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。
粒子能量的本征函数和本征值为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤a x x a x x an a x ,0 ,0 0 ,sin 2)(πψ 22222a n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，=n 动量的几率分布函数为2)(n C E =ω ⎰⎰==∞∞-an dx x x an dx x x C 0*)(sin)()(ψπψψ 先把)(x ψ归一化，由归一化条件，⎰⎰⎰+-=-==∞∞-aadx x ax a x Adx x a x A dx x 02222222)2()()(1ψ⎰+-=adx x ax x a A43222)2(30)523(525552a A a a a A =+-= ∴530aA =∴ ⎰-⋅⋅=an dx x a x x a n aa C 05)(sin 302π ]s i n s i n [1520203x xd a n x x xd a n x a aa a ⎰⎰-=ππax a n n a x a n x n a xa n x n a x a n n a x a n x n a a 0333222222323]c o s 2s i n 2 cos sin cos [152ππππππππππ--++-=])1(1[15433nn --=π∴ 2662])1(1[240)(n nn C E --==πω ⎪⎩⎪⎨⎧=== ,6 ,4 ,205 3 196066n n n ，，，，，π⎰⎰==∞∞-adx x p x dx x H x E 02)(2ˆ)()(ˆ)(ψμψψψ ⎰--⋅-=adx a x x dx d a x x a 02225)](2[)(30μ)32(30)(303352052a a adx a x x a a-=-=⎰μμ 225a μ =3.9 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 22222282 s s e n e E μμ-=-= )2(=n角动量平方有确定值为2222)1( =+=L )1(= 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L -=2Z L 其相应的几率分别为 41， 43其平均值为 4343041-=⨯-⨯=Z L。