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《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
第四章 两自由度系统的振动
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
机械振动讲课ppt课件
相位
t
xA co t s) (
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0~2π内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ(n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
4 初相位 (t0)描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π或][0 2 π) ]
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
xAcots()
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
A co (ts T [) ]
周期 T 2π
频率 1
弹簧振子周期
T 2π m k
单摆周期
T 2 l g
T 2π
角频率 2π2π
周期和频率仅与振动系 统 本身的物理性质有关
T
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
F
o
m
x
x
Fk xma
令 2 k
m
a2x
xA co t s) (
积分常数，根据初始条件确定
d2x 2x 0 二阶常系数微分方程
dt2
2
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
单摆
msginmt a
mlmdl2m••l
t t 时
o
A
t
xAcots()
以 o为 原点的 旋转
矢量A在 x
x 轴上的投影 点的运动为
简谐运动.
t
xA co t s) (
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0~2π内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ(n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
4 初相位 (t0)描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π或][0 2 π) ]
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
xAcots()
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
A co (ts T [) ]
周期 T 2π
频率 1
弹簧振子周期
T 2π m k
单摆周期
T 2 l g
T 2π
角频率 2π2π
周期和频率仅与振动系 统 本身的物理性质有关
T
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
F
o
m
x
x
Fk xma
令 2 k
m
a2x
xA co t s) (
积分常数，根据初始条件确定
d2x 2x 0 二阶常系数微分方程
dt2
2
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
单摆
msginmt a
mlmdl2m••l
t t 时
o
A
t
xAcots()
以 o为 原点的 旋转
矢量A在 x
x 轴上的投影 点的运动为
简谐运动.
机械振动学ppt课件
第一章 绪 论
2 机械振动的研究对象和分类
2.1 研究对象——“振动系统”
振动概念（vibration）——物体经过它的静 平衡位置所做的往复运动。或者说某一物 理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变 动。 振动首先是一种运动。比如：地壳的运动、 交流电、电磁波、潮水的涨落等。
第一章 绪 论
• 系统的定义：
n
k ; f n m 2
;T1 f
应用：利用“等时的 性特 ”点，座钟。
思考：钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确？
机械振动学
第2章 单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法
在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义 ，除
用定义法（牛顿法）外，通常还有以下几种常用的方法，即静 变形法、能量法和瑞利法，现分别加以介绍。
力矩、扭转阻尼系数和角速度 的单位分别为Nm、 Nms / rad 和rad/s
第2章单 自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成
等效弹簧刚度
斜向布置的弹簧
n
并联弹簧 k e k i
i 1
传动系统的等效刚度
等效阻尼系数 并联系统
n
ce ci
i 1
传动系统的等效阻尼
kxe Fx/xkco2s
2.1 离散系统的组成
平动： Fs k x
转动： Ts kt
力、刚度和位移的单位分别为 N、N / m和m 。
力矩、扭转刚度和角位移的单 位分别为Nm、 Nm / rad和 rad
阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
平动： Fd c x
转动： Td ct
力、阻尼系数和速度的单位分 别为N、N s/ m和m/s。
2 机械振动的研究对象和分类
2.1 研究对象——“振动系统”
振动概念（vibration）——物体经过它的静 平衡位置所做的往复运动。或者说某一物 理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变 动。 振动首先是一种运动。比如：地壳的运动、 交流电、电磁波、潮水的涨落等。
第一章 绪 论
• 系统的定义：
n
k ; f n m 2
;T1 f
应用：利用“等时的 性特 ”点，座钟。
思考：钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确？
机械振动学
第2章 单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法
在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义 ，除
用定义法（牛顿法）外，通常还有以下几种常用的方法，即静 变形法、能量法和瑞利法，现分别加以介绍。
力矩、扭转阻尼系数和角速度 的单位分别为Nm、 Nms / rad 和rad/s
第2章单 自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成
等效弹簧刚度
斜向布置的弹簧
n
并联弹簧 k e k i
i 1
传动系统的等效刚度
等效阻尼系数 并联系统
n
ce ci
i 1
传动系统的等效阻尼
kxe Fx/xkco2s
2.1 离散系统的组成
平动： Fs k x
转动： Ts kt
力、刚度和位移的单位分别为 N、N / m和m 。
力矩、扭转刚度和角位移的单 位分别为Nm、 Nm / rad和 rad
阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
平动： Fd c x
转动： Td ct
力、阻尼系数和速度的单位分 别为N、N s/ m和m/s。
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
3.1.2 二自由度无阻尼自由振动 1、自由振动微分方程
根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 x m1 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 0 x m2
即：
（3-4）
(k1 k 2 ) k2 1 x x1 x2 0 m1 m1 ( k 2 k3 ) k2 2 x x1 x2 0 m2 m2
1 1 x x 为加速度向量； 为速度向量； 2 2 x x f1 (t ) f (t ) 为激振力向量 2
x1 x 为位移向量； 2
根据以上，式（2-2）可写为以下更为一般的简化形式，即:
CX KX F (t ) MX
将固有频率 n1和 n 2 代入（3-10），可得
1 a d ad 2 ( ) bc 0 1 b 2 2 1 a d ( a d ) 2 bc 0 2 b 2 2
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
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三、二Байду номын сангаас由度系统的振动
装备制造学院
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3.1 二自由度自由振动
二自由度系统属于简单的多自由度系统，而多自由度系统 不同于单自由度系统的振动问题，不再是单自由度系统的简 谐振动了，而是多种频率的简谐波组成的复合运动。 这些频率是系统的固有频率，一般系统有几个自由度，就 有几个系统固有频率。 当系统按照其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动， 主振动是一种谐振动。 几个自由度系统在任意初始条件下的响应，应是几个主振 动的叠加。 系统做主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的 相对比值，即称为系统的主振型。
机械振动课件第三章(1)
m1 0
0 1 k1 y 0 m2 y2
0 y1 y {0} k2 2
m1 1 k1 y1 0 y m2 2 k2 y2 0 y
2 A x0 ( x0 / n ) 2
3.2.3 耦合及解耦
• 多自由度系统的运动微分方程中的质量矩阵、 阻尼矩阵和刚度矩阵中的元素相互影响，由此 可能不是对角矩阵，这样微分方程存在耦合． • 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性 耦合；如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存 在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称 方程存在弹性耦合。
机械振动基础
第三章
机械振动
二自由度系统
单自由度系统
二自由度系统 多自由度系统
2005年秋季
本章主要内容
(1) 二自由度系统运动微分方程的建立 (2) 不同坐标下的运动微分方程及坐标变 换 (3) 二自由度系统的无阻尼自由振动
§3.1 引 言
• 定义：多自由度系统指需要用两个或两个以上 的独立坐标(x1,x2, q等)才能描述其运动的振动 系统。二自由度系统指需要用两个独立坐标才 能描述其运动的振动系统。 • 单自由度系统是多自由度系统（包括二自由度 系统）的基础，多自由度系统是单自由度系统 的深化和拓展。 • 二自由度系统是单自由度系统与多自由度系统 的过渡，由此学好二自由度系统相当重要。
坐标变换
如果广义坐标{x}和{y}之间有变换关系：
{x} [u]{ y}
在{x}，{y}下的刚度矩阵分别为[K]和[K1]，则由 于系统势能大小与广义坐标的选取无关，有:
1 T 1 U {x} [ K ]{ x} { y}T [u ]T [ K ][u ]{ y} 2 2 1 { y}T [ K1 ]{ y} 2
第5章--两自由度系统的振动
图5-6双摆拍振 , 的时间历程
5.3
5.3.l
如前所述，一般情况下两自由度系统的振动微分方程组的形式为
可见在质点m1和m2的运动方程式中，都含有坐标x1和x2。这表明，两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。
像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1
5.1.1
图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得
主振型为
系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。
例5-2在图示5-3所示系统中，已知 ，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， ；（2） 。
，
系统的第一阶和第二阶主振型为
，
于是得到第一主振动
,
第二主振动
,
在任意初始条件下，系统振动的一般解
如果初始条件是：t= 0时， ， ，代入上式得到
，
因此得到双摆作自由振动的规律
,
如果弹簧的刚度k很小，即
＜＜
这时 相差很少，将上式写成
，
令 则上式为
,
这表明，两个摆的运动可以看作是频率为 的简谐运动，但其振幅不是常数，而是缓慢变化的简谐函数 和 ，这种现象称为拍振。
5.3
5.3.l
如前所述，一般情况下两自由度系统的振动微分方程组的形式为
可见在质点m1和m2的运动方程式中，都含有坐标x1和x2。这表明，两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。
像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1
5.1.1
图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得
主振型为
系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。
例5-2在图示5-3所示系统中，已知 ，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， ；（2） 。
，
系统的第一阶和第二阶主振型为
，
于是得到第一主振动
,
第二主振动
,
在任意初始条件下，系统振动的一般解
如果初始条件是：t= 0时， ， ，代入上式得到
，
因此得到双摆作自由振动的规律
,
如果弹簧的刚度k很小，即
＜＜
这时 相差很少，将上式写成
，
令 则上式为
,
这表明，两个摆的运动可以看作是频率为 的简谐运动，但其振幅不是常数，而是缓慢变化的简谐函数 和 ，这种现象称为拍振。
振动基础知识PPT课件
障诊断中有重要作用。
2021/3/7
CHENLI
43
旋转机械的振动图示 (定转速)
2021/3/7
波形图 (Wave)
时间域内的振动波形
频谱图 (Spectrum)
组成振动的各谐波成分
轴心轨迹 (Orbit)
转轴中心的振动轨迹，由水平和铅垂两 方向波形合成
CHENLI
44
波形图、频谱图及轴心轨迹
峰值，单位为米/秒2（m/s2）
2021/3/7
CHENLI
8
振动信号的频率分析
把振动信号中所包含的各种频率成分分别分解出来 的方法。 频率分析的数学基础是傅里叶变换和快速傅里叶算 法（FFT）。 频率分析可用频率分析仪来实现，也可在计算机上 用软件来完成。 频率分析的结果得到各种频谱图，这是故障诊断的 有力工具。
2021/3/7
CHENLI
12
单自由度振动系统
确定系统运动所需的独立坐标数称为系统的自由度
2021/3/7
CHENLI
13
多自由度振动系统
2
5
3
6
2
图中数字为系统的自由度数
2021/3/7
CHENLI
14
振动系统的模态
单自由度系统有一个 模态 模态参数为：
固有频率
（模态频率）
阻尼比
（模态阻尼）
测量非转动部件的绝对 振动的速度。 不适于测量瞬态振动和 很快的变速过程。 输出阻抗低，抗干扰力 强。 传感器质量较大，对小 型对象有影响。
CHENLI
29
典型的磁电速度传感器及其特性
2021/3/7
CHENLI
30
压电加速度传感器
最新机械振动的PPT幻灯片
2004年复旦大学校级精品课程 2004年上海市市级精品课程
Last modified: August 8, 2004
本课程开设学校、院系、教师
复旦大学新闻学院广告学系（专业基础课）
主讲教师： 程士安 教 授 广告系主任
部分章节讲授教师：
谢 静 博 士 副教授 （媒介策略） 李华强 硕 士 助 教 （创意策略）
响应由两部分组成：①指数衰减因子；②正弦函数 亚临界阻尼系统自由运动具有振动特征，且振幅逐渐衰减
三种阻尼情况的比较：
欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快
些 x(t)
1.4
1
0.2
t
《广告策划与创意》
对应该初始条件的解为
xent x0cosdtx0 d nx0sindt
解还可写成如下形式
x A e n ts in d t
（16） （17） （18）
其中，
A x0 2 x0 nx0 2, d
arctan dx0 x0 nx0
亚临界阻尼（ 1 ）
响应： x A e n ts in d t
的影响和制约 第三部分：广告策划与营销计划、品牌建设的关系 第四部分：广告策划的运作过程 第五部分：广告策划与广告创意 第六部分：整合营销传播 —— 现代广告新概念
每一部分具体内容安排
第一部分：策划在广告活动中的地位
1、策划是广告活动科学化、规范化的标志 2、广告策划的定义、特性和基本原则 3、广告策划方案产生的基础
机械振动的PPT
机械振动的含义和分类
1.机械振动的含义？
机械振动是指在其稳定的平衡位置附近所作的往复运动. 机械振动是一种常见的物理现象，如桥梁、机床的振动. 飞机机翼的颤动，汽车运行时发动机和车体的振动等等。 2.机械振动的分类？ 我们都知道，结合我们学的机械振动的有关知识，机械振 动的分类：
Last modified: August 8, 2004
本课程开设学校、院系、教师
复旦大学新闻学院广告学系（专业基础课）
主讲教师： 程士安 教 授 广告系主任
部分章节讲授教师：
谢 静 博 士 副教授 （媒介策略） 李华强 硕 士 助 教 （创意策略）
响应由两部分组成：①指数衰减因子；②正弦函数 亚临界阻尼系统自由运动具有振动特征，且振幅逐渐衰减
三种阻尼情况的比较：
欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快
些 x(t)
1.4
1
0.2
t
《广告策划与创意》
对应该初始条件的解为
xent x0cosdtx0 d nx0sindt
解还可写成如下形式
x A e n ts in d t
（16） （17） （18）
其中，
A x0 2 x0 nx0 2, d
arctan dx0 x0 nx0
亚临界阻尼（ 1 ）
响应： x A e n ts in d t
的影响和制约 第三部分：广告策划与营销计划、品牌建设的关系 第四部分：广告策划的运作过程 第五部分：广告策划与广告创意 第六部分：整合营销传播 —— 现代广告新概念
每一部分具体内容安排
第一部分：策划在广告活动中的地位
1、策划是广告活动科学化、规范化的标志 2、广告策划的定义、特性和基本原则 3、广告策划方案产生的基础
机械振动的PPT
机械振动的含义和分类
1.机械振动的含义？
机械振动是指在其稳定的平衡位置附近所作的往复运动. 机械振动是一种常见的物理现象，如桥梁、机床的振动. 飞机机翼的颤动，汽车运行时发动机和车体的振动等等。 2.机械振动的分类？ 我们都知道，结合我们学的机械振动的有关知识，机械振 动的分类：
机械振动第四章
第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。
两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。
在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。
受迫简谐振动的频率与激励频率相同。
两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。
如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。
用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。
4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。
三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。
这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。
图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。
在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。
取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。
方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。
因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。
方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。
通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。
物理讲义机械振动PPT课件
旋转矢量
§2 旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它 振的 幅模A ，等并于使振矢动量的A
在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角
速度 与振动频率
相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
xA co ts ()
点旋以转o 矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运
动.
t 0
第十一章
机械振动
2009.11
教学基本要求
一 掌握描述简谐运动的各个物理量 （特 别是相位）的物理意义及各量间的关系.
二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表 示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析.
三 掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐 运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出 一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义.
例题：弹簧振子，轻弹簧劲度系数k＝0.72 N/m，振
子质量m＝0.02 kg，从平衡位置向右拉到
x0＝
0.04 m处释放，求：
（1）谐振动方程；
（2）物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的
速度；
v
0
（3）如在 x 0 ＝0.04 m处给物体一个向右的初速
度＝0.24 m/s，求谐振动方程。
（1） x 0 .0c4 o 6 .0 ts(m )
t0时 ， xx0， v=v0
解得 xA co ts ()
简谐运动方程
积分常数，根据初始条件确定
由 xA cots ()
简谐运动方程
得 vdxAsi nt()
dt
ad2xA2cost ()
dt2
其中 A
x2 0
(v0
)2
机械振动 第4章-二自由度系统的振动
(13)
4.2.2 有阻尼二自由度系统的自由振动
写成矩阵形式为：
K x 0 x Cx M
其中：
(14)
m11 m12 m1 0 M m m 0 m 21 22 2 c11 c12 c1 c2 c2 C c c c c 21 22 2 2 k11 k12 k1 k2 k2 K k k k k 21 22 2 2
2 2 如果行列式 K 不是负的，必然 0 b 4ac b ，将 n1
2 n 2
2 2 代入(6)，不能求得振幅A1和A2确定值，但可得对应于 n1 n 2 下的比值
称之为振幅比。振幅比决定了振动的振型 2 k22 n A1(1) k12 1m2 r1 (1) 2 A2 k11 n k21 1m1
运动微分方程
1 c2 x 2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 F1 (t ) x1 (c1 c2 ) x m1 1 c2 x 2 k2 x1 k2 x2 F2 (t ) x2 c2 x m2
K x F (t ) x C x M
2 k11 m1n k21
k12 0 2 k22 m2n
(6)
4.2.1 无阻尼二自由度系统的自由振动
展开(6)得行列式：
2 2 2 (k11 m1n )(k22 m2n ) k12 0
m1m2 ( ) (m1k22 m2 k11 ) k11k22 k 0
A1(2) 2 1 5 r2 (2) 1.618 A2 2 1 5
例题4-1
r1
0.618
第二部分两自由度 系统的振动
k 0
(e)
k 3k 2 2m
得特征方程
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
( 2 ) 2m2 4 7mk 2 5k 2 0
(f )
固有频率为
1
k, m
2 1.5811
k m
(g)
将
代入式2(d) 1
，有
2k 12m X
0 0
(a)
设
x1(t) X1 sin(t )
(b)
x2 (t) X 2 sin(t )
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
代入振动微分方程组，得
(k1 k2 X1
k2) 2
（k2
m1 k3 )
X1
2
k2 X 2 m2 X
sin t
第二部分 两自由度系统的振动
2 两自由度简谐激励系统强迫振动
如下图所示，梁上有一固定转速的马达，运转时由于偏心而产生受迫振动，激振力
。马达的质量为m1、梁
的质量忽略不计，梁的刚度为k1。通过附加弹簧质量（m2,k2)系统可进行动力消振，试推导消振系统应满足的条件。
Q1 sin t
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动 ●在一般情况下，两自由度系统的自由振动是两种不同频率的固有振动的叠加，其结果通常不再是简谐振动。
●在特殊的情况下，系统的自由振动会按某一个固有频率作固有振动，其结果是简谐振动。
初始条件的响应，由
x1 x2
C1 sin(1t C1r1 sin(1t
(4.1-11)
展开得
( 2 ) m1m2 4 (m1k22 m2k11) 2 k11k22 k122 0
二自由度系统的振动PPT课件
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12 m22
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
坐标变换：
ui qi
（i=1,2）
代入原微分方程得到： Mqi Kqi fi
B1、B2待定
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
代入微分方程组得到
k1 k2 m12
k2
k2
k2 m2
2
B1 B2
0 0
由
det
k1
k2
m1
k2
2
k2
k2
m22
0
12 22
B11 B21
B12 B22
B11
B21
B12
B22
（固有振型矩阵）
k2 (u1 u2 ) c2 (u1 u2 )
u2 f2 m2
k3u2 c3u2
6.1 建立系统微分方程组
写成矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c 2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
u1
u2
f1 f2
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••
双自由度与多自由度的受迫振动PPT课件
几乎不动。这也和单自由度系统受迫振动的特性很相似。
3.双自由度系统的有阻尼受迫振动
..
.
..
平衡条件：
F1(t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1 x1 m1 x1
..
.
..
F2 (t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k3x2 c3 x2 m1 x2
k2
k2 k2
x1 x2
F1
sin 0
pt
稳态解：
x1(t) X 1 sin pt x2 (t ) X 2 sin pt
X1 F1(k2 m2 p2 ) / , X 2 F1k2 /
系数行列式：
自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共 振，所以双自由度系统有两个共振区。另外，如果子系统通过弹簧传给主系统的力正好 与作用在主系统上的激振力相平衡，这时主系统的受迫振动就被子系统完全吸收掉而保 持静止，这个特性常用来设计动力减振器。
当激振力的频率趋向于无穷时，X1、X 2均趋于零，即激振力频率很高时，两个质量都
(k1
k2
m1
p2 )(k2
m1
p2
)
k
2 2
动力消振器
为方便讨论稳态振动的特性，令主系统固有频率为 12 k1 / m1
子系统固有频率为 22 k2 /m2 。则由主系统的幅频响应曲线
可知当激振力频率与主系统固有频率的比值为1时，即满足：
2 k2 / m2
此时X1 0 ，X1 F0 / k2 ,由于 x2 X 2 sin t F0 sin t / k2
3.双自由度系统的有阻尼受迫振动
..
.
..
平衡条件：
F1(t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1 x1 m1 x1
..
.
..
F2 (t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k3x2 c3 x2 m1 x2
k2
k2 k2
x1 x2
F1
sin 0
pt
稳态解：
x1(t) X 1 sin pt x2 (t ) X 2 sin pt
X1 F1(k2 m2 p2 ) / , X 2 F1k2 /
系数行列式：
自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共 振，所以双自由度系统有两个共振区。另外，如果子系统通过弹簧传给主系统的力正好 与作用在主系统上的激振力相平衡，这时主系统的受迫振动就被子系统完全吸收掉而保 持静止，这个特性常用来设计动力减振器。
当激振力的频率趋向于无穷时，X1、X 2均趋于零，即激振力频率很高时，两个质量都
(k1
k2
m1
p2 )(k2
m1
p2
)
k
2 2
动力消振器
为方便讨论稳态振动的特性，令主系统固有频率为 12 k1 / m1
子系统固有频率为 22 k2 /m2 。则由主系统的幅频响应曲线
可知当激振力频率与主系统固有频率的比值为1时，即满足：
2 k2 / m2
此时X1 0 ，X1 F0 / k2 ,由于 x2 X 2 sin t F0 sin t / k2