机械振动两自由度系统振动42页PPT
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
（3-7）
显然，A1=A2=0是上述方程组的解，但这只代表系统的平衡 情况。对于A1与A2具有非零解的情况，方程组式（3-7）的 系数行列式必须等于零，即
a n c
将上式展开得：
4
2
b d n
2
2
wk.baidu.com0
n (a d )n (ad bc) 0
它的两个特征根为
（3-8）
3.1.2 二自由度无阻尼自由振动 1、自由振动微分方程
根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 x m1 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 0 x m2
即：
（3-4）
(k1 k 2 ) k2 1 x x1 x2 0 m1 m1 ( k 2 k3 ) k2 2 x x1 x2 0 m2 m2
A21 a n1 c 2 A11 b d n1 2 （3-10） A22 a n 2 c 2 A12 b d n 2 式中，A11与A21为对应于基频 n1情况下，质量m1、m2的
2
1 2
振幅；A12与A22为对应于第二阶固有频率 n 2情况下，质量 m1和m2的振幅。
由上式可知： 1） 1 0 ，表示两质量的振幅A1与A2的符号相同，即m1和 m2 总是按同一方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时 达到最大偏离位置。 2） 2 0 ，表示两质量的振幅A1与A2的符号相反，即m1和 m2总是按相反方向运动，当m1达到最右位置时，m2达到最 左位置。 a)表示振动系统 模型； b)纵坐标表示各 点的振幅比，可 作出相应的振型 图。
《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
◆同步化现象虽然是耦合振动体最简单的运动 形态，但这并不意味着耦合振动体只能做同步运 动。耦合振动体的运动形态是多种多样的。
让我们来看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追 逐在袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳跃的时候，两 只脚做的是位移相同的移动。但土著人在走路时， 左脚与右脚所做的却是位移相反的移动。如果将 袋鼠的跳跃看成同步化的结果的话，那么土著人 的走路则是反同步化的结果。
1665年2月的一天，因为身体不适，他躺在家 里休养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意 外地在他自己发明的摆钟上，发现了一个有趣的 现象。
有趣的现象：
墙壁上并排悬挂着的两只钟，这两只钟的钟摆 竟然在按照相同的位移（拍子）摆动！经过连续 几个小时的观察之后，结果还是一样。而且就算 强行将其中一只钟的钟摆拨成相反位移的运动， 不到30分钟，也还是恢复成相同的位移。只有将 一只钟挂到另一面墙上后，两只钟的位移才开始 渐渐分出不同，到最后甚至连一天的周期也产生 了5秒左右的差别。后来，他又通过实验推断， 这两只钟的同步运动可能是由两只钟之间的空气 振动或者是墙壁的轻微振动导致的。
系统的受力如图4.1-1(b)所示。 图 4.1-1
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致， 根据牛顿运动定律有
m1x1 k1x1 k2 (x2 x1) m2x2 k2 (x2 x1) k3x2
移项得
m1x1 (k1 k2 )x1 k2x2 0 m2x2 k2x1 （k2 k3)x2 0
第十一讲—二自由度系统强迫振动
机械与运载工程学院
第十一讲二自由度系统强迫振动
2
机械与运载工程学院
运动方程
m 1
m 2
k 3
k 1
k 2
x 1
x 2P 1(t )P 2(t )
k 1x 1
k 2(x 1-x 2)
11x m m 1
P 2(t )
k 2(x 1-x 2)
22x
m m 2
k 3x 2
⎩⎨
⎧=+−−=−++)()()()(2332122
212121111t P x k x x k x m t P x x k x k x m 运动方程：矩阵形式：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(002121322
2212121t P t P x x k k k k k k x x m m
3
机械与运载工程学院1
θk 1
I 2
θ2
I 2
θk 3
θk )
(1t M )
(2t M 1
θ1
1θθk 1
1θ I )
(1t M )
(212θθθ−k 2
2θ I )
(2t M 3
3θθk )
(122θθθ−k 111112121
2222332()()()()
I k k M t I k k M t θθθθθθθθθθθ⎧++−=⎪⎨+−+=⎪⎩
运动方程：矩阵形式：
1221
111
2
2322220()0()k k k I M t k k k I M t θθθθθθθθθθ+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦ 4
机械与运载工程学院
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t P
x x k k k k k k x x m m
第5章--两自由度系统的振动
第5章--两自由度系统的振动
第5章两自由度系统的振动
应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简
化成两个或两个以上自由
度，即多自由度的系统，
才能描述其机械振动的主
要特征。多自由度系统的
振动特性与单自由度系统
的振动特性有较大的差
别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1 双质量弹簧系统的自由振动
5.1.1 运动微分方程
图5-2(a)表示两自由度的
弹簧质量系统。略去摩擦力
及其它阻尼，以它们各自的
静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得
⎭
⎬⎫=+-=-++00)(2
21
22
22
21
2
1
1
1x k x k x
m x k x k k x
m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ⎭
⎬⎫=+-=-+002
1
2
2
1
1
dx cx x
bx ax x
&&&& (5-2)
显然此时
2
21
2
1
2
1,,m k d c m k b m k k a =
==
+=
但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。
5.1.2 固有频率和主振型
根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为
机械振动ppt课件
时刻以后的自由振动解为：
xtxco 0st x 0si n 0t
零时刻的初始条件：
x(0) x0
x(0) x0
零初始x(条t)件下x0的c自o由振s0t)动(： x0 0si n0t() Asin0(t)
A
x02
x0
0
2
tg1
x00
x0
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t)x0cos0t)( x0 0si n0t() Asin0(t)
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
A c12 c22
x
tg 1 c1
c2
T2/0
A
0
t
0
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完
全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广
义的 。
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
k
k
x
I
m xkx0
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 0 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
x1 A1 sin(nt ) x2 A2 sin(nt )
（3-6）
(a n 2 ) A1 bA2 0 2 cA ( d 1 n ) A2 0
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
装备制造学院
College of Equipment Manufacture
可见，振幅比确定了系统的振动形态，因此，称其为主 振型。主振型和固有频率一样，只决定于系统本身的物理性 质，而与初始条件无关。 主振型与固有频率密切相关，系统有几个固有频率，就 有几个主振型。多自由度系统具有多个固有频率和相应的主 振型。与基频 n1对应的振幅比 1，称为第一阶主振型；与 第二阶固有频率 n 2 对应的振幅比 2 ，称为第二阶主振型。
装备制造学院
College of Equipment Manufacture
将以上解的固有频率 n1 和 n 2 分别代入（3-7），可以得 到对应于固有频率 n1 和 n1 的两振幅A1与A2之间的两个确 定的比值，这两个比值称为振幅比，用 1 和 2 表示，即：
3、主振型
（3-2）
0 c1 c2 为质量矩阵，用M表示； c m2 2 k 2
c2 为阻尼矩阵， c2 c3
k1 k2 用C表示；
3两自由度系统振动2
1
x2 A 2 sinn1t11A 1 sinn1t1
1 1
A21sinn2t2 x12
第二主振动为：
2
x2 A 2 sinn2t22A 1 sinn2t2
上式中：i，j分别表示x，y轴上的单位矢量。
因为圆杆在任何方向上的刚度
F kr
k都相等，所以
建立机械振动系统的运动微分方程式：
m x1 kx
nx ny
在
和
x y方向上机械振动系统均具有确定的振动形态。因此
x2 Bsin t
2
(C 2)(A B) 0
，
若要A，B有非零解，必须有
2
,2
1
2k Cb m
2
6kd ml
2
2
其中， 1， 2 是此振动系统的两个固有频率。 当
2 1
时，为使式中两个方程组都满足，应 b
有 A 1 B 1，这是对应于直杆上下平动的固有振型； 当 2 时，为使式中两个方程组都满足，应有 C 2
程式为：
m 1x1k1x1k2(x2 x1)0 0 ) (
,,
2221
12222
令 则：
m1
cba m1
kkkk
机械振动的PPT
1.4
1
0.2
t
2
arctan
d x0
x0 n x0
亚临界阻尼（
1
）
响应： x A e
nt
sin d t
响应由两部分组成：①指数衰减因子；②正弦函数 亚临界阻尼系统自由运动具有振动特征，且振幅逐渐衰减
三种阻尼情况的比较： 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快 些 x(t)
nt
1
）
C e
1
i 1 n t
2
C 2e
i 1 n t
2
（14）
nt
C 1 C 2 co s d t i C 1 C 2 sin d t
其中，
d
1 n
2
注意：由于解为实数，那么C1，C2必为共轭复数。 那么，通解可改写为
1 i 1
2
x C 1e
n 1 t
2
C 2e
2
n 1 t
2
xe
nt
C 1e
i 1 n t
《机械振动教学》课件
05
机械振动的应用实例
振动筛分机
总结词
利用振动原理进行物料筛分的设备
详细描述
振动筛分机是利用振动原理，使物料在多层筛网上进行筛分，实现不同粒度和质量物料 的分离。广泛应用于采矿、冶金、建筑、化工等行业的筛分作业。
振动输送机
要点一
总结词
利用振动原理进行物料输送的设备
要点二
详细描述
振动输送机是利用振动原理，使物料在输送带上进行输送 。具有结构简单、操作方便、能耗低等优点，广泛应用于 化工、食品、医药等行业的物料输送。
详细描述
主动控制法采用主动施加控制力的方式，通过向系统施加反向振动，抵消原始振动，从而达到抑制或 消除振动的目的。这种方法需要使用外部能源，并依赖于精密的传感和控制系统。
被动控制法
总结词
通过改变系统结构或阻尼特性来抑制或消除振动的方法。
详细描述
被动控制法通过增加系统的阻尼或改变系统结构，降低系统 的振动响应。这种方法通常采用具有阻尼特性的材料或结构 ，如橡胶隔振器、阻尼器等，具有简单、可靠、成本低等优 点。
VS
简谐振动和复杂振动
根据振动的形状，机械振动可分为简谐振 动和复杂振动。简谐振动是指振动的形状 只由一个正弦或余弦函数描述的振动；复 杂振动则是指振动的形状由多个正弦或余 弦函数描述的振动。
机械振动系统的构成
弹性元件
机械振动学 第五章_两自由度系统振动(讲)
第五章两自由度系统振动
§5-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。①汽车动力学模型：
图3.1两自由度汽车动力学模型
§5-2 两自由度系统的自由振动
一、系统的运动微分方程
②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k 1和
k 2，质量为m 1、m 2。质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位
置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：
()()⎭
⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k x
m （3.1）
令
2
2
12121,,m k c m k b m k k a =
=+=
则（3.1）式可改写成如下形式：
()()⎭
⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k x
机械振动第四章
第四章两自由度系统的振动
当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。
两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。受迫简谐振动的频率与激励频率相同。
两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。
4．1系统的自由振动
如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。
图两自由度系统的振动
取与的静平衡位置为坐标原点。在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有
移项得
方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成
机械动力学第二章——两自由度振动讲解
[m]{x}[c]{x}[k]{x} {F}
其中，质量矩阵：
阻尼矩阵：
刚度矩阵：
[m]
m1 0
0
m2
[c]
c1 +c2
c2
-c2
c2
将解代入振动方程：
a 02 X1 bX 2 sin 0t 0 dX1 c 02 X 2 sin 0t 0
a 02 X1 bX 2 0 dX1 c 02 X 2 0
F1(t)
F2(t)
k1x1 c1 x1
k2(x2-x1)
m1
c2 (x2 x1)
k2(x2-x1)
m2
c2 (x2 x1)
k3x2 c3 x2
建立方程：
m1x1 c1x1 c2 (x2 x1) k1x1 k2 (x2 x1) F1
整理得：
m2 x2 c3x2 c2 (x2 x1) k3x2 k2 (x2 x1) F2
ka
令 x1 X1sint,x2 X 2 sint
ma
x2
代入振动微分方程，得到
(k ka m 2 ) X1 ka X 2 F0 ka X1 (ka ma 2 ) X 2 0