第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(数学类)

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全卷满分１0０分。

考试用时150分钟。

一、（本大题共5小题，每小题6分,共3０分)计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1)解：(2)解:（令)（3)设函数有二阶连续偏导数, 满足且,是由方程所确定的函数．求解:依题意有，是函数，、是自变量。

将方程两边同时对求导，，则,于是(4)求不定积分解：（5)求曲面和所围立体的表面积解:联立,,解得两曲面的交线所在的平面为,它将表面分为与两部分,它们在平面上的投影为,在上在上则二、(本题1３分)讨论的敛散性,其中是一个实常数.解:记①若，;则发散②若，则，而;所以发散。

③若，即，考级数敛散性即可当时，对任何,我们有这样，存在,使得．从而可知，当,时，所讨论的积分收敛，否则发散。

三、（本题1３分）设在上无穷次可微，并且满足:存在，使得,,，且,求证：在上,证明：因为在上无穷次可微,且,所以（*)由，，得，于是由罗尔定理,对于自然数在上，存在，使得,且这里在上，对应用罗尔定理，存在，使得,且于是类似的，对于任意的,有有（*）四、(本题共１6分，第1小题6分,第2小题1０分)设D为椭圆形，面密为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点（其中)垂直于薄板的旋转轴.１．求薄板Ｄ绕l旋转的转动惯量J;2．对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.解：1.2.设J固定，是确定的隐函数，则,对关于求导,五、(本题12分）设连续可微函数由方程（其中有连续的偏导数）唯一确定，L为正向单位圆周. 试求：解：由格林公式又:连续可微函数由方程两边同时对求偏导数:两边同时对求偏导数:代入上式：六、(本题共16分，第1小题6分，第２小题10分) （1)求解微分方程(2)如为上述方程的解，证明。

2011-2012年第3届全国大学生数学竞赛各赛区预赛及决赛试题和答案(非数学类&数学类)

（其中 G 为引力常数）. h2 x 2
…………………5 分
这个引力在水平方向的分量为 dFx

Gm xdx . 从而 ( h 2 x 2 )3 2
Fx
Gmxdx Gm 2 2 3/ 2 (h x ) 2 a

d (x2 ) Gm (h 2 x 2 ) 1 / 2 2 2 3/ 2 a (h x ) a
2 2 2
I f ( ax by cz ) dS . 求证： I 2 f ( a 2 b 2 c 2 u )du

1
1
解：由的面积为 4 可见：当 a, b, c 都为零时，等式成立. 当它们不全为零时, 可知：原点到平面 ax by cz d 0 的距离是
…………………2 分
|d | a2 b2 c2
设平面 Pu : u
.
…………………………5 分
ax by cz a2 b2 c2
n
2. 如果存在正整数 p，使得 lim( an p an ) ，则 lim
an . n n p
证明：1. 由 lim an a ， M 0 使得 | an | M ，且 0, N1 ，当 n > N1 时，
n
2 N ( M | a |) 因为 N 2 N1 ，当 n > N2 时， 1 . n 2
解：令 S ( x )
x

x
2n 1 2 n 2 ，则其的定义区间为 ( 2, 2) . x ( 2, 2) ， x 2n n 1

2n 1 2 n 2 x 2 n 1 x x 2 S ( t ) dt t dt n n 2 2 2 n 1 2 n 1 n 1 0 0

大学生数学知识竞赛题库

大学生数学知识竞赛题库
一、竞赛介绍
该竞赛为大学生数学知识竞赛，旨在提高大学生的数学素养和综合应用能力。

竞赛内容包括数学知识与技能应用、数学模型的建立、分析、解决问题等。

二、竞赛题库
以下为该竞赛的题库示例：
1. 题目一
交换两个变量的值（不使用临时变量）。

示例：
输入: a = 1, b = 2
输出: a = 2, b = 1
2. 题目二
如果当前的月份数字为 m，第一天是星期 w，那么当月的天数
n 是多少？（不考虑闰年）
示例：
输入: m = 3, w = 2
输出: n = 31
3. 题目三
某工程项目需要两年时间完成，项目分为 n 个子任务，需要 m 个人来完成。

假设所有子任务可以分开进行，并且其完成时间不同，存在时间瓶颈。

设计一种算法，使得项目可以在两年内完成，同时
尽可能均衡各个子任务的完成时间。

示例：
输入: n = 5, m = 2, time = [12, 8, 10, 5, 7]
输出: [12, 10], [8, 7], [5]
三、总结
该竞赛题库涵盖了多个数学领域，从基础运算到综合应用均涉及，对于大学生的综合应用能力提高有很好的促进作用。

第三届全国大学生数学竞赛决赛解答

第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）时间150分钟，满分100分一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）（1）xx xx x x 222220sin cos sin lim -→ 解：422222330222220)](21[)](6[lim sin cos sin lim x x o x x x o x x x x x x x x x +--+-=-→→ 32)(32l i m 4440=+=→x x o x x （2）]1)1tan 2[(lim 613x e xx x x x +--++∞→解：原式]1)2[(lim 613x e xx x x +-+=+∞→366332203620)](21[)](621)[211(lim 1)211(lim tt o t e t o t t t t t te t t t t t ++-+++++=+-+=++→→ +∞=。

或+∞=+-++=+-+=++→→36520362013)211(lim 1)211(lim tt t e t t t t e t t t tt （3）设函数),(y x f 有二阶连续偏导数，满足0222=+-xx y xy y x yy x f f f f f f f ，且0≠y f ，),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数，求22xy∂∂。

解：yx f f x y-=∂∂ 222)]([)]([y yx yy yx x y x xy xx y f f f f f f f f f f f x y -+--+-=∂∂02322=+--=yxxy xy y x yy x ff f f f f f f（4）求不定积分⎰+-+=dx e xx I x x 1)11(。

解：⎰⎰⎰++++=-+=x x xx xx xde dx e dx e xx I 111)11(C xedx exedx exx xx xx xx +=-+=++++⎰⎰1111（5）求曲面az y x =+22和)0(222>+-=a y x a z 所围立体的表面积。

第三届全国大学生数学竞赛决赛试题非数学类部分

个人采集整理仅供参照学习第三届全国大学生数学比赛决赛试卷（非数学类， 2012）本试卷共 2 页，共 6 题。

全卷满分 100 分。

考试用时 150 分钟。

一、（本大题共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）计算以下各题（要求写出重要步骤） .(1) limsin 2 x x 2 cos 2 x22x 0x sin x(2) limx31 x tan 111 x6e xx2 x(3) 设函数 f (x , y) 有二阶连续偏导数 , 知足 f x 2 f yy 2 f x f y f xy f y 2 f yy 0 且f y0 , y y( x , z) 是由方程 z2yf (x , y) 所确立的函数 . 求x 2(4)求不定积分 I(1x x11)exdxx(5) 求曲面 x 2 y 2az 和 z 2ax 2 y 2 (a 0) 所围立体的表面积二、（此题 13 分）议论xdx 的敛散性，此中是一个实常数 .cos 2 xx sin 2 x得分三、（此题 13 分）设 f (x) 在 ( ,) 上无量次可微，而且知足 :存在 M 0 ，使得 f( k )(x)M ， x (,),( k 1,2 ) , 且 f (1n ) 0,( n1,2 ) 求证：在2( ,上)， f ( x) 0四、（此题共 16分，第 1小题 6分，第 2小题 10分）设 D 为椭圆形x 2y 2 1(a b 0) ，面密度为 ρ的均质薄板； l 为经过椭圆焦点a 2b 2( c,0) (此中 c 2a 2b 2 )垂直于薄板的旋转轴 .1. 求薄板 D 绕l 旋转的转动惯量 J ；2. 关于固定的转动惯量，议论椭圆薄板的面积能否有最大值和最小值.五、（此题 12 分）设连续可微函数 z f (x, y) 由方程 F ( xz y, x yz)0 （此中F (u, v) 0 有连续的偏导数）唯一确定 , L 为正向单位圆周 . 试求：个人采集整理仅供参照学习I( xz 22 yz)dy (2 xz yz 2 )dxL解：由格林公式I( xz22 yz)dy (2 xz yz 2) dx( Q P )dLDx y( z22xzz2 y z ) (2 xzz 22 yz z)d 2 z 22( xz y)z2( x yz) zdD x x y y Dxy又：连续可微函数 z f (x, y) 由方程 F ( xz y, x yz) 0两边同时对 x 求偏导数： F 1 (zxz F 2 (1z) 0z zF 1 F 2 )yx yF 2 xF 1xx两边同时对 y 求偏导数： F 1 ( x z 1)F 2 ( z y z ) 0zF 1 zF 2yy xxF 1 yF 2代入上式：六、（此题共 16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分）(1)求解微分方程y xy xe x 2y(0)11 nf (x)dx(2)如 y f ( x) 为上述方程的解，证明 lim22n1 n x2。

第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案

第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）本试卷共2页，共6题。

全卷满分100分。

考试用时150分钟。

一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1) xx xx x x 222220sin cos sin lim -→解：x x x x x x 222220sin cos sin lim -→4222220cos sin lim x xx x x x x -+-=→2040)c o s 1)(cos 1(lim ))(sin (sin lim x x x x x x x x x x +-++-=→→221261?+?-=32=(2) [()]61311tan 21lim x e xx x x x +--++∞→解： [()]61311tan 21lim x e xx x xx +--++∞→ （令x t 1=）362201)t a n 21(l i m t t e t t t t t +--+=+→3620111)21(lim t t e t t t +-+-+=+→ 3201)21(l i m t e t tt -+=+→2206)22(lim te t t t t ++=+→+∞=(3) 设函数),(y x f 有二阶连续偏导数, 满足0222=+-yy y xy y x yy x f f f f f f f 且0≠y f ,),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数. 求22xy解：依题意有，y 是函数，x 、z 是自变量。

将方程),(y x f z =两边同时对x 求导， x y ffyx+=0，则 yx f f x y-=??，于是 ()yx f f x x y -=??222)()(yyy yx x yxxx y f x yf f f x y f f f ??+-??+-=2)()(yyx yy yx x yx yxxx y f f f f f f f f f f f ----=3222yyyy xy y x yy x f f f f f f f f +--=0=(4) 求不定积分()dx e xx I x x 111+-+=?解：()dx e x x dx eI xx xx 12111++-+=?xx x x xdedx e 11+++=?()xx xe d 1+?=C xexx +=+1(5) 求曲面az y x =+22和222y x a z +-=)0(>a 所围立体的表面积解：联立az y x =+22，222y x a z +-=，解得两曲面的交线所在的平面为a z =，它将表面分为1S 与2S 两部分，它们在xoy 平面上的投影为222:a y x D ≤+，在1S 上 dxdy a y a x dS 2222441++=dxdy a y x a 2222)(4++=在2S 上 dxdy yx y y x x dS 2222221++++=dxdy 2= 则 d x d y ay x a S D )2)(4(2222+++=??22202024a r d r a r a d a πθπ+=?? )26155(2+-=a π 二、（本题13分）讨论dx xx x x220sin cos α+?∞+的敛散性，其中α是一个实常数. 解：记 xx x xx f 22sin cos )(α+=① 若0≤α，)1(2)(>?≥x xx f ；则dx x x x x 220sin cos α+?∞+发散② 若20≤<α，则11≤-α，而)1(2)(1≥?≥-x x x f α；所以dx xx x x220sin cos α+?∞+发散。

全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)

全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一．计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭；（3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。

二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。

四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。

计算：（1）(),,S zdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。

七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、？请说明理由。

第三届中国大学生数学竞赛决赛试卷(数学类,2012)

一．（15分）设有空间中五点: ()()()()()1,0,1,1,1,2,1,1,2,3,1,0,3,1,2A B C D E --.试求过点E 且与,,A B C 所在平面∑平行而与直线AD 垂直的直线方程.二．（15分）设()f x 在[],a b 上有两阶导数, 且()f x ''在上黎曼可积, 证明()()()()()()[],,.xa f x f a f a x a x t f t dt x ab '''=+-+-∀∈⎰ 三．（10分）设01n k k k <<< 为给定的正整数,12,,n A A A 为实参数. 指出函数()011sin sin sin n n f x k x A k x A k x =+++ 在[)0,2π上零点个数的（当12,,n A A A 变化时的）最小可能值并加以证明.四．（10分）设正数列n a满足lim 1,lim ,lim1n n n n n a a →+∞→+∞=<+∞. 求证:12lim1n n a a a n →+∞+++= . 五．（15分）设,A B 分别是32⨯和23⨯实矩阵, 若8043962201AB -⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 求BA . 六．（20分）设{}{},i i i I i I A B ∈∈是数域F 上两个矩阵集合, 称它们在F 上相似: 如果存在F上与i I ∈无关的可逆矩阵P 使得1,ii P AP B i I -=∀∈. 证明: 有理数域Q 上两个矩阵集合{}{},i i i I i I A B ∈∈, 如果它们在实数域R 上相似, 则它们在有理数域Q 上也相似.七．（15分）设()(),F x G x 是[)0,+∞上的两个非负单调递减函数, ()()()lim 0.x x F x G x →+∞+=(1)证明: ()0,lim cos 0x xF xt tdt εε+∞→+∞∀>=⎰. (2)若进一步有()()()0limcos 0x t F t G t dt n +∞→+∞-=⎰. 证明: ()()()()00limcos 0x F t G t xt dt +∞→-=⎰.。

第三届全国大学生数学竞赛非数学决赛参考解答

ab3 8
π
0
dϕ ∫ b 2t 2 sin 2 ϕ abtdt =
0
1
∫
π
0
(1 − cos 2ϕ )dϕ = ab3
π 8
….. 6 分 3b3 − 15a 2b . 5a 3 − 9ab 2
2. 设 J 固定，b(a) 是 J =
abπρ (5a 2 − 3b 2 ) 确定的隐函数.则 b′( a ) = 4
1．求薄板 D 绕 l 旋转的转动惯量 J； 2．对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值. 解： 1. J = ∫∫ ((c + x)2 + y 2 ) ρ dxdy = 2 ρ ∫ dϕ ∫ (c 2 + 2act cos ϕ + a 2t 2 cos 2 ϕ + b2t 2 sin 2 ϕ )abtdt
⎛ 18 J ⎞ 4 ⎛ 2π J ⎞ 2 πρ 3 abπρ a=⎜ a b≤J = (5a 2 − 3b 2 ) 可知，当 a → +∞ 时， ⎟ ，S =⎜ ⎟ ；由 2 4 ρπ ρ 5 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
1
1
b = O(a −3 ) ，所以 lim S = 0 .
a →+∞
…..14 分由此可知，椭圆的面积不存在最大值和最小值；且
f ( x) = ∑
n =0 ∞
⎛ 1 ⎞ f ⎜ n ⎟ = 0, ⎝2 ⎠
(n = 1,2, ") .
f ( n ) ( 0) n x . n!
(∗) ….. 2 ⎝2 ⎠
⎛ 1 ⎞ (n = 1,2, ") ，得 f (0) = lim f ⎜ n ⎟ = 0 ， n →∞ ⎝2 ⎠

第三届全国大学生数学竞赛决赛获奖名单(数学类)

S9北京赛区(11)张瑞祥数学专业北京大学一等奖S8北京赛区(11)韦东奕数学专业北京大学一等奖S86浙江赛区(33)章宏睿数学专业宁波大学一等奖S79上海赛区(31)田晓颖数学专业复旦大学一等奖S7北京赛区(11)苏钧数学专业北京大学一等奖S95上海赛区(31)张易数学专业同济大学一等奖S11北京赛区(11)庄梓铨数学专业北京大学一等奖S16广东赛区(44)李茂生数学专业华南理工大学一等奖S83天津赛区(12)刘勍数学专业南开大学一等奖S4北京赛区(11)黄向屹数学专业北京大学一等奖S10北京赛区(11)赵牧数学专业北京大学一等奖S6北京赛区(11)林博数学专业北京大学一等奖S94上海赛区(31)秦晨翔数学专业同济大学一等奖S37黑龙江赛区(23)刘璐曦数学专业哈尔滨工业大学一等奖S40湖北赛区(42)李江涛数学专业湖北大学一等奖S75上海赛区(31)李宗元数学专业复旦大学一等奖S14甘肃赛区(62)杨辉数学专业兰州大学一等奖S62山东赛区(37)王运朝数学专业曲阜师范大学一等奖S32河南赛区(41)杨江帅数学专业河南大学二等奖S49江苏赛区(32)王宝数学专业苏州大学二等奖S87浙江赛区(33)王六权数学专业浙江大学二等奖S5北京赛区(11)雷理骅数学专业北京大学二等奖S30河北赛区(13)申达志数学专业河北师范大学二等奖S81四川赛区(51)周超数学专业四川大学二等奖S2安徽赛区(34)李昴数学专业中国科学技术大学二等奖S33河南赛区(41)荆瑞娟数学专业河南大学二等奖S1安徽赛区(34)段文哲数学专业中国科学技术大学二等奖S22贵州赛区(52)梁鹏数学专业贵州大学二等奖S78上海赛区(31)魏伊舒数学专业复旦大学二等奖S85天津赛区(12)赵泽华数学专业南开大学二等奖S39湖北赛区(42)陈将浩数学专业湖北大学二等奖S77上海赛区(31)史汝西数学专业复旦大学二等奖S50江苏赛区(32)朱裔数学专业苏州大学二等奖S82四川赛区(51)周彭威数学专业四川大学二等奖S3安徽赛区(34)刘彦麟数学专业中国科学技术大学二等奖S12福建赛区(35)陈汉数学专业厦门大学二等奖S46吉林赛区(22)王斌数学专业东北师范大学二等奖S66山东赛区(37)孟凡钦数学专业山东科技大学二等奖S93重庆赛区(50)宋海娟数学专业重庆师范大学二等奖S55辽宁赛区(21)刘思序数学专业大连理工大学二等奖S84天津赛区(12)王志超数学专业南开大学二等奖S21贵州赛区(52)黄荣锋数学专业贵州大学二等奖S41湖北赛区(42)余红杰数学专业武汉大学二等奖S88浙江赛区(33)张颖数学专业浙江大学二等奖S90浙江赛区(33)周远数学专业浙江理工大学二等奖S17广东赛区(44)梅河数学专业中山大学三等奖S18广东赛区(44)朱伟鹏数学专业中山大学三等奖S36黑龙江赛区(23)王丽娜数学专业哈尔滨师范大学三等奖S43湖南赛区(43)杨苗数学专业长沙学院三等奖S80四川赛区(51)傅费思数学专业四川大学三等奖S54辽宁赛区(21)蒋瑶数学专业大连理工大学三等奖S70陕西赛区(61)张纯数学专业西安交通大学三等奖S24国防科大赛区(66)陈玺数学专业国防科学技术大学三等奖S52江西赛区(36)周颖颖数学专业赣南师范学院三等奖S64山东赛区(37)屈宝友数学专业山东大学三等奖S76上海赛区(31)倪晨頔数学专业复旦大学三等奖S53江西赛区(36)王利军数学专业江西理工大学三等奖S92重庆赛区(50)张军强数学专业重庆师范大学三等奖S51江苏赛区(32)钱欣洁数学专业徐州师范大学三等奖S26国防科大赛区(66)徐立平数学专业信息工程大学三等奖S31河北赛区(13)李泊宁数学专业河北师范大学三等奖S42湖北赛区(42)曾桢数学专业武汉大学三等奖S44湖南赛区(43)肖惠数学专业湖南师范大学三等奖S45湖南赛区(43)庄晓数学专业湘潭大学三等奖S71陕西赛区(61)薛向宏数学专业西安理工大学三等奖S89浙江赛区(33)赵亮数学专业浙江工商大学三等奖S91重庆赛区(50)陈庚生数学专业西南大学三等奖S15甘肃赛区(62)廖丽丹数学专业河西学院三等奖S27海南赛区(46)王健数学专业海南大学三等奖S68山西赛区(14)郭艳艳数学专业太原理工大学三等奖S69陕西赛区(61)陈阳数学专业陕西师范大学三等奖S25国防科大赛区(66)许晓川数学专业海军工程大学三等奖S34河南赛区(41)杨会波数学专业商丘师范学院三等奖S48江苏赛区(32)李桂林数学专业淮阴师范学院三等奖S60宁夏赛区(64)田丽茹数学专业北方民族大学三等奖S13福建赛区(35)徐赛国数学专业厦门大学三等奖S28海南赛区(46)乔春雨数学专业海南大学三等奖S59内蒙古赛区(15)杨康数学专业内蒙古大学三等奖S61宁夏赛区(64)岳振芳数学专业宁夏大学三等奖S65山东赛区(37)翟汉征数学专业山东大学三等奖S67山西赛区(14)曹新宇数学专业大同大学三等奖S56辽宁赛区(21)张阳数学专业沈阳航空航天大学三等奖S57辽宁赛区(21)周辰红数学专业沈阳师范大学三等奖S63山东赛区(37)张兴宽数学专业曲阜师范大学三等奖S38黑龙江赛区(23)王姝宇数学专业哈尔滨工业大学三等奖S19广西赛区(45)杨天山数学专业广西师范学院三等奖S20广西赛区(45)李徘菱数学专业广西师范学院三等奖。

第3届全国大学生数学竞赛决赛试卷(数学类)

姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------第三届中国大学生数学竞赛决赛试卷(数学类,2012)考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分题目一二三四五六七总分满分15151010152015100得分注意: 1.所有答题都必须写在此试卷密封线右边,写在其他纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.3.如当题空白不够,可写在当页背面,并标记题号.得分评阅人一、(本题15分)设有空间中五点:A (1,0,1),B (1,1,2),C (1,−1,−2),D (3,1,0),E (3,1,2).试求过点E 且与A,B,C 所在平面Σ平行而与直线AD 垂直的直线方程.得分评阅人二、(本题15分)设f(x)在[a,b]上有两阶导数,且f′′(x)在[a,b]上黎曼可积,证明f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+∫xa(x−t)f′′(t)dt,∀x∈[a,b].姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------得分评阅人三、(本题10分)设k 0<k 1<...<k n 为给定的正整数,A 1,A 2,...,A n 为实参数.指出函数f (x )=sin k 0x +A 1sin k 1x +...+A n sin k n x 在[0,2π)上零点个数的(当A 1,A 2,...,A n 变化时的)最小可能值并加以证明.得分评阅人四、(本题10分)设正数列a n满足limn→+∞a n=1,limn→+∞a n<+∞,limn→+∞n√a1a2...a n=1.求证:limn→+∞a1+a2+...a nn=1.姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------得分评阅人五、(本题15分)设A,B 分别是3×2和2×3实矩阵,若AB = 80−4−329−6−201.求BA .得分评阅人六、(本题20分)设{A i}i∈I,{B i}i∈I是数域F上两个矩阵集合,称它们在F上相似:如果存在F上与i∈I无关的可逆矩阵P使得P−1A i P=B i,∀i∈I.证明:有理数域Q上两个矩阵集合{A i}i∈I,{B i}i∈I,如果它们在实数域R上相似,则它们在有理数域Q上也相似.姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------得分评阅人七、(本题15分)设F (x ),G (x )是[0,+∞)上的两个非负单调递减函数,lim x →+∞x (F (x )+G (x ))=0.(i)证明:∀ε>0,lim x →+∞∫+∞εxF (xt )cos t dt =0.(ii)若进一步有lim n →+∞∫+∞0(F (t )−G (t ))cos tn dt =0.证明:lim x →0∫+∞(F (t )−G (t ))cos(xt )dt =0.。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

第三届全国大学生数学竞赛(数学类)

第 3 页 ( 共 13页 )
四、 (本题 10 分) 对于 ∆ABC , 求 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 的最大值. 解答: 三角形三个角 A, B, C 的取值范围为 (A, B, C ) ∈ D ≡ {(α, β, γ )|α + β + γ = π, α > 0, β > 0, γ > 0} . 我们首先考虑 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 在 D 的闭包 E = {(α, β, γ )|α + β + γ = π, α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0} 上的最大值. 我们有 max (3 sin A + 4 sin B + 18 sin C ) ....................................................... (1 分)
..................................................................... 可以有很多种方法选取只取值 ±1 的数列 {an }n≥1 使得
n ∑ ak √ = α. lim n→+∞ 2 n k=1
(5 分)
此时就成立
n→+∞
n (∑ ) √ 3 lim n + ak − n 2 = α. k=1
0
ak
/
1 ∑ fk (x) dx = 1. n k=1 ak
n
.................................................................... 由此立即可得存在 ξ ∈ [0, 1] 使得

2022年第三届全国大学生数学竞赛决赛试题非数学类部分答案

第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，）本试卷共2页，共6题。

全卷满分100分。

考试用时150分钟。

一、（本大题共5小题，每题6分，共30分）计算下列各题（规定写出重要环节）.(1)222220sin cos lim sin x x x xx x→- 22222222224004200sin cos sin cos lim limsin (sin )(sin )(1cos )(1cos )112lim lim 22623x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--+-=-+-+=+=-+=解：(2) 1311lim tan2x x x x e x →+∞⎡⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣12313233022********320033(1tan )1112:lim 1tan lim 2(1tan )1(1tan )122=lim =lim 2(1tan )2x t t x x t t t t t t t t t e x e xx x t t t t t e t t t e t t tt t t e =→+∞→→→+-⎡⎛⎫+-−−−→⎢ ⎪⎝⎭⎣+---+---=+∞⎡+-⎢⎣令解 (3) 设函数(,)f x y 有二阶持续偏导数, 满足2220x yy x y xy y yy f f f f f f f -+=且0y f ≠,(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =所拟定旳函数. 求22yx∂∂2222223(,)0=()()()20x x yyy xx yxx yx yy x yy x y xx x yx x yx x yyyy xx x yx x yyyyy x z z f x y x f y yf f x x f y yf f f f f f f y x xx x f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff=∂∂+⇒=-∂∂∂∂+-+∂∂∂∂=-=-∂∂--+-+=-=-=解：依题意有，是函数，、是自变量将方程两边同时对求导(4) 求不定积分11(1)x x I x e dx x+=+-⎰111221111211111111(1)=(1)[1(1)]1(1)x x x x x x x x x x x x x xx x x x xxxxI x e dx x e dx e dxx x x xe dx e dx e dx xde xedx xeedx xeC+++++++++++=+-+-=+-=+-=+=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解： (5) 求曲面22x y az +=和20)z a a =>所围立体旳表面积二、（本题13分）讨论22cos sin xdx x x xα+∞+⎰旳敛散性，其中α是一种实常数. 得分三、（本题13分）设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微，并且满足:存在0M >，使得()()(,),(1,2)k f x M x k ≤∀∈-∞+∞=，,且1()0,(1,2)2n f n ==求证：在(,)-∞+∞上，()0f x ≡ ()2(0)(0)()(0)(0)2!!()(1)!n n nx f f f x f f x x x n x M x M e n '''=+++++≤+++=-四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）设D 为椭圆形22221(0)x y a b a b+≤>>，面密度为ρ旳均质薄板；l 为通过椭圆焦点(,0)c -(其中222c a b =-)垂直于薄板旳旋转轴.1. 求薄板D 绕l 旋转旳转动惯量J ；2. 对于固定旳转动惯量，讨论椭圆薄板旳面积与否有最大值和最小值.五、（本题12分）设持续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz --=（其中(,)0F u v =有持续旳偏导数）唯一拟定, L 为正向单位圆周. 试求：22(2)(2)LI xz yz dy xz yz dx =+-+⎰解：由格林公式22222(2)(2)()(22)(22)22()2()LDD DQ PI xz yz dy xz yz dx d x yz z z z z z z xzy x z yz d z xz y x yz d x x y y x y σσσ∂∂=+-+=-∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++=++++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又：持续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz --= 两边同步对x 求偏导数：121221()(1)0zF F z z zF z xF y x x x yF xF +∂∂∂++-=⇒=∂∂∂- 两边同步对y 求偏导数：121212(1)()0F zF z z z F x F z y y y x xF yF +∂∂∂-+--=⇒=∂∂∂- 代入上式：2121221122221212121221122222212121221212122()2()2()222DD D DDzF F F zF I z xz y x yz d yF xF xF yF xz F xzF yzF yF xF xzF yzF yz F z d yF xF xF yF xz F yF xF yz F xF yF z yF xF z d z d yF xF yF xF d σσσσσπ++=++++--++++++=++--+---+-=+=+--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）(1)求解微分方程2(0)1x y xy xe y ⎧'-=⎪⎨=⎪⎩(2)如()y f x =为上述方程旳解，证明1220lim ()12n n f x dx n x π→∞=+⎰21220lim 1x n nedx n x→∞+⎰222222211110220001121arctan arctan 2arctan 1arctan arctan 2[0,1]arctan arctan arctan arctan arctan (1)arctan x x x x x x x ne dx e d nx e nx xe nxdx n x e n n xe dx e n n e dx e n n ee n e n ξξξξξ==-+=-∈=-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰其中21220lim =lim[arctan (1)arctan ][0,1]1=(1)222x n n nedx e n e n n x ee ξξπππ→∞→∞=--∈+--=⎰其中。

第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学类,2012)

第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学类,2012)考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分题号一二三四五六总分满分301313161216100得分注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.姓名身份证号所在院校年级专业.............................密..................................封..................................线..................................得分评阅人一、(本大题共5小题，每小题各5分，共25分)计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1)lim x →0sin 2x −x 2cos 2x x 2sin 2x .(2)lim x →+∞[(x 3+x 2−tan 1x )e 1/x −√1+x 6].(3)设函数f (x,y )有二阶连续偏导数，满足f 2x f yy −2f x f y f xy +f 2y f xx =0，且f y =0，y =y (x,z )是由方程z =f (x,y )所确定的函数.求∂2y ∂x 2.(5)求不定积分I=∫(1+x−1x)e x+1x dx.(6)求曲面x2+y2=az和z=2a−√x2+y2(a>0)所围立体的表面积.得分评阅人二、(本题13分)讨论∫+∞xcos2x+xαsin2xdx的敛散性，其中α是一个实常数.姓名身份证号所在院校年级专业...........................密..................................封..................................线..................................得分评阅人三、(本题13分)设f (x )在(−∞,+∞)上无穷次可微，并且满足：存在M >0，使得 f (k )(x ) ≤M,∀x ∈(−∞,∞),(k =1,2,···)，且f (12n )=0,(n =1,2,···).求证：在(−∞,∞)上，f (x )≡0.得分评阅人四、(本题16分，第1小题6分，第二小题10分)设D为椭圆形x2a2+y2b2≤1(a>b>0)，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点(−c,0)（其中c2=a2−b2）垂直于薄板的旋转轴.1.对薄板D绕l旋转的转动惯量J;2.对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.姓名身份证号所在院校年级专业...........................密..................................封..................................线..................................得分评阅人五、(本题16分)设连续可微函数z =z (x,y )由方程F (xz −y,x −yz )=0（其中F (u,v )有连续的偏导数）唯一确定，L 为正向单位圆周.试求：I = L(xz 2+2yz )dy −(2xz +yz 2)dx.得分评阅人六、(本题共16分，第1小题6分，第二小题10分)(1)求解微分方程{dydx−xy=xe x2 y(0)=1.(2)如y=f(x)为上述方程的解，证明：lim n→∞∫1nn2x2+1f(x)dx=π2.。