直线二级倒立摆的建模和控制

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直线二级倒立摆的建模和控制

西南科技大学自动化专业方向设计报告设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制姓名：学号:班级：指导教师：起止日期：方向设计任务书学生班级：学生姓名：学号：设计名称：方向设计学生日志直线二级倒立摆的建模与镇定控制摘要（150-250字）倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。

而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。

本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。

其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。

接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。

关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制Modeling and Balance Control of the Linear Double InvertedPendulumAbstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment.In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system.Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control一、设计目的和意义二、控制要求对直线二级倒立摆模型的物理特性做分析，然后利用拉格朗日方程建模方法建立倒立摆的数学模型。

直线二级倒立摆系统MATLAB模型的建立与仿真

直线二级倒立摆系统模型的建立与仿真1 引言倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定的系统。

在控制理论发展过程中，倒立摆常常被做为典型的被控对象来验证某一理论的正确性，以及在实际应用中的可行性，通过对倒立摆引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来检验控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力。

该控制方法在军工、航天、机器人等领域和一般工业过程中都有广泛应用。

本文主要讨论二级倒立摆系统模型的建立和仿真。

2二级倒立摆系统数学模型直线二级倒立摆系统是由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。

主要包括导轨、小车和各级摆杆、编码器等元件。

由驱动电机给小车施加一个控制力，迫使小车在导轨上左右移动。

而小车的位移和各级摆杆角度由编码器测得。

倒立摆的控制目标是使倒立摆的摆杆能在有限长的导轨上快速的达到竖直向上的稳定状态，以实现系统的动态平衡，并且小车位移和摆杆角度的振荡幅度较小，系统具有一定的抗干扰能力。

系统简化后的直线二级倒立摆系统物理结构图如图2.1所示。

图1.二级倒立摆系统模型系统模型建立所用的各参数如下：应用Lagrange 方程建立的数学模型为012221221211121221222212212222cos (,)cos()cos cos()1121111121111m +m +m (m l +m L )cos m l H (m l +m L )cos J m l m L m l L m l m l L J m l θθθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦.1011...1221212122.11222cos (,,,)0(0(112222222f m l +m L sin m l H f f m l L sin f m l L sin f f θθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-•⎢⎥⎢⎥=--•+⎢⎥⎢⎥-•+-⎢⎥⎣⎦111（）-)-) 312(,)h θθ= [0 11211()sin m l m L g θ+ 212sin m l g θ] T0h =[1 0 0]T()1121212121312022(,)(,,,),x x H H h h u θθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3 倒立摆PID控制器系统PID控制是比例积分微分控制的简称。

直线二级倒立摆建模与matlab仿真LQR

直线二级倒立摆建模与仿真1、直线二级倒立摆建模为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。

图1 二级摆物理模型二级倒立摆的参数定义如下：M 小车质量m1摆杆1的质量m2摆杆2的质量m3质量块的质量l1摆杆1到转动中心的距离l2摆杆2到转动中心的距离θ1摆杆1到转动与竖直方向的夹角θ2摆杆2到转动与竖直方向的夹角F 作用在系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能其中错误!未找到引用源。

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为系统在第i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为x,θ1,θ2,θ3。

首先计算系统的动能：其中错误!未找到引用源。

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分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。

小车的动能：错误!未找到引用源。

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分别为摆杆1的平动动能和转动动能。

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分别为摆杆2的平动动能和转动动能。

对于系统，设以下变量： xpend1摆杆1质心横坐标 xpend2摆杆2质心横坐标 yangle1摆杆1质心纵坐标 yangle2摆杆2质心纵坐标 xmass 质量块质心横坐标 ymass 质量块质心纵坐标又有：(,)(,)(,)L q q T q q V q q =-则有：系统总动能：系统总势能：则有：求解状态方程：可解得：使用MATLAB对得到的系统进行阶跃响应分析，执行命令：A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 01;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0];B=[0;0;0;1;6.64;-0.808];C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0];sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.001:5;step(sys,t)求取系统的单位阶跃响应曲线：图2 二级摆阶跃响应曲线由图示可知系统小车位置、摆杆1角度和摆杆2角度均发散，需要设计控制器以满足期望要求。

毕业设计二级倒立摆建模

四川理工学院毕业设计（论文）二级倒立摆系统建模与仿真学生：学号：专业：自动化班级：自动化指导教师：四川理工学院自动化与电子信息学院二O一一年六月摘要常规的PID控制从理论上可以控制二级倒立摆，但在实际中对PID控制器参数的整定为一难点。

本文针对二级倒立摆系统单输入三输出的不稳定系统，通过三回路PID 控制方案，来完成对倒立摆的控制。

利用状态反馈极点配置的方法来对参数进行整定，解决PID参数整定的难点。

然后借助于MATLAB中的Simulink模块对所得的参数进行仿真，结果表明三回路PID控制是成功的，参数的有效性，也证实了这种参数整定方法简单实用。

并通过配置不同位置的极点，对其结果进行分析得到极点配置的最佳配置方案。

关键词：倒立摆；PID；状态反馈； MATLABABSTRACTDouble Inverted Pendulum System Modeling and SimulationConventional PID control theory to control the inverted pendulum, but in practice the parameters of PID controller tuning is a difficult. In this paper, double inverted pendulum system, the instability of single-input three-output system, through the three-loop PID control program to complete the inverted pendulum control.Pole placement using state feedback approach to setting the parameters to resolve the difficulties PID parameter tuning. With MATLAB and Simulink in the module parameters obtained from simulation results show that the three-loop PID control is successful, the effectiveness of the parameters, but also confirms this tuning method is simple and practical.Different locations through the pole configuration, the results were too extreme configuration of the best configuration.Key words:pendulum；PID control ；state feedback；MATLAB目录摘要............................................................... ABSTRACT (I)第1章引言 01.1 倒立摆研究的目的及意义 01.2 倒立摆的发展史和研究现状 01.3本文的主要工作 (3)第2章倒立摆的建模 (3)2.1 二级倒立摆的简介及物理模型 (3)2.2 二级倒立摆计算机控制系统结构 (4)2.3 二级倒立摆的数学模型 (5)2.4根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型 (6)第3章控制策略的选择 (11)3.1 MATLAB简介 (11)3.2该系统的能控、能观及稳定性的分析 (14)3.2.1系统的能控性 (14)3.2.2系统能观性 (16)3.2.3系统的稳定性 (16)3.3 确定控制策略 (17)3.4 控制器参数整定方法 (17)3.5 通过状态反馈极点配置法来整定参数 (19)第4章计算机仿真及结果分析 (22)4.1 Matlab下Simulink模块简介 (22)4.2 在Simulink下的仿真 (23)4.3对仿真结果的分析 (31)第5章结束语 (32)致谢 (33)参考文献 (34)第1章引言1.1 倒立摆研究的目的及意义在控制理论发展的过程中, 一种理论的正确性及在实际应用中的可行性，往往需要一个典型对象来验证, 并比较各种控制理论之间的优劣, 倒立摆系统就是这样的一个可以将理论应用于实际的理想实验平台。

倒立摆建模与控制

2倒立摆系统的模型建立2.1 倒立摆特性●非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。

也可以利用非线性控制理论对其进行控制。

●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。

实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。

●耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

●开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。

●约束限制由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。

为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。

行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。

2.2 一阶倒立摆数学模型倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。

2.2.1 一级倒立摆物理模型在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示：皮带轮图2.1 单级倒立摆系统物理模型2.2.2 一级倒立摆数学模型各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 一级倒立摆参数表参数参数意义参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到小车上的力 x小车位置φ摆杆与竖直向上方向的夹角通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.3) 2.3 二阶倒立摆数学模型2.3.1 二级倒立摆物理模型如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型皮带轮图2.3二级倒立摆系统的物理模型倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。

二级倒立摆系统的控制与仿真

二级倒立摆系统的控制与仿真一、引言在计算机参与的具有联系受控对象的控制系统中，有必要对联系控制系统设计数字控制器的必要，一般对于联系的控制对象设计数字控制器的方法有：第一种是应用联系系统理论得到的联系控制规律，再将控制规律离散化，用控制器实现，第二种是将联系的控制对象离散化，用离散控制理论设计控制器参数，数字再设计就是根据连续系统及相应的控制规律如何重新设计对应的离散系统与相应的离散控制规律。

我们采用的是最优等价准则、双线性变换法、平均增益法进行数字再设计。

二、LQR控制器设计(1) 二级倒立摆系统的状态空间模型设线性定常系统为x’=A*x（t）+B*u（t）,y=C*x（t）其初始条件为x（t）=x0;其中：A=[0,1,0,0;40,0,0,0;0,0,0,1;-6,0,0,0];B=[0;-2;0;0.8];C=[1,0,0,0;0,0,1,0](2) 系统的能控性判定n=size(A); Tc=ctrb(A,B); nc=rank(Tc)n=6 6 nc=6从运行结果可知，系统的阶次为6，能控性矩阵的秩也为6，因此系统是能控的。

(3) 系统的能观性判定To=obsv(A,C);no=rank(To)no=6从运行结果可知，能观性矩阵的秩为6，与系统的阶次相等，因此系统是能观测的。

(4) LQR控制设计基于一级倒立摆系统具有能控性和能观性，因此可采用LQR进行控制，经大量反复试验和仿真，选取R=0.2，Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];F=lqr(A,B,Q,R)得到：F =2.2361 106.6465 -155.4620 5.1719 4.9639 -24.5330三、仿真曲线采用LQR控制方式，设初始状态为x(0)=[1,-1,0,0]’，在相同采样周期T下应用数字再设计方法对一级倒立摆系统进行仿真，其中F(T)分别取为：1. F(T)=F1(T)=F2. F(T)=F2(T)=F[I+(A+BF)T/2]3. F(T)=F3(T)=F[I-(A+BF)/2]-1(1) T=0.013s，øc=e(A+BF)T时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[G,H]=c2d(A-B*F,B,T); %%离散一的函数p0=eig(G),x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(G,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%响应曲线plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p0 =0.8647 + 0.0473i0.8647 - 0.0473i0.9224 + 0.0618i0.9224 - 0.0618i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图1 øc=e(A+BF)T(2) T=0.013s，øc=ø +ΓF1(T)时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[Ad,B]=c2d(A,B,T); %%离散二的函数Ad=Ad-B*F;p1=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p1 =0.8349 + 0.0388i0.8349 - 0.0388i0.9247 + 0.0561i0.9247 - 0.0561i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图2 øc=ø +ΓF1(T)(3) T=0.013s，øc=ø+ΓF2(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P2=(A-B*F)*T/2; %%离散3的函数F2=F*(eye(size(P2))+P2)[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F2];p2=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F2 =1.7236 90.8365 -126.5481 4.0012 4.5195 -19.9211 p2 =0.8676 + 0.0465i0.8676 - 0.0465i0.9224 + 0.0627i0.9224 - 0.0627i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图3 øc=ø+ΓF2(T)(4) T=0.013s，øc=ø+ΓF3(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P3=(A-B*F)*T/2; %%离散4的函数F3=F*(eye(size(P3))-P3)^-1[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F3];p3=eig(Ad),[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F3 =1.7779 92.1683 -129.2365 4.1238 4.5459 -20.3464 p3 =0.8655 + 0.0476i0.8655 - 0.0476i0.9222 + 0.0622i0.9222 - 0.0622i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图4 øc=ø+ΓF3(T)由上面的1-4图我们可以知道：F(T)分别取F1(T)，F2(T)，F3(T)构成的闭环离散系统时仿真曲线基本一致，相应情况的闭环极点也基本相同，而取F(T)=F3(T)时，从系统的极点看，用øc=ø+ΓF3(T)代替øc=e(A+BF)T 构成闭环系统的精确度相当好。

二级直线型倒立摆系统的LQR控制探析

．
统的控制器，并进行了数值仿真，结果表明了该方法的有效性。
关键词：倒立摆；ＬＱＲ；数值仿真
０引言
字母符号
表１二级直线型倒立摆系统的结构参数
对应参数字母符号对应参数
倒立摆系统是一种多变量、强耦合、严重非线性、自然不稳
现了四级倒立摆控制仿真实验。线性二次型调节器（ＬＱＲ）的
０３ × １０３ ×１０３ × １
０００
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最优控制＿】是基于现代控制理论发展起来的，通过对倒立摆系统的分析建立其动力学模型，应用状态反馈控制器使得目标
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２０１３第９期总第３６３期
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２．３计算风阻，并确定风机的工作点
根据风机形成的实际风速１３．５ｍ／ｓ，则雷诺数为：
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二级直线型倒立摆系统的ＬＱＲ控制探析
王春平
（杭州佐帕斯工业有限公司，浙江杭州３１００１８）
摘
要：以二级直线型倒立摆系统为研究对象，基于线性二次型调节器（ＬｉｎｅａｒＱｕａｄｒａｔｉｃＲｅｇｕｌａｔｏｒ，ＬＱＲ）理论设计了二级倒立摆系

直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真毕业设计说明书精品推荐

直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新型控制理论和方法有效性的典型装置。

近年来，许多学者对倒立摆系统进行广泛地研究。

本文研究了直线二级倒立摆的控制问题。

首先阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状，接着介绍了倒立摆系统的结构并详细推导了二级倒立摆的数学模型。

本文分别用极点配置、LQR最优控制设计了不同的控制器，通过比较和MATLAB仿真，验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。

关键词: 倒立摆；极点配置；最优控制； MATLAB；仿真ABSTRACTInverted pendulum is a typical multi-variable, non-linear, strong coupling and rapid movement of high-end system instability, It is testing various new control theory and methods of the effectiveness of the typical devices. In recent years, many scholars of the inverted pendulum extensive study.In this paper, a straight two inverted pendulum control problem.First on the inverted pendulum control of the development process and the status quo, then introduced the inverted pendulum system and the detailed structure of the two inverted pendulum is derived a mathematical model. In this paper, with pole placement, LQR optimal control design a different controller, By comparing and MATLAB simulation, verified the effectiveness ,stability and anti-jamming of the controller.Key words：Inverted pendulum；Pole Assignment；Optimal Control；MATLAB；Simulation目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章绪论 (5)1.1 控制理论的发展 (5)1.2 倒立摆系统简介及其研究意义 (5)1.3 倒立摆研究的发展现状及其主要控制方法 (7)1.4 本人所做工作 (8)第二章直线二级倒立摆数学模型的建立 (10)2.1 倒立摆系统的物理结构及特性分析 (10)2.2 系统的数学建模 (11)2.2.1 两种数学建模方法的比较 (11)2.2.2 系统数学建模参数的设定 (12)2.2.3 直线二级倒立摆的拉格朗日方程建模 (13)2.2.4 二级倒立摆系统数学模型的线性化 (17)2.3 系统参数的设定 (19)2.4 倒立摆系统的初步运动分析 (20)第三章直线二级倒立摆控制方案的设计 (22)3.1极点配置控制方案的设计 (22)3.1.1 极点配置理论 (22)3.1.2 极点配置算法 (23)3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的设计 (24)3.2.1 线性二次型最优控制原理 (24)3.2.2 Q, R阵的选择 (26)第四章控制系统的MATLAB仿真 (27)4.1 仿真软件的介绍 (27)4.1.1 MATLAB简介 (27)4.1.2 MATLAB7.0简介 (28)4.1.3 Simulink 6.0仿真工具箱简介 (29)4.2 无干扰控制系统的仿真 (30)4.2.1 极点配置控制方案的仿真 (32)4.2.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (36)4.3 干扰条件下控制系统的仿真 (40)4.3.1 极点配置控制方案的仿真 (42)4.3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (45)结论 (50)致谢 (52)参考文献 (53)第一章绪论1.1 控制理论的发展控制理论发展至今已有100多年的历史，随着现代科学技术的发展，它的应用也越来越广泛。

直线柔性连接两级倒立摆建模与自由运动仿真

2009年09月第25卷第5期沈阳建筑大学学报(自然科学版)Jo urnal o f Shenyang Jianzhu U n i v ersit y (N atura l Sc i ence)Sep. 2009V o l .25,N o.5收稿日期:2008-06-17基金项目:辽宁省自然科学基金项目(20072011)作者简介:侯祥林(1962)),男,教授,博士后,主要从事非线性系统动力学分析与控制研究.文章编号:1671-2021(2009)05-0934-04直线柔性连接两级倒立摆建模与自由运动仿真侯祥林1,张宁2(11沈阳建筑大学理学院,辽宁沈阳110168; 21沈阳建筑大学土木工程学院,辽宁沈阳110168)摘要:目的建立具有柔性连接的倒立摆力学模型,并进行倒立摆自由摆动过程的仿真分析,为给出有效的精确控制方法提供条件.方法以直线柔性连接二级倒立摆系统为研究对象,应用动力学原理,推导直线柔性连接二级倒立摆系统的微分方程,结合Runge -Kutta 数值积分法对非线性微分方程求解,编制具有一定初始条件的倒立摆各构件运动过程的计算程序.结果获得较为准确的倒立摆力学模型,并通过自由摆动过程的求解表明其有效性.结论为进一步良好的摆起和平衡控制打下基础.关键词:柔性连接倒立摆;微分方程;自由摆动;仿真中图分类号:O 328 文献标志码:A0 引言倒立摆的建模通常在平衡位置附近线性化[1-8].这种方法推导出的模型考虑得不全面,会影响系统的控制.笔者通过非线性化建模方法,采用达朗贝尔原理推导柔性连接倒立摆系统的微分方程[9-11],利用Rung e-Kutta 数值积分法编制计算程序来求解微分方程,为倒立摆系统的过程控制提供条件.1 柔性连接倒立摆微分方程的建立直线柔性连接两级倒立摆系统示意图见图1所示,由两个平动的小车和两个摆杆组成4个自由度系统.设摩擦因数为L ,黏性阻力系数为c,驱动力为F (t );下摆摆杆的质量为m 1,长度l 1,对其质心的转动惯量J c1,质心到转轴的距离l c 1,线性阻尼系数c 1;上摆摆杆的质量为m 2,长度l 2,对其质心的转动惯量J c2,质心到转轴的距离l c 2,线性阻尼系数c 2;弹簧的倔强系数为k;两个小车质量分别为m 3、m 4.上摆摆杆受力分析,如图2所示.上摆摆杆质心坐标:第25卷侯祥林等:直线柔性连接两级倒立摆建模与自由运动仿真935x C 2=x 4-l 1si n H 1-l C 2sin H 2,y C 2=l 1co s H 1+l C 2co s H 2.(1)求导获得上摆摆杆质心速度和加速度:Ûx C 2=Ûx 4-l 1ÛH co s H 1-l C 2ÛH 2co s H 2,Ûy C 2=-l 1ÛH si n H 1-l C 2ÛH 2sin H 2.(2)&x C 2=&x 4-l 1(&H 1co s H 1-ÛH 21si n H 1)-l C 2(&H 2cos H 2-ÛH 22sin H 2),&y C 2=-l 1(&H 1si n H 1+ÛH 21co s H 1)-l C 2(&H 2sin H 2+ÛH 22co s H 2).(3)惯性力和惯性力偶:F gC 2x =m 2&x C 2=m 2[&x 4-l 1(&H 1co s H 1-&H 21si n H 1)-l C 2(&H 2co s H 2-ÛH 22si n H 2)].(4)F gC 2y =m 2&y C 2=-m 2[l 1(&H 1sin H 1+ÛH 21co s H 1)+l C 2(&H 2si n H 2+ÛH 22co s H 2)].(5)M gC 2=J C 2&H 2,阻尼力矩M f2=c 2(ÛH 2-ÛH 1).(6)应用达朗贝尔原理,列出平衡方程:E Fx=0,E Fy=0,E MO2(F )=0.解得:F O 2x =m 2[&x 4-l 1(&H 1co s H 1-ÛH 21sin H 1)-l C 2(&H 2co s H 2-ÛH 22si n H 2)].(7)F O 2y =m 2g -m 2[l 1(&H 1sin H 1+ÛH 21co s H 1)+l C 2(&H 2sin H 2+ÛH 22co s H 2)].(8)m 2g l C 2sin H 2+F gC 2y l C 2sin H 2+F gC 2x l C 2co s H 2-M f2-M gC 2=0.(9)把(6)~(8)代入(9)式,整理得:-m 2l C 2co s H 2&x 4+m 2l 1l C 2co s(H 1-H 2)&H 1+(J C 2+m 2l 2C 2)&H 2=m 2g l C 2si n H 2+m 2l 1l C 2si n (H 1-H 2)ÛH 21-c 2(ÛH 2-ÛH 1).(10)下摆摆杆受力分析,如图3所示.推导同上摆摆杆,得到下摆摆杆的平衡方程:-(m 1l C 1+m 2l 1)co s H 1&x 4+(J C 1+m 1l 2C 1+m 2l 21)@&H 1+m 2l 1l C 2co s(H 1-H 2)&H 2=m 1g l C 1si nH 1+m 2g l 1@si n H 1-m 2l 1l C 2si n (H 1-H 2)ÛH 22-c 1ÛH 1-c 2(ÛH 2-ÛH 1).(11)小车2受力分析,如图4所示.当考虑小车受到的阻力由库仑摩擦阻力和黏性阻力组成,即F f2=(m 4g +F O 1y )L +c Ûx 4,弹簧弹力为F T =k (x 4-x 3).E F y=0,F N 2-m 4g -F c O 1y =0.(12)E Fx=0,-F T -F f2-F c O 1x -m 4&x 4=0.(13)将(12)(13)两式整理得:(m 4+m1+m 2)&x 4-(m 1l C 1+m 2l 1)(L sin H 1+co s H 1)&H 1-(L m 2l C 2sin H 2+m 2l C 2co s H 2)&H 2=L (m 1l C 1+m 2l 1)ÛH 21co s H 1+L m 2l C 2ÛH 22co s H 2-(m 1l C 1+m 2l 1)ÛH 21sin H 1-m 2l C 2ÛH 22sin H 2-k (x 4-x 3)-L (m 4+m 1+m 2)g -c Ûx 4.(14)小车1受力分析,如图5所示.推导同小车2,得:图5 小车1受力分析m 3&x 3=F (t)+k (x 4-x 3)-L m 3g -c Ûx 3.(15)由(10)(11)(14)(15),直线柔性连接二级倒立摆的运动微分方程为936沈阳建筑大学学报(自然科学版)第25卷-m2l C2co s H2&x4+m2l1l C2co s(H1-H2)&H1+(J C2+m2l2C2)&H2=m2gl C2sin H2+m2l1l C2si n(H1-H2)ÛH21-c2(ÛH2-ÛH1),-(m1l C1+m2l1)co s H1&x4+(J C1+m1l2C1+m2l21)&H1+m2l1l C2co s(H1-H2)&H2=m1gl C1sin H1+m2g l1si n H1-m2l1l C2si n(H1-H2)ÛH22-C1ÛH1-c2(ÛH1-ÛH2),(m4+m1+m2)&x4-(m1l C1+m2l1)(L sin H1+co s H1)&H1-(L m2l C2si n H2+m2lC2co s H2)&H2=L(m1lC1+m2l1)ÛH21co s H1+L m2lC2ÛH22co s H2-(m1l C1+m2l1)ÛH21si n H1-m2l C2ÛH22si n H2-k(x2-x1)-L(m4+m1+m2)g-c&x4,m3&x=F(t)+k(x4-x3)-L m3g-cÛx3.(16)2自由运动程序计算211状态方程首先将微分方程(16)设为四元一次方程组:a00&x3+a01&x4+a02&H1+a03&H2=b0,a10&x3+a11&x4+a12&H1+a13&H2=b1,a20&x3+a21&x4+a22&H1+a23&H2=b2,a30&x3+a31&x4+a32&H1+a33&H2=b3.(17)由克莱姆法则求出&x3,&x4,&H1,&H2的表达式:&x3=$0/$,&x4=$1/$,&H1=$2/$,&H2=$3/$.设.z1=x3,z2=x4,z3=H1,z4=H2,z5=Ûx3,z6=Ûx4,z7=ÛH1,z8=ÛH2,获得倒立摆的状态方程:Ûz1=x5,Ûz2=x6,Ûz3=x7,Ûz4=x8,Ûz5=f1(z1,z2,z3,z4,z5,z6,z7,z8,u),Ûz6=f2(z1,z2,z3,z4,z5,z6,z7,z8,u),Ûz7=f3(z1,z2,z3,z4,z5,z6,z7,z8,u),Ûz8=f4(z1,z2,z3,z4,z5,z6,z7,z8,u).(18)212程序实现赋初值z(0)1,z(0)2,z(0)3,z(0)4,z(0)5,z(0)6,z(0)7,z(0)8,以r0=[x10,x20,x30,x40,x50,x60,x70,x80]T为初始状态下释放,自由摆动时间为t f,设定时间增量步长$t.采用Runge-K utta数值积分方法,按时间增量逐步计算状态量.3算例311系统参数摆质量m1=0125kg,m2=0125kg;小车质量m3=115kg,m4=115kg;摆长度l1=014m,l2= 014m,质心到转轴距离l C1=012m,l C2=012m;转动惯量J c1=010133kg#m2,J c2=010133kg# m2;阻尼系数c1=0105,c2=0105;摩擦因数L=0,黏性阻力系数c=0,弹簧倔强系数为k=100.312计算结果与分析取时间步长为01005s,初始条件:H1=0,H2= arctan(010001),ÛH1=0,ÛH2=0.由程序计算出摆杆角度、摆杆角速度、小车位移和速度,共8个状态量.图6、图7为两个摆杆的转角随时间t变化图,由于摆杆是有阻尼的,在摆动过程中摆杆角度不断地衰减,最终在180度的平衡位置上停止摆动.图8、图9是两个小车的位移x随时间t变化图.第25卷侯祥林等:直线柔性连接两级倒立摆建模与自由运动仿真9374结论笔者采用达朗贝尔原理建立直线柔性连接二级倒立摆系统的微分方程.在给定系统参数和初始条件下,运用数值方法获柔性连接,得出倒立摆在自由摆动时间内的摆杆角度和小车位移.计算结果表明,笔者程序分析算法可行.下一步研究工作将应用此模型实现直线柔性连接二级倒立摆的摆起和平衡控制.参考文献:[1]敖银辉,陈新.柔性连接倒立摆的最优控制及状态观测器的应用[J].微计算机信息,2006,22(1):41-43.[2]丛爽,张冬军.柔性连接倒立摆系统的控制与实现[J].控制工程,2004,11(6):507-509.[3]闫勤劳,邢作常,张志勇.直线柔性二级倒立摆控制系统的频率响应法设计[J].计算机工程与设计,2005,26(5):1336-1338.[4]M e ier H,Fa r w ig Z,U nbehauen H.D iscrete com putercon tro l o f a triple i nver ted pendu l u m[J].O pti m a lC ontro l A pp licati o ns&M etho ds,1990,11(2):157-171.[5]Cheng F Y,Z hong G M,L i Y S.Fuzzy contro l o fdoub l e i nv erted pendulu m[J].Fuzzy Sets and Sy s-te m s,1996,79(3):351-354.[6]Y a m akaw a T.S tab ili za tion o f an i nverted pendu l u mby a h i gh-speed fuzzy l og i c contro ll er hard w aresy ste m[J].Fuzzy Sets and Sy ste m s,1996,77(2):151-180.[7]吴昊,秦志强.直线柔性连接两级倒立摆系统建模[J].计算机测量与控制,2004,12(4):352-354. [8]B rads haw A,Shao J.Sw i ng-up contro l o f i nv ertedpendu l u m s y ste m s[J].R obo ti ca,1996,14:397-405.[9]侯祥林,张凤众,戴丽,等.倒立摆系统建模平衡与摆起控制[M].吉林:科学技术出版社,2007. [10]侯祥林,戴丽,徐厚生.具有两种阻尼作用的大摆动单摆阻尼参数的确定[J].沈阳建筑大学学报:自然科学版,2007,23(6):1025-1027.[11]宫成立,侯祥林.具有库仑摩擦的非线性单摆运动过程的数值分析[J].南通职业大学学报,2008,22(2):67-69.M odeli ng of Linear Spri ng-Connected Double I nverte dPendul u m Syste m and Si m ulati ng of FreeM otionHOU X iangli n1,ZHANG N i ng2(1.Scho o l o f S cience,Sheny ang Ji anzhu U nive rsit y,Sheny ang C hina,110168;2.Scho o l o f C iv il Eng i neeri ng,Sheny ang Ji anzhu U n i v ersity,Sheny ang Ch i na,110168)Abst ract:Th is paper a i m s to e stablis h a m echanicalm odel o f linear spr i n g-connected inverted pendu l u m and t o m ake si m ulati n g ana lysis of i n verted pendul u m free s w i n g in o rder to acqu ire an effective and accurate contro lm ethod.B ased on dyna m ics pri n c i p l e s,w ith linear spri n g-connected doub le inverted pendulum sy ste m as a research subjec,t the differentia l equa ti o n s are deduced.C o m bining so l v i n g nonlinear differentia l equa-ti o ns w ith Runge-K utta num erica l integ rating,a com puta ti o nal pr o cedure about m ove m ent o f the i n verted pendulu m is progra mm ed w it h initial conditions.The result is that an exactm echanicalm odel is obta i n ed and its va li d ity is show n by so lution and it is used to l a y t h e r o o t for be tter s w i n g up and ba lance contro.lK ey w ords:linear spri n g-connected doub le i n verted pendulum;differentia l equations;free s w i n g;si m ulating。

二级倒立摆

系统在θ1，θ2广义坐标下没有外力作用，所以有： L d L 0 dt 1 1 d L L 0 dt 2 (4) 2 将其在平衡位置附近进行泰勒级数展开，并线性化，有： (3)
ux

(5)
带入参数值，系统的状态方程为：
x 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 x 0 0 86.69 21.62 1 0 40.31 39.45 2 x 1 0 0 0 0 y 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x 0 0 1 0 1 2 0 u 0 x 1 6.64 0 1 0 2 0.08
通过如下公式可以求得综合误差E和综合误差率EC 表达式：
K1 K 2 Kr 0 K2 K2 K2 E EC f1 ( x) K r 0 0 0 K2 0 0 0.1 0.53 1 0 0 0.63 0.06 0 0 K1 K
二级倒立摆自动起摆[标清版].mp4
20
x 1 0 0 2 u 0 0 x 0 0 1 2
模糊控制器的设计
二级倒立摆系统有6个状态变量，直接进行模糊控制器设计，模糊控制规则会很多，而过多的控制规则，会使控制器的设计和系统的实时性都难以达到要求，所以需要对状态变量进行适当的处理，以减少模糊控制器输入变量，同时又能更好的控制倒立摆系统。根据各个状态变量的特点和作用，引入两个综合变量E和 EC,其中E表示综合误差(小车的位移 x 、上摆的摆角 1、下摆的、上摆的角速摆角 2)，EC表示综合误差变化率（小车的速度 x ）。、下摆的角速度 x1 度 2 1

二级倒立摆模型

二级倒立摆模型1 系统数学模型在忽略空气阻力及各种摩擦力之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和质量块组成的系统。

利用拉格朗日方程推导倒立摆运动学方程，如下：),(),(),(...q q V q q T q q L -=其中，L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能。

拉格朗日方程由广义坐标i q 和L 表示为：i if q Lq L dt d =∂∂-∂∂.其中，i f n i ,,,2,1 =为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三个广义坐标分别为21,,θθx 。

由于在广义坐标21,θθ上均无外力作用，有以下等式成立：01.1=∂∂-∂∂θθLL dt d (1) 02.2=∂∂-∂∂θθLL dt d (2) 求解代数方程，表示成一下形式：),,,,,,(...2.1.211..1x x x f θθθθθ= (3)),,,,,,(...2.1.212..2x x x f θθθθθ= (4)取平衡位置时各变量初值为零)0,0,0,0,0,0,0(),,,,,,(...2.1.21=x x x θθθθ，将(3)(4)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，)..17213112..1x K K K ++=θθθ (5))..27223122..2x K K K ++=θθθ (6)现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用了加速度作为输入，因此还需要加上一个方程..x u = (7)取状态变量如下:.26.15.423121,,,,,θθθθ======x x x x x x x x 由(5) (6)(7)式得到状态空间方程如下：u K K x x x x x x K K K K x x x x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡271765432123221311.6.5.4.3.2.11000000000000000001000000100000010002 线性二次型最优控制器的设计我们要设计一个线性二次型最优控制器，使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，这里没有考虑小车位置。

直线二级倒立摆系统MATLAB模型的建立与仿真

直线二级倒立摆系统模型的建立与仿真1 引言倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定的系统。

该控制方法在军工、航天、机器人等领域和一般工业过程中都有广泛应用。

本文主要讨论二级倒立摆系统模型的建立和仿真。

2二级倒立摆系统数学模型直线二级倒立摆系统是由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。

主要包括导轨、小车和各级摆杆、编码器等元件。

由驱动电机给小车施加一个控制力，迫使小车在导轨上左右移动。

而小车的位移和各级摆杆角度由编码器测得。

系统简化后的直线二级倒立摆系统物理结构图如图2.1所示。

直线二级倒立摆的建模和控制

西南科技大学自动化专业方向设计报告设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制姓名：学号:班级：指导教师：起止日期：方向设计任务书学生班级：学生姓名：学号：设计名称：起止日期：指导教师：方向设计学生日志直线二级倒立摆的建模与镇定控制摘要（150-250字）倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。

而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。

本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。

其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。

关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制Modeling and Balance Control of the Linear DoubleInverted PendulumAbstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment.In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system.Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control一、设计目的和意义二、控制要求对直线二级倒立摆模型的物理特性做分析，然后利用拉格朗日方程建模方法建立倒立摆的数学模型。

二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告

二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告一、选题背景及意义直线倒立摆系统是一种应用广泛的控制系统，它具有复杂的非线性特性，因此对其建模、控制和仿真都具有一定的挑战性。

直线倒立摆系统广泛应用于自动驾驶、飞行器、医疗器械等领域。

本文将研究二级直线倒立摆系统的建模、仿真与实物控制，以提高对该系统的理解和掌握。

通过实验控制实际系统，验证仿真模型的正确性并提高控制策略的可靠性与性能。

二、研究内容1.二级直线倒立摆系统的建模研究系统的动力学特性，建立数学模型，包括机械、电子等方面的模型，并给出系统的描述方程。

2.仿真系统的设计与实现通过MATLAB或Simulink等工具，根据系统的动力学模型进行仿真，分析系统的动态特性，验证模型的正确性。

3.实物系统的设计与实现根据建模结果，设计实物系统，包括硬件和软件，搭建实验环境，并选取合适的控制器，使用反馈控制算法对实验数据进行处理。

4.实物控制系统的测试与优化将实验得到的数据进行分析、处理和优化，比较实物系统和仿真系统的差异并给出改进方案，从而提高系统的动态响应特性和控制性能。

三、研究方法及预期结果本文将采用系统分析、数学建模、仿真分析、控制器设计和优化等方法，通过建模、仿真、实物控制等多个方面去了解直线倒立摆系统。

预期结果是建立二级直线倒立摆系统的模型，完成仿真和实验的设计与实现，控制系统实现稳定的控制策略，并得出实物系统和仿真系统的控制性能优化方案。

四、进度安排第一阶段：文献综述和理论研究，研究直线倒立摆控制系统的基本原理和方法。

（2周）第二阶段：根据文献进行仿真研究，建立稳定的仿真模型。

（2周）第三阶段：设计实物控制系统，搭建实验环境。

（2周）第四阶段：实现控制系统与优化，得出实验数据并进行分析和优化，提高系统的控制性能。

（2周）第五阶段：撰写论文和答辩。

（4周）五、预期成果本文通过对二级直线倒立摆系统的建模、仿真和实物控制的研究，完成了对系统的深入理解和掌握，得出了系统的优化控制方案。

二级倒立摆模糊控制设计

目录绪论 (4)1 倒立摆系统的建模 (5)1.1 倒立摆系统的特性分析 (5)1.2 二级倒立摆系统的数学建模 (5)1.2.1 基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立 (7)1.3 二级倒立摆系统数学模型的线性化处理 (7)2 线性二次型最优控制（LQR）的方案设计 (9)2.1 二级倒立摆性能分析 (9)2.1.1 稳定性分析 (9)2.1.2 能控性能观性分析 (9)2.2 线性二次型最优调节器原理 (10)2.3 加权阵Q和R的选择 (12)3 模糊控制的基本原理 (13)3.1 模糊理论的基本知识 (13)3.1.1 模糊控制概述 (13)3.1.2 模糊集合 (13)3.1.3 模糊规则和模糊推理 (14)3.1.4 反模糊化 (15)3.2 模糊控制系统的设计 (15)3.2.1 模糊控制系统的组成及原理 (15)3.2.2 模糊控制器设计的基本方法与步骤 (17)3.3 二级倒立摆模糊控制器的设计 (18)4 二级倒立摆模糊控制系统的MATLAB仿真 (21)4.1 基于最优调节器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (21)4.2 基于模糊控制器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (24)4.2.1 二级倒立摆模糊控制系统的仿真波形 (24)4.2.2 量化因子和比例因子对模糊控制器性能的影响 (25)4.3 两种控制系统的MATLAB仿真对比研究 (26)结束语 (27)致谢 (28)参考文献 (29)附录 (30)摘要本文以二级倒立摆模型为控制对象，首先阐述了倒立摆系统控制算法的研究发展过程和现状，介绍了倒立摆系统的结构和数学模型，并详细推导了二级倒立摆的数学模型。

其次，本文主要研究倒立摆系统的现代控制方法以及智能控制方法，用LQR 最优控制方法、模糊控制理论设计了控制器，通过MATLAB及SIMULINK仿真两个控制器，分析指出两方法的优缺点，结果表明：智能控制策略不仅能满足非线性系统的控制要求，而且能明显改善控制指标，整个系统具有更好的动态特性。

直线两级倒立摆实验指导

∂f 2 | . . . .. ∂x x =0,θ1 =0,θ 2 =0, x =0,θ1 =0,θ 2 =0, x =0 ∂f 2 | . . . .. ∂θ 2 x = 0,θ1 =0,θ 2 =0, x =0,θ1 =0,θ 2 =0, x =0
k 22 =
∂f 2 | . . . .. ∂θ1 x =0,θ1 =0,θ 2 =0, x =0,θ1 =0,θ 2 =0, x =0
' '' ' '
对于系统，设以下变量： xpend1 摆杆 1 质心横坐标； yangle1 摆杆 1 质心纵坐标； xpend2 摆杆 2 质心横坐标； yangle2 摆杆 2 质心纵坐标； xmass 质量块质心横坐标； ymass 质量块质心纵坐标；又有：
©Googol 2005
136
第 6 章直线两级倒立摆
L( q, q ) = T ( q, q ) − V ( q , q )
. . .
其中 L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能。
d ∂L ∂L − = fi dt ∂ q. ∂qi i
其中 i＝1,2,3……n， f i 为系统在第 i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统的广义坐标有三个广义坐标，分别为 x, θ 1 , θ 2 。首先计算系统的动能：
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第 6 章直线两级倒立摆
k11 = ∂x@tD a dd ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k12 = ∂θ1@tD add ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k13 = ∂θ2@tD add ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k14 = ∂x'@tD add ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. a'@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k15 = ∂θ1'@tD add ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k16 = ∂θ2'@tD add ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k17 = ∂x''@tD add ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k21 = ∂x@tD bdd ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k22 = ∂θ1@tD bdd ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k23 = ∂θ2@tD bdd ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k24 = ∂x'@tD bdd ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k25 = ∂θ1'@tD bdd ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k26 = ∂θ2'@tD bdd ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; k27 = ∂x''@tD bdd ê. x@tD → 0 ê. θ1@tD → 0 ê. θ2@tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. θ1 '@tD → 0 ê. θ2'@tD → 0 ê. x''@tD → 0; Simplify@k12D Simplify@k13D Simplify@k17D Simplify@k22D Simplify@k23D Simplify@k27D m1 = 0.05 ; m2 = 0.13; m3 = 0.236; l1 = 0.0775; l2 = 0.25; g = 9.8 ; k12 k13 k17 k22 k23 k27

二级倒立摆系统的最优控制

J= 1 T T ∫ [ x (t )Qx(t ) + u (t ) Ru(t )]dt 20
∞
ut
+
B
+
1 /S
x
C
y
A
R-1BT
P
五、仿真分析
将某二级倒立摆系统模型各参数代入式1-8，得出系数矩阵设, 写出Matlab程序如下：
A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1; 0,-2.57163,0.164291,-16.6674,0.0124145,0.005; 0,29.9499,-15.1957,40.3167,-0.204856,0.17380; 0,29.9499,65.4455,-49.3949,0.463474,-0.59148]; B=[0;0;0;8.64636;-20.9146;25.9146]; C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0]; %求开环特征值 r1=eig(A) %加入最优反馈器 q1=100;q2=10;q3=5000;q4=0;q5=0;q6=0; Q=[q1 0 0 0 0 0;0 q2 0 0 0 0;0 0 q3 0 0 0;0 0 0 q4 0 0;0 0 0 0 q5 0;0 0 0 0 0 q6];R=1; %求最优增益矩阵、黎卡提方程的解、闭环特征值 [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D]; T=0:0.02:20;U=zeros(size(T)); x0=[0;-0.05;0.1;0;0;0]; [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0); %绘制下摆偏离垂直方向的角度变化曲线 figure(1);plot(T,Y(:,1)); xlabel('Time/sec');ylabel('01/rad');grid; %绘制上下摆角度之差的曲线 figure(2);plot(T,Y(:,2)); xlabel('Time/sec');ylabel('02-01/rad');grid; %绘制小车位移曲线 figure(3);plot(T,Y(:,3)) xlabel('Time/sec');ylabel('x(小车)/m');grid;

直线二级倒立摆控制课程设计指导书

直线两级倒立摆控制课程设计指导书一、课程设计目的学习直线两级倒立摆的数学建模方法，运用现代控制理论知识设计控制器，应用Matlab进行仿真并与实际系统运行结果进行对比分析。

通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。

二、课程设计内容1、应用动力学知识建立直线两级倒立摆的数学模型（微分方程的形式），并转变成状态空间的表达形式。

2、运用现代控制理论知识，按设计要求设计状态反馈控制器。

3、应用Matlab的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。

4、将仿真设计所得的状态反馈设计参数应用于实际控制系统中，观察实际控制结果，对比仿真结果与实际输出结果，修正设计值，使之满足设计要求。

三、课程设计参数与要求1、控制对象示意图图1 直线两级倒立摆系统模型图2、对象的参数l摆杆1转动中心到杆质心的距离0.09m M 小车质量1.32 Kg1l摆杆2转动中心到杆质心的距离0.27m m1 摆杆1的质量0.04 Kg2m2 摆杆1的质量0.132 Kg F 作用在系统上的外力m3 质量块的质量0.208 Kg X 小车的位移θ1摆杆1与垂直向上方向的夹角θ2摆杆2与垂直向上方向的夹角注：θ1、θ2取逆时针方向为正方向3、控制要求（系统开始运动到稳定运行时，以及接受扰动时）※小车位置X 和摆杆角度的稳定时间小于5 秒；※小车位置X的波动幅度小于0.3m；※摆杆角度θ1、θ2的波动幅度小于5度※稳态误差小于2% 。

四、课程设计所需提交的内容1、系统建模的详细推导过程和状态反馈控制器的设计过程。

2、给出整个控制系统的Simulink仿真结构图。

3、计算系统引入状态反馈前和引入状态反馈后的极点，并用Matlab绘图功能绘制极点图。

4、应用Matlab绘图功能分别绘制系统在零输入状态（初始状态不为零）、扰动输入（扰动量持续时间≤0.5s）时的系统响应曲线图（只需X、θ1、θ2的响应曲线，在每一输入状态下，此三个量的响应曲线在同一图中体现），并给出给响应曲线的动态响应指标值。

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而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。

本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。

其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。

关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制Modeling and Balance Control of the Linear Double InvertedPendulumAbstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment.In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it, then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system.Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control一、设计目的和意义二、控制要求对直线二级倒立摆模型的物理特性做分析，然后利用拉格朗日方程建模方法建立倒立摆的数学模型。

利用线性二次最优控制理论设计倒立摆的LQR镇定控制器，在Matlab和Simulink 中完成倒立摆的镇定控制仿真，得出倒立摆LQR控制器设计规律。

三、设计方案论证牛顿力学建模方法：根据传统的牛顿力学分析，建立二级摆动力学方程，最后经过求解方程建立系统的数学模型。

特点：分析通俗易懂，但需要求解大量微分方程，计算复杂；对于二级以上倒立摆建模很少使用。

拉格朗日建模方法：基于广义力和广义坐标的系统能量法，需要求出系统的动能和势能，建立Lagrange方程。

特点：理论较难，但建模简单，可以编程求解方程。

四、系统设计倒立摆系统是由导轨、小车和各级摆杆组成，本文研究的直线二级倒立摆的物理结构如图1-1所示。

小车依靠直流电机施加的控制力，可以在导轨上左右移动，其位移和摆杆角度信息由传感器测得，目标是使倒立摆在有限长的导轨上竖立稳定，达到动态平衡。

图1-1直线二级倒立摆的物理结构其中，双摆系统由摆杆1、摆杆2、质量块1、小车和基座组成。

摆杆1与摆杆2由质量块1连接，摆杆1与基座都由带滚动轴承的旋转轴自由相连。

小车装在滑动轴上，通过电机带动皮带使小车移动。

为了测量摆杆的转角，转轴上安装有增量式角度编码器，内杆与小车连接处的角度编码器的质量可直接考虑为小车质量的一部分，故图中只表注了内外杆连接处的编码器质量块1。

两个摆杆不带动力源，两摆杆的运动控制只能通过小车的移动来实现。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆的平衡。

当把摆杆提起到平衡位置附近后放开，若小车不动，摆杆会由于重力倒下来。

当小车在水平方向上移动时，摆杆受到一个转动力矩，这个力矩使摆杆朝与小车运动方向相反的方向运行，通过规律性的改变小车的受力方向使得摆杆在竖直方向上左右摆动，从而实现摆杆在竖直方向上的动态平衡。

直线二级倒立摆系统的物理参数如表所示。

表直线二级倒立摆的物理参数1.基于Lagrange方程方法建立二级摆的数学模型为了对二级摆的性能做具体的研究，需要建立倒立摆的数学模型。

系统建模方法可以分为两种：机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入、状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内进行机理建模。

对于小车系统的机理建模，一般有牛顿力学建模方法和分析力学中的拉格朗日方程建模方法两种途径。

牛顿力学建模法分析复杂，且要计算大量的微分方程组，而拉格朗日建模方法分析简单，可以编程求解方程。

因此本文采用拉格朗日方程建模方法建立倒立摆的数学模型，应用mathematica软件编程求解拉格朗日方程，简化对微分方程的求解。

方程建模的基本原理Lagrange方程属于分析力学的范畴，是基于广义坐标和广义能量的方法。

Lagrange方程是由虚功原理推导出来的，指受理想约束的完整力学系中广义力做功为零。

在分析力学中，质点系的虚功可以表示如下：1NQi i i W F q δδ==⋅∑其中，Qi F 称为对应于第i 个广义坐标i q 的广义主动力，i q δ是广义坐标i q 的广义虚位移。

因为i q δ可以是虚线位移，也可以是虚角位移，因此Qi F 可以有力或力矩的量纲，这体现了广义力的广义性。

广义力一般分为保守力和非保守力，保守力是做功与路径无关的力，非保守力是做功与路径有关的力。

虚功原理解决的是受理想约束的完整力学系统处于静平衡状态的问题，当系统在运动时，通过达朗伯定理引入惯性力，将系统运动时的问题转化为静力学问题。

此时系统受主动力、约束力和惯性力处于静平衡状态，应用虚功原理，得到达朗伯-拉格朗日方程。

应用达朗伯-拉格朗日方程可以推导出基于广义坐标和广义能量的Lagrange 方程，本节中我们只对Lagrange 方程进行应用，因此舍去其详细的推导过程。

下面对Lagrange 方程的三种基本形式做介绍。

（1）基本的第二类拉格朗日方程为：（2）主动力是保守力的拉格朗日方程为：（3）主动力包括保守力和非保守力的拉格朗日方程为：其中为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能，i Q 为广义坐标i q 对应的广义力。

对一个系统进行Lagrange 方程建模时的步骤为：首先明确对象，一般取整个系统为研究对象。

对整个系统进行受力分析，分析主动力，当出现非理想约束力时，将其视为主动力；选择恰当形式的拉格朗日方程。

然后对系统的运动性能进行分析，恰当系统中独立的广义坐标。

进而求取系统的动能和势能，得到系统的拉格朗日函数，求偏导和全导，代入拉格朗日方程，获N 个运动微分方程。

最后对N 个微分方程进行线性化，求出系统的数学模型。

3.二级倒立摆系统建模应用Lagrange 方程对二级摆系统进行建模时，对二级摆系统进行受力分析。

由于二级摆系统受推力和摩擦力作用，其中推力属于保守力，摩擦力属于非保守力。

因此选用主动力包括保守力和非保守力的拉格朗日方程。

1,2,i i id L LQ i n dt q q ∂∂-==∂∂•••对二级摆系统的运动特性进行分析，确定广义坐标。

在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为12,,x θθ。

当i q x =时，i Q F =；当12i q θθ=、时，对应的i Q 为零。

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