21.2.2公式法导学案
[学习资料]九年级数学上册 21.2.2 公式法导学案(无答案)(新版)新人教版
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公式法学习目标：[知识与技能]：了解一元二次方程的求根公式的推导过程，会用求根公式解简单的一元二次方程。
[过程与方法]：经历求根公式的推导过程，体会直接运用公式把方程中的“未知”转化为“已知”的思维方法。
[情感、态度与价值感]：通过一元二次方程的求根公式的推导过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法，养成勇于探索的科学精神。
重点与难点：重点：求根公式的推导与运用.难点：求根公式的推导。
学习过程：一、预习检测：1、解方程 (1)x 2=4 (2)(x –2) 2=7思考：你的这种解法的（理论）依据是什么？这种解法的局限性是什么？面对这种局限性， 怎么办？试通过解方程 2x 2+3=7x 加以说明。
【归纳】：上述解一元二次方程的步骤：(1)将已知方程化为_______________；(2)化二次项系数为______；(3)常数项移到等式_____；(4)方程两边都加上_____________一半的平方，使左边配成一个______________；(5)变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±q ；如果q ＜0，方程无实根。
阅读课本P.9—10内容，补全下列推导过程：(1)对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，方程两边都____，得x 2+____+____=0；________，得x 2+_____x=______；配方，得x 2+_____+(______)2=______+_______；即(x+____)2=________。
对于方程 (x+a b 2)2=2244a abb 也可以用“直接开平方法”求解吗？为什么？【归纳】：一般地，式子b2–4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即∆=b2—4ac。
当∆>0时，方程有两个_____________；当∆=0时，方程有两个____________；当∆<0时，方程_____实数根。
九年级数学上册21.2.2公式法导学案新版新人教版
21.2.2解一元二次方程——公式法预习案一、预习目标及范围1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。
范围：自学课本P9-P12，完成练习.二、预习要点1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。
三、预习检测1.什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？2．怎样用配方法解形如一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一元二次方程？探究案一、合作探究活动内容1：小组合作问题1：用配方法解方程24630x x --=问题2：用配方法解方程20ax bx c ++=活动内容2：典例解析问题1：用配方法解方程：222033x x --=解: a=2, b=5, c= -3,∴ b 2-4ac=52-4×2×(-3)=49∴522-±⨯=574-±X 1 =-3 X 2 =12问题2：用公式法解方程 222033x x --=解：方程两边同乘以3,得 2 x 2 -3x-2=0a=2，b= -3，c= -2.∴b 2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.∴(3)22--±⨯=354±X 1 =-2 X 2 =-12问题3： 用公式法解方程：x 2a=2，，c= 3.∴b 2) 2-4×1×3=0∴ x =2b a -±X 1 = X 2例4 解方程：(2)(13)6x x --=解：去括号，化简为一般式： 23780x x -+= a=3，b= -7，c= 8.∴b 2-4ac=(-7) 2-4×3×8=-47<0.∴方程没有实数解。
活动内容3：知识归纳：24b ac -叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即24b ac ∆=-．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）240b ac ∆=->⇔方程有两个不相等的实数根；（2）240b ac ∆=-=⇔方程有两个相等的实数根；（3）240b ac ∆=-<⇔方程没有实数根．公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当240b ac -≥时，它的两个根分别是12b x a -+=，22b x a-=，这里，)240x b ac =-≥叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)；确定a ，b ，c 的值；求出24b ac -的值，并判断方程根的情况：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．当240b ac -≥时，将a ，b ，c 和24b ac -的值代入公式2b x a -±=（注意符号）．二、随堂检测1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( )A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=04.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A.m＜1B. m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠06.用公式法解下列方程：参考答案预习检测：1.配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．2.解：移项，得2,ax bx c +=-二次项系数化为1，得2,bcx x a a +=- 配方，得222()(),22bbcbx x a a a a ++=-+ 即：222424b b acx a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0,a ≠所以当240b ac ->时，；2b x a -±= 当240;2bb ac a -==-12时，x =x 当240;2bb ac a -==-12时，x =x随堂检测：。
部编版人教初中数学九年级上册《21.2.2 公式法 教学设计》最新精品优秀完美实用教案
让学生尝试对
和数学结论的
b2 4ac 的值进行 确定性.
4a2
活动 5.初步使用公式解方程 6x2-7x+1=0.
分析
对 b2 4ac 的
活动 6.总结使用公式法的一般步骤：○1 把方程整理成一般形 学生尝试归纳，师生
4a2
式，确定 a,b,c 的值，注意符号
总结
值的情况具有
学生初步使用公式， 不确定性进行
教
技 能 情况.
3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
学
1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探
索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；
过程
目
2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方
方法
程，操作简单.
加强教学反 思，帮助学生 养成系统整理 知识的学习习 惯
过部分电费为多少元？（•用 A 表示）
加深认识，深
（2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况
化提高，形成
月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）
3
80
25
学生自己的知 识体系.
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？
2a
三、课堂训练
为以后熟练使 用公式打基础
1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
-1-
2.课本例 2 四、小结归纳
本节课应掌握： 1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根 2.用求根公式求一元二次方程的根 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 五、作业设计
《21.2.2 公式法》教案、导学案、同步练习
《21．2.2 公式法》教案【教学目标】1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．【教学过程】一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝－b±b2－4ac2a＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x1＝－2，x2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－3 2 .方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3C．7或3 D．无法确定解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.《21.2.2 公式法》教案【教学内容】1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．【教学目标】理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．【重难点关键】1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．【教学过程】一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 （老师点评） （1）移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为1，得：x 2-76x=-16配方，得：x 2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512 x 1=512+712=7512+=1 x 2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -x 2=2b a--分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a）2即（x+2b a）2=2244b aca -∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba =即x=2b a-±∴x 1=2b a -+，x 2=2b a-由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a 、b 、c 代入式子就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=(4)422242--±±±==⨯∴x 1=22，x 2=22- （2）将方程化为一般形式 3x 2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±=x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式 3x 2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--±±=⨯∴x 1=116+，x 2=116- （3）a=4，b=-3，c=1 b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5） 四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22mx ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=(1)13224--±±=⨯x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13．五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．x=32-± B ．x=32±C ．x=32-± D ．x=32±2x 2=0的根是（ ）．A ．x 1，x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1，x 2D ．x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）． A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或2 二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值． 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？ 答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．x=2b a -b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3三、1．=a ±│b │2．（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1x 2=∴x 1+x 2=2b b a -ba ，x 1·x 2=2b a -2b a -=ca（2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0 原式=ax 13+bx 12+c 1x 1+ax 23+bx 22+cx 2 =x 1（ax 12+bx 1+c ）+x 2（ax 22+bx 2+c ） =03．（1）超过部分电费=（90-A ）·100A =-1100A 2+910A （2）依题意，得：（80-A ）·100A =15，A 1=30（舍去），A 2=50《21.2.2 公式法（1）》教案【教学内容】用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况及其运用．【教学目标】掌握b 2-4ac>0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．【重难点关键】1．重点：b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．2．难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系．【教具、学具准备】小黑板【教学过程】一、复习引入（学生活动）用公式法解下列方程．（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2x+1=0 （3）4x 2+x+1=0老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=<0，•方程没有实根二、探索新知从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=2b a-±，当b 2-4ac>0时，等于一个具体数，所以一元一次方程的x 1=2b a -+≠x 1=2b a--，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -x 2=2b a--． （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．例1．不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0（3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac 的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．解：（1）化为16x 2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b 2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0 ∴方程有两个不相等的实根．（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0 ∴方程有两个不相等的实根．三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-34=0（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+116=0（5）x214=0 （6）4x2-6x=0（7）x（2x-4）=5-8x四、应用拓展例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a 的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a五、归纳小结本节课应掌握：b2-4ac>0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．六、布置作业1．教材P复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．462．选用课时作业设计．第五课时作业设计一、选择题1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解C．∵b2-4ac=8，∴方程有解D．∵b2-4ac=8，∴方程无解2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．A．a=0 B．a=2或a=-2C．a=2 D．a=2或a=03．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（）+4=02．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．p2-4q=0 2．有两个不等实根 3．有两个不等实根三、1．（1）化为3x2-5x-2=0 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0，有两个不等实根．（2）b2，没有实根．2．∵c<0 ∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，•∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．4．设平均增长率为x，400000008%（1+x）2=720000000，即50（1+x）2=72 解得x=20%，∴年销售总额的平均增长率是20%．《21.2.2 公式法》导学案学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
临猗县第一中学九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法导学案新版
第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法学习目标：1.经历求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.重点：运用公式法解一元二次方程. 难点：一元二次方程求根公式的推导.一、知识链接如何用配方法解方程2x 2+4x -1=0?二、要点探究探究点1：求根公式的推导合作探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？问题1 用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0).解：移项，得ax 2+bx =－c ，二次项系数化为1，得x 2+ x =c a配方，得x 2+ x +( )2=( )2c a即(x +2b a)2=2244b aca ①问题2 对于方程①接下来能直接开平方解吗？要点归纳：∵a ≠0，∴4a 2>0.要注意式子b 2－4ac 的值有大于0、小于0和等于0三种情况. 探究点2：一元二次方程根的判别式22= b 2－4ac.练一练 按要求完成下列表格.4403x21103x x 10的值x 2+x =1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 3x 2+4x －3=0； (2) 4x 2=12x －9； (3) 7y =5(y 2+1).方法总结：现将方程变形为一般形式ax 2+bx +c =0，再根据根的判别式求解即可.例3 若关于x 的一元二次方程x 2+8x +q =0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( ) A. q ≤4 B. q ≥4C. q <16D. q >16【变式题】二次项系数含字母若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A. k >－1 B. k >－1且k ≠0C. k <1D. k <1且k ≠0方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.【变式题】删除限制条件“二次”若关于x 的方程kx 2－2x －1=0有实数根，则k 的取值范围是( ) A. k ≥－1 B.k ≥－1且k ≠0C.k <1D.k <1且k ≠0探究点3：用公式法解方程由上可知，当≥0时，方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的实数根可写为242bb acxa的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.p11例2)用公式法解下列方程：(1) x 2－4x －7=0； (2) 2x 2－+1=0；(2) 5x 2－3x =x +1； (4) x 2+17=8x .要点归纳：公式法解方程的步骤： 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a ，b ，c 写出各项系数；3.计算：b 2－4ac 的值；4.判断：若b 2－4ac ≥0，则利用求根公式求出；若b 2－4ac <0，则方程没有实数根.1.不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 2x 2+3x －4=0； (2) x 2－x +14=0； (3) x 2－x +1=0.2.解方程：x 2+7x –18 = 0.3.解方程：(x －2) (1－3x ) = 6.4.解方程：2x 2－ + 3 = 0.5.（1）关于x的一元二次方程220x x m有两个实根，则m的取值范围是；（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.6.不解方程，判别关于x的方程22x kx k的根的情况.220能力提升：在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.参考答案自主学习一、知识链接解：方程整理得212.2x x 配方，得23+12x .直接开平方，得6+12x ，∴12661122x x ，.课堂探究 二、要点探究探究点1：求根公式的推导问题1 b a b a 2b a 2ba问题2 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.探究点2：一元二次方程根的判别式两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根练一练 从上往下，从左到右依次为0，13，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实解析：原方程变形为x 2+x －1=0.∵b 2－4ac =1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.例2 解：（1）3x 2+4x －3=0，a =3，b =4，c =－3，∴b 2－4ac =42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x 2－12x +9=0，∴b 2－4ac =(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根． （3）方程化为：5y 2－7y +5=0，∴b 2－4ac =(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．例3 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即82－4q >0.解得q ＜16，故选C.【变式题】B 解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即(－2)2+4k >0.又二次项系数不为0，可得k >－1且k ≠0，故选B.【变式题】A 思路分析：分k =0或k ≠0两种情况进行分类讨论. 探究点3：用公式法解方程例4 解：(1)a =1，b =－4，c =－7，b 2－4ac =(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)44211.221bb ac xa即12211211x x ，.(2)a =2，b =22，c =1，b 2－4ac =(22)2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即212422022222bb ac x x a. (3)方程化为5x 2－4x －1=0，a =5，b =－4，c =－1，b 2－4ac =(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)3646.22510bb ac xa 即12115x x ，. (4)方程化为x 2－8x +17=0，a =1，b =－8，c =17，b 2－4ac =(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根. 当堂检测1.解：(1)a =2，b =3，c =－4，b 2－4ac =32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.(2)a =1，b =－1，c =14，b 2－4ac =(－1)2－4×1×14=0.方程有两个相等的实数根.(3)a =1，b =－1，c =1，b 2－4ac =(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.2.解：这里a =1，b =7，c =－18，b 2－4ac =72－4×1×(－18)=121＞0.∴247121711.2212bb ac xa1292x x ，.3. 解：去括号，得x －2－3x 2+ 6x = 6，化为一般式为3x 2－7x + 8 = 0，这里a =3，b =－7，c =8，b 2－4ac =(－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根. 4.这里a =2，b =33，c =3，b 2－4ac =(33)2－4×2×3=3＞0. ∴24333.24bb acxa12332x x ，. 5.(1)m ≤1(2)解：化为一般式(m －1)x 2－2mx +m －2=0．Δ＝4m 2−4(m −1)(m −2)≥0，且m －1≠0，解得23m且m ≠1. 6.解：222222241844kk k k k ，∵20k ，∴240k ，∴0.∴方程有两个实数根.能力提升解：关于x 的方程x 2+(b +2)x +6－b =0有两个相等的实数根，所以Δ=b 2－4ac =(b －2)2－4(6－b )=b 2+8b －20=0.所以b =－10或b =2.将b =－10代入原方程得x 2－8x +16=0，x 1=x 2=4；将b =2代入原方程得x 2+4x +4=0，x 1=x 2=－2（舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.第2章圆2.1 圆的对称性【知识与技能】1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义.2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.4.点与圆的位置关系.【过程与方法】通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆.【情感态度】结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形.2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.二、思考探究，获取新知1.圆的定义问题如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象.如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”.注意:圆指的是圆周,不是圆面.【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义.2.点与圆的位置关系一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有（1）点P在⊙O内d＜r（2）点P在⊙O上d=r（3）点P在⊙O外d＞r3.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB、AC)直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径.注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.如图,以A、B为端点的弧记作,AB,读作:弧AB.注:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的ABC,叫做优弧.小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的AC,叫做劣弧.等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等.等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧.注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.②等弧只存在于同圆或等圆中.【教学说明】结合图形,使学生准确地掌握与圆有关的概念,为后面的学习打下基础.4.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.（2）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.【教学说明】上述两个结论是通过教材P44探究1、2而得出来的，教师应引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示.思考车轮为什么做成圆形的?如果车轮不是圆的(如椭圆或正方形等),坐车人会是什么感觉?【分析】把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此,车辆在平路上行驶时,坐车的人会感到非常平稳.如果车轮不是圆的,车辆在行驶时,坐车人会感觉到上下颠簸,不舒服.三、运用新知，深化理解1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（）A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.可能在⊙A上也可能在⊙A外2.（1）以点A为圆心，可以画____个圆.(2)以已知线段AB的长为半径,可以画____个圆.(3)以A为圆心，AB长为半径,可以画___个圆.3.如图，半圆的直径AB=________.第3题图第4题图4.如图，图中共有____条弦.【教学说明】学生自主完成,加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况,对学生的疑惑教师及时指导,并进行强化.【答案】1.C 2.(1)无数(2)无数(3)1 3.22 4.2四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳,对于某些概念性的知识,要结合图形加以区别和理解.1.布置作业:从教材“习题2.1”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生感受生活中圆的应用开始,到通过学生动手画圆,培养学生动手、动脑习惯,在操作过程中观察圆的特点,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线2283y x x =--与x 轴有______个交点，因为其判别式24b ac -=_____0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为_______．2.二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为________．3.关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于 ______点，此时m =__________．4. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个5.关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ） Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠ Ｃ．116m =- Ｄ．116m >-且0m ≠ 6.函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（ ）Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个异号的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根7. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c8.已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是h 和k 的值．9.已知函数22y x mx m =-+-． （1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点；（2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．10.已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC的面积为此二次函数的函数表达式．11.已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．（1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P，使△PAB面积等于四边形ACMB面积的2倍，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。
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21.2.2公式法
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2．会熟练应用公式法解一元二次方程．
阅读教材第9至12页的部分，完成以下问题．
1．用配方法解下列方程：
(1)6x2－7x＋1＝0；(2)4x2－3x＝52.
2．如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x
1＝
－b＋b2－4ac
2a
，
x 2＝
－b－b2－4ac
2a
.
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个
具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
知识探究
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2
－4a c≥0时，将a、b、c代入式子x＝－b±b2－4ac
2a
就得到方程的根，当b2－
4ac＜0，方程没有实数根；
(2)x＝－b±b2－4ac
2a
叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式；
1。
新人教版九年级数学上册21.2.2公式法(2)导学案
新人教版九年级数学上册21.2.2公式法（2）导学案学习目标：1.熟练运用公式法解方程，理解根的判别式与一元二次方程根的关系.2.会利用判别式判断方程根的情况，并会根据它们的关系求字母系数的取值范围 学习重点、难点：利用根的情况求相关字母的取值范围.一、预习导学： 1.一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的求根公式是： .2.解下列方程（1）2323x x += （2）22340x x -+= （3）221x x +=二、新知探究：思考：一元二次方程的根的情况有哪几种？取决于 .归纳：当判别式 时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当判别式 时，一元二次方程有两个相等的实数根； 当判别式 时，一元二次方程无实数根．例题：1. 不解方程，判断下列方程根的情况．（1）012222=+-x x （2）1352+=-x x x （3）x x 8172=+2.不解方程，判断关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的根的情况．㈡利用根的判别式可以判断方程根的情况．反之，已知根的情况也可以求 相关字母的取值范围.已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，求m 的取 值范围．简记简记三、当堂达标：1. 不解方程，利用根的判别式判断下列方程根的情况（1）x x 352= （2） 02222=+-x x2.关于x 的方程kx 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．3．不解方程，判断关于x 的一元二次方程x 2-kx+k-2=0的根的情况．四、课堂小结：1.一元二次方程的求根公式是： .2.根的判别式的用途是：1. .2. .五、学后反思:。
(公开课) 21.2.2 公式法 （17张PPT）教案导学案设计思路说明
人教版数学九年级上册21.2.2解一元二次方程——（公式法）教学设计学校峨山县塔甸中学授课教师普正林一、教材分析1、地位作用：本章是一元一次方程、二元一次方程(组)等内容的深入和发展，也是以后学习方程以及函数等数学知识的基础。
“一元二次方程的解法”则是初中数学的“方程”中的一个重要内容之一，公式法解一元二次方程是在学完直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，培养学生由特殊到一般的解题思想。
2、教学目标：知识技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程；3.能够理解一元二次方程根的判别式，并能应用根的判别式进行相关的计算或推理。
数学思考：经理探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力.问题解决：引导学生熟记一元二次方程的求根公式x=，能理解公式中的条件b2-4ac≥0.情感态度：通过应用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学号数学的自信心.3、教学重、难点重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．突破难点的方法：依照学生的认知规律引导学生从简单的问题中发现规律，突出本节课的重点。
在训练内容的选择上考虑到学生接受新旧知识结合的能力：一是以方法为主，采用层层递进的方式，二是以基本技能为主，而不追求繁难的一元二次方程的解题特殊技巧。
在运用不同的方法解一元二次方程时，要具体问题具体分析选择最佳方法合理解题。
在精心设计的练习过程中抓住学生问题的症结，培养学生独立分析、理解能力和思考解决问题的能力，提高解题技巧。
二、教学准备：ppt多媒体课件三、教学过程。
人教版九年级数学上册 21.2.2 公式法 精品导学案1 新人教版
公式法 学习目标：1、知识和技能：理解一元二次方程求根公式的推导过程；会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；2、过程和方法：经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；3、情感、态度、价值观：通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
学习重点：求根公式的推导和公式法的应用。
学习难点：一元二次方程求根公式的推导。
导学方法：课 时：导学过程一、课前预习：阅读课本P34——35的有关内容，尝试解答《导学》中教材导读中的问题及自主测评。
二、课堂导学：1、导入前面我们学习了用配方法解一元二次方程，想一想用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？任何一个一元二次方程都可以写成20(0)ax bx c a ++= ≠的形式，你能用配方法解下列方程吗?2、出示任务 自主学习阅读课本P34—35的有关内容，思考下列问题：认真阅读用配方法解方程20(0)axbx c a ++= ≠的全过程，理解每一步变形的依据。
2）思考教材中方程即（x +2b a）2=2244b ac a - 能不能用直接开平方法求解 ？为什么？ 3）一元二次方程的求根公式是什么？应用求根公式的条件是什么？4）阅读课本例2，感悟用公式法解一元二次方程的一般步骤。
3、合作探究b 2－4 ac 为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？三、展示与反馈：检查自学情况，解答学生疑问。
四、学习小结：1、一元二次方程的求根公式．2、公式法。
2、用公式法解一元二次方程的步骤。
五、达标检测1、课本练习1、22、《导学》展题设计教学反思在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
21.2.2公式法导学案(学生)
1不解方程，判断下列方程中没有实数根的是（ ）
A．2-1=0B．23=0C．283=0D．22 2 =0
2bc=0（a≠0）中，若a与c异号，则方程根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等实数根C．有两个相等实数根D．以上都有可能
3解下列方程：
（1）2-6=0； （2）2- - =0； （3）32-6-2=0；
△=b2-4ac
△＞0时方程a2bc=0（a≠0）；
△＝0时方程a2bc=0（a≠0）；
△＜0时方程a2bc=0（a≠0）
3求根公式
当△≥0时，方程a2bc=0（a≠0）的实根写成 的形式
这个式子叫做一元二次方程a2bc=0（a≠0）的求根公式利用这个公式可以求出一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫公式法，你是如何理解公式法的
2用公式法解下列方程：
（1）2-12=0； （2）2- - =0； （3）248=211；
（4）-4=2-8； （5）22=0； （6）22 10=0
发展题：
取何值，方程-3-2-3cm7cm，且a满足a2-42 a64 =0，求三角形的周长
提高题：
解关于的方程（m-1）22mm3=0
四、自主反思环节
（4）42-6=0； （5）248=411； （6）2-4=5-8
4求第节中问题1的答案
5解本章引言中所列的方程
三、自主练习环节
（学法指导---个人先看书复习，再独立认真完成本练习案。不懂不会之处讲评时用红笔标注并订正出来）
基础题：
1利用判别式判断下列（3）2-4 9=0； （4）3210=228
【板块一】推导求根公式
2bc=0（a≠0）
问题：①你是否能将此方程配方后得出 呢
新人教版九年级数学上册 21.2.2 公式法学案1
21.2.2公式法
1、一元二次方程的求根公式．
2、公式法。
2、用公式法解一元二次方程的步骤。
课后反思：
3、合作探究
b2－4ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
三、展示与反馈：
检查自学情况，解答学生疑问。
四、学习小结：
1、一元二次方程的求根公 式．
2、公式 法。
2、用公式法解一元二次方程的步骤。
五、达标检测
1、课本练 习1、2
2、《导学》展题设计
课后作业：
习题21.2
《导学》
学习重点：
求根公式的推导和公式法的应用。
学习难点：
一元二次方程求根公式的推导。
导学方法：
课时：
导学过程
一、课 前预习：
阅读课本P 34——35的有关内容，尝试解答《导学》中教材导读中的问题及自主测评。
二、课堂导学：
1、导入
前面我们学习了用配方法解一元二次方程，想一想用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？任何一个一元二次方程都可以写成 的形式，你能用配方法解下列方程吗?
2、出示任务 自主学习
阅读课本P34—35的有关内容，思考下列问题：
认真阅读用配方法解方程 的全过程，理解每一步变形的依 据。
2）思考教材中方程即（ x+ ）2= 能不能用直接开平方法求解？为什 么？
3）一元二次方程的求根公式是什么？应用求根公式的条件是什么？
4）阅读课本例2，感悟 用公式法解一元二次方程的一般步骤。
公式法学习ຫໍສະໝຸດ 标：1、知识和技能：理解一元二次方程求根公式 的推导过程；
会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；
2、过程和方法：
九年级数学上册 21.2.2 公式法导学案(无答案)(新版)新人教版
九年级数学上册 21.2.2 公式法导学案（无答案）（新版）新人教版教学目标1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）• 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．【课前预习】导学过程阅读教材部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤：2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1=242b b aca-+-x2=242b b aca---分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：，二次项系数化为1，得配方，得：即∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：（1）b2-4ac＞0，则2244b aca-＞0直接开平方，得：即x=242b b aca-±-∴x1= ，x2=（2）b2-4ac=0，则2244b aca-=0此时方程的根为即一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个的实根。
（3）b2-4ac＜0，则2244b aca-＜0，此时（x+2ba）2 ＜0，而x取任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。
由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=242b b ac a-±-就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。
九年级数学上册人教版：21.2.2 公式法解一元二次方程 导学案
21.2.2 公式法解一元二次方程导学案【自主探究】1. 试推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：2. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况：（1）当Δ＞b2-4ac时：（2）当Δ= b2-4ac时：（3）当b2-4ac＜0时：3.运用公式法的一般过程有哪些？【尝试应用】1．用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0 （2）4x2-3x+1=0（3）4x2-6=0 （4）x（x-4）=2-8x2、不解方程，利用判别式判定下列方程的根的情况：3=0 （2）4x2-12x+9=0 （3）3x2+4=2x2+x （1）x2-3x-2【补偿提高】1、已知关于x的一元二次方程2210+-=有两个不相等的实数根，求实kx x数k的取值范围。
2.若关于x的方程x2－2x+k－1=0 。
（1）方程有实数根，则k的取值范围（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.3、当K为何值时，关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x=-k2+2k+3 (1)有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；4、已知关于x的方程x2+2x+a-2=0(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一个根；学后小结：21.2.3 公式法解一元二次方程补偿作业姓名1、不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，其中，有实数根的方程是2、方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、有一个实数根D、没有实数根3、已知关于x的一元二次方程2210kx x+-=有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是4、用公式法解下列方程；1（1）2t2+3=7t （2）x2-3x =4。
人教版九年级数学上册 学案：21.2.2 公式法
21.2.2 公式法学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：推导求根公式的过程。
导学流程复习提问：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程32-6-8=0;3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.a2＋b＋c＝0(a≠0).推导公式用配方法解一元二次方程a2＋b＋c＝0(a≠0).因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0.移项，得2＋＝________，配方，得2＋＋______＝______－,即(____________) 2＝___________因为a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以＝_______________________即＝_________________________＝( b2－4 ac≥0)由以上研究的结果，得到了一元二次方程a2＋b＋c＝0的求根公式：精讲点拨利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.合作交流b 2－4 ac 为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果。
① 当b 2－4ac ＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）② 当b 2－4ac ＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根1＝2＝＿＿＿＿＿＿＿＿③ 当b 2－4ac ＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.深入探究：自学P36页例2，完成下列特别各题：应用公式法解下列方程(1) 2 2＋－6＝0； (2) 2＋4＝2；(3) 52－4－12＝0； (4) 42＋4＋10＝1－8.巩固提高：完成P37页练习课堂小结1、一元二次方程的求根公式是什么？2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？达标测评（A）1、应用公式法解方程：(1) 2－6＋1＝0；(2)22－＝6；(3)42－3－1＝－2；(4)3(－3) ＝2(－1) (＋1).（5）（-2）（+5）＝8；（6）（＋1）2＝2（＋1）.。
21.2.2公式法导学案
2、归纳总结：由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程没有实数根。
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：，
二次项系数化为1，得
配方，得：即
∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
1b2-4ac＞0，则 ＞0
直接开平方，得：即x=
∴x1=，x2=
②b2-4ac=0，则 =0此时方程的根为即一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个的实根。
X旗第X中学九年级数学学科导学案
XX中X年级数学学科备课组执笔：XXX审核：授课人：授课时间：年月日总第课时课题：§22.2.2公式法课型：新授课
【课标依据】能用公式法解数字系数的一元二次方程
【学习目标】
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
（4） （5） （6）x(2x-4)=5-8x
【达标测评】1、在方程5x -7x+2=0中，a=____,b=_____,c=_____;b -4ac=____,方程的两根为X1=_____, X2=_____。
2、关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
人教版九年级上册数学学案：21.2.2公式法
21.2.2公式法学习目标1、会用公式法解简单系数的一元二次方程；2、进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
3、自主参与，积极思考重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：求根公式的运用学习流程一、温故知新：1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：2、方程2x2-3x+1=0中，a= ,b= ,c=acb42-= 则该一元二次方程实数根。
3、不解方程，判断方程x2-4x+4=0的根的情况。
二、自主预习，探究新知：研读课本36页例题，并尝试下列题目：1、应用公式法解下列方程:(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；解：(1) ∵a＝___，b＝___，c＝______，b2－4ac＝____________ ＝_________∴x＝a acb b24 2-±-＝_________＝____________即原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____(2)将方程化为一般式，得____________ ＝0. ∵ b2－4ac＝_________∴ x＝_____________＝_______________原方程的解是 x1＝________，x2＝_____三、学以致用：1、应用公式法解方程：(1) x 2－6x ＋1＝0； (2)2x 2－x ＝6；(3)3x(x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).四、反馈检测：1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有一个实数根；C.有两个相等的实数根；D.没有实数根.2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A.k ＜41B.k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（ ） A.k ＜21 B.k ＞21 C. k ≤21 D. k ≥21 4、用公式法解方程：(1) 5x 2－4x －12＝0； （2）（x-2）（x+5）＝8；(3) 4x 2－3x －1＝x －2 (4) x （x ＋5）＝24(5) 2x 2－6x －3＝0 （6）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1)。
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（3）4x -3x-1=x-2(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)
4、已知一元二次方程x2-2x+m=0，b2-4ac=0,则m=,x=.
5、当m为何值时，方程(m+1) x -(2m-3)x+m+1=0,
(1)有两个不相等的实数根？
X旗第X中学九年级数学学科导学案
XX中X年月 日总第 课时课题：§22.2.2公式法课型：新授课
【课标依据】能用公式法解数字系数的一元二次方程
【学习目标】
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能 ，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
（2）x= 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有_______实数根，也可能有__________实根或者实数根。
（5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ=。
求出______________的值；
当b2-4ac≥0时，把a，b，c及b2-4ac的值带入求根公式x=_____________________求出x1，x2；当b2-4ac＜0时，方程_________实数根。五、课堂检测：要求：1、独立完成不准偷看……2、时间分配6分钟用公式法解下列方程：(1)x2+x-6=0;(2)3x2-6x-2=0;(3)4x2-6x=0;
（1）-x -4(2x-3)=9 (2)3x(x-1)=5(x+2)
2、用配方法解方程：
（1）x +2x-35=0 (2)4x -7x+2=0
二、自主学习：要求：1、课前自主预习完成课本34到36页对公式法的理解，并完成下题，对疑问不懂得问题用双色笔划住打问号标注。2、时间分配9分钟1、推导求根公式：（1）如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
3、进一步体验类比、转化、将次的数学思想方法。
【重点难点预测】
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程。
难点：推导求根公式的过程。
【学习流程】
一、合作复习：要求：1、回顾旧知，课前独立完成后，课上组内交流2、时间分配5分钟
1、把下列方程整理成一元二次方程的一般形式，并说出二次项系数、一次项系数和常数项。
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
备 注
（教师复备栏及学生笔记）
③b2-4ac＜0，则 ＜0，此时（x+ ）2＜0，而x取任何实数都不能使（x+ ）2＜0，因此方程实数根。
2、归纳总结：由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程没有实数根。
三、合作交流：要求：1、利用上面的知识技能独立或组内讨论交流完成下题2、时间分配10分钟
1、不解方程，判别一元二次方程根的情况：
（1）2x +3x-4=0 (2) 16x +9=24x (3)5(x +1)-7x=0
2、若关于一元二次方程3x -3x+c=0有实数根，则方程c的取值范围是______。
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解： 移项，得：，
二次项系数化为1，得
配方，得：即
∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
1b2-4ac＞0，则 ＞0
直接开平方，得：即x=
∴x1=，x2=
②b2-4ac=0，则 =0此时方程的根为即一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个的实根。
3、用公式法解下列方程：
（1）x -4x-7=0 （2）2x -2 x+1=0
（3）5 -3x=x+1 (4)x +17=8x
四、展示提升：要求：1、展示合作交流成果……2、时间分配10分钟
1、分组展示上题解题思路过程及结果。
2、梳理归纳使用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程整理成____________，确定___________的值，注意符号 ；
（4） （5） （6）x(2x-4)=5-8x
【达标测评】1、在方程5x -7x+2=0中，a=____,b=_____,c=_____;b -4ac=____,方程的两根为X1=_____,X2=_____。
2、关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A、k>-1 B、k>1 C、k≠0 D、k>-1且k≠0