12.3 波的能量

x W = Wk +Wp = ∆mA ω sin [ω(t − ) +ϕ0 ] u
2 2 2
3. 线元的机械能
x 机械能 W = Wk +Wp = ∆mA ω sin [ω(t − ) +ϕ0 ] u 讨论
2 2 2
(1) 任一质元的动能和势能同步变化，即Wk=Wp ； 任一质元的动能和势能同步变化， y
dP J= = wu dS
•波的强度（一个周期内能流密度大小的平均值） 波的强度（一个周期内能流密度大小的平均值） 波的强度
udt
1 2 2 1 T 1 T I = J = ∫ Jdt = u ∫ wdt = uw = ρA ω u ∝ A2 2 T 0 T 0
说明 的平方成正比。 波的强度 I 与振幅 A 的平方成正比。
ρ
∆x
F
∆y
F
则单位体积线元中的机械能（ 则单位体积线元中的机械能（能量 中的机械能 密度）为 密度）
S
W x 2 2 2 w= = ρA ω sin [ω(t − ) +ϕ0 ] S∆x u
说明 质元能量密度 变化的角频率为 质元能量密度w变化的角频率为ω。 能量密度
一个周期内的平均能量密度 一个周期内的平均能量密度 1 T 1 2 2 w = ∫ wdt = ρA ω T 0 2
三、平面波和球面波的振幅（介质不吸收能量） 介质不吸收能量）
1. 平面波
一个周期内通过两个面的能量分别为
v u
1 = ρA2ω2uST W = I1S1T 1 1 2 1 2 2 W2 = I2S2T = ρA2ω uST 2
介质不吸收能量
S1 S2
I1 A1 I2 A2
W =W 1 2 A = A2 1
12.3 波的能量
波动 过程 质元 运动 形变 动能 势能 波动过程是能量 的传播过程
F ∆y =Y S ∆x
SY F= ∆y = k∆y ∆x
∆x
F
∆y
F
一、波的能量和能量密度
1. 线元势能 1 1 YS 2 1 ∆y 2 1 ∂y 2 2 Wp = k∆y = ∆y = YS∆x( ) ≈ Y∆V ( ) 2 2 ∆x 2 ∆x 2 ∂x 根据 u2 = Y / ρ 有 1 2 ∂y 2 1 2 ω x Wp = u ρ∆V ( ) = u ∆m A sin[ ω(t − ) +ϕ0 ]}2 { 2 ∂x 2 u u 1 x 2 2 2 = ∆mA ω sin [ω(t − ) +ϕ0 ] 2 u
2. 能流（能量的传播） 能流（能量的传播）
x w = ρA ω sin [ω(t − ) +ϕ0 ] u
2 2 2
单位时间内通过截面的波动能量) •能流 (单位时间内通过截面的波动能量 能流 单位时间内通过截面的波动能量
P=
wudtS = wuS dt
v u
S
•能流密度 (通过垂直单位截面积上的能流 能流密度 通过垂直单位截面积上的能流 通过垂直单位截面积上的能流)
S2
S1
r 1 r2
设距波源单位距离处波的振幅为A0，则距波源 处的波的振幅 则距波源r处的波的振幅 设距波源单位距离处波的振幅为 A0 A= r 则球面简谐波的波函数为
A0 r y(r, t) = cos[ω(t − ) +ϕ0 ] r u r >0
说明
增大而减小。 球面波的振幅随 r 增大而减小。
得 说明
平面波在媒质不吸收的情况下, 各处振幅相同。 平面波在媒质不吸收的情况下, 各处振幅相同。
2. 球面波 一个周期内通过两个球面的能量分别为 1 2 2 W = I1S1T = ρA ω u ⋅ 4π r2 ⋅T 1 1 1 2 1 2 2 W2 = I2S2T = ρA2ω u ⋅ 4π r22 ⋅T 2 得 A r = A r2 介质不吸收能量 W =W 11 2 1 2
Байду номын сангаас
线元势能
1 x 2 2 2 Wp = ∆mA ω sin [ω(t − ) +ϕ0 ] 2 u
2. 线元的动能
1 ∂y 2 1 2 Wk = ∆m = ∆m( ) v 2 ∂t 2 x 将 y = Acos[ω(t − ) +ϕ0 ] 代入上式 u 1 x Wk = ∆mA2ω2 sin2[ω(t − ) +ϕ0 ] 2 u
v u
A B x
弹簧谐振子 • 动能和势能变化 不同步 • 机械能守恒
O
速度最大，形变也最大 动能、 动能、势能同时达到最大
速度最小，形变也最小 动能、 动能、势能同时达到最小
(2) 质元机械能 随 t 变化，波动过程是能量的传播过程。 质元机械能W 变化，波动过程是能量的传播过程。
二、能流密度
1. 能量密度 设质元横截面为S 设质元横截面为 ，体密度为
四、波的吸收
吸收媒质, 吸收媒质,实验表明
I0
I
dx
O
dI =−αI dx
dI = −αdx I
I = I0e
说明
−α x
x
x
(1) α 为介质吸收系数，与介质的性质及波的频率有关； 为介质吸收系数，与介质的性质及波的频率有关； (2) 波的强度随传播距离按指数衰减。 波的强度随传播距离按指数衰减。