高三数学第一轮复习 第51课时—双曲线学案

高三数学第一轮复习讲义（51）

双曲线

一．复习目标：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二．知识要点：

1．双曲线的定义（1）第一定义： ． （2）第二定义： ．

2．标准方程： ；与22

221x y a b

-=共渐进线的双曲线方程 ．

3．性质： ．

4．共轭双曲线方程： ． 三．课前预习：

1．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）

()A 充分但不必要条件 ()B 必要不充分条件

()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件 2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是 （

）

()A 22121e e += ()B 22

121e e -= ()

C 1112

2

2

1

=-

e e ()

D 1112

2

2

1

=+

e e

3．直线y ax =与双曲线(1)(1)2(0)x y x --=<有公共点时，a 的取值范围是（

）

()A 30a -+≤< ()B 3a ≥-+

()C 33a --≤≤-+

()D 以上都不正确

4．已知(2,1),A F ，P 是曲线2

2

1(0)x y x -=>上一点，当||||PA PF 取最

小值时，P 的坐标是 ，||||PA PF 最小值是 ． 5．如果12,F F 分别是双曲线19

162

2=-y x 的左、

右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是 ．

四．例题分析：

例1．已知双曲线22

125144

x y -=的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，能否在双曲线的左

支上求一点P ，使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不

能，说明理由．

例2．过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线

的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ．

（1）求证：P 在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．

例3．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由． （1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=；

（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P ．

五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．双曲线的渐进线方程为x y 2

1

±=，且焦距为10，则双曲线方程为 （

）

()A 152022=-y x ()B 120522=-y x 或15202

2=-y x ()C 1205

22

=-y x ()D 1|520|2

2=-y x 2．双曲线142

2=+k

y x 的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是 （

）

()A (,0)-∞ ()B (3,0)- ()C (12,0)- ()D (60,12)--

3．双曲线116

252

2=-y x 上一点P 的两条焦半径夹角为60o ，12,F F 为焦点，则12PF F ∆的

面积为 ．

4．与圆2

2

(3)1x y ++=及圆2

2

(3)9x y -+=都外切的圆的圆心轨迹方程为 ．

5．过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13

42

2=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数

是____________________．

6．双曲线122

22=-b

y a x 的一条准线被它的两条渐进线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦

点到一条渐进线的距离，则该双曲线的离心率为 ．

7．过双曲线的一个焦点1F 且垂直于实轴的弦PQ ，若2F 为另一个焦点，且有

ο902=∠Q PF ，则此双曲线的离心率为 ．

8．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为132，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．

9．设双曲线122

22=-b

y a x 两焦点12(,0),(,0)F c F c -，点P 为双曲线右支上除顶点外的任

一点，1221,PF F PF F αβ∠=∠=，求证：tan cot 22c a

c a

αβ-⋅=+．

10．已知双曲线C 的两个焦点为12,F F ，，直线l 过点2F ，

且与线段12F F 的夹角为α，tan α=

，直线l 与线段12F F 的垂直平分线的交点为P ，线段2PF 与双曲线的交点为Q ，且22PQ QF =u u u r u u r

，求双曲线方程．