初一数学提优讲义--第二讲 因式分解——拆项与添项
因式分解-讲义
因式分解(一)-一般方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．1．(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．4、(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2= ；(2)x2-y2+5x+3y+4= ；(3)xy+y2+x-y-2= ；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2= ;(5)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3= .因式分解(二)--求根法分解因式我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例1 分解因式：x3-4x2+6x-4．例2 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
初中数学自招专题12 拆项、添项、配方、待定系数法(详解版)
专题12拆项、添项、配方、待定系数法考点点拨添项拆项法：有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解．通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法．一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解．如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的．待定系数法：有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式．然后再把积乘出来．用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式．换元法：所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫．换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用．（1）使用换元法时，一定要有整体意识，即把某些相同或相似的部分看成一个整体．（2）换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元．（3）利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”．典例精选1．（西湖区校级月考）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，则a+b＝（）A．4B．0C．2D．﹣2【点拨】先将字母b表示字母a，代入ab+c2+4＝0，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b的值．【解析】解：∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，代入ab+c2+4＝0，可得（b+4）b+c2+4＝0，（b +2）2+c 2＝0，∴b ＝﹣2，c ＝0，∴a ＝b +4＝2．∴a +b ＝0．故选：B ．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．解题关键是将代数式转化为非负数和的形式．2．计算√99⋯9︸n 个×99⋯9︸n 个+199⋯9︸n 个n （n ≥2的整数）的值等于 100 ． 【点拨】分别将n ＝2、n ＝3、n ＝4分别代入被开方数总结出规律，根据总结的该规律，列出完全平方式，然后开n 次方即可．【解析】解：当n ＝2时，99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝（102）2；当n ＝3时，999×999+1999＝9992+2×999+1＝（999+1）2＝（103）2＝（102）3；当n ＝4时，9999×9999+19999＝99992+2×9999+1＝（9999+1）2＝（104）2＝（102）4．…当n ＝n （n ≥2的整数）时，99…9×99…9+199…9＝99…92+2×99…9+1＝（99…9+1）2＝（10n ）2＝（102）n ．所以，√99⋯9︸n 个×99⋯9︸n 个+199⋯9︸n 个n =102＝100；故答案是：100．【点睛】本题考查了拆项、添项、配方、待定系数法．此题是一道规律探索题，以完全平方公式为依托，展现了探索发现的过程：由特殊问题找到一般规律，再利用规律解题．3．已知a +2b +3c ＝6，则a 2+2b 2+3c 2的取值范围是 大于等于6 ．【点拨】根据代入法将a ＝6﹣2b ﹣3c 代入a 2+2b 2+3c 2，即可求出b ，c 的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案．【解析】解：∵a +2b +3c ＝6，∴a ＝6﹣2b ﹣3c ，∴（6﹣2b ﹣3c ）2+2b 2+3c 2＝36+4b 2+9c 2﹣24b ﹣36c +12bc +2b 2+3c 2＝6（b 2+2c 2﹣4b ﹣6c +2bc +6）＝6[（b 2+2bc +c 2﹣4b ﹣4c +4）+（c 2﹣2c +1）+1]＝6[（b +c ﹣2）2+（c ﹣1）2+1]＝6（b +c ﹣2）2+6（c ﹣1）2+6≥6，∴a 2+2b 2+3c 2的取值范围是：大于等于6．故答案为：大于等于6．【点睛】此题主要考查了拆项、添项、配方法的综合应用，根据已知得出关于b ，c 的完全平方公式是解题关键．4．设实数a ，b ，c 满足2a +b +c +14＝2(√2a +2√b +1+3√c −1)，那么a −b c 的值为 45 ．【点拨】将右边去括号、移项，然后将2a 看作（√2a ）2，将（b +1）看作（√b +1）2，将（c ﹣1）看作（√c −1）2进行配方，从而利用完全平方的非负性可得出a 、b 、c 的值，进而代入可求出答案．【解析】解：整理2a +b +c +14＝2(√2a +2√b +1+3√c −1)可得：2a ﹣2√2a +b ﹣4√b +1+c ﹣6√c −1+14＝0，配方可得：[(√2a)2−2√2a +1]+[(√b +1)2−4√b +1+4]+[(√c −1)2−6√c −1+9＝0，即(√2a −1)2+(√b +1−2)2+(√c −1−3)2=0，从而有：√2a =1，√b +1=2，√c −1=3，解得：a =12，b ＝3，c ＝10，∴a −b c =810=45． 故答案为：45．【点睛】此题考查了拆项、添项、配方的知识，难度较大，关键是移项后将2a 看作（√2a ）2，将（b +1）看作（√b +1）2，将（c ﹣1）看作（√c −1）2进行配方，要求我们能熟练运用完全平方的非负性解题．5．（1）分解因式：x 7+x 5+1（2）对任何正数t ，证明：t 4﹣t +12＞0．【点拨】（1）首先把因式添项x 6再减去x 6，然后因式分解，再提取公因式即可，（2）根据题干t 4﹣t +12=（t 4﹣t 2+14）+（t 2﹣t +14）可知，两个完全平方式不可能小于0，结论可证．【解析】解：（1）x 7+x 5+1＝x 7+x 6+x 5﹣x 6+1＝x 5（x 2+x +1）﹣（x 3+1）（x 3﹣1）＝（x 2+x +1）[x 5﹣（x ﹣1）（x 3+1）]＝（x 2+x +1）（x 5﹣x 4+x 3﹣x +1），（2）t 4﹣t +12=（t 4﹣t 2+14）+（t 2﹣t +14）＝（t 2−12）2+（t −12）2≥0因为（t 2−12）2与（t −12）2不可能同时为0，故等于不成立，因此有：t 4﹣t +12＞0．【点睛】本题主要考查拆项、添项、配方、待定系数法和完全平方式的知识点，解答本题的关键是熟练运用拆项和添项解决问题的方法，此题难度较大．6．将5x 3﹣6x 2+10表示成a （x ﹣1）3+b （x ﹣1）2+c （x ﹣1）+d ．【点拨】根据立方差公式以及完全平方公式即可得出关于a ，b ，c ，d 的关系式求出即可．【解析】解：原式＝a （x 3﹣3x 2+3x ﹣1）+b （x 2﹣2x +1）+c （x ﹣1）+d ，＝ax 3﹣（3a ﹣b ）x 2+（3a ﹣2b +c ）x ﹣（a ﹣b +c ﹣d ），则{a =53a −b =63a −2b +c =0a −b +c −d =−10， 解得{a =5b =9c =3d =9， ∴5x 3﹣6x 2+10＝5（x ﹣1）3+9（x ﹣1）2﹣3（x ﹣1）+9．【点睛】此题主要考查了立方差公式以及完全平方公式的应用，根据已知得出a ，b ，c ，d 的值是解决问题的关键．精准预测1．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b a +c b +a c =3，则以下说法正确的是（ ）A ．a ，b ，c 可能相等，也可能不等B ．a ，b ，c 相等C ．a ，b ，c 不相等D ．以上说法都不对【点拨】设b a =x 3，c b =y 3，a c =z 3，则x 3y 3z 3=b a •c b •a c=1，即xyz ＝1，再根据a ＞0，b ＞0，c ＞0得出x ＞0，y ＞0，z ＞0，故可得出x 、y 、z 的关系，进而得出b a=c b =a c ，由此可得出结论． 【解析】解：设b =x 3，c =y 3，a =z 3，则x 3y 3z 3=b a •c •a =1，即xyz ＝1，由已知可得：x3+y3+z3﹣3xyz＝0，即（x+y+z）（x2+y2+z2﹣xy﹣xz﹣yz）＝0∵a＞0，b＞0，c＞0，∴x＞0，y＞0，z＞0，∴x+y+z＞0∴x2+y2+z2﹣xy﹣xz﹣yz＝0，即：x＝y＝z∴ba =cb=ac，即a2＝bc，b2＝ac，c2＝ab，由a2＝bc，b2＝ac，得a＝b由b2＝ac，c2＝ab得b＝c∴a＝b＝c故选：B．【点睛】本题考查的是拆项、添项、配方及待定系数法，此题中先根据题意得出x、y、z的关系是解答此题的关键．2．若点P的坐标（a，b）满足a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，则点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．【点拨】首先把10ab变为8ab+2ab，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．【解析】解：∵a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，∴a2b2+8ab+16+a2+b2+2ab＝0，∴（ab+4）2+（a+b）2＝0，∴ab＝﹣4，a+b＝0，∴a＝2，b＝﹣2或a﹣2，b＝2，∴点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．故答案为：（2，﹣2）或（﹣2，2）．【点睛】此题主要考查了完全平方公式和非负数的性质，解题时首先通过分解因式变为两个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．3．If polynomial（多项式）5x3﹣34x2+94x﹣81can beexpressedas（表示成）a（x﹣2）3+b（x﹣2）2+c（x﹣2）+d，thennumericalvalue（数值）of ad+bc is﹣17．【点拨】根据5x3﹣34x2+94x﹣81能拆成a（x﹣2）3+b（x﹣2）2+c（x﹣2）+d，即可得出关于a，b，c，d的方程组求出即可．【解析】解：原式＝a（x3﹣6x2+12x﹣8）+b（x2﹣4x+4）+c（x﹣2）+d，＝ax3+（b﹣6a）x2+（12a﹣4b+c）x+（﹣8a+4b﹣2c+d），∴{a=5b−6a=−3412a−4b+c=94−8a+4b−2c+d=−81，解得：a＝5，b＝﹣4，c＝18，d＝11，∴ad+bc＝5×11﹣4×18＝﹣17．故答案为：﹣17．【点睛】此题主要考查了多项式的拆项以及完全平方公式以及立方差公式的应用，根据已知得出关于a，b，c，d的方程组是解决问题的关键．4．如果√x−3+√y+1=12（x+y），那么x+y＝4．【点拨】设√x−3=a，√=b，然后再两边平方后将原式变形成为两个完全平方式，根据非负数和为0的定理求出a、b的值，从而求出x、y的值而得出结论．【解析】解：设√x−3=a，√y+1=b∴a2＝x﹣3，b2＝y+1∴x＝a2+3，y＝b2﹣1∴x +y ＝a 2+b 2+2∴12（x +y ）=12(a 2+b 2+2) ∴原式变形为：a +b =12(a 2+b 2+2)2a +2b ＝a 2+b 2+2∴a 2+b 2+2﹣2a ﹣2b ＝0∴（a ﹣1）2+（b ﹣1）2＝0∴a ＝1，b ＝1∴√x −3=1，√y +1=1∴x ＝4，y ＝0∴x +y ＝4．故答案为：4．【点睛】本题是一道实数的运用题，考查了数学的换元思想、拆项、添项、配方、待定系数法以及非负数和为0的定理的运用．5．计算：2002×20032003﹣2003×20022002．【点拨】首先把20032003拆成2003×10001，再将20022002分解为2002×10001，然后计算可得到答案．【解析】解：原式＝2002×2003×10001﹣2003×2002×10001＝0．【点睛】此题主要考查了拆项和提公因式法进行计算，解题的关键是把20032003、20022002拆项．。
因式分解中的拆项、添项法讲解学习
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因式分解中的拆项、添项法
安徽滁州二中郑刚239000
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解•现举一例：
例分解因式：x3-9x+8・
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.
解法1将常数项8拆成・1+9・
原式=X3・9X・1+9
=(x 3-1)-9x+9
=(x-1)(x 2+X+1)-9(X-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
解法2将一次项-9x拆成-x-8x・
原式=x3-x-8x+8
=(x 3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
解法3将三次项x3拆成9X3-8X3•
原式=9x?・8x，9x+8
=(9x 3-9X)+(-8X3+8)
=9x(x+1 )(x-1 )-8(x-1 )(x 2+x+1) =(x-1 )(x 2+X-8).
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解法4添加两项-x 2+x2・
原式=x，9x+8
=X3-X2+X2-9X+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.。
初一数学提优讲义--第二讲 因式分解——拆项与添项
第二讲：因式分解——拆项与添项法一．基础梳理考点一：因式分解的有关概念1．把一个多项式________________________,叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2．因式分解和整式乘法的过程__________.3.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.4．如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.5.提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.6.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.平方差公式：a²+b²=（a+b）（a-b）(2) 完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）².7.利用平方差公式分解因式的条件：（1）多项式是两项式（或可以看成两项式）；（2）每一项（除符号外）都是平方的形式；（3）两项系数异号.8.利用完全平方公式分解因式的条件：（1）多项式是二次三项式；（2）其中的两项是两个整式的平方和；（3）另外还有一项是这两个整式乘积的2倍.9.因式分解的注意事项：（1）先提公因式，首项为负时提取负号；（2）分解到不能再分解为止；（3）每个因式化成最简；10.分组分解法：利用分组来分解因式的方法.二．复习巩固类型一：简便运算（1）517.8×143.2+5178×（-4.32）（2）类型二：利用因式分解求值（1）若a+b=6，a³+b³=72，求a²+b²的值.（2）已知x≠y，且x³-x=7，y³-y=7，求x²+xy+y²的值.类型三：分组分解法分解因式（1）x³-xyz+x²y-x²z （2）4a²-4-4ab+b²（3）4x³-8x²y-xy²+2y³（4）a³+b³+（a+b）³（5）x²-4xy+4y²-6x+12y+9(6)三、拓展提高——拆项与添项法1．把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项.2. 在代数式中添加两个相反项，叫做添项.3. 因式分解与整式乘法是互逆变形，拆项添项与合并同类项为互逆变形. 例1.分解因式：x +x³-3x²-4x-4例2.分解因式：x²-2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)例3.分解因式：2x -15x³+38x²-39x+14例4.分解因式：x +x+1练习：分解因式（1）x +x³+4x²+3x+3 (2) x +x+1 (3) 6x +7x³-36x²-7x+6三．收获总结·。
初中数学《拆、添项法和十字相乘法》讲义及练习
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解 了解因式分解，熟悉因式分解掌握因式分解的基本方法，并且能熟练运用因式分解解决题目更深层次的掌握因式分解的其他方法基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.重、难点知识点睛中考要求第五讲拆、添项法和 十字相乘法板块一、拆项与添项Ⅰ：利用配方思想拆项与添项【例1】 分解因式：43221x x x x ++++【解析】43221x x x x ++++423(21)()x x x x =++++222(1)(1)x x x =+++22(1)(1)x x x =+++ 如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前的状况，从零开始，考虑新的分组．【巩固】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=【巩固】 (第十五届“希望杯”第二试第12题)分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【解析】 4322342222222222232()2()()a a b a b ab b a b ab a b a b a b ab ++++=++++=++【例2】 分解因式：⑴4231x x -+；⑵42231x x -+；⑶4224a a b b ++【解析】 ⑴42422222223121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=---+⑵42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++- ⑶42244224222a a b b a a b b a b ++=++-2222()()a b ab =+-2222()()a ab b a ab b =++-+【巩固】 分解因式： 12631x x -+【解析】12631x x -+1266636321(1)(1)x x x x x x x =-+-=-+--【巩固】 分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=+++-+-【巩固】 分解因式： 4224781x x y y -+重点：理解和掌握因式分解的概念，能说出因式分解的意义，并了解因式分解与整式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤，掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，无需拆项或添项）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式．难点：掌握因式分解的其他方法，主要是拆添项法、十字相乘法、换元法等较高层次的方法例题精讲【解析】 42244224222222781188125(95)(95)x x y y x x y y x y x y xy x y xy -+=++-=+-++【例3】 (希望杯试题)已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______. 【解析】 原式422222222010036(10)(6)(610)(610)n n n n n n n n n =++-=+-=-+++.又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.【例4】 分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【解析】 ()()()222241211y x y x y +-++-()()()222242212114y x y x y x y =+--+--()()22211(2)(1)(1)(1)(1)y x y xy x x x xy y x xy y ⎡⎤=+---=+-------⎣⎦【巩固】 分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【解析】 42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+-- 222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+【巩固】 分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++【解析】 33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+22()()x xy y ax by x y =-++++【例5】 (杭州学军中学)把444x y +分解因式．【解析】 4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．44422422422422x y x x y y x y +=+⋅⋅+-⋅⋅2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+【巩固】 分解因式：464x +【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+ 【巩固】 证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++- 由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．Ⅱ：拆项与添项【例6】 分解因式：343a a -+ 【解析】 原式32()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a =---=+---=-+-或原式32222()()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a =-+---=-+---=-+-.【巩固】 分解因式：32265x x x +-- 【解析】 解法(一)32322265266(21)6(1)x x x x x x x x x x x +--=++--=++-+(1)(2)(3)x x x =+-+解法(二)拆二次项222242x x x =-解法(三)拆常数项651-=--及2222x x x =+ 解法(四)22223x x x =-及523x x x -=--【巩固】 分解因式：3234x x +- 【解析】 ⑴把4-拆成13--；⑵添四次项4x ，再减去4x ；⑶添一次项4x ，再减去4x⑷拆22234x x x =-；⑸拆三次项33343x x x =-；2(1)(2)x x -+【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：243x x -+ 【解析】 2243()(33)(3)(1)x x x x x x x -+=---=--【巩固】 分解因式：398x x -+ 【解析】 332298199(1)(1)9(1)(1)(8)x x x x x x x x x x x -+=--+=-++--=-+-【巩固】(第十四届“希望杯”第1试第2题)若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( ) A.0 B.1- C.1 D.3【解析】 43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=【巩固】分解因式：323233332a a a b b b ++++++【解析】 前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++33(1)(1)a b =+++22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++【巩固】分解因式：51x x ++ 【解析】 法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去. 那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去. 开始尝试3x ，如下：55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.这样尝试下去，可分解如下：552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！【巩固】 分解因式：541a a ++ 【解析】 原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++【巩固】 分解因式：3333a b c abc ++-.【解析】3333a b c abc ++- 332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++--- 33()3()a b c ab a b c =++-++222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .板块二、十字相乘法十字相乘法： 一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解【例7】 分解因式： ⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++ 【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +- 【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例8】 分解因式：2376a a -- 【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x -- 【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +- 【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】2273320(94)(35)x x x x --=+-【例9】 分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+- 【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例10】 分解因式：2214425x y xy +- 【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+ 【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y -- 【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例11】 分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+- 【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+ 【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【巩固】 分解因式：633619216x x y y --【解析】 6336333319216(27)(8)x x y y x y x y --=-+2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y =+--+++【巩固】 分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++ 【解析】 22(64)(2)x x x +++【巩固】 分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++ 【解析】 229(1)(41)x x x +++【巩固】 分解因式：222()14()24x x x x +-++【解析】(2)(1)(3)(4)x x x x +--+板块三：双十字相乘双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。
实用文档之因式分解中的拆项、添项法
实用文档之" 因式分解中的拆项、添项法"
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。
因式分解中的拆项、添项法讲解学习
因式分解中的拆项、添项法
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。
七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)
初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法1．添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
因式分解中的拆项、添项法
因式分化中的拆项、添项法之羊若含玉创作
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分化是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项归并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分化因式时，需要恢复那些被归并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅相符相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目标是使多项式能用分组分化法进行因式分化．现举一例：
例分化因式：x3-9x+8．
剖析本题解法许多，这里只介绍运用拆项、添项法分化的几种解法，注意一下拆项、添项的目标与技能．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的办法分化因式时，要拆哪些项，添什么项并没有一定之规，主要的是要依靠对题目特点的不雅察，灵巧变换，因此拆项、添项法是因式分化诸办法中技能性最强的一种．。
因式分解中的拆项、添项法
果式领会中的拆项、加项法之阳早格格创做
安徽滁州二中郑刚刚 239000
果式领会是多项式乘法的顺运算．正在多项式乘法运算时，整治、化简常将几个共类项合并为一项，大概将二个仅标记差异的共类项相互对消为整．正在对于某些多项式领会果式时，需要回复那些被合并大概相互对消的项，即把多项式中的某一项拆成二项大概多项，大概者正在多项式中加上二个仅切合差异的项，前者称为拆项，后者称为加项．拆项、加项的手段是使多项式能用分组领会法举止果式领会．现举一例：
例领会果式：x3-9x+8．
领会本题解法很多，那里只介绍使用拆项、加项法领会的几种解法，注意一下拆项、加项的手段取本领．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
本式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
本式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
本式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 增加二项-x2+x2．
本式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题不妨瞅出，用拆项、加项的要领领会果式时，要拆哪些项，加什么项并不一定之规，主要的是要依赖对于题目特性的瞅察，机动变更，果此拆项、加项法是果式领会诸要领中本领性最强的一种．。
因式分解中的拆项、添项法
因式分解中的拆项、添项法之相礼和热创作
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项互相抵消为零．在对某些多项式分解因式时，必要恢复那些被合并或互相抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只引见运用拆项、添项法分解的几种解法，留意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并没有肯定之规，次要的是要依托对标题特点的观察，灵活变换，因而拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。
因式分解中的拆项、添项法
因式分解中的拆项、添项法之杨若古兰创作
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，清算、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项彼此抵消为零．在对某些多项式分解因式时，须要恢复那些被合并或彼此抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍应用拆项、添项法分解的几种解法，留意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并没有必定之规，次要的是要依附对题目特点的观察，灵活变换，是以拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。
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第二讲：因式分解——拆项与添项法
一．基础梳理
考点一：因式分解的有关概念
1．把一个多项式________________________,叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2．因式分解和整式乘法的过程__________.
3.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.
4．如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
5.提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.
6.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
平方差公式：a²+b²=（a+b）（a-b）
(2) 完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）².
7.利用平方差公式分解因式的条件：
（1）多项式是两项式（或可以看成两项式）；
（2）每一项（除符号外）都是平方的形式；
（3）两项系数异号.
8.利用完全平方公式分解因式的条件：
（1）多项式是二次三项式；
（2）其中的两项是两个整式的平方和；
（3）另外还有一项是这两个整式乘积的2倍.
9.因式分解的注意事项：
（1）先提公因式，首项为负时提取负号；
（2）分解到不能再分解为止；
（3）每个因式化成最简；
10.分组分解法：利用分组来分解因式的方法.
二．复习巩固
类型一：简便运算
（1）517.8×143.2+5178×（-4.32）（2）
类型二：利用因式分解求值
（1）若a+b=6，a³+b³=72，求a²+b²的值.
（2）已知x≠y，且x³-x=7，y³-y=7，求x²+xy+y²的值.
类型三：分组分解法分解因式
（1）x³-xyz+x²y-x²z （2）4a²-4-4ab+b²
（3）4x³-8x²y-xy²+2y³（4）a³+b³+（a+b）³
（5）x²-4xy+4y²-6x+12y+9
(6)
三、拓展提高——拆项与添项法
1．把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项.
2. 在代数式中添加两个相反项，叫做添项.
3. 因式分解与整式乘法是互逆变形，拆项添项与合并同类项为互逆变形. 例1.分解因式：x +x³-3x²-4x-4
例2.分解因式：x²-2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)
例3.分解因式：2x -15x³+38x²-39x+14
例4.分解因式：x +x+1
练习：分解因式
（1）x +x³+4x²+3x+3 (2) x +x+1 (3) 6x +7x³-36x²-7x+6
三．收获总结·。