广东省广州市第89中学2020届高三3月第一次月考理科数学
广东省广州市第八十九中学2013届高三数学开学检测试题 理 新人教A版
广州市第八十九中学2013届高三开学检测题（理科数学）班级： 姓名： 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1、若复数iia -+1（R a ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、22、已知集合A={x y x ln |=}，集合B={-2，-1，1，2}，则A ∩B=（ ） A 、（0，+∞，） B 、（-1，-2） C 、（1，2） D 、{1， 2}3、已知两个非零向量a ，b 满足||||b a b a -=+，则下面的结论正确的是（ ） A 、a ∥b B 、a ⊥b C 、a =b D 、b a b a -=+4、下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A 、1+=x y B 、2x y -= C 、xy 1=D 、||x x y ⋅= 5、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、236、从4名男生和3名女生中选出4人参加问卷调查，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有（ ）A 、140种B 、120种C 、35种D 、34种 7、如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图 分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几 何体的体积为（ ）A 、34B 、4C 、32D 、2 8、定义新运算b a ※为：b a ※=⎩⎨⎧>≤)(,)(,b a b b a a ，例如：121=※，则函数x x x f cos sin )(※=的 值域为（ ） A 、[-1，22] B 、[22-，-1] C 、（-1，22） D 、[22，1]二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分；其中14～15题是选做题）9、不等式10|3||5|≥-+-x x 的解集是 ； 10、在102)21(xx -的二项展开式中，11x 的系数是 ； 11、在等差数列{n a }中，若4951π=++a a a ，则tan )(64a a += ；12、如右图所示的程序框图中，若输入3=n ，则输出的结果是 ；13、曲线x y ln =在点M （e ，1）处的切线方程 为 ；14、（几何证明选讲选做题）ABC ∆中，045A ∠=，030B ∠=，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，则CEF ∠= ．15、（极坐标与参数方程选做题）已知两条曲线的参数方程分别为5cos (0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和25()4x tt R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，则它们的交点坐标为___________.三、解答题（16、17题每小题12分，18~21题每小题14分，共80分） 16、已知函数ϕϕsin cos cos sin )(x x x f +=（其中R x ∈，πϕ<<0）， （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若函数)42(π+=x f y 的图像关于直线6π=x 对称，求ϕ的值。
广东省广州市广州大学附属中学2020届高三第一次模拟考试卷理科数学(word版含答案)
广东省广州市广州大学附属中学2020届高三第一次模拟考试卷理科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意.)1已知集合2{|650},{|3},A x x xB x y x A B =-+≤==-⋂=则()A.[1,+∞)B. [1,3]C.(3,5]D.[3,5]2.若复数z 满足z(1-i)=|1-i|+i ，则z 的实部为( )21.2A -.21B -C.121.2D + 3某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为15°C,B 点表示四月的平均最低气温约为5C 。
下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在0°C 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均气温高于20°C 的月份有5个4.以下四个命题中，真命题的是( ) A.∃x ∈(0,π), sinx= tanxB. “对任意的2,10x R x x ∈++>的否定是“存在2000,10x R x x ∈++<C. ∀θ∈R ，函数f (x)=sin(2x+ θ)都不是偶函数D. △ABC 中，“sin A+sin B=cosA +cosB”是“2C π=”的充要条件5.若实数x,y 满足约束条件340340,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩则z=3x+2y 的最大值是( )A. -1B.1C.10D.126我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏7在同一直角坐标系中,函数y 11,log ()(2a x y x a a ==+>0且a≠1)的图象可能是( )8.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点， 则点落在四面体内的概率为（ ）9.13A π1.13B π913.C13.D9“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的,但从历史的角度讲,该不等式应当称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4-5中给出了二维形式的柯西不等式:22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当ad=bc (即)a bc d=时等号成立.该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用.根据柯西不等式可知函数()54f x x x =--的最大值及取得最大值时x 的值分别为( )21.5,5A21.3,5B61.13,13C61.29,13D10.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是3.[,1]3A6.[,1]3B622.[,]33C22.[,1]3D11设直线l 与抛物线24y x =相交于A,B 两点,与圆222(5)(0x y r r -+=>)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A. (1,3).(1,4)B.(2,3)CD. (2,4)12.若[0,]2x π∀∈，不等式x +sin x≥mxcosx 恒成立，则正实数m 的取值范围是( )A.(0,1]B.(0,2]3.[,2]2CD.(3,+∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量3),3),a b ==r r则b r 在a r 方向上的投影是___.14.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为___种.15在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点.若点P 到直线x-y+1= 0的距离大于c 恒成立，则是实数C 的最大值为____16. 在△ABC中，2,AB BC ==AC=2, P是△ABC 内部一点，且满足B PC PCA S S PB PC PC PA ∆=⋅⋅V u u u r u u u r u u u r u u u r ABC S PA PB PB PC PC PA∆=⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则|PA|+|PB|+|PC|=___ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列{}n a 满足*12323()n a a a na n n N ++++=∈L(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)令b *212(),,n n n a a n N T b b b +=∈=+++L 求证:3.4n T <18如图1，在直角梯形ABCD 中，A //,,2D BC BAD π∠=AB= BC=1, AD=2, E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△ABE 的位置，如图2(I)证明:CD 上平面1A OC ；(II)若平面，1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1A CD 夹角的余弦值.19已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的离心率为3,2A(a,0)， B(0,b), O(0,0) ，△OAB 的面积为1. (I)求椭圆C 的方程;(II)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 求证:|AN|·|BM|为定值.20.某生鲜批发店每天从蔬菜生产基地以5元/千克购进某种绿色蔬菜，售价8元/千克，若每天下午4点以前所购进的绿色蔬菜没有售完，则对未售出的绿色蔬菜降价处理，以3元/千克出售.根据经验，降价后能够把剩余蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该生鲜批发店整理了过往30天(每天下午4点以前)这种绿色蔬菜的日销售量(单位:千克)得到如下统计数据( 视频率为概率) (注: x, y ∈N*)(1)求在未来3天中，至少有1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率.(2)若该生鲜批发店以当天利润期望值为决策依据，当购进450千克比购进500千克的利润期望值大时，求x 的取值范围.21已知函数2()cos f x x x π=+ (1)求函数f(x)的最小值;(2)若函数g(x)= f(x)-a 在(0,+∞)上有两个零点12,x x ,且12x x <，求证:122.32x x π+<请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1方程为ρ=2sin θ.2C 的参数方程为1123x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) .(1)写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程;(2)设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围.23.已知关于x 的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0，4]. (1)求m 的值;(2)若a, b 均为正实数，且满足a+b=m,求22a b +的最小值.。
2020届高中高三广州一模理科数学试卷试题及参考答案.doc
2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M { x | 0 x 1, x R}, N { x | x 2, x R} ，则（）A．MI N M B．MI N N C．M UN M D．M UN R2．若复数z满足方程z2 2 0 ，则z3 （）A．22 B．2 2 C．2 2i D．2 2i3．若直线kx y 1 0 与圆 x2 y2 2x 4y 1 0 有公共点，则实数k 的取值范围是（）A．[ 3, ) B．( , 3] C．(0, ) D．( , )4．已知p : x 1 2 ， q : 2 x 3 ，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．设函数f (x) 2cos 1 x3 ，若对任意 x R 都有f ( x1)≤f (x)≤f (x2)成立，则 x1 x2的最小2值为（）A．B．C．2 D．42 1AA1, CQ 1CC1，6．已知直三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，若 P, Q 分别在 AA1, CC1上，且 AP3 3 则四棱锥 B APQC 的体积为（）A．1V B．2V 1 D．7VC．V6 9 3 9A 1 C1B 1P QA CB7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由 10 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2 位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3 位同学．现从这10 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1 人的概率为（）5B ． 934A ．C ．D ．1414778．已知直线 l : y x2 与 x 轴的交点为抛物线 C : y 22 px( p 0) 的焦点， 直线 l 与抛物线 C 交于 A, B两点，则 AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为（）A ．8B ．6C ． 5D ． 49．等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 11, a 2 a 5 4 ，若 S n ≥ 4a n 8 (n N ) ，则 n 的最小值3为（ ）A ．8B ．9C ． 10D ． 1110．已知点 P( x 0, y 0 ) 是曲线 C : y x 3 x 2 1上的点，曲线 C 在点 P 处的切线方程与直线 y 8x 11 平行，则（ ）A ． x 02B ． x 04344 C ． x 0D ． x 02 或 x 02 或 x 03311．已知 O 为坐标原点，设双曲线x 2 y 20, b 0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，点 P 是双曲C : 2 2 1(aa b线 C 上位于第一象限上的点，过点 F 2 作 F 1PF 2 的平分线的垂线，垂足为A ，若 bF 1F 2 2 OA ，则双曲线 C 的离心率为（）5B ．45D ． 2A ．3C ．4312．已知函数 f (x)x 2 x 1, x 0 ，若 F ( x)f ( x) sin(2020 x) 1在区间 [ 1,1]上有 m 个零x2x 1, x ≥ 0点 x 1, x 2 , x 3, L , x m ，则 f ( x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) Lf ( x m ) （）A ．4042B ．4041C ． 4040D ． 4039二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．14．在ax 1 ( x2 1)5的展开式中，x3的系数是15，则实数a ．xur uur ur uur ur uur的夹角为5，则实数 k 的值为15．已知单位向量e1与e2 的夹角为，若向量 e1 2e2 与 2e1 ke23 6．16．记数列{ a n}的前n项和为S n，已知anan 1 cosnsinn(n N ) ，且 m S2019 1009 ，n 2 21 9a1m 0 ，则的最小值为．a1 m三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（本小题满分12 分）△ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b, c．已知c 3 ，且满足ab sin C．3（ 1）求角C的大小；asin A b sin B c sin C（ 2）求b 2a的最大值．18．（本小题满分12 分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数x x ≤ 5 5 x 20 x≥ 20人数15 60 25（ 1）以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的概率；（ 2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100 个人中抽取 12 个，再从抽取的 12 个人中随机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的人数，求Y的分布列及数学期望 E (Y )．19．（本小题满分12 分）如图 1，在边长为 2 的等边△ABC中，D, E 分别为边 AC , AB 的中点．将△AED沿DE折起，使得AB AD， AC AE ，得到如图2的四棱锥 A BCDE ，连结 BD ， CE ，且 BD 与 CE 交于点 H ．（ 1）求证：AH 平面 BCDE ；（ 2）求二面角B AE D 的余弦值．AAE D E DHB C B图 2 C图 120．（本小题满分 12 分） 已知 e M 过点 A(3,0) ，且与 e N : ( x3) 2 y 2 16 内切，设 e M 的圆心 M 的轨迹为曲线 C ．（ 1）求曲线 C 的方程；（ ）设直线 l 不经过点 B(2,0) 且与曲线 C 相交于 P, Q 两点．若直线PB 与直线 QB 的斜率之积为12，2判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)( x 4)e x 3x 2 6x, g( x)a 1 x 1 ln x ．3（ 1）求函数 f ( x) 在 (0, ) 上的单调区间；（ 2）用 max{ m, n} 表示 m, n 中的最大值， f (x) 为 f (x) 的导函数．设函数 h( x)max{ f (x), g(x)} ，若 h( x) ≥ 0 在区间 (0, ) 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（ 3）证明：111 L 1 1 ln 3 (n N ) ．nn 1n 2 3n 13n（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分）xOy 中，曲线x 3 t 在平面直角坐标系C 1 的参数方程为1 （ t 为参数） ，曲线 C2 的参数方程为y2t3x, 3cos（为参数且）．2 2y 3 tan（ 1）求曲线 C 1 和 C 2 的普通方程；（ 2）若 A, B 分别为曲线 C 1, C 2 上的动点，求AB 的最小值．23．【选修 4—5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) 3x 6x a , a R ．（ 1）当 a 1 时，解不等式 f (x) 3 ；（ 2）若不等式 f ( x) 11 4x 对任意 x4,3成立，求实数 a 的取值范围．22020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学参考答案1．答案： A解析： M { x | 0 x 1, xR }, N { x | x 2, x } { x | 2 x 2, x R },MN ，RMINM ．2．答案： D解析： z 22 0, z 22, z2i, z 3 (2i) 32 2i ．3．答案： D解析：圆的标准方程为( x 1)2 ( y 2)2 4 ，圆心为 C( 1,2) ，半径 r 2 ，直线 kx y 1 0 过定点P(0,1) ，因为 CP2r ，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是 (, ) ．4．答案： B解析：由 x 1 2 ，得 x 1 2 或 x 1 2 ，解得 x 3 或 x 1 ，因为 { x | 2 x 3} { x | x3或 x 1} ，所以 p 是 q 的必要不充分条件．5．答案： C解析：由题可知 x 1 是函数 f ( x) 的最小值点， x 2 是函数 f (x) 的最大值点．所以 x 1 x 2 的最小值为函数f (x) 半个周期， T4 ,1T2 ．2A 1 C 16．答案： B解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为 h ，则 V3a 2 h ， B 14PQ所以 V B APQC11ah3 a 3 a 2 h 2V ．AC33 21897．答案： CB解析：从 10 位同学中选取 5 人，共有 C 105252 种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1 人，则共有2C 22C 21C 31C 31 2C 21C 21C 32 C 3136 72 108 种不同的选法，则所求概率为108 3 ．252 78．答案： A解析：依题可知抛物线的焦点坐标为F (2,0) ，所以 p 4 ，将 yx 2 代入 y 28x ，得x 2 12x 40 ，设 A( x 1, y 1), B( x 2 , y 2 ) ， AB 中点 M ( x 0 , y 0 ) ，则 x 1 x 2 12 ， x 0 x 1x 26 ，2则点 M 到准线 x2的距离为 6 ( 2) 8．9．答案： C{ a n } 的公差为 d ，则 a 2 a 5 2a 125d4 ，解得 d 2解析：设等差数列 5d3 ．3所以a na 1 (n 1)d 1 2( n 1)2n 1 ， S n n(a 1 a n ) 1 n2，由 S n ≥ 4a n 8 ，化简得：3 3 3 2 3n 28n 20≥ 0 ， (n 2)( n 10) ≥ 0 ， n ≥ 10 ，即 n 的最小值为 10．10．答案： B解析：令 y3x 2 2x8，得 3x 22x 8， (3x 4)( x 2) 0 ，解得 x4 或 x2 ，43当 x2 时， y5 ，此时 M (2,5) 在直线 y 8x 11 上，故舍去，所以．x311．答案： CP解析：延长 F 2 A 交 PF 1 于点 B ，因为PA 是F 1PF 2 的平分线且 PA F 2B ，B可得 PBPF ，且 ABAF ，A22所以 OA 是 △ F 1 BF 2 的中位线，F 1O F 2所以 OA11 PF 1PB1 PF 1PF 2a ，BF 1222又由 b F 1F 2 2 OA ，可得 b 2c 2a ，所以 b 2 (2c 2a) 2 ， c 2 a 24c 2 4a 28ac ，所以 3c 28ac 5a 2 0 ， 3e 2 8e 5 0 ， (3e 5)(e1) 0 ， e 5 ．312．答案： B解析： f ( x) x xx 1 ，所以 F ( x) f ( x) sin(2020 x) 1 x x x sin(2020 x) 为奇函数，m0，显然 F(1)F (0) F (1) 0 ，当0 ≤ x ≤ 1 时，由 F (x) x 2所以x ix sin(2020 x) 0 ，i1得 x 2xsin(2020 x) ，在同一坐标系中作出 y x 2 x (0 x ≤ 1) 和 y sin(2020 x) (0x ≤ 1) 的图象， ysin(2020 x) 的最小正周期 T1，1010在每个区间0, 1 , 1 , 2 , L L 1009 , 1010 内各有 2 个零点， 所以两函数在区间 (0,1] 内1010 1010 1010 1010 1010共有 2020 个交点，即 F ( x) 在 (0,1] 内共有 2020 个零点，由对称性， F ( x) 在 [ 1,0) 内也有 2020 个零点，又 F(0)0 ，所以 m 4041，所以 f (x 1)4041f (x 2 ) f ( x 3 ) L f ( x m )(x x x 1)4041 ．i 113．答案： 3 ， 3 （第 1 个空 2 分，第二个空 3 分）3解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径r 1 ，高h 3 ，母线长 l 2，体积V 1 r 2h 3 ，表面积 S r 2 rl 3 ．3 314．答案： 5解析：ax 1 ( x2 1)5 ax ( x2 1)5 1 ( x2 1)5，x x而 ( x2 1)5的展开式中含x2的项为 C54 x2 ( 1)4 5x2 ，含 x4 的项为 C53 (x2 )2 ( 1)3 10 x4 ，所以ax 1 (x2 1)5的展开式中，x3的系数是5a 10 15 ，解得 a 5 ．x15．答案：10ur uur 1 3 r ur uur(2, r ur uur k 3k ，解析：不妨取 e1 (1,0), e2 , ，设 a e 2e 3) ，b 2e1 ke2 2 ,2 2 1 2 2 2r r 3r r a b 4 k k 32k 2 19k 10 0 ，则 cos a, b r r 2 ，两边平方，并整理得a b k 2 3 k2 27 22 4(k 10)(2 k 1) 0 ，解得k 10 或k 1 5k 0 ，所以k 10 ．，又因为 42216．答案： 16解析：当 n 2 时，得a2 a3 1, a2 a3 2 ；当n 4时，得a4 a5 1, a4 a5 4 ，2 4a2 a3 a4 a5 2 ，同理可得a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 L a2014 a2015 a2017 a2019 2 ，又a2018a2019 1,a2018a2019 2018 ，2018所以 S2019 a1 (a2 a3 a4 a5 ) ( a6 a7 a8 a9 ) L (a2018a2019)a1 504 2 2018 a1 1010 ，由 m S2019 1009 ，得 a1 m 1，所以19 1 9 (a1 m) 10 m9a1 ≥10 2 m 9a1 16 ．a1 m a1 m a1 m a1 m17．解：（ 1）根据正弦定理a b c， 得abc3．sin A sin B sin C b 2 c 2a 2因为 c3 ，所以 ab a 2 b 2c 2 【或 ab a 2 b 2 3 】．由余弦定理，得 cosC a2b 2c21【或 cosCa 2b 231】，因为 0 C ，所以C ．2ab 22ab 23（ 2）由已知与（ 1）知 c3 ， C．由正弦定理abc3 ， sin A sin Bsin C23sin3得 a2sin A ， b 2sin B2sin2A ．3所以 b2a2 A4sin A 5sin A3 cos A 2 7 sin( A) ，2sin3（其中 tan3）．因为 02 ， 0，所以 0 A5， 02 A．5366所以 A时， b 2a2 7 sin( A) 取得最大值 2 7 ．所以 b 2a 的最大值为 2 7 ．218．解：（ 1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练 的天数不少于 20 天”记为事件为 A ，则 P( A)25 1 ．100 4设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的人数为，则 :B14， ．4所以恰好抽到 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的概率为22P2C 42 3127 ．4 4128（ 2）用分层抽样的方法从100 个马拉松训练者中抽取 12 个，则其中 “平均每月进行训练的天数不少于20天”有 3 个．现从这 12 人中抽取 3 个，则“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的数量 Y 服从超几何分布， Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．则P(Y 0) C 30C 9321 ， P(Y1) C 13C 9227 ，C 12355C 12355P(Y2)C 32C 19273)C 33C 90 1 ． C 123， P(Y C 322022012所以 Y 的分布列如下：Y12 3P21 2727 15555220220所以EY 0211 272 2731 165=3 ． 5555220220 220 419．（ 1）证明 1：在图 1中，因为 △ ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点，所以 BD AC ．在 △BCD 中， BD CD ，BC 2， CD 1，所以 BD3 ．因为 D, E 分别为边AC, AB 的中点，所以 ED // BC ．在图 2 中，有DHED 1 ，所以 DH 1BD3 ．HBBC 233因为 ABAD ，所以 △ABD 为直角三角形．因为 AD1， BD3 ，所以 cosADB AD 3BD．3在 △ADH 中，由余弦定理得AH 2 AD 2 DH 2 2AD DH cos ADB1 12 1 33 2 ，所以 AH 6 ．3 3 3 3 3在 △ADH 中，因为 AH 2DH 2 2 1 1 AD 2 ，所以 AH BD ． 同理可证 AH CE ．3 3因为 CEI BDH ，CE 平面 BCDE ， BD 平面 BCDE ，所以 AH 平面 BCDE ．证明 2：在图 1中，因为 △ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点，所以 BDAC ．在 △BCD 中， BDCD ，BC2， CD 1，所以 BD3 ．因为 D , E 分别为边 AC, AB 的中点，所以ED// BC ．在图 2 中，有DHED1 ，所以 DH 1BD3 ． 在 Rt △ BAD 中， BD3，AD 1，HBBC 233在 △BAD 和 △ AHD 中，因为DBDA3 ，BDAADH ，所以 △BAD ∽△ AHD ．DA DH所以AHD BAD 90 ．所以 AH BD ． 同理可证 AH CE ．因为 CEI BDH ，CE平面 BCDE ， BD 平面 BCDE ，所以 AH平面 BCDE ．（ 2）解法 1：以 E 为原点， EB 所在直线为 x 轴， EC 所在直线为 y 轴，平行于 AH 的直线为 z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系E xyz ， 则 B(1,0,0), C (0, 3,0), A 0, 3 , 6 ，33zAE Duuur3 6 uuuruuur1 uuur13．EA0,,, EB(1,0,0), EDBC,,0 332 2 2ur设平面 ABE 的法向量为 m ( x 1 , y 1, z 1 ) ，ur uuur3 6ur则 m EA3 y 13 z 10 ，取 m (0, 2, 1) ．ur uuurm EB x 1 0r uuur36rn EAy 2z 2设平面 ADE 的法向量为( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则33r( 6, 2, 1)．n，取 nr uuur1x 23y 2n EDur r22ur r33m n所以 cos m, n urr3 3 ．m n 3由图可知，二面角B AE D 的平面角是钝角，故二面角BAE D 的余弦值为3 ．3解法 2：在四棱锥 ABCDE 中，分别取 AE ， AB 的中点 M ， N ，连接 DM ， MN ， ND ．因为 △ADE 为等边三角形，所以 DMAE ，因为 BEEC ， BE AH ，CEI AH H ，且 CE, AH平面 AEC ， 所以 BE 平面 AEC ．因为 AE平面 AEC ，所以 BEAE ．AMNED因为点 M ， N 分别为边 AE ， AB 的中点，H所以 NM // BE ．所以 NM AE ．B C 所以 DMN 为所求二面角的平面角．在等边三角形 ADE 中，因为 AD1，所以 DM3 ． 在 △ABE 中， MN 1EB 1 ．22 2在 Rt △ ABD 中， AD 1 ， BD3 ，所以 AB2． 所以 DNAN 2 AD 21 1 6 ．223 21 226在 △DMN 中，由余弦定理得 cos 22 23 ． DMN3 12322所以二面角 B AE D 的余弦值为3．320．（ 1）解：设 e M 的半径为 R ，因为 e M 过点 A( 3,0)RMA，且与 e N 相切，所以，即MN4 RMN MA 4 ．因为 NA 4，所以点 M 的轨迹是以 N ， A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为 x 2y 2 1(a b 0) ， 则 2a4 ，且 ca 2b 23 ，a 2b 2所以 a2 ， b 1．所以曲线 C 的方程为x 2y 2 1 ．4（ 2）解法 1：依题意，直线 BP, BQ 的斜率均存在且不为0，设直线 BP 的斜率为 k (k0) ，则直线 BPyk (x 2)2222的方程为 y k( x2) ．由x 2，得 (1 4k )x 16k x 16k40 ，y214解之得 x 12， x 28k 2 2 ．因此点 P8k 2 24k1 4k2 的坐标为1 4k 2,4k 2．1因为直线 BQ 的斜率为1，所以可得点 Q 的坐标为2 2k 2 ,2k ．2k 1 k 2 1 k 2当 k2kPQ=3k时，直线 l 的斜率为．22(1 2k 2 )所以直线 l 的方程为 y2k3kx2 2k 2，k 22(11 k 212k 2 )整理得 y2(1 3k 2 x 1 k 2 ．即 y 2(1 3k 2 x 2 ．2k ) 2k 2k ) 3此时直线 l 过定点2,0 ． 当 k2 时，直线 l 的方程为 x 2 ，显然过定点 2,0 ．32 3 3综上所述，直线l 过定点2,0 ．3解法 2：当直线 l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为： xx 1 ．设点 P( x 1, y 1) ，则点 Q ( x 1 , y 1 ) ，依题意x 12 ，因为 kBPkBQy 1y 1x2y 1 241，所以 y 1 2x 124x 1 4 ．x2 x24x221 1 1 1因为x 12y 12 1，且 x 1 2 ，解得 x 1 2 ． 此时直线 l 的方程为 x 2 ．4 33当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为： y kx m ．y kx m,由x 2 得 (4 k 2 1)x 2 8kmx 4( m 2 1) 0 ．y2 14需要满足(8km) 2 16(4 k2 1)(m2 1) 0 ，即 m2 4k 2 1 ．设点 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ，则有 x1 x28km， x1 x2 4(m2 1) ．4k 2 1 4k 2 1因为 y1 kx1 m ， y2 kx2 m ，所以 y1 y2 ( kx1 m)(kx2 m) m2 4k2 ．4k 2 1因为 k BP k BQy1 y2 y1 y2 1，所以 x1 x2 2 x1 x2 4 2 y1 y2．x1 2 x2 2 x1 x2 2( x1 x2 ) 4 24(m2 1) 16km4 2( m2 4k 2 ) 28km 2 0．所以 m2k 或m 2k．即4k 21 4k24k21，即 3m 4k1 3当 m 2 k 时，满足 m2 4k2 1 ，直线l的方程为 y k x 2 ，恒过定点 2 ,0 ．3 3 3当 m 2k 时，满足m2 4k 2 1 ，直线l的方程为 y k(x 2) ，恒过定点 (2,0) ，不合题意．显然直线 x 2 2，也过定点,03 3综上所述，直线 l 过定点2,0 ．321．（ 1）解：因为f ( x) (x 4)e x 3 x2 6x ，所以 f ( x) ( x 3)e x 3 2x 6 ( x 3)(e x 3 2) ．当 0 x 3 时，f ( x) 0 ， f ( x) 单调递减；当x 3时， f (x) 0， f (x) 单调递增，所以函数 f ( x) 的单调递减区间为(0,3) ，单调递增区间为 (3, ) ．（ 2）解：由（1）可知，当x [3, ) 时， f ( x) ≥ 0 ．所以要使 h( x) ≥ 0 在区间 (0, ) 上恒成立，只需 g(x) ≥ 0 在区间 (0,3) 上恒成立即可．因为g( x) ≥ 0 a 1 x 1 ln x ≥ 0．3以下给出四种求解思路：思路 1：因为 x0 ，所以 a 1 x 1 ln x ≥ 0在区间0,3 上恒成立，3转化为 a ≥1ln x 1 在区间 0,3 上恒成立．x 3 令 m( x)1 ln x 1 ln xx ，则 m ( x) x 2 ．3因为当 x (0,1) 时， m (x) 0 ，当 x (1,3) 时， m ( x)0 ．所以 m( x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,3) 上单调递减．所以 m( x) ≤ m(1)4 ．所以 a ≥ 4．所以实数 a 的取值范围为4 , ．3 3 3思路 2：因为 g( x)a1 x 1 ln x ，则 g ( x)a1 1(3a 1)x 3(0 x 3) ．33 x3x①若 a ≤ 10 在 (0,3) 上恒成立，所以 g( x) 在 (0,3) 上单调递减，，则 g ( x)3所以 g(x)g(3)a 1 3 1 ln 3，由 g (3) ≥ 0 ，解得 a ≥ 2ln 3 ．33此时实数 a 不合题意．②若1a ≤ 2 ，则 g ( x) ≤ 0 在 (0,3) 上恒成立，所以 g(x) 在 (0,3) 上单调递减，3 3所以 g(x)g(3)a 1 3 1 ln 3，由 g (3) ≥ 0 ，解得 a ≥2ln 3 ．33此时实数 a 不合题意．③若 a2x3时， g ( x)3x3 时， g (x) 0 ．，则当 03a 0 ，当313a1所以函数 g( x) 在0, 3 上单调递减，在 3 ,3 上单调递增．1 3a3a 1所以 g(x) ≥ g3ln 3 ，由3≥ 0 ，解得 a ≥ 43a 11 ln．3a3a 13 此时实数 a 满足 a ≥ 4．3综上所述，实数 a 的取值范围为 4．,3思路 3：因为 g( x)a1 x 1 ln x ，则 g ( x)a1 1 ．33 x因为 g(x) a 1 x 1 ln x≥ 0 在 (0,3) 上恒成立，则 g (1) a 1 1≥ 0 ，即 a ≥4 ．3 3 3因为 g ( x) a 1 1 在 (0,3) 上单调递增，3 x因为 g 1 10 ，【或 x 0 时，g ( x) 】 g (3) a20 ．a 3 3所以存在x0 (0,3) ，使得 g ( x0 ) a 1 1 0 ．3 x0当 x (0, x0 ) 时， g ( x0 ) 0 ，当 x ( x0 ,3) 时， g ( x0 ) 0 ．所以函数 g( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减，在( x0 ,3) 上单调递增．所以 g(x) ≥ g( x0 ) a 1x0 1 ln x0 ln a 1 ．3 3要使 g(x) a 1 x 1 ln x≥ 0 在 (0,3) 上恒成立，只要 ln a 1 ≥ 0 ，解得 a ≥4．3 3 3 所以实数 a 的取值范围为4 , ．3思路 4：因为x 0 ，所以 a 1x 1 ln x ≥ 0在区间 (0,3) 上恒成立，3转化为 a 1x ≥ 1 ln x 在区间 (0,3) 上恒成立．3令 s(x) 1 ln x ，则 s ( x) 10 ， x (0,3) ．x所以 s(x) 在 (0,3) 上单调递增．而 y a 1s( x) 1 ln x 相切于点 (x0 , y0 ) ，x 是经过原点的直线，设过原点的直线与3则切线方程为 y y0 1 ( x x0 ) ，因为 y y0 1( x x0 ) 过原点，所以y0 1 ．x0 x0因为 y0 1 ln x0，所以x0 1．即切点为(1,1)．所以经过原点且与s( x) 1 ln x 相切的直线方程为y x ．所以 足a1 x ≥ 1 ln x 的条件是 a1 ≥ 1 ，解得 a ≥ 4．3 33所以 数 a 的取 范4 ,．3（ 3） 明 1：由（4 ，有 ln x ≤ x 1．即 ln( x 1) ≤ x ．2）可知，当 a31ln 1 1lnn1 ，n nn同理11 ln n2 ， 1 lnn 3，⋯，1ln3n1．n n 1 n 2 n 23n3n所以1n 1 n 1 L 1 1 ln 3n 1ln 3 1ln 3 ．n 1 23n 1 3nnn所以1n 1 n 1 L 1 1 ln 3 ． n 1 23n1 3n明 2：要11 1 L 1 1 1 ln 3，n n 1 n 23n 3n111L1111111即 e n n 1 n 2 3n 1 3n3 ，即 e n e n 1e n 2Le 3n 1 e 3 n3 ．先 明 e x 1 x ( x0) ，事 上， p( x) = e x 1 x ， p ( x) = e x1 ，当 x0 ， p ( x) = e x 1 0 ，所以 p( x) 在 (0,) 上 增．所以 p( x)p(0) 0 ，所以 e x1 x ( x 0) ．11111所以 e n en 1en 2L e3n 1e3nn 1 n 2 L 3n 3n 1 n n1 3n 1 3n所以11 1 n 1 L 11 n n 23n1+11+ 1L1+1 1+1nn 13n 13n3n 1 ．3n1．ln 3 3nx 3 t 22．解：（ 1）因 曲 C 1 的参数方程1 （ t 参数），消去参数 t ，得 2x y 5 0．y2t所以曲 C 1 的方程 2x y5 0 ．x3 ,因 曲 C 2 的参数方程 cos （ 参数），y3 tan则由 x3，得 cos3，代入 y3 tan 得 siny， 消去参数，得 x 2y 2 3 ．cosxx因为,2 ，所以 x 0 ．所以曲线 C 2 的方程为 x 2y 2 3 (x0) ．2（ 2）因为点 A ， B 分别为曲线 C 1 ， C 2 上的动点，设直线 2x y b 0 与曲线 C 2 相切，2x y b 0，消去 y 得 3x 24bx b 2 3 0． 所以(4b) 24 3 (b 23) 0 ，解得 b3 ．由y3x 2 2因为 x0 ，所以 b 3 ． 因为直线 2 x y 5 0 与 2x y3 0间的距离为：3 ( 5)85．所以 AB 的最小值85 ．d1)222 ( 5523．（ 1）解：因为 a 1 ，所以 f ( x) 3 x 2 x 1 ．当 x ≤ 1时，由 f (x) 7 4x 3 ，解得 x 1 ，此时 x．当 1 x2 时， f (x) 5 2x3 ，解得 x 1，此时 1 x 2 ．当 x ≥ 2 时， f (x)4x 7 3 ，解得 x552 ，此时 2 ≤ x．2综上可知， 1 x5 5．．所以不等式的解集为 1,22（ 2）解法 1：由 f ( x) 11 4x ，得 3 x 2 x a 11 4x ，因为 x4, 3 ，所以 x a 5 x ．问题转化为 x a5 x 对任意的 x4,3恒成立，22所以 x 5x a 5 x 【或 (x a)2(5 x)2 】． 所以 2x 5 a 5 ．因为当 x4,3时， (2 x5)max8 ．所以实数 a 的取值范围为 ( 8,5) ．2解法 2：由 f ( x)11 4x ，得 3 x 2x a 11 4x ，因为 x4, 3 ，所以 |x a | 5 x ．2问题转化为x a 5 x 对任意的 x4, 3 恒成立， 分别作出函数y x 5 与函数 y x a 的图2像，如图所示， 要使 xa5 x 对任意的 x4,3恒成立， 则当 x4, 3时，函数 y x 5 的22图像在函数 yx a 的图像的上方． 所以当 x4,3时，需要满足 a x5 x 且 x a 5 x ．2因为当 x4, 3 时， 2x 5max 8 ．2所以实数 a 的取值范围为8,5．。
广州市2020年3月高三数学(理)模拟卷附答案解析
6
3． sin 80 cos 50 cos140 sin10 （ ）
A． 3 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 1 2
【答案】D
【解析】利用10 90 80,140 90 50 ，根据诱导公式进行化简，可得 sin 80 cos 50 cos 80 sin 50 ，
然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】
赛的概率为（
A． 1 9
）
B．
2 9
C． 1 3
D． 4 9
10．已知
F1 ， F2 是双曲线 C
:
x2 a2
y2
1
a0
的两个焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与 C 相交于 A ，
B 两点，若 AB 2 ，则△ ABF2 的内切圆的半径为（ ）
A． 2 3
B． 3 3
C． 2 2 3
D． 2 3 3
（2）若从这 80 个零件中尺寸位于62.5, 64.5 之外的零件中随机抽取 4 个，设 X 表示尺寸在64.5, 65 上的
零件个数，求 X 的分布列及数学期望 EX ；
（3）已知尺寸在 63.0, 64.5 上的零件为一等品，否则为二等品，将这 80 个零件尺寸的样本频率视为概率. 现
对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100 个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件 进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有 二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结 果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件
广州市2020届高中毕业班高考理科数学第一次模拟考试试题(含答案)
2 3
A
4
sin
A
5sin A 3 cos A
2 7 sin A+ （其中 tan 3 ， 0 ）．
5
2
因为 0 A 2 ， 0 ，所以 0 A 5 ．
3
6
6
所以 A = 时， b 2a 2 7 sin A+ 取得最大值 2 7 ．
2
所以 b 2a 的最大值为 2 7 ．
n
项和为
Sn
，已知
a1
1 3
，
a2
a5
4
，若
Sn
4an
8
n N*
，
则 n 的最小值为
A． 8
B． 9
C．10
D．11
10．已知点 P x0, y0 是曲线 C ： y x3 x2 1上的点，曲线 C 在点 P 处的切线方程与直线
y 8x 11 平行，则
A． x0 2
B．x0
4 3
C．x0
A． 4042
B． 4041
C． 4040
D． 4039
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等
边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个 几何体的体积为 ，表面积为 ．
14．在
ax
1 x
x2 1 5 的展开式中， x3 的系数是15 ，则实数 a
组至少选派1人的概率为
A． 5 14
B． 9 14
C． 3 7
D． 4 7
8．已知直线 l ： y x 2 与 x 轴的交点为抛物线 C ： y2 2 px 的焦点，直线 l 与抛物线 C 交
广东省广州市广州大学附属中学2020届高三第一次模拟考试卷理科数学(含答案)
f (x) 2 5 x x 4 的最大值及取得最大值时 x 的值分别为（ ）
A. 5, 21 5
B. 3, 21 5
C. 13, 61 13
D. 29, 61 13
10.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点．设点 P 在线
13.已知向量 a (1, 3), b (3, 3) ，则 b 在 a 方向上的投影是_____．
14.为了提高命题质量，命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这 3 种题型进行改编，则
每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为_____种．
15 在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2 y2 1 右支上的一个动点．若点 P 到直线 x y 1 0 的距
都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知数列{an} 满足 a1 2a2 3a3 ... nan n (n N*) ．
（1）求数列{an} 的通项公式 an ；
（2）令 bn
an an 2
广州大学附属中学 2020 届高三第一次模拟考试卷
理科数学
考试时间：3 月 21 日 15：00—17:00（使用前绝密）
本试题卷共 5 页，23 题(含选考题).全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答 题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题只有一个选项符合题意．）
2020届广州市普通高中毕业班高三理科数学综合测试(一)含答案
理由．
理科数学试题 A 第 5 页 共 6 页
21．（12 分）
已知函数
f
x
x
4 ex3
x2
6x
，
g
x
a
1 3
x
1
ln
x
．
（1）求函数 f x 在 0, 上的单调区间；
（2）用 max m, n 表示 m ， n 中的最大值， f x 为 f x 的导数．设函数
的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每月进行训练的天数 x
人数
x5
15
5 x 20
60
x 20
25
（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松运动训练的 人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松运动训练的人中随机抽取
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
x 3 t,
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
y
1
2t
（
t
为参数），曲线
C2
的参
数方程为
x
3 cos
,
y
3 tan
(
为参数，且
2
,
2
)．
（1）求曲线 C1 和 C2 的普通方程；
（2）若 A ， B 分别为曲线 C1 ， C2 上的动点，求 AB 的最小值．
2 3
A
4
sin
A
5sin A 3 cos A
2020届广东省广州市高三3月阶段训练(一模)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1C ．2D ．12答案：A根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 解：由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A 点评：本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案：B根据集合A 中的元素，可得集合B ，然后根据交集的概念，可得P ，最后根据子集的概念，利用2n 计算，可得结果. 解：由题可知：{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈当0n =时，1x =- 当1n =时，0x = 当2n =时，3x =当3n =时，8x =所以集合}{{}21,1,0,3,8B x x n n A ==-∈=-则{}0,3P A B =⋂= 所以P 的子集共有224= 故选：B 点评：本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P 中有n 元素时，集合P 子集的个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集为21n -，非空真子集为22n -，属基础题. 3．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．12答案：D利用109080,1409050︒︒︒︒︒=-=+o，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.解：由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+o所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒=-=()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-，所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==o故1sin80cos50cos140sin102︒︒︒︒+= 故选：D 点评：本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.4．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝答案：B根据∆<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果. 解： 对命题p ：可知()2140∆=--<， 所以x ∀∈R ，210x x -+> 故命题p 为假命题 命题 q ：取3x =，可知2332> 所以x ∃∈R ，22x x > 故命题q 为真命题 所以p q ⌝∧为真命题 故选：B 点评：本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 5．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >答案：C简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x=-的单调性，并计算21x x x ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 解：由()()11f x f x -=+， 可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2f x x x=-，可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x > 故选：C 点评：本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.6．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 解：由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r,故排除C,D 选项；当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B.故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π答案：C画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+， 故选：C 点评：本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.8．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 答案：A由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 解：椭圆的离心率：=(0,1)ce a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=--所以1r R a e +=-,()1r R ec e+=-, ()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----。
2020年3月广州市高考一模数学(文)试卷附答案解析
6．已知偶函数 f x 满足 f x x 2 x 0 ，则 x f x 2 1 （ ） x
A．x x 4 或 x 0
B．x x 0 或 x 4
C．x x 2 或 x 2
D．x x 2 或 x 4
【答案】A
【解析】根据题意可得函数的单调性,将所求不等式转化为 f |x 2| f (2) 1 ，则有 |x 2 | 2 ，求解即
（2）若 C1 与 C2 相交于 A ， B 两点，且 AB 2 ，求 sin 的值.
23．已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 1. （1）求 1 2 的最小值；
ab
（2）证明：
ab 2b a2 b2
1
5. 2
4
解析 2020 年 3 月广州市高考一模数学（文）试卷
一、单选题
x （1）求 a ， b 的值；
（2）证明函数 f x 存在唯一的极大值点 x0 ，且 f x0 2 ln 2 2 .
22．已知曲线
C1
的参数方程为
x
y
t cos, 1 t sin ,
(t
为参数
)
，
曲线 C2
的参数方程为
x y
sin , 1 cos
2
( ,
为
参数).
（1）求 C1 与 C2 的普通方程；
3
（1）求证： AC PB ； （2）求点 C 到平面 PAB 的距离.
20．已知点
P
是抛物线
C
:
y
1 4
x2
3 的顶点，
A
，
B
是
C
上的两个动点，且
PA
PB
4
.
（1）判断点 D 0, 1 是否在直线 AB 上？说明理由；
广东省广州市高三3月综合测试(一)数学理试题(小题解析) Word版含解析
广州市普通高中毕业班综合测试（一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 答案：B 解析：()221i 1i+++＝211i i i +-=+，共轭复数为：1i - （2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则（A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）M N =∅答案：C解析：集合}{11M x x =-≤≤，{01N y y =≤≤，故有N M ⊆ （3）已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是（A（B（C ）（D答案：A解析：依题意，有345a a a +=，即234111a q a q a q +=，化简，得：210q q --=，解得：12q =， 3546a a a a ++＝24211353111a q a q q a q a q q q ++=++＝1q＝12（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为 （A ）2 （B ）3（C ）4 （D ）5答案：B解析：解析：第1步：n ＝16，k ＝2；第2步：n ＝49，k ＝3； 第3步：n ＝148，k ＝4；退出循环，k ＝4。
（5）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 （A ）1 （B ）13 （C ）4或10 （D ）1或13答案：D解析：解析：依题意，有：223a =，所以，a ＝3，因为17PF =所以，当点P 在双曲线的左支时，有｜PF 2｜－｜PF 1｜＝2a ，解得：｜PF 2｜＝13 当点P 在双曲线的右支时，有｜PF 1｜－｜PF 2｜＝2a ，解得：｜PF 2｜＝1，故选D 。
广东省实验中学2020届高三3月线上考试理科数学试题(word版,含详解)
广东实验中学2020届高三线上考试理科数学2020.3.7第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1,[1,1]A y y x x ==-∈-},B={x|y =则A∩B= A.[0,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.∅2.若复数z 满足(3-4i)z=5(1-i),其中i 为虚数单位,则z 的虚部为A.1 1.5B - 1.5C D.-13.已知0.22log 0.2,2,a b c ===0.0.32,则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4.求下列函数的零点,可以采用二分法的是4.()A f x x =.()tan 2()22B f x x x ππ=+-<<C.f(x)=cosx-1 .()|23|x D f x =-5.已知角a 顶点的原点,始边与x 轴非负半轴重合,点(P )在终边上,则cos()6πα-=1.2A 1.2B - .C .D -6.汉朝时,张衡得出圆周率的平方除以16等于5.8如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的曲线为圆,利用张衡的结论可得该几何体的体积为A.32B.403210.C 4010.3D 7.已知抛物线243y x =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于A,B 两点,若双曲线的离心率是23,那么|AB|= A.2 4.3B .2C 23.D 8.2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算,将2013年编号为1,2014年编号为2,...2018年编号为6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析),得到回归直线y ∧=13.743x+3095.7,其相关指数20.9817R =,给出下列结论,其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0B.1C.2D.39.给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有A.18种B.24种C.30种D.32种10.已知ω>0,函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增,则ω的取值范围是 15.[,]24A 17.[,]24B 39.[,]44C 37.[,]24D 11.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A 、B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点集{|P OP =u u u r ,|OA OB λμλ+u u u r u u u r |+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是A B .C D 12.设在R 上可导的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)-31()3f x x -=,并且在(-∞,0).上有21(),2f x x '<实数a 满足f(321(6)()318363a f a a a a --≥-+-+,则实数a 的取值范围是A.(-∞,3]B.[3,+∞) .[4,)C +∞D.(-∞,4]第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.命题“∀x>1,都有212x+>”的否定是___.14.设x,y满足约束条件:0,01,,3x yx yx y≥≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩则z=x-10y的取值范围是___.15.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边依次为a,b,c,外接圆半径为1,且满足tan2,tanA c bB b-=则△ABC 面积的最大值为___.16.将正三棱锥P一ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P-ABC-Q，如图。
广州市2020届高中毕业班第一次模拟考试试题及答案(理科数学)
2021年广州市普通高中毕业班综合测试〔一〕数学〔理科〕|本试卷共6页,23小题,总分值150分'测试用时120分钟.考前须知：L答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试空号、座位号填写在做题卡上, 用2B 铅笔在做题管的相应位置填涂考生号,并将试卷类型〔A>填涂在做题卡相应位置上.2 .作答选择题时,选出每题答案后,用2B铅笔在做题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上,3 .非选择西必须用黑色字迹的钢笔或签字第作答,答案必须写在做题卡各膻目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案.然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4 .假设生必须保证做题卡的整洁.测试结束后,将试卷和做题卡一并交回.一、选择思：此题共12小题,每题5分,共碉分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合JR目要求的.1 .设集合A/二卜[0<工〔1,工w R} , N = {Xk|<2,jcwR|,那么A. MCN二M氏MCN = N C. MUN 三财D. MUN 三R2 .假设复数k满足方程- + 2=0,那么/=A. ±2>/2B. S C, -2V2 i D. ±242i3 .假设直线区-y + l = 〔〕与网V + y+ 2工一4丁 + 1=0有公共点,那么实数k的取值电图是A. [-3,4-;®〕氏〔一^,7] C. 〔0,9〕 D. 〔f4 .「：卜 + 1]>2I q;2<x<3t那么P 是.的A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5 .设函数/〔" = 2c唔工司,假设对任意XE R都有/〔6/〔小/〔马〕成立,那么£一引的最小值为A. yB.nC. 2nD. 47r6 .直三棱柱的体积为*,假设?,.分别在力4, CG上.且月产二［/4,c〔?=|ccp那么四棱椎日-/尸0c的体积为A. |r B> C. \V D.6 9 3 97.为了让居民『解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由】0位同学组成了四个宣传小组,其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学,有出垃圾与其他坨圾宣传小组各有3位同学.现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,那么每个宣传小蛆至少选派I人的概率为A. / B,卷 C. | D.J14 14 7 7&己知直线/：y = x-2与x轴的交点为抛物线c：/ = 2px的焦点,直线/与物物线C交于力,B两点,那么AB的中点到抛物线C的准线的距离为A. 8 B1 6 C. 5 D. 49,等差数列｛口力的前差项和为S“ .q=g, %+%=4,假设£ 3 4q+8〔曾G N"〕, 那么力的最小值为A. 8B. 9C. 10D. 1110.已如点严〔玉,瑞〕是曲线C：y = .d-F + l上的点,曲线.在点P处的切线方程与直线『=8/-11平行,那么A. % = 2B./三一4■BT_ 4 dC,仆=2或仆=一9 D.%二-2或/二年IL .为坐标原点,设双曲线C ：m-?=1(口>0,6>0)的左,右焦点分别为可,用,点尸是双曲线C 上位于第一象限上的点,过点与作/月P 6的平分线的垂线,垂 足为/,假设:二|6周一2|.小 那么双曲线c 的离心率为5 4 5 A. = B.三C. D, 2433：‘''假设尸") = /(x)-sin(2021u)-l 在区间[-L1]x -x + 1, x>0,上有M 个零点不,X 2,修,…,X …那么/(*]) + /氏)+ /(/) +…+ /区)=A. 4042 8 4041 C 4040 D. 4039二,填空题：本建共4小题,每题5分,共20分.13 .如图,如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个 几何体的体枳为 14 .在 | 的展开式中,/的系数是15,那么实数15.聃位向量/与电的夹角为I ,假设向量勺+26与2弓+版,的夹角为坐,那么 * 3 6实数k 的值为.16 .记数列血｝的项〃项和为叼%J_ = cos 等-si 口詈,wN),且1 9^ + 52021 =-1009,a,m>0t 那么丁 +标的最小值为.以+上x三,解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程和演算步事.第17〜21题为必考IH, 每个试就考生都必须做答.第22% 23题为选考建,考生根据要求做答,(一)必考鹿工共60分.17.(12分)△1BC的内谢儿B,C的对边分别为*b.匚,e = JL 且满足______ 1云in C_______ _ 百tisinJ + Asin5-c sin C(n求的大小।(2＞求5 + 2"的最大值.】8,?12分)随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起.参与马拉松练习与比赛的人数逐年增加.为此, 某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查,其中项是网查人员从善与马拉松运动的人中随机抽取100人,对其每月参与马拉松运动练习的大数进行统计,得到以F统计表二(D以这100人平均每月进行练习的天数位F各区间的频率代替该市寥与马拉松练习的人平均每月进行练习的天数位于该区间的概率.从该市所有参4马拉松练习的人中随机抽取4个人,求恰好有2个人是“平均每月进行练习的天数不少于20天〞的概率；(2)依据统计表,用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个,再从抽取的12个人中随机抽取3个.丫表示抽取的是“平均每月进行练习的天数不少于20天〞的人数,求卜的分布列及数学期望E(y).19. 〔12 分〕如图1,在边长为2的等边△ABC中,D,E分别为边力C, 48的中点.将△ 沿0E折起,使得/8J./1.,4C14E ,得到如图2的四棱锥力-BCQE,连结BD, CE,且BD与CE交于点H.(1)求证：/f4_L 平面8CQE；(2)求二面角8-/lE-Q的余弦值.A图1 图220. (12 分)0M过点彳(石,0),且与ON：卜+6丫+产=16内切,设OM的圆心M 的轨迹为曲线C.(1)求曲线.的方程：(2)设真线/不经过点8(2,0)且与曲线C相交于尸,.两点.假设直线P8与直线.8 的斜率之积为-；,判断直线/是否过定点,假设过定点,求出此定点坐标；假设不过定点♦请说明理由.21. 〔12 分〕函数/(x) = (x_4)e ,3+£_6X , g(x)= a--jx-1-lnx.(1)求函数/(X )在(O,+8)上的单调区间；(2)用max ｛九〃｝表.示m , 〃中的最大值,f'(x)为/(x)的导数.设函数A(x) = max(//(x),g(x)｝,假设人(力?0在区间(0,*o)上恒成立,求实数.的取值范围：(3) 证实： —+ —-—+--—+ ••• + ----- +—> ln3(w G N ).n 〃 + 1 〃 + 2 3〃-1 3n '(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做 的第一题计分.22.［选修4 - 4：坐标系与参数方程］(10分)(x = 3 + /,八在平面直角坐标系9中,曲线G 的参数方程为二］蚀('为参数),曲线G 的(1)求曲线G 和G 的普通方程:(2)假设力,8分别为曲线c ,G 上的动点,求|力同的最小值.23.［选修4 - 5：不等式选讲］(10分)函数/卜)=|3X 一6| +卜一4|, aeR. (1)当Q = 1时,解不等式/(切〈3：一 — 3(2)假设不等式/(x)<U-4x 对任意xw -4,--成立,求实数.的取值范围.参数方程为嬴万'(6为参数,且 y = tan 62021年广州市普通高中毕业班综合测试〔一〕理科数学试题答案及评分参考评分说明：1 .本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细那么.2 .对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继局部的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继局部的给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如 果后继局部的解答有较严重的错误,就不再给分.3 .解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题二、填空题3_ _ “ 13 .3 14. 515. 1016. 16说明：第13题中第1个空2分,第二个空3分.三、解做题由于0 c ,所以C — .3⑵由与〔1〕知c 5C -. 3由正弦定理 一a--b — —2,sin A sin B sin C -sin绝密★启用前17.解：〔1〕根据正弦定理a sin Ab sin Bc sin C得,技由于c 、. 3 ,所以ab由余弦定理, 得 cosC2 2 a b2,2a b2ab2c 2c【或ab a 2 b 2 3】.1.一【或cosC2a 2b 2 3 2ab分布,Y 的所有可能的取值为0, 1, 3.C 0C 3 C 3221一,P Y 55c 3c 2 C 3227 55 ' P Y 2幽 I I UQC1227 -、/ ---- ,P Y 220C 3c 9C 21 220得 a 2sinA, b 2sin B 2sin22a 2sin ——A 4sin A3由于018.解：(1)设从该市参与马拉松运动练习的人中随机抽取一个人,抽到的人刚好是“平均每 月进行练习的天数不少于 20天〞记为事件为 A,25 1那么P A 旦1100 4设抽到的人是“平均每月进行练习的天数不少于20天〞的人数为所以恰好抽到2个人是“平均每月进行练习的天数不少于20天〞的概率为100个马拉松练习者中抽取12个,那么其中“平均每月进行练习的 天数不少于20天〞有3个.现从这12人中抽取3个,那么“平均每月进行练习的天数不少于 20天〞的数量Y 服从超几何所以Y 的分布列如下:所以b 5sin A3 cos A2.7sin A+ 〔其中tan所以A=—时,b22a 2.7 sin A+取得最大值2币.所以b 2a 的最大值为 2".22P 2c2 〞27 128(2)用分层抽样的方法从所以BD AC .在△ BCD 中,BD CD, BC 2, CD 1 ,所以 BD 邪.由于D,E 分别为边AC, AB 的中点,所以ED//BC .DH ED 11 3 在图2中,有—————,所以DH -BD —.HB BC 233由于AB AD ,所以△ ABD 为直角三角形• 由于AD 1, BD 石,所以cos ADB 处 —. BD 3在^ ADH 中,由余弦定理得AH 2 AD 2 DH 2 2AD DH cos ADB 1 1 2 1 -3 -3 -3 3 3 3所以AH 二6. 3. .一 . 〃 o 2 1 o在4ADH 中,由于 AH 2 DH 2 - - 1 AD 2, 3 3 所以AH BD - 同理可证AH CE.由于 CEI BD H , CE 平面 BCDE, BD 平面 BCDE , 所以AH 平面BCDE.证实2：在图1中,由于△ ABC 为等边三角形,且 D 为边AC 的中点, 所以BD AC .在△ BCD 中,BD CD , BC 2, CD 1 ,所以 BD B 由于D,E 分别为边AC, AB 的中点,所以ED//BC .在图2中,有也里二,所以DH 1 BD —. HB BC 23 3在 Rt BAD 中,BD 向,AD 1 , 在4 8庆口和4 AHD 中,由于DB 卫A J3, BDA ADH 所以△ BAD : △ AHD .c 21 / 27- 27 c 1 165 3 E Y0 1—— 23 -55 55 220 220 220 4所以19. (1)证实1:在图1中由于△ ABC 为等边三角形,且 D 为边AC 的中点, DA DH所以 AHD BAD 900 . 所以AH BD - 同理可证AH CE .由于 CEI BD H , CE 平面 BCDE, BD 平面 BCDE , 所以AH 平面BCDE .(2)解法1:以E 为原点,EB 所在直线为x 轴,EC 所在直线为y 轴,平行于AH 的直线为由图可知,二面角B AE D 的平面角是钝角, 故二面角B AE D 的余弦值为 —.3解法2:在四棱锥A BCDE 中,分别取AE , 的中点M , N ,连接DM ,MN , ND .由于△ ADE 为等边三角形,所以 DM AE, 由于 BEEC , BE AH , CE I AH H且CE, AH 平面AEC ,所以BE 平面AEC .轴,建立如下图的空间直角坐标系 E xyz,那么 B 1,0,0 , C 0, , 3,0 ur n EA uuuEB 1,0,0unr i uuur ED — BC2设平面ABE 的法向量为m (x 1,y 1,z 1),uur 、3 、6 皿 mgEA — y 1 -64 0,仃 那么 3 3取uuumgEB X 1 0,m 0,拒,1 . 设平面ADE 的法向量为n (x 2, y 2, z 2), unr n EA 那么 uuur n ED 、3Ty 2 Z21 2x 20, 取n 0,.6, .2, 1所以cos m, nm n 3、3m||n| 3 733AB由于AE 平面AEC ,所以BE AE .由于点M , N 分别为边AE, AB 的中点, 所以 NM //BE . 所以NM AE .所以 DMN 为所求二面角的平面角11在△ ABE 中,MN -EB -.2 2在 Rt^ABD 中,AD 1, BD J3 ,所以 AB所以 DN . AN 2 AD 2 , ； 1在△ DMN 中,由余弦定理得近2 1222 2 2cos DMN --------------------- -- ------------3 12 ------ -2 220. (1)解：设e M 的半径为R,由于eM 过点A J3,0R MA , 所以 即MN MA 4 . MN 4 R,由于NA 4,所以点M 的轨迹是以N , A 为焦点的椭圆.22设椭圆的方程为今1a b那么 2a 4,且 c Ja 2 b 2 依,所以 a 2 , b 1 .2所以曲线C 的方程为—y 2 1.4(2)解法1:依题意,直线BP,BQ 的斜率均存在且不为0, 设直线BP 的斜率为k k 0 ,那么直线BP 的方程为y k x 2y k x 2 , 由 Y 2得 1 4k 2 x 2 16k 2x 16k 2 4 0,x 27 y 1,…/日8 8k 2 2斛之得x 1 2 , x 22 .1 4k 2在等边三角形 ADE 中,由于AD 1,所以DM,3、.3所以二面角B AE D 的余弦值为-- 3 3且与e N 相切,因此点P 的坐标为 8k 2 2 4k 4k 2’1 4k 2由于直线BQ 的斜率为 工--------------- )2k 所以可得点Q 的坐标为2 2k 2 1 k 2 2k ,1 k 2当k Y2时,直线l 的斜率为 2 3k -2?所以直线 l 的方程为 2k"73k22 1 2k 22 2k 2 k 2,整理得y 3k 此时直线------- ^x2 1 2k 2-2 , 1 2k 3k__ 22 1 2k 2l 过定点2,o . 3 当k ,2时,直线l 的方程为x 2显然过定点3,0综上所述,直线l 过定点 2,0 .3解法2:当直线l 的斜率不存在时,设直线 l 的方程为:设点 P X i ,必 Q X i , y i,依题意X i由于 k BP k BQ y 1 K 2y 1 x 1 22 y1x ； 4x 1 4所以 2 x 1 4x 1由于x 2 4 此时直线 l 的方程为x 当直线l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为: kxy 由x 2 kx m, 得1 4k2 8kmx 0.需要满足 28km 164k 210,即 2 2m 4k设点P x 1,y,Q x21 y 2那么有x x 2,x〔x 24k 2 1由于 y 1 kx 1 m, y 2 kx 2 m ,. ......... 2 ...显然直线X -也过点321. (1)解：由于 f x x 4 e x3 x 2 6x,所以 f x x 3 e x 3 2x 6 x 3 e x 3 2 . 当 0 x 3时,f x 0 ,当 x 3 时,f x 0 ,所以函数f x 在0,3上单调递减,在 3, 上单调递增, 所以函数f x 的单调递减区间为 0,3 ,单调递增区间为 3,.(2)解：由(1)可知,当x 3, 时,f x 0 .所以要使h x0在区间0, 上恒成立,只需g x 0在区间0,3上恒成立即可.1由于 g x 0 a x 1 ln x 0.3以下给出四种求解思路：1 思路1：由于x 0,所以a 1x 1 lnx 0在区间0,3上怛成立,3所以 y i y 2kx 1 m kx 2 m m 2 4k 2 4k 2 1由于 k BPkBQy 1 X 2 y 2 X 2y i y 2x 1x 2 2 x 1 x 2 4所以 X 1X 2X 1 X 22y 1y 2 -16km 4k 2 14k 22 m 2 4k 24k 2 1即3m 2 8km 4k 2 0.所以m,或m 32. 一—k 时,满足 3 4k 21 ,直线l 的方程为2 2 x -,怛过定点 -,0 .3 32k 时,满足4k 2 1 ,直线l 的方程为yk x 2 ,恒过定点2,0 ,不合题综上所述,直线l 过定点I ,0所以函数g x 在0,」一 上单调递减,在 二一,3上单调递增. 3a 1 3a 1一一 3 3 . 3.4所以g x g 」一 1n 」一,由1n 一一0 ,解得a -. 3a 1 3a 13a 1 3. ........................... 4 此时实数a 满足a -.3综上所述,实数a 的取值范围为 4,.3转化为a 1Jnl 1在区间0,3上恒成立. x 3 人 1 ln x 1ln x令 m x ................ —,那么 m x—2- . x 3x由于当x 0,1时,m x 0 ,当x 1,3时,m x 0 . 所以m x 在0,1上单调递增,在1,3上单调递减.4 一 4所以m x m 1—.所以a 一 . 3 3所以实数a 的取值范围为 4, .31 ..思路2：由于g x a - x 1 lnx, 3贝1J g x113a 1 x 3a —— ------------------- 0x33 x 3x- 1 _ ①右a 一,那么g x3 y0在0,3上恒成立,所以g x 在0,3上单调递减, 1所以 g x g 3 a - 311n 3,由 g33此时实数a 不合题意.2 1n330在0,3上恒成立,所以g x 在0,3上单调递减, 所以g x g 31 2 In 3a 13 11n 3 ,由g 30 ,解得a 幺』2 333此时实数a 不合题意.23一,③假设a —,那么当0 x ——时,g x3 3a 1 3 一,0,当 ------- x 3 时,g x 0 .3a 1那么 g 1 a 11 0 即 a 4.33… 11, 、,…由于g x a -—在0,3上单调递增,3 x1 1.所以存在x 0 0,3 ,使行g x °a —— 0.3x 0当 x 0,x 0 时,g x 0 0,当 x x 0,3 是,g x 0 0.所以函数g x 在0,x 0上单调递减,在 x 0,3上单调递增. 1 In a 3一― 1 -r 4 只要ln a -0 ,解得a -.33所以实数a 的取值范围为 4, 3.......1转化为a - x 1 lnx 在区间0,3上怛成立. 31 ― 一令 s x 1 ln x ,那么 s x — 0, x 0,3 x所以s x 在0,3上单调递增.一 1 .................... 而y a - x 是经过原点的直线, 3设过原点的直线与s x 1 lnx 相切于点 ％,y 0 ,- .............................. 1 那么切线方程为y y 0 x x 0 ,x …1由于y y 0 — x x 0过原点,所以y 0 1. x .由于1 ln x0在0,3上恒成立,【或x 0时,g所以 要使In x 0 在 0,3 上恒成立,思路4: 由于x 0,所以1 In x 0在区间 0,3上恒成立,所以经过原点且与s x 1 lnx相切的直线方程为y x.所以满足 1 lnx的条件是a所以实数a的取值范围为4 3,(3)证实1: 由〔2〕可知,当ln x 1 .即In x In同理所以所以证实2:1 即证e nInIn3n3n 1ln —3n,, 1要证1n_L L n23n 113n3n13n3nIn3n 1In ln3.In 3.3n1 即证e n ge11 n 2ge g- ge3n1ge3n先证实e x 事实上,设所以所以所以所以时,在0, 上单调递增.0,所以e xe n ge n1ge ng-1 13n 1 3nge ge1+1n3n 1 3n22.解：〔1〕由于曲线C1的参数方程为1+-n1+13n 13n 3n 1 3n In 3.t,2t3n 1 3n〔t为参数〕,所以曲线C1的方程为2x y 5 0.x .由于曲线C2的参数方程为X cos ,(为参数),y \ 3 tan那么由x ,得cos --,代入y J3tan 得sin —, cos xx消去参数,得x2 y2 3 .由于—,——,所以x 0 .2 2所以曲线C2的方程为x2 y2 3 x 0(2)由于点A, B分别为曲线C1, C2上的动点,设直线2x y b 0与曲线C2相切,,2x y b 0,..…2 2由 2 2消去y得3x 4bx b 3 0.x y 3,2所以4b 4 3 b23 0 ,解得b 3.由于x 0 ,所以b 3 .3 0间的距离为:由于直线2x y 5 0与2x,3 5 875d 1= ---------- ..,2212 5所以AB的最小值随.523. (1)解：由于a 1 ,所以f(x) 3x 2 x 1 .当x 1时,由f(x) 7 4x 3,解得x 1,此时x .当1 x 2时,f (x) 5 2x 3,解得x 1 ,此时1 x 2.5 5当x 2 时,f (x) 4x 7 3,解得x 5 ,此时2 x 5 . 2 25综上可知,1x5.25 所以不等式的解集为1,£ .(2)解法1：由f(x) 11 4x,得3 x 2 x a 11 4x,一. 3 —.由于x 4, 一,所以x a 5 x .2 2所以x5xa5x【或xa 5x1.3 .由于当 x 4,-时,2x 5 max 8 . 2 max所以实数a 的取值范围为8,5 .解法2：由 f(x) 11 4x,得 3|x 2 x 由于x 4, 3 ,所以|x a | 5 x . 2 问题转化为x a 5 x 对任意的x 4, 分别作出函数y x 5与函数y x a 像,如下图,____ 3要使x a 5 x 对任息的x 4 — ,2 立,一 3 一,一一 一那么当x 4, 3时,函数y x 5的2在函数y x a|的图像的上方.“一 3所以当x 4, 3时,需要满足2 a x 5 x 且 x a 5 x.3.由于当 x 4,-时,2x 5 max 8 . 2 max所以实数a 的取值范围为8,51 .. 一思路3：由于gx a - x 1 1nx,那么g x33 问题转化为x a 5 x 对任意的x 4, 3 *怛成立,2a 11 4x ,3卜一怛成立, 2。
2020年3月广州市高考一模数学(文)试卷附答案解析
2020年3月广州市高考一模数学（文）试卷一、单选题 1．已知复数z i =()1i +，则z =（ ）A ．12B ．2C ．1D ．2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{1,0,1B =-，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个3．设向量a r (),1=m ，b r ()2,1=-，且a b ⊥r r，则m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．24．已知{}n a 是等差数列，35a=，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝6．已知偶函数()f x 满足()()20f x x x x=->，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{4x x <-或}0x > B ．{0x x <或}4x > C ．{2x x <-或}2x > D ．{2x x <-或}4x >7．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(7+πB ．(10+πC ．(10+πD ．(11+π9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 10．已知函数()ln 1f x x a x =--存在极值点，且()0f x ≤恰好有唯一整数解，则实数a 取值范围是（ ）A ．(),1-∞ B ．()0,1C ．10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．3B ．3C D ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．已知函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，则()4f =________.14．设x ，y 满足约束条件13,02,x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则2z x y =-的最小值为__________.15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为_________. 16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=_____________，数列{}2n n a a +-的前n 项和n T =______________.三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品. 将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率.18．已知,,a b c 分别是△ABC 内角,,A B C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3+-=A C A C B .（1）求sin B 的值；（2）若2b =，△ABC ，求△ABC 的周长.19．如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，2AC ==.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点C 到平面PAB 的距离.20．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r . （1）判断点()0,1D-是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.21．已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.（1）求a ，b 的值； （2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.22．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)， 曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数).（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值.23．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）求12a b+的最小值； （2）证明：2221ab b a b +<++.解析2020年3月广州市高考一模数学（文）试卷一、单选题 1．已知复数z i =()1i +，则z =（ ）A ．12B ．2C ．1D ．【答案】D【解析】根据复数模的性质直接计算即可.(1)z i i =+Q ,|||(1)||||1|z i i i i ∴=+=+=,故选：D【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题. 2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{1,0,1B =-，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】由交集运算求出集合P ，写出所有子集即可.{}0,1,2,3A =Q ，}{1,0,1B =-，{0,1}P A B ∴=⋂=， ∴P 的子集有,{0},{1},{0,1}φ共4个，故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于容易题. 3．设向量a r(),1=m ，b r ()2,1=-，且a b ⊥r r，则m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】根据向量垂直则数量积为0直接计算即可求解. 【详解】a b ⊥r r Q ,()(),12,1210a b m m ∴⋅=⋅-=-=r r ,解得12m =，故选：C【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量垂直的性质，属于容易题. 4．已知{}n a 是等差数列，35a=，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】根据条件，联立方程组，即可求出公差. 【详解】{}n a Q 是等差数列，35a =，2467a a a -+=,112537a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得2d=，故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于容易题. 5．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题， 对于命题q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键. 6．已知偶函数()f x 满足()()20f x x x x=->，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{4x x <-或}0x >B ．{0x x <或}4x >C ．{2x x <-或}2x > D ．{2x x <-或}4x >【答案】A【解析】根据题意可得函数的单调性,将所求不等式转化为()|2|(2)1f x f +>=，则有 |2|2x +>，求解即可. 【详解】0x Q >时，()2f x x x=-， 2(2)212f ∴=-=，Q 函数()f x 为偶函数，()2(|2|)1(2)f x f x f ∴+=+>=，Q 当0x >时，()2f x x x=-为增函数， |2|2x ∴+>，解得0x >或4x <- 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及指数不等式的解法，属于基础题.7．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r,故排除C,D 选项；当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(7+πB ．(10+πC ．(10+πD ．(11+π【答案】C 【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：14423(102ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 【答案】A【解析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率：=(0,1)c e a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴）， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=--所以1r R a e +=-,()1r R ec e+=-, ()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+---- 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题. 10．已知函数()ln 1f x x a x =--存在极值点，且()0f x ≤恰好有唯一整数解，则实数a 取值范围是（ ）A ．(),1-∞ B ．()0,1C ．10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据函数有极值点可得0a <，()0f x ≤有唯一整数解可转化为1(1)ln x x a-≤有唯一整数解，令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =，只需满足(2)2g h >（）即可求解.【详解】()1af x x'=-Q (0)x >，且()ln 1f x x a x =--存在极值点 ()10af x x'∴=-=有正根， 可得0a >，()0f x ≤Q 恰好有唯一整数解，即1(1)ln x x a-≤恰好有唯一整数解， 令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =， 因为(1)1=g h =（）0， 所以只需满足(2)2g h >（）即可，解得10ln 2a <<， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的极值，利用转化思想处理不等式有唯一整数解，属于中档题.11．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．3B ．3C D ．【答案】B【解析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=，解得3r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=2311522131=2222BEMABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBM V -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56，④正确；故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．二、填空题 13．已知函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，则()4f =________.【答案】2【解析】根据函数图像之间的关系知()y f x =与2x y =互为反函数，求解析式计算即可.【详解】 因为函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，所以()y f x =是2x y =的反函数，即2()log f x x =， 所以()24log 42f ==，故答案为：2 【点睛】本题主要考查了反函数的性质，反函数的求法，属于容易题. 14．设x ，y 满足约束条件13,02,x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩ 则2z x y =-的最小值为__________.【答案】1-【解析】先根据条件画出可行域，设2z x y =-，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线2z x y =-，取得截距的最小值，从而得到z 最小值即可． 【详解】由约束条件得到如图可行域，由目标函数2z x y =-得到1122y x z =-； 当直线经过A 时，直线在y 轴的截距最大，使得z 最小，由12x x y =⎧⎨+=⎩得到(1,1)A ，所以z 的最小值为1211-⨯=-； 故答案为：1-． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为_________. 【答案】19【解析】分别计算出选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛的基本事件总数和满足1A 和1B 两人组成一队的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【详解】从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =， 故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种，故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=， 故答案为：19． 【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键． 16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=_____________，数列{}2n n a a +-的前n 项和n T =______________.【答案】18-11122n +- 【解析】（1）根据n S 与n a 的关系即可推导出112n n n a a ++=-，令3n =即可求解； （2）由（1）知112n n n a a ++=-，利用上式可得2112n nn a a ++-=，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】1122n n n S a --=Q , 11122n n nS a ++∴-=, 两式相减可得：11122n n n n a a a ++-+=-，即112n n na a ++=-， 所以3431128a a +=-=-， 由112n nn a a ++=-可得21112n n n a a ++++=-， 两式相减可得：211111222n n n n n a a +++-=-+=， {}2n n a a +∴-是以14为首项，12为公比的等比数列，111(1)114212212n n n T +-∴==--， 故答案为：18-，11122n +- 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，n S 与n a 的关系，等比数列的求和公式，属于较难题.三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品. 将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率. 【答案】（1）63.47（2）0.2【解析】（1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小；（2）计算尺寸在[63.0，64.5)外的频率，用频率估计概率，即可得出结论． 【详解】（1）由频率分布直方图的性质得：(0.0750.225)0.50.15+⨯=，0.150.750.50.525+⨯=，所以中位数在[63.0，63.5)内，设为a ， 则0.15(63.0)0.750.5a +-⨯=， 解得63.47a ≈，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5)上的频率为(0.7500.6500.200)0.50.8++⨯=， 且10.80.2-=，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2． 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、概率的应用问题，是基础题． 18．已知,,a b c 分别是△ABC 内角,,A B C 的对边，2222sinsin sin sin sin 3+-=A C A C B .（1）求sin B 的值；（2）若2b =，△ABC ，求△ABC 的周长.【答案】（1）3（2）2+【解析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B ，然后结合同角平方关系可求sin B ；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac ，然后结合余弦定理即可求解a c +，进而可求三角形的周长． 【详解】 （1）因为2222sinsin sin sin sin 3+-=A C A C B ．由正弦定理可得，22223ac b ac =+-， 由余弦定理可得，1cos 3B =，故sin 3B =；（2）1sin 2ABC S ac B ∆===Q ， 所以3ac =，因为22223ac b ac =+-， 所以28()448123a c ac +=+=+=，所以2a c b ++=+ 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．19．如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，2AC ==.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点C 到平面PAB 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】（1）取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，证明PO AC ⊥，BO AC ⊥，推出AC ⊥平面OPB ，即可证明AC BP ⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，求解PO =，结合=PB ，可得PO BO ⊥，又PO AC ⊥，得到PO ⊥平面ABC ，然后利用等体积法求点C 到平面PAB 的距离．【详解】 （1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC ∆中，PA PC =Q ，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥， 在BAC ∆中，BA BC =Q ，O 为AC 的中点，BO AC ∴⊥，OP OB O =Q I ，OP ，OB ⊂平面OPB ，AC ∴⊥平面OPB ，PB ⊂Q 平面POB ，AC BP ∴⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，在等腰三角形APC 中，由120APC ∠=︒，得PO ，又PB Q ，222PO BO PB ∴+=，即PO BO ⊥， 又PO AC ⊥，AC OB O =I ，PO ∴⊥平面ABC ，求解三角形可得PA =，又AB =，得12PAB S ∆=．设点C 到平面PAB 的距离为h ，由C P A ABCP B V V --=，得111323⨯=，解得5h =，故点C 到平面PAB ．【点睛】本题考查等体积法的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 20．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r . （1）判断点()0,1D-是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）点()0,1D-在直线AB 上，理由见解析（2）212x y =【解析】（1）由抛物线的方程可得顶点P 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积PA PB uu r uu r g ，再由题意4PA PB =-u u u r u u u rg 可得直线AB 恒过(0,1)-，即得D 在直线AB 上； （2）设A ，B 的坐标，可得直线PA ，PB 的斜率及线段PA ，PB 的中点坐标，进而求出线段PA ，PB 的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M 的坐标，由（1）可得M 的横纵坐标关于参数k 的表达式，消参数可得M 的轨迹方程． 【详解】 (1) 点()0,1D-在直线AB 上.理由如下，由题意, 抛物线21:34C y x =-的顶点为(0,3)P - 因为直线与抛物线有2个交点， 所以设直线AB 的方程为()()1122,,,y kx b A x y B x y =+，联立2134y x y kx b⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得到244(3)0x kx b --+=， 其中21616(3)0k b ∆=++>，12121244(3)4(3)x x k x x b x x b +==-+=-+，所以()21212242y y k x x b k b +=++=+，()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2224(3)4k b k b b =-+++2212k b =-+ 因为()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+u u u r u u u r所以()()121233PA PB x x y y ⋅=+++u u u r u u u r()12111239x x y y y y =++++()()2224(3)123429b k b k b =-++-++++223b b =+- 4=，所以2221(1)0b b b ++=+=， 解得1b =-， 经检验，满足>0∆，所以直线AB 的方程为1y kx =-，恒过定点()0,1D-.（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点， 设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ， 因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x xy x y --=--+， 因为A 在抛物线上，所以211134y x +=，PA 的中垂线的方程为：211143()82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-， 联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩， 由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M k x k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===， 即点2(,2)M k k ，所以212M M x y =， 即点M 的轨迹方程为：212x y =． 【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题．21．已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.（1）求a ，b 的值； （2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析 【解析】（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证． 【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x-'=-， 则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=， 又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x-+'=， 令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1x x e x x =∈-， 则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-，故()h x 在(1,2)上单调递增， 由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--，0()222f x ln ∴<-． 【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．22．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)， 曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数).（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值. 【答案】（1）tan 1y x α=+，221(0)2y x y +=…（2）0 【解析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入2C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解．【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =即221(0)2y x y +=…． （2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．∴1222sin1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．sin 0α∴=．【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题． 23．已知0a >，0b >，且1a b +=.（1）求12a b +的最小值；（2）证明：22212ab b a b +<++.【答案】（1）3+2）证明见解析【解析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．【详解】（1）12122()()333a b a b a b a b b a +=++=+++=+…“b =”时取等号， 故12a b +的最小值为3+（2）222222222412)155ab b ab b ab b b b a b ab b a +++===++++++…当且仅当1,2a b =时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++．【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．。