第一章函数、极限、连续
大学数学第1章：_函数、极限、连续
这时就称
以0为极限。
y 1 x
定义1-10 设函数y＝f(x)对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义，如果当|x|无限增大（即x→∞ ）时，函数 f (x)无限接近某个常数A ，那么A就称为函数f (x)当x趋 向无穷大时的极限，记为
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运 算所构成并能用一个式子表示的函数，称为初等函数。 例如， y＝ sin3x 、 u＝ sin(ωx＋φ) （ω、φ是常数） 都是初等函数。
凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下，分段函数不是初等函数.含有绝对值符号的函数一 般也不是初等函数。
函数的定义域
函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。 判断函数有意义的方法有下列几种：
①分式的分母不等于零； ②偶次方根式中，被开方式大于等于零； ③含有对数的式子，真数式大于零； ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1； ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ⑥若已知y = f ( x )的定义域是[a,b],求 y= f [φ(x)] 的定义域，
为函数的值域，也可以记作 Rf 或 f (D)。
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的 函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则 叫多值函数． 函数的表示方法有解析法（也称公式法）、图像法、 表格法等等。
函数,极限与连续
令 x – a t ，由 x a，则 t 0.
sint 1 1 上式 lim lim . 2 t 0 t cos a cos(t a ) t 0 cos a cos(t a ) cos a
则 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) · (x) 在该点 g
f ( x) 亦均连续， 又若 g(x0) 0， 则 在 x0 处也连续. g( x )
证
我们仅证明 f (x) · (x) 的情形 . g
因为 f (x) ，g (x) 在 x0 处连续， 所以有
x x lim lim 1， x 0 | x | x0 x x x lim lim 1 . x0 | x | x0 x
y
y x |x|
O
x
所以 x = 0 为该函数的第一类间断点 .
例 11
证明函数
在 x = 0 处是第一类间断点.
y
1 O
sin x , x 0, f ( x) x 0 ,x 0
sin x 1. 证 因为 lim x 0 x
即该函数在 x = 0 处 的左、右极限存在， 但是由于
x 0
2
2
x
经典-高数第1章：函数、极限与连续
闭区间[a,b]上连续函数的两个端点值 分别为f(a)、f(b)，且f(a)、f(b)异号， 则在开区间(a,b)内至少存在一个点ξ ， 使f(ξ )=0。（几何意义：至少有一个 零点、至少与x轴相交一次）
该定理可以判断出零点的位置，但是不 能求出具体的零点和零点的个数。
经典题型：如何判断两个函数是 否是同一个函数？
两个函数相等必须要有对应规则相同， 定义域和值域都相同。
基本初等函数与初等函数
基本初等函数有哪些？并写出 有代表性的表达式？
常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数
f(x)=C f(x)=xn
f(x)=ax f(x)=logax f(x)=sinx
局部保号性 夹逼准则
极限的定义与性质
极限的运算法则
极限的四则运算
经典题型
讨论函数(通常是分段函数)在某点的 极限
解法：分别求出左极限、右极限 左极限不等于右极限，则极限不存在
推论：
极限的定义与性质
经典题型
证明函数值等于某值
方法
定义法
示例
解题步骤
重要结论：
基本初等函数在 其定义域上 都是连续的
函数的复合
复合函数的定义 y f x
y f u
是由u x
和 x
第一章 函数极限连续
（4）三角函数 表达式及图象
2020/6/11
2020/6/11
相互关系 ①平方关系: sin2x + cos2x = 1,
tan2x + 1 = sec2x,
cot2x + 1 = csc2x.
②倒数关系:
sinx·cscx = 1, cosx·secx = 1, tanx·cotx = 1, ③弦切关系:
2
2
sin(+)=sin, cos(+)=cos,
sin(3)cos, cos(3)sin.
2020/6/11
2
2
② 和角公式:
sin()= sincos cossin,
cos()= coscos sinsin,
tan()1tatan nttaann.
③ 积化和差公式:
sincos
=
1 2
[sin(+)
2020/6/11
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3.数列的概念 一列有次序的数xn排成一列 x1,x2, …,xn, …,
称为数列,记为{xn}. 其中x1称为首项, xn称为一般项或通项. 有限数列,无限数列.
4.例子 5.数列与函数
若xn =f(n),n=1,2, …,则无限数列{xn}是 定义在正整数集上的函数.
limf(x)A
x
第一章 函数极限与连续
f (x) f (x2 ).
续， 则一定存在两个点x1 和x2 , 使得对于任意的x ∈ [a, b], 都有f (x1 )
第一章 函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1
(y)
y=f -1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),
则称f(x)在D 内单调增加( )；
若f(x 1)≥f(x 2),
则称f(x)在D 内单调减少( )；
若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )；
若f(x 1)＞f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c 为常数)
2.幂函数： y=x n
, (n 为实数)
3.指数函数： y=a x
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)共13页文档
第一章 函数、极限、连续
重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）
2、无穷小的比较
3、考察分段函数在分段点的连续性
4、间断点的判定及分类
5、介值定理 一、函数
1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =
函数的两要素 ⎧⎨⎩
定义域
对应规则
函数的表示方法 ① 显函数： ()y f x =
② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.
例：1y
y xe +=确定了()y y x =⇒0
1x y
==．
③ 参数方程表示的函数：由方程()
()
x x t y y t =⎧⎨
=⎩确定的函数()y y x =.
例：2ln(1)
arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩
确定了()y f x =.
④ 积分上限函数： ()()x
a
x f t dt Φ=⎰
．
例：231
1
()(1)3
x
x t dt x Φ=
=-⎰
⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.
⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．
【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0
()0,
0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨
⎪=⎩ . 如 A. 绝对值表示的函数 1
1111
x x y x x
x -≥⎧=-=⎨
-<⎩ ；
B. 极限表示的函数 2211()lim 0111
n n
n x
x x f x x x x x x →∞⎧<-⎪
(完整版)专升本高数数学第一章_函数、极限与连续
1 2
4 2 2
f[f
(x)]
f[ x 3] x2
x3 3 x2 x3 2
2x 9 (x 3x 1
1) 3
x2
2、函数的性质
(1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D,有
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
(1)在分式中，分母不能为零；
(2)在根式中，负数不能开偶次方根；
(3)在对数式中，真数必须大于零；
(4)在三角函数式y tan x中，x k (k Z),
y cot x中，x k (k Z )
2
(5) y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]
(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成， 则其定义域应取各部分定义域的交集。
1 o 1
x
(4) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l) D.且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1 1
x x
00或 11
x x
0 0
函数极限和连续性
第一章 函数、极限和连续性
内容提要：
1.函数实质上是自变量与因变量之间按照一定法则的对应关系。函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接的考点。但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。因此，在开始微积分的学习之前，重温一遍函数的主要内容是必要的。
函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性和有界性。
2.极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。学习本章的核心任务是熟练掌握各种极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，在后续很多章节都有涉及，总结起来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。对于极限的计算需要大量的练习，以求熟能生巧，对各种方法融会贯通。
无穷大量和无穷小量的概念是这一部分的另一重要内容。它们既是对极限计算的应用，又可以反过来帮助我们求极限。学习时，要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限。
3.函数的连续性是函数的基本性质之一，微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点间断的函数。对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容，考题主要集中在连续性的讨论及间断点的分类上。对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算。 另外，闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容。
第一章函数、极限与连续
0，解得
x 1或x
17 3
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2 19 ，
3
故所求函数定义域为17 x 19 ；
3
3
(2)若使函数有意义，必须
5x
x
2
20 7x 10
0，解得
x x
2 5 2,
x
5，
10 x 0
x 10
故所求函数的定义域为 2 x 10且x 2, x 5. 5
例 2 已知函数 y f (x)的定义域为[2,5]，求函数 y f (4x 3)
解 因为已知极限为 0 形式不定式，且含有三角函数，则有 0
原式 lim sin 7x 5x 7x x0 7x arcsin 5x 5x
lim sin 7x sin arctan 5x lim 7 7 .
x0 7x
arcsin 5x x0 5 5
1
例13 求 lim cos xcos x1 . x0 1 解 因为所求极限为1 形式不定式，由lim 1 xx e得 x0
(二) 常见问题分类及解法
一、求函数的定义域
函数的定义域就是指使函数有意义的自变量 x 的取值 范围. 判断函数有意义的方法有以下几种：
①分式的分母不等于零； ②偶次方根式中，被开方式大于等于零； ③含有对数的式子，真数式大于零； ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1； ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ⑥若已知 y f (x)的定义域是[a,b]，求 y f [(x)]的定
第一讲：函数的极限与连续
20%）
一、函数
（一）．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达 式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。
1、函数的概念：
设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于给定的每个数， 变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数 集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。的取值范围叫函 数的值域。已知函数的定义域，求函数的定义域。
5：无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量
例9求极限
6：用罗必达法则求极限
注意: ①零因式最好先用等价无穷小替换
②非零因式的极限可以先求出来
[1]“”型和“”型 （）
[2] “” 型
=
其中f(x)→0 , g(x)→∞
注：①如f(x)或g(x)是ln[φ(x)]的形式，则该函数一般在分子
②分母一般较分子简单
④arctan□～
□
⑤ln(1+□)～□ ⑥-1～□ ⑦1-cos□～ ⑧(1+□)-1～α□
等价无穷小替换的原则：①只对函数的因子可作等价无穷小替换
②该因子首先必须是无穷小量
例3求极限(1)
（2）
(3)已知为异于0的实数，为实数，为常数，又，求、
2：“” 型 （分子和分母同时除以变量x的次数最高项）
２）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于轴 的部分．更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多 有一个交点．这一特征保证了它必有反函数．
第一章 函数、极限与连续
第一章 函数 极限 连续
知识点拔
1.1 函数
一、函数的概念
设D 是一个非空数集，若存在一个对应法则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应，则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数，记作：)(x f y =，其中x 叫自变量，y 叫因变量或函数，数集D 称为函数的定义域，而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域.
如果D x ∈0，称函数)(x f 在0x 处有定义，函数)(x f 在0x 处的函数值记为0
x x y =或)(0x f .
注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则；
②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：2
2
)(2---=
x x x x f 与1)(+=x x g 不同，因定义域不同；
x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同，因对应法则不同；
x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同
时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.
③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ，则称该函数为单值函数，若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ，这种函数称为多值函数.
二、函数的基本性质
1、函数的单调性：设函数在区间D 上有定义，如果对2121,x x D x x <∈∀且，恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f 在区间D 上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于
第一章函数、极限与连续_医学高等数学
y=x
y x
(2) 指数函数
0<a<1
4 3 2 1
a>1
-1
1
(3) 对数函数
a>1
3 2 1 -1 2 3
(1,0)
2 3 4 5 6 7 8
0<a<1
(4) 三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
20 10
-10 -20
(5) 反三角函数 反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
二、复合函数
一、无穷小量的概念 [定义8]如果 ,则称f(x)为
(或 )时的无穷小量,简称无穷小,此 时也称函数f(x)收敛于0。 言简之,以零为极限的函数称为无穷小量. 如 时, 都是无穷小; 当 时, 是无穷小.
是无穷小;当
时,
注意：
1) 无穷小量是指无限接近于零的一个
变量,不能把很小的数作为无穷小量。
2) 逐渐增大的量也可能是无穷小量。 3)无穷小量与自变量变化过程有关。 4)此概念对数列极限也适用,若 ,
周期函数的图像特点是在这函数的定 义域内,每个长度为周期T的区间上,函数 所对应的曲线有相同的形状。
y
-3T/2
-T/2
o
T/2
3T/2
x
1.1.3 初等函数
一、基本初等函数 基本初等函数通常是指幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数和反三角函数。
高等数学(1)函数极限与连续(1)
)
sin
x
x ,
,
x x
0, 0,
f
(x
)
ex x 2
x, 2,
x 1, x 1.
都是分段函数.
例 1 求函数的定义域:
(1) f (x) arcsin(x 1) ln(x 1).
1
(2)
f
(x )
x
2
x 1 x
2
arccos(2
x)
解
(1)
函数的定义域应满足
1 x 1
x 10
例 下列函数是否存在反函数,若有反函数,试求其反函数:
(1) y x 2 ; (2)y x 3 ; 解 (1) 函 数 y x 2 的定义域是 (,) , 但该函数的对应法
则不是一一对应,所以该函数没有反函数.
(2) 函数y x 3 的定义域是 (,) ,值域是(,) .该函数的 对应法则是一一对应,所以该函数有反函数. 由y x 3 可得x 3 y ,
的 x D 都有 f (x T) f (x),则称 f (x)是周期函数,其中T 称为函数 f (x)的一个周期,平时所说的周期都是指最小正周期.
所有三角函数都是周期函数.两个周期函数的和差积商(分母
3
不为零)仍是周期函数.
3.了解分段函数和反函数的概念，理解复合函数的概念
定义 设函数 y f (x) 的定义域为D ,值域为V ,若对于V 中任
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第一章 函数 极限 连续
1.1 数列极限的求法
一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限：lim n n x a →∞
=
描述语言：当n 充分大时，数列一般项n x 无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数a ，则称a 就是数列{}n x 的极限．
“N ε-”语言：0ε∀>，N ∃，当n N >时，有n x a ε-<． 二 基本结论
1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性．
2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限．
3. 夹逼法则：若n n n y x z ≤≤，n N >，且lim lim n n n n y z a →∞
→∞
==，则lim n n x a →∞
=．
4. 数列极限运算法则：设lim n n x A →∞
=，lim n n y B →∞
=，那么
（1）lim()n n n x y A B →∞
±=±；
（2）lim n n n x y AB →∞
⋅=；
（3）lim
(0)n n n x A
B y B
→∞
=≠． （4）lim()
n
y B n n x A →∞
=
5. 两个重要极限：10
lim(1)e x
x x →+=；0sin lim
1x x
x
→=．
这两个极限公式可以推广为：当0x x →时，()0f x →，则
1()
lim(1())
e f x x x f x →+=；0sin ()
lim
1()
x x f x f x →=．
三 基本方法
数列极限的未定式（不确定型）有八种形式：
00；∞∞
；0⋅∞；∞±∞；1∞；0
∞；00；无限个无穷小的和．
1. 取大原则 （极限的形式是∞
∞
，分子和分母同除以n 的最大次幂） 例1 求下列极限：
（1）2221lim 21n n n n n →∞+--+； （2）n
2. 有理化法（当分子或分母含有根式时，n 的最大次幂有抵消，一般要考虑分子有理化或分母有理化，或分子、分母同时有理化，通过有理化，明确抵消后剩余部分）
例2 求下列极限：
（1）n →∞； （2）)n n →∞.
3. 夹逼法则 （当数列的一般项不是关于n 代数式或为无限个无穷小的和）
例3 求1
20lim d 1sin n
n x x x
→∞+⎰． 解 解此题的关键是将积分表示为关于n 的代数式，显然没办法直接积分，只能通过 对被积函数的放缩，达到可积的目的．
1
111
20011
0d d 1sin 1
1
n n
n x x x x x x n n +≤≤==
+++⎰⎰， 所以
1
20lim d 01sin n
n x x x
→∞=+⎰． 例4 求22212lim(
)12n n
n n n n
→∞
++++++L （说明将分子n 变成m 的结果） 解 无限个无穷小的和是数列极限的未定式的一种常见的形式，解决此类问题常见方法有：夹逼法则；定积分；Stolz 定理．本题应用夹逼法则：
22222
121212121
n n n
n n n n n n n ++++++≤+++≤+++++L L L 由于
2212121
lim
lim 12
n n n n n n n →∞→∞++++++==++L L ，
于是
222121
lim(
)122
n n n n n n →∞
+++=
+++L
4. 单调有界原理（数列一般项不是关于n 的代数式，而是有规律的给出一般项；或是一般项的递推公式）
解决此类问题的具体方法：1. 证明单调；2. 证明有界；3. 通过递推公式求极限． 例5 若数列{}n a
满足1a >，11()2n n n
a
a a a +=+，证明数列极限存在，并求之． 证明
单调性：因为11()2n n n
a
a a a +=
+≥ ()2
1102n n n n
a a a a a +-=
-≤ 或 1n n a a +≤ 于是，数列{}n a 单调递减．
有下界：显然有下界． 根据单调有界原理：极限存在．
令lim n n a x →∞
=，对递推公式两边取极限，有12a x x x ⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
，解方程得x =
lim n n a →∞
=例6
L 收敛，并求其极限． 证明
令1x =
2x =
n n
x =
n x =，用
数学归纳法可以证明：数列{}n x 单调增加，有上界。
证明单调增加：显然21x x >，假设1n n x x ->
1n n x x +>，所以数列{}n x 单调增加．
证明有上界：12x <，假设12n x -<，
显然2n x =<，故对所有的n ，有2n x <。所以数列{}n x 有上界，根据单调有界原理，数列{}n x 收敛． 设lim n n x a →∞
=
，对n x =
两端取极限，则有a =
2a =
注 关于数列的界，可用观察和归纳的方法得到，然后给予证明．如果没有更简便的方法证明有界性，可以使用数学归纳法．
5. 验证法 （给出数列递推公式，而此数列并非是单调的）
具体方法：假设极限存在，根据递推公式求出极限，并给予证明．证明是必要的．