录简单均质几何体的重心和转动惯量
最全的转动惯量的计算
最全的转动惯量的计算转动惯量是物体对绕轴旋转的惯性特性的度量。
它是一个重要的物理量，在机械工程、物理学和工程技术等领域有广泛的应用。
转动惯量的计算有许多方法和技巧，下面将介绍一些常见的计算方法。
1.刚体转动惯量的定义：刚体转动惯量（或者称为惯性矩）是物体在绕任意轴旋转时，由物体的质量分布确定的。
它可以表示为I，即：I = ∫ r² dm其中，r是距离轴线的距离，dm是质量微元。
2.转动惯量的计算方法：（1）几何法计算：几何法是根据物体的几何形状和分布来计算转动惯量。
常见的几何形状包括球体、圆柱体、长方体等。
根据不同形状，使用不同的公式进行计算。
（2）积分法计算：积分法是通过对物体的质量分布进行积分来计算转动惯量。
这种方法适用于任意形状的物体，需要进行积分计算。
根据不同的质量分布，可以使用不同的坐标系和积分区域。
3.常见物体的转动惯量计算：（1）球体的转动惯量：对于球体，其转动惯量公式为：I=2/5*m*r²其中，m是球体的质量，r是球体的半径。
（2）圆柱体的转动惯量：对于圆柱体，其转动惯量公式为：I=1/2*m*r²其中，m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
（3）长方体的转动惯量：对于长方体，其转动惯量公式为：I=1/12*m*(a²+b²)其中，m是长方体的质量，a和b是长方体的宽度和高度。
如果长方体绕距离中心轴旋转，转动惯量计算公式会有所不同。
（4）其它常见物体的转动惯量：对于其它常见的物体，如圆环、圆盘、棒体等，都有相应的转动惯量计算公式。
这些公式可以在物理学的相关教材和参考资料中找到。
4.复杂物体的转动惯量计算：对于复杂物体，其转动惯量的计算相对较为复杂，通常需要使用积分法或数值计算的方法来求解。
这种方法适用于任意形状的物体，可以将物体分成无数微小的质量元，并对每个微小质量元的转动惯量进行积分求和。
总结起来，转动惯量的计算方法有几何法和积分法两种，常见的物体有相应的转动惯量公式。
转动惯量计算折算公式
转动惯量计算折算公式
转动惯量（即转动惯性矩）是描述物体对转动运动的惯性的物理量，
它可以用公式I=mr^2来计算，其中I是转动惯量，m是物体的质量，r是
物体的转动半径。
然而，在实际问题中，物体的形状往往是复杂的，不可能直接通过上
述公式来计算转动惯量。
为了解决这个问题，我们可以通过一些折算公式
来将复杂物体的转动惯量转换为一些简单形状的转动惯量之和。
以下是一些常见的折算公式：
1.对于长方体：
-绕通过质心垂直于一条边的转动轴转动：I=(1/12)*m*(a^2+b^2)，
其中m是质量，a和b是长方体的两个边长。
-绕通过质心垂直于两条平行边的转动轴转动：I=(1/3)*m*(a^2+b^2)，其中m是质量，a和b是长方体的两个边长。
2.对于球体：
-绕通过质心的任意轴转动：I=(2/5)*m*r^2，其中m是质量，r是球
体的半径。
3.对于圆环：
-绕通过圆环中心的垂直于其平面的转动轴转动：I=m*r^2，其中m是
质量，r是圆环的半径。
4.对于圆盘：
-绕通过圆盘中心的垂直于其平面的转动轴转动：I=(1/2)*m*r^2，其中m是质量，r是圆盘的半径。
5.对于薄杆（在转动轴与薄杆所在直线垂直的情况下）：
-绕通过薄杆中心的转动轴转动：I=(1/12)*m*L^2，其中m是质量，L 是薄杆的长度。
这些折算公式可以帮助我们将复杂物体的转动惯量转换为一些简单形状的转动惯量之和，从而简化计算过程。
在实际应用中，我们可以根据物体的形状选择合适的折算公式来计算转动惯量，从而更好地描述物体的转动运动。
附录II 简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩
附录II 简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩物体简图质心位置转动惯量与惯性矩细直杆zlxCyC为杆的中点任意三角板ABCxyzabhAC为中线AB的2/3直角三角板ABCxyzahAC为中线AB的2/3矩形板CxyzabC为对角线的中点物体 Cx质心位置转动惯量与惯性矩圆板C为圆心半圆板C x y z r yC O四分之一圆板yC r C x y z O xC椭圆板bCxyzaC为椭圆中心物体简图质心位置转动惯量与惯性矩圆柱体zrCyxhC为上、下底圆的圆心连线的中点中空圆柱体RzrCyxhC为上、下底圆的圆心连线的中点细圆环() azyxrCC为圆环中心线的圆心物体简图质心位置转动惯量与惯性矩粗圆环(R > r) rzyxRCC为圆环中心线的圆心圆锥体zC y r球形体CyzxrC为球心椭球体yCbzxacC为椭球心物体简图质心位置转动惯量与惯性矩半圆柱体z r C y x h xC h/2半圆锥体z r C y x h zC xC半球形壳zCCyzxr物体简图质心位置转动惯量与惯性矩四分之一椭圆板bCxyxCayC扇形板OCxyxCr（的单位为弧度）（的单位为弧度）任意三角板细直杆直角三角板矩形板arOxCchChhCcrh/2 xCrzCyC。
附录II-简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩
附录II-简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩附录II 简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩物体简图质心位置转动惯量与惯性矩细直杆C为杆的中点=xJ2121mlJy=2121mlJz=任意三角板AC为中线AB的2/32181mhJ x=)(18122abbamJ y-+=)(181222abhbamJ z-++=)2(361bamhJxy-=直角三角板AC为中线AB的2/32181mhJ x=2181maJ y=)(18122hamJ z+=mahJ xy361-=矩形板C为对角线的中点2121mbJ x=2121maJ y=)(12122bamJ z+=zlxCyABCxyzabhABCxyzahC xyzab圆板C 为圆心241mr J x =241mr J y =221mr J z =半圆板π34ry C =)649(361222-=ππmr J x 241mr J y =)329(181222-=ππmr J z 四分之一圆板π34rx C = π34r y C = )649(361222-=ππmr J x )649(361222-=ππmr J y )649(181222-=ππmr J z )329(181222-=ππmr J xy 椭圆板C 为椭圆中心241mb J x =241ma J y =)(4122b a m J z +=C xy zrC xy zry C O y C rC xy zO x C bC xy za长方体C 为对角线交点)(12122c b m J x +=)(12122a c m J y +=)(12122b a m J z +=圆柱体C 为上、下底圆的圆心连线的中点)3(12122h r m J x +=)3(12122h r m J y +=221mr J z =中空圆柱体C 为上、下底圆的圆心连线的中点)33(121222h r R m J x ++=)33(121222h r R m J y ++=)(2122r R m J z +=细圆环 (a r >>)C 为圆环中心线的圆心221mr J x = 221mr J y =2mr J z =z rC yxh bCyzxac R z r C yxh az yxrC粗圆环(R > r) C为圆环中心线的圆心)45(2122rRmJx+=)45(2122rRmJy+=)43(22rRmJz+=圆锥体hzC41=)4(80322hrmJx+=)4(80322hrmJy+=2103mrJz=球形体C为球心252mrJx=252mrJy=252mrJz=椭球体C为椭球心)(5122cbmJx+=)(5122acmJy+=)(5122bamJz+=rzyx RCzCyrzxChCyzxryCbzxac半圆柱体π34r x C =)3(12122h r m J x +=2222121)649(361mh mr J y +-=ππ)329(181222-=ππmr J z 半圆锥体πrx C =4h z C =)4(80322h r m J x +=222803)1803(mh mr J y +-=π22)1803(mr J y π-=mrh J xz π201-=半球体r z C 83=232083mr J x =232083mr J y =252mr J z =半球形壳r z C 21=2125mr J x =2125mr J y =232mr J z =z rC yxh x C h /2 z rCy xhz Cx CC yz xr z C z C C yzxr四分之一椭圆板π34axC=π34byC=222)36649(mbJxππ-=222)36649(maJyππ-=)()36649(2222bamJz+-=ππmabJxy)18649(22ππ-=扇形板2sin34ααrxC=（α的单位为弧度）2)sin(41mrJxααα-=22)cos1(984sinmrJy⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=ααααα22)cos1(9821mrJz⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=αα（α的单位为弧度）b CxyxCayCO C xyxCr2α2αzlxC y 细直杆ABC x y z ab任意三角板A B Cxy za h直角三角板C xyza b矩形板圆板Cxyzr半圆板Cxy zry CO 四分之一圆板C rCxyz O x C 椭圆板bCxyza圆柱体z rCyxh 长方体bCy zxac 中空圆柱体Rz rCyxh 细圆环az y xrC粗圆环rz yxRC 圆锥体z C yrzxCh球形体Cyzxr椭球体yCbzxa c半圆柱体z r Cyxhx C h /2 半圆锥体zrC y xhz C x C 半球体C yz xrz C 半球形壳z C C yz xr四分之一椭圆板b Cxyx Cay C扇形板OC xyx C r2α 2α。
转动惯量公式表
常见几何体]转动惯量公式表关于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
关于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
关于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2；R为其半径关于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2；R为其半径关于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]；R1和R2别离为其内外半径。
关于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2；R为球壳半径。
关于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2；R为球体半径关于立方体当回为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2；L为立方体边长。
只明白转动惯量的计算方式而不能利用是没成心义的。
下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩的关系：角加速度与合外力矩式中M为合外，β为。
能够看出那个式子与牛顿第二定律是对应的。
角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。
只用E=（1/2）mv^2不行分析转动刚体的问题，是因为其中不包括刚体的任何转动信息，里面的速度v只代表刚体的质心运动情形。
由这一公式，能够从能量的角度分析刚体动力学的问题。
惯量(Moment of Inertia)是绕轴转动时惯性（回转物体维持其或静止的特性）的，用字母I或J表示。
转动惯量公式表
转动惯量公式表 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】常见几何体]转动惯量公式表对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12其中m是杆的质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2；R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2；R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]；R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2；R为球壳半径。
对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2；R为球体半径对于立方体当回为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2；L为立方体边长。
只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。
下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩的关系：角加速度与合外力矩式中M为合外，β为。
可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。
角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。
只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v只代表刚体的质心运动情况。
由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。
工程力学之转动惯量
取Y轴与Y*重合
M
M
把 xi* xi , yi* yi d 代入
Jz* r *2dm (x *2 y *2 )dm
M
M
x2 y d 2 dm x2 y2 2 yd d 2 dm
M
M
x2 y2 dm d 2dm + d ydm
M
M
M
r 2dm Jz
13-4 刚体的转动惯量
一般公式 简单形状均质物体的转动惯量
转动惯量的平行移轴定理
转动惯量的一般公式 z
1、刚体对转轴z的转动惯量
Jz mr 2( 1)
2、质量连续分布刚体
对转轴z的转动惯量
Mi
Jz r 2dm( 2 ) r i
mi
M
3、转动惯量 与刚体的运动状态无关
•为一恒正标量 •计算
M
因为Z轴过质心C
0 yc Md
d 2 M Jz* Jz d 2 M
转动惯量的平行轴定理
刚体对于任何轴的转动惯量， 等于刚体对通过其质心并与该轴平 行的轴的转动惯量加上刚体质量与 这两轴间距离平方的乘积。
J z* J z d 2 M
M
M
dm ab ds ab ady
Jy
r 2dm
M
b 0
x2
M ab
bdx
1 3
Ma3
Jx
r 2dm
M
b 0
y2
M ab
ady
1 3
Mb2
M
M
dm ds bdx
ab ab
均质细圆环的转动惯量
均质细圆环，半径为 R，质量为M，求其对Z轴的惯性矩。
解∶
y
dm
重心的知识点总结
重心的知识点总结重心是物体受重力作用时所处的平衡位置，也是物体的质心。
在物理学和工程学中，重心是一个重要的概念，它在力学、静力学、动力学以及结构设计和分析中起着关键作用。
了解重心的概念和相关知识对于理解物体的平衡、稳定性和运动特性非常重要。
本文将围绕重心的概念、计算方法、应用和相关理论进行综合总结。
一、重心的概念重心是一个物体在受重力作用时的平衡位置，也称为质心。
它是物体整体质量的平均位置，也可以理解为物体在受重力作用时的“集中位置”。
对于一个均匀材料构成的物体，其重心通常位于物体的几何中心或对称轴上，但对于复杂形状、不均匀密度分布的物体，其重心位置需要通过计算得出。
重心的概念对于力学、静力学、动力学的理论分析和工程设计具有重要的意义。
二、重心的计算方法重心的计算方法取决于物体的形状和密度分布。
对于规则形状的物体，可以通过几何方法直接计算出重心位置；对于不规则形状和复杂密度分布的物体，通常需要通过积分或数值计算的方法求解重心位置。
以下是常见物体重心计算方法的概述：1. 离散质点组的重心计算：对于由离散的质点组成的物体，其重心位置可以通过每个质点的质量及坐标的加权平均来计算。
2. 连续体的重心计算：对于连续分布的物体，其重心位置可以通过积分计算来求解。
通常需要将物体划分成微元，然后对每个微元的质量及坐标进行积分求和，最终得到整个物体的重心位置。
3. 特殊形状重心的计算：对于特殊形状的物体，比如圆环、弧形等，可以利用几何性质和积分计算来求解重心位置。
以上是重心计算的基本方法，根据具体情况可以结合不同的数学工具和技术来求解重心位置。
三、重心的应用重心的概念在工程领域有着广泛的应用，它对于物体的平衡、稳定性和运动特性具有重要影响。
以下是重心在工程应用中的几个典型案例：1. 结构设计：在建筑、机械、航天等领域的结构设计中，重心的位置是一个重要考虑因素。
合理设计和布置物体的结构和材料，可以使重心位置处于合适的位置，从而确保物体的平衡和稳定性。
附录II-简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩
质心位置
长方体 c x
C
y
a b
C 为对角 线交点
转动惯量与惯性矩
Jx
1 m(b2 12
c2)
Jy
1 m(c2 12
a2)
Jz
1 m(a2 12
b2)
圆柱体
z r
h
C
y
x
C 为上、下 底圆的圆 心连线的
中点
Jx
1 m(3r2 12
h2)
Jy
1 12
m(3r 2
h2 )
Jz
1 2
mr2
中空圆 柱体
Jx
2 5
mr 2
Jy
2 5
mr 2
Jz
2 5
mr 2
椭球 体
z
C
xa
b
c C 为椭球心
y
Jx
1 m(b2 5
c2)
Jy
1 5
m(c2
a2)
Jz
1 m(a2 5
b2)
物体
半圆 柱体
简图
z xC r
h
h/2 C
x
y
质心位置
转动惯量与惯性矩
xC
4r 3
Jx
1 12
m(3r 2
h2 )
Jy
1 36 2
b2 )
物体 圆板
简图 y
C
r
x
z
质心位置 C 为圆心
转动惯量与惯性矩
Jx
1 mr 2 4
Jy
1 mr 2 4
Jz
1 mr 2 2
半圆板
y
Cr
yC
x
O z
yC
4r 3
刚体对轴的转动惯量的计算
由于对称性，有
Jx Jy
此外还有
Jz dmr2 dm(x2 y2 ) J x J y
因此得
Jx
Jy
1 2
Jz
1 2
1 MR2 2
1 4
MR2
图10-15
二、回转半径
刚体对轴的转动惯量可写成统一的形式：
Jz
M
2 z
（10-22）
式中， M 为刚体的质量； z 为某特征长度，称为刚体对轴 z 的回 转半径。回转半径的物理意义是将刚体质量集中于一点，并令它
1 12
M
(3R3
l2)
z
9π2 32 18π2
R
y
9π2 64 36π2
R2
1 12
l2
x
1 (3R2 l2 ) 12
薄壁空 心球
Jz
2 3
MR 2
z
2 R 0.816R 3
物体的 形状
实心球
简图
实心半球
圆环
椭圆形 薄板
矩形薄板
立方体
转动惯性
回转半径
Jz
2 5
MR 2
z
2 R 0.632R 5
图10-10
2．均质薄细圆环
如图 10-11 所示的均质薄细圆环半径为 R，单位长度质量为 ，下面计算它 对圆环中心 O 并垂直于圆环平面的 z 轴的转动惯量。
在环上任取一微段，其质量为 dm ，则圆环对 z 轴的转动惯量为
Jz
R2dm R2
M
dm MR2
M
式中，M 为整个圆环的质量。
将薄壁圆筒分成许多平行的薄细圆环，如图 10-12 所示，应用上面的结果，
不难求出均质薄壁圆筒对 z 轴的转动惯量为
转动惯量 知识点总结
转动惯量知识点总结一、转动惯量的概念转动惯量是刚体绕轴线旋转时所具有的惯性特征，它与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
在欧拉角速度矢量下，刚体绕固定轴的角动量随时间的变化率正比于力矩，且比例常数即为该轴的转动惯量。
转动惯量通常用大写字母I表示，单位为千克·米平方（kg·m²）。
对于质点系来说，转动惯量的计算公式为：I = Σmiri²其中，mi为质点i的质量，ri为质点i到转轴的距离。
对于连续体来说，转动惯量的计算需要用到积分来表示：I = ∫r²dm其中，r为质点到转轴的距离，dm为质点的微元质量。
转动惯量的概念在刚体转动运动的研究中起着非常重要的作用，它对于研究刚体的稳定性、振动特性、转子动力学等方面都具有重要意义。
二、转动惯量的计算1. 轴对称体的转动惯量轴对称体指的是绕对称轴旋转时，其转动惯量在各个轴上都相等。
常见的轴对称体包括圆柱体、球体等。
对于轴对称体来说，其转动惯量的计算公式为：I = 1/2mr²其中，m为轴对称体的质量，r为轴对称体相对于转轴的距离。
2. 复合体的转动惯量复合体是由多个不同形状的物体组合而成的，对于复合体的转动惯量的计算需要考虑各个部分的转动惯量之和。
对于复合体来说，其转动惯量的计算公式为：I = ΣIi其中，Ii为各个部分的转动惯量。
3. 平行轴定理平行轴定理是指，如果已知一个物体绕通过其质心的轴的转动惯量，那么它绕与该轴平行且距离为d的轴的转动惯量可以通过以下公式进行计算：I = Icm + md²其中，Icm为物体绕通过其质心的轴的转动惯量，m为物体的质量，d为两个轴之间的距离。
通过以上计算方法，可以得到各种形状的物体绕不同轴旋转时的转动惯量。
三、转动运动的相关知识点1. 角速度和角加速度角速度和角加速度是描述刚体转动运动的重要物理量。
角速度表示单位时间内角度的增量，通常用希腊字母ω表示，其计算公式为：ω = Δθ/Δt其中，ω为角速度，Δθ为角度的增量，Δt为时间的增量。
空间几何体的重心和惯性矩
空间几何体的重心和惯性矩在我们生活的这个三维世界中，空间几何体无处不在。
从简单的立方体、球体，到复杂的建筑结构、机械零件，它们都有着独特的几何形状和物理特性。
而在研究这些几何体的物理性质时，重心和惯性矩是两个非常重要的概念。
首先，咱们来聊聊重心。
重心，顾名思义，就是一个几何体重量的中心。
你可以把它想象成一个平衡点，假如用一个点来支撑这个几何体，使得它能够保持平衡不倾倒，那么这个点就是重心。
对于质量分布均匀的几何体，重心的位置往往有着比较简单的规律。
比如，对于一个规则的长方体，其重心就在它的几何中心；对于一个球体，重心就在球心。
但要是几何体的质量分布不均匀，那确定重心的位置可就没那么容易了，可能需要通过一些复杂的计算或者实验方法。
比如说，有一个形状不规则的物体，像一块奇形怪状的石头。
要找到它的重心，我们可以通过悬挂法。
把这个物体用一根绳子悬挂起来，通过物体静止时绳子所经过的直线，在物体上做个标记。
然后换个位置再悬挂一次，再做个标记。
这两条直线的交点，就是这个物体的重心。
这种方法虽然简单直观，但在处理一些大型或者复杂的几何体时，可能就不太实用了。
接下来，咱们再谈谈惯性矩。
惯性矩听起来好像很神秘，但其实也不难理解。
你可以把它想象成一个物体对于转动的“抵抗能力”。
惯性矩越大，物体就越难转动；惯性矩越小，物体就越容易转动。
就好像一个大胖子和一个瘦子在转圈，大胖子由于体重分布比较分散，惯性矩大，所以转动起来就比较困难；瘦子体重分布比较集中，惯性矩小，转动起来就相对容易。
对于一个简单的几何体，比如一根细长的杆子，绕着它的一端旋转。
如果杆子的质量都集中在离旋转轴很远的地方，那么它的惯性矩就大；如果质量都集中在靠近旋转轴的地方，惯性矩就小。
而对于更复杂的几何体，比如一个带有空洞的圆盘，计算惯性矩就需要用到一些数学公式和积分运算。
在实际应用中，重心和惯性矩都有着非常重要的作用。
比如说在建筑设计中，了解建筑物的重心位置可以确保其结构的稳定性。
均质圆盘的转动惯量公式
均质圆盘的转动惯量公式均质圆盘是我们在物理学中经常会遇到的一个概念，尤其是在研究转动相关的问题时，其转动惯量公式更是至关重要。
咱们先来说说啥是均质圆盘。
想象一下，一个厚度均匀的圆盘子，材质分布也均匀，这就是均质圆盘啦。
那均质圆盘的转动惯量公式是啥呢？它的表达式是：$I = \frac{1}{2} m r^2$ 。
这里的$m$是圆盘的质量，$r$是圆盘的半径。
为了更好地理解这个公式，我给您讲个我自己经历的事儿。
有一次，我在学校实验室里带着学生们做实验，就是研究圆盘的转动。
我们准备了几个不同大小、不同质量的均质圆盘。
当时有个学生特别较真儿，一直问我为啥这个公式是这样的。
我就给他举了个例子，我说：“你想想啊，要是这个圆盘变得特别大，半径很大，那就意味着它转起来更费劲，转动惯量也就更大，就像一个巨大的摩天轮，启动起来多困难啊！而质量越大，惯性也越大，这不是很容易理解嘛。
” 这学生听完，似懂非懂地点点头。
然后我们开始动手实验，测量不同圆盘的转动惯量。
在测量的过程中，还出了点小插曲。
有个小组的数据总是对不上，大家都着急得不行。
后来发现是他们测量半径的时候读错了尺子上的刻度。
经过一番折腾，最终大家都得到了比较准确的数据，也更加深刻地理解了均质圆盘的转动惯量公式。
再回到这个公式，从公式里咱们能看出来，转动惯量和圆盘的质量、半径都有关系。
质量越大、半径越大，转动惯量就越大。
这就好比是一个人背着很重的背包跑步，背包越重，跑起来就越费劲；同样的，腿越长，改变跑步的方向也就越不容易。
在实际生活中，这个公式也有很多应用呢。
比如说汽车的车轮，车轮越大越重，转动起来就需要更大的力量。
还有工厂里的大型旋转机械，如果要改变它们的转动状态，就必须考虑转动惯量的影响。
总之，均质圆盘的转动惯量公式虽然看起来简单，但是背后蕴含着丰富的物理原理，也和我们的生活息息相关。
只要我们多观察、多思考，就能发现物理学的奇妙之处。
希望您也能通过对这个公式的理解，感受到物理世界的魅力！。
常用转动惯量公式
常用转动惯量公式转动惯量这玩意儿，在物理学里可是个挺重要的概念。
咱先甭管它听起来有多高深，其实就是描述物体转动时惯性大小的一个量。
打个比方啊，就像咱们骑自行车。
你想啊，同样是转动车轮，一个轻便的自行车轮和一个又大又重的车轮，转动起来的感觉是不是完全不一样？那个轻便的车轮，你轻轻一蹬，它就呼呼转起来了；可那个又大又重的车轮呢，你得使好大劲才能让它转起来。
这里面就有转动惯量在起作用。
常用的转动惯量公式，咱一个一个来看。
对于一个质点，它的转动惯量公式是 I = mr²，这里的 m 是质点的质量，r 是质点到转轴的距离。
比如说，有个小球，质量是 2 千克，它距离转轴 3 米远，那它的转动惯量就是 2×3² = 18 千克·米²。
再来说说细棒绕端点轴转动的情况。
如果一根均匀细棒，长度是 L ，质量是 M ，那它的转动惯量就是 I = 1/3 ML²。
想象一下一根长长的擀面杖，你拿着它的一端让它转动，这时候它的转动惯量就可以用这个公式来算。
还有圆环绕中心轴的转动惯量，公式是 I = mR²，这里的 m 是圆环的质量，R 是圆环的半径。
比如说，一个铁环，质量是 5 千克，半径是 1 米，那它绕中心轴转动的转动惯量就是 5×1² = 5 千克·米²。
圆盘绕中心轴转动的转动惯量公式是 I = 1/2 mR²。
就像一个圆形的铁饼，知道它的质量和半径，就能算出它转动起来有多“费劲”。
咱再回到开头说的自行车轮。
如果把车轮看成是一个圆环和很多根辐条组成的，那要算整个车轮的转动惯量，就得把各个部分的转动惯量都加起来。
在实际生活中，转动惯量的应用可多了去了。
比如汽车的车轮设计，工程师们就得考虑车轮的转动惯量，要让它既不太重影响加速和油耗，又能在行驶中有足够的稳定性。
还有各种机器里的转动部件，像工厂里的大型机器设备，转动惯量的大小都会影响到它们的工作效率和性能。
常见均质刚体转动惯量的研究
常见均质刚体转动惯量的研究胡辰（陕西理工学院物理与电信工程学院物理学104班，陕西 汉中 72300）指导老师：王亚辉[摘要]本文通过对常见均质刚体转动惯量的研究，利用刚体在形状方面的联系，找出了能够代表一些常见均质刚体的固定模型。
通过对该模型转动惯量参量的变换，可以容易的得到相关均质刚体的转动惯量。
这将方便了我们对转动惯量的计算和使用。
[关键词]均质刚体；转动惯量；模型引言转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。
其量值取决于刚体的形状、质量分布及转轴的位置。
对于转动惯量国内外主要集中于对其计算方法上的研究。
文献中，对于转动惯量的计算主要有一下几种方法：积分法、质量投影法[1]、垂直轴定理、平行轴定理、组合法[2]、标度变换法[3]、量纲分析法[4]等。
本文在刚体质量、转轴相同情况下，从形状入手。
首先对常见均质刚体转动惯量进行计算与分析，利用不同刚体间在形状方面的联系，找出了能够代表一些常见均质刚体的固定模型。
通过对该模型转动惯量参量的变换，便可以容易的得到相关均质刚体的转动惯量。
这将使在使用过程中，我们只需要记住几个刚体模型转动惯量的表达式，就可以在应用中很方便地推出其它相关刚体的转动惯量，减小了工作量，使转动惯量使用更加容易和方便。
1 转动惯量概念的导出及其物理意义若各质点绕共同的Z 轴作圆周运动，质点系对Z 轴角动量写作 i i i z v m r L ∑= （1.1）将该式用于刚体，则刚体对轴角动量为t v m L i i z ∑=，因i z i r t v ω=，故有 ()ziiz r m L ω∑=2等式右方括号内为各质元质量与其到转轴垂直距离平方成积之和，∑2ii rm 叫作刚体对它转动轴z 的转动惯量，用z I 表示[5]⎰∑==dm r r m I i i z 22（1.2）转动惯量的单位是：2m kg ⋅ ，量纲为2ML转动惯量的物理意义可从刚体对转动轴角动量与平动动量的对比中得出，转动惯量相当于惯性质量m ，转动角速度对应于平动速度v ，诸如此类的对应关系还有，如：转动动能22ωI E k =对应于平动动能22νm E k =，动量守恒定律∑=c mv （常量）对应于∑=c I ω（常量）[6]，定轴转动定理αI M =对应于牛顿第二定律ma F =[7]。
立体图形体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量
图形体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量*J [正方体] a为棱长，d为对角线图形体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量*J[正方体]a为棱长，d为对角线[长方体]a,b,h分别为长,宽,高,d为对角线体积表面积侧面积对角线重心G在对角线交点上体积表面积侧面积对角线重心G在对角线交点上转动惯量取长方体中心为坐标原点,坐标轴分别平行三个棱边(当时,即为正方体的情况)表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式锥形体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J#e#图形体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J[三棱柱]a,b,c为边长,h为高[正六棱柱]a为底边长,h 为高,d为对角线[正棱锥]体积表面积侧面积式中F为底面积重心(P、Q分别为上下底重心)转动惯量对于正三棱柱(a=b=c)取G为坐标原点,z轴与棱平行体积表面积n为棱数,a为底边长,h为高,g为斜高侧面积对角线重心(P、Q分别为上下底重心)转动惯量取G为坐标原点,z轴与棱平行体积表面积侧面积式中F为底面积,为一侧三角形面积重心 Q为底面的重心)图形体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J[四面体]a,b,c,p,q,r为棱长[棱台]h为高[正棱台]体积重心P为顶点,Q为底面的重心)体积式中分别为上下底面积重心a’,a分别为上下底边长,n为棱数,h为高,g为斜高(P,Q分别为上下底重心)体积表面积侧面积式中分别为上下底面积重心(P、Q分别为上下底重心)[截头方锥体]体积两底为矩形,a’,b’,a,b分别为上下底边长,h为高,为截头棱长[楔形]底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长[球体]重心(P,Q分别为上下底重心)体积重心(P为上棱中点,Q为下底面重心)体积表面积重心 G与球心O重合转动惯量取球心O为坐标原点r为半径[半球体]r为半径,O为球心[球扇形(球状楔)]r为球半径,a为弓形底圆半径,h为拱高,为锥角(弧度)[球冠(球缺)]体积表面积侧面积重心转动惯量取球心O为坐标原点,z轴与GO重合体积表面积侧面积(锥面部分)r为球半径,a为拱底圆半径,h为拱高重心转动惯量z轴与GO重合体积表面积侧面积(球面部分)重心[球台]r为球半径,,a分别为上下底圆的半径,h为高[圆环胎]R为中心半径,D为中心直径,r为圆截面半径,d为圆截面直径体积表面积侧面积重心(Q为下底圆心)体积表面积重心G在圆环的中心上转动惯量取圆环的中心为坐标原点,z轴垂直于圆环所在平面圆柱体]r为底面半径,h为高[中空圆柱体(管)]R为外半径,r为内半径,h为高[斜截圆柱体]体积表面积侧面积重心(P,Q分别为上下底圆心)转动惯量取重心G为坐标原点,z轴垂直底面r为底圆半径,h,H分别为最小,最大高度,为截角,D为截头椭圆轴体积表面积侧面积式中t为管壁厚,为平均半径重心转动惯量取z轴与GQ重合体积表面积侧面积截头椭圆轴重心(GQ为重心到底面距离,GK为重心到轴线的距离)[圆柱截段]h为截段最大高度,b为底面拱高,2a为底面弦长,r为底面半体积侧面积(柱面部分)径,为弧所对圆心角(弧度)[椭球体]a,b,c为半轴体积重心 G在椭球中心O上转动惯量取椭球中心为坐标原点,z轴与c轴重合圆锥体]体积表面积侧面积r为底圆半径,h为高,l为母线[圆台]r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线[拟棱台]上下底平行,,分别为上,下底面积,为中截面面积,h为高母线重心(Q为底圆中心,O为圆锥顶点)转动惯量取圆锥顶点为坐标原点,z轴与GQ重合体积表面积侧面积母线圆锥高(母线交点到底圆的距离)重心(P,Q分别为上下底圆心)体积[注] 棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、圆柱等都是拟棱台的特例桶形体]d为上,下底圆直径,D为中截面直径,h为高母线为圆弧时:体积母线为抛物线时:体积重心(P,Q分别为上下底圆心)。