房贷中的数学问题曹睿

房贷中的数学问题

河南省三门峡市卢氏县第一高级中学曹睿邮编472200

指导教师李卫玲

摘要：

随着物价的上涨，购房难已成为广大工薪阶层面临的首要问题，为解决这一问题，房贷已成为人们的首要选择。

然而房贷是否合算呢？接下来，我们将以等额本息贷款的方式予以说明。关键词：

工资与物价的上涨比例、等比数列、模型设计

一、提出问题

***高中一名数学教师为购房贷款27万元，分15年等额还清。据银行账单，他需每月偿还2065.48元，那么这个数字由何而来呢？

二、分析问题

设某人贷款金额为T元，月利率为P，还款时间为m个月，每月还款金额为x元，则有如下关系：

由表格得，

每月还款金额构成以x为首项，（1+P）为公比的等比数列，前m项和即为所需偿还的本息和。即

X+X(1+P)+X(1+P)^2+…+X(1+P)^(m-1)=T(1+P)^m (1)

即为

X[1-(1+p)^m]/[1-(1+p)]=T(1+p)^m≈≈

化简得

X=T*P*(1+P)^m/[(1+P)^m-1] (2)

不妨引入一中问题

还款贷款金额为T=27万，分15年还清时月利率为P=3.75‰，月数m=15*12=180。

把数据代入（2）中公式得：x=270000*3.75‰*（1+3.75‰）^180/[(1+3.75‰)^180-1]≈2065.4852元

与银行给出的数据吻合的很好！

三、再次提出问题

那么，当贷款金额一定时，究竟将还款期限定为多少时才划算呢？

四、再次分析问题（以一个例子说明）

甲从银行贷款20万元，若分别以10年，15年，20年为还款期限时，三者究竟何种方式更合算呢？（已知甲为工薪阶层，月收入2500元，其妻月收入1500元，家庭月收入达4000元）

(一)、以10年为还款期限时：

T=20万m=120 P=3.75‰

把这些数据代入公式（2）得x=200000*3.75‰*（1+3.75‰）^120/[(1+3.75)^120-1]≈2072.8元

(二)、以十五年为还款期限时：

T=20万m=180 P=3.75‰

把这些数据代入公式（2）得x=200000*3.75‰*（1+3.75‰）^180/[(1+3.75‰)^180-1]≈1530.0元

（三）、以二十年为还款期限时：

T=20万m=240 P=3.75‰

把这些数据代入公式（2）得x=200000*3.75‰

*(1+3.75‰)^240/[(1+3.75‰)^240-1]≈1265.元综合分析以上三种还款方式：

1、以（一）种方式还款时，需多支付2072.8*120-200000=48736元

2、以（二）种方式还款时，需多支付1530.0*180-200000=75400元

3、以（三）种方式还款时，需多支付1265.3*240-200000=103672元

根据银行规定，每月还款金额x<【总收入/2】

在本例中，甲的总收入为2500+1500=4000元，x<“4000/2=2000元”

故方式（一）中的2072.8〉2000，不符合要求。

而在（二）和（三）两种方式中，20年期比15年期多支出103672-75400=28272元。

且已知中国国民物价上涨水平的年增长率为7.5%,人民工资的上涨水平为7%，设甲的年消费为30000元，故在这五年内有如下表格：

由表格得：

（1）、消费量W组成以30000为首项，（1+7.5%）为公比的等比数列，故W总=30000*[1-（1+7.5%）^5]/[1-(1+7.5%)]≈174251.7元。

（2）、工资量Y组成以48000为首项，（1+7%）为公比的等比数列，故Y总=48000*[1-（1+7%）^5]/[1-(1+7%)^5]≈276035.5元。

（3）、这五年的收入=Y总-W总=276035.5-174251.7=101783.8元。故，这五年的纯收入=101783.8-1265.3*5*12=25865.8元。

而若以15年为还款期限时，在这五年内甲的纯收入可达Y总-W总=101783.8元！

五、综合分析

根据以上数据不难看出，选用不同的还款方式时对甲的家庭来说收入却相差甚远，很明显15年期限比20年期限更为合算，当然，这需要甲在贷款初期有较强的偿还能力。

因此，对于预期收入变化不大的工薪阶层来说，若支付能力较强，则选择较短的还款期限较为合算；若贷款初期偿还能力不足，则可适当延长还款期限。

参考文献：人版教数学（2-3）