相似三角形性质及其应用(复习课件)
合集下载
相似三角形的性质及其应用 完整版课件
=k
B
A/
∴AB=kA/B/，BC=kB/C/，AC=kA/C/
C
∴CΔ ABC = AB+BC+AC
CΔ A/B/C/ A/B/+B/C/+A/C/
B/
C/
=k((AA/B/B//++BB/C/C//++AA/C/C//))=k
已知:ΔABC∽ΔA/
A
B/C/，相似比为k,求证:SSΔ ΔA
ABC /B/C
A
B
相似三角形的周长比等于相似比;
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
已知:ΔABC∽ΔA/B/C/，相似比为k,
A
求证:
CΔ ABC CΔ A/B/C/
=k
SΔ ABC
2
S = k Δ A / B / C /
证明：∵△ABC∽△A/B/C/且相似比为k
AB A/B/
= BC B/C/
= AC A/C/
F
（1）如图1，四边形DEFG为△ ABC
的内接正方形，求正方形的边长。
A
DCE B
（2）如图2，三角形内有并排的两 个相等的正方形，它们组成的矩形 内接于△ ABC，求正方形的边长
G AD
HF KE B
（3）如图3，三角形内有并排的三个
C
相等的正方形，它们组成的矩形内接
于△ ABC，求正方形的边长。
例题讲解
如图，E、F分别是AB、AC上的点,EF∥BC，AE:AB=1:3
（1）若BC=9cm,EF=___3_cm_______
A
H
5E G
（2）△AEF与△ABC的周长之比
2
F
相似三角形的应用ppt课件
相似三角形的应用ppt课件contents •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何问题中应用•相似三角形在三角函数中应用•相似三角形在物理问题中应用•相似三角形在建筑设计中应用•总结与展望目录01相似三角形基本概念与性质定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法01020304两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相似。
相似比与对应边长成比例关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
对应边长成比例关系在相似三角形中，任意两边之间的比值等于其他两边之间的比值，即a/a'=b/b'=c/c'，其中a、b、c和a'、b'、c'分别是两个相似三角形的对应边长。
相似三角形面积比关系面积比公式两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长之比的平方，即(S1/S2)=(a/a')^2=(b/b')^2=(c/c')^2，其中S1和S2分别是两个相似三角形的面积，a、b、c和a'、b'、c'分别是它们的对应边长。
应用举例利用相似三角形的面积比关系可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
02相似三角形在几何问题中应用利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知线段长度求解未知线段长度。
结合图形变换（如平移、旋转等）和相似三角形的性质，构造新的相似三角形，进而求解线段长度。
通过相似三角形的性质，建立比例关系，求解未知线段长度。
利用相似三角形求线段长度利用相似三角形证明角相等或互补通过相似三角形的性质，证明两个角相等或互补。
利用相似三角形对应角相等的性质，证明两个角相等。
结合图形变换和相似三角形的性质，构造新的相似三角形，证明两个角互补。
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形及其应用课件
利用相似三角形转化长度和角度
01
通过相似三角形的性质，将复杂几何问题中的长度和角度转化
为简单问题，便于求解。
构造相似三角形
02
针对一些几何问题，通过构造相似三角形，将问题转化为简单
的计算问题。
相似三角形与勾股定理结合
03
利用相似三角形和勾股定理的结合，求出一些难以直接测量的
距离。
相似三角形在实际问题中的应用案例
相似三角形在建筑设计中的应用
总结词：优化设计
详细描述：在建筑设计中，相似三角形的原理也被广泛运用。设计师可以通过使 用相似三角形来优化设计，例如，通过使用相似三角形来调整建筑物的比例和布 局，以实现更好的视觉效果和功能性。
相似三角形在按比例缩放中的应用
总结词：保持原貌
详细描述：在按比例缩放中，相似三角形的原理同样发挥了重要作用。例如，在制作不同尺寸的图像 或物品时，使用相似三角形的原理可以确保图像或物品的形状和比例不会改变，保持其原貌。这对于 制作不同尺寸的图像或物品非常重要，例如制作不同尺寸的广告牌或海报等。
利用相似三角形的判定定理证明三角形相似
总结词
相似三角形的判定定理有多个，包括 “AA”、“SSS”、“SAS”、“ASA” 、“AAS”等，这些定理可以用来证明两 个三角形相似。
VS
详细描述
在证明两个三角形相似时，可以根据不同 的情境选择合适的判定定理。例如， “AA”定理适用于两个三角形对应角相 等的场合；“SSS”定理适用于三个对应 边相等的场合；“SAS”定理适用于两边 对应成比例且夹角相等的场合；“ASA” 定理适用于两角对应相等且夹边相等的场 合；“AAS”定理适用于两角对应相等且 其中一角的对边对应相等的场合。
用“∽”表示相似三角形。
第二十四章-相似三角形-复习ppt课件
第二十四章 相似三角形 复习课件
1
一、本章知识结构图
放缩与相似形
比例线段
相
比例线段
似
三角形一边的平行线
相似三角形
判定 性质
平面向量
实数与向量相乘
向量的线性运算
2
回顾与思考
一、相似形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相 似多边形. 2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形 叫相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做 “相似于”.
（2） 以连接后的这两个向量为邻边向量 构造平行四边形
（3） 这个平行四边形的对角线向量就是 这两个向量的和向量与差向量
3.向量加法和减法的三角形法则 加法： 一终二起，一起二终 减法： 共起点指向被减
9
五、典例精析，复习新知
2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且 BD=BC=18，DE//BC交AB于E，则DE= 分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用 △ABC∽△AED A答案：10
称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
4
➢ 线段的比要注意以下几点： • 线段的比是正数 • 单位要统一 • 线段的比与线段的长度无关
如果 （b=d=f≠0）,
那么
如果，
，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么
.
5
三、相似三角形的判定与性质 方法1：通过定义（不常用）
方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或延 长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; 方法3：两对应角相等的,两三角形相似. 方法4：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 方法5：三边对应成比例的,两三角形相似.
1
一、本章知识结构图
放缩与相似形
比例线段
相
比例线段
似
三角形一边的平行线
相似三角形
判定 性质
平面向量
实数与向量相乘
向量的线性运算
2
回顾与思考
一、相似形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相 似多边形. 2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形 叫相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做 “相似于”.
（2） 以连接后的这两个向量为邻边向量 构造平行四边形
（3） 这个平行四边形的对角线向量就是 这两个向量的和向量与差向量
3.向量加法和减法的三角形法则 加法： 一终二起，一起二终 减法： 共起点指向被减
9
五、典例精析，复习新知
2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且 BD=BC=18，DE//BC交AB于E，则DE= 分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用 △ABC∽△AED A答案：10
称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
4
➢ 线段的比要注意以下几点： • 线段的比是正数 • 单位要统一 • 线段的比与线段的长度无关
如果 （b=d=f≠0）,
那么
如果，
，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么
.
5
三、相似三角形的判定与性质 方法1：通过定义（不常用）
方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或延 长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; 方法3：两对应角相等的,两三角形相似. 方法4：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 方法5：三边对应成比例的,两三角形相似.
相似三角形的应用课件初中数学PPT课件
相似三角形可以与三角函数、向量等知识点结合，解决更广泛的实际问题。
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解 这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通 过已知条件求解未知 边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进 而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过 已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对 应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例， 利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件 求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已 知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代 数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关 系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转 化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角 形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时， 需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相 似三角形并应用其性质进行求解是 一个难点。
结合相似三角形的性质， 解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三 角函数问题中应 用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。 引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解 这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通 过已知条件求解未知 边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进 而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过 已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对 应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例， 利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件 求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已 知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代 数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关 系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转 化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角 形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时， 需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相 似三角形并应用其性质进行求解是 一个难点。
结合相似三角形的性质， 解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三 角函数问题中应 用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。 引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。
25.5 相似三角形的性质课件(共24张PPT)
小结1相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
相似三角形复习课件
使用相似三角形的比例关系计算未知边长。
2 图形分析
仔细观察图形，寻找能够构成相似三角形的线段和角。
3 问题转化
将复杂的相似三角形问题转化为简单的相似三角形问题，减少计算难度。
总结
相似三角形是具有相同形状但大小可以不同的三角形，它们有着对应角相等 和对应边成比例的性质。相似三角形的判定、性质、比例关系以及应用都是 解决实际问题和几何推理的重要工具。
影子问题
相似三角形可以用来解决阴影问题，如计算 树木的高度。
地图比例尺
地图上的比例尺是相似三角形的应用之一， 可以通过相似三角形的边比例关系计算实际 距离。
相似物体放大缩小
通过相似三角形的比例关系，可以进行物体 的放大缩小，如地图的缩放。
相似三角形的解题技巧
解决相似三角形问题的一些技巧：
1 比例关系运用
3 SSS判定法
如果两个三角形的三条 边的比值相等，那么它 们相似。
相似三角形的性质
相似三角形具有以下性质：
1 对应角度相等
相似三角形的内角相等。
2 对应边成比例
相似三角形的对应边的长度成比例。
3 比例关系
相似三角形的任意两条对应边的长度比值相等。
相似三角形的比例关系
相似三角形的对应边的长度比值是相等的。常用的相似比例关系有：
2 大小可以不同
相似三角形的边长可以不相等，但对应边的比值保持一致。
3 比例关系
相似三角形的任意两条对应边的长度比值都是相等的。
相似三角形的判定
有多种方法可以判定两个三角形是否相似：
1 AA判定法
如果两个三角形的两个 角分别相等（对应角相 等），则它们相似。
2 SAS判定法
如果两个三角形的一个 角相等，且两个角对应 的两条边的比值相等， 那么它们相似。
2 图形分析
仔细观察图形，寻找能够构成相似三角形的线段和角。
3 问题转化
将复杂的相似三角形问题转化为简单的相似三角形问题，减少计算难度。
总结
相似三角形是具有相同形状但大小可以不同的三角形，它们有着对应角相等 和对应边成比例的性质。相似三角形的判定、性质、比例关系以及应用都是 解决实际问题和几何推理的重要工具。
影子问题
相似三角形可以用来解决阴影问题，如计算 树木的高度。
地图比例尺
地图上的比例尺是相似三角形的应用之一， 可以通过相似三角形的边比例关系计算实际 距离。
相似物体放大缩小
通过相似三角形的比例关系，可以进行物体 的放大缩小，如地图的缩放。
相似三角形的解题技巧
解决相似三角形问题的一些技巧：
1 比例关系运用
3 SSS判定法
如果两个三角形的三条 边的比值相等，那么它 们相似。
相似三角形的性质
相似三角形具有以下性质：
1 对应角度相等
相似三角形的内角相等。
2 对应边成比例
相似三角形的对应边的长度成比例。
3 比例关系
相似三角形的任意两条对应边的长度比值相等。
相似三角形的比例关系
相似三角形的对应边的长度比值是相等的。常用的相似比例关系有：
2 大小可以不同
相似三角形的边长可以不相等，但对应边的比值保持一致。
3 比例关系
相似三角形的任意两条对应边的长度比值都是相等的。
相似三角形的判定
有多种方法可以判定两个三角形是否相似：
1 AA判定法
如果两个三角形的两个 角分别相等（对应角相 等），则它们相似。
2 SAS判定法
如果两个三角形的一个 角相等，且两个角对应 的两条边的比值相等， 那么它们相似。
《相似三角形的性质及其应用》课件
在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度.
幻灯片 19
2幻灯片 20
3幻灯片 21
小晨想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿影长 0. 4米，在同时刻测量旗杆的影长时，影子不全落在地面上， 有一部分落在第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶 高0.3米，此时落在地面上影长为4.4米，求旗杆的高度.
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
（2）如果已知BD=3m，DF=1m，小明身高为
1.6m，你能求得路灯杆的高吗？
A
C
F D
B
运用“相似三角形对应边成比例”来解决有关线段的 计算问题的阶梯步骤： 1、根据题目的条件和所要求的问题，找到相应的三角形； 2、根据已知条件和所求，说明哪两个三角形相似； 3、写出比例线段，代入数据求出相应的线段长；
相似三角形的性质及其应用
回顾相似三角形的性质：
1 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2 相似三角形的周长之比等于相似比 3 相似三角形的面积之比等于相似比的平方 相似三角形对应边上的高之比，对应边上 中线之比，对应角平分线之比等于相似比
如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看
到自己的影子DF，那么
解：∵ OA:OC=OB:OD=n
且∠AOB=∠COD
∴△AOB∽△COD
O
∵ OA:OC=AB:CD=n
又∵CD=b
∵AB=CD ·n = nb
又∵x = ( a － AB )÷2 = ( a － nb )÷2
给我一个支点我可以撬起整个地球！
---阿基米德
4.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，
E
C
G
H
F
B
幻灯片 19
2幻灯片 20
3幻灯片 21
小晨想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿影长 0. 4米，在同时刻测量旗杆的影长时，影子不全落在地面上， 有一部分落在第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶 高0.3米，此时落在地面上影长为4.4米，求旗杆的高度.
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
（2）如果已知BD=3m，DF=1m，小明身高为
1.6m，你能求得路灯杆的高吗？
A
C
F D
B
运用“相似三角形对应边成比例”来解决有关线段的 计算问题的阶梯步骤： 1、根据题目的条件和所要求的问题，找到相应的三角形； 2、根据已知条件和所求，说明哪两个三角形相似； 3、写出比例线段，代入数据求出相应的线段长；
相似三角形的性质及其应用
回顾相似三角形的性质：
1 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2 相似三角形的周长之比等于相似比 3 相似三角形的面积之比等于相似比的平方 相似三角形对应边上的高之比，对应边上 中线之比，对应角平分线之比等于相似比
如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看
到自己的影子DF，那么
解：∵ OA:OC=OB:OD=n
且∠AOB=∠COD
∴△AOB∽△COD
O
∵ OA:OC=AB:CD=n
又∵CD=b
∵AB=CD ·n = nb
又∵x = ( a － AB )÷2 = ( a － nb )÷2
给我一个支点我可以撬起整个地球！
---阿基米德
4.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，
E
C
G
H
F
B
第14讲相似三角形的应用复习课件(共43张PPT)
全效优等生
图4－14－7
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【思路生成】根据题意画图分析，用含表示某一边的字母 的代数式表示面积，关键是表示另一边的长，借助三角形类似 建立关系．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
解： 如答图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝ x，PN＝y，则面积S＝xy.①
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
∴△CFD∽△FEA，∴CFFE＝CFAD. 在 Rt△FEA 中， ∵∠A＝90°，AE＝2k，EF＝3k，
∴AF＝ EF2－AE2＝ 5k，
∵CFFE＝CFAD，即C3Fk ＝
5k . 5k
∴CF＝3 5k，∴AD＝BC＝CF＝3 5k，
3．如图4－14－6，点P是菱
形ABCD对角线AC上的一点，连结
DP并延长DP交边AB于点E，连结
BP并延长BP交边AD于点F，交CD 的延长线于点G.
图4－14－6
(1)求证：△APB≌△APD；
(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长
为y.
①求y与x的函数关系式；
②当x＝6时，求线段FG的长．
EF 2－AE 2＝ 5k，由△CFD ∽△FEA，得出CFFE＝CFAD，CF ＝3 5k，即 AD＝3 5k，进而求解即可．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ∵AE＝23BE， ∴设AE＝2k，则BE＝3k，AB＝5k. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°， CD＝AB＝5k，AD＝BC. ∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点 F处， ∴∠EFC＝∠B＝90°，EF＝EB＝3k，CF＝BC， ∴∠AFE＋∠DFC＝90°，∠DFC＋∠FCD＝90°， ∴∠DCF＝∠AFE，
相似三角形应用举例(复习)课件
相似三角形与三角函数的综合应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用三角函数性质证明三角形相似，或利用三角形相似关 系求解三角函数问题。
三角函数和相似三角形在解题中经常结合使用。例如，在 证明两个三角形相似时，可以通过证明它们的对应角相等 ，然后利用三角函数性质来证明。同样地，在求解三角函 数问题时，也可以通过寻找与已知三角函数值相似的三角 形来求解。这种结合方法可以帮助我们更全面地运用三角 函数和相似三角形知识来解决问题。
相似三角形与解直角三角形的综合应用
总结词
利用直角三角形中的勾股定理和三角函数性质证明三角 形相似，或利用三角形相似关系求解直角三角形问题。
详细描述
直角三角形和相似三角形在解题中经常结合使用。例如 ，在证明两个直角三角形相似时，可以通过证明它们的 对应角相等，然后利用勾股定理和三角函数性质来证明 。同样地，在求解直角三角形问题时，也可以通过寻找 与已知直角三角形相似的三角形来求解。这种结合方法 可以帮助我们更高效地运用直角三角形和相似三角形知 识来解决问题。
相似三角形在实际问题中的解题步骤
01
02
03
04
分析问题
首先需要仔细分析问题，理解 问题的背景和要求。
建立数学模型
根据问题的实际情况，建立相 应的数学模型，特别是需要构
造相似三角形。
求解模型
利用相似三角形的性质和定理 ，求解数学模型，得出结果。
检验结果
最后需要对结果进行检验，确 保其合理性和正确性。
相似三角形的解题技巧
利用相似三角形的性质
相似三角形具有许多重要的性质，如对应边成比例、对应 角相等、面积比等于相似比的平方等。利用这些性质可以 简化计算过程。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2016.甘肃）如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF． 求证：OA2=OE•OF．
三9 、【合作探究】
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
题型2 —利用相似性质解决等式乘积问题
例4、（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D ，且AC平分∠DAB，求证： （2）AC2=2AD•AO．
11
小资料：
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
在古代，1500多年前的著作《孙子算经》 中就提到了利用已知长度的小标杆来测定 未知竹竿的高度。
公元前600年，泰勒斯利用自己的身高及地面 影子测得金字塔的高度。
可见相似的性质在实际生活中被广泛利用， 在中考题型当中也常会出现实际应用问题。
三12、【合作探究】
（2018•包头）如图，在平行四边形ABCD中，AC是一 条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相 交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF 的值为 ．
三6 、【合作探究】
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
题型1 —利用相似性质解决面积问题
例1、（2015.自贡第14题）一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面
了解了相似三角形性质在中考中的常考题型
利用相似三角形性质解决面积问题、实际生活问题 时要找准题干条件、保证计算准确性
利用相似性质解决等式乘三 角形，并加以证明。
15
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高
CD的长．(结果精确到0.1 m)
试题解析：设CD长为x米，
同理△ABN∽△ACD
∵AM⊥EC，EA=MA
BN AB CD AC
即 1.75 1.25
x
x1.75
∴△MEA为等腰Rt△MEA
解得：x=6.125≈6.1
∴MA∥CD，
8三、【合作探究】
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
再来看第二组题目： 题型2 —利用相似性质解决等式乘积 问题
（2018•滨州）如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，AD⊥CD 于点D，且AC平分∠DAB，求证：AC2=2AD•AO．
（2018•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点 （不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，过点C的切线 CP，与线段BP相交于P点．求证：BC2=CE•CP；
三10、【合作探究】
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
题型2 —利用相似性质解决等式乘积问题
例5．（2016.甘肃）如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）求证：OA2=OE•OF．
中考题型剖析： 该题型常见于中考当中的简答题，题较难，往往结合几何图 形（圆、平行四边形）来考，学生需将等式乘积形式转化为 比例等式，找准图中相似三角形，并加以证明。
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m， BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河 宽AB．
解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
BC AB DE AD
1
AB
1.5 AB8.5
∴AB=17（m）， 经检验：AB=17是分式方程的解， 答：河宽AB的长为17米．
相似三角形的性质在中考 中以什么样的题型出现呢？
首先来看一组题目：
5三、【合作探究】
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
先来看一组题目： 题型1 —利用相似性质解决面积问题
（2015.自贡第14题）一副三角板叠放如图，则△AOB 与△DOC的面积之比为____________.
（2018.自贡第6题）如图，在△ABC中，点D、E分别 是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的 面积为（ ）
例3、（2018•包头）如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线， EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．
若S△AEF=1，则S△ADF的值为___________5__． 2
中考题型剖析： 该题型常见于中考当中的选择填空题，题较为简单，学生 需熟练掌握相似的性质、及保证计算的准确性。
1
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
相似三角形的性质及应用（复习课）
——中考常见题型剖析
2 数据分析
乌鲁木齐 成都 南京 杭州 自贡
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
12分
12分 8分
16分
20分
3二 、【要点梳理】
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
相似三角形的性质
性质1： 相似三角形的___对__应__角__相等，___对__应__边____成比例.
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
题型3 —利用相似性质解决实际生活问题
例6、（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量 家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树， 将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河 岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D， 竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
三13、【合作探究】
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
题型3 —利用相似性质解决实际生活问题
例7、（2017.广西）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来
测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明
直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向
前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，
积之比为___1_:_3_______.
例2、（2018.自贡第6题）如图， 在△ABC中，点D、E分别是AB、 AC的中点，若△ADE的面积为4，
则△ABC的面积为（ D ）
A．8 B．12 C．14 D．16
三7 、【合作探究】
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
题型1 —利用相似性质解决面积问题
性质2： 性质3：
相似三角形的对应线段的比等于相似比. 例如： 相似三角形对应_高_，对应__中__线_，对应角__平__分__线_ 的比都等于相似比.
相似三角形周长的比等于__相__似__比_____.
性质4： 相似三角形面积的比等于相似比的__平__方____.
4
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
∴路灯高CD约为6.1m
∴△MEA∽△DEC ∴△DEC为等腰Rt△DEC
中考题型剖析 ：该题型常见于中考当中的填空题与 简答题，题难度适中，学生需读懂题意，找准题干条
∴EC=CD=x
件、及保证计算的准确性。
14【四、课堂小结】
图形绘制 图片处理 图表设计 典型案例
通过这节课的学习，你有什么收获？