2018-2019学年云南省楚雄州高二下学期期中统测数学(理)试题(解析版)

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高二第二学期期中考试数学试卷含答案(word版)

2018-2019学年度第二学期期中考试试题高二数学试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是 ( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)2.函数y=f(x)的导函数y=()'f x 的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 ( )A. B.C. D.3.曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：122='+'y x ，则曲线C 的方程为（）A. B. C. D. 4x 2+9y 2=14. 31()i i-的虚部是( ) A. -8 B.i 8- C.8 D.05.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =6.设点P 对应的复数为i 33+-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ) A. (23，π43) B. (23-，π45) C. (3，π45) D. (-3，π43) 7.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（）A. 假设a ，b ，c 至少有两个偶数B. 假设a ，b ，c 都是奇数C. 假设a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数D. 假设a ，b ，c 都是偶数8.若函数xax x x f 1)(2++=在),21(+∞是增函数，则a 的取值范围是（）A.[]-1，0B.[]-∞1，C.[]0，3D.[]3∞，+9．已知函数()cos 1x f x x =+ , ()f x 的导函数为()'f x ，则'2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2π-B ．1π-C ．πD ．2π10．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的小前提是( )A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义 C ．若x 1>x 2，则f (x 1)<f (x 2) D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12. 若x=-2是函数f(x)= (2x +ax-1)1x e -的极值点,则f(x)的极小值为 ( )A.-1B.-23e -C.53e -D.1第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.) 13．在极坐标系中，以)2,2(πa 为圆心，2a为半径的圆的极坐标方程是。

2018-2019学年云南省云天化中学高二下学期期中教学质量评估数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年云南省云天化中学高二下学期期中教学质量评估数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A B =I （） A ．{|2}x x >- B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由24x <解得22x -<<，故{}|12A B x x ⋂=<<，故选B. 【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．2(12i)i-在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可【详解】()()()()212i 34i i 34i 43i ii i i ------===-+⨯- 故选B【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法正确的是（） A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<”D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题【答案】D【解析】试题分析：函数()1f x x=在(),0-∞和()0,+∞上都单调递减，但是在定义域上不是减函数，所以A 不正确；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，所以B 不正确；“>”的否定是“≤”，所以C 不正确；根据复合命题的真值表，可以判定出C 正确.【考点】本小题主要考查函数单调性的考查、充分条件和必要条件的判断、特称命题的否定和复合命题真假的判断，考查学生的逻辑推理能力.点评：函数的单调性是一个区间概念，一个函数可能有几个单调区间，但是在定义域上并不是单调函数；判断充分条件和必要条件，要分清条件和结论，分清由谁能推出谁. 4．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，118f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0x <时，()()2log f x x m =-+，则实数m = （）. A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】由函数是奇函数,结合118f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求出18f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值,且给出了当0x <时的解析式,代入计算出m 的值. 【详解】由题意知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,118f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11()()188f f -=-=-,又由当0x <时,()()2log f x x m =-+ ,所以211()log 3188f m m -=+=-+=-,即2m =,故选:D 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,由奇函数的性质即可计算出结果,较为基础.5．设向量(,4)a x r =-，(1,)b x r =-，向量a r 与b r的夹角为锐角，则x 的范围为( )A ．(22)，-B ．(0,+)∞C ．(0,2)(2+)⋃∞，D ．[22]-，【解析】由题意，根据向量a r 与b r的夹角为锐角，可得1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠，即可求解. 【详解】由向量(,4)a x r=-，(1,)b x r =-，因为向量a r 与b r的夹角为锐角，则1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠，解得0x >且2x ≠，即x 的范围为(0,2)(2+)⋃∞，，故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用n a 表示解下n（*9,≤∈n n N ）个圆环所需的最少移动次数，{}n a 满足1n a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．10C ．12D ．22【答案】A【解析】由递推式依次计算．【详解】由题意知21212111=-=⨯-=a a ，32222124=+=⨯+=a a ，43212417=-=⨯-=a a ，故选：A. 【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．7．经过点()2,1P -，且被圆22:62150+---=C x y x y 所截得的弦最短时的直线l 的方程为（） A ．260x y --= B ．260x y +-= C ．20x y += D ．20x y -=【解析】当P 是弦中点，她能CP l ⊥时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程．【详解】根据题意，圆心C 为()3,1，当CP 与直线l 垂直时，点P 被圆C 所截得的弦最短，此时()11232--==-CP k ，则直线l 的斜率12k =-，则直线l 的方程为()1122+=--y x ，变形可得20x y +=，故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键． 8．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】A【解析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =，代入②得013ln 1x +=，则01x =，3k =，故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A ．24πB ．6πC ．86πD ．6π【答案】D【解析】将三视图还原成立体图形，然后可得还原后的三棱锥的四个顶点在一个长方体上，则其外接球就是长方体的外接球，然后算出半径，求出体积. 【详解】将三视图还原成立体图形，如图所示，为一个三棱锥，并且，该三棱锥的四个顶点都在一个长方体上，由三视图可得，长方体的长宽高分别为2、1、1，所以外接球的半径为22221+16=22R += 所以外接球的体积33446=6332V R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选D 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，三棱锥的外接球的体积的求法，属于简单题. 10．下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（） A ．7(,0)24πB ．(,0)3πC ．1(,)34π- D ．(,0)12π【答案】A 【解析】函数()1cos 2264f x x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭31122224x sin x sin x ⎤=+-⎥⎣⎦2112cos 22224sin x x sin x =+-11cos 41144422426x x sin x π-⎛⎫=+⋅-=- ⎪⎝⎭，令46x k ππ-=，求得424k x ππ=+，可得函数的对称轴中心为,0,424k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，当1k =时，函数的对称中心为7,024π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 11．双曲线22122:1x y C a b -=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点A ，B 且直线AB 过抛物线的焦点2C ，则双曲线1C 的离心率为（）A B C D ．2【答案】B【解析】根据题干得到A 和B 两个点关于x 轴对称，再由直线AB 过抛物线的焦点2C ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭得到,,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入渐近线方程可求解.【详解】根据渐近线关于x 轴对称，抛物线也关于x 轴对称，可得到A 和B 两个点也关于x 轴对称，根据直线AB 过抛物线的焦点2C ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得到点,,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将点A 代入渐近线方程：b y x a =得到2,b e a =∴== 故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了双曲线的几何意义，以及抛物线的图像的性质，题目比较基础. 12．设函数()()2ln 1=++f x x m x 有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】求出()f x '，题意说明()0f x '=在(1,)-+∞上有两个不等实根，结合二次函定义域为()1,-+∞，不妨设两个极值点121x x -<<，即()0f x '=在区间()1,-+∞上有两个不相等的实数根，所以201+=+mx x，化为方程2220x x m ++=在区间()1,-+∞上有两个不相等的实数根，记()222=++g x x x m ，()1,x ∈-+∞，则()10102g g ⎧->⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即2201102m m -+>⎧⎪⎨-+<⎪⎩，解得102m <<，故选：B. 【点睛】本题考查研究函数的极值点，解题关键是问题的转化，即函数有两个极值点转化为方程有两个不等实根．二、填空题13．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．【答案】5【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5，故答案为5．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为__________．【答案】4【解析】模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件可得．【详解】第一次循环：1,2i a ==；第二次循环：2i =，2215a =?=；第三次循环：3,35116==⨯+=i a ；第四次循环：4,41616550==⨯+=>i a ，退出循环，此时输出的值为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，模拟程序运行是解决问题的常用方法，如果循环次数较多，可以通过模拟程序运行确定程序功能，运用其他数学知识求解．15．已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数()0f x '>，若()()256-≤-f a a f ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[2,3]【解析】由导数得出函数的单调性，再由单调性可转化函数不等式．【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上为增函数，由()()256-≤-f a a f ，得256-≤-a a ，即2560-+≤a a ，解得23a ≤≤.【点睛】本题考查导数与单调性的关系，考查用单调性解函数不等式，属于基础题．16．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为__________．【答案】21+【解析】求出,A B 坐标，再设AP 方程为1y kx =-，由相切求出P 点（不妨设P 在第一象限）坐标，由双曲线定义求出a ，然后可得离心率．【详解】不妨设P 在第一象限，如图，(0,1),(0,1)A B -，过点P 作准线的垂线，垂足为N ，由直线PA 与抛物线相切，设直线AP 的方程为1y kx =-，联立214y kx x y =-⎧⎨=⎩，整理得2440x kx -+=，∴216160k ∆=-=，∴1k =（舍去1k =-），∴()2,1P ，∴双曲线的实轴长为()221-=-PA PB ，则21a =-，1c =，∴双曲线的离心率为2121ce a ===+-. 故答案为：21+【点睛】本题考查直线与抛物线相切，考查双曲线的定义与双曲线的几何性质．本题求解方法是直接法，根据抛物线的性质求出点的坐标，由双曲线的定义求出a ，得出离心率．三、解答题17．已知数列{}n a 满足112,21+==-+n n a a a n ，设n n b a n =-.（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）21nn T =-【解析】（1）直接计算，由递推式计算出23,a a ，由已知再计算出123,,b b b ；（2）把已知递推式变形为()()112+-+=-n n a n a n ，可得数列{}n b 是等比数列，从而可得其通项公式，由等比数列前n 项和公式可得n T ．【详解】（1）根据题意12a =，数列{}n a 满足121n n a a n +=-+，则1111b a =-=，由212114=-+=a a ，得2222=-=b a ，又由322217=-+=a a ，得3334=-=b a ；（2）由121n n a a n +=-+，得()()112+-+=-n n a n a n ，即12n n b b +=，所以12n nb b +=，又11b =，所以12n n b -=，则1124221-=++++=-L n n n T .【点睛】本题考查数列的递推公式，考查等比数列的判断及等比数列前n 项和公式．解题关键是已知递推式的变形：()()112+-+=-n n a n a n ，由这个变形可得出数列{}n b 是等比数列．18．在ABC ∆中，已知()2cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆，6a c +=，求b 的值. 【答案】（1）060B =；（2）b =【解析】（1）由正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式和诱导公式可求得B ；（2）由三角形面积得ac ，由余弦定理可得b ．【详解】（1）由正弦定理及()2cos cos a c B b C -=，得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，整理得()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=，又sin 0A >，所以1cos 2B =，由B 为三角形的内角，得060B =； 1∵6a c +=，由余弦定理得()222202cos 22cos60363=+-=+--=-b a c ac B a c ac ac ac 363424=-⨯= 所以26b =.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，考查两角和的正弦公式和诱导公式，解三角形问题中常常利用正弦定理进行边化角，然后由三角函数恒等变换求解． 19．我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组频数频率[)0,1025 [)10,20 0.19[)20,3050 [)30,400.23 [)40,500.18 [)50,605（1）分别求出n ，,a b 的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；（3）从样本中年用水量在[]50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）.【答案】（1）200n =，0.0025a =，0.0125b =（2）27.25（立方米）（3）35【解析】（1）观察图和表，用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，由此可求得样本容量n ，再由相应的频率求出,a b ；（2）用每组中点值代表这组的估计值计算均值．（3）可把五个家庭编号用列举法写出任取3个各种情况，同时得用水量最多的家庭被选中的情况，计数后可得概率．【详解】解：（1）用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，则502000.25==n ，用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，则0.1250.012510==b ，用水量在[)50,60内的频率是50.025200=，则0.0250.002510a ==；（2）估计全市家庭年均用水量为50.125150.19250.25350.23450.18550.02527.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）设,,,,A B C D E 代表年用水量从多到少的5个家庭，从中任选3个，总的基本事件为,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ，共10个，其中包含A 的有,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，共6个，所以63105P ==，即年用水量最多的家庭被选中的概率是35. 【点睛】本题考查频率分布直方图和频率分布表，考查古典概型，属于基础题．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1AB =，2AP AD ==.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若点,M N 分别在,AB PC 上，且MN ⊥平面PCD ，试确定点,M N 的位置【答案】（110；（2）M 为AB 的中点，N 为PC 的中点【解析】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{}AB AD AP u u u v u u u v u u u v ，，为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -，求平面PCD 的一个法向量为n v，由空间向量的线面角公式求解即可；（2）设()M a 00，，， PN λPC u u u v u u u v =，利用MN ⊥平面PCD ，所以MN u u u u v ∥n v，得到λa ，的方程，求解即可确定M,N 的位置【详解】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{}AB AD AP u u u v u u u v u u u v ，，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()B 100C 120D 020P 002.，，，，，，，，，，，从而()()()PB 102PC 122PD 022.=-=-=-u u u v u u u v u u u v ，，，，，，，，设平面PCD 的法向量()n x y z =v，，，则PC 0PD 0n n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，，即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，，不妨取y 1，=则x 0z 1==，．所以平面PCD 的一个法向量为()n 011=v ，，．设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以PB n 10sin θcos PB n PB n ⋅=〈〉==⋅u u u v v u u u v v u u u v v ，即直线PB 与平面PCD 10．（2）设()M a 00，，，则()MA a 00=-u u u u v ，，，设PN λPC =u u u v u u u v ，则()PN λ2λ2λu u u v ，，，=-而()AP 002u u u v ，，，= 所以()MN MA AP PN λa 2λ22λ=++=--u u u u v u u u u v u u u v u u u v ，，．由（1）知，平面PCD 的一个法向量为()n 011=v ，，，因为MN ⊥平面PCD ，所以MN u u u u v ∥n v．所以0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，解得，11λa 22==，．所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点．【点睛】本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题21．已知椭圆C 的左、右焦点12,F F 在x 轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为23（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过1F 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 交于,A B ，22AF BF ⊥？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；直线:3730++=l x 或3730+=x 【解析】（1）由长轴和短轴可得,a b ，从而得椭圆方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足条件；假设存在斜率存在的过点1F 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 交于,A B ，22AF BF ⊥，设()()1122,,,A x y B x y ，设直线l 的方程为1x my =-，与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得1212,y y y y +，22AF BF ⊥说明1212111y y x x ⋅=---，代入1212,y y y y +可求得m ，得直线方程．【详解】解：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，可得24,2==a b 2,a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足条件；假设存在过点1F 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 交于,A B ，22AF BF ⊥，设直线l 的方程为1x my =-，联立椭圆的方程得()2243690+--=my my ，设()()1122,,,A x y B x y ，12122269,4343+==-++m y y y y m m， 22AF BF ⊥，即1212111=---g y y x x ，由11221,1=-=-x my x my ，化为()()212121420++-+=m y y m y y ，得()2229614204343⎛⎫+-+-= ⎪++⎝⎭g m m m m m ，化为2970-=m ，解得m =，所在存在直线:330++=l x 或330+=x 满足条件.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的存在性问题．解题方法是设而不求法，即设交点坐标，设直线方程，应用韦达定理得出交点坐标与参数的关系，代入题中其他条件求出参数．22．已知函数2()xf x x ax e =+-，()lng x x =．（1）当1a e =-时，求曲线()y f x =在点1x =处的切线方程；（2）若函数()()()F x f x g x =-在区间(0,1]上是单调递减函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）y x 1=-；（2）a e 1≤-.【解析】()1首先利用导函数求得切线的斜率，然后利用点斜式确定切线方程即可；()2将原问题转化为恒成立的问题，利用导函数求得最值即可确定实数a 的取值范围．【详解】解：()1由()2xf x x ax e =+-，且a e 1=-．有：()xf?x 2x e 1e =+--，且()f 11e 1e 0=+--=， ()k f?11∴==，故切线方程为y 0x 1-=-即y x 1..=-()()()()()2x x 12F x f x g x x ax e lnx,F x 2x a e x =-=+--=+--'，函数()()()F x f x g x =-在区间(]0,1上是单调递减函数， ()x 1F x 2x a e 0x ∴=+--≤'对(]x 0,1∈恒成立，令()(]x 1h x e 2x ,x 0,1x =-+∈，则()x 21h x e 2x=--'，由于(]x 0,1∈，故()h'x e 30<-<， ()x 1h x e 2x x∴=-+在(]0,1上单调递减， ()min h(x)h 1e 1∴==-，a e 1∴≤-．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程，导函数研究函数的最值，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．。

2018-2019学年高二第二学期期中测评考试理科数学答案

≠m2-5m+6=0，
17. 解：（1）由 z 为纯虚数得
解得 m=2． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 分
m2-8m+15≠0，
（2）复数 z－8i=（m2-5m+6）+（m2-8m+7）i，因为复数 z－8i 位于第四象限，
≠m2-5m+6＞0，
所以
解得 1＜m＜2 或 3＜m＜7.故 m 的取值范围为（1，2）∪（3，7）. !!!!!!!!!!! 10 分
a a 故函数 g（x）的最大值为 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1．
高二理科数学试题答案第 4 页（共 5 页）
由题意得需 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1≤0，
令
h（a）=-2lna+
1 a
-1，∵h（a）在（0，+∞）上单调递减，又 ∵h（1）=0，
∴ 当 a≥1 时，h（a）≤0 恒成立，∴ 实数 a 的取值范围为［1，+∞）． !!!!!!!!!!!!!!!!! 12 分
12. C 【解析】f（ 1 x）=f ′（x）=cosx－e－x+2018x2017， f（ 2 x）=f ′（ 1 x）=－sinx+e－x+2018×2017x2016， f（ 3 x）=f ′（ 2 x）=－cosx－e－x+2018×2017×2016x2015， f（ 4 x）=f ′（ 3 x）=sinx+e－x+2018×2017×2016×2015x2014， …
乙乙 4
4
5. B 【解析】姨4-（x-2）2 dx表示以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分的面积，姨4-（x-2）2 dx=2π.故选 B.

云南省楚雄彝族自治州高二下学期期中数学试卷(理科)

云南省楚雄彝族自治州高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·上饶模拟) 已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数z在复平面内对应的点在（）.A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）若函数f（x）满足，则f'（1）的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f（x）在区间内单调递增；②函数y=f（x）在区间内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f（x）有极大值．则上述判断中正确的是（）A . ①②B . ②③C . ③④⑤D . ③4. （2分）用数学归纳法证明：“ ”．从“ 到”左端需增乘的代数式为（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·南昌模拟) 复数，则等于（）A . 2B . 4C .D .6. （2分） (2020高二下·龙江期末) 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（）A . 1B .C .D .7. （2分）用反证法证明：若实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，那么a，b，c，d中至少有一个小于0，下列假设正确的是（）A . 假设a，b，c，d都大于0B . 假设a，b，c，d都是非负数C . 假设a，b，c，d中至多有一个小于0D . 假设a，b，c，d中至多有两个大于08. （2分）下面几种推理中是演绎推理的序号为（）A . 半径为r圆的面积，则单位圆的面积；B . 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C . 猜想数列,...,的通项公式为；D . 由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 ，推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2 ．9. （2分）对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：①22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7，......②23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,......根据上述分解规律，若m2=1+3+5+...+11,P3的分解中最小的正整数是21，则m+p=（）A . 10B . 11C . 12D . 1310. （2分）如果两个实数之和为正数，那么这两个数（）A . 一个是正数，一个是负数B . 两个都是正数C . 两个都是非负数D . 至少有一个是正数11. （2分）若直线3x﹣4y﹣m=0（m＞0）与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4相切，则实数m的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分）(2012·辽宁理) 若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A . ex≤1+x+x2B .C .D .二、二.填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·鞍山期中) 已知2＜（k+2）dx＜4，则实数k的取值范围为________．14. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知复数满足（是虚数单位），则 ________．15. （1分） (2017高二下·太原期中) 我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD 的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2 ，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是________．16. （1分） (2016高一上·普宁期中) 关于函数f（x）=lg （x≠0，x∈R）有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（﹣∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为________．三、三.答题： (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二下·太原期中) 已知函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：f（x）＞．18. （10分） (2020高二下·铜陵期中) 已知函数 .（1）若曲线在点处的切线方程为，求的单调区间.（2）若方程在上有两个实数根，求实数a的取值范围.19. （10分） (2017高二下·徐州期中) 阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β=A，α﹣β=β有α= ，β= 代入③得sinA+sinB=2sin cos ．（1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值；（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA﹣cosB=﹣2sin cos ．20. （10分）设函数 .（1）求函数的极小值；（2）若关于x的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围.21. （10分）设数列{an}的前n项和为Sn ，已知a1=1，2Sn=（n+1）an（n∈N*）．（1）求a2 ， a3 ， a4的值；（2）猜想an的表达式，并加以证明．22. （5分） (2017高二下·温州期末) 已知数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=4，且 2bn=an+an+1 ，an+12=bnbn+1 ．（Ⅰ）求 a 2 ， a3 ， a4 及b2 ， b3 ， b4；（Ⅱ）猜想{an}，{bn} 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：对所有的n∈N* ，• •…• ＜＜ sin ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.答题： (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、第11 页共12 页22-1、第12 页共12 页。

楚雄州民族中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析

楚雄州民族中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向右平移2π个单位B ．向左平移2π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位2．已知α，β是空间中两个不同的平面，为平面β内的一条直线，则“//l α”是“//αβ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．复数i iiz (21+=是虚数单位）的虚部为（） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．4．已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．5． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（） A. 5 B.6 C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.6．函数f （x ）＝kx ＋bx ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．47．如图甲所示，三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与的变化关系，其中正确的是（）A ．B ． C. D ．1111]8．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（）A.83 B ．4 C.163D ．2039．二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．10．已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（）A.5B.2 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识，意在考查运算求解能力.11．如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（）A ．B ． C. D ． 12．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++= 成立，则实数a 的取值范围是（）A.1[,]e eB.2(,]e eC.2(,)e +∞D.21(,)e e e+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．14．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值为 .【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.15．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.16．已知函数21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21xg x =-，则((2))f g = ， [()]f g x 的值域为．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.三、解答题（本大共6小题，共70分。

云南省楚雄彝族自治州高二下学期期中数学试卷(理科)

云南省楚雄彝族自治州高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·黄冈模拟) 已知集合A={x|log2x＜4}，集合B={x||x|≤2}，则A∩B=（）A . （0，2]B . [0，2]C . [﹣2，2]D . （﹣2，2）2. （2分）已知z=（i为虚数单位），则|z|=（）A .B . 1C .D . 23. （2分） (2018高二上·莆田月考) 已知数列满足，是等差数列，则数列的前10项的和（）A . 220B . 110C . 99D . 554. （2分）图中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A . 4B . 8C . 16D . 205. （2分）已知数列满足，若，则（）A . 2B . -2C .D .6. （2分）从5名学生中选2名学生参加周日社会实验活动，学生甲被选中而学生乙没有被选中的方法种数是（）A . 10B . 6C . 4D . 37. （2分） (2019高三上·双流期中) 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A .B .C .D .8. （2分） (2019高一下·吉林月考) 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后把图象沿轴向右平移个单位，则所得函数表达式为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·玉溪期末) 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·上饶模拟) 已知（2x2+4x+3）6=a0+a1（x+1）2+a2（x+1）4+…+a6（x+1）12 ，则a0+a2+a4+a6的值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·大庆期中) 已知向量| |=4，为单位向量，当他们之间的夹角为时，在方向上的投影与在方向上的投影分别为（）A . 2 ，B . 2，C . ，2D . 2，212. （2分） (2018高二上·兰州月考) 设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q ，前n项和为Sn .若对任意的n∈N* ，有S2n＜3Sn ，则q的取值范围是（）A . (0，1]B . (0，2)C . [1，2)D . (0， )二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·红桥期中) 若f（x）= ，则 f（x）dx=________．14. （1分） (2015高二下·徐州期中) 若多项式x10=a0+a1（x+1）+…a9（x+1）9+a10（x+1）10 ，则a1+a3+a5+a7+a9=________．（用数字作答）15. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 在△ABC中，不等式 + + ≥ 成立；在四边形ABCD中，不等式 + + + ≥ 成成立；在五边形ABCDE中，不等式 + + + + ≥ 成立．猜想在n边形中，不等式________成立．16. （1分）(2017·息县模拟) 我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B课，则称A课不亚于B课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有________节优秀录像课．三、解答题 (共5题；共30分)17. （10分） (2019高二上·汇川期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c ＝2b.（1）求角A的大小；（2）若c＝，角B的平分线BD＝，求a.18. （5分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19. （5分） (2017高三下·漳州开学考) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（I）证明：AE⊥PD；（II）H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45°，求二面角E﹣AF﹣C的正切值．20. （5分）如图所示，已知点A（﹣1，0）是抛物线的准线与x轴的焦点，过点A的直线与抛物线交于M，N 两点，过点M的直线交抛物线于另一个点Q，且直线MQ过点B（1，﹣1）．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线QN过定点．21. （5分） (2016高三上·烟台期中) 已知函数f（x）=（2﹣a）lnx+ +2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1 ，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共30分)17-1、17-2、18-1、20-1、。

云南省楚雄州2018-2019学年高二下学期期中统测数学理科试题

楚雄州2018:2019学年下学期高二期中统测数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2{|21},|3A x x B x x =<=<，则A B =（）A. 1|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B. {|x x < C. 1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D. {|3}x x <2.设i 为虚数单位，则复数22i z i -=+的共轭复数z =（） A. 3455i + B. 3455i - C. 3455i -+ D. 3455i -- 3.某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g ）进行统计，得到如图所示的茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[]499501，内的概率为（）A. 513B. 613C. 713D. 8134.记等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若53a =，1391S =，则11S =（） A. 36 B. 72 C. 55 D. 1105.执行如图所示的程序框图，若输入的4n =，则输出的j=（）A. 1B. 3C. 5D. 7 6.定积分212x e dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰（）A. 21e +B. 21e e -+C. 22ln 2e + D. 22ln 2e e -+7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 116πB. 73πC. 136πD. 83π 8.下列证明中更适合用反证法的是（）A. 证明()*1111223(1)1nn n n n ++⋯+=∈⨯⨯⨯++NB. 是无理数C. 证明44cos sin cos 2x x x -=D. 已知1tan 12tan x x-=+，证明3sin 24cos2x x =- 9.某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50，100]内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为（）A. 81.5B. 82C. 81.25D. 82.510.若点()1414log 7,log 56在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（）A. 1B. 34C. 2D. 3211.已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第m 行、第n 列的数记为n m a ，如21424,16a a ==.若248mn a =，则m n +=（）A. 20B. 21C. 29D. 3012.定义在[0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足(1)()ln(1)()0x f x x f x '+++<，则下列判断正确的是（）A. 2(3)0(1)f f >>B. 2(3)(1)0f f >>C. 2(3)0(1)f f <<D. 2(3)(1)0f f <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,a b 的夹角为60︒，且1,2a b ==，则(2)a a b ⋅+=_______.14.将函数()sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函()y g x =的图象，则()g x 的最小正周期是______15.若x ，y 满足约束条件402020x y x x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则3z x y =+最大值为________. 16.中国古代数学的瑰宝---《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体----鳖臑，它是指四面皆为直角三角形的四面体，现有四面体ABCD 为一个鳖臑，已知AB ⊥平面BCD ，1AB =,2BCCD ==，若该鳖臑的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为_______.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设复数2(1),()z aa a i a =---∈R . （1）若z 纯虚数，求|3|z +；（2）若z 在复平面内对应的点在第四象限，求a 的取值范围.18.在数列{}n a 中，11a =，且1,2,n n n a a +成等比数列。

云南省楚雄彝族自治州高二下学期期中数学试卷(理科)

云南省楚雄彝族自治州高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·大庆模拟) 在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）关于直线及平面，下列命题中正确的是（）A . 若，则B . 若则C . 若则D . 若则3. （2分）(2017·山东) 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A . 0，0B . 1，1C . 0，1D . 1，04. （2分）设是的相反向量，则下列说法错误的是（）A . 与一定不相等B . ∥C . 与的长度必相等D . 是的相反向量5. （2分）(2014·新课标II卷理) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1 ， A1C1的中点，BC=CA=CC1 ，则BM与AN所成角的余弦值为（）A .B .C .D .6. （2分）已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A . 若,则B . 若,则C . 若,则D . 若,则7. （2分） (2015高三上·滨州期末) 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A .B .C .D .8. （2分） (2020高二下·吉林月考) 给出下面三个类比结论：①向量，有类比有复数，有；②实数有；类比有向量，有；③实数有，则；类比复数，有，则 .其中类比结论正确的命题个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分） (2016高二上·中江期中) 直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1 ， A1C1的中点，BC=CA=CC1 ，则BM与AN所成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）下列结论正确的是（）A .B .C . （5x）′=5xD . （5x）′=5xln511. （2分）椭圆x2+4y2=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为（）A . x﹣2y=0B . x+2y﹣8=0C . 2x+3y﹣14=0D . x+2y﹣4=012. （2分）已知一个几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2017高二上·海淀期中) 设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为________，离心率为________．14. （1分）(2016·德州模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为________．15. （1分）若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（0，2），则这个圆的方程是________．16. （1分） (2020高二下·杭州月考) 正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2017·扬州模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，PA=PD，F 为AD的中点，PD⊥BF．（1）求证：AD⊥PB；（2）若菱形ABCD的边长为6，PA=5，求四面体PBCD的体积．18. （10分） (2017高二下·潍坊期中) 已知f（x）=lnx+ x2 ．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）设P为曲线f（x）上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围．19. （10分） (2019高一下·长春期末) 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点，点O是和的交点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．20. （5分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知抛物线与直线交于两点，，点在抛物线上，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求点的坐标．21. （5分） (2016高二上·大连开学考) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求点D到平面PAC的距离．22. （10分）(2020·驻马店模拟) 如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，， // ， .（1）证明： //平面BCE.（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

云南省楚雄彝族自治州高二下学期期中数学试卷(理科)

云南省楚雄彝族自治州高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）是虚数单位，复数的实部为（）A . 2B .C . 1D .2. （2分）用反证法证明命题：“若关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a＜1”时，应假设（）A . a≥1B . 关于x的方程x2﹣2x+a=0无实数根C . a＞1D . 关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根3. （2分）直线y=kx+b与曲线相切于点(2,3)，则b的值为（）A . －3B . 9C . －15D . －74. （2分）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A . a>c>bB . b>a>cC . a>b>cD . c>b>a5. （2分） (2016高一上·新疆期中) 用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（）A . 0.68B . 0.72C . 0.7D . 0.66. （2分）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得（）A . 当n=6时该命题不成立B . 当n=6时该命题成立C . 当n=8时该命题不成立D . 当n=8时该命题成立7. （2分） (2015高二下·河南期中) 函数y=x2cosx的导数为（）A . y′=2xcosx﹣x2sinxB . y′=2xcosx+x2sinxC . y′=x2cosx﹣2xsinxD . y′=xcosx﹣x2sinx8. （2分） (2015高二下·福州期中) 用数学归纳法证明1+ + +…+ ＜n（n∈N* ， n＞1）时，第一步应验证不等式（）A . 1+ ＜2B . 1+ + ＜3C . 1+ + + ＜3D . 1+ + ＜29. （2分） (2017高二上·大连期末) 若f（x）=x3﹣ax2+1在（1，3）内单调递减，则实数a的范围是（）A . [ ，+∞）B . （﹣∞，3]C . （3，）D . （0，3）10. （2分） (2017高二下·双流期中) 由直线x= ，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（）A . ﹣2ln2B . 2ln2C .D .11. （2分）已知向量a，b，c满足，，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高二下·和平期中) 若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A . （﹣1，0）B . （﹣1，0）∪（2，+∞）C . （2，+∞）D . （0，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·青浦模拟) 已知复数z=2+i（i为虚数单位），则 =________14. （1分） (2017·石嘴山模拟) 如下等式：以此类推，则2018出现在第________个等式中．15. （1分） (2016高二下·泗水期中) 已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=________．16. （1分） (2017高二下·微山期中) 若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M= ，N= ，那么M、N的大小关系是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知函数f（x）满足（其中为f（x）在点的导数，C为常数）（I）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，求常数C；（II）在（I）的条件下，若，求函数f（x）的图象与X轴围成的封闭图形的面积．18. （5分）(2016·肇庆模拟) 已知函数f（x）=（x﹣1）ex+ax2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1 ， x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜0．19. （10分） (2017高一上·龙海期末) 漳州市“网约车”的现行计价标准是：路程在2km以内（含2km）按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）=2.85元）．（1）将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f（x）（单位：元）表示为行程x（0＜x≤60，单位：km）的分段函数；（2）某乘客的行程为16km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．20. （15分）(2012·湖北) （I）已知函数f（x）=rx﹣xr+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．（1）求f（x）的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．21. （10分） (2017高二下·赣州期末) 已知函数f（x）=ax3﹣bx+2（a＞0）（1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在x=2处的切线方程．22. （5分） (2017高一上·海淀期中) 已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。

2019-2020学年楚雄州高二(下)期中数学试卷(理科)(含答案解析)

2019-2020学年楚雄州高二(下)期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|x 2+3x <4}，N ={−2,−1,0，1，2}，则M ∩N =( )A. {−2,−1,0，1，2}B. {−2,−1,0，1}C. {−2,−1,0}D. {−1,0，1，2}2. 已知i 是虚数单位，复数Z 1=3+4i ，若在复平面内，复数Z 1与Z 2所对应的点关于实轴对称，则Z 1⋅Z 2=( )A. −25B. 25C. −7D. 73. 3.甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，则甲运动员的极差与乙运动员的众数分别是( )A. 20、80B. 20、81C. 17、81D. 17、804. 一个等差数列{a n }的前5项和为48，前10项和为60，则前15项和为( )A. 36B. 72C. 83D. 1085. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是158，则m 的整数值为( )A. 6B. 7C. 8D. 96. 积分∫e x 10dx 的值为( )A. eB. e −1C. 1D. e 27. 棱长为1的正方体可以在一个棱长为a 的正四面体的内部任意地转动，则实数a 的最小值为( )A. 3√2B. √2C. 2√3D. √638.用反证法证明命题：“若a，b∈R，且a2+|b|=0，则a，b全为0”时，应假设为()A. a≠0且b≠0B. a，b不全为0C. a，b中至少有一个为0D. a，b中只有一个为09.为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为()A. 25B. 710C. 815D. 71510.已知方程x3−x−1=0仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)11.(1+++⋯+)=()A. B. C. 2 D. 不存在12.已知函数f(x)=1+x−x22+x33−x44+⋯+x20132013，g(x)=1−x+x22−x33+x44−⋯−x20132013，设函数F(x)=f(x+3)⋅g(x−4)，且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b，a，b∈Z)内，则b−a 的最小值为()A. 8B. 9C. 10D. 11二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，A是最大角，若cosBsinC AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosCsinBAC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m的取值范围为______．14.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(φ<|π2|)，那么函数f(x)的最小正周期是______ ：若函数f(x)在[π2,5π6]上具有单调性，且f(π2)=−f(5π6)，则φ=______ ．15. 已知实数x ，y 满足不等式组{x +y ≥2,x ≤t,x −2y ≥−2,其中t =2∫s π0inxdx,则x 2+y 2的最大值是______．16. 如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面半径为1，高为2，铁桶的最大张角为60°，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大体积为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在复平面内，当实数a 取何值时，复平面内，复数z =(m 2−4m)+(m 2−m −6)i 的对应点满足下列条件？ (1)在第三象限； (2)在虚轴上；(3)在直线x −y +6=0上．18. 已知函数f(x)=log 3(ax +b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，记a n =3f(n)，n ∈N ∗(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n ，T n =b 1+b 2+⋯b n ，求证：T n <3．19.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin2C2c =cos(B+C)−cosBsinCb．(1)求角A的大小；(2)若ΔABC的面积为√2+14，a=√10，求b+c的值．20.如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又∠PDA为45°(1)求证：AF//平面PEC；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．21.自点M(2,4)作圆(x−1)2+(y+3)2=1的切线l，求切线l的方程．22.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−2．(1)求函数f(x)在[t,2t](t>0)上的单调区间；(2)若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)，且x2−x1<ln2，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：集合M={x|x2+3x<4}={x|x2+3x−4<0}={x|−4<x<1}，N={−2,−1,0，1，2}，则M∩N={−2,−1,0}．故选：C．化简集合M，根据交集的定义写出M∩N．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：B解析：解：∵Z1=3+4i，且在复平面内，复数Z1与Z2所对应的点关于实轴对称，∴Z2=3−4i，则Z1⋅Z2=(3−4i)(3+4i)=25．故选：B．由已知求得Z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：分析：众数：出现次数最多的数；解：由茎叶图可知，甲成绩的极差为95−78=17，乙运动员的众，80；故选D．4.答案：A解析：本题考查了等差数列的前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由等差数列{a n}的求和公式可得：S5，S10−S5，S15−S10，成等差数列，即可得出．解：由等差数列{a n}的求和公式可得：S5，S10−S5，S15−S10，成等差数列．∴2(S10−S5)=S15−S10+S5，∴2×(60−48)=S15−60+48，故选：A ．5.答案：B解析：解：由程序框图知：算法的功能是求 S =1+11×2+12×3+⋯+1k(k+1)=1+1−12+12−13+⋯+1k−1k+1=1+1−1k+1=1+k k+1=158，解得：k =7，故当k =8时，满足条件8>m ，退出循环，输出S 的值为158，可得m 的整数值为7．故选：B ．模拟程序的运行，算法的功能是求S =1+kk+1，判断当k =8时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S 值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：B解析：解：∫e x 10dx =e x | 01 =e −e 0=e −1．故选：B ．求出积分的原函数e x ，由定积分运算公式，即可得到所求值．本题考查定积分的运算，求出积分原函数，考查运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：设球的半径为：r ，由正四面体的体积得：4×13r ×√34a 2=13×√34a 2(√33解得r =√612a ，∵正方体的棱长为1，∴√3=√66a ，故选：A．由题意，正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．本题考查正四面体的最小棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．8.答案：B解析：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立．本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“a，b全为0”的否定为：“a，b不全为0”，故选：B．9.答案：B解析：本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生共有5人，其中2名女生，3名男生，从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，基本事件总数n=C52=10，至少抽到1名女生包含的基本事件个数m=C22+C21C31=7，由此能求出至少抽到1名女生的概率．解：这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生共有：50×0.05×2=5，∴课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生有2名女生，3名男生，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，基本事件总数n=C52=10，至少抽到1名女生包含的基本事件个数m=C22+C21C31=7，则至少抽到1名女生的概率为p=mn =710．故选：B．10.答案：C解析：解：设f(x)=x3−x−1，因为f(1)=−1<0，f(2)=8−2−1=5>0，所以根据根的存在性定理可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选C．根据根的存在性定理进行判断．本题主要考查函数零点的判断和应用，利用根的存在性定理是解决本题的关键．比较基础．11.答案：B解析：(1+++⋯+)=(1−)=．12.答案：C解析：解：∵f(x)=1+x−x22+x33−x44+⋯+x20132013，∴f′(x)=(1−x)+(x2−x3)+⋯+x2012=(1−x)(1+x2+x4+⋯+x2010)+x2012当x=−1时，f′(x)=2×1006+1=2013>0，当x≠−1时，f′(x)=(1−x)(1+x2+x4+⋯+x2010)+x2012 =(1−x)⋅1−(x2)10061−x2+x2012=1+x20131+x>0，∴f(x)=1+x−x22+x33−x44+⋯+x20132013在R上单调递增；又f(0)=1，f(−1)=−12−13−14−⋯−12013<0，∴f(x)=1+x−x22+x33−x44+⋯+x20132013在(−1,0)上有唯一零点，由−1<x+3<0得：−4<x<−3，∴f(x+3)在(−4,−3)上有唯一零点．∵g(x)=1−x+x22−x33+x44−⋯−x20132013，∴g′(x)=(−1+x)+(−x2+x3)+⋯−x2012 =−[(1−x)+(x2−x3)+⋯+x2012]=−f′(x)<0，∴g(x)在R上单调递减；又g(1)=(12−13)+(14−15)+⋯+(12012−12013)>0，g(2)=−1+(222−233)+(244−255)+⋯+(220122012−220132013)，∵n≥2时，2nn −2n+1n+1=2n(1−n)n(n+1)<0，∴g(2)<0．∴g(x)在(1,2)上有唯一零点，由1<x−4<2得：5<x<6，∴g(x−4)在(5,6)上有唯一零点．∵函数F(x)=f(x+3)⋅g(x−4)，∴F(x)的零点即为f(x+3)和g(x−4)的零点．∴F(x)的零点区间为(−4,−3)∪(5,6)．又b，a∈Z，∴(b−a)min=6−(−4)=10．故选C．可通过导数法求得f(x)与g(x)的零点，从而可得f(x+3)和g(x−4)的零点，继而可求得F(x)的零点均在区间[a,b](a<b，a，b∈Z)的具体区间，从而可求得b−a的最小值．本题考查函数的零点，考查利用导数判断函数的单调性及零点存在定理的应用，考查综合分析与转化的能力，属于难题．13.答案：[√3,2)解析：解：由O是锐角△ABC的外接圆圆心，则点O为三角形三边中垂线的交点，由向量投影的几何意义有： (cosB sinCAB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，则cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，所以则cosBsinC c 2+cosCsinB bccosA =m 2c 2，由正弦定理得： cosB +cosCcosA =m 2sinC ，所以sinAsinC −cosCcosA +cosCcosA═m2sinC ，所以m =2sinA ，又A ∈[π3,π2)，所以m ∈[√3,2)，故答案为：[√3,2)．由平面向量的数量积的运算得：(cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，则cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosCsinBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，所以则cosB sinC c 2+cosC sinB bccosA =m 2c 2，由正弦定理得：cosB +cosCcosA =m 2sinC ，由两角和差的正余弦公式得：sinAsinC −cosCcosA +cosCcosA═m2sinC ，所以m =2sinA ，又A ∈[π3,π2)，所以m ∈[√3,2)，得解本题考查了平面向量的数量积的运算、正弦定理及两角和差的正余弦公式，属难度较大的题型．14.答案：π −π3解析：解：因为函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)，所以T =2π2=π，故函数f(x)的最小正周期是π；因为f(π2)=−f(5π6)，则函数f(x)的一个对称中心为(π2+5π62,0)，即关于点(2π3,0)对称，令2×2π3+φ=kπ，解得φ=−4π3+kπ,k ∈Z ，又因为|φ|<π2，故φ=±π3，当φ=π3时，f(x)=sin(2x +π3)，当x ∈[π2,5π6]时，2x +π3∈[4π3,2π]，又函数y =sinx 在[4π3,2π]上不是单调函数，故函数f(x)在[π2,5π6]上不具有单调性，不符合题意；故φ=−π3．利用三角函数的周期计算公式即可求出函数f(x)的最小正周期；先利用f(π2)=−f(5π6)，得到f(x)的一个对称中心，从而求出符合条件|φ|<π2的φ的值，然后再进行检验是否满足函数f(x)在[π2,5π6]上具有单调性，即可得到答案．本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数的周期性、对称性、单调性，要掌握三角函数的周期计算公式．15.答案：25解析：解：t =2∫s 30inxdx =−2cosx|0π=4 x ，y 满足不等式组{x +y ≥2x ≤4x −2y ≥−2的可行域如图：x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)与坐标原点距离的平方，由图形可知，点A 到原点距离最大，由{x =4x −2y +2=0，解得A(4,3)，所以x 2+y 2的最大值为：25．故答案为：25．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求出最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，定积分的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．16.答案：√32π解析：解：如图，点B 到铁盖中心O 1的距离恰好是最大球的直径， AB =2，∠O 1AB =60°，∴BO 1=√3，则OB =√32，即最大球的半径为√32， ∴该木球的最大体积为V =43π(√32)3=√32π．故答案为：√32π．点B 到铁盖中心O 1的距离恰好是最大球的直径，求出最大球的半径，由此能求出该木球的最大体积．本题考查木球的最大体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力等核心素养，是中档题．17.答案：解：复数z =(m 2−4m)+(m 2−m −6)i ，对应点的坐标为Z(m 2−4m,m 2−m −6)．(1)点Z 在第三象限，则m 2−4m <0且m 2−m −6<0，解得0<m <4且−2<m <3，∴0<m <3． (2)点Z 在虚轴上，则m 2−4m =0，解得m =0，或m =4．(3)点Z 在直线x −y +6=0上，则(m 2−4m)−(m 2−m −6)+6=0，即−3m +12=0，∴m =4．解析：(1)根据第三象限对应点的特点即可求解； (2)根据虚轴上的点的特点即可求解； (3)直接把点的坐标代入方程即可．本题考查了复数的有关概念、复数相等、几何意义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵f(x)=log 3(ax +b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，∴{log 3(2a +b)=1log 3(5a +b)=2，即{2a +b =35a +b =9，得{a =2b =−1，则f(x)=log 3(2x −1)，则数列{a n }的通项公式a n =3f(n)=3log 3(2n−1)=2n −1，n ∈N ∗；(2)b n =a n 2n =2n−12n，T n =b 1+b 2+⋯b n =12+322+523+⋯+2n−12n①，12T n =122+323…+2n−52n−1+2n−32n+2n−12n+1 ②，①−②得12T n =12+222+223+⋯+22n −2n−12n+1=12+(222+223+⋯+22n )−2n−12n+1=32−12n−1−2n−12n+1，∴T n =3−12n−1−2n−12n+1=3−2n+32n<3．即T n <3．解析：(1)根据条件建立方程组关系，求出a ，b ，结合指数和对数的运算性质即可求数列{a n }的通项公式；(2)求出b n =an2n 的通项公式，利用错位相减法求出T n =b 1+b 2+⋯b n ，根据不等式的性质即可证明T n <3．本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列求和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．19.答案：解：(1)因为sin2C 2c=cos(B+C)−cosBsinCb，所以2sinCcosC 2sinC=−cosA−cosBsinCsinB，所以sinBcosC +cosA +cosBsinC =0，可得sinA +cosA =√2sin(A +π4)=0，所以sin(A +π4)=0，因为A ∈(0,π)，所以A =3π4．(2)由题意可知12bcsinA =√2+14，且sinA =√22，可得bc =√2+1√2，又a =√10，=10，所以由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2+√2bc=(b+c)2−(2−√2)×√2+1√2所以b+c=√11．)=0，结合范围A∈解析：(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π4(0,π)，可求A的值．(2)由题意利用三角形的面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.答案：证明(1)取PC中点G，连接EG，FG，CD∵F为PD的中点，∴GF//CD且GF=12CD，∵ABCD是矩形，又E为AB中点，∴AE//CD且AE=12∴AE//GF且AE=GF∴四边形AEGF为平行四边形∴AF//GE，且AF⊈平面PEC，GE⊆平面PEC，∴AF//平面PEC．(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD，∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊆平面PAD，∴CD⊥AF，∵∠PDA=45°∴F为Rt△PAD斜边PD的中点，∴AF⊥PD，又∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，由(1)知AF//EG.∴EG⊥平面PCD，又∵EG⊆平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．解析：(1)AF//平面PEC⇐取PC中点G，AF//GE⇐四边形AEGF为平行四边形⇐AE//GF且AE=CDGF⇐AE//CD//GF，AE=GF=12(2)平面PEC⊥平面PCD⇐EG⊥平面PCD⇐AF//EG且AF⊥平面PCD⇐AF⊥PD且CD⊥AF⇐CD⊥平面PAD⇐CD⊥AD，CD⊥PA⇐PA⊥平面ABCD本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理等知识点；注意线线平行，线面平行，面面平行的转化，同样注意线线垂直，线面垂直的转化；找平行时运用了平行四边形，中位线，找垂直时运用了矩形，三角形的高线，线面垂直的定义性质等．21.答案：解：∵圆C ：(x −1)2+(y +3)2=1.圆的圆心坐标(1,−3)，半径为1，当切线的斜率不存在时，对直线x =2，C(1,−3)到直线的距离为1，满足条件；当k 存在时，设直线y −4=k(x −2)，即y =kx +4−2k ， ∴|7−k|√1+k2=1，得k =247．∴得直线方程x =2或y =247x −207．故切线的方程为x =2或24x −7y −20=0．解析：切线的斜率不存在时，验证x =2即可，当切线的斜率存在时，设为k ，写出切线方程，圆心到切线的距离等于半径，解出k 求出切线方程．本题考查圆的切线方程，点到直线的距离公式，是基础题．22.答案：解：(1)由f′(x)=lnx +1=0，可得x =1e ，∴f(x)在(0,1e )上递减，在(1e ,+∞)上递增． (i)当0<t ≤12e 时，函数f(x)在[t,2t]上递减；(ii)当12e <t <1e 时，函数f(x)在[t,1e ]上递减，在[1e ,2t]上递增； (iii)当t ≥1e 时，函数f(x)在[t,2t]上单调递增．(2)y =f(x)+g(x)=xlnx −x 2+ax −2，则y′=lnx −2x +1+a 由题意可得：y′=lnx −2x +1+a =0有两个不同的实根x 1，x 2(x 1<x 2)，即a =−lnx +2x −1有两个不同的实根x 1，x 2(x 1<x 2)，等价于直线y =a 与函数G(x)=−lnx +2x −1的图象有两个不同的交点． ∵G′(x)=−1x +2，∴G(x)在(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，画出函数图象的大致形状(如右图)，由图象知，当a >G(x)min =G(12)=ln2时，x 1，x 2存在，且x 2−x 1的值随着a 的增大而增大，而当x 2−x 1=ln2时，由题意可得{lnx 1−2x 1+1+a =0lnx 2−2x 2+1+a =0，两式相减可得ln x1x 2=−2(x 2−x 1)=−2ln2，∴x 2=4x 1代入上述方程可得x 2=4x 1=43ln2，此时a =23ln2−ln(ln23)−1，∴a <23ln2−ln(ln23)−1，综上可得：实数a 的取值范围为ln2<a <23ln2−ln(ln23)−1．解析：(1)由f′(x)=lnx +1=0，可得x =1e ，因此f(x)在(0,1e )上递减，在(1e ,+∞)上递增．再对t 与12e ，1e 的大小关系分类讨论即可得出；(2)y =f(x)+g(x)=xlnx −x 2+ax −2，则y′=lnx −2x +1+a.由题意可得：y′=lnx −2x +1+a =0有两个不同的实根x 1，x 2(x 1<x 2)，即a =−lnx +2x −1有两个不同的实根x 1，x 2(x 1<x 2)，等价于直线y =a 与函数G(x)=−lnx +2x −1的图象有两个不同的交点．利用导数研究函数G(x)的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分离参数方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

云南省楚雄彝族自治州数学高二下学期理数期中考试试卷

云南省楚雄彝族自治州数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中，错误的是（）A . 平行于同一条直线的两个平面平行B . 平行于同一个平面的两个平面平行C . 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D . 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交2. （2分）设a，b，c表示三条直线，α，β表两个平面，则下列命题中不成立的是（）A . 若b⊂β，β⊥α，则b⊥αB . 若b⊂α，c⊄α，b∥c，则c∥αC . 若c⊥α，α∥β，则c⊥βD . c是a在β内的射影，b⊂β，b⊥a，则b⊥c3. （2分）图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）A . （1）（2）B . （1）（3）C . （1）（4）D . （1）（5）4. （2分） (2019高二下·温州月考) 已知a,b为空间中的两条相互垂直的异面直线，P为两直线外一点，过点P作与a平行且与b垂直的平面，这样的平面个数是（）A . 0B . 1C . 无数D . 0或15. （2分） (2017高二下·运城期末) 如图是一个几何体的三视图，则此几何体的体积是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·潍坊期中) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，己知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A . ﹣B .C . ﹣D .7. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 已知三角形的三边满足条件，则（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 120°8. （2分）一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为（）A . 3B .C . 2D .9. （2分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由（）A . 一个圆台、两个圆锥构成B . 两个圆台、一个圆锥构成C . 两个圆柱、一个圆锥构成D . 一个圆柱、两个圆锥构成10. （2分） (2015高二上·城中期末) 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A . 36πB . 64πC . 144πD . 256π11. （2分）设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α﹣l﹣β的平面角为150°，则球O的表面积为（）A . 4πB . 16πC . 28πD . 112π12. （2分） (2018高二上·吕梁月考) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A . 14斛B . 22斛C . 36斛D . 66斛二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·奉新期末) 棱长为a正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1 ， B1C1的中点，点P是棱AB上一点，且AP= ，过点P，M，N的平面与直线CD交于一点Q，则PQ的长为________．14. （1分）已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为________ ．15. （1分） (2016高一下·武邑期中) 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于________．16. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2，D为BC的中点．则直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分）求证：两两相交且交点不止一个的四条直线a、b、c、d共面.18. （5分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4，E为BA1的中点．（1）判断两直线EC1与AD的位置关系，并给予证明；（2）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1与平面A1CD所成角θ．19. （10分）将一副三角板拼成直二面角A﹣BC﹣D，其中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°．（1）求证：平面BAD⊥平面CAD；（2）求BD与平面CAD所成的角的正切值；（3）若CD=2，求C到平面BAD的距离．20. （15分）已知OA，OB，OC交于点O，AD OB，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．21. （10分） (2015高二上·柳州期末) 已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC 上的任意一点．过点E的平面α垂直于平面SAC．（1）请作出平面α截四棱锥S﹣ABCD的截面（只需作图并写出作法）；（2）当SA=AB时，求二面角B﹣SC﹣D的大小．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、。

云南省楚雄州2018_2019学年高二数学下学期期中试题理(含解析)

云南省楚雄州2018-2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2{|21},|3A x x B x x =<=<，则A B =（）A. 1|2x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. {|x x <C. 1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D. {|3}x x <【答案】A 【解析】【分析】分别求出集合A 和集合B ，利用集合间的交集运算可得答案.【详解】解：11|,{||22A x x B x x A B x x ⎧⎫⎧⎫=<=<<∴⋂=<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭故选A.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共轭复数z =（） A. 3455i + B. 3455i -C. 3455i -+D. 3455i --【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以(2i)-，得出34i 55z =-，再利用共轭复数的定义即可得出。

【详解】解：22i (2i)34i 2i (2i)(2i)55z --===-++-，3455z i ∴=+故选：A ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。

若1a z bi =+，2z c di =+，12a +c d a b d z z bi i c +=+++（）（）=（）+(+)i ， 12ac-+ad )z z bd bc i =+（）（，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。

3.某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g ）进行统计，得到如图所示的茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[]499501，内的概率为（）A.513B.613C.713D.813【答案】B 【解析】【分析】由题，分析茎叶图，找出质量在[499,501]的个数，再求其概率即可. 【详解】这13个数据中位于[]499,501的个数为6，故所求概率为6.13故选B【点睛】本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题.4.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，1391S =，则11S =（） A. 36 B. 72C. 55D. 110【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和性质得7a ，再根据等差数列性质求11S .【详解】因为()1131371313912a a S a+⨯===，所以77a =，因为53a =，所以5710a a +=，因为1115710a a a a +=+=，所以()1111111552a a S +⨯==.选C.【点睛】本题考查等差数列前n 项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.5.执行如图所示的程序框图，若输入的4n =，则输出的j=（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C 【解析】【分析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j 值．【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行， i ＝1，j ＝1,j=2i-j=1,满足i<4，第二次运行i ＝2，j=2i-j ＝3；满足i<4，第三次运行i ＝3，j=2i-j ＝3；满足i<4，第四次运行i ＝4，j=2i-j ＝5；不满足i<4，程序运行终止，输出j ＝5．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法． 6.定积分212x e dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰（）A. 21e +B. 21e e -+C. 22ln 2e +D.22ln 2e e -+【答案】D 【解析】【分析】由题设条件，求出被积函数的原函数，求出定积分的值即可.【详解】解：由题意得：()222112d 2ln 2ln 2x xe x e xe e x ⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭⎰,故选D.【点睛】本题主要考查定积分的计算，相对简单，需牢记定积分中求原函数的公式.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.116πB.73π C.136πD.83π 【答案】C 【解析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积2211131211326V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.8.下列证明中更适合用反证法的是（）A. 证明()*1111223(1)1n n n n n ++⋯+=∈⨯⨯⨯++NB. 是无理数C. 证明44cos sin cos 2x x x -=D. 已知1tan 12tan xx-=+，证明3sin 24cos2x x =-【答案】B 【解析】【分析】对选项进行分析，选项A 可用数学归纳法或者裂项相消法证明，选项B 适合于反证法，选项C 可用二倍角余弦公式证明，选项D 可先计算tan x 的值，代入计算可得证明，综合可得答案. 【详解】解：选项A，可得()*1111111(1...)1223(1)223n n n n n n ++⋯+=-+-+-⨯⨯⨯+++N ，适合直接证明；选项B 并不适合直接证明，适合反证法；选项C ，可得442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2x x x x x x x -=+-=，适合直接证明；选项D ，可得1tan 2x =-，将右边式子化简可得证明，也适合直接证明；所以选项B 的证明更适合用反证法，故选B.【点睛】本题主要考查直接证明和反证法的相关知识，及数列，三角函数的相关知识，需知道反证法适用的场所.9.某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50，100]内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为（）A. 81.5B. 82C. 81.25D. 82.5【答案】C 【解析】【分析】由中位数两边数据的频率和均为0.5，列出方程计算可得答案. 【详解】解：因为(0.0050.0150.025)100.450.5,(0.0050.0150.0250.040)100.850.5++⨯=<+++⨯=>，所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在[80，90）之间。

云南省楚雄彝族自治州数学高二下学期理数期中联合考试试卷

云南省楚雄彝族自治州数学高二下学期理数期中联合考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）顶点在原点，且过点（-4,4）的抛物线的标准方程是（）A .B .C . 或D . 或2. （2分） (2019高二上·哈尔滨期末) 已知命题：，则（）A .B .C .D .3. （2分）命题“若A=B，则sinA=sinB”的逆否命题是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则4. （2分）设双曲线的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2-bx-c=0的两个实根分别为x1和x2 ，则点P（x1 ， x2）（）A . 在圆x2+y2=8外B . 在圆x2+y2=8上C . 在圆x2+y2=8内D . 不在圆x2+y2=8内5. （2分）设x∈R，则“x=1”是“x3=x”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）以下说法错误的是（）A . 直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是B . 直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是C . 平面内两个非零向量的夹角的取值范围是D . 空间两条直线所成角的取值范围是7. （2分）若是空间的一个基底，，，，，，则x，y，z的值分别为（）A . ，-1，-B . ,1，C . - ，1，-D . ，1，-8. （2分）(2018高二上·浙江月考) 已知是椭圆和双曲线的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为 , 则下列关系正确的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二上·洮北期中) 过点P(2,2)作抛物线的弦AB,恰好被P平分，则弦AB所在的直线方程是（）A . x-y=0B . 2x-y-2=0C . x+y-4=0D . x+2y-6=010. （2分）设集合，，则A∩B的子集的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 111. （2分）(2017·衡阳模拟) 设F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为（）A .B . 2C . 3D . 412. （2分）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）给出下列命题，其中正确的命题是________ （把所有正确的命题的选项都填上）．①函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称．②在R上连续的函数f（x）若是增函数，则对任意x0∈R均有f′（x0）＞0成立．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．④若P为双曲线x2﹣=1上一点，F1、F2为双曲线的左右焦点，且|PF2|=4，则|PF1|=2或6⑤已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1 ， x2 ，若|x1﹣x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为．14. （1分） (2015高二下·伊宁期中) 若 =（1，1，0）， =（﹣1，0，2），则与 + 同方向的单位向量是________．15. （1分）若点（3，1）是抛物线y2=2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=________16. （1分）椭圆的两焦点为，一直线过交椭圆于、，则△ 的周长为________．三、解答题 (共6题；共30分)17. （5分） (2016高二上·江北期中) 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．18. （5分）已知命题命题，若命题“ ”是真命题，求实数的取值范围．19. （5分）在三棱锥O﹣ABC中，已知侧棱OA，OB，OC两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形ABC 是锐角三角形．20. （5分）(2017·高台模拟) 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1 ， F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1 ， C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21. （5分）(2018·攀枝花模拟) 如下图,四梭锥中, ⊥底面 ,, 为线段上一点， , 为的中点.(I)证明: 平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.22. （5分）(2017·临沂模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，抛物线C2：x2=4y的焦点F是C1的一个顶点．（I）求椭圆C1的方程；（II）过点F且斜率为k的直线l交椭圆C1于另一点D，交抛物线C2于A，B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C1于P，Q两点，记直线OM的斜率为k'．（i）求证：k•k'=﹣；（ii）△PDF的面积为S1 ，△QAB的面积为是S2 ，若S1•S2=λk2 ，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共30分)18-1、19-1、20-1、21-1、。

云南高二下学期期中考试数学试题(解析版)

一、单选题1．若，则复数（）()12i 43i z +=+z =A ．B ．C ．D ．2i 5-+2i 5--2i +2i -【答案】D【分析】根据复数除法法则即可求解. 【详解】由得. (12i)43i z +=+43i (43i)(12i)2i 12i (12i)(12i)z ++-===-++-故选：D2．已知集合，，则（） A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩(){}3log 1B x y x ==+A B ⋃=A ． B ． C ． D ．()1,-+∞[)1,-+∞()1,0-(]1,0-【答案】A【分析】求得集合和集合，再根据集合的并运算即可求解.A B 【详解】因为，，{}{}3100xA x x x =->=>{}{}101B x x x x =+>=>-所以. ()1,A B =-+∞ 故选：A3．在“五一”假期，小铭买了1本计算机书，1本文艺书，1本体育书，2本不同的数学书.打算把它们放在同一层书架上，两本数学书放在一起，不同的摆放种数有（） A ．48 B ．96 C ．120 D ．240【答案】A【分析】利用捆绑法计算可得.【详解】将本不同的数学书捆绑在一起，与其余本书全排列，23故有种不同的摆放方法.4242A A 48=故选：A4．如图，在边长为2的正三角形中，、依次是、的中点，，ABC E F AB AC AD BC ⊥EH BC ⊥，，、、为垂足，若将正三角形绕旋转一周，则其中由阴影部分旋转形FG BC ⊥D H G ABC AD 成的几何体的体积（）V =ABCD【答案】C【分析】根据题意分析可得由阴影部分旋转形成的几何体为圆锥中去掉一个圆柱，结合体积公式分析运算.【详解】由题意可得：，1111,,222AD BD HD BD EH AD ======由阴影部分旋转形成的几何体为圆锥中去掉一个圆柱，则几何体的体积2211π1π32V ⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭故选：C.5．如图是杨辉三角数阵.杨辉三角原名“开方作法本源图”，也有人称它为“乘方求廉图”，在我国古代用来作为开方的工具.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，很值得我们中华民族自豪.记为图中第行各个数之和，为的前项和，则（）n a n n S {}n a n 9S =A ．511B ．512C ．1023D ．1024【答案】A【分析】由题意可得，结合等比数列的前项和公式即可求解.12,N *n n a n -=∈n 【详解】由题意可得，0111111C C C 2,N *n n n n n n a n -----=+++=∈ 而，所以数列是等比数列，且首项，公比， 12nn a a -={}n a 11a =2q =所以.991251112S -==-故选：A6．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则22680x y x y +--=()6,2AC BD 四边形的面积为（） ABCDA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由题可得最长弦为直径，最短弦为过且与最长弦垂直的弦，据此可得答案. ()6,2【详解】设圆圆心为M ，则圆M ：，则，半径为.如图，最长弦()()223425x y -+-=()3,4M =5r 为过的直径，长度为10.最短弦为过且与最长弦垂直的弦，设E ，则由垂径定理可()6,2()6,2()6,2得，2BD BE ==又，则.5，BM r ME ====BD =又，则四边形的面积为：AC BD ⊥ABCD 12AC BD ⋅⋅=故选：C7．已知函数，分别与直线交于点，，则的最小值为（）()2e xf x =()1ln 2g x x =+y a =A B AB A ．B ．11ln22-11ln22+C ．D ．12ln22-12ln22+【答案】B【分析】依题意，表示出两点坐标和，构造函数，利用导数研究单调区间和最值.,A B ||AB【详解】由题意，，，其中，且，1ln ,2A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e ,a a B -⎛⎫ ⎪⎝⎭121e ln 2a a ->0a >所以，令，，121e ln 2a AB a -=-121()e ln 2x h x x -=-(0)x >则时，解得，()121e02x h x x--'==12x =所以时，；时，；102x <<()0h x '<12x >()0h x '>则在上单调递减，在上单调递增，()h x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以当时，， 12x =min 2ln 2ln 2122AB +==+故选：B ．8．已知，，，则（） a =b =ln 33c =A ． B ． a c b <<c b a <<C ． D ．b ac <<b<c<a 【答案】C【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，再比较大小即可. ()ln xf x x=【详解】设函数，则，则在上是减函数，()()ln e x f x x x=>()21ln 0xf x x '-=<()f x ()e,+∞又，则，3e 3e <<<()()33e f ff >>又因为，， fa ===()3333ln e 3e e e f ==>()ln 333f c ==所以，即．()()33e f f f b >>>b a c <<故选：C.二、多选题9．十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（）A ．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当B ．在1500米跑项目中，甲的得分比乙的得分高C ．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大D ．甲的各项得分的方差比乙的各项得分的方差小【答案】AC【分析】根据题意，观察雷达图，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由图可知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，所以A 正确；由图可知，在1500米跑项目中，甲的得分比乙的得分低，所以B 错误；甲的各项得分的极差约为，乙的各项得分的极差小于，所以C 正确； 1000470530-=200由图可知，甲各项得分的波动较大，乙各项得分均在，波动较小，故甲的各项得分的方(]600,800差比乙的各项得分的方差大，所以D 错误；故选:AC.10．已知函数在处取得极小值，与此极小值点()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<5π12x =2-最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（） ()f x ,06π⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．将的图象向左平移个单位长度即可()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin2y x =23π得到的图象()f xC ．在区间上单调递减D ．在区间上的值域为 ()f x 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎡-⎣【答案】ACD【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解.【详解】第一步：根据余弦函数的图象与性质求出，，的值，判断A 选项 A ωϕA 选项：由题知，， 2A =设的最小正周期为， ()f x T 则，∴，∴.（三角函数图象的相邻对称中心与对称轴之间的距离为5πππ41264T =-=2ππT ω==2ω=，其中为该三角函数的最小正周期） 4TT ∵，5π5π2cos 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，则，5πcos 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()5ππ2π6k k ϕ+=+∈Z 得，（整体思想）()π2π6k k ϕ=+∈Z 又，∴， 0πϕ<<π6ϕ=∴，故A 正确；()π2π2cos 22sin 263f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第二步：利用三角函数图象的平移变换法则判断B 选项 B 选项：的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到， ()f x 2sin2y x =π3故B 错误；第三步：利用整体思想及余弦函数的图象与性质判断C ，D 选项 C 选项：由得，则在区间上单调递减， π03x <<ππ5π2666x <+<()f x π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭故C 正确；D 选项：∵，∴，∴，π02x ≤<ππ7π2,666x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭πcos 26x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣∴， π2cos 26x ⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭∴在区间上的值域为，故D 正确.()f x π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭[-故选:ACD.11．正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料.正多面体又叫柏拉图多面体，因古希腊哲学家柏拉图及其追随者的研究而得名.最简单的正多面体是正四面体.已知正四面体的ABCD 所有棱长均为2，则下列结论正确的是（） A ．异面直线与所成角为 AC BD 60︒B ．点到平面 A BCDC ．四面体 ABCD D ．四面体的内切球表面积为 ABCD 2π3【答案】BCD【分析】由题画出图形，证明，可知A 错；直接求出到平面的距离判断B ；求出AC BD ⊥A BCD 正四面体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断C ；根据图形，得出正四面体的内切球半径，进一步求得内切球的表面积判断D.【详解】由题意，四面体为正四面体，ABCD 取底面的中心为，连接并延长，交于， BCD G CG BD E 则为的中点，且，E BD CE BD ⊥连接，则平面，又平面，所以， AG AG ⊥BCD BD ⊂BCD AG BD ⊥又，平面，AG CE G = ,AG CE ⊂ACG 所以平面，又平面，所以，故A 错； BD ⊥ACG AC ⊂ACG AC BD ⊥由四面体的所有棱长为，得，223CG CE ==2AC =，故B 正确； AG ∴==设四面体的外接球的球心为，半径为，ABCD O R连接，则，解得， OC 222R R ⎫=+⎪⎪⎭R =则四面体的外接球的体积为，故C 正确； ABCD 34π3⨯=根据对称性，正四面体的外接球和内切球球心均是， O 设正四面体内切球半径为，则， r OG r =又，OC =23CG CE ==所以, 222216OG r OC CG ==-=则四面体的内切球表面积为.故D 正确. ABCD 12π4π63⨯=故选：BCD12．已知双曲线：与椭圆的焦点相同，双曲线的左右焦点分E ()222210,0x y a b a b -=>>22195x y +=E 别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴相交于点，1F 2F 2F E P Q 1PF y A 2PAF △的内切圆与边相切于点.若，则下列说法错误的有（） 2AF B 1AB =A ．双曲线E B ．双曲线的方程为E 2213y x -=C ．若，则的内切圆面积为12PF PF ⊥2PAF △316πD ．过点与双曲线有且仅有一个交点的直线有3条 ()1,1E 【答案】ACD【分析】设、与的内切圆分别相切与两点，可得1PF 2PF 2PAF △M N 、，且，由双曲线定义和离心率公式可判断A B ；22,1,PM PN AM AB F N F B ====12AF AF =设，则，，由可得，再由2PF m =12PF m =+124F F =2221212PF PF F F +=m，即内切圆的半径可判断C ；当过点的直线与轴垂直()1,1x 时，其方程为，与双曲线方程联立可得可得直线与双曲线有一个交点；当过点1x =0y =1x =E的直线与轴不垂直时，设其方程，与双曲线方程联立分()1,1x ()11y k x -=-k =k =可解得与双曲线有一个交点；当时，由x =()11y k x -=-E 230k -≠Δ0=得，此时可得直线与双曲线有两个交点可判断D 错误；1k =-±()11y k x -=-E【详解】如图，设、与的内切圆分别相切与两点， 1PF 2PF 2PAF △M N 、所以，且， 22,1,PM PN AM AB F N F B ====12AF AF =因为122a PF PF =-，可得，222PM AM AB F B PN F N =+++--=1a =双曲线：与椭圆的焦点相同，E ()222210,0x y a b a b -=>>22195x y +=所以，可得，所以双曲线的离心率为，故A 错误；222954c b a =+=-=23b =E 2ca =所以双曲线的方程为，故B 正确；E 2213y x -=对于C ，若，设，则，， 12PF PF ⊥2PF m =12PF m =+124F F =由可得，解得，2221212PF PF F F +=()22216m m ++=1m =可得 2221,111PA PM AF F B F N =+=+=+=由得22222PA PF AF +=())2211PM ++=，即内切圆的半径为 r =则的内切圆面积为故C 错误；2PAF △2π对于D ，当过点的直线与轴垂直时，其方程为，与双曲线方程联立 ()1,1x 1x =，可得，即直线与双曲线有一个交点； 22131y x x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩0y =1x =E 当过点的直线与轴不垂直时，设其方程为，与双曲线方程联立()1,1x ()11y k x -=-可得， ()221311y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩()()2222222730k k k x k x k ---+-=+当，解得k =(6730x-+-=x =当，解得k =(6730x +--=x =此时可得直线与双曲线有一个交点；()11y k x -=-E 当即时，由得230k -≠k ≠()()()22222242730k k k k k ----=- ，可得与双曲线有两个交点；综上所2702k k -=+1k =-±()11y k x -=-E 述，过点与双曲线有且仅有一个交点的直线有4条，故D 错误； ()1,1E 故选：ACD.三、填空题13．已知二项式，则展开式中的常数项为___________.61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】20-【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可直接求出结果.61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】二项式的展开式的通项公式为，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()6626611rr r r r r C x C x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭领，则展开式中的常数项为， 3r =()336120C -=-故答案为：.20-14．某班宣传小组有2名男生和3名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知有女生的条件下，2名都是女生的概率为______. 【答案】13【分析】设出事件，利用条件概率公式求出答案.【详解】设挑选参加小剧场演出的2人有女生为事件，则，A ()112233C C C 9n A =+=设挑选参加小剧场演出的2名都是女生为事件，则，B ()23C 3n B ==则已知有女生的条件下，2名都是女生的概率为. ()()13n B P n A ==故答案为：1315．对于非零向量，，定义.若a btan<,>a b a b a b ⊕=⋅⋅a b a ⊕=+______. tan<,>a b =【答案】【分析】根据定理可得，代入即可求解.tan ,a b <>= 54a b ⋅= 【详解】∵∴tan ,a b a b a b ⊕=⋅⋅=tan ,a b <>= 由可得，a b b +=-= 22222321a a b b a a b b ⎧+⋅+=⎪⎨⎪-⋅+=⎩ 两式相减得，∴． 12a b⋅= tan ,a b <>== 故答案为:16．已知函数的定义域为，且，，则()f x R ()()()()f x y f x y f x f y ++-=()11f =()231k f k ==∑______. 【答案】2-【分析】利用已知条件变换先计算周期，算出一个周期内的值，然后()()()()++-=f x y f x y f x f y 根据周期性求结果即可.【详解】因为，由， (1)1f =()()()()++-=f x y f x y f x f y 令,则 1y =(1)(1)()(1),f x f x f x f ++-=即①， (1)(1)()f x f x f x ++-=所以②，(2)()(1)f x f x f x ++=+①②相加得：，(2)(1)0(3)()0f x f x f x f x ++-=⇒++=，(3)()f x f x +=-所以， (6)(3)()f x f x f x +=-+=所以函数的一个周期为6，令，则，1,0x y ==(1)(1)(1)(0)(0)2f f f f f +=⇒=令，则， 1,1x y ==(2)(0)(1)(1)(2)1f f f f f +=⇒=-又， (3)()f x f x +=-所以， (3)(0)2f f =-=-，(4)(1)1f f =-=-，(5)(2)1f f =-=，(6)(3)2f f =-=所以 ()()()()()()1234561121120f f f f f f +++++=---++=所以有由周期性得：()()231()(1)(2)(3)(23)3(1)(2)6(1)(2)5k f k f f f f f f f f f f ==++++=+++++++⎡⎤⎣⎦∑ 112112=---+=-故答案为：.2-四、解答题17．已知函数（，为自然对数的底数）在处的切线与轴平行. ()21e 2xf x a x x =-+R a ∈e 0x =x (1)求在处的切线方程；()f x 0x =(2)若有两个零点，求的取值范围.()()212F x f x x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭m 【答案】(1) 1y =(2) ()1,+∞【分析】（1）求导得到切线斜率，进而得到切线方程；（2）参变分离，转化为函数的图象与函数的图象有两个交点，求导得到()e xh x x =-y m =的单调性和图象性质，求出答案.()e x h x x =-【详解】（1），()e 1xa x f x ='-+由已知得，得，()010f a =-='1a =则，所以 ()21e 2xx f x x =-+()01f =所以在处的切线方程是.()f x 0x =1y =（2），()()21e 2xF x f x x m x m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭由，可得，令，()0F x =e x m x =-()e xh x x =-所以函数有两个零点等价于函数的图象与函数的图象有两个交点，()F x ()e xh x x =-y m =因为，()e 1xh x '=-令可得，令可得，()0h x '>0x >()0h x '<0x <所以在上单调递减，在上单调递增， ()h x (),0∞-()0,∞+所以，又趋向正负无穷时都趋向， ()()01h x h ≥=x ()h x +∞故实数的取值范围是.m ()1,+∞18．已知数列满足，. {}n a 11a =()1212n n a a n -=+≥(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； {}1n a +{}n a (2)设，求数列的前项和.n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2) ()()112122n n n n T n ++=-+-【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得{}1n a +1n a +n a ；（2）利用分组求和法和错位相减法可得. 【详解】（1）∵， ()1112221n n n a a a --+=+=+又∵，112a +=∴数列是首项为2，公比为2的等比数列. {}1n a +∴，11222n n n a -+=⨯=∴；21nn a =-（2）由题意.2nn n b na n n ==-则123(1222322)(123)nn T n n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+++⋅⋅⋅+,()()123112223222n n n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-设，① 1231222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯则，②()23121222122n n n S n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯①②得：-()23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⨯()1212212n n n +-=-⨯-112242n n n ++=+--⨯,()1212n n +=--∴,()1212n n S n +=-+∴. ()()()11121222n n n n n n n T S n +++=-=-+-19．在如图所示的一个组合体中，平面为直角梯形，其中，，ABCD AB CD ∥AB AD ⊥CD AD⊥，四边形为矩形，平面平面，，且为的中点.CDEF CDEF ⊥ABCD 112AB AD CD ===M EA(1)若，求证：平面；1ED =⊥AE MDC (2)若矩形为正方形，求二面角的余弦值. CDEF E MF D --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由可知，再通过证明平面可得，然后根据ED AD =DM AE ⊥CD ⊥EAD AE CD ⊥线面垂直判定定理可得；（2）以点为坐标原点，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用法D ,,DA DC DE向量求解可得.【详解】（1）∵，为的中点， 1ED AD ==M AE ∴，MD AE ⊥∵平面为矩形， CDEF ∴，CD ED ⊥又∵，，平面， CD AD ⊥⋂=ED AD D ,ED AD ⊂EAD ∴平面， CD ⊥EAD 又∵平面， EA ⊂EAD ∴，EA CD ⊥又∵，，平面， CD MD D ⋂=CD MD ⊂MDC 故平面；⊥AE MDC （2）因为平面平面，且平面平面，，平面CDEF ⊥ABCD CDEF ABCD DC =ED DC ⊥ED ⊂，CDEF 则平面，ED ⊥ABCD 故以点为坐标原点，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，D ,,DA DC DE则，，，，，()1,0,0A ()0,2,0C ()0,0,2E ()0,2,2F 1,0,12M ⎛⎫⎪⎝⎭所以，，，，1,0,12EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()0,2,0= EF 1,0,12DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,2,2DF =设平面的法向量为， EMF (),,m x y z =则，即， 00m EM m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 10220x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩令，则，2x =1z =故，()2,0,1m =设平面的法向量为，DMF (),,n a b c = 则，即， 00n DM n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 102220a c b c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令，则，，1c =2a =-1b =-故，()2,1,1=-- n 所以cos ,m nn m m n ⋅===由图可知，二面角为锐二面角， E MF D --故二面角E MF D --20．在①，②点是线段的中点，且，③点在线段上，且3sin sin 2B C +=N AC 1BN = M AC ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. ABM CBM =∠∠CM AM =已知中，内角A ，，所对的边分别为、、，. ABC A B C a b c ()()12cos 24sin sin A B A B B-++=(1)求A 的大小；(2)若外接圆的面积为，且______，求的面积. ABC A πABC A 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)3A π=.【分析】（1）利用结合余弦差角公式可得答案；()si n si n π-,πx x A B C =++=（2）由正弦定理，可得.若选①，利用正弦定理可得，后由余弦定理结合1a R ==3b c +=可得，即可得答案；若选②，分别在，中利用余弦定理可得答案；若选③，cos A bc ABC A ABN A 利用角平分定理结合余弦定理可得答案. 【详解】（1）因为，可得()()12cos 24sin sin A B A B B-++=，()()4sin sin 12cos 212cos 12cos cos 2sin sin C B C B B B C B C B C π=---+=+-=++可得，即，2sin sin 2cos cos 1C B C B -=()1cos 2B C +=-可得，即，而，所以.1cos 2A -=-1cos 2A =()0,πA ∈3A π=（2）设三角形的外接圆的半径为，则由题意可得，可得， R 2ππR =1R =再由正弦定理可得，即22sin a R A ==π2sin 3a ==若选①∵， 3sin sin 2B C +=由正弦定理得：. 3232b c R +=⨯=由余弦定理可得，2222cos3b c bc π=+-即， 2223()393b c bc b c bc bc =+-=+-=-∴，所以. 2bc =11sin 222ABC S bc A ==⨯=△若选②设，在中， AN NC x ==ABC A由余弦定理得，222422cos x c x c A =+-⨯⨯即（I ）22342x c cx =+-在中，由余弦定理得，ABN A 22212cos3x c x c π=+-⨯⨯即（II ） 221x c cx =+-由（I ）（II ）得：.1c x ==又由余弦定理可得， 22222312cos a b c bc A b b b =+-⇒=+-⇒=同上可得ABC A若选③点在线段上，且， M AC ABM CBM =∠∠CM AM =由角平分线的性质可得， AM c CM a ==a =2c =再由余弦定理可得， 2222cos a b c bc A =+-即，解得， 2342b b =+-1b =同上可得ABC A21．已知函数21()ln 2(0).2f x x x mx m =+->（1）判断函数的单调性；()f x （2）若函数有极大值点，求证：. ()f x x t =2ln 1t t mt >-【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【分析】（1）对求导，得到，然后判断的根的情况，得到的正负，然()f x ()f x '()0f x '=()f x '后得到的单调性；（2）由（1）可得，且，由()f x 1m >(0,1)t m =得，所以只需证，令，221()0,t mt f 't t-+==212t m t +=32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈3()2ln 2h x x x x x =--+，利用导数研究出的单调性和最值，结合，得到时，，从而得以0x >()h x (1)0h =(0,1)x ∈()0h x >证明.【详解】（1）由题意，知，对于方程，， 221()(0)x mx f 'x x x-+=>221=0x mx -+24(1)m ∆=-①当时，，，在上单调递增. 01m <≤24(1)0m ∆=-≤()0f 'x ≥()f x (0,)+∞②当时，令，则，， 1m >()0f 'x =1x m =2x m =当，函数单调递增； 0x m <<()0f 'x >()f x当时，，函数单调递减， m x m <<()0f 'x <()f x当，函数单调递增. x m >+()0f 'x >()f x 综上所述，当时，在上单调递增；01m <≤()f x (0,)+∞当时，在，上单调递增，在上单调1m >()f x (0,m ()m ++∞(m m 递减.（2）由（1）可知当时，在取得极大值，1m >x m =()f x所以函数的极大值点为，则．()f x x m =(0,1)t m =由得，221()0,t mt f 't t-+==212t m t +=要证， 2ln 1t t mt >-只需证，2ln 10t t mt -+>只需证， 221ln 102t t t t t+-⋅+>即， 32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈令，， 3()2ln 2h x x x x x =--+0x >则， 2()2ln 31h'x x x =-+令，，2()2ln 31x x x ϕ=-+0x >则，2226()6x 'x x x xϕ-=-=当，单调递增； 0x <<'()0x ϕ>)'(h x当，单调递减， x >'()0x ϕ<)'(h x， max ()0h'x h'==所以，在上单调递减，又， '()0h x <()h x (0,)+∞(1)0h =故时，， (0,1)x ∈32ln 20x x x x --+>又，则， (0,1)t ∈32ln 20t t t t --+>从而可证明.2ln 1t t mt >-【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数证明不等式，涉及分类讨论的思想，属于难题.22．在平面直角坐标系中，已知点，点满足以为直径的圆均与轴相切，记xoy ()1,0F M MF y M 的轨迹为. C (1)求的方程；C (2)设不经过原点的直线与抛物线交于、两点，设直线、的倾斜角分别为和，证O l P Q OP OQ αβ明：当时，直线恒过定点. π4αβ+=l 【答案】(1) 24y x =(2)证明见解析【分析】（1）设，化简即可； (),M x y （2）设，，直线的方程为，联立抛物线方程消元得()11,P x y ()22,Q x y l y kx m =+2440ky y m -+=，由结合韦达定理可求得，从而可证明.()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅44m k =+【详解】（1）设(),M x y 的中点为，其坐标为，到轴的距离为， MF G 1,22x y G +⎛⎫⎪⎝⎭G y 12x +则由题意可知，点满足以为直径的圆均与轴相切，则， M MF y 12x +=化简可得. 24y x =所以的方程为.C 24y x =（2）根据题意，设，，易知直线的斜率存在， ()11,P x y ()22,Q x y l 假设直线的方程为，l y kx m =+与抛物线方程联立得，， 224404y kx mky y m y x =+⎧⇒-+=⎨=⎩，即， 16160mk ∆=->1mk <由韦达定理可得，，，124y y k+=124m y y k =∴则， ()2221212121221422444y y m x x y y y y k k⎡⎤+=+=+-=-⎣⎦2221212244y y m x x k =⋅=∴，121212164OP OQ y y kk k x x y y m ⋅=⋅==， ()121212121224OP OQ kx x m x x y y k k x x x x m+++=+==又因为，， tan OP k α=tan OQ k β=所以，，4tan tan mαβ+=4tan tan km αβ⋅=所以当时，， 4παβ+=()4tan tan tan 141tan tan 1m k m αβαβαβ++===-⋅-解得，44m k =+所以直线的方程即为：，l ()4444y kx k y k x =++⇔-=+即得直线恒过定点.l ()4,4-【点睛】思路点睛:与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题。