广东省东莞市学年高二数学上学期期末试卷(B卷)理(含解析)

广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（B卷）（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“若x＞2015，则x＞0”的否命题是（）A．若x＞2015，则x≤0B．若x≤0，则x≤2015C．若x≤2015，则x≤0D．若x＞0，则x＞20152．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在△A BC中，角 A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45°，B=60°，则b=（）A．2B．2C．2D．4．（5分）抛物线y2=16x的准线方程为（）A．y=4 B．y=﹣4 C．x=﹣4 D．x=45．（5分）已知等比数列{a n}，a1=1，a3=，则a5=（）A．±B．﹣C．D．±6．（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣7．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．8．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．9．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A．B．C．D．10．（5分）当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）已知向量=（2，﹣1，1），=（t，1，﹣1），t∈R，若∥，则t=．12．（5分）不等式组表示的平面区域的面积是．13．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=．14．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．（用区间表示）三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）在△A BC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．16．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣4a）（x﹣a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？18．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且有a1=1，S n+1=a n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，其前n项和为 T n，求证：≤T n＜1．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D．（1）求椭圆的方程；（2）求+的值；（3）求|AB|+|CD|的最小值．广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（B卷）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“若x＞2015，则x＞0”的否命题是（）A．若x＞2015，则x≤0B．若x≤0，则x≤2015C．若x≤2015，则x≤0D．若x＞0，则x＞2015考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：否命题是既否定题设又否定结论，从而得到答案．解答：解：命题“若x＞2015，则x＞0”的否命题是：若x≤2015，则x≤0，故选：C．点评：要将命题的否定和否命题区分开来，本题属于基础题．2．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，解答：解：若a=2，则（a﹣2）（a+4）=0，是充分条件，若（a﹣2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．3．（5分）在△A BC中，角 A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45°，B=60°，则b=（）A．2B．2C．2D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得b=，代入已知即可求值．解答：解：由正弦定理可得：b===2．故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．4．（5分）抛物线y2=16x的准线方程为（）A．y=4 B．y=﹣4 C．x=﹣4 D．x=4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，则抛物线y2=16x的准线方程即可得到．解答：解：由抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，则抛物线y2=16x的准线方程为x=﹣4．故选C．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．5．（5分）已知等比数列{a n}，a1=1，a3=，则a5=（）A．±B．﹣C．D．±考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得a32=a1•a5，代值计算可得．解答：解：∵等比数列{a n}，a1=1，a3=，∴a32=a1•a5，∴=1×a5，解得a5=故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．6．（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线的方程，求出渐近线方程，可得a=2b，a2+b2=100，解方程即可得到双曲线的方程．解答：解：设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则渐近线方程为y=x，则有=，c=10，a2+b2=100，解得a2=80，b2=20，即有双曲线的方程为﹣=1．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．7．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a3=3，∴1+2d=3，解得d=1，∴a n=1+（n﹣1）=n．∴=，∴数列{}的前10项和=+…+=1﹣=．故选：A．点评：本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于解出题．8．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．考点：基本不等式；等比数列的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解答：解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．9．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题．分析：由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．解答：解：由题意=++=+﹣+=﹣++﹣=﹣++又=，=，=∴=﹣++故选B．点评：本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．10．（5分）当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线、椭圆的离心率计算公式计算即得结论．解答：解：设双曲线C的方程为﹣=1，则e==，∴b2=2a2，∴双曲线C的“伴生椭圆”方程为：+=1，∴“伴生椭圆”的离心率为==，故选：D．点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）已知向量=（2，﹣1，1），=（t，1，﹣1），t∈R，若∥，则t=﹣2．考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：空间向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵∥，∴，解得t=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．12．（5分）不等式组表示的平面区域的面积是4．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据图象即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由解得，即A（2，2），由，解得，即B（2，﹣2），则三角形的面积S=，故答案为：4点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形面积的求解，比较基础．13．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=31．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得（1+d）2=1×（1+5d），解得d由等差数列的通项公式可得．解答：解：∵等差数列{a n}，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a6成等比数列，∴a22=a1•a6，代入数据可得（1+d）2=1×（1+5d），解得d=3，或d=0（舍去）∴a11=a1+10d=1+10×3=31故答案为：31点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的通项公式，属基础题．14．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（1，+∞）．（用区间表示）考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：根据题意，写出命题p的否定命题，利用p与￢p真假相反得到￢p为真命题，再应用判别式求出a的取值范围．解答：解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，当命题p是假命题时，命题￢p：∀x∈R，x2+2x+a＞0是真命题；即△=4﹣4a＜0，∴a＞1；∴实数a的取值范围是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）在△A BC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由已知可先求sinB的值，由ac=35，即可根据面积公式求S△ABC的值．（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosC的值，即可求出C的值．解答：解：（1）∵cosB=，且B∈（0，π），∴sinB==，又ac=35，…（3分）∴S△ABC=acsinB==14．…（6分）（2）由ac=35，a=7，得c=5，…（7分）∴b2=a2+c2﹣2accosB=49+25﹣2×=32，∴b=4，…（9分）∴cosC===…（10分）又C∈（0，π）…（11分）∴C=．…（12分）点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．16．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣4a）（x﹣a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）将a=1代入，求出q为真时x的范围，从而求出p且q为真时x的范围；（2）q是p的充分不必要条件，则B⊊A，得到不等式组，解出即可．解答：解：（1）由（x﹣4a）（x﹣a）＜0得a＜x＜4a，当a=1时，1＜x＜4，即p为真命题时，实数x的取值范围是1＜x＜4，由x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3．所以q为真时实数x的取值范围是1≤x≤3，若p∧q为真，则1＜x≤3，所以实数x的取值范围是（1，3]，（2）设A={x|a＜x＜4a}，B={x|1≤x≤3}，q是p的充分不必要条件，则B⊊A，所以⇒＜a＜1，所以实数a的取值范围是（，1）．点评：本题考查了复合命题的判断，考查了充分必要条件问题，是一道基础题．17．（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，建立目标函数和约束条件，利用线性规划进行求解即可．解答：解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则…（1分）…①…（5分）目标函数为z=0.3x+0.2y，…（6分）不等式组①等价于可行域如图所示，…（9分）当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数z取最小值．…（10分）解方程组得M的坐标（75，225）…（12分）所以z max=0.3×75+0.2×225=67.5．…（13分）答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元．…（14分）点评：本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键．18．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．解答：解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1．∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1CN===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（﹣，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）．显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且有a1=1，S n+1=a n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，其前n项和为 T n，求证：≤T n＜1．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用当n=1时，a2=S1+1=a1+1；当n≥2时，S n+1=a n+1（n∈N*），S n﹣1+1=a n，两式相减得a n+1=2a n，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知，可得b n==，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，即可得出．解答：（1）解：当n=1时，a2=S1+1=a1+1=2；当n≥2时，S n+1=a n+1（n∈N*），S n﹣1+1=a n，两式相减得，a n=a n+1﹣a n，即a n+1=2a n，又a2=2a1，∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）证明：由（1）知，∴b n==，∴T n=+…+，∴=+…++，∴=++…+﹣，∴T n=…+﹣=﹣=，∵T n+1﹣T n==＞0，∴T n+1＞T n，∴T n是递增的，又T1=，∴≤T n＜1．点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推式的意义、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D．（1）求椭圆的方程；（2）求+的值；（3）求|AB|+|CD|的最小值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过椭圆的定义直接计算可得结论；（2）椭圆的右焦点为F2（1，0），分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论即可；（3）通过+=，利用基本不等式计算即得结论．解答：解：（1）由椭圆的定义可知：2a=|MF1|+|MF2|=+=4，∴a=2，由c=1得：b=，故椭圆的方程为：+=1；（2）椭圆的右焦点为F2（1，0），分两种情况讨论如下：1°．当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，∴+=；2°．当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则CD：y=﹣（x﹣1）．又设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y并化简得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，∴|AB|==•=•=，∴+==，综上所述，+为定值；（3）解：由（II）知+=，∴|AB|+|CD|=（|AB|+|CD|）（+）=（++）≥（+2）=，当且仅当=，即|AB|=4、|CD|=3时取等号，∴|AB|+|CD|的最小值为．点评：本题考查椭圆与直线方程，利用用韦达定理是解题的关键，需要较强的计算能力，属于中档题．。