生产与存贮问题

数学建模
题目：生产与存贮问题
姓名：李媛媛
学号： 200911010013
班级： 09级信息与计算科学
指导老师：苏婷刘肖云
2012-5-20
摘要
生产与存贮理论是当今管理科学中一个十分引人注目的问题,特别是自本世纪五十年代以来,国内外许多经济学家、数学家对其做了较为深入的探讨,获得了可喜的成果,并得到更广泛的应用。

一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。

相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。

因此,合理利用库存调节产量，满足需求是十分有益的，所谓生产问题，就是一个生产部门如何在已知生产成本，库存费用和各阶段市场需求条件下，决定各阶段产量，使得计划期内费用最小。

本模型特点是未知量较多，但有限制条件，可以用动态规划方法求解，在动态模型中以时期为阶段，取各是期初的库存量为为状态量，选各阶段产量为决策量，在确定决策变量时，一般要考虑需求量、生产能力、库存限制等因素、指标函数、单位产品耗费工时，。

关键字：生产与存贮动态规划需求量库存限制生产能力
假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。

但由于生产条件的变化,该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。

今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示: 月份( k)： 1 2 3 4 5 6
月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4
单位工时(ak)： 11 18 13 17 20 10
设库存容量H = 9,开始时库存量为2,期终库存量为0。

要求制定一个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗费工时数最少。

1.问题分析
此题是生产与存贮问题，最终目的是安排合理的生产计划来达到总的费用最小。

所以要搞清总费用：
=
总费用+
总的生产耗费
总的存贮耗费
2.模型假设
（1）存贮耗费跟生产耗费都用工时衡量。

（2）每月存贮的产品在下个月保持满足每月需求的情况下必须用完。

（3）每月库存量包括月初库存（即上月的剩余量）和月末库存（本月剩余量）。

3.符号说明
第k个月生产单位产品耗费工时Ck (k=1,2,3,4,5,6)
第k个月月初库存量Xk (k=1,2,3,4,5,6)
第k个月生产量为Uk (k=1,2,3,4,5,6)
第k个月的需求量为dk (k=1,2,3,4,5,6)
第k个月至第6个月末最小费用为fk (Xk) (k=1,2,3,4,5,6)
4.模型建立与求解
按月份划分阶段k=1,2，3,4,5,6
取阶段初库存量为状态变量Xk ；决策变量Uk 为k 阶段内生产量。

状态转移方程为
1k k k k X X U d +=+-,(k=1,2,3,4,5,6) 11k k k k k d X X U d H ++≤=+-≤,(k=1,2,3,4,5,6)
所以 1max{0,}k k k k k k d d X U H d X ++-≤≤+-
则动态规划基本方程为
1
()min{()}k k k k k k k Uk Dx
f X C U X U f
+∈=+
+
7
7
()0f x =，(k=1,2,3,4,5,6)
1）k=6
由题知，期终库存量为0，则
x6660u d +-=,64d = ,64x6u =- ,
6(6)6610(46)
40106
f x c u x x =⨯=⨯-=-⨯
2）k=5
注意：4660x u -=≥,所以x6≤4,x6=x555u d +-≥d6,5d =7; 所以1155115x u x -≤≤-,取u5115x =-
()()()5555662054010557220205,u5115f x c u f x u x u x x =⨯+=⨯+-+-=-⨯=-
3）k=4
注意：d55444H x x u d ≤=+-≤即,42,d = 所以 944114x u x -≤≤-
944114
944114
4(4)min {445(5)}
min {17422020(442)}
x u x x u x f x c u f x u x u -≤≤--≤≤-=⨯+=⨯+-⨯+-
=
944114
min {34204260}x u x u x -≤≤--⨯-⨯+
=3(114)26080227174x x -⨯-+-=-⨯
4114u x =-
4）k=3
注意：44333d x x u d H ≤=+-≤,42,d =33,d = 即533123,x u x -≤≤-
533123
533123533123
3(3)min {334(4)}
min {13322717(333)}min
{43173278}
133230
x u x x u x x u x f x c u f x u x u u x x -≤≤--≤≤--≤≤-=⨯+=⨯+-⨯+-=
-⨯-⨯+=-⨯+
3123u x =- 5）k=2
注意：33222d x x u d H ≤=+-≤， 所以822142x u x -≤≤-
822142
822142822142
2(2)min {223(3)}
min {18223013(222)}min
{52132295}
335182
x u x x u x x u x f x c u f x u x u d u x x -≤≤--≤≤--≤≤-=⨯+=⨯+-⨯+-=
⨯-⨯+=-⨯
282u x =- 6）k=1
注意：2820,28,18,12u x x d x =-≥≤==
221118d x x u d ≤=+-≤ 所以11114u ≤≤，
11114
1111411114
(1)min {112(2)}
min {11133518(111)}
min {71443}345
u u u f x c u f x u x u d u ≤≤≤≤≤≤=⨯+=⨯+-⨯+-=-⨯+=
114u =
半年内每月生产计划如下：
第一个月： 14 第二个月 0 第三个月 9 第四个月 2 第五个月 2 第六个月 0
半年内每月库存量如下：
第一个月： 2
第二个月 8
第三个月 3
第四个月 9
第五个月 9
第六个月 4
总费用最少为(1)345
f x
5.结果分析与检验
检验：xi分别取6，5，5，6，1，4等级组数据时，M都大于345。

由结果可以看出，与实际情况并不太相符，因为第2，6月的生产量为0，此结果可能是题目中的数据不是根据真实数据采集得来的。

6.优缺点
此模型优点将实际问题转化为动态规划问题，极为方便易算，缺点是分析过程繁琐。

改进：可以根据实际情况把生产量的增加跟成本费的关系考虑进去，优化模型。

参考文献
一刘会灯、朱飞《MATLAB编程基础与典型应用》人民邮电出版社2008.7.1 二薛定宇《高等应用数学问题的MATLAB求解》清华大学出版社2008.10.1 三姜启源、谢金星、叶俊《数学建模》高等教育出版社2003.8.3 四郑汉鼎、刘家壮、刘桂真、才在筠《运筹学》高等教育出版社2004.7.1 五李敏《数学研究及应用》2003年第02期
六钱季伟《数学通报》1999年第04期
七黄洁纲周士榕《数学的实践与认识》1980年第03期。