浙江中考数学一轮复习8-10单元

合集下载

浙江省中考数学一轮复习专题练习8 三角形(2) 浙教版-浙教版初中九年级全册数学试题

三角形（2）班级某某学号一、选择题1.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．102.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或114.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF5.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对6.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A． B． C． D．7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE8.如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠AC D．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是（）A．4 B． C．3 D．29.如图，一X三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A 落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P 的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小二、填空题11.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=度．12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是．13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，则BD的长为_______．14.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为；④AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE，其中所有正确结论的序号是．15.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论：①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三、解答题16.如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=，FG=．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．18.如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B 处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？19.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）20.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）21.如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．23.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥C A．①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，=1，CE=，求的值．24.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案详解一、选择题2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．4.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DE C．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选（B）5.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C．6.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A． B． C． D．【考点】角平分线的性质；特殊角的三角函数值．【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A，再由特殊角的三角函数的定义求得结论．【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠OBC+∠OCB）=180°﹣2×=180°﹣2×=60°，∴tanA=tan60°=，故选A．7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．【分析】过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC，设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE的关系．【解答】解：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB===2，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴，设BE=x，则AE=2，即，解得x=，∴，∴CE=，故选B．8.如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠AC D．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是（）A．4 B． C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴=，∴CD=，BD=BC﹣CD=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B．9.如图，一X三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A 落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）图1，根据折叠得：DE是线段AC的垂直平分线，由中位线定理的推论可知：DE是△ABC 的中位线，得出DE的长，即a的长；（2）图2，同理可得：MN是△ABC的中位线，得出MN的长，即b的长；（3）图3，根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即c的长．【解答】解：第一次折叠如图1，折痕为DE，由折叠得：AE=EC=AC=×4=2，DE⊥AC∵∠ACB=90°∴DE∥BC∴a=DE=BC=×3=第二次折叠如图2，折痕为MN，由折叠得：BN=NC=BC=×3=，MN⊥BC∵∠ACB=90°∴MN∥AC∴b=MN=AC=×4=2第三次折叠如图3，折痕为GH，由勾股定理得：AB==5由折叠得：AG=BG=AB=×5=，GH⊥AB∴∠AGH=90°∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB∴△ACB∽△AGH∴=∴=∴GH=，即c=∵2＞＞∴b＞c＞a故选（D）10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P 的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小【考点】动点问题的函数图象．【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，∴AB===2，设PD=x，AB边上的高为h，h==，∵PD∥BC，∴=，∴AD=2x，AP=x，∴S1+S2=•2x•x+（2﹣1﹣x）•=x2﹣2x+4﹣=（x﹣1）2+3﹣，∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选C．二、填空题11.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=46 度．【考点】旋转的性质．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACA′=67°，再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，得到△ABC≌△A′B′C，证明∠BCB′=∠ACA′，利用平角即可解答．【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA，即∠BCB′=∠ACA′，∴∠BCB′=67°，∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°，故答案为：46．12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 5 ．【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB===10，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD=AB=5．故答案为5．13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，则BD的长为_______．【考点】相似三角形，勾股定理【答案】241【解析】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC ＝5，又CD＝10，DA＝55，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD，则CH ＝6，DH＝8，∴BD＝228241（4+6）．+=14.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为；④AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE，其中所有正确结论的序号是①②③④．【考点】勾股定理；四点共圆．【分析】①正确．由ADO≌△CEO，推出DO=OE，∠AOD=∠COE，由此即可判断．②正确．由D、C、E、O四点共圆，即可证明．③正确．由S△ABC=×1×1=，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=S△ABC即可解决问题．④正确．由D、C、E、O四点共圆，得OP•PC=DP•PE，所以2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，由△OPE∽△OEC，得到=，即可得到2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可证明．【解答】解：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，在△ADO和△CEO中，，∴△ADO≌△CEO，∴DO=OE，∠AOD=∠COE，∴∠AOC=∠DOE=90°，∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，∴D、C、E、O四点共圆，∴∠CDE=∠COE，故②正确．③正确．∵AC=BC=1，∴S△ABC=×1×1=，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=S△ABC=，故③正确．④正确．∵D、C、E、O四点共圆，∴OP•PC=DP•PE，∴2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE，∴△OPE∽△OEC，∴=，∴OP•OC=OE2，∴2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，∵CD=BE，CE=AD，∴AD2+BE2=2OP2+2DP•PE，∴AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE．故④正确．15.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论：①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是①②③④．（填写所有正确结论的序号）【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】①正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．②正确．只要证明四边形ABDF是平行四边形即可．③正确．只要证明△BCE≌△FD C．④正确．只要证明△BDE∽△FGE，得=，由此即可证明．【解答】解：①正确．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵DE=DC，∴△DEC是等边三角形，∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，∵EF=AE，∴△AEF是等边三角形，∴AF=AE，∠EAF=60°，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF，故①正确．②正确．∵∠ABC=∠FDC，∴AB∥DF，∵∠EAF=∠ACB=60°，∴AB∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB=BC，故②正确．③正确．∵△ABE≌△ACF，∴BE=CF，S△ABE=S△AFC，在△BCE和△FDC中，，∴△BCE≌△FDC，∴S△BCE=S△FDC，∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF，故③正确．④正确．∵△BCE≌△FDC，∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，∴△BDE∽△FGE，∴=，∴=，∵BD=2DC，DC=DE，∴=2，∴FG=2EG．故④正确．三、解答题16.如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD=∠CEB，∴AF∥CE．17.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=，FG=．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，则=， =，即=， =，解得：AB=99，答：“望月阁”的高AB的长度为99m．18.如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B 处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=x．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC===2x，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴=，解得a=1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．19.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD=150°，∴∠DCF=30°，又CD=4，∴DF=2，CF==2，由题意得∠E=30°，∴EF==2，∴BE=BC+CF+EF=6+4，∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，答：电线杆的高度为（2+4）米．20.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【考点】解直角三角形．【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．21.如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE===4，∴CD=2DE=8．22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BF D．（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴=1，∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴==1，∴BF=AC=3．23.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥C A．①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，=1，CE=，求的值．【考点】三角形综合题．【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF≌S△DEF，则易得S△ABC=4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到==，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出的值．【解答】解：（1）如图①，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=；（3）如图③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．24.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB•OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐标为（﹣2，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直线BD的解析式为：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3，∴tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P与E重合，∴P的坐标为（﹣3，0），当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为﹣，令x=﹣代入y=x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，∴x=3，∴P2（3，3+），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．。

人教版中考数学第一轮复习第八章统计与概率

第八章统计与概率第二十七讲数据的收集与处理【基础知识回顾】一、数据的收集方式。

1、全面调查（普查）：是为了一定的目的对考察对象进行的全面调查，其中所要考查对象的称为总体，组成总体的考查对象称为个体2、抽样调查（抽查）：是指从总体中抽取对象进行调查，然后根据调查数据推理全体对象的情况，其中，被抽取的那些组成一个样本，样本中的数目叫做样本容量。

【名师提醒：1、对被考查对象进行全面调查还是抽样调查要根据就考查对象的特点而选择，例如：当被考查对象数量有限时可采取，当受条件限制无法对所有个体都进行调查或调查具有破坏性时，应采用，然后用样本估计总体的情况。

2、注意：被考察对象不是笼统的某人某物，而是某人某物的某项指标。

】二、统计图：1、统计图是表示统计数据的图形，是数据及其关系的直观表现的反映，几种常见的统计图有统计图统计图统计图2、频数分布直方图：⑴频数：在统计数据中落在不同小组中的个数，叫做频数⑵频率：=⑶绘制频数直方图的步骤：a：计算与的差，b：决定和c：确定分点d：列出f：画出【名师提醒：1、各类统计图的特点：条形统计图可以反映折线统计图能够显示从扇形统计图能够看出，扇形的圆心角=3600×2、频数分布直方圆中每个长方形的高是所有小长方形高的和为】【典型例题解析】1.以下问题，不适合用全面调查的是（）A．了解全班同学每周体育锻炼的时间B．旅客上飞机前的安检C．学校招聘教师，对应聘人员面试D．了解全市中小学生每天的零花钱2.为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有条鱼．3.2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：频率分布表分数段频数频率50.5-60.5 16 0.0860.5-70.5 40 0.270.5-80.5 50 0.2580.5-90.5 m 0.3590.5-100.5 24 n（1）这次抽取了名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ，n= ；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？第二十八讲数据分析【基础知识回顾】一、数据的代表：1、平均数：⑴算术平均数如果有n个数x1 ,x2 ,x3 …xn那么它们的平均数x=⑵加权平均数：若在一组数据中x1出现f1次，x2出现f2次...... xk出现fk次,则其平均数x= （其中f1+ f2+...... fk=n）2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在或叫做这组数据的中位数。

2023年中考数学一轮复习满分突破专题10 分式方程【题型方法解密】

专题10分式方程【考查题型】【知识要点】解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。

2）解整式方程。

3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。

分式的化简求值：1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0； 2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。

分式方程解决实际问题的步骤：1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5）写答案考查题型一解分式方程题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程322x x =-的解是（） A ．2x =B ．6x =-C ．6x =D ．2x =-题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程2101x -=-的解是（）A ．1x =B ．2x =-C ．3x =D ．3x =-题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______．题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程()21522x x x x +=-的解为________．题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x，则x 的值为___________．题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：22430x x x x-=+-．题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24133x x -=--题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程：241244x x x x -=--+．易错点总结：考查题型二根据分式方程解的情况求值题型2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（） A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2题型2-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的分式方程：121222k x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（） A ．2k < B ．2k <且0k ≠ C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠题型2-2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数，则m 的取值范围是（） A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠题型2-3．（2022·重庆·中考真题）关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．13B ．15C ．18D ．20题型2-4．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y ay y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．－26 B ．－24 C ．－15 D ．－13题型2-5．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的方程111(1)x ax x x x ++=++的解为负数，则a 的取值范围是__________．易错点总结：考查题型三分式方程无解的情况题型3．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x 的方程221mx x =+无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4题型3-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x 的分式方程2233x a x x++=--无解，则a 的值为（） A ．3B ．0C ．1-D ．0或3题型3-2．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x 的分式方程322x mx x -=--有增根，则m 的值是（） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2题型3-3．（2021·西藏·中考真题）若关于x 的分式方程21x x -﹣1＝1m x -无解，则m ＝___．易错点总结：考查题型四列分式方程题型4．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x 万人，根据题意，所列方程正确的是（） A ．3030201.2x x -= B ．3030 1.220x x -=- C ．3030201.2x x-= D ．30301.220x x-=- 题型4-1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x 元，则下列方程中正确的是（） A ．2000020000(115%)10x x ⨯-=-B ．2000020000(115%)10x x ⨯-=- C ．2000020000(115%)10x x ⨯-=+D ．2000020000(115%)10x x⨯-=+ 题型4-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min 后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km ，根据题意，所列方程正确的是（） A ．60x ﹣601.5x ＝3060 B ．601.5x ﹣60x ＝3060 C ．60x ﹣601.5x＝30 D ．601.5x ﹣60x＝30题型4-3．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（）A．363024x x=⨯-B．363024x x=⨯+C．363024x x=⨯-D．363024x x=⨯+题型4-4．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（）A．4271100%14.0%4271x-⨯=-B．4271100%14.0%4271x-⨯=-C．4271100%14.0%xx-⨯=-D．4271100%14.0%xx-⨯=-题型4-5．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是（）A．144963030v v=+-B．1449630v v=-C．144963030v v=-+D．1449630v v=+题型4-6．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A．1.482.413xx-=-B．1.482.413xx+=+C．1.4282.4213xx-=-D．1.4282.4213xx+=+题型4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min．．．到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h ．．．．，则依题意可列方程为（） A ．6110334x x+= B ．6102034x x+= C ．6101343x x -= D ．6102034x x-= 题型4-8．（2022·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N 95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N 95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N 95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x 元，则列方程正确的是（） A ．960010x -＝1600xB ．960010x +＝1600xC ．9600x ＝160010x - D ．9600x ＝1600x+10 题型4-9．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（） A ．0.9850.75x ⨯= B ．0.9850.755x ⨯=+ C ．0.7550.98x ⨯=D ．0.7550.985x⨯=- 题型4-10（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量 D ．篮球的数量题型4-11（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（） A ．900900213x x =⨯+- B ．900900213x x ⨯=+- C ．900900213x x =⨯-+ D ．900900213x x ⨯=-+ 题型4-12．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x 米/分，那么x 满足的分式方程为__________．易错点总结：考查题型五分式方程的实际应用题型5．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．题型5-1．（2022·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？题型5-2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？题型5-3．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？题型5-4．（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？题型5-5．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？题型5-6．（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小题型5-7．（2022·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？题型5-8．（2022·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？题型5-9．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．题型5-10．（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．题型5-11．（2022·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．考查题型一解分式方程题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程322x x =-的解是（） A ．2x = B ．6x =- C ．6x = D ．2x =-题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程2101x -=-的解是（） A ．1x = B ．2x =- C ．3x = D ．3x =-题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______．【答案】7题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝11a b-，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为_____．题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程211x x-=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程()22x x x x +=-的解为________．【答案】4x =【提示】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解故答案为：4x =【名师点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314x x -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4x x x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-去分母得：3-x +2(x -4)=0，去括号得：3-x +2x -8=0，解得：x =5，经检验，x =5是方程的解，故答案为：5．【名师点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x ，则x 的值为___________．【答案】12-##0.5-题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：22430x x x x -=+-．【答案】7x =【提示】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【名师点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24133x x -=-- 【答案】5x =【提示】先方程两边同时乘以(3)x -，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以(3)x -得到：324x -+=，解出：5x =，当5x =时分式方程的分母不为0，∴分式方程的解为：5x =．【名师点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程：241244x x x x -=--+．考查题型二根据分式方程解的情况求值题型2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（） A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2 【答案】D【提示】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x -1，得2x +a =x -1．解得：x =-a -1且x 为正数．所以-a -1＞0，解得a ＜-1，且a ≠-2.（因为当a =-2时，方程无意义）．故答案为：D【名师点拨】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a ≠-2这个信息．题型2-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的分式方程：121222k x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠题型2-2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠关于题型2-3．（2022·重庆·中考真题）关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．13B ．15C ．18D ．20题型2-4．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．－26B ．－24C ．－15D ．－13【答案】D 【提示】根据不等式组的解集，确定a ＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a ＜1，根据分式方程的增根，确定a ≠-2，计算即可．题型2-5．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的方程1(1)x x x x +=++的解为负数，则a 的取值范围是__________．关于考查题型三分式方程无解的情况题型3．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程221mx x=+无解，则m的值为（）A．0B．4或6C．6D．0或4原方程无解，题型3-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x的分式方程2233x ax x++=--无解，则a的值为（）A．3B．0C．1-D．0或3故选：C ．【名师点拨】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．题型3-2．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x 的分式方程322x m x x -=--有增根，则m 的值是（） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2题型3-3．（2021·西藏·中考真题）若关于x 的分式方程21x x -﹣1＝1m x -无解，则m ＝___．考查题型四列分式方程题型4．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（）A．3030201.2x x-=B．30301.220x x-=-C．3030201.2x x-=D．30301.220x x-=-【详解】解：实际每天接种人数是原计划的又结果提前题型4-1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x 元，则下列方程中正确的是（）A．2000020000(115%)10x x⨯-=-B．2000020000(115%)10x x⨯-=-C．2000020000(115%)10x x⨯-=+D．2000020000(115%)10x x⨯-=+的关键．题型4-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30D．601.5x﹣60x＝30题型4-3．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（）A．363024x x=⨯-B．363024x x=⨯+C．363024x x=⨯-D．363024x x=⨯+题型4-4．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（）A．4271100%14.0%4271x-⨯=-B．4271100%14.0%4271x-⨯=-C．4271100%14.0%xx-⨯=-D．4271100%14.0%xx-⨯=-题型4-5．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是（）A．144963030v v=+-B．1449630v v=-C．144963030v v=-+D．1449630v v=+题型4-6．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A．1.482.413xx-=-B．1.482.413xx+=+C．1.4282.4213xx-=-D．1.4282.4213xx+=+题型4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min．．．到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h．．．．，则依题意可列方程为（）A．6110334x x+=B．6102034x x+=C．6101343x x-=D．6102034x x-=题型4-8．（2022·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（）A ．960010x -＝1600x B ．960010x +＝1600x C ．9600x ＝160010x - D ．9600x ＝1600x+10题型4-9．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（）A ．0.9850.75x ⨯=B ．0.9850.755x ⨯=+C ．0.7550.98x ⨯=D ．0.7550.985x⨯=-题型4-10（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（） A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量题型4-11（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900900213x x=⨯+-B．900900213x x⨯=+-C．900900213x x=⨯-+D．900900213x x⨯=-+题型4-12．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．【名师点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．考查题型五分式方程的实际应用题型5．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．题型5-1．（2022·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？【答案】(1)笔记本每本12元，钢笔每支10元题型5-2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？【答案】(1)篮球的单价为110元，排球的单价为80元(2)最多购买6个篮球【提示】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买排球y个，则购买篮球（20-y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．。

浙江省2013年中考数学第一轮复习第八章统计与概率第2讲常见的统计图

1．某初中学校共有学生 720 人，该校有关部门从全体学生中随机抽取了 50 人对其到校方式进行调查，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图，由此可以估计全校坐公交车到校的学生有 216 人．
2．某班数学课代表小华对本班上学期期末考试数学成绩(成绩取整数，满分为 100 分) 作了统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：根据上述信息，完成下列问题： (1)频数、频率统计表中，a＝________，b＝________； (2)请将频数分布直方图补充完整； (3)小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于 80 分的概率是多少？
2013年浙江中考第一轮复习
数学
第2讲常见的统计图
1．(2011· 台州)要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用( A．条形统计图 C．折线统计图答案：C B．扇形统计图 D．频数分布直方图
)
2.(2012· 湖州)如图是七年级(1)班参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，则表示唱歌兴趣小组人数的扇形的圆心角度数是( )
4．频数分布直方图和频数分布表 (1)每个对象出现的次数叫频数； (2)每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度； (3)频数分布表和频数分布直方图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况； (4)频数分布直方图的绘制步骤是：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数； ③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
(1)此次调查抽取了多少用户的用水量数据？ (2)补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25 吨～30 吨”部分的圆心角度数； (3)如果自来水公司将基本用水量定为每户 25 吨，那么该地 20 万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？

中考数学一轮复习专题08 一元二次方程(基础训练)(原卷版)

专题08 一元二次方程【基础训练】一、单选题1．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x ，那么x 满足的方程是（）A ．26.5(1) 5.265x -=B ．26.5(1) 5.265x +=C ．25.265(1) 6.5x -=D ．25.265(1) 6.5x +=2．（2021·辽宁丹东市·中考真题）若实数k 、b 是一元二次方程(3)(1)0x x +-=的两个根，且k b <，则一次函数y kx b =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．（2021·贵州毕节市·中考真题）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．（2021·贵州毕节市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2410ax x --=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．4a ≥-B ．4a >-C ．4a ≥-且0a ≠D ．4a >-且0a ≠ 5．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（） A ．()2418x -=B ．()2414x -= C ．()2864x -= D ．()241x -= 6．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()50712833.6x +=B ．()50721833.6x ⨯+=C ．()25071833.6x +=D ．()()250750715071833.6x x ++++= 7．（2021·山东临沂市·中考真题）方程256x x -=的根是（）A ．1278x x ==，B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-， 8．（2021·广西河池市·）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定9．（2021·山东滨州市·中考真题）下列一元二次方程中，无实数根的是（）A ．2230x x --=B ．2320x x ++=C ．2210x x -+=D ．2230x x ++=10．（2021·贵州遵义市·）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0 11．（2021·湖南湘潭市·）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程得（）A ．()2100164x -=B ．()2100164x += C ．()1001264x -= D ．()1001264x += 12．（2021·山东潍坊市·）若菱形两条对角线的长度是方程x 2﹣6x +8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A B ．4 C ．25 D ．513．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·）若关于x 的一元二次方程26=0x ax -+ 的一个根是2，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．514．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A ．1281x +=B ．2181x +=C ．2181x x ++=D ．1(1)81x x x +++= 15．（2021·辽宁大连市·中考真题）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x ，根据题意，可列方程为（）A ．()5001800x +=B ．()50012800x +=C ．25001800()x +=D ．()25001800x += 16．（2021·广西贵港市·中考真题）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x ，则年平均增长率x 应满足的方程为（）A ．2800(1)968x -=B ．2800(1)968x +=C ．2968(1)800x -=D ．2968(1)800x +=17．（2021·广西贵港市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋k －3＝0的两个实数根分别为12,x x ，且22125x x +=，则k 的值是（）A ．－2B ．2C ．－1D ．118．（2021·四川雅安市·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（）A ．6B ．12C ．12D ．6 19．（2021·山东菏泽市·）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥ 20．（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x ，下面所列方程正确的是（）A ．()2500014050x +=B ．()2405015000x += C ．()2500014050x -= D ．()2405015000x -= 21．（2021·吉林长春市·中考真题）关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A ．8B ．9C ．10D ．1122．（2021·山东济宁市·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．202223．（2021·黑龙江中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A ．14B ．11C ．10D ．924．（2021·湖南张家界市·中考真题）对于实数,a b 定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222⨯-⨯==☆，则方程12x =☆的根的情况为（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根25．（2021·海南中考真题）用配方法解方程2650x x -+=，配方后所得的方程是（） A ．2(3)4x +=- B ．2(3)4x -=- C ．2(3)4x += D ．2(3)4x -= 26．（2021·广西玉林市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程：2x 2x m 0-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ，则（）A ．120x x +<B ．120x x <C ．121x x >-D ．121x x <27．（2021·山东聊城市·）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（） A ．2或4 B ．0或4 C ．﹣2或0 D ．﹣2或228．（2021·湖南怀化市·）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根29．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个 30．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（）A ．7-B ．3-C ．2D ．531．（2021·浙江台州市·中考真题）关于x 的方程x 2-4x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞4D ．m ＜4二、填空题32．（2021·山东济南市·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x a +-=的一个根是2，则另一个根是__________．33．（2021·辽宁锦州市·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2＋2x ﹣k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________．34．（2021·江苏南通市·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2310x x +-=的两个实数根，则3231m m n m +-的值为___________． 35．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）实数m ，n 是一元二次方程2320x x -+=的两个根，则多项式mn m n --的值为____．36．（2021·四川成都市·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2210x x +-=的两个实数根，则242m m n ++的值是______．37．（2021·四川雅安市·中考真题）已知一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n ，则11m n+的值为______．三、解答题38．（2021·辽宁沈阳市·）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？39．（2021·江苏徐州市·中考真题）（1）解方程：2450x x --=（2）解不等式组：213238x x x -≤⎧⎨+>+⎩40．（2021·山东淄博市·）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．解答过程中可直接使用表格中的数据哟！（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．41．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于x的一元二次方程2220x mx m m+++=有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为1x、2x，且221212x x+=，求m的值．42．（2021·山西中考真题）2021☆7☆1☆☆☆100☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆65☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆43．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）解方程：(7)8(7)x x x-=-．44．（2021·江苏无锡市·中考真题）（1）解方程：2(1)40x；（2）解不等式组：231,1 1.3xxx-+≤⎧⎪⎨-<+⎪⎩45．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：a 是不等式()()528617a a -+<-+的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程2210x ax a +++=．46．（2021·山东菏泽市·）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？47．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程()()2333x x -=-的过程如下框：答过程．48．（2021·湖南常德市·中考真题）解方程：220x x --=49．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）解方程：2(2)x x x -=-．。

浙江省中考数学一轮复习专题练习10 压轴题(1) 浙教版-浙教版初中九年级全册数学试题

压轴题（1）班级某某学号一、选择题1.在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或102.若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．35.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定6.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④tan∠CAD ＝2．其中正确的结论有( ) A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个第10题图FEDB CA7.如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO =4，tan ∠BAO =2，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．88.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S 1，S 2，则S 1：S 2等于（）A ．1：B ．1：2C ．2：3D ．4：99.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2017个白色纸片，则n 的值为（）A ．671B ．672C ．673D ．67410.如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3； ③3a +c ＞0④当y ＞0时，x 的取值X 围是﹣1≤x ＜3 ⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是_____________．第14题图EOBCD12.如图，直线y ＝x ＋b 与直线y ＝kx ＋6交于点P (3，5)，则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋6的解集是_____________．13.在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=．（结果保留根号）14.如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OB n的对角线交点的坐标为．三、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．17.某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？18.已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n 均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值X围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．19.如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．20.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？21.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、（－1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．24.如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．答案详解一、选择题【考点】一元二次方程的解．【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）=a2x02+2ax0+1﹣1+ac=a（ax02+2x0）+ac=﹣ac+ac=0，∴M=N，故选：B．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD=DE=BD，∵BC=3，∴CD=DE=1，故选A．4.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE=BD=×3=3，故选D．5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】设ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，由二次函数的图象可知x 1+x 2＞0，a ＞0，设方程ax 2+（b ﹣）x +c =0（a ≠0）的两根为a ，b 再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，∵由二次函数的图象可知x 1+x 2＞0，a ＞0，∴﹣＞0．设方程ax 2+（b ﹣）x +c =0（a ≠0）的两根为a ，b ，则a +b =﹣=﹣+，∵a ＞0，∴＞0， ∴a +b ＞0．故选C ．6.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④tan∠CAD ＝2．其中正确的结论有( )A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个第10题图F D B A【知识点】特殊平行四边形——矩形的性质、相似三角形——相似三角形的判定与性质、锐角三角函数——锐角三角函数值的求法【答案】B. 【解析】∵矩形ABCD 中，∴AD ∥BC .∴△AEF ∽△CAB ….......................①正确；∵△AEF ∽△CAB ，∴AF CF ＝AE BC ＝12，∴CF ＝2AF ……………………………②正确；过点D 作DH ⊥AC 于点H .易证△ABF ≌△CDH (AAS ).∴AF ＝CH .∵EF ∥DH ,∴AF FH ＝AEED ＝1.∴AF ＝FH .∴FH ＝CH .∴DH 垂直平分CF .∴DF ＝DC . ……………………………………………③正确；第10题答案图G HF E D ACB设EF ＝1，则BF ＝2.∵△ABF ∽△EAF .∴AF EF ＝BFAF .∴AF ＝EF •BF ＝1×2＝ 2.∴tan∠ABF ＝AF BF ＝22.∵∠CAD ＝∠ABF ，∴tan∠CAD ＝tan∠ABF ＝22.…………④错误. 故选择B.7.如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO =4，tan ∠BAO =2，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【分析】先根据S △ABO =4，tan ∠BAO =2求出AO 、BO 的长度，再根据点C 为斜边A ′B 的中点，求出点C 的坐标，点C 的横纵坐标之积即为k 值．【解答】解：设点C 坐标为（x ，y ），作CD ⊥BO ′交边BO ′于点D ，∵tan ∠BAO =2，∴=2，∵S△ABO=•AO•BO=4，∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A′O′B，∴AO=A′0′=2，BO=BO′=4，∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD=A′0′=1，BD=BO′=2，∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2，∴k=x•y=3•2=6．故选C．．8.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【考点】正方形的性质．【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．9.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A．671 B．672 C．673 D．674【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3X；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3X；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3X；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（X），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．10.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为负数可得到3a+c＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的X围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x =1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x =﹣=1，即b =﹣2a ，而x =﹣1时，y ＜0，即a ﹣b +c ＜0，∴a +2a +c ＜0，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．故选B ．二、填空题11.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是_____________．第14题图EO B A CD【知识点】直线射线和线段——垂线段最短、图形的相似——平行线分线段成比例定理、平行四边形——平行四边形的性质、【答案】4.【解析】根据“垂线段最短”，可知：当OD ⊥BC 时，OD 最短，DE 的值最小.当OD ⊥BC 时，OD ∥AB .∴CD BD ＝CO OA ＝1.∴OD 是△ABC 的中位线.∴OD ＝12AB ＝2.∴DE 的最小值＝2OD ＝4.第14题答案图EOCABD12.如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________．【知识点】一次函数——一次函数与一元一次不等式【答案】x＞3.【解析】由图象得到直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6的交点P(3，5)，在点P(3，5)的右侧，直线y ＝x＋b落在直线y＝kx＋6的上方，该部分对应的x的取值X围为x＞3,即不等式x＋b＞kx＋6的解集是x＞3．13.在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=．（结果保留根号）【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．【解答】解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=9，∴直角三角形ABE中，BE==，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG=∠DEF∵AD∥BC∴∠G=∠DEF∴∠BEG=∠G∴BG=BE=由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC∵BG=BC+CG∴=9+2x+x解得x=∴BC=9+2（﹣3）=故答案为：14.如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB==2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OB n的对角线交点的坐标为（﹣，）．【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得B n的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA=2，OC=1．∵点B的坐标为（﹣2，1），∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2××，1××），∴B n（﹣2×，1×），∵矩形A n OB n的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），故答案为：（﹣，）．三、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．【考点】切线的判定．【专题】计算题；与圆有关的位置关系．【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA 为直径，即可得证；（2）由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的长，进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的长，由BG+GC求出BC的长，再由三角形BEF与三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的长即可．【解答】（1）证明：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，则AC为圆O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，∴四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴=，即=，解得：OA=，∴AB=+10=，连接EF，∵BF为圆的直径，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF∥AC，∴=，即=，解得：BE=12．17.某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论；（2）根据题意得（+）×40=，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到=，即可得到结论．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得×（30+15）+×15=，解得：x=450，经检验x=450是方程的根，答：乙队单独完成这项工程需要450天；（2）根据题意得（+）×40=，∴a=60m+60，∵60＞0，∴a随m的增大增大，∴当m=1时，最大，∴=，∴÷=7.5倍，18.已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n 均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值X围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可．（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．【解答】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，∴x≥0且x≠1，又∵x=≥0，且≠1，∴解得k≥﹣1且k≠1，又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，∴k≠2，综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），∵x1、x2是整数，k、m都是整数，∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣，∴1﹣为整数，∴m=1或﹣1，∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x1=0，x2=3；把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x1=1，x2=2；（3）|m|≤2不成立，理由是：由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，∵k是负整数，∴k=﹣1，（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，x12+x22═x1x2+k2，（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2，m2﹣4=1，m2=5，m=±，∴|m|≤2不成立．19.如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）在直线y=﹣x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB 的长，从而可用t表示出AF的长；（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到=，可判定△AFG与△AGB 相似；（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．【解答】解：（1）在直线y=﹣x+2中，令y=0可得0=﹣x+2，解得x=2，令x=0可得y=2，∴A为（2，0），B为（0，2）；（2）由（1）可知OA=2，OB=2，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE=t，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=，∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣×=，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE=，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=，又AF•AB=×4=，∴AF•AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；（4）存在，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t=，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2，即y=x2﹣x+．20.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．【解答】解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．21.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标．【解答】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．22.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．【考点】四边形综合题．【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，∴FH=CF•cos30°=（2﹣2）•=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、（－1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．【知识点】平行四边形——平行四边形的性质、旋转——旋转的性质、二次函数——确定二次函数的表达式（待定系数法）、函数与几何动态——运动产生的面积问题及运动产生的特殊四边形问题、分类讨论思想、实际问题与数学建模——函数模型【思路分析】（1）先由OA ′＝OA 得到点A ′的坐标，再用点C 、A 、A ′的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA ′, 过点M 作MN ⊥x 轴，交AA ′于点N ,把△AMA ′分割为△AMN 和△A ′MN , △AMA ′的面积＝△AMA ′的面积＋△AMN 的面积＝12OA ′•MN ,设点M 的横坐标为x ，借助抛物线的解析式和AA ′的解析式，建立MN 的长关于x 的函数关系式，再据此建立△AMA ′的面积关于x 的二次函数关系式，再求△AMA ′面积的最大值以及此时M 的坐标；（3）在P 、N 、B 、Q 这四个点中，B 、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ 作为边、将BQ 作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.【解答】解：(1)∵ ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′OC ′，点A 的坐标是(0，4)，∴点A ′的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(1，4).∵抛物线过点C ，A ，A ′，设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),可得： ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0c ＝416a ＋ 4b ＋c ＝0. 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3c ＝4.∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4.(2)连接AA ′，设直线AA ′的函数解析式为y ＝kx ＋b ，可得⎩⎨⎧0＋b ＝414k ＋b ＝0.解得：⎩⎨⎧k ＝－1b ＝4.∴直线AA '的函数解析式是y ＝－x ＋4.设M (x ，－x 2＋3x ＋4)，S △AMA ′＝12×4×[－x 2＋3x ＋4一(一x ＋4)]＝一2x 2＋8x ＝一2(x －2)2＋8.∴x ＝2时，△AMA ′的面积最大S △AMA ′＝8．∴M (2，6).(3)设P 点的坐标为（x ，－x 2＋3x ＋4），当P 、N 、B 、Q 构成平行四边形时，①当BQ 为边时，PN ∥BQ 且PN ＝BQ ，∵BQ ＝4，∴一x 2＋3x ＋4＝±4.当一x 2＋3x ＋4＝4时，x 1＝0，x 2＝3，即P 1(0,4)，P 2(3，4)；当一x 2＋3x ＋4＝一4时，x 3＝3＋412，x 4＝3－412，即P 3(3＋412,－4)，P 4(3－412，－4)； ②当BQ 为对角线时，PB ∥x 轴，即P 1(0，4)，P 2(3，4);当这个平行四边形为矩形时，即P l (0，4)，P 2(3，4)时，N 1(0，0)，N 2(3，0).综上所述，当P 1(0，4)，P 2(3，4)，P 3(3＋412,－4)，P 4(3－412，－4)时，P 、N 、B 、Q 构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N 1(0，0)，N 2(3，0).24.如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝ 90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD 、AF 上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立．(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请。

2023年中考数学一轮复习第8讲分式方程专题训练(浙江专用)(含解析)

第8讲分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1μ+1ν(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，μ表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则μ=()A．fvf−v B．f−vfv C．fvv−f D．v−ffv2．（2022·金东模拟）众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划多生产2000只，结果提前5天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（）A．1500x+0.2−1500x=5B．1500x=1500x+2000+5C．1500x+2000=1500x+5D．1500x−1500x+0.2=53．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程50002x=4000x﹣30，则方程中x表示（）A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量4．（2022·萧山模拟）师徒两人每小时共加工35个电器零件，徒弟做了120个时，师傅恰好做了160个.设徒弟每小时做x个电器零件，则根据题意可列方程为（）A．120x=16035−x B．12035−x=160xC．120x=16035+x D．12035+x=160x5．（2022·椒江模拟）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务.设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（）A．60x−60×(1+25%)x=10B．60(1+25%)x−60x=10C．60×(1+25%)x−60x=10D．60x−60(1+25%)x=106．（2022·舟山模拟）“五•一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x 人，则所列方程为（） A ．180x−2 ﹣ 180x ＝3B ．180x+2 ﹣ 180x ＝3C ．180x ﹣ 180x−2＝3 D ．180x −180x+2=3 7．（2022·吴兴模拟）某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同.若设该书店第一次购进x 套，根据题意，列方程正确的是（） A ．500x =700x−4B ．500x−4=700xC ．500x =700x+4D ．500x+4=700x8．（2022·衢州模拟）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1+3y−81−y =2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．5B ．8C ．12D ．159．（2022·宁海模拟）分式方程1x−1=x 1−x +2的解为（） A ．x =−1 B ．x =1 C ．x =3D ．x 1=1，x 2=310．（2022·温州模拟）同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x 人参加聚餐，由题意可列方程（）A ．2400x+2=2400x +40B ．2400x+40+40=2400xC ．2400x =2400x−2+40 D ．2400x +40=2400x−2二、填空题11．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是．先化简，再求值： 3−x x−4+1 ，其中 x =解：原式 =3−xx−4⋅(x −4)+(x −4)…①12．（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a ⊗b= 1a+1b．若(x+1) ⊗x= 2x+1x，则x的值为13．（2022·秀洲模拟）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：分式与二次根式(含解析)

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：3分式与二次根式一．选择题（共13小题）1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（） A ．|﹣2|B ．﹣|2|C ．2﹣1D ．（﹣2）02．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u +1v（v ≠f ）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（） A ．fv f−vB ．f−v fvC ．fvv−fD ．v−f fv3．（2022•西湖区校级二模）要使式子√x−53有意义，x 的取值范围是（） A ．x ≤5B ．x ≠5C ．x ＞5D ．x ≥54．（2022•萧山区校级二模）下列计算结果正确的是（） A ．√2+√3=√5 B ．（﹣2）2=−14C ．（a ﹣2）2＝a 2﹣4D ．a 6÷a 3＝a 35．（2022•滨江区二模）下列等式成立的是（） A ．2+3√2=5√2B ．√2×√3=√5C ．√3÷√6=2√3 D ．√(−2)2=26．（2022•吴兴区一模）下列运算正确的是（） A ．2+√2=2√2 B ．4x 2y ﹣x 2y ＝3C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（ab ）3＝a 3b 37．（2022•海曙区校级一模）要使分式√x−5√18−2x有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≥5B ．x ≠9C ．5≤x ≤9D ．5≤x ＜98．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（） A ．√8−√2=√2B ．√(−2)2=−2C ．√6÷√3=√3D ．√2×√3=√59．（2022•奉化区二模）若二次根式√3−x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x ＜3B ．x ＞3C ．x ≠3D ．x ≤310．（2022•鄞州区一模）二次根式√x −3中字母x 的取值范围是（） A ．x ＜3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ≥311．（2022•宁波模拟）要使分式x−7x+2有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≠﹣2B ．x ≠2C ．x ≥7D ．x ≥﹣212．（2022•洞头区模拟）计算2a a+2−a−22+a的结果为（）A ．a +2B ．a ﹣2C ．1D ．a−2a+213．（2022•玉环市一模）小明和小亮期中考试的语文、数学成绩分别都是80分，m 分，到了期末考时，小明期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了20%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为a ．小亮期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了15%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为b ．则（） A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．4a ＝3b二．填空题（共13小题）14．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是．先化简，再求值：3−x x−4+1，其中x ＝★．解：原式=3−xx−4•（x ﹣4）+（x ﹣4）…① ＝3﹣x +x ﹣4 ＝﹣115．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是．16．（2022•衢州）计算（√2）2＝．17．（2022•杭州）计算：√4= ；（﹣2）2＝．18．（2022•瑞安市校级三模）当a =√3+1时，代数式（a ﹣1）2﹣2a +2的值为． 19．（2022•衢江区一模）二次根式√x −4中字母x 的取值范围是． 20．（2022•钱塘区二模）已知√(3+a)2=−3−a ，则a 的取值范围． 21．（2022•金华模拟）如果代数式√x −4有意义，那么实数x 的取值范围是． 22．（2022•景宁县模拟）若分式x+12−x 的值为0，则x ＝．23．（2022•常山县模拟）计算1+2a = ． 24．（2022•柯城区二模）计算：a+b a−b+2a−b a−b= ．25．（2022•温岭市一模）化简：（1+1x+1）•x+1x+2= ． 26．（2022•定海区校级模拟）已知√x 1√x =2，那么√x 2+1x 2−2−√x x 2+2x+1的值等于．三．解答题（共6小题）27．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 28．（2022•仙居县二模）计算：(−2)−2+(√3+12)(√3−12)． 29．（2022•常山县模拟）计算：（1）（2022）0+2sin30°﹣|﹣1|．（2）√27−√2×√6．30．（2022•婺城区校级模拟）先化简，再求值：(1−3x+2)÷x 2−1x 2+2x，从﹣2，0，2中取一个合适的数作为x 的值代入求值．31．（2022•金华模拟）已知a 2+2a ﹣1＝0，求代数式(a 2−1a 2−2a+1−11−a )÷1a 2−a的值．32．（2022•萧山区校级二模）以下是圆圆同学进行分式化简的过程．a+bab ÷（1b −1a）=a+b ab ×（b ﹣a ）=a+b ab •b −a+b ab •a =a+b a −a+b b =b 2+a 2ab ．圆圆的解答过程是否有错误？若存在错误，请写出正确的解答过程．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：3分式与二次根式参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（） A ．|﹣2|B ．﹣|2|C ．2﹣1D ．（﹣2）0【解答】解：A ．根据绝对值的定义，|﹣2|＝2，那么A 符合题意． B ．根据绝对值的定义，﹣|2|＝﹣2，那么B 不符合题意． C ．根据负整数指数幂，2−1=12，那么C 不符合题意． D ．根据零指数幂，（﹣2）0＝1，那么D 不符合题意．故选：A ．2．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f =1u+1v（v ≠f ）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（） A ．fv f−vB ．f−v fvC ．fvv−fD ．v−f fv【解答】解：1f=1u +1v（v ≠f ），1f =1u +1v ，1u =1f−1v， 1u=v−f fv ，u =fvv−f ．故选：C ．3．（2022•西湖区校级二模）要使式子√x−53有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≤5B ．x ≠5C ．x ＞5D ．x ≥5【解答】解：依题意有：x ﹣5≥0，解得x ≥5．故选：D ．4．（2022•萧山区校级二模）下列计算结果正确的是（）A ．√2+√3=√5B ．（﹣2）2=−14C ．（a ﹣2）2＝a 2﹣4D ．a 6÷a 3＝a 3【解答】解：A 、√2与√3不是同类二次根式，故A 不符合题意． B 、原式＝4，故B 不符合题意． C 、原式＝a 2﹣4a +4，故C 不符合题意． D 、原式＝a 3，故D 符合题意．故选：D ．5．（2022•滨江区二模）下列等式成立的是（） A ．2+3√2=5√2B ．√2×√3=√5C ．√3÷1√6=2√3 D ．√(−2)2=2【解答】解：A 、2与3√2不能合并，故A 不符合题意； B 、√2×√3=√6，故B 不符合题意； C 、√31√6=3√2，故C 不符合题意； D 、√(−2)2=2，故D 符合题意；故选：D ．6．（2022•吴兴区一模）下列运算正确的是（） A ．2+√2=2√2 B ．4x 2y ﹣x 2y ＝3C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（ab ）3＝a 3b 3【解答】解：A 、2与√2不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； B 、原式＝3x 2y ，故此选项不符合题意； C 、原式＝a 2+2ab +b 2，故此选项不符合题意； D 、原式＝a 3b 3，故此选项符合题意；故选：D ．7．（2022•海曙区校级一模）要使分式√x−5√18−2x有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≥5B ．x ≠9C ．5≤x ≤9D ．5≤x ＜9【解答】解：根据题意，{x −5≥018−2x ＞0．解得5≤x ＜9．故选：D ．8．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（）A ．√8−√2=√2B ．√(−2)2=−2C ．√6÷√3=√3D ．√2×√3=√5【解答】解：√8−√2=2√2−√2=√2，故选项A 正确，符合题意； √(−2)2=2，故选项B 错误，不符合题意； √6÷√3=√2，故选项C 错误，不符合题意； √2×√3=√6，故选项D 错误，不符合题意；故选：A ．9．（2022•奉化区二模）若二次根式√3−x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x ＜3B ．x ＞3C ．x ≠3D ．x ≤3【解答】解：若二次根式√3−x 在实数范围内有意义，故3﹣x ≥0，解得：x ≤3．故选：D ．10．（2022•鄞州区一模）二次根式√x −3中字母x 的取值范围是（） A ．x ＜3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ≥3【解答】解∵二次根式√x −3有意义， ∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3．故选：D ．11．（2022•宁波模拟）要使分式x−7x+2有意义，x 的取值范围是（）A ．x ≠﹣2B ．x ≠2C ．x ≥7D ．x ≥﹣2【解答】解：分式有意义应满足分母不为0，即x +2≠0，解得：x ≠﹣2．故选：A ．12．（2022•洞头区模拟）计算2a a+2−a−22+a的结果为（）A ．a +2B ．a ﹣2C ．1D ．a−2a+2【解答】解：2aa+2−a−22+a=2a−(a−2)a+2=2a−a+2a+2=a+2a+2=1；故答案为：C ．13．（2022•玉环市一模）小明和小亮期中考试的语文、数学成绩分别都是80分，m 分，到了期末考时，小明期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了20%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为a ．小亮期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了15%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为b ．则（） A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．4a ＝3b【解答】解：依题意得：a =80×20%+10%m 80+m =16+0.1m80+m；b =80×15%+10%m 80+m=12+0.1m80+m ； ∵a ﹣b =16+0.1m80+m −12+0.1m80+m =4+0.1m80+m ＞0， ∴a ＞b ．故选：B ．二．填空题（共13小题）14．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 5 ．先化简，再求值：3−x x−4+1，其中x ＝★．解：原式=3−xx−4•（x ﹣4）+（x ﹣4）…① ＝3﹣x +x ﹣4 ＝﹣1 【解答】解：3−x x−4+1=3−x+x−4x−4 =14−x ，当14−x=−1时，可得x ＝5，检验：当x ＝5时，4﹣x ≠0， ∴图中被污染的x 的值是5，故答案为：5．15．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是 2 ．【解答】解：当a ＝1时，原式=1+11=2．故答案为：2．16．（2022•衢州）计算（√2）2＝ 2 ．【解答】解：原式＝2．故答案是2．17．（2022•杭州）计算：√4= 2 ；（﹣2）2＝ 4 ．【解答】解：√4=2，（﹣2）2＝4，故答案为：2，4．18．（2022•瑞安市校级三模）当a =√3+1时，代数式（a ﹣1）2﹣2a +2的值为 3﹣2√3 ．【解答】解：∵a =√3+1， ∴a ﹣1=√3， ∴（a ﹣1）2﹣2a +2 ＝（√3）2﹣2（√3+1）+2 ＝3﹣2√3−2+2 ＝3﹣2√3，故答案为：3﹣2√3．19．（2022•衢江区一模）二次根式√x −4中字母x 的取值范围是 x ≥4 ．【解答】解：由题意，得x ﹣4≥0，解得x ≥4．故答案是：x ≥4．20．（2022•钱塘区二模）已知√(3+a)2=−3−a ，则a 的取值范围 a ≤﹣3 ．【解答】解：∵√(3+a)2=|3+a|=−3−a ， ∴3+a ≤0， ∴a ≤﹣3，故答案为：a ≤﹣3．21．（2022•金华模拟）如果代数式√x −4有意义，那么实数x 的取值范围是 x ≥4 ．【解答】解：由题意可知：x ﹣4≥0， ∴x ≥4，故答案为：x ≥4．22．（2022•景宁县模拟）若分式x+12−x的值为0，则x ＝ ﹣1 ．【解答】解：根据题意，得x +1＝0．解得x ＝﹣1．当x ＝﹣1时，2﹣x ＝3≠0．故x ＝﹣1符合题意．故答案为：﹣1．23．（2022•常山县模拟）计算1+2a = a+2a．【解答】解：原式=a+2a ，故答案为：a+2a．24．（2022•柯城区二模）计算：a+b a−b+2a−b a−b=3a a−b．【解答】解：原式=a+ba−b +2a−ba−b =a+b+2a−ba−b =3aa−b．故答案为：3a a−b．25．（2022•温岭市一模）化简：（1+1x+1）•x+1x+2= 1 ．【解答】解：原式＝（x+1x+1+1x+1）•x+1x+2=x+1+1x+1•x+1x+2＝1，故答案为：1．26．（2022•定海区校级模拟）已知√x 1√x =2，那么√x 2+1x 2−2−√xx 2+2x+1的值等于15√24．【解答】解：∵√x 1√x=2， ∴两边平方得：x +1x −2√x •√x=4，∴x +1x =4+2＝6，两边平方得：x 2+1x 2+2＝36，∴x 2+1x 2=34， ∵要使分式x +1x有意义，x ≠0，又∵x +1x =6， ∴x x 2+2x+1=1x+2+1x=16+2=18，∴√x 2+1x 2−2−√x x 2+2x+1=√34−2−√18＝4√2−14√2 =15√24，故答案为：15√24．三．解答题（共6小题）27．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【解答】解：（1）观察规律可得：1n =1n+1+1n(n+1)；（2）∵1n+1+1n(n+1)=nn(n+1)+1n(n+1) =n+1n(n+1) =1n ， ∴1n =1n+1+1n(n+1)．28．（2022•仙居县二模）计算：(−2)−2+(√3+12)(√3−12)．【解答】解：原式=14+3−14 ＝3．29．（2022•常山县模拟）计算：（1）（2022）0+2sin30°﹣|﹣1|．（2）√27−√2×√6．【解答】解：（1）原式＝1+2×12−1＝1+1﹣1＝1；（2）原式＝3√3−2√3=√3．30．（2022•婺城区校级模拟）先化简，再求值：(1−3x+2)÷x 2−1x 2+2x ，从﹣2，0，2中取一个合适的数作为x 的值代入求值．【解答】解：(1−3x+2)÷x 2−1x 2+2x =x+2−3x+2•x(x+2)(x+1)(x−1)=x−1x+2•x(x+2)(x+1)(x−1) =x x+1， ∵x ＝﹣2，0时原式无意义，∴x ＝2，当x ＝2时，原式=22+1=23． 31．（2022•金华模拟）已知a 2+2a ﹣1＝0，求代数式(a 2−1a 2−2a+1−11−a )÷1a 2−a 的值．【解答】解：原式＝[(a+1)(a−1)(a−1)2+1a−1]•a （a ﹣1）＝（a+1a−1+1a−1）•a （a ﹣1） =a+1+1a−1•a （a ﹣1）＝a 2+2a ，∵a 2+2a ﹣1＝0，∴a 2+2a ＝1，∴原式＝1．32．（2022•萧山区校级二模）以下是圆圆同学进行分式化简的过程． a+b ab ÷（1b −1a ）=a+b ab ×（b ﹣a ）=a+b ab •b −a+b ab •a =a+b a −a+b b =b 2+a 2ab ．圆圆的解答过程是否有错误？若存在错误，请写出正确的解答过程．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：a+b ab ÷（1b−1a）=a+bab ÷a−bab=a+bab•ab a−b=a+b a−b．。

2014年浙江中考数学第一轮复习课件_第八章统计与概率第1讲数据的收集、整理与描述

浙江三年中考
基础知识梳理
考题类型展示
浙江名师预测
跟踪训练
首页
按ESC退出
浙江三年中考
基础知识梳理
考题类型展示
浙江名师预测
跟踪训练
首页
按ESC退出
1 ．在某次体育测试中，九年级三班 6 位同学的立定跳远成绩 ( 单位： m) 分别为： 1.71,1.85,1.85,1.96,2.10,2.31.则这组数据的众数和极差分别是( ) A．1.85和0.21 C．1.85和0.60 答案：C B．2.31和0.46 D．2.31和0.60
浙江三年中考基础知识梳理考题类型展示Biblioteka 浙江名师预测跟踪训练
首页
按ESC退出
4．方差、标准差与极差－ (1)在一组数据 x1，x 2，x 3，x 4，„，xn 中，各数据与它们的平均数 x 的差的平方的平均 1 －－－数叫做这组数据的方差，即 S 2＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋„＋(xn－ x )2]． n (2) 一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即 S ＝ 1 －－－ [x1－ x 2＋x2－ x 2＋„＋xn－ x 2]. n (3)极差＝最大值－最小值． (4)极差、方差和标准差都用来衡量一组数据的波动大小，方差(或标准差)越大，说明这组数据波动越大．
【思路点拨】普查和抽样调查的概念 → 结合操作性 → 结果
【解析】C A，B 项的调查具有破坏性，不适合普查，D 项数目较多，没有必要采用普查．C 项应对每个旅客是否携带了危禁物品进行调查，属于普查．
浙江三年中考
基础知识梳理
考题类型展示
浙江名师预测

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：二次函数(含解析)

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：8二次函数一．选择题（共14小题）1．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4 2．（2022•宁波）点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（）A ．m ＞2B ．m ＞32C ．m ＜1D ．32＜m ＜2 3．（2022•湖州）将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A ．y ＝x 2+3B ．y ＝x 2﹣3C ．y ＝（x +3）2D ．y ＝（x ﹣3）24．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2与y 轴正半轴的交点为C ，一1＜x 1＜0，x 2＝2，则下列结论正确的是（）A ．b 2﹣4ac ＜0．B ．9a +3b +c ＞0C ．abc ＞0D ．a +b ＞05．（2022•景宁县模拟）关于二次函数y ＝﹣3（x ﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值56．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝2，则下列说法中正确的有（） ①abc ＜0；②4ac−b 24a ＞0；③16a +4b +c ＞0；④5a +c ＞0；⑤方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x ＜﹣1．A．1个B．3个C．4个D．5个7．（2022•温州校级模拟）已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1B．0≤m≤2C．1≤m≤2D．1≤m≤3 8．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（）A．若x1+x2＞1，则y1＞y2B．若x1+x2＜1，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2 9．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④10．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5 11．（2022•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C ．D ．12．（2022•金华模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，与x 轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（其中m ≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个13．（2022•温州）已知点A （a ，2），B （b ，2），C （c ，7）都在抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣2上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（）A ．若c ＜0，则a ＜c ＜bB ．若c ＜0，则a ＜b ＜cC ．若c ＞0，则a ＜c ＜bD ．若c ＞0，则a ＜b ＜c14．（2022•下城区校级二模）关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax +b +1（a •b ≠0）与x 轴只有一个交点（k ，0），下列正确的是（）A ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＞k bB ．若k a ＞k b ，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＜k bD ．若k a ＜k b ，则0＜a ＜1 二．填空题（共6小题）15．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A （2，4）在抛物线y ＝a （x ﹣4）2上，过点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ，点C ，D 在线段AB 上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD 的长为．16．（2022•西湖区校级二模）已知y＝﹣x2+6x+12（﹣7≤x≤5），则函数y的取值范围是．17．（2022•宁波模拟）如图，点P在x轴的负半轴上，⊙P交x轴于点A和点B（点A在点B的左边），交y轴于点C，抛物线y＝a（x+1）2+2√2−a经过A，B，C三点，CP的延长线交⊙P于点D，点N是⊙P上动点，则⊙P的半径为；3NO+ND的最小值为．18．（2022•富阳区一模）已知二次函数y＝（a2+1）x2﹣2022ax+1的图象经过（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），则y1+y32y2（选择“＞”“＜”“＝”填空）．19．（2022•东阳市模拟）抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是．20．（2022•兰溪市模拟）已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣x﹣2a，若这两个抛物线与x 轴共有3个交点，则a的值为．三．解答题（共13小题）21．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？22．（2022•吴兴区校级二模）某公司电商平台在之前举行的商品打折促销活动中不断积累经验，经调查发现，某种进价为a元的商品周销售量y（件）关于售价x（元/件）的函数关系式是y＝﹣3x+300（40≤x≤100），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的一组对应值数据．【周销售利润＝（售价﹣进价）×周销售量】x y W401803600（1）求该商品进价a；（2）该平台在获得的周销售利润额W（元）取得最大值时，决定售出的该商品每件捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求m的最大值．23．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点A与点C．（1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，向上平移n（n＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B与点C，求m，n的值．24．（2022•婺城区模拟）4月16日，婪城区开展全域大规模核酸检测筛查．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟，y是x的二次函数，在90～110分钟，y是x的一次函数．（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式．（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？0）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？时间x（分）0153045759095100110人数y（个）60115160195238240180120025．（2022•吴兴区校级二模）如图1，抛物线y=12x2+bx+c(c＜0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于另一点D，直线BC与AD相交于点M．（1）已知点C的坐标是（0，﹣4），点B的坐标是（4，0），求此抛物线的解析式；（2）若b=12c+1，求证：AD⊥BC；（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线BC上一点，是否存在这样的点P，使得△PGQ是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足∠GQP＝∠OCA，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．26．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．27．（2022•丽水模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上不同的两点．①若y1＝y2，求x1，x2之间的数量关系．②若x1+x2＝2（x1﹣x2），求y1﹣y2的最小值．28．（2022•义乌市模拟）如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求．（1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD 之间的水平距离）．（2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．29．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D 点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a=19时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24）30．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．31．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．32．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．33．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m 的代数式表示n，并求出n的最大值．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：8二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4 【解答】解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，故选：D ．2．（2022•宁波）点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（）A ．m ＞2B ．m ＞32C ．m ＜1D ．32＜m ＜2 【解答】解：∵点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上， ∴y 1＝（m ﹣1﹣1）2+n ＝（m ﹣2）2+n ，y 2＝（m ﹣1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m ﹣2）2+n ＜（m ﹣1）2+n ，∴（m ﹣2）2﹣（m ﹣1）2＜0，即﹣2m +3＜0，∴m ＞32，故选：B．3．（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y＝x2+3．故选：A．4．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标为x1，x2与y轴正半轴的交点为C，一1＜x1＜0，x2＝2，则下列结论正确的是（）A．b2﹣4ac＜0．B．9a+3b+c＞0C．abc＞0D．a+b＞0【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故A错误，不符合题意；由图象可知当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故B错误，不符合题意；∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线与x轴的交点是（x1，0）和（2，0），其中﹣1＜x1＜0，∴对称轴x=−b2a＞0，∴b＞0．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故C错误，不符合题意；∵﹣1＜x1＜0，x2＝2，∴1＜x1+x2＜2，∴12＜x 1+x 22＜1， ∴−b 2a ＞12，∴b ＞﹣a ，即a +b ＞0，故D 正确，符合题意．故选：D ．5．（2022•景宁县模拟）关于二次函数y ＝﹣3（x ﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值5【解答】解：∵y ＝﹣3（x ﹣2）2+5，∴抛物线开口向下，x ＝2时，y 有最大值为y ＝5，故选：C ．6．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝2，则下列说法中正确的有（） ①abc ＜0；②4ac−b 24a ＞0；③16a +4b +c ＞0；④5a +c ＞0；⑤方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x ＜﹣1．A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0，又−b 2a=2，所以b ＝﹣4a ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴b 2﹣4ac ＞0，∵a ＜0，∴4ac−b 24a ＞0，故②正确；∵16a +4b +c ＝16a ﹣16a +c ＝c ＞0，∴16a +4b +c ＞0，故③正确；当x ＝5时，y ＝25a +5b +c ＜0，∴25a ﹣20a +c ＜0，∴5a +c ＜0，故④错误；∵抛物线对称轴为直线x ＝2，其中一个交点的横坐标在4＜x ＜5，∴方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣1＜x ＜0，故⑤错误．故选：B ．7．（2022•温州校级模拟）已知函数y ＝x 2﹣2x +3，当0≤x ≤m 时，有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（）A ．m ≥1B ．0≤m ≤2C ．1≤m ≤2D ．1≤m ≤3【解答】解：如图所示，∵二次函数y ＝x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，当y ＝3时，x ＝0或2，∵当0≤x ≤m 时，y 最大值为3，最小值为2，∴1≤m ≤2．故选：C ．8．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（）A．若x1+x2＞1，则y1＞y2B．若x1+x2＜1，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2【解答】解：∵y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，∴抛物线对称轴为直线x=−m+1+m2=12，开口向下，当x1+x2＝1时，点A（x1，y1），B（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，即y1＝y2，∴当x1+x2＞1时，点A到抛物线对称轴的距离小于点B到抛物线对称轴的距离，∴y1＞y2，故选：A．9．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1，则−a2=1，解得a＝﹣2，∵函数的图象经过点（3，0），∴3a+b+9＝0，解得b＝﹣3，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；故命题②③④都是正确，①错误，故选：A．10．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴−m2×1=2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故选：D．11．（2022•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，A选项不符合题意；B选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线开口向下，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，B选项符合题意；C选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，C选项不符合题意；D选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线应该开口向下，一次函数y＝0时，x＞0，即−ba＞0，抛物线的对称轴−b2a＞0，D选项不符合题意；故选：B．12．（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴右侧，函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确，符合题意；②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；③∵函数图象的对称轴为x＝1，∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，∵x＝0时，y＞0，∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；④∵函数图象的对称轴为x＝1，∴−b2a=1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＝0，∴﹣2a+2b﹣2c＝0，∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＝0，故④错误，不符合题意；⑤∵函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＝1时，函数值取得最大值，∴a+b+c＞m（am+b）+c，∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意，∴正确的结论有3个，故选：A．13．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜cC．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；故选：D．14．（2022•下城区校级二模）关于x的二次函数y＝ax2+2ax+b+1（a•b≠0）与x轴只有一个交点（k ，0），下列正确的是（）A ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＞k bB ．若k a ＞k b ，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＜k bD ．若k a ＜k b ，则0＜a ＜1 【解答】解：∵关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax +b +1（a •b ≠0）与x 轴只有一个交点（k ，0），令y ＝0，∴ax 2+2ax +b +1＝0，∴（2a ）2﹣4a （b +1）＝0，∴4a 2﹣4ab ﹣4a ＝0，4a （a ﹣b ﹣1）＝0，∵关于x 的二次函数，∴a ≠0，∴a ﹣b ﹣1＝0，∴a ＝b +1，∴（b +1）x 2+2（b +1）x +b +1＝0，∵因为方程有两个相等的实数根，∴x +x =−2(b+1)b+1=−2，解得x 1＝x 2＝﹣1，∴k ＝﹣1，k a −k b =−1a −1a−1=1a(a−1)，A 、当﹣1＜a ＜0时，a ﹣1＜0，a （a ﹣1）＞0，∴k a−k b ＞0， ∴k a ＞k b ，当0＜a ＜1，a ﹣1＜0，a （a ﹣1）＜0，k a −k b ＜0， ∴k a＜k b ， ∴无法确定大小，∴A、C错误；当0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，k a ＜kb，∴B、错误；D、正确；故选：D．二．填空题（共6小题）15．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x ﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD 的长为3或4．【解答】解：把A（2，4）代入y＝a（x﹣4）2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝（x﹣4）2，设点C横坐标为m，则CD＝CF＝8﹣m，∴点F坐标为（m，m﹣4），∴（m﹣4）2＝m﹣4，解得m＝5或m＝4．∴CD＝3或4．故答案为：3或4．16．（2022•西湖区校级二模）已知y＝﹣x2+6x+12（﹣7≤x≤5），则函数y的取值范围是﹣79≤y≤21．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x+12＝﹣（x﹣3）2+21，∴x＞3时，y随x的增大而减小，x＜3时，y随x的增大而增大，∵﹣7≤x≤5，∴当x ＝3时，取得最大值为21，当x ＝﹣7时，取得最小值为﹣79，∴当﹣7≤x ≤5时，函数y 的取值范围为﹣79≤y ≤21．故答案为：﹣79≤y ≤21．17．（2022•宁波模拟）如图，点P 在x 轴的负半轴上，⊙P 交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，抛物线y ＝a （x +1）2+2√2−a 经过A ，B ，C 三点，CP 的延长线交⊙P 于点D ，点N 是⊙P 上动点，则⊙P 的半径为 3 ；3NO +ND 的最小值为 6√3 ．【解答】解：如图1，连接AC ，BC ， ∵AB 为⊙P 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵OC ⊥AB ，∴可得：△AOC ∽△COB ， ∴OA OC=OC OB，∴OC 2＝OA •OB ，∵y ＝a （x +1）2+2√2−a ＝ax 2+2ax +2√2， ∴当x ＝0时，y ＝2√2， ∴OC ＝2√2，当y ＝0时，ax 2+2ax +2√2=0，∴x 1•x 2=2√2a， ∴OA •OB =−2√2a ， ∴−2√2a =（2√2）2， ∴a =√24， ∴−√24x 2−√22x +2√2=0，∴x 1＝﹣4，x 2＝2， ∴AB ＝6， ∴⊙P 的半径为3，如图2，在PB 的延长线上截取PM ＝9，作DQ ⊥AB 于Q ， ∵PB ＝3，OB ＝2， ∴OP ＝1， ∴PN OP=PM PN=3，∵∠OPN ＝∠MPN ， ∴△OPN ∽△NPM ， ∴MN ON=OP PN=3，∴MN ＝3ON ， ∴DN +3ON ＝DN +MN ，∴当D 、N 、M 共线时，DN +3ON 最小， ∵PQ ＝OP ＝1， ∴MQ ＝PM +PQ ＝10，在Rt △MQD 中，DQ ＝OC ＝2√2，∴DM=√DQ2+MQ2=√(2√2)2+102=6√3，故答案为：3，6√3．18．（2022•富阳区一模）已知二次函数y＝（a2+1）x2﹣2022ax+1的图象经过（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），则y1+y3＞2y2（选择“＞”“＜”“＝”填空）．【解答】解：y1+y3﹣2y2＝（a2+1）m2﹣2022am+1+（a2+1）（m+2）2﹣2022a（m+2）+1﹣2[（a2+1）（m+1）2﹣2022a×（m+1）+1]整理得：y1+y3﹣2y2＝2a2+2＝2（a2+1）＞0，故答案为：＞．19．（2022•东阳市模拟）抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣6）．【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣8+2，即y＝2（x ﹣1）2﹣6．所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣6）．故答案是：（1，﹣6）．20．（2022•兰溪市模拟）已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣x﹣2a，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为−18或1或3．【解答】解：令y1＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线y1＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），∵两个抛物线与x轴共有3个交点，∴抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点或与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点，令y2＝0，则x2﹣x﹣2a＝0，①当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点时，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2a）＝1+8a＝0，解得：a=−1 8；②当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点时，当（﹣1，0）是两条抛物线的公共点时，1+1﹣2a＝0，解得：a＝1；当（3，0）是两条抛物线的公共点时，9﹣3﹣2a＝0，解得：a＝3．故答案为：−18或1或3．三．解答题（共13小题）21．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？【解答】解：（1）设y＝kx，把（1，2）代入，得：k＝2，∴y＝2x，（0≤x≤40）；（2）当0≤x≤8时，设y＝a（x﹣8）2+64，把（0，0）代入，得：64a+64＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣8）2+64＝﹣x2+16x，当8＜x≤15时，y＝64；（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40﹣x）分钟，当0≤x≤8时，W＝﹣x2+16x+2（40﹣x）＝﹣x2+14x+80＝﹣（x﹣7）2+129，当x＝7时，W max＝129；当8≤x≤15时，W＝64+2（40﹣x）＝﹣2x+144，∵W随x的增大而减小，∴当x＝8时，Wmax＝128，综上，当x＝7时，W取得最大值129，此时40﹣x＝33，答：此“高效课堂”模式分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟的学习收益总量最大．22．（2022•吴兴区校级二模）某公司电商平台在之前举行的商品打折促销活动中不断积累经验，经调查发现，某种进价为a元的商品周销售量y（件）关于售价x（元/件）的函数关系式是y＝﹣3x+300（40≤x≤100），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的一组对应值数据．【周销售利润＝（售价﹣进价）×周销售量】x y W401803600（1）求该商品进价a；（2）该平台在获得的周销售利润额W（元）取得最大值时，决定售出的该商品每件捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求m的最大值．【解答】解：（1）由题意得，（40﹣a）×180＝3600，解得a＝20，即该商品进价为20元；（2）∵利润＝（售价﹣进价）×数量，∴W＝（x﹣20）（﹣3x+300）＝﹣3（x﹣60）2+4800，当x＝60元时，W取得最大值为4800元，售出的该商品每件捐出m 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，由题意得，60−20−m20×100%≥20%，解得m ≤36，即m 的最大值为36元．23．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC ，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A 与点C ．（1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m （m ＞0）个单位，向上平移n （n ＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B 与点C ，求m ，n 的值．【解答】解：（1）由题意，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（2，2）、（0，2），将（2，0）、（0，2）代入y ＝x 2+bx +c 中，得{c =24+2b +c =0，解得{b =−3c =2，∴二次函数的表达式为y ＝x 2﹣3x +2，该抛物线的对称轴为直线x =−−32=32；（2）y =x 2−3x +2=(x −32)2−14，则平移后的抛物线的表达式为y =(x +m −32)2−14+n ， ∵平移后的抛物线恰好经过点B 与点C ，BC ∥x 轴， ∴平移后的对称轴为直线x ＝1，则m =32−1=12， ∴y =(x −1)2−14+n ，将（0，2）代入，得12−14+n =2，解得：n =54．24．（2022•婺城区模拟）4月16日，婪城区开展全域大规模核酸检测筛查．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟，y是x的二次函数，在90～110分钟，y是x的一次函数．（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式．（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？0）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？时间x（分）0153045759095100110人数y（个）601151601952382401801200【解答】解：（1）设二次函数解析式为：y＝a（x﹣90）2+240，将A（0，60）代入得a=−1 45，∴曲线AB部分的函数解析式为：y=−145x2+4x+60；（2）设BC的解析式为：y＝kx+b，将B（90，240），C（110，0）代入，解得：k＝﹣12，b＝1320，∴BC的解析式为：y＝﹣12x+1320，将y＝220代入y=−145x2+4x+60中，解得：x＝60或x＝120（舍去），将y＝220代入y＝﹣12x+1320中，解得：x =2753， ∵2753−60=953， ∴满负荷状态的时间为953分；（3）设至少需要新增m 个窗口，1个窗口1分钟采样的人数为：240÷20÷6＝2， 10：15分时的排队人数为：将x ＝75代入y =−145x 2+4x +60中，解得：y ＝235，9：45分至10：15分之间采样的人数为： 2×30×6＝360， 235+360＝595，∴10点15分后，采样可以随到随采表示595人需要在30分钟内采样完毕， ∴2×（m +6）×30≥595，解得：m ≥4712， ∵m 为整数， ∴m ＝4，∴至少需新增4个采样窗口．25．（2022•吴兴区校级二模）如图1，抛物线y =12x 2+bx +c(c ＜0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，与抛物线交于另一点D ，直线BC 与AD 相交于点M ．（1）已知点C 的坐标是（0，﹣4），点B 的坐标是（4，0），求此抛物线的解析式；（2）若b =12c +1，求证：AD ⊥BC ；（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，点P 是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P 的横坐标为t ，点Q 是直线BC 上一点，是否存在这样的点P ，使得△PGQ 是以点G 为直角顶点的直角三角形，且满足∠GQP ＝∠OCA ，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：由题意得：{c =−412×16+4b +c =0，解得：{b =−1c =−4，故抛物线的表达式为：y =12x 2﹣x ﹣4；（2）证明：若b =12c +1，则抛物线的表达式为：y =12x 2+（12c +1）x +c ，令y =12x 2+（12c +1）x +c ＝0，解得：x ＝﹣2或﹣c ，即点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）、（﹣c ，0）， ∵点C （0，c ），则点D （﹣c ﹣2，c ），由OC ＝BO ＝﹣c 知，直线BC 和x 轴负半轴的夹角为45°，设直线AD 的表达式为：y ＝k （x +2），将点D 的坐标代入上式得：c ＝k （﹣c ﹣2+2），解得：k ＝﹣1，即直线AD 和x 轴正半轴的夹角为45°， ∴AD ⊥BC ；（3）解：存在，理由：在Rt △AOC 中，tan ∠ACO =OACO =24=12=tan ∠GPQ ，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣4，设点P （t ，12t 2﹣t ﹣4），点Q （s ，s ﹣4），当点Q 在点P 的下方时，如下图，过点Q 、P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵∠MGQ +∠NGP ＝90°，∠NGP +∠PGN ＝90°， ∴∠MGQ ＝∠PGN ， ∵∠QMG ＝∠GNP ＝90°， ∴△QMG ∽△GNP ， ∴QMGN =GMPN =GQGP =tan∠GPQ =12，即|s−4||t−1|=|1−s||12t 2−t−4|=12，解得：t ＝2+√22（不合题意的值已舍去）；当点Q 在点P 的上方时，如下图，同理可得：MQ GN=GMPN =2，即|s−1||12t 2−t−4|=|s−4||t−1|=2，解得：t ＝2+√13或√13（不合题意的值已舍去）；综上，t ＝2+√22或2+√13或√13．26．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．【解答】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，由题意，得：1000 x+30=400x，解得：x＝20，经检验：x＝20是原方程的解；当x＝20时：x+30＝20+30＝50；∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）①设利润为w，由表格，得：当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，∵k＝100＞0，∴w随着x的增大而增大，。

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：四边形(含解析)

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：10四边形一．选择题（共12小题）1．（2022•衢江区二模）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ．若AE ＝6，则△CEF 的周长为（）A ．13B ．10.5C ．10D ．9.62．（2022•鄞州区校级模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以AB 为边向上作正方形ABDE ，以AC 为边作正方形ACFG ，点E 落在GF 上，连结CD ，DF ．若要求出五边形ACDFE 的面积，则只要知道（）A ．AB 的长 B ．AC 的长 C ．△ABC 的面积D ．△DEF 的面积3．（2022•洞头区模拟）由四个全等的矩形围成了一个大正方形ABCD ，如图所示．连结CH ，延长EF 交CH 于点G ，作PG ⊥CH 交AB 于点P ，若AH ＝2DH ，则AP BP 的值为（）A ．97B ．1611C ．32D ．24．（2022•宁海县校级模拟）将矩形ABCD 和矩形CEFG 分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN，若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面积为（）A．20B．24C．30D．45 5．（2022•温州校级模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD ＝118°，则∠CEB＝（）A．59°B．62°C．69°D．72°6．（2022•乐清市三模）如图，在正方形ABCD内有一点E，∠AEB＝90°，以CE，DE为邻边作▱CEDF，连结EF，若A，E，F三点共线，且△ADF的面积为10，则CF的长为（）A．2B．√5C．2√2D．√10 7．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（）A．8B．16C．24D．32 8．（2022•鄞州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2√2，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（）A．√2B．√2−1C．√5D．√5−1 9．（2022•宁波模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB 的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F．若求△DEF的周长，则只需知道（）A．AB的长B．FE的长C．DE的长D．DF的长10．（2022•宁波模拟）两个全等的矩形ABCD和矩形BEFG如图放置，且FG恰好过点C．过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．知道下列哪个式子的值，即可求出图中阴影部分的面积（）A ．CF •CDB ．CF •CNC ．CF •CGD ．CF •CB11．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD 内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A ．正方形纸片的面积B ．四边形EFGH 的面积C ．△BEF 的面积D ．△AEH 的面积12．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分∠EAD 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AE 于点G ．若cos B =14，则FG 的长是（）A ．3B ．83C ．2√153D ．52 二．填空题（共7小题）13．（2022•吴兴区校级二模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为2√2的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中点E，F，G，H都在矩形边上），若AB：BC＝7：6，则∠AGF的正切值为．14．（2022•永嘉县三模）如图，在正方形ABCD中，BC＝6，点P在正方形内，PF⊥PC，交边AD于点F，ED∥PC，交PF延长线于点E，且PC＝PE，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则∠AEP的度数为，PC的长为．15．（2022•下城区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，AC分别交DE，DF于点M，N．（1）若∠ADF＝∠EDF，则DN：AN的值为．（2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则tan∠ADF的值为．16．（2022•金东区一模）已知由8个边长为1的正方形组成的L型模板如图放置，其顶点E，F，G，H，I都在矩形ABCD的边上，则矩形ABCD的面积为．17．（2022•长兴县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝2cm，点N在边CD上，CN＝1cm点M是矩形ABCD的边AB上一动点，现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．边MB′与边CD交于点E，当点M从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长为cm．18．（2022•诸暨市模拟）正方形ABCD的边长为4，点E是射线AD上的一个动点，连结CE，以CE为边往右侧作正方形CEFG，连结DF、DG．（1）当点E在AD延长线上，且DE＝AD时，DG＝．（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG＝．19．（2022•温州）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为．三．解答题（共12小题）20．（2022•鹿城区校级模拟）如图，四边形ABCD 是平行四边形，分别以AD ，BC 为边向外构造等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE ，DF ，BD ．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形．（2）若AD 与BE 交于点G ，且AD ＝BD ，∠DFB ＝45°，BG =√2，求△BDG 的面积．21．（2022•吴兴区校级二模）（1）如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠MAN ＝ɑ，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边与BC 边分别交于M ，N 两点．①当∠BAM ＝∠CAN 时，求证：BM ＝CN ；②如图2，作斜边BC 上的高AH ，若AB ＝1，ɑ＝45°，且CN =13BC 时，求BM 的长；（2）如图3，在正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC ，CD 于点M ，N ．当点N 恰为DC 的中点时，求BM DN 的值．22．（2022•义乌市模拟）浙教版教材八年级下册第5章“4.2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，求BD的长．请你完成求解过程．小明的解题过程如下：在平行四边形ABCD中∵AC＝4，AB＝5，∴EA=EC=12AC=12×4=2，EB=ED第①步∵AC⊥BC∴BC=√AB2−AC2=√52−42=3第②步∴BE=√BC2−EC2=√32−22=√5第③步∴BD=2EB=2√5第④步你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD长．23．（2022•婺城区校级模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，P为CD边所在直线上一点（不与点D重合），连结AP，把△ADP沿着AP折叠后得到△AD′P，连结CD′，记DP的长为a．（1）当P为DC的中点时，判断△PD′C的形状，并说明理由．（2）若AD＝3，在点P的运动过程中，满足PD′⊥D′C，试求a的值．（3）若AD＝2，如图2，过点C作CH⊥直线PD′，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝CD′？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．24．（2022•金华模拟）方法学习如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现：∠CPN不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到格点处，并且恰好在Rt△DMN中．可以方便求出tan∠CPN 的值为；问题解决（1）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值为；（2）如图3，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则sin∠CP A的值为；思维拓展如图4，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为60度，点A，B，C，D都在格点处，线段AB与CD相交于点P求cos∠CP A 的值．25．（2022•常山县模拟）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H．（1）当AB＜AD时，①求证：BE＝CD；②猜想∠BDF的度数，并说明理由．（2）若ABAD=k时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）．26．（2022•衢州）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．（1）求证：∠DBG＝90°．（2）若BD＝6，DG＝2GE．①求菱形ABCD的面积．②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．27．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1=45AB，依次连接它们，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再在四边形A 1B 1C 1D 1各边上分别取点B 2，C 2，D 2，A 2，使A 1B 2＝B 1C 2＝C 1D 2＝D 1A 2=45A 1B 1，依次连接它们，得到四边形A 2B 2C 2D 2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．（1）求证：四边形A 1B 1C 1D 1是正方形．（2）求A 1B 1AB的值．（3）请研究螺旋折线BB 1B 2B 3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明． 28．（2022•湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝Rt ∠，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的半圆O 与边AC 相切，切点为E ，过点O 作OF ⊥BC ，垂足为F ．（1）求证：OF ＝EC ；（2）若∠A ＝30°，BD ＝2，求AD 的长．29．（2022•湖州）已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ，b 分别表示∠A ，∠B 的对边，a ＞b ．记△ABC 的面积为S ．（1）如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGFC ．记正方形ACDE 的面积为S 1，正方形BGFC 的面积为S 2． ①若S 1＝9，S 2＝16，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB（如图2所示），求证：S 2﹣S 1＝2S ．（2）如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为S 1，等边三角形CBE 的面积为S 2．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在△ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索S 2﹣S 1与S 之间的等量关系，并说明理由．30．（2022•杭州）在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上（不与点A 重合），点F 在边BC 上，且AE ＝2BF ，连接EF ，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH ．（1）如图1，若AB ＝4，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH 的面积．（2）如图2，已知直线HG 分别与边AD ，BC 交于点I ，J ，射线EH 与射线AD 交于点K ．①求证：EK ＝2EH ；②设∠AEK ＝α，△FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为S 1，S 2．求证：S 2S 1=4sin 2α﹣1．31．（2022•绍兴）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连结MN ．（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：10四边形参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2022•衢江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．若AE＝6，则△CEF的周长为（）A．13B．10.5C．10D．9.6【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝5，BC＝AD＝8，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝8，同理BE＝AB＝5，∴CF＝DF﹣CD＝8﹣5＝3，∵AE＝6，∴△ABE的周长等于5+5+6＝16，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为3：5，∴△CEF的周长为9.6，故选：D．2．（2022•鄞州区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边向上作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，点E落在GF上，连结CD，DF．若要求出五边形ACDFE的面积，则只要知道（）A ．AB 的长B ．AC 的长C ．△ABC 的面积D ．△DEF 的面积【解答】解：∵四边形ABDE 是正方形， ∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°， ∵四边形ACFG 是正方形，∴CF ＝AG ＝AC ，∠ACF ＝∠CAG ＝90°， ∴∠CAB ＝∠EAG ，在△ABC 和△AEG 中， {AC =AG∠BAC =∠EAG AB =AE， ∴△ABC ≌△AEG （SAS ）， ∴S △ABC ＝S △AEG ，过点D 作DH ⊥BF 于点H ，则∠DBH ＝∠BAC ，∠DHB ＝∠ACB ＝90°，BD ＝BA ，∴△ABC ≌△BDH （AAS ）， ∴BC ＝DH ，∴S △DCF =12CF •DH =12AC •AB ＝S △ABC ，∴五边形ACDFE 的面积＝S △DCF +S 正方形ACFG ﹣S △AEG ＝S 正方形ACFG ，故只要知道AC 的长即可求出五边形ACDFE 的面积．故选：B ．3．（2022•洞头区模拟）由四个全等的矩形围成了一个大正方形ABCD ，如图所示．连结CH ，延长EF 交CH 于点G ，作PG ⊥CH 交AB 于点P ，若AH ＝2DH ，则AP BP的值为（）A ．97B ．1611C ．32D ．2【解答】解：设DH ＝x ，则AK ＝FH ＝x ，AH ＝BK ＝FK ＝2x ，CD ＝3x ，∵PG ⊥CH ，∴∠FGP +∠HGF ＝90°， ∵∠HGF +∠FHG ＝90°， ∴∠FGP ＝∠FHG ，由矩形的性质可得CD ∥FH ， ∴∠DCH ＝∠FHG ， ∴∠DCH ＝∠FHG ＝∠FGP ， ∵tan ∠DCH =DHCD =x3x =13， ∴tan ∠FHG =FGFH =FGx =13，解得FG =13x ，∴KG ＝KF +FG ＝2x +13x =73x ， ∴tan ∠FGP =13=KP KG=KP 73x，解得KP =79x ， ∴AP ＝AK +KP ＝x +79x =169x ， BP ＝BK ﹣KP ＝2x −79x =119x ， ∴AP BP=169x 119x =1611．故选：B ．4．（2022•宁海县校级模拟）将矩形ABCD 和矩形CEFG 分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN ，若AM ＝1，DE ＝4，EF ＝3，那么矩形BEHN 的面积为（）A ．20B ．24C ．30D ．45【解答】解：∵NA ＝EF ＝3，AM ＝1， ∴CB ＝MN ＝NA +AM ＝4， ∵IB ＝DE ＝4， ∴IB ＝CB ，∴四边形ABCD 、四边形BEHN 、四边形CEFG 都是矩形， ∴∠EBN ＝∠ABC ＝90°， ∴∠JBI ＝∠EBC ＝90°﹣∠ABE ， ∵∠BIJ ＝∠D ＝90°，∠BCE ＝90°， ∴∠BIJ ＝∠BCE ，在△BIJ 和△BCE 中，{∠BIJ =∠BCEIB =CB ∠JBI =∠EBC， ∴△BIJ ≌△BCE （ASA ）， ∴IJ ＝CE ， ∵IA ＝CE ，∴AB ＝IB +IA ＝4+CE ， ∵IJ ∥AN ， ∴△BIJ ∽△BAN ， ∴IJ NA =IB AB， ∴CE 3=44+CE，∴CE ＝2或CE ＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴AB ＝4+4＝8，∴S 矩形BEHN ＝S 矩形ABCD +S 矩形CEFG ＝8×3+3×2＝30， ∴矩形BEHN 的面积为30，故选：C ．5．（2022•温州校级模拟）如图，菱形ABCD 中，过点C 作CE ⊥BC 交BD 于点E ，若∠BAD ＝118°，则∠CEB ＝（）A ．59°B ．62°C ．69°D ．72°【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∠ABD ＝∠CBE ， ∴∠ABD ＝∠ADB ， ∵∠BAD ＝118°， ∴∠ABD =180°−118°2=31°， ∴∠CBE ＝31°， ∵CE ⊥BC ， ∴∠BCE ＝90°，∴∠CEB ＝90°﹣31°＝59°．故选：A ．6．（2022•乐清市三模）如图，在正方形ABCD 内有一点E ，∠AEB ＝90°，以CE ，DE 为邻边作▱CEDF ，连结EF ，若A ，E ，F 三点共线，且△ADF 的面积为10，则CF 的长为（）A ．2B ．√5C ．2√2D ．√10【解答】解：设EF 、CD 的交点为G ，过E 作EH ⊥AD 交于H ， ∵四边形ECFD 是平行四边形， ∴DG ＝CG =12DG ，设正方形的边长为2x ，则AD ＝AB ＝CD ＝2x ，DG ＝CG ＝x ，在Rt △ADG 中，AG =√5x ， ∵∠AEB ＝90°， ∴∠BAE +∠DAE ＝90°， ∵∠ABE +∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝∠DAE ， ∴△ABE ∽△GAD ， ∴AB AG=AE DG，即√5x=AE x，∴AE =2√55x ， ∴EG =3√55x ， ∴EG AG =35，∴S △ADG S △DEG=53，设S △ADG ＝5m ，则S △DEG ＝3m ， ∵G 点是CD 的中点， ∴S △ECG ＝S △DEG ＝3m ， ∴S △DEC ＝6m ， ∵S △DEC ＝S △CDF ＝6m ， ∴S ▱ECFD ＝12m ， ∴S △EDF ＝6m ， ∴S △ADF ＝6m +2m ＝8m ， ∵S △ADF ＝10， ∴8m ＝10， ∴m =54， ∴S △ADG ＝5m =254=x 2， ∴x =52，∴AD ＝5，EA =√5， ∵S △ADE =12×5×HE =52， ∴HE ＝1，在Rt △AHE 中，AH ＝2， ∴HD ＝3，在Rt △HED 中，ED =√10，故选：D ．7．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（）A．8B．16C．24D．32【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，∴EB＝EF，FG＝GC，∵四边形AEFG的周长＝AE+EF+FG+AG，∴四边形AEFG的周长＝AE+EB+GC+AG＝AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四边形AEFG的周长＝AB+AC＝8+8＝16，故选：B．8．（2022•鄞州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2√2，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（）A．√2B．√2−1C．√5D．√5−1【解答】解：连接AC、BD，交于点O，由题意可知，EF经过点O，取OB中点M，连接MA，MG，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝OB，∵AB＝2√2，∴OA＝OB＝2．∴OM＝1．∴AM=√OA2+OM2=√12+22=√5，在Rt△BOG中，M是OB的中点，∴GM=12OB＝1．∵AG≥AM﹣MG=√5−1．当A，M，G三点共线时，AG最小=√5−1．故选：D．9．（2022•宁波模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB 的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F．若求△DEF的周长，则只需知道（）A．AB的长B．FE的长C．DE的长D．DF的长【解答】解：过B作BH⊥m于H，连接BE，BF，∵直线l向上平移线段AB的长得到直线m，∴AH＝AB，而∠A＝∠BHE＝90°，EB＝EB，∴Rt△AEB≌Rt△HEB（HL），∴AE＝EH，同理Rt△FCB≌Rt△FHB（HL），∴HF＝CF，∴△DEF的周长为：DE+EF+DF＝DE+EH+HF+DF＝DE+AE+DF+CF＝AD+CD＝2AB．∴求△DEF的周长，则只需知道AB的长．故选：A．10．（2022•宁波模拟）两个全等的矩形ABCD和矩形BEFG如图放置，且FG恰好过点C．过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．知道下列哪个式子的值，即可求出图中阴影部分的面积（）A．CF•CD B．CF•CN C．CF•CG D．CF•CB【解答】解：作CH⊥BE于点H，由已知条件和图形可知：S△CHG+S△BMG＝S△CGB＝S△BCH，∵矩形ABCD和矩形BEFG全等，∴图中阴影部分的面积与矩形CHEF的面积一样，CH＝CD，∴当知道CF•CD的值时，即可得到CF•CH的值，故选：A．11．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP +2（x ﹣y ）＝4x ，∴AP ＝x +y ，∵图中阴影部分的面积＝S 矩形ABCD ﹣2△ADH ﹣2S △AEB＝（2x +y ）（2x ﹣y ）﹣2×12•（x ﹣y ）（2x +y ）﹣2×12•（2x ﹣y ）•x＝4x 2﹣y 2﹣（2x 2+xy ﹣2xy ﹣y 2）﹣（2x 2﹣xy ）＝4x 2﹣y 2﹣2x 2+xy +y 2﹣2x 2+xy＝2xy ，A 、正方形纸片的面积＝x 2，故A 不符合题意；B 、四边形EFGH 的面积＝y 2，故B 不符合题意；C 、△BEF 的面积=12•EF •BQ =12xy ，故C 符合题意；D 、△AEH 的面积=12•EH •AM =12y （x ﹣y ）=12xy −12y 2，故D 不符合题意；故选：C ．12．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分∠EAD 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AE 于点G ．若cos B =14，则FG 的长是（）A ．3B ．83C ．2√153D ．52 【解答】解：方法一，如图，过点A 作AH ⊥BE 于点H ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cos B=BHAB=14，∴BH＝1，∴AH=√AB2−BH2=√42−12=√15，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠F AG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠F AG＝∠AFG，∴GA＝GF，设GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴DF＝AG＝x，cos D＝cos B=DQDF=14，∴DQ=14x，∴FQ=√DF2−DQ2=√x2−(14x)2=√154x，∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∴12×（2+4）×√15=12（2+x ）×（√15−√154x ）+12（x +4）×√154x ，解得x =83，则FG 的长是83．或者：∵AE ＝CD ＝4，FG ∥AD ，∴四边形AGFD 的等腰梯形，∴GA ＝FD ＝GF ，则x +14x +14x ＝4，解得x =83，则FG 的长是83．方法二：如图，作AH 垂直BC 于H ，延长AE 和DC 交于点M ，∵菱形ABCD 的边长为4，∴AB ＝AD ＝BC ＝4，∵cos B =BH AB =14， ∴BH ＝1，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ＝2，∴EH ＝BE ﹣BH ＝1，∴AH 是BE 的垂直平分线，∴AE ＝AB ＝4，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，设GF＝x，则AG＝x，GE＝4﹣x，由GF∥BC，∴△MGF∽△MEC，∴2x =48−x，解得x=8 3．故选：B．二．填空题（共7小题）13．（2022•吴兴区校级二模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为2√2的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中点E，F，G，H都在矩形边上），若AB：BC＝7：6，则∠AGF的正切值为310．【解答】解：如图1，∵四边形PQMN是矩形为2√2的正方形，∴∠NPQ＝90°，PN＝PQ＝2√2，∴QN=√PN2+PQ2=√(2√2)2+(2√2)2=4，由七巧板的构造可知，图形①、②、③、④、⑤都是等腰直角三角形，图形⑥是正方形，∴PK＝NK＝QK=12QN＝2，∴LK＝JK＝JI＝JQ=12QK＝1，∴LN＝NK﹣LK＝1，如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝∠A＝90°，由图1可知，EF ＝GH ＝2+1＝3，FG ＝2+2＝4，∠EFG ＝∠FGH ＝90°，∵∠DFE ＝90°﹣∠AFG ＝∠AGF ，∠BHG ＝90°﹣∠BGH ＝∠AGF ，∴∠DFE ＝∠BHG ，∴△DFE ≌△BHG （AAS ），∴DE ＝BG ，∵∠D ＝∠A ，∠DFE ＝∠AGF ，∴△DFE ∽△AGF ，∴DE AF =DF AG =EF FG =34， ∴DE =34AF ，AG =43DF ，∴BG =34AF ，∴AB ＝AG +BG =43DF +34AF ，∵AB ：BC ＝7：6，∴AB =76BC =76AD =76（AF +DF ），∴76（AF +DF ）=43DF +34AF ， ∴AF =25DF ，∴tan ∠AGF =AF AG =25DF 43DF =310，故答案为：310．14．（2022•永嘉县三模）如图，在正方形ABCD中，BC＝6，点P在正方形内，PF⊥PC，交边AD于点F，ED∥PC，交PF延长线于点E，且PC＝PE，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则∠AEP的度数为45°，PC的长为2√6．【解答】解：过C作CG⊥ED于G，过A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，连结PB，∵PF⊥PC，ED∥PC，PC＝PE，CG⊥ED，∴四边形PCGE是正方形，∴PC＝PE＝CG＝EG，∠PCG＝90°，∵正方形ABCD，∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝90°，∴∠PCB＝∠DCG＝90°﹣∠PCD，∴△DCG≌△BCP（SAS），∴∠DGC＝∠BPC＝90°，∴∠CPE+∠BPC＝180°，∴E、F、P、B四点在一条直线上，∴∠PCB＝∠DCG＝∠ABN＝∠ADM，∵AM⊥DE于M，AN⊥PE，∴四边形AMEN是矩形，∴△ABN≌△ADM（AAS），∴AM＝AN，∴矩形AMEN是正方形，AE平分∠MEN，∴∠AEP＝45°，AM＝AN＝EM，设AM＝AN＝EM＝x，PC＝PE＝CG＝EG＝y，∵∠DCG＝∠ADM，∴△DCG≌△ADM（AAS），∴AM＝AN＝DG＝PB＝x，∵S五边形AEDCP =S正方形PCGE+S△APE−S△DGC=PC2+12AN⋅PE−12DG⋅CG，∴24=y2+12xy−12xy，∴y=2√6，即PC=2√6．15．（2022•下城区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，AC分别交DE，DF于点M，N．（1）若∠ADF＝∠EDF，则DN：AN的值为√2．（2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则tan∠ADF的值为√3−1．【解答】解：（1）过N作NK⊥AD于K，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC ＝45°，∴△ANK 是等腰直角三角形，∴KN =√22AN ，又CD ＝AD ，∠DAF ＝∠DCE ＝90°，且DF ＝DE ，∴Rt △ADF ≌Rt △CDE （HL ），∴∠ADF ＝∠CDE ，∵∠ADF ＝∠EDF ，∴∠ADF ＝∠EDF ＝∠CDE ＝30°，∴KN =12DN ，∴√22AN =12DN ， ∴DN ：AN =√2，故答案为：√2；（2）过N 作NH ⊥AB 于H ，如图：∵∠FHN ＝∠F AD ＝90°，∴HN ∥AD ，∴∠ADF ＝∠HNF ，设tan ∠ADF ＝tan ∠FNH ＝k ，设NH ＝AH ＝b ，则FH ＝kb ，∴AF ＝b +kb ，∵tan ∠ADF =AF AD ， ∴AD =b+bk k=1+k k b ， ∴S 2=12AF •HN =12b 2（1+k ），S 1＝S △ADC ﹣2S △ADN =12（1+k k b ）2﹣2×12•1+k kb •b ， ∵S 2＝2S 1，∴12b 2（1+k ）＝2•[12（1+k k b ）2﹣2×12•1+k kb •b ]，整理得：k 2+2k ﹣2＝0，解得：k =√3−1或−√3−1（舍弃），∴tan ∠ADF ＝k =√3−1，故答案为：√3−1．16．（2022•金东区一模）已知由8个边长为1的正方形组成的L 型模板如图放置，其顶点E ，F ，G ，H ，I 都在矩形ABCD 的边上，则矩形ABCD 的面积为 28013 ．【解答】解：依题意，可得∠B ＝∠C ＝90°，∵∠EFB +∠CFG ＝90°，∠EFB +∠BEF ＝90°，∴∠CFG ＝∠BEF ，在△BEF 和△CFG 中，{∠B =∠C∠BEF =∠CFG EF =FG，∴△BEF ≌△CFG （AAS ），设BF ＝x ，CF ＝y ，则线段CG ＝x ，BE ＝y ，∵∠FGC +∠DGH ＝90°，∠CFG +∠FGC ＝90°，∴∠CFG ＝∠DGH ，∵∠C ＝∠D ＝90°，∴△CFG ∽△DGH ，∵△BEF ≌△CFG ，∴△BEF ∽△DGH ，同里可证△BEF ∽△AIE ，则AE BF =EI EF=14，DG CF =HG GF =24=12，则AE =x 4，DG =y 2，∵AB ＝CD ，∴x 4+y ＝x +y 2，即3x ＝2y ，∴x =23y ，在Rt △FCG 中，FC 2+CG 2＝FG 2，∴y 2+x 2＝42，∴y 2+（23y ）2＝16，解得：y =√13， ∴x =√13， ∴AB =14√13，BC =20√13， ∴矩形ABCD 的面积为28013．17．（2022•长兴县模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝7cm ，BC ＝2cm ，点N 在边CD 上，CN ＝1cm 点M 是矩形ABCD 的边AB 上一动点，现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C ′上．边MB ′与边CD 交于点E ，当点M 从点A 运动到点B 的过程中，点E 运动的路径长为（√5−23） cm ．【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′=√B′C′2+NC′2=√22+12=√5（cm），∴BM＝NB′=√5（cm）．如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝22+（6﹣x）2，解得x=10 3，∴DE＝6−103=83（cm），如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝7﹣1﹣2＝4（cm），如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝7﹣1−√5=（6−√5）（cm），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝4−83+4﹣（6−√5）＝（√5−23）（cm）．故答案为：（√5−2 3）．18．（2022•诸暨市模拟）正方形ABCD的边长为4，点E是射线AD上的一个动点，连结CE，以CE为边往右侧作正方形CEFG，连结DF、DG．（1）当点E在AD延长线上，且DE＝AD时，DG＝4√5．（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG＝4或4√2或2√5．【解答】解：（1）如图1，连接EG，∵正方形ABCD的边长为4，DE＝AD，∴AD ＝DE ＝CD ＝4，∠ADC ＝90°，∴∠CDE ＝180°﹣90°＝90°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CE =√2DE ＝4√2，∠DCE ＝∠DEC ＝45°，∵四边形CEFG 是正方形，∴CE ＝CG ＝4√2，∠ECG ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，∴∠CEG ＝45°，EG =√2CE =√2×4√2=8，∴∠DEG ＝∠DEC +∠CEG ＝45°+45°＝90°，在Rt △DEG 中，DG =√DE 2+EG 2=√42+82=4√5，故答案为：4√5；（2）如图2，过点F 作FH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ，过点G 作GK ⊥CD 于点K ，则∠H ＝∠CKG ＝∠DKG ＝90°，∵四边形ABCD ，四边形CEFG 均为正方形，∴AD ＝CD ＝4，EF ＝CE ＝CG ＝FG ，∠CDE ＝∠CEF ＝∠ECG ＝90°，∵∠FEH +∠CED ＝90°，∠CED +∠ECD ＝90°，∠ECD +∠GCK ＝90°，∴∠FEH ＝∠ECD ，∠GCK ＝∠CED ，在△CED 和△EFH 中，{∠CDE =∠H∠ECD =∠FEH CE =EF，∴△CED ≌△EFH （AAS ），∴DE ＝FH ，CD ＝EH ＝4，同理，△CED ≌△GCK （AAS ），∴DE ＝CK ，CD ＝GK ＝4，设DE ＝m （0≤m ≤4），则FH ＝CK ＝m ，∴DH ＝4﹣m ，DK ＝4﹣m ，在Rt △DFH 中，DF 2＝DH 2+FH 2＝（4﹣m ）2+m 2＝2m 2﹣8m +16，在Rt △DGK 中，DG 2＝DK 2+GK 2＝（4﹣m ）2+42＝m 2﹣8m +32，在Rt △CED 中，CE 2＝DE 2+CD 2＝m 2+16，∴FG 2＝m 2+16，当DF＝DG时，2m2﹣8m+16＝m2﹣8m+32，解得：m＝﹣4（舍去）或m＝4，∴DG=√m2−8m+32=√42−8×4+32=4；当DF＝FG时，2m2﹣8m+16＝m2+16，解得：m＝0或m＝8（舍去），∴DG=√m2−8m+32=√32=4√2；当DG＝FG时，m2﹣8m+32＝m2+16，解得：m＝2，∴DG=√m2−8m+32=√22−8×2+32=2√5；综上所述，DG＝4或4√2或2√5．故答案为：4或4√2或2√5．19．（2022•温州）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为√32．【解答】解：方法一：连接DB 交AC 于点O ，作MI ⊥AB 于点I ，作FJ ⊥AB 交AB 的延长线于点J ，如图1所示，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝1，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1，∠BAC ＝30°，AC ⊥BD ，∵△ABD 是等边三角形，∴OD =12，∴AO =√AD 2−DO 2=√12−(12)2=√32，∴AC ＝2AO =√3，∵AE ＝3BE ，∴AE =34，BE =14，∵菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同，∴BE ＝BF =14，∠FBJ ＝60°，∴FJ ＝BF •sin60°=14×√32=√38，∴MI ＝FJ =√38，∴AM =MI sin30°=√3812=√34，同理可得，CN =√34，∴MN ＝AC ﹣AM ﹣CN =√3−√34−√34=√32，故答案为：√32．方法二：连接DB 交AC 于点O ，连接EF ，由题意可得，四边形AMFE 是平行四边形，四边形EFCN 是平行四边形，∴EF ＝AM ＝CN ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE BA ，∵AE ＝3BE ，AB ＝1，∴AB ＝4BE ，∴EF AC =BE BA =14， ∴AM ＝CN =14AC ，∴MN =12AC ＝OA ，∵∠BAD ＝60°．AB ＝AD ＝1，AO 垂直平分BD ，∴OD =12，∴OA =√AD 2−OD 2=√12−(12)2=√32， ∴MN =√32，故答案为：√32．三．解答题（共12小题）20．（2022•鹿城区校级模拟）如图，四边形ABCD 是平行四边形，分别以AD ，BC 为边向外构造等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE ，DF ，BD ．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形．（2）若AD 与BE 交于点G ，且AD ＝BD ，∠DFB ＝45°，BG =√2，求△BDG 的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠DBC ，∵等边△ADE 和等边△BCF ，∴DE ＝AD ，BC ＝BF ，∠EDA ＝∠CBF ＝60°， ∴DE ＝BF ，∠EDB ＝∠DBF ， ∴DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形；（2）解：∵AD ＝BD ，AD ＝DE ＝BF ， ∴DE ＝BD ＝BF ，又∵∠DFB ＝45°，∴∠DBF ＝180°﹣2∠DFB ＝90°＝∠EDB ，∴∠DBC ＝∠DBF ﹣∠CBF ＝30°，∠DEB ＝∠DBE ＝45°， ∴∠ADB ＝∠DBC ＝30°，过G 作GH ⊥BD 于H ，在Rt △GHB 中，BG =√2，∠HBG ＝45°，BG 2＝GH 2+HB 2， ∴GH =BH =√22BG =1，在Rt △GHD 中，∠GDH ＝30°，GH ＝1， ∴DG ＝2GH ＝2，∴DH =√DG 2−GH 2=√3GH =√3， ∴BD =BH +DH =1+√3， ∴△BDG 的面积为12BD ⋅GH =12×(1+√3)×1=1+√32．21．（2022•吴兴区校级二模）（1）如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠MAN ＝ɑ，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边与BC 边分别交于M ，N 两点． ①当∠BAM ＝∠CAN 时，求证：BM ＝CN ；②如图2，作斜边BC 上的高AH ，若AB ＝1，ɑ＝45°，且CN =13BC 时，求BM 的长；（2）如图3，在正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC ，CD 于点M ，N ．当点N 恰为DC 的中点时，求BM DN 的值．【解答】（1）①证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＝∠C ＝45°， ∵∠BAM ＝∠CAN ， ∴△BAM ≌△CAN （ASA ）， ∴BM ＝CN ；②解：如图2中，将△ACN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABT ，连接MT ．∵∠CAN ＝∠BAT ， ∴∠NAT ＝∠CAB ＝90°， ∵∠MAN ＝45°， ∴∠MAT ＝∠MAN ， ∵AM ＝AM ，AT ＝AN ， ∴△MAT ≌△MAN （SAS ）， ∴MT ＝MN ， ∵AB ＝AC ＝1， ∴BC =√2， ∵CN =13BC =√23， ∴BN =2√23，设BM ＝x ，则MN ＝MT =2√23−x ， ∵∠ABT ＝∠C ＝∠ABC ＝45°， ∴∠TBN ＝90°， ∴MT 2＝BT 2+BM 2， ∴（2√23−x ）2＝x 2+（√23）2， ∴x =√24，∴BM =√24；（2）如图3中，将△ABM 绕点A 逆时针旋转旋转90°得到△ADR ，连接MN ．同法可证△ANM ≌△ANR （SAS ）， ∴MN ＝NR ＝DR +DN ＝BM +DN ，设BC ＝CD ＝2a ，则DN ＝CN ＝a ，NM ＝BM +a ， ∴CM ＝2a ﹣BM ， ∵MN 2＝CM 2+CN 2，∴（BM +a ）2＝（2a ﹣BM ）2+a 2， ∴BM =23a ， ∴BM DN=23．22．（2022•义乌市模拟）浙教版教材八年级下册第5章“4.2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题：如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ，AC ⊥BC ，若AC ＝4，AB ＝5，求BD 的长．请你完成求解过程．小明的解题过程如下：在平行四边形ABCD 中 ∵AC ＝4，AB ＝5，∴EA =EC =12AC =12×4=2，EB =ED第①步 ∵AC ⊥BC∴BC =√AB 2−AC 2=√52−42=3第②步∴BE =√BC 2−EC 2=√32−22=√5第③步∴BD =2EB =2√5第④步你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD 的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD 长．【解答】解：小明的解题过程不正确，从第③步开始错；在平行四边形ABCD中，∵AC＝4，AB＝5，∴EA＝EC=12AC=12×4＝2，EB＝ED，∵AC⊥BC，∴BC=√AB2−AC2=√52−42=3，∴BE=√BC2+EC2=√32+22=√13，∴BD＝2EB＝2√13．23．（2022•婺城区校级模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，P为CD边所在直线上一点（不与点D重合），连结AP，把△ADP沿着AP折叠后得到△AD′P，连结CD′，记DP的长为a．（1）当P为DC的中点时，判断△PD′C的形状，并说明理由．（2）若AD＝3，在点P的运动过程中，满足PD′⊥D′C，试求a的值．（3）若AD＝2，如图2，过点C作CH⊥直线PD′，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝CD′？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）等腰三角形．理由如下：∵P为DC的中点，∴PD＝PC，由折叠性质知，PD＝PD′，∴PD′＝PC，∴△PCD′是等腰三角形；（2）由折叠知，PD＝PD′＝a，AD＝AD′＝3，∠AD′P＝90°，∵PD′⊥D′C，∴∠PD′C＝90°，∴A、D′、C三点共线，当点P在D点的右侧时，如图，∵AC=√AD2+DC2=√32+42=5，∴CD′＝AC﹣AD′＝5﹣3＝2，∵PC2﹣PD′2＝CD′2，PC＝CD﹣DP＝4﹣a，∴（4﹣a）2﹣a2＝22，解得a=3 2，当P点在D点左侧时，如图，∵PD′2+CD′2＝PC2，∴a2+（3+5）2＝（4+a）2，解得a＝6，综上，a=32或6；（3）存在．由折叠性质知，AD＝AD′＝2，∠ADP＝∠AD′P＝90°，∵CH⊥PD′，∴∠AEP＝∠EHC＝90°，∵AH＝CD′，D′H＝HD′，∴Rt△AD′H≌Rt△CHD′（HL），∴AD′＝CH，∴四边形AHCD′是平行四边形，如图，当点P在线段DC上，点H在PD′上时，连接AC交PD′于O，∵AD＝2，BC＝CD，∴AC=√AD2+CD2=√22+42=2√5，∵四边形AHCD′是平行四边形，∴AO＝CO=√5，D′O＝OH，AD′＝CH＝2，∴OD′＝HO=√CO2−CH2=√5−22=1，在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（4﹣a）2＝4+（a﹣2）2，∴a＝2；如图，当点P在线段DC上，点H在PD′的延长线上时，∵四边形AHCE是平行四边形，∴AO＝CO=√5，OD′＝OH，AD′＝CH＝2，∴OD′＝HO=√CO2−CH2=√5−22=1，在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（4﹣a）2＝4+（a+2）2，∴a=2 3；如图，当点P在CD的延长线上时，同理可证：四边形ACHD′是平行四边形，又∵∠CHD′＝90°，∴四边形ACHD′是矩形，∴AD′＝CH＝2，AC＝D′H＝2√5，在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（4+a）2＝4+（2√5−a）2，∴t＝2√5−4；当点P在DC的延长线上时，如图，∵四边形ACHD′是矩形，∴AD′＝CH＝2，AC＝D′H＝2√5，DP＝D′P＝a，在Rt△PCH中，PC2＝CH2+PH2，∴（a4＝﹣4）2＝4+（a﹣2√5）2，∴m＝2√5+4．综上所述：当a＝1.5或a＝2√5+4或a=23或a＝2√5−4 时，存在AH＝CD′．24．（2022•金华模拟）方法学习如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现：∠CPN不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到格点处，并且恰好在Rt△DMN中．可以方便求出tan∠CPN 的值为2；问题解决（1）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值为√22；（2）如图3，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则sin∠CP A的值为7√210；思维拓展如图4，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为60度，点A，B，C，D都在格点处，线段AB与CD相交于点P求cos∠CP A 的值．【解答】解：思考：如图1中，∵CE∥MN，∴∠MND＝∠CPN，∴tan∠MND＝tan∠CPN，∵∠DMN＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠MND=DMMN=2√2√2=2，故tan∠CPN的值为2．故答案为：2；问题解决（1）如图2中，取格点Q，连接QM，CQ．∵CQ ∥AN ， ∴∠CPN ＝∠QCM ，∵△QCM 是等腰直角三角形， ∴∠CPN ＝∠QCM ＝45°， ∴cos ∠CPN ＝cos ∠QCM =√22，故答案为：√22；（2）如图3中，取格点Q ，连接QM ，CQ ，过点C 作CG ⊥QM 于点G ，∵QM ∥AN ， ∴∠CP A ＝∠CMG ， ∴sin ∠CP A ＝sin ∠CMG =CG CM， ∵CM =√12+22=√5，QM =√12+32=√10， ∴12×√10CG ＝3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3，∴CG =7√1010， ∴sin ∠CP A ＝sin ∠CMG =CGCM =7√1010×√5=7√210，∴sin ∠CP A 的值为7√210，故答案为：7√210；。

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：三角形(含解析)

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：9三角形一．选择题（共14小题）1．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 2．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．3B．4C．5D．6 3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线4．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN ＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A ．4√2B ．6C ．2√10D ．3√55．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 延长线上一点，且∠BAC ＝2∠CAD ，已知BC ＝4，AD ＝7，则△ACD 的面积为（）A ．7B ．14C ．21D ．286．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB ，EC ．若∠EBC ＝45°，BC ＝6，则△EBC 的面积是（）A ．12B ．9C ．6D ．3√27．（2022•浦江县模拟）如图，已知△AHB 是等腰直角三角形．∠AHB ＝90°，△AHG ，△BHC ，△ABE 是等边三角形，GH 交AE 于点F ．CH 交BE 于点D ．记四边形EFHD 的面积为S 1，△BCD 的面积S 2，则S 1S 2的值为（）A ．3−√33B ．2√3−√25C ．3√2−√66D ．√6−√28．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A ．超市B ．医院C ．体育场D ．学校9．（2022•龙湾区模拟）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，以△ABC 的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形按图2所示放置，连结MG ，DG ．若MG ⊥DG ，且BQ ﹣AF =32，则AB 的长为（）A ．4√3B ．5√2C ．152D ．25310．（2022•瑞安市校级三模）如图（1）是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，图（2）中，在线段AE 和CG 上分别取点P 和点Q ，使AP ＝CQ ，连接PD 、PB 、QD 和QB ，则构成了一个“压扁”的弦图．“压扁”的弦图（四边形PBQD ）中，4个直角三角形的面积（如图（2）中的阴影部分）依次记作S 1，S 2，S 3，S 4，连接PQ 并延长交BC 于点M ．若AE ＝3EF ＝3，S 1＝S 3＝S 2+S 4，则CM 的长为（）A ．√2B ．3√1314C ．1411D ．605311．（2022•奉化区二模）如图，等边△ABC 和等边△DEF 的边长相等，点A 、D 分别在边EF ，BC 上，AB 与DF 交于G ，AC 与DE 交于H ．要求出△ABC 的面积，只需已知（）A ．△BDG 与△CDH 的面积之和B ．△BDG 与△AGF 的面积之和C ．△BDG 与△CDH 的周长之和D ．△BDG 与△AGF 的周长之和12．（2022•永嘉县三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周辞算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD ．连结CE ，若CE ＝AD ，则tan ∠BCE 的值为（）A ．12B ．23C ．34D ．4513．（2022•温州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM ⊥CF 于点M ，BJ ⊥GM 于点J ，AK ⊥BJ 于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，CE =√10+√2，则CH 的长为（）A ．√5B ．3+√52C ．2√2D ．√1014．（2022•江北区模拟）如图，在锐角三角形△ABC 中，分别以三边AB ，BC ，CA 为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S 1，三角形内的阴影面积为S 2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S 1﹣S 2的是（）A ．已知△ABC 的三条中位线的长度B ．已知△ABC 的面积C ．已知BC 的长度，以及AB ，AC 的长度和D ．已知AB ，AC 的长度及∠ACB 的度数二．填空题（共8小题）15．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件．16．（2022•丽水模拟）如图，已知∠B＝∠D，请再添上一个条件，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．17．（2022•婺城区校级模拟）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形ABCD的面积为S1，△CDE的面积为S2，四边形DEFG的面积为S3，四边形FGHI的面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出．18．（2022•嘉兴二模）一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG＝2．H是DF边上一点，满足DH＝DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为；运动过程中AH的最小值是．19．（2022•龙港市模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P在边CD上，M，N 分别是AP，EF的中点，连结AC，MN，且MN＝AM，MN⊥AM，则AC的长为，△ACP的面积为．20．（2022•乐清市三模）研究任务画出平分直角三角形面积的一条直线研究成果中线法分割法等积法BD是AC边上的中线若AEBE =n，则AFCF=n+1n−1DE∥BF成果应用如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直线EF平分△ABC的面积．①若EF⊥AC，AFCF=2，则AC的值为；②若BE＝CF，AE＝EF，则AC的值为．21．（2022•西湖区模拟）如图，Rt△ABC≌Rt△EFD，∠BAC＝∠FED＝90°，tan B=43，点D为BC中点，连结AD，在Rt△EFD绕点D旋转的过程中，当点E落在直线AB上时，AEAB的值为．22．（2022•温州模拟）如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，AB∥DC，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的距离是cm．三．解答题（共9小题）23．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：√2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：√2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．24．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC 于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．25．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F．（1）求证：BF＝CE．（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的长．26．（2022•温州校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD，BF⊥AD交AD的延长线于点F．（1）求证：△CDE≌△BDF；（2）若AE＝3，BF＝2，求AC的长．27．（2022•萧山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：DE＝DF．（2）若AB＝13，BC＝10，求DE的长．28．（2022•下城区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．29．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的√5倍，求最小角的正弦值．30．（2022•婺城区模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度数；（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE长．31．（2022•衢江区二模）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6，过点C作CD∥AB，O是BC中点，E是线段AB上的动点，射线EO交CD于点F．圆圆想探究在点E运动过程中，AE与EF的数量关系，她设AE＝x，EF＝y，利用几何画板绘图、测量，得到如表所示的几组对应值，并在图②中描出了以各组对应值为坐标的点．x01234 4.556y9.497.62 5.83 3.16 3.00 3.16（1）当x＝3时，求EF的长；（2）在图②中描出y关于x的函数图象，并根据图象填空：当y最小时，x≈（保留1位小数）；（3）当EF﹣AE＝2时，利用函数图象求AE的长（保留1位小数）．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：9三角形参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2022•金华）如图，AC 与BD 相交于点O ，OA ＝OD ，OB ＝OC ，不添加辅助线，判定△ABO ≌△DCO 的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【解答】解：在△AOB 和△DOC 中， {OA =OD∠ADB =∠DOC OB =OC， ∴△AOB ≌△DOC （SAS ），故选：B ．2．（2022•衢州）线段a ，b ，c 首尾顺次相接组成三角形，若a ＝1，b ＝3，则c 的长度可以是（） A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：∵线段a ＝1，b ＝3， ∴3﹣1＜c ＜3+1，即2＜c ＜4．观察选项，只有选项A 符合题意，故选：A ．3．（2022•杭州）如图，CD ⊥AB 于点D ，已知∠ABC 是钝角，则（）A ．线段CD 是△ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．4．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN ＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP=√22+42=2√5，则PM=√MN2+PN2=2√10．故选：C．5．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CAD，已知BC＝4，AD＝7，则△ACD的面积为（）A．7B．14C．21D．28【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，因为AB＝AC，BC＝4，所以∠BAE=∠CAE，BE=CE=12BC=2，因为∠BAC＝2∠CAD，所以∠BAE＝∠CAE＝∠CAD，过点C作CF⊥AD于点F，根据角的平分线的性质，得到CF＝CE＝2，所以S△ACD=12AD⋅CF=12×7×2=7．故选A．6．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（）A ．12B ．9C ．6D ．3√2【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线， ∴BD ＝CD =12BC ＝3，AD ⊥BC ，在Rt △EBD 中，∠EBC ＝45°， ∴ED ＝BD ＝3， ∴S △EBC =12BC •ED =12×6×3＝9，故选：B ．7．（2022•浦江县模拟）如图，已知△AHB 是等腰直角三角形．∠AHB ＝90°，△AHG ，△BHC ，△ABE 是等边三角形，GH 交AE 于点F ．CH 交BE 于点D ．记四边形EFHD 的面积为S 1，△BCD 的面积S 2，则S 1S 2的值为（）A ．3−√33B ．2√3−√25C ．3√2−√66D ．√6−√2【解答】解：连接DF ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，连接EH 并延长交AB 于M ，设CH ＝a ，∵△AHB 是等腰直角三角形．∠AHB ＝90°，△AHG ，△BHC ，△ABE 是等边三角形， ∴∠ABH ＝45°，∠ABD ＝∠C ＝∠BHC ＝60°， ∴∠HBD ＝15°，∠CDH ＝30°，∠CBD ＝45°， ∴DH ＝BH =√3a ，CD ＝2a ，∴BD =√6a ，BH ＝CH ＝BC ＝（1+√3）a ， ∴BE ＝AB =√2a +√6a ， ∴DE ＝BE ﹣BD =√2a ， ∵AE ＝BE ，AH ＝BH ， ∴EH 垂直平分AB ， ∴∠BEM ＝30°，∵∠CDB ＝∠EDH ＝∠HBD +∠BHC ＝75°， ∴∠EHD ＝∠EDH ＝75°， ∴EH ＝DE =√2a ，同理可得∠HAF ＝15°，∠AHF ＝60°，在△HAF 和△HBD 中， {∠HAF =∠HBD∠AHF =∠BHD AH =BH， ∴△HAF ≌△HBD 中（AAS ）， ∴AF ＝BD ， ∴DF ∥AB ， ∴EH ⊥DF ，∴△EDF 是等边三角形， ∴DF ＝DE =√2a ，∴四边形EFHD 的面积为S 1=12DF •EH =12×√2a ×√2a ＝a 2， △BCD 的面积S 2=12BC •DH =12×（1+√3）a ×√3a =12（3+√3）a 2， ∴S 1S 2=a 212(3+√3)a 2=3−√33，故选：A ．8．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：√22+12=√5，点O到学校的距离为：√32+12=√10，点O到体育场的距离为：√42+22=√20，点O到医院的距离为：√12+32=√10，∵√5＜√10=√10＜√20，∴点O到超市的距离最近，故选：A．9．（2022•龙湾区模拟）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形按图2所示放置，连结MG，DG．若MG⊥DG，且BQ﹣AF=3 2，则AB 的长为（）A ．4√3B ．5√2C ．152D ．253【解答】解：延长HG 交AD 于P ，延长FG 交DE 于I ，则四边形DIGP 为正方形， ∴∠GDM ＝45°，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则c 2＝a 2+b 2①，BQ ＝c ﹣b ，AF ＝c ﹣a ， ∵BQ ﹣AF =32， ∴a ﹣b =32②， ∵MG ⊥DG ， ∴∠GMD ＝45°， ∴MP ＝PD ， ∴c ﹣a ＝a ﹣b ③，联立①②③得{c 2=a 2+b 2a −b =32c −a =a −b，解得{ a =6b =92c =152．则AB 的长为152．故选：C ．10．（2022•瑞安市校级三模）如图（1）是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，图（2）中，在线段AE 和CG 上分别取点P 和点Q ，使AP ＝CQ ，连接PD 、PB 、QD 和QB ，则构成了一个“压扁”的弦图．“压扁”的弦图（四边形PBQD ）中，4个直角三角形的面积（如图（2）中的阴影部分）依次记作S 1，S 2，S 3，S 4，连接PQ 并延长交BC 于点M ．若AE ＝3EF ＝3，S 1＝S 3＝S 2+S 4，则CM 的长为（）A ．√2B ．3√1314C ．1411D ．6053【解答】解：如图，过点M 作MS ⊥CG 于点S ，设PQ 交BF 、DG 于点T 、K ，根据题意得：AE ＝CG ＝BF ＝DH ，BE ＝DG ，四边形EFGH 是正方形，∠AEB ＝∠DGC ＝90°， ∵AE ＝3EF ＝3，∴CG ＝AE ＝DH ＝3，EF ＝FG ＝EH ＝1，EH ∥FG ， ∵AP ＝CQ ， ∴PE ＝GQ ，∴△BPE ≌△DQG （SAS ）， ∴S △BPE ＝S △DQG ，即S 4＝S 2， ∵S 1＝S 3＝S 2+S 4， ∴S 1＝S 3＝2S 4，∴12DH ⋅(PE +EH)=2×12PE ⋅(BF +EF)，即12×3×(PE +1)=2×12PE ⋅(3+1)∴PE =GQ =35， ∴CQ =CG −GQ =125， ∵EH ∥FG ， ∴∠PET ＝∠GQK ，∵∠PET ＝∠KGQ ＝90°，PE ＝GQ ， ∴△PET ≌△QGK ， ∴ET ＝KG ，设KG ＝ET ＝a ，则FT ＝1﹣a ， ∵HG ∥EF ， ∴△KGQ ∽△TFQ ， ∴KG FT=GQ FQ，即a1−a=351+35，解得：a =311，即KG =311， ∴tan ∠KQG =KGGQ =511 ∵∠SQM ＝∠KQG ， ∴tan ∠SQM =511，在Rt △BCF 中，BF ＝3，CF ＝CG +FG ＝4， ∴tan ∠BCF =BFCF =34，∴可设SM＝3x，则CS＝4x，∴SQ=CQ−CS=125−4x，CM＝5x，∴tan∠SQM=SMSQ=3x125−4x=511，解得：x=12 53，∴CM=60 53．故选：D．11．（2022•奉化区二模）如图，等边△ABC和等边△DEF的边长相等，点A、D分别在边EF，BC上，AB与DF交于G，AC与DE交于H．要求出△ABC的面积，只需已知（）A．△BDG与△CDH的面积之和B．△BDG与△AGF的面积之和C．△BDG与△CDH的周长之和D．△BDG与△AGF的周长之和【解答】解：如图，连接AD，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥EF于N，则∠BAM＝∠FDN＝30°，∵等边△ABC和等边△DEF的边长相等，∴AM＝DN，∵AD＝AD，∴Rt△ADM≌Rt△DNA（HL），∴∠DAM＝∠NDA，∴∠BAD＝∠FDA，∵等边△ABC和等边△DEF的边长相等，∴BC＝AC＝AB＝DF，∠B＝∠F＝60°，∵AD＝AD，∴△ABD≌△DF A（ASA），∴S△ABD＝S△DF A，∴S△BDG＝S△F AG，同理：△ACD≌△DEA（SAS），∴S△ACD＝S△DEA，∴S△CDH＝S△EAG，选项A：当△BDG与△CDH的面积之和已知时，S△BDG+S△CDH可求出，而四边形AGDH的面积没办法求出，即△ABC的面积没办法求出，故选项A不符合题意；选项B：当△BDG与△AGF的面积之和已知时，S△BDG可以求出，而四边形AGDC的面积没办法求出，即△ABC的面积没办法求出，故选项B不符合题意；选项C：当△BDG与△CDH的周长之和时，BD+BG+DG+CD+DH+CH可以求出，∵△ABD≌△DF A，∴BD＝AF，∠BAD＝∠FDA，∴BG＝AG，∵AB＝DF，∴BG＝FG，同理：CD＝AE，DH＝AH，CH＝EH，∴BD+BG+DG+CD+DH+CH＝BD+BG+AG+CD+AH+CH＝（BD+CD）+（BG+AG）+（AH+CH）＝BC+AB+AC＝3BC，即BC可以求出，过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴BM=12BC，根据勾股定理得，AM=√32BC，∴S△ABC=12BC•AM=√34BC2，即可求出△ABC的面积；选项D：当△BDG与△AGF的周长之和已知时，可以求出BD+BG+DG，但求不出△ABC 的边长，即△ABC 的面积没办法求出，故选项B 不符合题意；故选：C ．12．（2022•永嘉县三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周辞算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD ．连结CE ，若CE ＝AD ，则tan ∠BCE 的值为（）A ．12B ．23C ．34D ．45【解答】解：如图，令CE 交BG 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于点N ，设CH ＝4x ，∵Rt △AFB ≌Rt △BGC ≌Rt △CHD ≌Rt △DEA ， ∴AF ＝BG ＝CH ＝DE ＝4x ，FB ＝GC ＝HD ＝EA ， ∵四边形EFGH 是正方形，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ，∠CHE ＝∠AFG ＝90°， ∵CE ＝AD ，∴HD ＝EH ＝EF ＝FG ＝FB ＝CG ＝GH ＝2x ， ∴BC =√BG 2+CG 2=2√5x ，在△EFM 和△CGM 中， {∠EFM =∠CGM =90°∠FME =∠GMC EF =CG，∴△EFM ≌△CGM （AAS ）， ∴FM ＝GM ＝x ，在△BMN 和△BCG 中， {∠MBN =∠CBG ∠BNM =∠BGC =90°， ∴△BNM ∽△BGC （AA ）， ∴BM BC =MN GC，即2√5x=MN 2x，BN BG=BM BC，即BN 4x=2√5x，∴MN =3√55x ，BN =6√55x ， ∴CN =BC −BN =2√5x −6√55x =4√55x ，∴tan ∠BCE =MNCN =3√55x 4√55x =34．故选：C ．13．（2022•温州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM ⊥CF 于点M ，BJ ⊥GM 于点J ，AK ⊥BJ 于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，CE =√10+√2，则CH 的长为（）A ．√5B ．3+√52C ．2√2D ．√10【解答】解：设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ， ∴正方形JKLM 面积为m 2，∵正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5， ∴正方形ABGF 的面积为5m 2， ∴AF ＝AB =√5m ，由已知可得：∠AFL ＝90°﹣∠MFG ＝∠MGF ，∠ALF ＝90°＝∠FMG ，AF ＝GF ， ∴△AFL ≌△FGM （AAS ）， ∴AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，则FL ＝FM +ML ＝x +m ，在Rt △AFL 中，AL 2+FL 2＝AF 2， ∴x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，解得x ＝m 或x ＝﹣2m （舍去）， ∴AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ， ∵tan ∠AFL =APAF =ALFL =m2m =12， ∴√5m=12，∴AP =√5m2，∴FP =√AP 2+AF 2=(√5m2)2+(√5m)2=52m ，BP ＝AB ﹣AP =√5m −√5m 2=√5m2， ∴AP ＝BP ，即P 为AB 中点， ∵∠ACB ＝90°， ∴CP ＝AP ＝BP =√5m2，∵∠CPN ＝∠APF ，∠CNP ＝90°＝∠F AP ， ∴△CPN ∽△FP A ， ∴CP FP=CN AF=PNAP ，即√5m 252m=√5m=√5m 2，∴CN ＝m ，PN =12m ， ∴AN ＝AP +PN =√5+12m ，∴tan ∠BAC =BC AC =CN AN =m √5+12m=2√5+1，∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形， ∴△AEC ∽△BCH ， ∴BC AC=CH CE，∵CE =√10+√2， ∴√5+1=√10+√2，∴CH ＝2√2，故选：C ．14．（2022•江北区模拟）如图，在锐角三角形△ABC 中，分别以三边AB ，BC ，CA 为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S 1，三角形内的阴影面积为S 2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S 1﹣S 2的是（）A ．已知△ABC 的三条中位线的长度B ．已知△ABC 的面积C ．已知BC 的长度，以及AB ，AC 的长度和D ．已知AB ，AC 的长度及∠ACB 的度数【解答】解：∵S1＝S3个半外圆﹣S6个弓形＝S3个外半圆﹣（S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2），∴S1＝2S△ABC+S2，∴S1﹣S2＝2S△ABC．A：若已知△ABC的三条中位线的长度，即可得到△ABC三边的长度，再根据海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)（a，b，c是三角形的三边，p=12（a+b+c）），据此求得三角形的面积，即可得到S1﹣S2的值，故A选项不符合题意；B：已知△ABC的面积，代入S1﹣S2＝2S△ABC即可求得，故B选项不符合题意；C：∵已知AB，AC两边长度和，∴AB，AC的长度不确定，∴△ABC的面积也不确定，∴不一定能求出S1﹣S2的值，故C选项符合题意；D：如解图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AD＝AC•sin∠ACB，在△ADC和△ADB中，∴CD=√AC2−AD2，BD=√AB2−AD2，∴S△ABC=12•AD•（BD+CD），据此即可求得S1﹣S2的值，故D选项不符合题意．故选C．二．填空题（共8小题）15．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件∠B＝60°（答案不唯一）．【解答】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故答案为：∠B ＝60°．（答案不唯一）16．（2022•丽水模拟）如图，已知∠B ＝∠D ，请再添上一个条件 ∠BCA ＝∠DCA （答案不唯一），使△ABC ≌△ADC （写出一个即可）．【解答】解：添加的条件是∠BCA ＝∠DCA ，理由是：在△ABC 和△ADC 中， {∠BCA =∠DCA∠B =∠D AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ），故答案为：∠BCA ＝∠DCA （答案不唯一）．17．（2022•婺城区校级模拟）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形ABCD 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，四边形DEFG 的面积为S 3，四边形FGHI 的面积为S 4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 S 2 ．【解答】解：设大正方形的面积为c ，中正方形的面积为b ，小正方形的面积为a ，如图2，∵S1+S阴影=12（c﹣a），S1+S2=12b，∵c＝a+b，∴b＝c﹣a，∴S1+S阴影＝S1+S2，∴S2＝S阴影，∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S2，故答案为：S2．18．（2022•嘉兴二模）一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG＝2．H是DF边上一点，满足DH＝DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为2√35；运动过程中AH的最小值是6√3−1．【解答】解：当E与G重合时，在Rt△BDG中，DG＝DE＝12，BG＝2，∴BD=√DG2−BG2=√122−22=2√35，如图2中，以BG为边，在BC的上方作等边△BGJ，作直线HJ交AB于点K，连接GH，过点A作AT⊥JH于点T．∵DG＝DH，∠GDH＝60°，∴△DGH是等边三角形，∴GD＝GH，∵∠JGB＝∠DGH＝60°，∴∠DGB＝∠HGJ，∵GB＝GJ，GD＝GH，∴△DGB≌△HGJ（SAS），∴∠HJG＝∠DBG＝90°，∴点H在过点J且垂直JG的直线上运动，根据垂线段最短可知，当AH与AT重合时，AH的值最小，∵∠KBJ＝∠KJB＝30°，∴BK＝KJ，∵GB＝GJ，GK＝GK，∴△GKB≌△GKJ（SSS），∴∠BGK＝∠JGK＝30°，∴BK＝BG•tan30°=2√3 3，∴AK＝AB＝BK＝12−2√3 3，∵AT⊥KT，∠AKT＝60°，∴AT＝AK•sin60°＝（12−2√33）×√32=6√3−1，∴AH的最小值为6√3−1．故答案为：2√35，6√3−1．19．（2022•龙港市模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P在边CD上，M，N分别是AP，EF的中点，连结AC，MN，且MN＝AM，MN⊥AM，则AC的长为2√3，△ACP的面积为3．【解答】解：如图，作MG∥CD交AC于G，∵M是AP的中点，∴G是AC的中点，连接EM，∴EM∥CD，∴∠MEF＝60°，过点N作NH⊥ME于点H，∵N是EF的中点，∴EN=12EF＝1，∴HE=12EN=12，∴NH=√3HE=√3 2，∵MN⊥AM，∴∠AMG+∠NMH＝90°，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝2，∴AB＝AF＝BC＝EF＝2，∠ABC＝∠AFE＝∠BCD＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴∠AGM ＝90°， ∴∠GAM +∠GMA ＝90°， ∴∠NMH ＝∠GAM ，在△AGM 和△MHN 中， {∠AGM =∠MHN =90°∠GAM =∠HMN AM =MN，∴△AGM ≌△MHN （AAS ）， ∴GM ＝NH =√32，∵GM ∥CP ，GM =12CP ， ∴CP ＝2GM =√3，连接BG ，∵AB ＝BC ，且G 是AC 中点， ∴AC ＝2AG ，AC ⊥BG ，∴BG =12AB ＝1，AG =√3BP =√3，BE ∥CD ， ∴AC ＝2AP =2√3；∴△ACP 的面积=12×AC •CP =12×2√3×√3=3．故答案为：2√3；3． 20．（2022•乐清市三模）研究任务画出平分直角三角形面积的一条直线研究成果中线法分割法等积法BD 是AC 边上的中线若AE BE=n ，则AF CF=n+1n−1DE ∥BF成果应用如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，直线EF 平分△ABC 的面积．①若EF ⊥AC ，AF CF=2，则AC 的值为 3√2 ；②若BE ＝CF ，AE ＝EF ，则AC 的值为 163．【解答】解：①如图1，连接BF ，设AC ＝b ，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4， ∴BC =√AC 2−AB 2=√b 2−42=√b 2−16， ∴S △ABC =12AB •BC =12×4×√b 2−16=2√b 2−16，由研究成果分割法得：若AE BE=n ，则AF CF=n+1n−1，∵AF CF=2， ∴n+1n−1=2，解得：n ＝3， ∴AE BE=3，∵AB ＝4， ∴AE ＝3，BE ＝1，∵AF +CF ＝b ，AF CF =2，∴AF =23b ，CF =13b ， ∵S △AEF =12S △ABC ， ∴12AF •EF =12×12AB •BC ，即12×23b ×EF =12×12×4×√b 2−16， ∴EF =3√b 2−16b，在Rt △AEF 中，AF 2+EF 2＝AE 2， ∴（23b ）2+（3√b 2−16b）2＝32，且b ＞0，解得：b ＝3√2，故答案为：3√2；②如图2，设D 是AC 的中点，连接DE 、BD 、BF ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，由研究成果等积法得：点D 是AC 的中点，DE ∥BF ， ∴AE BE =AD DF，AD =12AC ，设AE BE=n ，则AE BE=AD DF=12AC DF =n ，根据研究成果分割法得：若AE BE=n ，则AF CF=n+1n−1，∴AE ＝n •BE ， ∵AE +BE ＝AB ＝4， ∴（n +1）BE ＝4， ∴BE =4n+1，AE =4nn+1，又∵BE ＝CF ， ∴CF =4n+1， ∴AF =n+1n−1CF =n+1n−1×4n+1=4n−1， ∴AC ＝AF +CF =4n−1+4n+1=8n(n−1)(n+1)， ∵AE ＝EF ，EG ⊥AF ， ∴AG =12AF =12×4n−1=2n−1，∵cos A =AG AE =ABAC， ∴AG •AC ＝AB •AE ，163即2n−1×8n (n−1)(n+1)=4×4nn+1， ∵n ＞0， ∴n ＝2，∴AC =8n(n−1)(n+1)=8×2(2−1)×(2+1)=163，故答案为：163．21．（2022•西湖区模拟）如图，Rt △ABC ≌Rt △EFD ，∠BAC ＝∠FED ＝90°，tan B =43，点D 为BC 中点，连结AD ，在Rt △EFD 绕点D 旋转的过程中，当点E 落在直线AB 上时，AE AB的值为4√3−36或4√3+36．【解答】解：设AB ＝6m ，则在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，tan B =43，∴AC ＝8m ，BC ＝10m ， ∵Rt △ABC ≌Rt △EFD ，∴EF ＝AB ＝6m ，DE ＝AC ＝8m ，DF ＝BC ＝10m ． ∵点D 为BC 的中点， ∴AD ＝BD ＝CD ＝5m ．过点D 作DM ⊥AB 于点M ， ∴AM ＝BM ＝3m ， ∴DM ＝4m ．根据题意可知，需要分两种情况：当点E 在射线BA 的上时，如图，在Rt △DME 中，由勾股定理可知，ME ＝4√3m ， ∴AE ＝（4√3−3）m ， ∴AE AB=4√3−36．当点E 在射线AB 上时，如图，在Rt △DME 中，由勾股定理可知，ME ＝4√3m ， ∴AE ＝（4√3+3）m ， ∴AE AB=4√3+36．综上，AEAB的值为4√3−36或4√3+36．故答案为：4√3−36或4√3+36． 22．（2022•温州模拟）如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD ，AB ∥DC ，BC ⊥AB ，底座AB 上装着两个半径为30cm 的轮胎切于水平地面，AB ＝169cm ，BC ＝120cm ．挡货架AE 上有一固定点T 与AD 的中点N 之间由液压伸缩杆TN 连接．当TN ⊥AD 时，TN 的延长线恰好经过B 点，则AD 的长度是 130 cm ；一个长方体物体准备装卸时，AE 绕点A 左右旋转，托物体的货叉PQ ⊥AE （PQ 沿着AE 可上下滑动），PQ ＝65cm ，AE ＝AD ．当AE 旋转至AF 时，PQ 下降到P 'Q '的位置，此时F ，D ，C 三点共线，且FQ '＝52cm ，则点P '到地面的距离是 77 cm ．【解答】解：连接BD ，过D 点D 作DG 交DG ⊥AB 于点G ，如图2，∵N 为AB 的中点，且TN ⊥AD ， ∴AN ＝DN ，∠ANB ＝∠DNB ＝90°， ∵BN 为△ABN 与△DBN 共公共边，在Rt △ABN 和Rt △DBN 中， ∴BD ＝AB ＝169cm ， ∵AB ∥DC ，BC ⊥AB ， ∴∠DCB ＝90°，∴CD=√BD2−BC2=119（cm），∵BC⊥AB，DG⊥AB，∴BC∥DG，∴四边形DGBC为矩形，∴BG＝DC＝119cm，DG＝BC＝120cm，∴AG＝AB﹣BG＝169﹣119＝50cm，∴AD=√DG2+AG2=√1202+502=130cm．如图3，过P′作P′H∥AB，过点Q′作Q′L⊥AB延长线，交AB延长线于点LL，交P′H于点I，过AA作AK⊥FC于点KK，则AK＝BC＝120cm，∠Q′HP′＝∠Q′AL＝∠F，∵AF＝AD＝130cm，∴FK=√AF2−AK2=√1302−1202=50（cm），∴cos∠F=513，tan∠F=125，sin∠F=1213，∵DF∥P′H，∴∠F＝∠P′HQ′，在Rt△P′Q′H中，P′Q′＝65cm，∴Q′H=P′Q′tan∠P′HQ=65125=32512（cm），在Rt△Q′IH在，Q′I＝Q′H•sin∠Q′H′I=32512×1213=25（cm），在Rt△Q′AL中，Q′A＝AF﹣FQ′＝130﹣52＝78（cm），∴IL＝Q′L﹣LQ′＝72﹣25＝47，∵轮胎的半径为30cm，∴点P'到地面的距离是77cm．故答案为：130，77．三．解答题（共9小题）23．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：√2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：√2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．【解答】解：（1）赞同，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，∴cos45°=ACAB=√22=√2，∵AC＝AP，∴APAB =√2，∴点P为线段AB的“趣点”．（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，∴∠ACP=∠APC=12×(180°−45°)=67.5°，∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，∵△DPE ∽△CPB ，D ，A 重合，∴∠DPE ＝∠CPB ＝112.5°，∴∠CPE ＝∠DPE +∠CPB ﹣180°＝45°；②点N 是线段ME 的趣点，理由如下：当点D 为线段AC 的趣点时（CD ＜AD ），∴AD AC =√2，∵AC ＝AP ，∴AD AP =√2， ∵ACAB =√2，∠A ＝∠A ，∴△ADP ∽△ACB ，∴∠ADP ＝∠ACB ＝90°，∴∠APD ＝45°，DP ∥CB ，∴∠DPC ＝∠PCB ＝22.5°＝∠PDE ，∴DM ＝PM ，∴∠MDC ＝∠MCD ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴MD ＝MC ，同理可得MC ＝MN ，∴MP ＝MD ＝MC ＝MN ，∵∠MDP ＝∠MPD ＝22.5°，∠E ＝∠B ＝45°，∴∠EMP ＝45°，∠MPE ＝90°，∴MPME =√2=MNME ，∴点N 是线段ME 的“趣点”．24．（2022•绍兴）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠ACB ＝90°，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ．P 是边BC 上的动点（不与B ，C 重合），连结AP ，将△APC 沿AP 翻折得△APD ，连结DC ，记∠BCD ＝α．（1）如图，当P 与E 重合时，求α的度数．（2）当P 与E 不重合时，记∠BAD ＝β，探究α与β的数量关系．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，P与E重合，∴D在AB边上，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；答：α的度数为25°；（2）①当点P在线段BE上时，如图：∵将△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，∴（90°﹣α）+β＝40°+α，∴2α﹣β＝50°，②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：∵将△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，∴90°﹣α＝40°+α+β，∴2α+β＝50°；综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．25．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F．（1）求证：BF＝CE．（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD∵BF⊥AD，CE⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°在△BFD和△CED中{∠BFD =∠CED∠BDF =∠CDE BD =CD，∴△BFD ≌△CED （AAS ），∴BF ＝CE ；（2）解：在△AEC 中，CE ＝BF ＝3，AE ＝2，∴AC =√AE 2+CE 2=√22+32=√13．26．（2022•温州校级模拟）如图，AD 是△ABC 的中线，CE ⊥AD ，BF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ．（1）求证：△CDE ≌△BDF ；（2）若AE ＝3，BF ＝2，求AC 的长．【解答】（1）证明：∵CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠CED ＝∠BFD ＝90°，∵AD 为BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，在△CED 和△BFD 中，{∠CED =∠BFD∠CDE =∠BDF CD =BD，∴△CED ≌△BFD （AAS ）；（2）解：由（1）得：△CED ≌△BFD ，∴CE ＝BF ＝2，∵AE ＝3，∴AC =√AE 2+CE 2=√32+22=√13．27．（2022•萧山区校级二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．（1）求证：DE ＝DF ．（2）若AB ＝13，BC ＝10，求DE 的长．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ．（2）解：∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，∴BD ＝CD =12BC =12×10＝5，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴AD =√AB 2−BD 2=√132−52=12，∵12AB •DE =12BD •AD ＝S △ABD ， ∴12×13DE =12×5×12， ∴DE =6013，∴DE 的长为6013．28．（2022•下城区校级二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 边上（不与点A ，点C 重合），连接BD ，BD ＝AB ．（1）设∠C ＝50°时，求∠ABD 的度数；（2）若AB ＝5，BC ＝6，求AD 的长．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，∵BD＝AB，∴∠BDA＝∠A＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，（2）解：过点A作AM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，设AN＝x，则CN＝5﹣x，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴M是BC的中点，∵AB＝5，BC＝6，∴AM=√AB2−BM2=4，∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，∴x=7 5，∴AD＝2AN=14 5．29．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．√（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．×【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：√2或√5：√5：2．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的√5倍，求最小角的正弦值．【解答】解：【概念感知】（1）如图1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，∵AB＝AC，∴等腰直角三角形是标准三角形，故答案为：√；（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，∵∠A＝30°，∴CD=12AC，∵CA＝AB，∴CD=12AB，∴△ABC不是标准三角形；如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，此时AE＞BC，∴△ABC不是标准三角形；故答案为：×；【概念理解】如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：√2；如图4，当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，∴BE＝EC=12BC=12AE，设BE＝x，则AE＝2x，在Rt△ABE中，AB=√5x，∴AB：AC：BC=√5：√5：2；故答案为：1：1：√2或√5：√5：2；【概念应用】（1）如图5，过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，∵AB＝CD＝1，∴AA'＝2，在Rt△ABA'中，A'B=√5，∴AC+BC的最小值为√5；（2）在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，∴AC＞CD，BC＞CD，∴AC＞AB，BC＞AB，∴△ABC的最小角为∠ACB，①如图6，当AC=√5AB时，AC=√5CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC=√5a，∵S△ABC=12×AB×CD=12×AC×BE，∴BE=√55a，在Rt△ACD中，AD＝2a，∴BD＝AD﹣AB＝a，在Rt△BCD中，BC=√2a，在Rt△BCE中，sin∠BCE=√10 10；②如图7，当BC=√5AB时，BC=√5DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC=√5a，在Rt△BCD中，BD＝2a，∴AD＝3a，。

浙教版备考中考数学一轮专题圆

5.已知△ABC 的三边 a,b,c 满足 a+b2+|c-6|+28=4
+10b,则△ABC 的外接圆半径=________.
6.如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=90°,正方形 CDEF 的顶点 C 是的中点,点 D 在 OB 上,点 E 在 OB 的延长线上,
当正方形 CDEF 的边长为 2 时,阴影部分的面积为________
4.【解析】【解答】解：如图，
∵y＝kx－3k＋4=k（x-3）+4
当 x-3=0 即 x=3 时，y=4, ∴此直线一定经过点 D（3，4）当 OD⊥BC 时，此时弦 BC 最短，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E, ∴OE=3，DE=4，BC=2BD， ∴OD2=OE2+DE2=32+42,
C. 不一定相似
3.如图,已知圆内接正三角形的面积为 ,则该圆的内接正六边形的边心距为( )
D. 无法判断
A. 2
B. 1
C.
D.
4.在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A(13，0)，直线 y＝kx－3k＋4 与⊙O 交于 B，C 两点，则弦 BC 的长的最小值为________.
直角三角形一定相似，即可得到结论。
3.【解析】【解答】解：如图,设△ABC 的边长为 a,则 S△ABC= a2,
∴ a2= ,解得 a=2 或 a=-2(舍),∴BC=2.
∵∠BAC=60°,BO=CO,∴∠BOC=120°,则∠BCO=30°.
∵OH⊥BC,∴BH= BC=1,在 Rt△BOH 中,BO=BH÷cos30°=
（1）当∠APB＝30°时，求∠B 的度数；（2）求证：AB2＝BC·PB；

浙江省中考数学一轮复习专题练习8 三角形(1) 浙教版-浙教版初中九年级全册数学试题

三角形（1）班级某某学号一、选择题1.sin450的值等于（）A. 12B.22C.32D. 12.如图，某防洪大坝的横断面是梯形，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，则斜坡AB的坡角为（）（精确到1°）A．24° B．22° C．68° D．66°3.下列判断中错误．．的是（）A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等4.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，65.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠A=360，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个6.如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AD AC的值等于（）A. 12B. 512-C. 1D. 512+ 7.如图，若正△A 1B 1C 1内接于正△ABC 的内切圆，则11A B AB的值为（）A. 12B. 22C. 13D. 33 8.如图，AB//CD ，AE//FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（）A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对9.在Rt△ABC 的直角边AC 边上有一点P （点P 与点A 、C 不重合），过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，满足条件的直线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．3条或4条10.将边长为3cm 的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于（）233 293 293 D. 22738cm二、填空题11.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=158°，则∠EDF等于度。

2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化(提升卷)

2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化（提升卷）(时间：90分钟满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A ．ABC ADC ∠=∠B ．CB CD=C ．DE DC BC +=D ．AB CD∥【答案】D【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明//AB CD ，即D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∵60ABC ∠<︒，∴ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意；由旋转可知CB CE =，∵120EDC ∠=︒为钝角，∴CE CD >，∴CB CD >，故B 选项错误，不符合题意；∵DE DC CE +>，∴DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意；由旋转可知DC AC =，∵60ADC ∠=︒，∴ADC 为等边三角形，∴60ACD ∠=︒．∴180ACD BAC ∠+∠=︒，∴//AB CD ，故D 选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．4.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为A ．10B ．6C ．3D ．2【答案】C 【解析】如图所示，n 的最小值为3，故选C ．【名师点睛】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．5.四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位【答案】C【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵点A(−1，b)关于y轴对称点为B(1，b)，C(2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D(3.5，b)向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．6.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22-，()2020202020212,2A ∴，故选：C ．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（2，)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为（）A ．(2--,或2)-B ．(2,C ．(2,-D ．(2--,或(2,【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，根据题意易得△AOB 为等边三角形，在旋转过程中，点A 有两次落在x 轴上，当点A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，易证此时C′′与点A 重合，即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，则23tan AOE=2∠，，∴∠AOE=60°，∵四边形ABCD 是菱形，∴△AOB 是等边三角形，当A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，此时旋转角为60°，∵∠BOC=60°，∠COF=30°，∴∠C′OF=60°-30°=30°，∵OC′=OA=4，∴OF=C'O cos ∠，C′F=C'Osin C'OF=2∠，∴C′（2,--），当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°又∵OA=OC′′，∴此时C′′点A 重合，C C′′(2,，综上，点C 的对应点的坐标为(2--,或(2,，故答案为：D ．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A 的运动情况，分情况讨论．8.如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B重合，则CE的长为（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴=10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=25 4，∴CE=2584-=74，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．9.在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x=0时，y=5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ⨯-=-，2510y y ⨯-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--⋅-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10.如图．将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，B β∠=∠．当AC 平分''B AC ∠时，α∠与β∠满足的数量关系是（）A ．2αβ∠=∠B ．23αβ∠=∠C ．4180αβ∠+∠=︒D ．32180αβ∠+∠=︒【答案】C【分析】根据菱形的性质可得AB=AC ，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠，根据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′=α∠，根据AC 平分''B AC ∠可得∠B′AC=∠CAC=α∠，即可得出4180αβ∠+∠=︒，可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，B β∠=∠，∴AB=AC ，∴∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠=1(180)2β︒-∠，∵将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，∴∠CAC′=∠BAB′=α∠，∵AC 平分''B AC ∠，∴∠B′AC=∠CAC=α∠，∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2α∠=1(180)2β︒-∠，∴4180αβ∠+∠=︒，故选；C ．【点睛】本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11.如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．【答案】【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠，∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒，∴B BFD ∠=∠，∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴152DE BC ==，∵AF ＝EF ，∴AEF 是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =，∴tan 60CF AF ==︒∴AG =∴四边形ADFE 的面积为122DE AG ⋅⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．12.如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D 的位置，则阴影部分的面积是______________；【答案】2323-【分析】CD 交11B C 于点E ，连接AE ；根据全等三角形性质，通过证明1AB E ADE △≌△，得1EAB EAD ∠=∠；结合旋转的性质，得130EAB EAD ∠=∠=︒；根据三角函数的性质计算，得1EB ，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．【详解】解：如图，CD 交11B C 于点E ，连接AE根据题意，得：190AB E ADE ∠=∠=︒，11AB AD ==∵AE AE=∴1AB E ADE△≌△∴1EAB EAD∠=∠∵正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D ∴130BAB ∠=︒，90BAD ∠=︒∴119060B AD BAB ∠=︒-∠=︒∴130EAB EAD ∠=∠=︒∴111tan 3EB EAB AB =∠=∴13EB =∴111112236AB E ADE S S AB EB ==⨯=⨯=△△∴阴影部分的面积()()122AB E ADE AB BC S S =⨯-+△△23=-故答案为：23-．【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解．13.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝8，点D 在AB 上，且BD点E 在BC 上运动．将△BDE 沿DE 折叠，点B 落在点B′处，则点B′到AC 的最短距离是_____．【答案】2【解析】【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，根据三角函数知识可得DB′+B′J≥DH，DB′＝DB＝，当D，B′，J共线时，B′J的值最小，此时求出DH，DB′，即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝，∵BD，∴AD＝AB﹣BD＝，∵∠AHD＝90°，∴DH＝12AD＝332，∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB ∴B′J≥DH﹣DB′，∴B′J≥3 2，∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为3 2；故答案为2．【点睛】本题主要考查了图形的折叠，特殊锐角三角函数的知识．14.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．【答案】245【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==2222543BC OB OC =--∵''B OA BOA∠=∠∴'sin ''sin 'A P BC B OA BOA A O OB∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．15.如图，将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α（0°<α<90°）得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转β（0°<β<90°）得到AF ，连接EF ．若AB=3，AC=2，且α+β=∠B ，则EF=__________．【答案】13【解析】由旋转的性质可得AE=AB=3，AC=AF=2，∵∠B+∠BAC=90°，且α+β=∠B ，∴∠BAC+α+β=90°，∴∠EAF=90°，∴22AE AF +1313【名师点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．16.如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D ''' 的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．【答案】98【分析】过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，证明ABB ADD ''∆∆∽求得53C D '=，根据AAS 证明ABB B CM ''∆≅∆可求出CM=1，再由CM//C D ''证明△CME DC E '∆∽，由相似三角形的性质查得结论．【详解】解：过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，∵平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形AB C D '''∴AB AB '=，,AD AD '=B AB C D D '''∠=∠=∠=∠，BAD B AD ''∠=∠∴BAB DAD ''∠=∠，B D '∠=∠∴ABB ADD ''∆∆∽∴3,4BB AB AB DD AD BC ''===∵1BB '=∴43DD '=∴C D C D DD ''''=-CD DD '=-AB DD '=-433=-53=AB C AB C CB M ABC BAB '''''∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠CB M BAB ''=∠∵413B C BC BB ''=-=-=∴B C AB'=∵AB AB '=∴∠AB B AB C ABB ''''=∠=∠∵//AB C D '''，//C D CM''∴//AB CM'∴∠AB C B MC'''=∠∴∠AB B B MC''=∠在ABB '∆和B MC '∆中，BAB CB M AB B B MC AB B C ∠=∠⎧⎪∠='''∠''⎨⎪=⎩∴ABB B CM''∆≅∆∴1BB CM '==∵//CM C D'∴△CME DC E'∆∽∴13553CM CE DC DE '===∴38CE CD =∴333938888CE CD AB ====故答案为：98．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．17.如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C的距离分别为4则正方形ABCD 的面积为________【答案】314【解析】【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．【详解】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵2，∠PBM=90°，∴2PB=2，∵PC=4，3，∴PC2=CM2+PM2，∴∠PMC=90°，∵∠BPM=∠BMP=45°，∴∠CMB=∠APB=135°，∴∠APB+∠BPM=180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH=HM ，∴BH=PH=HM=1，∴AH=2+1，∴AB 2=AH 2+BH 2=（）2+12，∴正方形ABCD 的面积为14+4．故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．18.如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将DAE △按逆时针方向旋转得DCF ，连接EF ，分別交BD ，CD 于点M ，N ．若25AE DN =，则sin EDM ∠=__________．【答案】5【分析】过点E 作EP ⊥BD 于P ，将∠EDM 构造在直角三角形DEP 中，设法求出EP 和DE 的长，然后用三角函数的定义即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC ，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=1，BD =．∵△DAE 绕点D 逆时针旋转得到△DCF ，∴CF=AE ，DF=DE ，∠EDF=∠ADC=90°．设AE=CF=2x ，DN=5x ，则BE=1-2x ，CN=1-5x ，BF=1+2x ．∵AB ∥DC ，∴~FNC FEB ．∴NC FC EB FB =．∴1521212x x x x -=-+．整理得，26510x x +-=．解得，116x =，21x =-（不合题意，舍去）．∴1221233AE x EB x ===-=．∴103DE ===．过点E 作EP ⊥BD 于点P ，如图所示，设DP=y ，则2BP y =．∵22222EB BP EP DE DP -==-，∴)2222210233y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得，223y =．∴222210222333EP E D DP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴在Rt △DEP 中，253sin 5103EP EDP ED ∠==．即5sin 5EDM ∠=．故答案为：55【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【详解】解：∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB=3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x=-4，即A （-4，3），∴OB=3，AB=4，，由旋转可知：OB=O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA=O 1A=O 2A 1=…=5，AB=AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4，∴OB 1=OA+AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129=，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：387 5．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【解析】（1）如下图所示，点A1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A（4，1），∴=∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：290(17)360⨯π⨯=174π．【名师点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8AA '=；（2）1511BM =；（3）存在，最小值为1【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC 长为4．再根据旋转的性质可知AB A B '=，最后由等腰三角形的性质即可求出AA '的长．（2）作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．再由平行线的性质可知CEB A BC ''∠=∠，即可推出CEB ABC ∠=∠，从而间接求出3CE BC BC '===，DE DB =．由三角形面积公式可求出125CD =．再利用勾股定理即可求出185BE =，进而求出335C E '=．最后利用平行线分线段成比例即可求出BM 的长．（3）作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．由题意易证明BCC BC C ''∠=∠，90ACP BCC '∠=︒-∠，90A C D BC C '''∠=︒-∠，即得出ACP A C D ''∠=∠．再由平行线性质可知APC A C D ''∠=∠，即得出ACP APC ∠=∠，即可证明AP AC A C ''==，由此即易证()APD A C D AAS ''≅ ，得出AD A D '=，即点D 为AA '中点．从而证明DE 为ACA ' 的中位线，即12DE A C '=．即要使DE 最小，A C '最小即可．根据三角形三边关系可得当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值即为=A C A B BC ''-，由此即可求出DE 的最小值．【详解】（1）在Rt ABC 中，4AC ==．根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形．∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥，∴4A C AC '==，∴8AA '=．（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．∵//CE A B '，∴CEB A BC ''∠=∠，∴CEB ABC ∠=∠，∴3CE BC BC '===，DE DB =．∵1122ABC S AB CD AC BC == ，即543CD ⨯=⨯，∴125CD =．在Rt BCD 中，2295DB BC CD =-=，∴185BE =．∴335C E BE BC ''=+=．∵//CE A B '，∴BM BC CE C E '='，即33335BM =，∴1511BM =．（3）如图，作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠，∵180ACP ACB BCC '∠=︒-∠-∠，即90ACP BCC '∠=︒-∠，又∵90A C D BC C '''∠=︒-∠，∴ACP A C D ''∠=∠．∵//AP A C ''，∴APC A C D ''∠=∠，∴ACP APC ∠=∠，∴AP AC =，∴AP A C ''=．∴在APD △和AC D '' 中ADP A DC APD A C D AP A C '''∠=∠⎧⎪∠=∠'''⎨⎪=⎩，∴()APD A C D AAS ''≅ ，∴AD A D '=，即点D 为AA '中点．∵点E 为AC 中点，∴DE 为ACA ' 的中位线，∴12DE A C '=，即要使DE 最小，A C '最小即可．根据图可知A C A B BC ''≤-，即当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值为==53=2A C A B BC ''--．∴此时1=12DE A C '=，即DE 最小值为1．【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．23.已知在 ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将 AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当∠BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC ＝90°且AB≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．【答案】（1）AE CF =；（2）成立，证明见解析；（3）5113【分析】（1）结论AE CF =．证明()AOE COF SAS ∆≅∆，可得结论．（2）结论成立．证明方法类似（1）．（3）首先证明90AED ∠=︒，再利用相似三角形的性质求出AE ，利用勾股定理求出DE 即可．【详解】解：（1）结论：AE CF =．理由：如图1中，∠=︒，OC OB=，BAC，90=AB AC⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，90AOC EOF∴∠=∠，AOE COF，OE OFOA OC==，∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，，OC OB=，BAC∠=︒90∴==，OA OC OB，AOC EOF∠=∠∴∠=∠，AOE COFOA OC=，OE OF=，()AOE COF SAS∴∆≅∆，AE CF∴=．（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OE OC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OA CF OC=，5CF OA== ，∴5 53 AE=，253 AE∴=，5113 DE∴=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接,AF CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是__________．（2）如图②，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（090a ︒<<︒）．①AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN DM =，连接CN ）②求证：AF DM ⊥；③若旋转角45α=︒，且2EDM MDC ∠=∠，求AD ED的值．（可不写过程，直接写出结果）【答案】（1）AF=2DM （2）①成立，理由见解析②见解析③622+【解析】【分析】（1）根据题意合理猜想即可；=，连接CN，先证明△MNC≌△MDE，再证明（2）①延长DM到点N，使MN DM△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．【详解】（1）猜想AF与DM的数量关系是AF=2DM，故答案为：AF=2DM；（2）①AF=2DM仍然成立，=，连接CN，理由如下：延长DM到点N，使MN DM∵M是CE中点，∴CM=EM又∠CMN=∠EMD，∴△MNC≌△MDE∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE∴CN∥DE，又AD∥BC∴∠NCB=∠EDA∴△ADF≌△DCN∴AF=DN∴AF=2DM②∵△ADF≌△DCN∴∠NDC=∠FAD，∵∠CDA=90°，∴∠NDC+∠NDA=90°∴∠FAD+∠NDA=90°∴AF ⊥DM③∵45α=︒，∴∠EDC=90°-45°=45°∵2EDM MDC ∠=∠，∴∠EDM=23∠EDC=30°，∴∠AFD=30°过A 点作AG ⊥FD 的延长线于G 点，∴∠ADG=90°-45°=45°∴△ADG 是等腰直角三角形，设AG=k,则DG=k ，k ，k ，∴故ADED 622+=．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．25.如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．【答案】（1）1；（2）12π；（3）23OF =【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH=x ，则CO 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠ACB=60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF=1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △CEF 中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE=3，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG=3，∠ACG=∠ECF=30°，∴S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG =()2230330236036012πππ⨯⨯-=；故答案为：12π；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F=60°，EF=1，∴13,22FH EH ==，∴CH=13222-=，设OH=x ，则32OC x =-，2222223324OE EH OH x x⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵OB=OE ，∴2234OB x =+，在Rt △BOC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，解得：16x =，∴112263OF =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．26.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，BE BC =，EF CD ⊥，垂足为F ．将四边形CBEF 绕点C 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到四边形CB E F '''．B E ''所在的直线分别交直线BC 于点G ，交直线AD 于点P ，交CD 于点K ．E F ''所在的直线分别交直线BC 于点H ，交直线AD 于点Q ，连接B F ''交CD 于点O ．（1）如图1，求证：四边形BEFC 是正方形；（2）如图2，当点Q 和点D 重合时．①求证：GC DC =；②若1OK =，2CO =，求线段GP 的长；（3）如图3，若//BM F B ''交GP 于点M ，1tan 2G ∠=，求'GMB CF H S S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②3）125-【分析】（1）先利用三个角是直角的四边形是矩形证明，再根据BE BC =证得结论；（2）①证明''CGB CDF ≅ 即可得到结论；②方法一：设正方形边长为a ，根据'~'B KO F CO ，求出11''22B K BC a ==，利用勾股定理得到222''B K B C CK +=，求出a，得到5B C '=，5B K '=，根据B KC ' ∽△CKG ，求出KG ，再根据PKD GKC ≅ ，求出答案；方法二：过点P 作PM GH ⊥于点M ，根据CG CD =，2CD CK =求出6CG =，由26PM CK ==，12GM =，再利用勾股定理求得结果；（3）方法一：延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，证明~'GBM CRF ，求出'1'2F H CF =，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，证明'~'RB C RF H ，求得2'''22CF R CF H S S x == ，由'~'GB C GE H，求出)21GB x =-，利用~'GBM CRF ，求出'6255GMB CF R S S -= ，即可得到答案；方法二，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，求得(2'465GBN CHF S GB S CH -⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，证明~'GBN GCB，求出55GB GC =，再证明~''MBN B F C ，求出答案；方法三：设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，证明~'MBN F OC，得到(2'9620MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，根据12GBN S BG BN =⨯⨯ ，求出答案．【详解】（1）在矩形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=︒，∵EF AB ⊥，则90EFB ∠=︒，∴四边形BEFC 是矩形．∵BE BC =，∴矩形BEFC 是正方形．（2）①如图1，∵90GCK DCH ∠=∠=︒，∴'90CDF H ∠+∠=︒，90KGC H ∠+∠=︒，∴'KGC CDF ∠=∠，又∵''B C CF =，''GB C CF D ∠=∠，∴''CGB CDF ≅ ，∴CG CD =．②方法一：设正方形边长为a ，∵PG ∥CF '，∴'~'B KO F CO ，∴'1'2B K OK CF CO ==，∴11''22B K BC a ==，∴在'Rt B KC 中，222''B K B C CK +=，∴222132a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴5a =．∴5B C '=，5B K '=，∵90,CB K GCK B KC GKC ''∠=∠=︒∠=∠，∴B KC ' ∽△CKG ，∴2CK B K KG '=⋅,∴KG =∵1,,2B K a KE DKE B KC DE K KB C ''''''==∠=∠∠=∠，∴△B’CK ≌△E’KD ，∴DK=KC ，又∵∠DKP=∠GKC ，∠P=∠G ，∴PKD GKC ≅ ，∴PG=KG ，∴PG =；方法二：如图2，过点P 作PM GH ⊥于点M ，由''CGB CDF ≅ ，可得：CG CD =，由方法一，可知2CD CK =，∴6CG =，由方法一，可知K 为GP 中点，从而26PM CK ==，12GM =，从而由勾股定理得PG =．（3）方法一：如图3，延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，由题意可知，'//CF GP ，'//RB BM ，∴~'GBM CRF ，'G F CR ∠=∠，∴'1tan tan ''2F HG F CH CF ∠=∠==，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，∴''''''2CB CF E F B E BC x =====，∵'//'CB HE ，∴'~'RB C RF H ，∴''1''2F H RH RF B C RC RB ===，∴CH RH =，'''B F RF =，∴2CR CH ==，2'''22CF R CF H S S x == ，∵'//'CB HE ，∴'~'GB C GE H ，∴'22'33GC B C x GH E H x ===，'2'3B C E H ==，∴)21GB x =，∵~'GBM CRF ，∴22'216255GMBCF Rx S GB S CR ⎡⎤-⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∵'''2CF R CF H S S =，∴'125GMB CF HS S -= ．方法二，如图4，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．由题意可知，'//CF GP ，'//HE BN ，∴~'GBN CHF ，∴2'GBN CHF S GB S CH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵'//CF GP ，∴'NGB F CH ∠=∠，∴'1tan tan ''2CB FH G F CH GB CF ∠=∠===，设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，∴CH =，CG =，则)21GB x =，∴(22'21465GBN CHF x S GB S CH ⎛⎫--⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∵2'1'2CF H S CF FH x =⋅= ，∴(2465GBNSx -=，∵'//HE BN ，∴~'GBN GCB，∴55'5GB GC CB BN -===，∵'//CB BN ，//''BM B F ，'//'CF GB ，∴~''MBN B F C ，∴22''55625'55MBN B F C S BN S CB ⎛⎫-⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(2''26655MBNB FC SS x --==，∴(((222462626555MBGNBG MBN SS S xxx ---=-=-=，∴'12455GMB CF H S S -= ．方法三：如图5，设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，由题意可知，'//CF GP ，//''BM B F ，//BN CO ，∴~'MBN F OC ，∴2'MBN F OC S BN S CO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由方法（2）可知，)251GB x =，所以)51BN x =-，又∵22533CO CK x ==，∴(2'96520MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，∴((229625362542035BMNSxx --=⨯=，∵)(222151652GBN S BG BN x x =⨯⨯==- ，∴(((2223625262562555GBMGBN NBM SS S x xx --=-=--=，∴2'1''2CF H S CF F H x =⨯⨯= ，∴'12455GMB CF H S S -= ．【点睛】此题考查正方形的判定定理及性质定理，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．。

【大题精编】2023届浙江省中考数学复习专题8 圆综合问题解答题30题专项提分计划解析版

【大题精编】2023届浙江省中考数学复习专题8 圆综合问题解答题30题专项提分计划（浙江省通用）1．（2022·浙江舟山·校考一模）如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形．DB 平分ADC Ð，连接,OC OC BD ^．(1)求证：AB CD =；(2)若66A Ð=°，求ADB Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)33°【分析】（1）根据DB 平分ADC Ð，可得 AB BC=，再根据OC BD ^，可得 BC CD =，从而得到 AB CD =，即可．（2）根据圆的内切四边形，对角互补，求出BCD Ð，再利用垂径定理，可得BC DC =，可得到BDC Ð，即可求解．【详解】（1）证明：∵DB 平分ADC Ð，∴ADB CDB Ð=Ð，∴ AB BC=，∵OC BD ^，∴ BCCD =，∴ AB CD =，∴AB CD =；（2）解：66A Ð=°Q ，18066114BCD \Ð=°-°=°，OC BD ^Q ，2．（2022·浙江温州·校联考二模）已知，如图，直线MN 交O e 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分CAM Ð交O e 于D ，过D 作DE MN ^于E ．(1)求证：DE 是O e 的切线；(2)若6cm DE =，3cm AE =，求O e 的半径．【答案】(1)见解析(2)7.5cm 【分析】（1）连接OD ，根据平行线的判定与性质可得90ODE DEM Ð=Ð=°，且D 在Oe 上，故DE 是O e 的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD 的长，又有ACD ADE △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【详解】（1）连接OD ．OA OD =Q ，OAD ODA Ð=Ð∴．OAD DAE Ð=ÐQ ，3．（2022·浙江衢州·模拟预测）如图，已知O e 的直径6AB =，E 、F 为AB 的三等分点，M 、N 为 AB 上两点，且60MEB NFB Ð=Ð=°，求EM FN +的值．∵E 、F 为AB 的三等分点，MEB Ð∴FN EG =，过点O 作OH MG ^于H ，连接MO ∵O e 的直径6AB =，∴1166323OE OA AE =-=´-´=-∵60MEB Ð=°，4．（2023·浙江温州·校考一模）如图，在Rt ACD V 中，90D Ð=°，点O 在AC 上，以OC 为半径作半圆O ，与AD 相切于点E ，与AC ，CD 分别交于点B ，F ．(1)求证：CE 平分ACD Ð．(2)若4AE =，2AB =，求FC 的长．Q半圆O与AD相切于点E，\^，OE ADQ，CD AD^\∥，OE DCQ222AO OE AE=+，\222+=+，(r r2)4\=，3r5．（2022·浙江杭州·校考二模）如图，锐角ABC V 内接于O e ，射线BE 经过圆心O 并交O e 于点D ，连结AD ，CD ，BC 与AD 的延长线交于点F ，DF 平分CDE Ð．(1)求证：AB AC ＝．(2)若BC CF ＝，求F Ð的余弦值．(3)若1tan 2ABD Ð=，O e DF 的长．6．（2022·浙江舟山·校联考三模）如图，以ABC V 的一边AB 为直径作O e ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，点D 为 BE的中点．(1)试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)若直线l 切O e 于点D ，与AC 及AB 的延长线分别交于点F 、点G ．45BAC Ð=°，求DF DG的值．∵AB 为O e 的直径，∴90ADB ADC Ð=Ð=°．∵点D 为 BE的中点，∴ BDDE =，∴BAD DAC Ð=Ð，∴ABD ACD Ð=Ð，∴AB AC =，∴ABC V 为等腰三角形；（2）解：连接OD ，如图所示．∵直线l 是O e 的切线，点D 是切点，∴OD GF ^．∵OA OD =，∴ODA BAD DAC =Ð=ÐÐ，7．（2022·浙江杭州·校考二模）如图所示，已知BC 是⊙O 的直径，A 、D 是⊙O 上的两点，连接AD 、AC 、CD ，线段AD 与直径BC 相交于点E ．(1)若60ACB Ð°＝，求sin ADC Ð的值．(2)当 12CD AC =时，①若CE =2BC CE AB ×=，求COD Ð的度数．②若1CD ＝，4CB ＝，求线段CE 的长．形相似的基本模型．8．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）锐角三角形ABC V 的外心为O ，外接圆直径为d ，延长,,AO BO CO ，分别与对边BC,CA,AB 交于,,D E F ．(1)求OD OE OF AD BE CF++的值；(2)求证：1114AD BE CF d ++=．∵122OD R DM AD R DM R -==--同理有：1OE R BE BE =-，代入1OD OE OF AD BE CF++=，9．（2022·浙江金华·一模）如图，已知AB 是O e 的直径，ABD △为O e 的内接三角形，C 为BA 延长线上一点，连接CD ，OF AD ^于点E ，交CD 于点F ，ADC AOF Ð=Ð．(1)求证：CD 是O e 的切线．(2)若1sin ,2C BD ==，求 AD 的长．10．（2022·浙江温州·二模）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF=∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)求证：∠ACD=∠F；(3)若AB=10，BC=6，求AD的长．11．（2022·浙江丽水·校联考三模）如图，BC 为ABC V 的外接圆O e 的直径，点E 在AB 上，在线段BO 上取点F 作BC 的垂线交AB 于点E ，点G 在FE 的延长线上，且GA GE =．(1)求证：AG 与O e 相切．(2)已知直径20BC =，12AC =，若BE OB =，试求OE 的长．【答案】(1)见解析12．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，AB 是O e 的直径，C ，D 是O e 上两点，C 是BD 的中点，过点C 作AD 的垂线，分别交AB 与AD 的延长线于点E 和点F ．(1)求证：EF 是O e 的切线；(2)若9,AE CE == AC 的长．13．（2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校联考模拟预测）如图，锐角ABC V 内接于O e ，D 是劣弧AC 上一点，BD 与AC 交于点E ，且BD AC =．V(1)求证：EBCe的半径长和劣弧 CD的长．(2)若4AB=，tan C=O14．（2022·浙江宁波·统考二模）如图1，△ABC 中，AB AC =，其外接圆为O e ，O e 半径为5，8BC =，点M 为优弧BMC 的中点，点D 为BM 上一动点，连结AD ，BD ，CD ，AD 与BC 交于点H ．(1)求证：ACH ADC ∽△△；(2)若:2:3AH DH =，求CD 的长；(3)如图2，在（1）的条件下，E 为DB 为延长线上一点，设:AH DH x =，2tan ABE y Ð=．①求y 关于x 的函数关系式；②如图3，连结AM 分别交BC ，CD 于N 、P ，作FN AD ^于D ，交AB 于F ，若△BFN面积为△ACP 面积的35，求x 的值．【答案】(1)证明见解析；（3）①如图1，连结AO 交BC 于N ，∵180EBA ABD Ð+Ð=°，180ABD ACD Ð+Ð=°，∴EBA ACD AHC Ð=Ð=Ð，设AH ax =，DH a =，同（2）得：2AC AH AD =×，∴()2120a x x +=，∴22222201644411x x NH AH AN a x x x -=-=-=-=++，15．（2022·浙江宁波·校考三模）如图，ABC V 内接于,O AB AC =e ，点D 为劣弧AC 上动点，延长,AD BC 交于点E ，作DF AB ∥交O e 于F ，连结CF ．(1)如图①，当点D 为 AC 的中点时，求证∶DF BC =；(2)如图②，若,CF CA ABC Ða ==，请用含有a 的代数式表示E Ð；(3)在（2）的条件下，若BC CE =，①求证∶AC AD DE +=；②求tan E Ð的值．（2）如图①，由（1）可得 AD ∵CF CA =，则 AC CF=，∴ 2BCD AC CF AC =+=，连结BG CD ，，则12G BAE Ð=Ð又CDE ABC a Ð=Ð=，∴G CDE Ð=Ð，∴CD BG ∥，∵BC CE =，即点C 为BE 中点，16．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考二模）如图，已知ABC V 是O e 的内接三角形，AB 为直径，AC BC =，D ，E 是O e 上的两点，连结DE 交AB 于G ，交BC 于H ．(1)如图1，连结AD ，AE ，DB ，若10CAD Ð=°，求AED Ð的度数．(2)如图2，若DE AB ^，求证：22DG HG CH HB -=×．(3)若»»2BE AE =且10AB =，作DP AE ^交AE 于P ，交CE 于N ，过D 点作MD DP ^交EC 的延长线于M ，当PD 过圆心时，求出MDN S S V V 的值．PNE DNM Ð=ÐQ ，90MDN NPE Ð=°=Ð，MDN \V V ∽\1MN DN EN PN ==-，\1MDN NDE S MN S EN==-V V ．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质17．（2022·浙江杭州·校考一模）如图，AB 是O e 的直径，CD AB ^于点E ，G 是弧AC 上任意一点，延长AG ，与DC 的延长线交于点F ，连接AD ，GD ，CG ．(1)求证：AGD FGC Ð=Ð；(2)求证：CAG FAC V V ∽；(3)若48AG AF ×=，CD =，求O e 的半径．圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（2021·浙江宁波·校考三模）如图1，已知Rt ACB D ，3AC =，4BC =，90ACB Ð=°，点D 、E 为边AC ，BC 上的任意点（不与点A ，点B 重合），以DE 为直径的O e 交边AB 于点F ，点G ，半径为r ，连结CF 交DE 于点H ，连结OF ，EF ，设CEF a Ð=．(1)请用含有a 的代数式表示出OFC ∠；(2)若60a =°，:2:1CH HF =，求CE 的长（用含有r 的代数式表示）；(3)若DE AB ∥，①若O e 与边AB 相交，求r 的取值范围；②如图2，连结GE ，若GE 平分DEB Ð，求CE ．19．（2019·浙江杭州·模拟预测）已知P 是O e 上一点，过点P 不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B （不与P 、Q 重合），连接AP 、BP ，若APQ BPQ Ð=Ð．(1)如图1，当45°APQ Ð=，1AP =，BP =O e 的半径；(2)如图2，连接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上（不与P 、M 重合），连接ON 、OP ，若290°NOP OPN ÐÐ+=，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明．（2）解：直线AB 与ON 证明：连接OA 、OQ 、∵ QEQE =，∴=2EOQ OPN ÐÐ，【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等弧所对的圆心角相等、相等的圆周角所对的弧相等、三线合一、平行线的判定定理，是一道综合题，正确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键．20．（2022·浙江温州·温州市第二实验中学校考二模）如图1，ABC V 中，90ACB Ð=°，8AC =，6BC =，延长BC 至D ，使CD CB =，E 为AC 边上一点，连结DE 并延长交AB 于点F ．作BEF △的外接圆O e ，EH 为O e 的直径，射线AC 交O e 于点G ，连结GH ．(1)求证：AEF CEB Ð=Ð．(2)①如图2，当DF AB ^时，求GH 的长及tan EHG Ð的值．②如图3，随着E 点在CA 边上从下向上移动，tan EHG Ð的值是否发生变化，若不变，请你求出tan EHG Ð的值，若变化，求出tan EHG Ð的范围．(3)若要使圆心O 落在ABC V 的内部（不包括边上），求CE 的长度范围．（3）如图，当O 在BC 上时，由（2）可得：3tan ,4EGH Ð= ∵90,ECO EGH Ð=Ð=°∴,BC GH ∥,EOC EHG \Ð=Ð3tan ,4EC EOC CO \Ð==4cos ,5OC EOC OE\Ð== 设,CO x = 则6,OB OE x ==-FB Q 为O e 的直径，90,FEB DEB \Ð=°=Ð6,CD CB CE \===∴要使圆心O 落在ABC V 的内部（不包括边上），CE 的长度范围为：2 6.CE <<【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，是动态几何体，准确的画出图形是解本题的关键．21．（2022·浙江·三模）如图，点O 是矩形ABCD 中AB 边上的一点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，O e 交CD 边于点E ，且恰好过点D ，连接BD ，过点E 作EF ∥BD ，(1)若120BOD Ð=°，①求CEF Ð的度数；②求证：EF 是O e 的切线．(2)若2CF =，3FB =，求OD 的长．DE=由垂径定理可得DH=12∵∠CBO=∠C=∠CHO=90°，∴四边形CHOB是矩形，22．（2022·浙江丽水·统考二模）如图，已知以AB 为直径的半圆，圆心为O ，弦AC 平分BAD Ð，点D 在半圆上，过点C 作CE AD ^，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 与半圆O 相切于点C ．(2)若3,2AO BF ==，求tan ACE Ð的值．23．（2023·浙江宁波·校考一模）如图1．,AB CD 均为O e 的直径，AB CD ^．E 是AB 延长线上一点，F 是 AC 的中点，G 是半径OD 上一点，连接FE 交O e 于点H ．连接FG并延长交O e 于点P ， DPBH =．(1)求PFH Ð的度数．(2)如图2，连接OF ，求证：OGF OFE V V ∽．(3)若1BE =．34=GD ．①求O e 的半径；②求sin BDE Ð的值．24．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，G 是 AD 上一动点（不与点A ，点D 重合），以AG ，CG 为边构造平行四边形AFCG ，交O e 于点H ，交AB 于点M ，若CD =1BE =．(1)求证：F ACD Ð=Ð．(2)当CF 与O e 相切时，求AG 的长．(3)①当AMG V 中有一个角与HCF Ð相等时，求AG 的长．②若点H 关于AC 的对称点H ¢落在ACG V 的内部（不包括ACG V 的边界），求CH 的取值范围（直接写出答案）．∵AB 是O e 的直径，CD AB ^，∴12CE DE CD ==，∴AC AD =，e相切，若CF与Oe半径，∵OC为O^，∴OC CF∵1222CE CD ==，1BE =，设O e 半径为x ，则OB OC x ==，OE =∴在Rt OCE V 中，由勾股定理可得2CE OE +此时，GM AM =，∴AGM GAM Ð=Ð，又∵CHF AGM F Ð=Ð=Ð，180AMG AGM GAM Ð=°-Ð-Ð=∵点H 与点H ¢关于AC 的对称，∴HN H N ¢=，HH AC ¢^，∵四边形AFCG 为平行四边形，。

浙江中考数学一轮复习8-10单元

浙江省中考数学一轮复习 专题练习8 三角形(2) 浙教版-浙教版初中九年级全册数学试题

最新中考数学第一轮总复习课件专题8

人教版中考数学第一轮复习第八章 统计与概率

2023年中考数学一轮复习满分突破专题10 分式方程【题型方法解密】

浙江省2013年中考数学第一轮复习 第八章 统计与概率第2讲常见的统计图

中考数学一轮复习 专题08 一元二次方程(基础训练)(原卷版)

浙江省中考数学一轮复习 专题练习10 压轴题(1) 浙教版-浙教版初中九年级全册数学试题

2023年中考数学一轮复习 第8讲 分式方程 专题训练(浙江专用)(含解析)