人教版A版高中数学选修2-3：探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密

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人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(精品文档)

[解] 记f(x)＝(1－2x)5. (1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2. (2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4 －a5，所以a1＋a3＋a5＝12[f(1)－f(－1)]＝12(－1－35)＝－122. (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(1)－f(0)＝35－1＝242.
[类题通法] “赋值法”是解决二项式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母所取的不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
[活学活用] 2．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
第n行中的数是C0n
，C
1 n
，C
2 n
，…，C
nn.设第n行中从左到右第
14与第15个数的比为2∶3，则C1n3∶C1n4＝2∶3，解得n＝34.
答案：34
求二项展开式中系数和
[例2] 设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值； (2)a1＋a3＋a5的值； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值；
[导入新知]

新人教A版数学选修2-3课件：第一章1.3-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

A．144 B．146
C．164 D．461
解析：由题图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13……第 15 项是 C29，第 16 项是 C19.
所以 S16＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13 ＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(2＋3＋…＋9)＋C310＝（2＋29）×8＋130××29××18＝164.
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它 “肩上”两个数的和，即Crn＋1＝_C__nr－_1_＋__C_rn_．
2．二项式系数的性质
(1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，它反映了组合数性质_C_nm_＝__C__nn－_m_．
2．关于(a－b)10 的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为 1 024
B．展开式中第 6 项的二项式系数最大
C．展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大
D．展开式中第 6 项的系数最小解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．答案：C

人教A版选修2-3教案：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(含反思)

1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学目标：

知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课课时安排：2课时教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n

r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，

（2）1

(1)1n r r

n n n x C x C x x +=++

2．二项展开式的通项公式：1r n r r

r n T C a b -+=

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行

两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r

n C 可以看成以r 为自

变量的函数()f r

定义域是{0,1,2,

,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）

高中数学人教A版选修2-3“杨辉三角” 与二项式系数的性质—教学案例

“杨辉三角”与二项式系数的性质

【学情分析】

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容，其主要思想是如何灵活运用二项展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。通过前面二项式定理的学习，学生已初步了解了二项式系数的简单性质，发现二项式系数组成的数列就是一个离散函数，从而我们引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，这样便于建立知识的前后联系。高二的学生对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触，这为本节课的学习奠定了基础.本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

【教学目标】

使学生通过“杨辉三角”观察并掌握二项式系数之间的规律；

能运用函数观点分析处理二项式系数的性质，理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；

学生通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.

【教学重点】

二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；

【教学难点】

理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；

利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.

【教学方法】

课前布置预习任务，提前把导学案拍照上传到学生群，让学生自主预习导学案，并借助于网络了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用；课上利用启发引导的方式，引导学生自主探究二项式系数的性质并通过连麦对答的形式与学生进行沟通交流；课后布置相应的随堂练习巩固课上所学知识。

【教学用具】电脑

教版高中数学人教A版选修2-3第一章-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学课件 (共17张PPT)

个数列 y n ，则其通项公式是什么？把
“杨辉三角”中的第三斜行的数看做一个
数列 z n ，则其通项公式是什么？
yn nCn1
zn
n(n1) 2
Cn21
4 知能检测
例1、在 (1 2 x)n 的展开式中，只有
第五项的二项式系数最大，则 n 8
若
变式:若 (1 2 x)n 的展开式中的第4项与第5项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。
思考题2:若 (1 2 x)n 的展开式中的第4项与第5项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项。
敬请指导
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品，随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态，们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想，不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。不得始终。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨的却是自己。每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。我们无的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他现自己的目标。人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。时间，带不走真正月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。

高中数学人教A版选修2-3第一章...

高中数学人教A版选修2-3第一章《探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标知识目标：了解有关杨辉三角形的简史,掌握杨辉三角形中蕴含的二项式系数基本性质。

能力目标：通过探求杨辉三角形的数字规律,培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。通过解决弹球游戏,培养学生运用联想、类比解决问题的能力

德育目标：

1. 通过互联网,让学生动手操作,在探索过程体验数学活动,数学发现的成功的愉悦.培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力,

2、通过小组讨论,展示学生成果,登陆讨论区,培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神

3. 通过对科学家的了解,加强对学生的爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而发奋读书.

2学情分析

知识结构:在上高中之前,学生都在不同程度上进行过数字规律探究方面的活动,到了高中阶段,学生已经具备了更为理性的思考,对发现的规律能够尝试证明。同时学生已掌握了两个计数原理,组合及组合数的性质,这是突破本节课难点的基础。

心理特征:高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力,恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系,解决相关问题. 但对于本节课的难点——证明规律,学生还需要在

老师的指导下共同完成。

3重点难点

数学探究：杨辉三角与二项式系数的性质课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册

数学探究：杨辉三角的性质与应用
二项式定理：
(a b)n C n0a n C n1a n 1b
C nk a n k b k
C nnb n
这里n∈N*，k∈{0，1，2，…，n}
右边的多项式叫做(a b )n 的展开式
k
C
其中各项对应系数 n (k 0,1,2, , n) 叫做二项式系数
杨辉三角与数列
研究方向
应用
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
杨辉三角的“形”
1 6 15 20 15 6 1
局部
整体
拓展探究：研究方法：横看，斜看，竖看，连续看，隔行看
等；采取画一画，连一连，算一算，进行归纳和猜想.
1
1
1
横看成岭侧成峰，
远近高低各不同.
横看
1
1
斜看
1
1
6
1
2
3
4
5
1
1
3
1
5
③ 每个展开式的二项式系数的增减性与最大值是:
前增后减, 中间一项或两项最大.
n 1
n 1
项与 1项是中间两项
.
2
2
以上是杨辉三角最基本的性质，也是二项式系数和组合数
的性质
n为奇数时, 第
二、“杨辉三角”的拓展探究：

高二数学人教A版选择性必修第三册第六章数学探究杨辉三角的性质与应用课件(共20张PPT)

20
2
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”．布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
3
贾宪中国北宋 11世纪《释锁算术》杨辉中国南宋1261 《详解九章算法》记载之功朱世杰中国元代 1299 《四元玉鉴》级数求和公式阿尔·卡西阿拉伯 1427 《算术的钥匙》阿皮亚纳斯德国 1527 米歇尔．斯蒂费尔德国 1544 《综合算术》二项式展开式系数薛贝尔法国 1545 B·帕斯卡法国 1654 《论算术三角形》其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
5
6
就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文将一一为您揭晓． 1．最外层的数字始终是1
7

《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》PPT课件(部级优课)

成林处处云,抽笋年年玉。
调清金石怨,吟苦鬼神悲。
天风乍起争韵,池一水相涵更五绿。十
十天下只五应我爱一,世间惟有君知。
却寻庚信小员中一,闲对数六竿心自足十五。
二
十
自从十五都尉别六苏句,便一到司空送白辞。
3 数学文化，拓展视野
（动手操作）：如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？
波
1，1，2，3，5，8，13，21，34．．．
那
契
3 数学文化，拓展视野
斐波那契螺旋线
3 数学文化，拓展视野
1
2
一
《竹》张南史一
一
《诗》白居易
竹,竹。披山,连谷。
诗,诗。
一二一
绮美,瑰奇。
出东南,殊草木。一三三一明月夜,落花时。
叶细枝劲,霜停露宿。
能助欢笑,亦伤别离。
一四六四一
3 数学文化，拓展视野
斐波那契数列与“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的《算术之法》中提出：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
斐
C m1 n 1
Cm n 1

高中数学人教A版选择性必修第三册数学探究杨辉三角的性质与应用课件

杨辉三角的发现比欧洲早500年左右！由此可见，我国古代数学成就是非常值得中华民族自豪的！
二、杨辉三角的性质探究
第0行
1
第1行第2行
11 12 1
第3行
13 3 1
第4行
14 6 4 1
第5行第6行
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
回顾3：数学探究的过程：观察实验归纳猜想推理论证
五、课后作业
作业1：运用本节课所学习的探究方法，进一步探究杨辉三角的性质.
作业2：查阅资料，解决下列开方古算题：积一百三十三万六千三百三十六尺，
问为三乘方几何.
四、总结提升
回顾1：关于杨辉三角的性质的探究，我们是如何一步步发现和提出探究问题的？
回顾2：杨辉三角的性质：
性质1：
性质2： Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
性质3：Cnr
C r1 n1
Cnr1
性质4： Cn0 2 Cn1 2 Cnn 2 C2nn
性质5：Crr Crr1 Crr2 Cnr1 Cnr1
问题1：观察上述杨辉三角，你有什么发现？
二、杨辉三角的性质探究
性质1：对称性：
性质2：第n行所有数的和为2n
Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
思考：除了观察每一行得到杨辉三角的性质以外，你认为还可以从哪些角度进行进一步观察？

杨辉三角教学设计

教学设计说明

1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密

课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密

一、教学内容解析：

本课题来自人教A版选修2—3第一章后的“探究与发现”。杨辉三角蕴含了丰富的数字规律和数学思想方法，所以它是一个很有价值的探究性课题。

杨辉三角是一个特殊的数阵。探究杨辉三角中的数字规律,有利于巩固学习二项式系数的性质，并对进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形有重要的作用。对杨辉三角的研究，可以让学生通过总结，得到研究一般数阵的方法。

同时通过欣赏分形、斐波那契数列等有趣的数学内容，学生由此发现数学之美，激发对数学的学习兴趣。另外，通过组织不同形式的探究，可以让学生学会观察、归纳等探究方法，体验数学当中发现和创造的历程，培养创新精神，也有利于学生理解数学知识，培养数学应用意识。

二、教学目标设置：

1、知识与技能：

1、从不同的角度，研究杨辉三角所蕴含的规律，并用组合数表示；

2、通过本节课的研究，归纳出杨辉三角的研究方法；

3、将杨辉三角的研究方法拓展为对一般数阵的研究方法。

2、过程与方法：

1、通过探究杨辉三角的数字规律，学会观察和分析问题，运用联系、类比的观点看待问题，从而解决问题，并能培养学生“从特殊到一般”进行归纳猜想的能力；

2、通过自主探究与合作交流，养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯；

3、通过从不同角度探究问题，体会再发现再创造的过程，发展创造性思维。

3、情感态度与价值观：

1、以历史文化的实例引入，激发学生的学习兴趣，提升学生的民族自豪感；

2、通过归纳性思维的训练，养成踏实细致，严谨科学的学习习惯；

人教课标版高中数学选修2-3数学视野：杨辉与杨辉三角的奥秘

数学视野

杨辉与杨辉三角的奥秘

杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家，著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩类比乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷.其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.

杨辉三角出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内出除1以外的没一个数都等于它肩上两个数的和.杨辉指出这个方法处于《释锁》算数，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪.

在欧洲，这个表被为是法国数学家、物理学家帕斯卡首先发现的（1623-1662年），他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.

杨辉三角有以下又去的数学排列规律：

1、如图，杨辉三角的第1,3,7,15,…,行，即第21(k k -是正整数）行的各个数字均为奇数；第2k 行除两端的1之外都是偶数.

0行 1

1行 1 1

2行 1 2 1

3行 1 3 3 1

4行 1 4 6 4 1

5行 1 5 10 10 5 1

6行 1 6 15 20 15 6 1

… …

n-1行 1 11n C - 21n C - …11r n C -- 1r n C - … 21n n C -- 1

n 行 1 1n C 2n C … … 1r n C - … … 1n n C - 1

2、杨辉三角中若行数p 是质数（素数），则第p 行，除去两端的数字1以外，行数p 整除其余所有的数.

数学：1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)

1 1
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些律数的排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n
a b 的展开式的各个二项式系数的和等于 . 2 你能用组合意义解释一下这个" 组合等式吗? "
n n
利用这些性质可以解决许多问题 . 例如, 利用杨辉三角中除1 " " 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和这个性质 , 可以根据相应于n 的各二项式系数写出相应于n 1 的二项式系数如根据" 杨辉三角 . " 中相应于n 6 的各二项式系数, 可写出相应于n 7的各二项式系数 1 7 21 35 35 21 7 1 这样, 就可以将二项式系数表延伸下去 , 从而可根据这个表来求二项式系数 .
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角与二项式系数的性质 "
探究用计算器计算 a b 展开式的二项式系数并填入下表 .
n

杨辉三角课堂评价

“杨辉三角”中的秘密课例点评

《“杨辉三角”中的秘密》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节阅读材料的内容。教科书将“杨辉三角”作为阅读材料，是因为“杨辉三角”蕴含着丰富的数学内涵：“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和聪明才智，抓住这一题材可丰富学生的数学文化；“杨辉三角”可以从横行、斜行研究，与数列的通项、递推、求和相类比，引导学生从数列的角度研究“杨辉三角”，便于建立知识的前后联系，使学生体会用数列知识研究数阵问题的一个方向；由于“杨辉三角”中的部分数字规律发现有一定的难度，通过对规律的发现及对规律的证明，不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，而且有利于加深学生对数学知识的理解，丰富学生的数学体验，涵养学生的数学素养。

学生已经学习了《“杨辉三角”与二项式系数的性质》的内容，初步接触了“杨辉三角”，陈老师在根据本班学生现有的知识和能力的基础上，对这节阅读材料的内容做到准确理解和定位，进行有效教学，达到了很好的教学效果。本节课的亮点有：

一、定位准确设计自然

“杨辉三角”中的秘密在教材中虽是阅读材料，但它的题眼是“探究与发现”，陈老师把这节课重点定位在探究，在探究中去发现，就采用了自主探究与合作交流相结合的探究方式。探究时采用先思考后小组合作互动的方式，因为重点在于发现规律，始终让学生主动参与，亲身实践，在生生合作、师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和研究者。使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生体会再发现再创造的过程，发展学生的创造性思维。

高中数学人教A版选修2-3教学课件：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

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[解析] 令x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1① 令x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37② (1)∵a0＝C＝1， ∴a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－2.
(2)由(①－②)÷ 2，得－1－37 a1＋a3＋a5＋a7 2 ＝－1 094. (3)由(①＋②)÷ 2，得－1＋37 a0＋a2＋a4＋a6 2 ＝1 093.
• [ 例 3] 如图所示，在杨辉三角中，斜线 AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列： 1,2,3,3,6,4,10，„，记这个数列的前 n 项和为S(n)，则S(16)等于 • ( )
• A ． 144
B ． 146
C ． 164
• [答案] C • [点拨] 由题目可获取以下主要信息： • 该数列从第 3 项开始每隔一项等于前两项的和，解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．
[解析]
5 6 6 T6＝C5 n(2x) ，T7＝Cn(2x) ，依题意有
5 6 6 C5 2 ＝ C n n2 ⇒n＝8.
∴(1 ＋ 2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5 ＝ C4 (2x)4＝1120x4. 8· 设第 r＋1 项系数最大，则有
－1 r r r－1 2 ≥Cr · 2 C8· 8 r r r＋1 r＋1 C · 2 ≥ C 2 8 8 ·