新广东高考数学理科步步高二轮复习热点突破6.1直线与圆(含答案解析)

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2022高考数学(理)二轮复习高效演练 2.6.1直线与圆 Word版含答案

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高效演练1.(考向一)光线从点A(-3，4)发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，最终光线经过点B(-2，6)，则经y 轴反射的光线的方程为( ) A.2x+y-2=0 B.2x-y+2=0 C.2x+y+2=0 D.2x-y-2=0【解析】选A.由题意可知，点A 关于x 轴的对称点为A ′(-3，-4)，点A ′(-3，-4)关于y 轴的对称点A ′′(3，-4)，在经过y 轴反射的反射光线上，易求得直线A ′′B 的方程为2x+y-2=0.2.(考向二)(2021·淄博一模)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是________.【解析】由于圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,所以圆心的纵坐标是1,设圆心坐标为(a,1),则1=|4a−3|5,又a>0,所以a=2,所以该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 答案:(x-2)2+(y-1)2=13.(考向三)已知直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=2交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，|OA →+OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是 . 【解析】由于|OA →+OB →|≥|AB →|，所以|OA →+OB →|≥|OA →-OB →|. 所以|OA →+OB →|2≥|OA →-OB →|2，化简得OA →·OB →≥0，所以OA →，OB →夹角θ∈(0,π2]，所以圆心到直线的距离d=|m|√2∈[1， √2)(其中θ=π2时d=1)，解得m ∈(-2，-√2]∪[√2，2). 答案：(-2，-√2]∪[√2，2)4.(考向三)(2021·湖北高考)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T(1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B(B 在A 的上方)，且|AB|=2. (1)圆C 的标准方程为 .(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 .【解析】(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，则由圆C 与x 轴相切于点T(1，0)知，点C的横坐标为1，即x 0=1，半径r=y 0.又由于|AB|=2，所以12+12=y 02，即y 0=√2=r ，所以圆C 的标准方程为(x-1)2+(y-√2)2=2.(2)令x=0得：B(0，√2+1).设圆C 在点B 处的切线方程为y-(√2+1)=kx ，则圆心C 到其距离为：d=√2+√2+1|√2=√2，解之得k=1.即圆C 在点B 处的切线方程为y=x+(√2+1)，于是令y=0可得x=-√2-1，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为-1-√2.答案：(1)(x-1)2+(y-√2)2=2 (2)-1-√2关闭Word文档返回原板块。

高考数学考纲解读与热点难点突破专题16直线与圆教学案文含解析

直线与圆【高考考纲解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．【重点、难点剖析】一、直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)． (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋B y ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)．二、圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．三、直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离．(2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切．(3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交．(4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切．(5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．【高考题型示例】题型一、直线的方程及应用例1、已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0【解析】由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.【答案】A【方法技巧】(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.【变式探究】(1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2，则sin 2α等于( )A.23 B ．±35 C ．－35 D.35答案 D解析因为l 1⊥l 2，所以sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝35. (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．答案 3 2【感悟提升】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【变式探究】(1)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0交于两点A ，B ，且△CAB 为等边三角形，则圆C 的面积为________．答案 6π(2)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是( ) A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)C．[1,1] D．[－3，－1]∪[1,3]答案 D解析圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆x2＋y2＝2有公共点，r′＝2，所以r－r′≤|2a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].【变式探究】已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆C的切线的方程是( )A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0解析：解法一因为圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，所以圆心坐标为(2,3)，半径为4.如图，在平面直角坐标系中画出圆C ，显然过点M 的圆C 的其中一条切线的方程为x ＋2＝0，另一条切线的斜率小于0，可知选C.解法二因为圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －3)2＝16，所以圆心坐标为(2,3)，半径为4，易得过点M 的圆C 的其中一条切线的方程为x ＋2＝0，设另一条切线的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则|2k －3＋2k |k 2＋1＝4，解得k ＝－724，故另一条切线的方程为y ＝－724(x ＋2)，即7x ＋24y ＋14＝0.综上，选C. 答案：C。

新广东高考数学理科步步高二轮复习热点突破1.2不等式与线性规划(含答案解析)

第2讲不等式与线性规划热点一一元二次不等式的解法例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}思维启迪 (1)利用换元思想，设10x ＝t ，先解f (t )>0.(2)利用f (x )是偶函数求b ，再解f (2－x )>0. 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0. f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4. 故选C.思维升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞，－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0) D ．[0,2]答案 (1)A (2)C解析 (1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－12<x <1或x ＝1，所以不等式的解集为(－12，1]，选A.(2)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0. 热点二基本不等式的应用例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l .①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3思维启迪 (1)把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找xyz 取得最大值时的条件．答案 (1)①1 900 ②100 (2)B解析 (1)①当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．②当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时．比①中的最大车流量增加100 辆/时．(2)由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(1)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值为________．(2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52答案 (1)3 (2)B解析 (1)因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n >0，且m 3＋n4＝1.所以m 3·n 4≤(m 3＋n42)2(当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取等号)．所以m 3·n 4≤14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.(2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥2·x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.热点三简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元思维启迪通过设变量将实际问题转化为线性规划问题．答案 C解析设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y, x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，所以z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，故租金最少为36 800元．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >04x ＋3y ≤4y ≥0，则w ＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1(2)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，若z 的最大值为12，则k ＝________.答案 (1)D (2)2解析 (1)画出可行域，如图所示．w ＝y ＋1x表示可行域内的点(x ，y )与定点P (0，－1)连线的斜率，观察图形可知P A的斜率最小为－1－00－1＝1，故选D.(2)首先画出可行域如下图所示，可知当x ＝y ＝4时，z 取最大值12，∴12＝4k ＋4，∴k ＝2.1．几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化． 2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．线性规划问题的基本步骤(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l ，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；(3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.。

新广东高考数学理科步步高二轮复习专题突破6.1直线与圆(含答案解析)

第1讲直线与圆(推荐时间：60分钟)一、选择题1．直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k 等于( ) A ．－3或－1 B ．3或1 C ．－3或1 D ．3或－1答案 C解析若k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25满足两直线垂直．若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝kk －1，k 2＝1－k 2k ＋3，由k 1·k 2＝－1得k ＝－3，综上k ＝1或k ＝－3.2．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0 答案 A解析圆的圆心为C (1,0)．由圆的性质知，直线PC 垂直于弦AB 所在的直线，则k AB ＝－1k PC，即k AB ＝－1k PC ＝－10－－1－2＝1.又点P (2，－1)是弦AB 的中点，由直线的点斜式方程得直线AB 的方程为 y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.故选A.3．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x ＋y ＋2＝0 答案 C解析圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，圆心C 的坐标为(－2,2)．直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.4．若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[2,4]答案 C解析由y ＝k (x ＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m ＋4≤0⇒m ≥4.又由方程表示圆的条件，故有m 2－4×4>0⇒m <－4或m >4.综上可知m >4.故选C.5．动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切，若动圆C 与直线y ＝x ＋22＋1总有公共点，则圆C 的面积( ) A ．有最大值8π B ．有最小值2π C ．有最小值3π D ．有最小值4π 答案 D解析设圆心为(a ，b )，半径为r ，r ＝|CF |＝|a ＋1|，即(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2，即a ＝14b 2，∴圆心为(14b 2，b )，r ＝14b 2＋1，圆心到直线y ＝x ＋22＋1的距离为 d ＝|b 24－b ＋22＋1|2≤b 24＋1，∴b ≤－2(22＋3)或b ≥2，当b ＝2时，r min ＝14×4＋1＝2，∴S min ＝πr 2＝4π.6．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为( )A ．1 B.32C ．2 3 D. 3 答案 D解析依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1，易知|PC |的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC＝2×(12|P A |·|AC |)＝|P A |·|AC |＝|P A |＝|PC |2－1，因此四边形P ACB 的面积的最小值是22－1＝3，故选D. 二、填空题7．已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是________________．答案 3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0解析依题意，设所求直线l 1的方程是3x ＋4y ＋b ＝0，则由直线l 1与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，可得圆心(0，－1)到直线3x ＋4y ＋b ＝0的距离为1，即有|b －4|5＝1，解得b ＝－1或b ＝9.因此，直线l 1的方程是3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0.8．(2014·湖北)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____. 答案 2解析依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意，所以a 2＋b 2＝2.9．(2013·湖北)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.答案 4解析圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，所以圆O 上到l 的距离等于1的点有4个．10．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________．答案 3＋ 2解析依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x－2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2.三、解答题11．(1)求圆心在x 轴上，且与直线y ＝x 相切于点(1,1)的圆的方程；(2)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称，求圆C 的方程．解 (1)根据题意可设圆心(a,0)，则1－01－a＝－1⇒a ＝2，即圆心为(2,0)，半径r ＝－2＋－2＝2，则所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设圆心为C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，又P (1,1)在圆上，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.12．已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，求DE →·DF →的取值范围．解 (1)圆M 的方程可整理为(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2. 圆O 的圆心为O (0,0)，因为|MO |＝2<22，所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M . 设圆O 的半径为r ，因为圆O 内切于圆M ，所以|MO |＝R －r ，即2＝22－r ，解得r ＝ 2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)不妨设E (m,0)，F (n,0)，且m <n .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，故E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，得|DE |×|DF |＝|DO |2，即x ＋22＋y 2×x －22＋y 2＝x 2＋y 2，整理得x 2－y 2＝1.而DE →＝(－2－x ，－y )，DF →＝(2－x ，－y )，所以DE →·DF →＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y ) ＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1.由于点D 在圆O 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<2，x 2－y 2＝1，得y 2<12，所以－1≤2y 2－1<0，即DE →·DF →∈[－1,0)．13．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H . (1)若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．解 (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心为H (0,3)，半径为－2＋32＝10，⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被⊙H 截得的弦长为2，所以d ＝10－1＝3. 当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0. (2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，因为点M 是线段PN 的中点，所以M (m ＋x 2，n ＋y2)，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝r 2，m ＋x 2－2＋n ＋y 2－2＝r 2. 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝r 2，x ＋m －2＋y ＋n －2＝4r 2.因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心， 2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对∀m ∈[0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10 在[0,1]上的值域为[325，10]，故r 2≤325且10≤9r 2.又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对∀m ∈[0,1]成立，即r 2<325.故⊙C 的半径r 的取值范围为[103，4105)．。

新广东高考数学理科步步高二轮复习专题突破6.3圆锥曲线中的热点问题(含答案解析)

第3讲圆锥曲线中的热点问题(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 2＋26x ＋25＝0B ．x 2＋y 2＋16x ＋81＝0C ．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0D ．x 2＋y 2＋16x －81＝0答案 C解析设点M (x ，y )，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由题意得|MF 1||MF 2|＝23，将坐标代入，得x ＋2＋y 2x －2＋y 2＝49，化简，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.2．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.53 B.23 C.23 D.13答案 A解析由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 答案 C解析由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0， ∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455， ∴2a a 2＋b 2＝455， ∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5，∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1.∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C. 4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析依题意得F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|，∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2＋1)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上．又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1)＝2a ，解得|PF 2|＝2a e －1，因为|PF 2|>c －a ，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1，即(e －1)2<2，解得1－2<e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)，故选A.二、填空题7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．答案 (0,2)解析设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)．9．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.10．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2x 2＋y －a 2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题11．已知点A 、B 的坐标分别是(0，－1)、(0,1)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－12. (1)求点M 轨迹C 的方程；(2)若过点D (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E 、F ，试求△OEF 面积的取值范围．(O 为坐标原点)解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，∵k AM ·k BM ＝－12. ∴y ＋1x ·y －1x ＝－12. 整理，得x 22＋y 2＝1(x ≠0)，即M 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋2，①将①代入x 22＋y 2＝1得： (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，由Δ>0，解得k 2>32.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－4k －4k 2－62k 2＋1，x 1＝－4k ＋4k 2－62k 2＋1，则|x 1－x 2|＝24k 2－62k 2＋1. S △OEF ＝S △OED －S △OFD ＝12OD ·|x 1|－12OD ·|x 2|＝12OD ·|x 1－x 2|＝12×2·|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|＝ k 2－32k 2＋2.令k 2－32＝t (t >0)，所以k 2＝t ＋32(t >0)，所以S △OEF ＝|x 1－x 2|＝ 16t t ＋2＝ 4t t ＋2 ＝2t t 2＋4t ＋4＝21t ＋4t ＋4≤214＋4＝22，故△EOF 面积的取值范围是(0，22]．12．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．(1)解依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，所以c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)解点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*) 由已知得T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，所以TM →·TN →＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－(1－x 214)＝54x 21＋4x 1＋3 ＝54(x 1＋85)2－15. 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15. 把x 1＝－85代入(*)式，得． y 1＝35，故M (－85，35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325. 故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)证明设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21，(**) 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得x R ·x S ＝－y 21y 20－－y 20y 21y 20－y 21＝y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。

新高考适用2023版高考数学二轮总复习第2篇经典专题突破核心素养提升专题5解析几何第1讲直线与圆课件

考点二圆的方程
1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F>0，表示以－D2 ，－E2为圆心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
典例2 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2， 0)的圆的方程为__x_2_＋__y_2_－__2_x＝__0___．
【解析】方法一：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
F＝0，Biblioteka ∴2＋D＋E＋F＝0， 4＋2D＋F＝0，
【解析】 ∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴ (a－3)2＋(1－2a)2＝ a2＋(－2a)2＝R， a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得 a＝1， ∴M(1，－1)，R＝ 5， ⊙M 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
D．0
【解析】由题意可知：－(a＋1)(a－1)－(－3)×1＝0，整理得4－
a2＝0，∴a＝±2，经验证a＝±2都满足．故选A.
(2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N
对称的直线方程为
(B )
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0
感悟高考
1．近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．

新广东高考数学理科步步高二轮复习热点突破6.3圆锥曲线中的热点问题(含答案解析)

第3讲圆锥曲线中的热点问题热点一圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆C 2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l 1的斜率为k ，将△ABD 的面积表示为关于k 的函数．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y＝±102x －1. 思维升华求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋322b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∵a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2， S Q PF 1∆＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程，整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，则y 1＝－3k ＋6k 2＋k 43＋4k 2，y 2＝－3k －6k 2＋k 43＋4k 2，S Q PF 1∆＝12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4＋4k 22，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴S Q PF 1∆＝3－1t ＋132＋43， ∵0<1t <13，∴S Q PF 1∆∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则S Q PF 1∆＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.热点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维启迪 (1)设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；(2)设直线方程y ＝kx ＋b ，将其和轨迹C 的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，推出k 和b 的关系，最后证明直线过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝x －2＋y 2，∴x －2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明如图由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 得x 1,2＝－2bk－32kb ＋642k2，则x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，则b ＝2 3.由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当∠APQ ＝∠BPQ 时，P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x －，x 216＋y212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0， x 1＋2＝k －k3＋4k 2，同理PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)，可得x 2＋2＝－8k －2k －3＋4k 2＝8k k ＋3＋4k 2.∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1－＋3＋k x 2－－3x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝12，∴直线AB 的斜率为定值12.热点三圆锥曲线中的探索性问题例3 已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知，C 2的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求C 1方程.(2) 联立方程，转化已知条件进行求解. 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上，易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝12a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k x －消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1,2＝8k 2±64k 4－＋4k 2k 2－＋4k 2，则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，①x 1x 2＝4k 2－11＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2[4k 2－11＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*) 将②③代入(*)式，得k 2－1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.思维升华解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型．解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明．解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．1．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．探索性问题的解法探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.。

2021年高考数学二轮专题突破(新高考)-专题六第1讲直线与圆(解析版)

【答案】 D
【解析】当直线过原点时，可得斜率为＝2，
故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0，
当直线不过原点时，设方程为＋＝1，
代入点(1,2)可得－＝1，解得a＝－1，
方程为x－y＋1＝0，
故所求直线方程为2x－y＝0或y－x＝1.
2．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是( )
A．1 B．－2 C．1或－2 D．－
【答案】 A
【解析】由两直线平行的条件可得－2＋m＋m2＝0，
∴m＝－2(舍)或m＝1.
3．已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则k的值为( )
A．－1 B．1 C．±1 D．0
【答案】 A
【解析】化圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1.
B．x－ y－6＝0
C．x＋ y－4＝0
D．x＋ y－6＝0
【答案】 D
【解析】圆C：x2＋y2－4x＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2,0)，
直线PC的斜率为kPC＝＝，
∵l⊥PC，则直线l的斜率为
k＝－＝－，
∴直线l的点斜式方程为y－＝－ (x－3)，化为一般式得x＋ y－6＝0.
故直线PM的方程为y－1＝ (x－1)，
即x－2y＋1＝0.
由得
∴P(－1,0)．
又∵直线x＝－1，即PA与⊙M相切，
∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A(－1,1)．
又直线AB与l平行，
设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0(m≠2)，
将A(－1,1)的坐标代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.
∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.

新广东高考数学理科步步高二轮复习热点突破6.2椭圆、双曲线、抛物线(含答案解析)

第2讲椭圆、双曲线、抛物线热点一圆锥曲线的定义与标准方程例1 若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值．答案 (1)C (2)5－1解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以|PF 1|＝2.在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－722×4×2＝－12. 又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°.(2)易知x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，故p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .根据抛物线的定义可知m ＝|PF |－1，设|PH |＝n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足)，因此m ＋n ＝|PF |－1＋|PH |.易知当F ，P ，H 三点共线时m ＋n 最小，因此其最小值为|FH |－1＝|－1－4|5－1＝5－1. 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．(2)注意数形结合，画出合理草图．(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 (1)D (2)C解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32， ∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ， ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4， ∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠A 1AF ＝60°.连接A 1F ，则△A 1AF 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 热点二圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( ) A.52 B.52 C.62D ．3(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭⎫33，1 思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c，y )，考察y 存在的条件．答案 (1)C (2)D解析 (1)设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，焦距为2c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，且不妨设m >n ，由m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2得m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2. 又∠F 1PF 2＝π3， ∴4c 2＝m 2＋n 2－mn ＝a 21＋3a 22，∴a 21c 2＋3a 22c 2＝4，即1222＋3e 2＝4，解得e ＝62，故选C. (2)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2，当2QF k 存在时，则1F P k ＝cy a 2＋c 2，2QF k ＝cy b 2－2c 2，由12F P QF k k ⋅＝－1，得y 2＝a 2＋c 2c 2－b 2c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1. 当2QF k 不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1. 思维升华解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e为( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3m D ．3m答案 (1)C (2)A解析 (1)设OF 的中点为C ，则AO →＋AF →＝2AC →，由题意得，2AC →·OF →＝0，∴AC ⊥OF ，∴AO ＝AF ，又∠OAF ＝90°，∴∠AOF ＝45°，即双曲线的渐近线的倾斜角为45°，∴b a＝tan 45°＝1，则双曲线的离心率e ＝ 1＋b a 2＝2，故选C.(2)双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝± 33m x ＝±m m x ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m ＝ 3.故选A. 热点三直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →. (1)求椭圆的离心率；(2)设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．解 (1)∵A (－a,0)，设直线方程为y ＝2(x ＋a )，B (x 1，y 1)，令x ＝0，则y ＝2a ，∴C (0,2a )，∴AB →＝(x 1＋a ，y 1)，BC →＝(－x 1,2a －y 1)，∵AB →＝613BC →，∴x 1＋a ＝613(－x 1)，y 1＝613(2a －y 1)，整理得x 1＝－1319a ，y 1＝1219a ， ∵点B 在椭圆上，∴(1319)2＋(1219)2·a 2b 2＝1，∴b 2a 2＝34， ∴a 2－c 2a 2＝34，即1－e 2＝34，∴e ＝12. (2)∵b 2a 2＝34，可设b 2＝3t ，a 2＝4t ， ∴椭圆的方程为3x 2＋4y 2－12t ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2－12t ＝0y ＝kx ＋m ，得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12t ＝0，∵动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，∴Δ＝0，即64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12t )＝0，整理得m 2＝3t ＋4k 2t ，设P (x 1，y 1)则有x 1＝－8km ＋4k 2＝－4km 3＋4k 2， y 1＝kx 1＋m ＝3m 3＋4k 2， ∴P (－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2)，又M (1,0)，Q (4,4k ＋m )，∵x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，∴(1＋4km 3＋4k 2，－3m 3＋4k 2)·(－3，－(4k ＋m ))＝0恒成立，整理得3＋4k 2＝m 2.∴3＋4k 2＝3t ＋4k 2t 恒成立，故t ＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 思维升华待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，解方程组或利用弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点E (－1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)求△AOB 面积的最大值．解 (1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，故曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)因为直线l 过点E (－1,0)，可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝my －1，整理得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0. 由Δ＝(－2m )2＋12(m 2＋4)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．解得y 1＝m ＋2m 2＋3m 2＋4， y 2＝m －2m 2＋3m 2＋4. 则|y 2－y 1|＝4m 2＋3m 2＋4. 因为S △AOB ＝12|OE ||y 2－y 1|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3. 设g (t )＝t ＋1t，t ＝m 2＋3，t ≥ 3. 则g (t )在区间[3，＋∞)上为增函数，所以g (t )≥433. 所以S △AOB ≤32，当且仅当m ＝0时取等号．所以S △AOB 的最大值为32.1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝c a；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a. 4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c .5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)； (3)S △AOB ＝p 22sin α； (4)1|F A |＋1|FB |为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。

新广东高考数学理科步步高二轮复习热点突破5.1空间几何体(含答案解析)

第1讲空间几何体热点一三视图与直观图例1 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83 B ．8 C.323D ．16(2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )思维启迪 (1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破．答案 (1)B (2)D解析 (1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：则该几何体的体积V ＝12×2×2×4＝8.(2)由俯视图易知答案为D.思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案(1)A(2)D解析(1)根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.热点二几何体的表面积与体积例2(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，则几何体EFC 1－DBC 的体积为( )A ．66B ．68C ．70D ．72思维启迪 (1)由三视图确定几何体形状；(2)对几何体进行分割．答案 (1)π6(2)A解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个半圆锥，底面半圆半径是1，半圆锥的高为 1.由圆锥的体积公式，可以得该半圆锥的体积V ＝12·13π·12·1＝π6.(2)如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66. 故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.思维升华 (1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想．多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋633C.163D.203答案 D解析过M ，N 分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S 1＝12×2×2＝2，高为2，所以体积为V 1＝4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V 1＝2×13×2×1×2＝83，所以多面体的体积为V ＝83＋4＝203，选D.热点三多面体与球例3 如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π B ．3π C.23π D ．2π 思维启迪要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD 是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A 的距离等于这个点到B ，C ，D 的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．答案 A解析如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接AE ，OD ，EO ，AO .由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD . 由于平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥BD ，所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12. 所以OA ＝32. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π(32)3＝32π.故选A.思维升华多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．(1)(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．答案 (1)B (2)133π解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.因此选B.(2)由三视图可知，该几何体是四棱锥P －ABCD (如图)，其中底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝1，∴该四棱锥的体积为V ＝13×1×1×1＝13.又PC 为其外接球的直径，∴2R ＝PC ＝3，则球的表面积为S ＝4πR 2＝3π.1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)．4．长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2＋b2＋c2＝2R；(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a＝2R.。

2016版《步步高》高考数学大二轮总复习专题六解析几何第1讲

则S△PBC的最小值为1. 而 S△PBC＝12r·PB，即 PB 的最小值为 2，此时PC最小，PC为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时 d＝ k|25＋| 1＝ 12＋22＝ 5，即 k2＝4，因为k>0，所以k＝2. 答案 2
思维升华
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量. (2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.
对称.
设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，
则有 yx00－＋21＝－1， y0＋2 2＝x0－2 1＋1
⇒xy00＝＝10，，即 B′(1,0).
因为B′(1,0)在直线AC上，所以直线 AC 的斜率为 k＝13－－01＝12，所以直线 AC 的方程为 y－1＝12(x－3)，即x－2y－1＝0.
(2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x＝－2 的
右侧，若圆 M 截直线 l1 所得的弦长为 2 3，且与直线 l2：2x
－ 5y－4＝0 相切，则圆 M 的方程为________________. 解析由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a>－2，半径
为r，
(a＋2)2＋( 3)2＝r2，
12 3 4
3.(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2 ＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝_4_±___1_5__.
|a＋a－2| 解析圆心 C(1，a)到直线 ax＋y－2＝0 的距离为 a2＋1 . 因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝2，所以(|a＋a2a＋－12|)2＋12＝22，解得 a＝4± 15.

【步步高】高考数学理江苏大二轮总复习练习：专题六第1讲直线与圆(含答案解析)

第1讲直线与圆1.(2016 山·东改编 )已知圆 M： x2＋ y2－ 2ay＝ 0(a＞ 0)截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1 的地点关系是 ________.答案订交分析∵圆 M： x2＋ (y－ a)2＝ a2，∴圆心坐标为M(0， a)，半径 r 1为 a，圆心 M 到直线 x＋ y＝ 0 的距离 d＝|a|，2|a|22)22，解得 a＝ 2.由几何知识得＋ (＝ a2∴ M(0,2) ，r 1＝2.又圆 N 的圆心坐标为N(1,1)，半径 r2＝ 1，∴ MN ＝(1－ 0)2＋ (1－ 2)2＝2，r 1＋ r 2＝ 3，r 1－r 2＝ 1.∴ r 1－r 2＜ MN ＜ r 1＋ r 2，∴两圆订交.2.(2016 上·海 )已知平行直线l1：2x＋ y－ 1＝ 0，l2：2x＋ y＋ 1＝ 0，则 l1与 l 2的距离是 ________.25答案53.(2016 浙·江 )已知 a∈ R，方程 a2x2＋ (a＋ 2)y2＋ 4x＋ 8y＋ 5a＝ 0 表示圆，则圆心坐标是______.半径是 ______.答案(－ 2，－ 4)52分析由已知方程表示圆，则 a ＝ a＋ 2，当 a＝ 2 时，方程不知足表示圆的条件，故舍去.22当 a＝－ 1 时，原方程为x ＋ y ＋ 4x＋ 8y－ 5＝ 0，22化为标准方程为(x＋ 2) ＋ (y＋ 4) ＝ 25，4.(2016 课·标全国乙 )设直线 y＝ x＋ 2a 与圆 C： x2＋ y2－ 2ay－ 2＝ 0 订交于 A， B 两点，若AB＝2 3，则圆 C 的面积为 ________.答案4π22分析圆 C：x ＋ y －2ay－ 2＝ 0，即C： x2＋ (y－ a)2＝ a2＋ 2，圆心为C(0，a)， C到直线y＝x＋ 2a 的距离为 d＝|0－a＋2a|＝|a|.又由 AB＝ 2 3，22得 2 3 2＋|a|2＝a2＋2，222＝ 2，所以圆的面积为2解得 aπ(a＋ 2)＝ 4π.考察要点是直线间的平行和垂直的条件、与距离相关的问题.直线与圆的地点关系(特别是弦长问题 )，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现.热门一直线的方程及应用1.两条直线平行与垂直的判断若两条不重合的直线l1， l2的斜率k1， k2存在，则l1∥ l2? k1＝ k2，l 1⊥ l 2? k1k2＝－ 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率能否存在.2.求直线方程要注意几种直线方程的限制性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不可以与方程不可以表示过原点的直线，也不可以表示垂直于坐标轴的直线.3.两个距离公式x 轴垂直.而截距式(1)两平行直线 l1： Ax＋ By＋ C1＝0，l 2： Ax＋ By＋ C2＝ 0 间的距离 d＝|C1－ C2|2 2. A＋ B(2) 点 (x0， y0)到直线 l ： Ax＋ By＋C＝ 0 的距离公式|Ax0＋ By0＋ C|. d＝A2＋ B2例 1(1) 已知直线 l 1：(k－ 3)x＋ (4－ k)y＋ 1＝ 0 与 l2： 2(k－ 3)x－ 2y＋ 3＝ 0 平行，则 k 的值是________.(2) 已知两点 A(3,2)和 B(－ 1,4)到直线 mx＋ y＋ 3＝0 的距离相等，则m 的值为 ________.1答案(1)3 或 5 (2)2或－ 6分析(1)两直线平行，则 A1B2－ A2B1＝0 且 A1C2－ A2C1≠0，所以有－ 2(k－3) －2(k－ 3)(4 －k)＝0，解得 k ＝ 3 或 5，且知足条件 A 1C 2－ A 2C 1≠ 0. (2) 依题意，得 |3m ＋ 5| ＝ |－ m ＋ 7|.m 2＋ 1m 2 ＋ 1所以 |3m ＋ 5|＝ |m － 7|.所以 (3m ＋5)2 ＝(m － 7)2，所以 8m 2＋ 44m － 24＝ 0. 所以 2m 2＋ 11m －6＝ 0. 所以 m ＝1或 m ＝－ 6.2思想升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的状况；(2)对解题中可能出现的特别状况，可用数形联合的方法剖析研究.追踪操练1 已知直线 l 1： ax ＋ 2y ＋1＝ 0 与直线 l 2：(3－ a)x － y ＋ a ＝ 0，若 l 1⊥ l 2，则 a 的值为 ________.答案1 或 2分析由 l 1⊥ l 2，则 a(3－ a)－2＝ 0，即 a ＝ 1 或 a ＝ 2.热门二圆的方程及应用1.圆的标准方程当圆心为 (a ， b)，半径为 r 时，其标准方程为 (x － a)2 ＋(y －b) 2＝ r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x 2＋ y 2＝ r 2. 2.圆的一般方程2 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0，此中 22 ，表示以 (－D E D 2＋ E 2－ 4Fx＋y D ＋E －4F>02，－)为圆心，为22半径的圆 .例 2(1) 若圆 C 经过 (1,0)，(3,0) 两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为 ______________.(2) 已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l 1：x ＝－ 2 的右边，若圆 M 截直线 l 1 所得的弦长为 2 3，且与直线 l 2： 2x － 5y － 4＝0 相切，则圆 M 的方程为 ________________.答案 (1)(x － 2)2＋ (y ± 3)2＝ 4 (2)( x ＋ 1)2＋ y 2＝ 4分析(1)因为圆 C 经过 (1,0) ，(3,0) 两点，所以圆心在直线x ＝ 2 上，又圆与 y 轴相切，所以半径 r ＝ 2，设圆心坐标为 (2， b)，则 (2－1)2 ＋ b 2＝4， b 2＝ 3，b ＝ ± 3.(a ＋ 2)2＋( 3)2＝ r 2 ，(2) 由已知，可设圆 M 的圆心坐标为 (a,0)， a>－ 2，半径为 r ，得 |2a － 4|＝ r ，4＋ 5a ＝－ 1，解得知足条件的一组解为r ＝2，所以圆 M 的方程为 (x ＋ 1)2＋ y 2＝ 4.思想升华解决与圆相关的问题一般有两种方法：(1)几何法，经过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的地点关系，从而求得圆的基本量和方程； (2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.追踪操练 2(1)(2015 课·标全国Ⅰ )一个圆经过椭圆 x 2＋ y 2＝ 1 的三个极点，且圆心在x 轴的164正半轴上，则该圆的标准方程为________________.(2) 两条相互垂直的直线 2x ＋ y ＋ 2＝ 0 和 ax ＋ 4y － 2＝ 0 的交点为 P ，若圆 C 过点 P 和点 M( －13,2)，且圆心在直线y ＝2x 上，则圆 C 的标准方程为 ______________.答案(1) x －322＋ y2＝ 254(2)( x ＋ 6)2＋ (y ＋ 3)2＝ 34分析 (1)由题意知圆过 (4,0)，(0,2) ， (0，－ 2)三点，(4,0) ，(0 ，－ 2)两点的垂直均分线方程为y ＋ 1＝－ 2(x － 2)，令 y ＝ 0，解得 x ＝ 3，圆心为 3， 0 ，半径为5222.得该圆的标准方程为(x － 3)2＋ y 2＝25.24(2) 由直线 2x ＋ y ＋2＝ 0 和直线 ax ＋ 4y － 2＝ 0 垂直得 2a ＋ 4＝ 0，故 a ＝－ 2，代入直线方程，联立解得交点坐标为 P(－ 1,0)，易求得线段MP 的垂直均分线的方程为 x － y ＋3＝ 0，设圆 C的标准方程为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ r 2 (r>0) ，则圆心 ( a ，b)为直线 x － y ＋3＝ 0 与直线 y ＝ 1 x 的交2x －y ＋ 3＝ 0，点，由1解得圆心坐标为 (－ 6，－ 3)，从而获得r 2＝ 34，所以圆 C 的标准方y ＝2x ，程为 (x ＋ 6)2＋ (y ＋ 3)2＝ 34. 热门三直线与圆、圆与圆的地点关系1.直线与圆的地点关系：订交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和鉴别式法.(1) 点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为 r ，则 d<r? 直线与圆订交， d ＝ r ?直线与圆相切， d>r? 直线与圆相离.(2) 判别式法：设圆 C ： (x － a)2 ＋ ( y － b) 2 ＝ r 2 ，直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ，方程组Ax ＋By ＋ C ＝ 0，消去 y ，得对于 x 的一元二次方程根的鉴别式，则直线与圆相离 ?22＝ r 2(x － a) ＋ (y － b)<0，直线与圆相切 ?＝0，直线与圆订交 ? >0.2.圆与圆的地点关系有五种，即内含、内切、订交、外切、外离 .设圆 C 1：(x － a 1)2＋ (y － b 1)2 ＝r 12，圆 C 2：( x － a 2 )2＋ (y － b 2)2＝ r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种地点关系的判断方法以下：(1) d>r 1＋ r 2? 两圆外离；(2) d ＝r 1＋ r 2? 两圆外切；(3)|r 1－ r 2|<d<r 1 ＋r 2? 两圆订交；(4) d ＝|r 1－ r 2|(r 1 ≠r 2)? 两圆内切；(5)0 ≤d<|r 1－ r 2 |(r 1≠r 2)? 两圆内含 .例 3 (1) 已知直线 y ＝ kx(k>0) 与圆 C ： (x －2) 2＋ y 2＝ 1 订交于 A ， B 两点，若 AB ＝25，则 k5 ＝ _________.22(2) 已知 P(x ，y)是直线 kx ＋ y ＋ 4＝ 0(k>0) 上一动点， PA ，PB 是圆 C ：x ＋ y － 2y ＝ 0 的两条切线， A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为 ______.答案(1) 1(2)22||2|2k |2分析(1)圆心 C 2，0 ，半径为 1，圆心到直线的距离 d ＝2k ，而 AB ＝) 5 5，得 ( k 2＋ 1)(k 2＋ 1＋5 2＝1，解得 k ＝ 1.52(2) 如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋ (y － 1)2＝ 1，所以圆心为 (0,1)，半径为 r ＝ 1，四边形 PACB 的面积 S ＝ 2S △PBC ，所以若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 S △PBC 的最小值为 1.1 kx ＋ y ＋ 4＝ 0 的距而 S △ PBC ＝ r ·PB ，即 PB 的最小值为 2，此时 PC 最小， PC 为圆心到直线2离 d ，此时 d ＝|5| ＝ 12＋ 22＝ 5，即 k 2＝ 4，因为 k>0，所以 k ＝ 2.k 2＋ 1思想升华 (1) 议论直线与圆及圆与圆的地点关系时，要注意数形联合，充足利用圆的几何性质找寻解题门路，减少运算量 .(2) 圆上的点与圆外点的距离的最值问题，能够转变为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，能够转变为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，能够转变为圆心到圆心的距离问题.追踪操练3(1)过点P(－ 4,0)的直线l 与圆C ：(x － 1)2＋ y 2＝5 订交于A ，B 两点，若点 A 恰好是线段PB的中点，则直线l 的方程为____________.(2)(2016 江·苏常州溧阳期中 )已知在平面直角坐标系中，点 A(2 2， 0)，B(0,1)到直线 l 的距离分别为 1,2，则这样的直线 l 共有 ________条 .答案 (1)x ±3y ＋4＝ 0 (2)3分析(1)假如直线 l 与 x 轴平行，则 A(1－ 5，0) ，B(1＋ 5，0)， A 不是 PB 的中点，则直线 l 与 x 轴不平行；设 l ： x ＝ my －4，圆心 C 到直线 l 的距离 d ＝5 ，令 AB 中点为 Q ，m 2 ＋ 12222225 25则 AQ ＝ 5－ d ，PQ ＝ 3AQ ＝ 3 5－ d ，在 Rt △ CPQ 中 PQ ＋CQ ＝PC，得 d ＝ 2＝ 1＋ m 2，解得 m ＝ ±3，则直线 l 的方程为 x ±3y ＋ 4＝ 0.(2) 由题意得直线 l 为圆 (x － 2 2)2＋ y 2 ＝1(A 为圆心 )与圆 x 2＋ (y － 1)2＝ 4(B 为圆心 )的公切线，∵ AB ＝ (2 2)2＋( － 1)2＝ 3＝1＋ 2，∴两圆外切，∴两圆共有 3 条公切线 .故答案为 3.1.已知圆 C 对于 y 轴对称，经过点 (1,0)且被 x 轴分红的两段弧长比为1∶ 2，则圆 C 的方程为 ______________.押题依照直线和圆的方程是高考的必考点，常常以填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形联合思想的应用 .答案 x 2＋ (y ±3)2＝ 433分析由已知得圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为 (0， a)，半径为 r ，π π则 rsin ＝1， rcos ＝ |a|，33解得 r ＝ 2，3即 r 2＝ 4，33，即 a ＝ ± 3，|a|＝ 3323 2 4故圆 C 的方程为 x ＋(y ±3 ) ＝ 3.222.设 m ， n 为正实数，若直线 (m ＋1)x ＋(n ＋ 1)y － 4＝0 与圆 x ＋ y － 4x －4y ＋ 4＝ 0 相切，则 mn 的最小值为 ______.押题依照直线与圆的地点关系是高考命题的热门，此题与基本不等式联合考察，灵巧新奇，加之直线与圆的地点关系自己承载着不等关系，所以此类题在高考取出现的可能性很大.答案3＋2 2分析依据圆心到直线的距离是 2 获得 m，n 的关系，而后联合不等式即可求解.由直线 (m＋ 1)x＋ (n＋ 1)y－ 4＝ 0与圆 (x－ 2)2＋ (y－ 2)2＝ 4 相切，可得2|m＋ n|＝ 2，(m＋ 1)2＋ (n＋ 1)2整理得 m＋ n＋ 1＝ mn，由 m， n 为正实数，可知m＋ n≥2mn，令 t ＝mn，则为 t>0，所以 t≥1＋2，所以 mn≥3＋ 2 2.故 mn 有最小值3＋ 2 2，无最大值 .2t＋ 1≤t2，因3.若圆x2＋y2＝4 与圆x2＋ y2＋ ax＋ 2ay－ 9＝ 0(a>0)订交，公共弦的长为22，则a＝ ________.押题依照此题已知公共弦长，求参数的范围，情境新奇，切合高考命题的思路.10答案2x2＋ y2＝ 4，分析联立两圆方程x2＋ y2＋ ax＋ 2ay－ 9＝ 0，可得公共弦所在直线方程为ax＋ 2ay－ 5＝0，故圆心 (0,0)到直线 ax＋ 2ay－ 5＝ 0的距离为|－ 5|＝52 5 2＝ 22，a2＋ 4a2a (a>0). 故 2 2 － ()a解得 a2＝5，因为 a>0，所以 a＝102 2.A 组专题通关1.设 A、 B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为2，且 PA＝ PB，若直线PA 的方程为x－ y＋1＝0，则直线 PB 的方程是 ____________.答案x＋ y－ 5＝ 0分析因为直线 PA 的倾斜角为 45°，且 PA＝PB，故直线 PB 的倾斜角为 135°，又由题意知P(2,3)，∴直线 PB 的方程为 y－ 3＝－ ( x－2)，即 x＋ y－5＝ 0.2.(教材改编 )设直线 ax－ y＋ 3＝ 0 与圆 (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝4 订交于 A、 B 两点，且弦AB 的长为 2 3，则 a＝________.答案0分析由弦心距、半弦长、半径组成直角三角形，得|a＋ 1|222( 2) ＋(－3) ＝2，解得 a＝0.a ＋ 13.过坐标原点且与圆x2＋ y2－ 4x＋ 2y＋5＝ 0 相切的直线的方程为________________. 2答案 3x＋y＝ 0 或 x－ 3y＝ 0分析设直线方程为y＝ kx，即 kx－ y＝ 0.225∵圆方程可化为 (x － 2) ＋ (y ＋ 1) ＝，10∴圆心为 (2，－ 1)，半径为 2 .依题意有 |2k ＋ 1| ＝ 10，k 2＋ 121解得 k ＝－ 3 或 k ＝，∴直线方程为 3x ＋ y ＝ 0 或 x －3y ＝ 0.4.已知 A(7，－ 4)对于直线 l 的对称点为 B(－ 5,6)，则直线 l 的方程是 ____________.答案 6x －5y － 1＝ 0分析依题意得，直线l 是线段 AB 的垂直均分线 .∵ k AB ＝－ 5，∴ k l ＝－ 1 ＝ 6，6 k AB 5 ∵ AB 的中点为 (1,1)，6∴直线 l 的方程是 y － 1＝5(x － 1)，即 6x － 5y －1＝ 0.5.已知圆 C 1：( x － 2)2＋ (y － 3)2＝ 1，圆 C 2： (x － 3)2＋ (y － 4)2 ＝9， M ， N 分别是圆 C 1， C 2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM ＋ PN 的最小值为 __________.答案5 2－4分析两圆的圆心均在第一象限，先求 PC 1＋ PC 2 的最小值，作点 C 1 对于 x 轴的对称点C 1′ ，(2－ 3)，则 (PC 1＋ PC 2)min ＝ C 1 ′C 2＝ 5 2，所以 (PM ＋ PN)min ＝ 5 2－ (1＋ 3)＝ 5 2－ 4.6.已知直线 l 1：ax － y ＋ 1＝ 0，l 2 ：x ＋ y ＋ 1＝ 0，l 1∥ l 2，则 a 的值为 ________，直线 l 1 与 l 2 间的距离为 ________.答案－ 1 2分析∵ l 1∥ l 2，∴ a ·1＝－ 1·1?a ＝－ 1，此时 l 1 ：x ＋ y － 1＝0，∴ l 1， l 2 之间的距离为|1－(－ 1)|＝ 2.27.在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P (－ 2， 0)的直线与圆x 2＋ y 2＝ 1 相切于点 T ，与圆 (x － a )( y － )订交于点 R ， S ，且 PT ＝ RS ，则正数 a 的值为 ________.2 ＋3 2＝3 答案 4分析由题意得PT ＝ 2 2－1＝ 3， k PT ＝3 3 3y ＋ 2＝ 0，又 RS， PT ： y ＝3(x ＋ 2)，即 x －3＝PT ＝3，所以圆 (x － a )2＋ (y － 3)2＝ 3 的圆心到直线PT 距离为3－(3)2＝3，从而2 2|a － 1|＝ 3，所以正数 a 的值为 4.228.(2016 课·标全国丙 )已知直线 l ：mx ＋y ＋ 3m － 3＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝12 交于 A ，B 两点，过 A ，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于C ，D 两点，若 AB ＝2 3，则 CD ＝______.答案 4分析设 AB 的中点为 M ，由题意知，圆的半径 R ＝2 3， AB ＝ 2 3，所以 OM ＝ 3，解得 m＝－3，3x － 3y ＋ 6＝0，3)， B(0,2 3)，则 AC 的直线方程为 y － 3＝－ 3(x ＋由解得 A(－ 3，x 2＋ y 2＝ 12，3)， BD 的直线方程为 y － 2 3＝－ 3x ，令 y ＝ 0，解得 C(－ 2,0)， D(2,0)，所以 CD ＝ 4.9.已知点 A(3,3) ，B(5,2)到直线 l 的距离相等，且直线 l 经过两直线 l 1：3x － y － 1＝ 0 和 l 2： x＋ y － 3＝ 0 的交点，求直线 l 的方程 .解3x － y － 1＝ 0，解方程组得交点 P(1,2).x ＋y － 3＝ 0，①若点 A ， B 在直线 l 的同侧，则 l ∥ AB.而 k AB ＝ 3－2＝－ 1，3－521由点斜式得直线l 的方程为 y － 2＝－ 2(x － 1)，即 x ＋ 2y － 5＝ 0.②若点 A ， B 分别在直线 l 的异侧，则直线l 经过线段 AB 的中点 (4，5)，25－ 2由两点式得直线l 的方程为y －2＝2，x － 1 4－ 1即 x － 6y ＋ 11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋ 2y － 5＝0 或 x － 6y ＋11＝ 0.10.(2015 课·标全国Ⅰ )已知过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C ： (x － 2)2＋ (y － 3)2＝ 1 交于 M ，N 两点 .(1) 求 k 的取值范围；→→＝ 12，此中 O 为坐标原点，求 MN .(2) 若 OM ·ON解 (1)由题设可知，直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1，因为 l 与 C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋ k 2 <1.解得4－7 <k< 4＋ 7 . 3 3所以 k 的取值范围为4－ 7，4＋ 7 .3 3(2) 设 M(x 1， y 1)， N(x 2， y 2).将 y ＝ kx ＋ 1 代入方程 (x － 2)2＋ (y － 3)2＝ 1，整理得 (1＋ k 2)x 2－ 4(1＋ k)x ＋ 7＝ 0.所以 x 1＋ x 2＝ 4(1＋ k) ， x 1x 2＝72. 1＋ k 2 1＋ k→ →OM ·ON ＝ x 1x 2＋y 1y 2＝ (1＋ k 2) x 1x 2＋ k(x 1＋ x 2)＋1 4k(1＋ k)＝1＋ k 2 ＋ 8.4k(1＋ k)由题设可得1＋ k 2 ＋ 8＝ 12，解得 k ＝1，所以 l 的方程为 y ＝ x ＋ 1.故圆心 C 在 l 上，所以 MN ＝2.B 组能力提升11.已知点 A(2 ，3)，B(－ 3，－ 2)，若直线 kx －y ＋ 1－ k ＝0 与线段 AB 订交，则 k 的取值范围是 ________________.答案3(－∞， ]∪[2，＋ ∞)4分析直线 kx － y ＋ 1－ k ＝ 0 恒过点 P(1,1)，k PA ＝3－ 1＝ 2， k PB ＝－2－1 ＝ 3；2－ 1－ 3－14若直线 kx －y ＋ 1－ k ＝ 0 与线段 AB 订交，联合图象3(图略 )得 k ≤ 或 k ≥2.422＝1(0 ≤θ<2π)的随意一组解 (x ，y)都知足不等式312.若方程 ( x －2cos θ) ＋ (y －2sin θ)y ≥x ，则3θ的取值范围是 ____________.答案π[ ， π]3分析依据题意可得，方程 (x － 2cos θ)2 ＋ (y －2sin θ)2＝ 1(0 ≤θ<2π)的随意一组解 ( x ，y)都知足不等式 y ≥ 3x ，表示方程 (x － 2cos 2233 θ) ＋ (y － 2sin θ) ＝ 1(0 ≤θ<2π)在 y ＝ 3 x 的左上方 (包含相切 )，3|2sin θ－ 3 ×2cos θ|≥1，1∴1＋ 332sin θ> 3 ×2cos θ，π 1 π∴ sin θ－≥ ，∵ 0≤θ<2π，∴ θ∈ [ ， π].62313.已知圆 O ：x 2＋ y 2＝4，若可是原点O 的直线 l 与圆 O 交于 P 、Q 两点，且知足直线OP 、PQ 、 OQ 的斜率挨次成等比数列，则直线 l 的斜率为 ________.答案 ±1分析设 l ： y ＝ kx ＋ b(b ≠0)，代入圆的方程，化简得 (1＋ k 2) x 2＋ 2kbx ＋ b 2－ 4＝ 0.设 P(x 1， y 1)， Q(x 2， y 2)，得 x 1＋ x 2＝－2kbb 2－ 42，x 1x 2＝ 1＋ k 2，1＋ kk OP ·k OQ ＝ y 1 y 2·x 1 x 2 ＝ (k ＋ b)( k ＋ b )x 1x 22x 1＋ x 2b 2 ＝ k ＋ kb(x 1x 2)＋x 1x 222kbb 2(1＋ k 2) ＝ k ＋ kb(－ b 2－ 4)＋b 2－ 4222 22 2 2＝ k ( b － 4)－ 2k b ＋ k b ＋ bb 2－ 4b 2－ 4k 2＝ b 2－ 4 ，由 k OP ·k OQ ＝ k l 2，得b 2－ 4k 22＝ k 2，解得 k ＝ ±1. b － 4214.已知以点 C(t ， t )为圆心的圆与 x 轴交于点 O ， A ，与 y 轴交于点 O ， B ，此中 O 为原点 .(1) 求证： △ OAB 的面积为定值；(2) 设直线 y ＝－ 2x ＋ 4 与圆 C 交于点 M ， N ，若 OM ＝ ON ，求圆 C 的方程 .(1) 证明由题意知圆 C 过原点 O ，224且 OC ＝ t＋ t 2.2＋ 2224，则圆 C 的方程为 ( x － t)(y － ) ＝ t＋ 2tt4令 x ＝ 0，得 y 1＝ 0， y 2＝ t ；令 y＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝ 2t.114故 S△OAB＝ OA×OB ＝×|2t| ×||＝4，22t即△ OAB 的面积为定值.(2)解∵OM ＝ON，CM＝CN，∴ OC 垂直均分线段 MN.1，∴直线 OC 的方程为1∵ k MN＝－ 2，∴ k OC＝y＝ x，222 1∴t＝2t，解得 t＝2 或 t＝－ 2.当 t＝ 2 时，圆心 C 的坐标为 (2,1)，OC＝5，此时圆心 C 到直线 y＝－ 2x＋ 4 的距离 d＝1＜5，圆 C 与直线 y＝－ 2x＋ 4 订交于两点；5当 t＝－ 2 时，圆心 C 的坐标为(－ 2，－ 1)， OC＝5，此时圆心 C 到直线y＝－ 2x＋ 4 的距离 d＝9> 5，圆 C 与直线y＝－ 2x＋4 不订交，∴t＝－ 2 不切合题意，应舍去. 5综上，圆 C 的方程为 (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 5.。

【步步高】高考数学第二轮复习专题五第1讲直线与圆课件

2.与直线 x＋y－2＝0 和曲线 x2＋y2－12x－12y＋54＝0 都相切的半径最小的圆的标准方程是_(_x_－__2_)_2＋__(_y_－__2_)2_＝__2___.
押题依据直线与圆的位置关系是解析几何初步的重要内
容，体现了运用代数方法处理几何问题的重要思想，是高
考考查的重点. 押题级别 ★★★★★ 解析曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，表示一个圆，其圆心到直线 x＋y－2＝0 的距离为 d＝|6＋62－2|＝5 2. 所求的最小圆的圆心在直线 y＝x 上，其到直线 x＋y－2 ＝0 的距离为 2，圆心坐标为(2,2)，则其标准方程为(x－ 2)2＋(y－2)2＝2.
(3)B→Q·B→P是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请
说明理由. 思维启迪第(1)问由圆 A 与直线 l1 相切易求出圆的半径，进而求出圆 A 的方程；第(2)问注意直线 l 的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论.
直的直线方程为 y＝－(x－3)，即 x＋y－3＝0.
热点分类突破
题型一直线的概念、方程及位置关系问题
例 1 已知直线 l1：x－2my＋3＝0，直线 l2 的方向向量为 a＝ (1,2)，若 l1⊥l2，则 m 的值为__－__1__.
解析由直线 l2 的方向向量为 a＝(1,2)，知直线 l2 的斜率 k2 ＝2，∵l1⊥l2，∴直线 l1 的斜率存在，且 k1＝21m，由 k1·k2 ＝－1，即21m·2＝－1，得 m＝－1.故填－1. 探究提高本题考查两条直线的垂直关系，这类问题在高考中属于基本问题，常与充要条件的判断、向量知识、

2023届高考二轮总复习试题(适用于老高考旧教材)数学(理) 直线与圆(含解析)

考点突破练12 直线与圆一、选择题1.已知点P (1,2),则当点P 到直线2ax+y-4=0的距离最大时,实数a=( ) A.1 B.-14C.14D.√52.(2022·山东昌乐及第中学一模)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ) A.-8 B.-6 C.-4 D.-23.(2022·北京·3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a )2+y 2=1的一条对称轴,则a=( ) A.12 B.-12C.1D.-14.(2022·山东青岛期末)如果两条直线l 1:(m+2)x+(m 2-3m )y+4=0与l 2:4x+2(m-3)y+7=0平行,则实数m 的值为( ) A.2 B.-3 C.-3或2 D.3或25.(2022·江苏盐城、南京一模)已知直线√2x+y+a=0与圆C :x 2+(y-1)2=4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a=( ) A.-4或2 B.-2或4 C.-1±√3 D.-1±√66.已知M (3,0)是圆x 2+y 2-8x-2y+8=0内一点,则过点M 最短的弦长为( ) A.2√7 B.√7 C.6 D.87.已知向量m =(a ,b ),n =(sin x ,cos x ),f (x )=m ·n ,且f (-x )=f (π2+x),则直线ax+by+c=0的倾斜角为( ) A.π4B.π3C.2π3D.3π48.(2022·安徽高考冲刺卷一)一束光线从点A (-1,1)出发,经x 轴反射到圆C :x 2+y 2-8x-6y+21=0上的最短路径长为( ) A.5 B.4 C.√41-2 D.√29-29.(2022·北京石景山一模)已知圆C :(x-3)2+y 2=9,过点D (1,2)的直线l 与圆C 交于A ,B 两点,则弦|AB|长度的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.410.(2022·北京海淀一模)已知直线l :ax+by=1是圆x 2+y 2-2x-2y=0的一条对称轴,则ab 的最大值为( ) A.14 B.12C.1D.√211.(2022·江西新余期末)直线y=2x-1被过点(0,1)和(2,1)且半径为√5的圆截得的弦长为( ) A.√1055 B.2√1055 C.2√1455 D.2√5512.(2022·山东烟台一模)过直线x-y-m=0上一点P 作圆M :(x-2)2+(y-3)2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,若使得四边形PAMB 的面积为√7的点P 有两个,则实数m 的取值范围为( ) A.(-5,3) B.(-3,5)C.(-∞,-5)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(5,+∞)二、填空题13.(2022·新高考Ⅰ·14)写出与圆x 2+y 2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .14.(2022·江苏南通第一次调研)过点P (1,1)作圆C :x 2+y 2=2的切线交坐标轴于点A ,B ,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = .15.(2022·河南南阳期末)已知实数x ,y 满足x 2+y 2=4,则y+4x+2的最小值为 .16.(2022·山东菏泽期末)著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC,点B(-1,1),C(3,5),过其“欧拉线”上一点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|的最小值为.考点突破练12 直线与圆1.B 解析: ∵直线恒过定点A (0,4),∴当PA 与直线垂直时﹐点P 到直线的距离取得最大值.∵k PA =4-20-1=-2,∴直线2ax+y-4=0的斜率为12,即-2a=12,∴a=-14.故选B .2.C 解析: 圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a ,则圆心坐标为(-1,1),半径r=√2-a ,∵圆截直线x+y+2=0所得弦长为4,∴(√2)2+22=2-a ,解得a=-4.故选C .3.A 解析: 圆(x-a )2+y 2=1的圆心为(a ,0),代入直线方程,可得2a+0-1=0,∴a=12,故选A . 4.D 解析: ∵两条直线l 1:(m+2)x+(m 2-3m )y+4=0与l 2:4x+2(m-3)y+7=0平行,∴2(m-3)(m+2)=4(m 2-3m ),即m 2-5m+6=0,解得m=2或m=3,当m=2时,l 1:4x-2y+4=0,l 2:4x-2y+7=0,满足题意;当m=3时,l 1:5x+4=0,l 2:4x+7=0,满足题意.故选D .5.A 解析: ∵圆C 的圆心为C (0,1),半径为2,△ABC 为等边三角形,∴C 到AB 的距离为√32×2=√3,∴√3=√3,∴a=2或a=-4.故选A .6.A 解析: 圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=9,则该圆的半径为3,圆心为(4,1),∵M 到圆心的距离为√1+1=√2,∴过点M 最短的弦长为2×√9-2=2√7.故选A . 7.D 解析: 由题知f (x )=a sin x+b cos x ,又f (-x )=f (π2+x),所以f (0)=f (π2),得a sin 0+b cos0=a sin π2+b cos π2,所以a=b ,则直线ax+by+c=0的斜率k=-ab =-1,故直线ax+by+c=0的倾斜角为3π4.故选D .8.C 解析: 由题意,圆C 的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=4,所以圆C 的圆心坐标为(4,3),半径r=2,又点A (-1,1)关于x 轴的对称点为B (-1,-1),所以|BC|=√(-1-4)2+(-1-3)2=√41,所以所求最短距离为√41-2.9.B 解析: 由题意,因为(1-3)2+22=8<9,所以点D (1,2)在圆C 内,由题意,当直线l 垂直于CD 时弦|AB|长度取得最小值,因为|CD|=√(3-1)2+(0-2)2=2√2,所以|AB|min =2×√9-8=2.故选B .10.A 解析: 由于直线l 是圆的对称轴,所以圆的圆心必定在直线l 上,将圆的一般方程转变为标准方程(x-1)2+(y-1)2=2,将圆心(1,1)坐标代入直线l 的方程得a+b=1,则ab=a (1-a ),函数y=a (1-a )是开口向下,以直线a=12为对称轴的抛物线,所以y max =12(1-12)=14.故选A .11.B 解析: 设圆心为(a ,b ),则由题意可得(a-0)2+(b-1)2=(a-2)2+(b-1)2=5,解得{a =1,b =-1或{a =1,b =3,所以圆心为(1,-1)或(1,3),所以圆方程为(x-1)2+(y+1)2=5或(x-1)2+(y-3)2=5,则圆心到直线y=2x-1的距离为d=√4+1=2√55或d=√4+1=2√55,则弦长为2×√(√5)2-(2√55)2=2√1055.故选B .12.A 解析: 由题意,圆心M (2,3),半径r=1,设直线x-y-m=0上一点P 的坐标为(a ,a-m ), 则|PM|=√(a -2)2+(a -m -3)2,所以|PA|=√|PM |2-r 2=√(a -2)2+(a -m -3)2-1, 所以S △PMA =12×r ×|PA|=√72, 即√(a -2)2+(a -m -3)2-1=√7,整理得2a 2-2(m+5)a+(m+3)2-4=0,由题意得方程有两个不同实根,所以Δ=4(m+5)2-8[(m+3)2-4]>0,整理得m 2+2m-15<0,解得-5<m<3.故选A .13.x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524解析: 在平面直角坐标系中,画出圆x 2+y 2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O (0,0),O 1(3,4),由图得两圆外切,则☉O 与☉O 1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l 的方程为x=-1.由图可知,内公切线l 1与另一条外公切线l 2的斜率均存在.∵l 1与直线OO 1垂直,直线OO 1的斜率k OO 1=43,∴直线l 1的斜率k l 1=-34,直线OO 1的方程为y=43x.可设直线l 1的方程为y=-34x+b (b>0). 又圆心O 到直线l 1的距离d 1=√(-34)+1=1,解得b=54(负值舍去).故内公切线l 1的方程为y=-34x+54.由{y =43x ,x =-1,得直线l 与直线OO 1的交点为A -1,-43.则可设直线l 2的方程为y+43=k (x+1).又圆心O 到直线l 2的距离d 2=|k -43|√k +1=1,解得k=724,故直线l 2的方程为y=724x-2524.由上可知,与圆x 2+y 2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524. 14.-2 解析: 过点P (1,1)的圆C 的切线方程为x+y=2,不妨设与x 轴交点为A ,则A (2,0),B (0,2),所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1)·(-1,1)=-2. 15.34 解析: x 2+y 2=4表示以原点为圆心,以2为半径的圆,y+4x+2的几何意义为圆上的动点(不包括点(-2,0))与定点P (-2,-4)连线的斜率,设过点P 斜率为k 的直线方程为y+4=k (x+2),即kx-y+2k-4=0,如图,可知当k 最小时,√k +1=2,解得k=34.故y+4x+2的最小值为34.16.2√2 解析: 因为AB=AC ,所以BC 边上的垂线、中线、垂直平分线为同一条直线,设BC 中点为D ,则AD 即为“欧拉线”,由点B (-1,1),C (3,5),得点D (1,3),k BC =5-13-(-1)=1,所以k AD =-1,直线AD 为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.连接OP ,交MN 于点H (图略),则OP ⊥MN , 设O 到MN 距离为d ,即OH=d , 设∠POM=θ,则在△OMP 中,cos θ=r |OP |,在△OHM 中,cos θ=|OH ||OM |=d r ,所以r |OP |=d r,则d=r 2|OP |=4|OP |,。

2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题直线与圆的位置关系强化训练含解析

直线与圆的位置关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线x+y-1=0与圆M:+-2ax-2y=0交于A,B两点,若AMB=4MAB,则a=（）A. 2B. 1C. 2或-1D. 1或-22.已知直线l:x-y+4=0与x轴相交于点A,过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为C,D两点,记M是CD的中点,则|AM|的最小值为( )A. B. 3 C. D. 33.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )A. B. C. D.4.已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是( )A. (，＋∞)B. [，＋∞)C. [，2)D. [，2)二、多选题（本大题共6小题，共30.0分。

在每小题有多项符合题目要求）5.已知圆，下列命题正确的是A. 为过点的圆C的一条切线B. 为过点的圆C的一条切线C. 为过点的圆C的一条切线D. 为过点的圆C的一条切线6.已知集合A={(x，y)|x-y+a=0}，B={(x，y)|x=}，若集合A⋂B中只有一个元素，则实数a的可能取值为（）A. -1B. 1C.D.7.已知直线y=x+b与圆+=16交于A、B两点,且|+|=|-|(其中O为坐标原点),则实数b的值可以是（）A. -4B. -2C. 2D. 48.已知圆O的方程为，过第一象限内的点作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（）A. 直线AB的方程为B. 四点O、A、P、B共圆C. 若P在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2D. 若，则的最大值为9.已知圆C过点A(1,3)、B(2,2),直线m:3x-2y=0平分圆C的面积,过点D(0,1)且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N,则( )A. 圆心的坐标为C(2,3)B. 圆C的方程为+=1C. k的取值范围为(,)D. 当k=时,弦MN的长为10.P是直线y=2上的一个动点,过点P作圆+=1的两条切线,A,B为切点,则（）A. 弦长|AB|的最小值为B. 存在点P,使得APB=C. 直线AB经过一个定点D. 线段AB的中点在一个定圆上三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.过点且与圆相切的直线方程为.12.已知点P（x，y）是直线l：kx-y+4=0（k＞0）上的动点，过点P作圆C：x2+y2+2y=0的切线PA，A为切点，若|PA|最小为2时，圆M：x2+y2-my=0与圆C外切，且与直线l相切，则m 的值为.13.若在平面直角坐标系xOy中,直线x-y=2与直线x-y=4分别截圆+=(r>0)所得弦长之比为3:1,则r= .14.已知圆，点为直线上的一个动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过的定点的坐标为．15.已知圆C的方程为x2+y2=2，点P是直线x-2y-5=0上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为；直线AB 过定点.四、解答题（本大题共1小题，共12.0分。