【成才之路】高中数学人教A版必修2练习：2.2.4平面与平面平行的性质(含答案解析)

第二章 2.2 2.2.4一、选择题1．若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是导学号92180444()A．平行B．相交C．AC在此平面内D．平行或相交[答案] A[解析]利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行．2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是导学号92180445 ()A．两两相互平行B．两两相交于同一点C．两两相交但不一定交于同一点D．两两相互平行或交于同一点[答案] A[解析]根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相互平行．3．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为导学号92180446()A．0 B．1C．2 D．无数[答案] B[解析]∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B．4．已知a、b表示直线，α、β、γ表示平面，则下列推理正确的是导学号92180447() A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b [答案] D[解析] 选项A 中，α∩β＝a ，b ⊂α，则a ，b 可能平行也可能相交，故A 不正确； 选项B 中，α∩β＝a ，a ∥b ，则可能b ∥α且b ∥β，也可能b 在平面α或β内，故B 不正确；选项C 中，a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b ＝A ，才能得出α∥β，故C 不正确；选项D 为面面平行性质定理的符号语言，故选D ．5．已知两条直线m 、n 两个平面α、β，给出下面四个命题：导学号 92180448 ①α∩β＝m ，n ⊂α⇒m ∥n 或者m ，n 相交； ②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α； ④α∩β＝m ，m ∥n ⇒n ∥β且n ∥α. 其中正确命题的序号是( ) A ．① B ．①④ C ．④ D ．③④[答案] A6．平面α∥平面β，△ABC 、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O ，O 在α、β之间．若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA:OA′＝3:2，则△A′B′C′的面积为导学号 92180449( )D ．39B ．33 C ．239D ．233[答案] C[解析] 如图∵α∥β，∴BC ∥B′C′，AB ∥A′B′，AC ∥A′C′，∴△ABC ∽△A′B′C′，且由AB A′B′＝OA OA′＝32知相似比为32，又由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，知S △ABC ＝12AB·CD ＝12AB·(AC·sin60°)＝32，∴S △A′B′C′＝239. 二、填空题7．如右图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________.导学号 92180450[答案] 平行四边形[解析] ∵平面ABFE ∥平面CDHG ， 又平面EFGH∩平面ABFE ＝EF ， 平面EFGH∩平面CDHG ＝HG ， ∴EF ∥HG. 同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形．8．已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB 、CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.导学号 92180451(1)若点S 在平面α、β之间，则SC ＝________； (2)若点S 不在平面α、β之间，则SC ＝________. [答案] (1)16 (2)272[解析] (1)如图(1)所示，因为AB∩CD ＝S ，所以AB 、CD 确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD ．因为α∥β，所以AC ∥BD ．于是SA SB ＝SC SD ，即SA AB ＝SC CD.所以SC ＝SA·CD AB ＝8×349＋8＝16.(2)如图(2)所示，同理知AC ∥BD ，则SA SB ＝SCSD ，即89＝SC SC ＋34，解得SC ＝272. 三、解答题9．如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．求证：CE ∥平面PAD ．导学号 92180452[解析] 解法一：如图所示，取PA 的中点H ，连接EH 、DH.因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB ．又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ． 因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH.又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD ．解法二：如图所示，取AB 的中点F ，连接CF 、EF ，所以AF ＝12AB ．又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ．又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形， 因此CF ∥AD ．又CF ⊄平面PAD ，所以CF ∥平面PAD ．因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PD ． 又EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． 因为CF∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD ． 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面PAD ．10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ 与平面PAO 平行？导学号 92180453[解析] 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO. 连接BD ，由题意可知，BD∩AC ＝0，O 为BD 的中点，又P 为DD 1的中点， ∴OP ∥BD 1，又BD 1⊄平面PAO ， PO ⊂平面PAO ，∴BD 1∥平面PAO ，连接PC ．∵PD 1綊CQ ，∴D 1Q ∥PC ．又PC ⊂平面PAO ，D 1Q ⊄平面PAO ，∴D 1Q ∥平面PAO. 又D 1Q∩BD 1＝D 1，∴平面D 1BQ ∥平面PAC ．一、选择题1．已知直线a ∥平面α，a ∥平面β，α∩β＝b ，则a 与b 导学号 92180454( )A．相交B．平行C．异面D．共面或异面[答案] B[解析]∵直线a∥α，a∥β，∴在平面α、β中必分别有一直线平行于a，不妨设为m、n，∴a∥m，a∥n，∴m∥n.又α、β相交，m在平面α内，n在平面β内，∴m∥β，∴m∥b，∴a∥b.故选B．2．如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则导学号92180455()A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF[答案] A[解析]取DG的中点为M，连接AM、FM，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形∴DE綊FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面AB C∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，∴BF∥平面ACGD．故选D．3．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C导学号92180456()A．不共面B．不论A、B如何移动，都共面C．当且仅当A、B分别在两直线上移动时时才共面D．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面[答案] B[解析]如图，不论点A、B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．4．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是导学号92180457()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交[答案] D[解析]如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．二、填空题5．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________.导学号92180458[答案]平行四边形[解析]∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为________.导学号92180459①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.[答案]①②④[解析]∵MN∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正确；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系．故填①②④.三、解答题7．如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别是PA、PB、PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.导学号92180460[解析]因为D、E分别是PA、PB的中点，所以DE∥AB．又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.8．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE 与B1B交于点E.求证：EC∥A1D．导学号92180461[解析]因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D．又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．。