高一数学函数的最值课件
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人教A版高一数学必修一《1.3.2函数的最大、最小值》精品课件
解析： 原函数变为 y＝|x－2| ＋|x＋1|＝
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函 数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函 数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的 运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值 ．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 最大值 ． _______
2x＋6 2． 函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ， 则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函 数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函 数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的 运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值 ．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 最大值 ． _______
2x＋6 2． 函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ， 则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
2.3函数的单调性和最值(第1课时函数的单调性)课件高一上学期数学北师大版
函数的单调性.
(-2), ≥ 2,
解 f(x)=x|x-2|=
(2-), < 2,
图象如图所示.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
【例1-2】
解
2 2 -3
判断函数f(x)=
的单调性.
2.[探究点一·2024陕西咸阳高一期末]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间
是( C )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)和(2,+∞)
D.(2,+∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 -4, ≥ 0,
解析 由于 f(x)=(x-4)·|x|= 2
知识点2 增函数、减函数的定义
函数 增函数
条件
减函数
设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2)
结论 称函数y=f(x)是增函数
f(x1)>f(x2)
称函数y=f(x)是减函数
名师点睛
1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
(-2), ≥ 2,
解 f(x)=x|x-2|=
(2-), < 2,
图象如图所示.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
【例1-2】
解
2 2 -3
判断函数f(x)=
的单调性.
2.[探究点一·2024陕西咸阳高一期末]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间
是( C )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)和(2,+∞)
D.(2,+∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 -4, ≥ 0,
解析 由于 f(x)=(x-4)·|x|= 2
知识点2 增函数、减函数的定义
函数 增函数
条件
减函数
设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2)
结论 称函数y=f(x)是增函数
f(x1)>f(x2)
称函数y=f(x)是减函数
名师点睛
1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
新教材人教B版必修第一册 3.1.2.2 函数的最大值、最小值 课件(57张)
5 4a,a 2.
(2)当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;
当a>1时,f(x)max=f(0)=1,
所以f(x)max=
5 4a,a 1， 1,a 1.
【解题策略】一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴,根据对称轴和定义域的关系确定最值
【思路导引】求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函 数,所以可以采用配方法和图像法求解.
【解题策略】 (1)函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间 (, b ]上是减函数,在区间
2a
[ b , )上是增函数,当x=- b 时,函数取得最小值.
2a
2a
(2)函数y=ax2+bx+c(a<0)在区间 (, b ] 上是增函数,在区间 [ b , ) 上是
点,代入函数解析式求最值.
(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m,区间[a,b]为例,
f a , m a，
①最小值:f(x)min=
f
m
,
a
m
b，
f b, m b.
②最大值:f(x)max=
f f
a, b,
m m
a a
2 2
b， b.
当开口向下、区间不是闭区间等时,类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), y y2 y1 (即 f ___x_2___x_1____)，
x x2 x1 x
称 f f x2 f x1 为函数在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均
(2)当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;
当a>1时,f(x)max=f(0)=1,
所以f(x)max=
5 4a,a 1， 1,a 1.
【解题策略】一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴,根据对称轴和定义域的关系确定最值
【思路导引】求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函 数,所以可以采用配方法和图像法求解.
【解题策略】 (1)函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间 (, b ]上是减函数,在区间
2a
[ b , )上是增函数,当x=- b 时,函数取得最小值.
2a
2a
(2)函数y=ax2+bx+c(a<0)在区间 (, b ] 上是增函数,在区间 [ b , ) 上是
点,代入函数解析式求最值.
(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m,区间[a,b]为例,
f a , m a，
①最小值:f(x)min=
f
m
,
a
m
b，
f b, m b.
②最大值:f(x)max=
f f
a, b,
m m
a a
2 2
b， b.
当开口向下、区间不是闭区间等时,类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), y y2 y1 (即 f ___x_2___x_1____)，
x x2 x1 x
称 f f x2 f x1 为函数在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均
高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最值课件 新人教A版必修1
(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多 少？
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
3.2.2函数的基本性质单调性与最大(小)值课件高一上学期数学人教A版
问题1：已知函数y=x2+2x-3 ,且x [-03，，-22],
求函数的最值．
y
解：因为由图易知:对称轴
x0= -1[0，2]
f(x)在区间[0，2]上
-10 1 2
x
单调递增。
所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
答：函数的最小值为-3，最大值为5
例三：二次函数在闭区间上的最值
y f (x)
2 O 6
11
x
例5已知函数 f (x) 2 (x [2, 6]),求函数f (x) x 1
的最大值和最小值.
y
2
0.5
02
6x
猜想 证明 运用(结论)
证明: 设任意 x1, x2 [2, 6], 且 x1 x2 , 则
22
f
(x1)
f
(x2 )
x1
1
x2
1
2[(x2 1) (x1 1)] 2(x2 x1) . (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1)
h(t) 4.9(t 14.7 )2 4 (4.9) 18 14.72
2 (4.9)
4 (4.9)
当 t 14.7 1.5 时,函数h(t)有最大值 2 (4.9)
h(t ) max
h(1.5)
4 (4.9) 18 14.72 4 (4.9)
2.9
于是, 烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度约为 29 m.
例三：二次函数在闭区间上的最值
问题3:已知函数y=x2 +2x-3,且x[-2，2],
求函数的最值.
解：因为由图易知：对称轴
x0=-1 [-2，2] 所以 ymin= f(-1) = -4 ;
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值
f－32；当
x＝12时，有最大值
1 f2.
答案 C
2．函数 f(x)＝x12在区间12，2上的最大值是
1 A.4
B．－1
C．4
D．－4
( )．
解析 由 t＝x2 在12，2上是增函数，易知 f(x)＝x12在12，2上 是减函数．
∴f(x)max＝f12＝4. 答案 C
(2)∵f(x)的最小值为 f(2)＝121，
∴f(x)>a
恒成立，只须
f(x)min>a，即
11 a< 2 .
类型三 函数最值的实际应用 【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元， 每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月产量． 80 000，x>400.
课堂小结 1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是
最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)， 对任 意x∈R， 都有 f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是 最 大 值 了 ． 最 大 ( 小 ) 值 的 核 心 就 是 不 等 式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，
则函数f(x)的最值必在
区间端点处取得．
互动探究 探究点1 函数f(x)＝x2≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 提示 不是．因为对x∈R，找不到使f(x)＝－1成立的实数x. 探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么？ 提示 函数的最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐 标．
3.2.1函数的单调性与最值课件高一上学期数学
17
(2, 8 ]
.
解析 因为
4
f(x)= 在(1,4]上单调递减,
2- < 0,
17
2-
+
3
≥
4,
故要求整个函数在 R 上都是单调递减的,则
解得 2<a≤ ,
8
1 ≥ 8-16,
≤ 4,
则实数 a
17
的取值范围为(2, 8 ].
4.利用函数的单调性求最值
【例6】 已知函数f(x)=x+
大小.
解 ∵a -a+1=
2
3
∴4与
1 2
- 2
3
4
+ ≥
3
,
4
a2-a+1 都是区间(0,+∞)上的值.
∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
∴f
3
4
≥f(a2-a+1).
f
3
4
的
规律方法
函数单调性的应用问题的解题策略
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调
性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单
4
.
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
解 (1)∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2,
则
4
f(x1)-f(x2)=x1-x2+
调区间上.
(2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单
调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的
【课件】函数单调性与最值(第1课时) 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
减小
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
高一数学必修一 函数的单调性与最值 PPT课件 图文
和最小值。
x 1
课堂练习
课本第38页 练习1、5题
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断
课后作业 课本第45页 习题1.3(A组) 第3﹑4 ﹑ 5 题
（2）存在 x 0 I,使f( 得 x 0)M .
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 （maximum value）
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义吗？
例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制t果)烟4花.9距t2 地1面.4 7的t高18
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；
⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
请你归纳利用定义判断函数的单调性 的步骤。
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 x1 x 2 ； ②作差 f(x1)f(x2) ；
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，
高一数学必修一单调性与最大(小)值课件PPT
上,你同意这个说法吗?
2.你曾经做过哪些努力,来让自己的教 学活动 显得对 学生有 意义?
3.在下面的教学活动中,你觉得哪种教 学方式 对学生 来说更 有意义
A.在课堂上,让学生在给定的句子里用下划线标记 出其中的名词 B.在课堂上,让学生自由造句,但不许在句子中出现 名词。 C.在课堂上,教师给学生讲解牛顿运动定律。
答：烟花冲出后1.5s是它爆 裂的最佳时刻，距地面的 高度约为29m。
➢复习回顾
P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x)
在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出 f(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2) 是函数
f(x)的一个
.
y
2、函数的最值是“全局性质”
3、若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取
最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值， 有最值的不一定同时有最大值最小值。
4、求单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的 单调性。
1.3.1 单调性与最大（小）值 （第3课时）
➢复习回顾
1、增函数/减函数:
I.在课堂上,让学生利用概率论(和天气有关的)来规 划哪几个月的哪几周适合班级出游
03
现在,请写出四到五条你在当前教学中的实际经验。 写出五条你曾在课堂中使用过的教学方法,并努
力将其改进得更加有意义。之后,将这五条教学法全 体教师一起分享。
谢谢观看
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度。
解：由二次函数的知识，
ht 4.9t 2 14.7t 18 4.9(t 1.5)2 116.1
4
由图象可得：当t 14.7 1.5时，函数有最大值为 2 (4.9)
2.你曾经做过哪些努力,来让自己的教 学活动 显得对 学生有 意义?
3.在下面的教学活动中,你觉得哪种教 学方式 对学生 来说更 有意义
A.在课堂上,让学生在给定的句子里用下划线标记 出其中的名词 B.在课堂上,让学生自由造句,但不许在句子中出现 名词。 C.在课堂上,教师给学生讲解牛顿运动定律。
答：烟花冲出后1.5s是它爆 裂的最佳时刻，距地面的 高度约为29m。
➢复习回顾
P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x)
在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出 f(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2) 是函数
f(x)的一个
.
y
2、函数的最值是“全局性质”
3、若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取
最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值， 有最值的不一定同时有最大值最小值。
4、求单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的 单调性。
1.3.1 单调性与最大（小）值 （第3课时）
➢复习回顾
1、增函数/减函数:
I.在课堂上,让学生利用概率论(和天气有关的)来规 划哪几个月的哪几周适合班级出游
03
现在,请写出四到五条你在当前教学中的实际经验。 写出五条你曾在课堂中使用过的教学方法,并努
力将其改进得更加有意义。之后,将这五条教学法全 体教师一起分享。
谢谢观看
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度。
解：由二次函数的知识，
ht 4.9t 2 14.7t 18 4.9(t 1.5)2 116.1
4
由图象可得：当t 14.7 1.5时，函数有最大值为 2 (4.9)
高一数学人必修课件时函数的最大值
对未来研究的展望
尽管我们已经取得了一些关于函数最大 值问题的研究成果，但仍有许多问题值 得进一步探讨，如如何快速准确地找到 函数的最大值点，以及如何处理复杂函
数的最大值问题等。
未来，我们将继续深入研究函数最大值 问题，并尝试将相关理论应用于实际问 题的解决中，如优化算法、经济模型等
。
我们还将关注与函数最大值问题相关的 其他数学领域的研究进展，以期获得更
高一数学人必修课件 时函数的最大值
汇报人：XX 20XX-01-21
目录
• 引言 • 函数的基本性质 • 函数的最大值求解方法 • 函数的最大值应用举例 • 函数的最大值与最小值关系 • 总结与展望
01
引言
函数的最大值概念
函数在其定义域内取 到的最大函数值
最大值反映了函数在 某一区间内的最大增 幅
求函数f(x)=sinx+cosx在区 间[0,π/2]上的最大值和最小 值。
首先利用辅助角公式将函数 化简为f(x)=√2sin(x+π/4) 。由于x∈[0,π/2]，所以 x+π/4∈[π/4,3π/4]，从而 sin(x+π/4)∈[√2/2,1]。因 此，函数在区间[0,π/2]上的 最大值为√2，最小值为1。
函数的基本性质
函数的单调性
单调递增
单调性的判断方法
在函数定义域内，若任意两个自变量 x1, x2 (x1 < x2)，都有f(x1) ≤ f(x2) ，则称函数在该区间内单调递增。
通过求导或利用函数图像来判断函数 的单调性。
单调递减
在函数定义域内，若任意两个自变量 x1, x2 (x1 < x2)，都有f(x1) ≥ f(x2) ，则称函数在该区间内单调递减。
高一数学人必修一课件时函数的最大值
02
函数最大值的求解方法
观察法
观察函数图像
通过绘制函数图像，直观观察函 数在定义域内的变化趋势，从而 确定函数的最大值。
找出关键点
观察函数图像时，注意找出函数 图像的顶点、拐点等关键点，这 些点往往是函数取得最大值的候 选点。
配方法
完全平方
通过配方将二次函数转化为完全平方 形式，从而更容易找到函数的最大值 。
换元法
变量替换
通过适当的变量替换，将原函数转化 为更容易求解的新函数，从而找到函 数的最大值。
换元步骤
选择合适的变量进行替换，将原函数 转化为新函数，然后求解新函数的最 大值。注意换元后新函数的定义域和 值域要与原函数保持一致。
03
函数最大值的存在性定理
闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有有界性，即函数值总在某个区间内。
闭区间上的连续函数具有最大值和最小值，且最大值和最小值一定可以在区间内取 到。
中值定理：对于闭区间上的连续函数，如果在区间的两个端点取值不同，则一定存 在至少一个点使得函数在该点的导数为零。
最大值存在性定理及其证明
最大值存在性定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
• 解答：由题意得日平均成本为$y = \frac{4x^2 + 8(x + 2)}{x + x + 2} = \frac{4(x^2 + 2x + 4)}{2x + 2} = \frac{4[(x + 1)^2 + 3]}{2(x + 1)} = \frac{4(x + 1)^2}{2(x + 1)} + \frac{12}{2(x + 1)} = 2(x + 1) + \frac{6}{x + 1}$。对y求导得$y' = 2 - \frac{6}{(x + 1)^2}$。令$y' = 0$，解得$x = -1 \pm \sqrt{3}$。由于$x > 0$，所以取$x = -1 + \sqrt{3}$。此时日平均成本 最低为$y_{min} = 4\sqrt{3}$万元。
3.2.1函数的单调性与最值 (教学课件)————高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
多来的走势曲线图 。
只靠眼睛观察得到的认识是不是准确呢？例如：从有界限的图怎能看
出函数值是无界限的呢？描点连线画图的可靠性如何保证呢？
新课导入
可见，光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够。从解析式出发研
究函数性质，在数学推理的指导下画图，对函数的性质会了解得更全
面、更准确，为此要用更严密的数学语言来描述函数的性质 。
湘教版高中必修第一册
函数的单调性与最值
教学课件
1
新 课 导 入
新课导入
给定一个函数的解析式或图象，你能不能从中看出这个函数的性质呢？
对函数性质的研究，我们首先关心的是
函数值的变化范围（封顶和保底)和变化趋势 (走高和下滑)
新课导入
下图是某报2016年11月刊登的上海证券交易所综合股价指数（简称上证指数）一年
f ( x) min f (1) 2a 3 4 ， a
7
.
2
③当 1 a 3 ，即 3 a 1 时，
f ( x) 在 1, a 上单调递减， f ( x) 在 a,3 上单调递增，
f ( x) min f ( a ) a 2 2 4 ， a 6 （舍正）.
解：
（1）
①当 a 3f ，即
时，,fa
在 1,3 上单调递减，f ( x) 在 a, 上单调递增.
( x)上单调递减，
a在
3
5
a 的取值范围为_________；
（2）若
在
上单调递减，则
f (xf)(3)
(a
, 2)
f
(
x
)
6
11
只靠眼睛观察得到的认识是不是准确呢？例如：从有界限的图怎能看
出函数值是无界限的呢？描点连线画图的可靠性如何保证呢？
新课导入
可见，光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够。从解析式出发研
究函数性质，在数学推理的指导下画图，对函数的性质会了解得更全
面、更准确，为此要用更严密的数学语言来描述函数的性质 。
湘教版高中必修第一册
函数的单调性与最值
教学课件
1
新 课 导 入
新课导入
给定一个函数的解析式或图象，你能不能从中看出这个函数的性质呢？
对函数性质的研究，我们首先关心的是
函数值的变化范围（封顶和保底)和变化趋势 (走高和下滑)
新课导入
下图是某报2016年11月刊登的上海证券交易所综合股价指数（简称上证指数）一年
f ( x) min f (1) 2a 3 4 ， a
7
.
2
③当 1 a 3 ，即 3 a 1 时，
f ( x) 在 1, a 上单调递减， f ( x) 在 a,3 上单调递增，
f ( x) min f ( a ) a 2 2 4 ， a 6 （舍正）.
解：
（1）
①当 a 3f ，即
时，,fa
在 1,3 上单调递减，f ( x) 在 a, 上单调递增.
( x)上单调递减，
a在
3
5
a 的取值范围为_________；
（2）若
在
上单调递减，则
f (xf)(3)
(a
, 2)
f
(
x
)
6
11
高一数学：1《函数的最值》课件 公开课一等奖课件
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？
思考3:设函数 f ( x) 1 x ，则 f ( x) 2 成立吗？ f ( x) 的最大值是2吗？为什么？
2
思考4:怎样定义函数 f ( x) 的最大值？用什么符号 表示？
一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的 x I , 都有 f ( x) M； （2）存在 x0 I，使得 f ( x0 ) M. 那么称M是函数 y f ( x) 的最大值，记作
f ( x)max M
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗？如果函数 f ( x) 的值域是(a,b)，则函 数 f ( x) 存在最大值吗？
思考3:如果函数 f ( x)存在最大值，那么有几个？
思考4:如果函数 f ( x) 的最大值是b，最小值是a， 那么函数 f ( x) 的值域是[a，b]吗？
理论迁移
2 , x 2,6 ，求函数 f ( x) 例1已知函数 f x x 1 的最大值和最小值.
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思考2:在数学中,形如问题1中的函数y=f(x)的图象上
最高点A、B的纵坐标就是函数y=f(x)的最大值，谁能 给出函数最大值的定义，用什么符号表示？
一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的 x I , 都有 f ( x) M； （2）存在 x0 I，使得 f ( x0 ) M. 那么称M是函数 y f ( x) 的最大值，记作
►
2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最 大（小）值 例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟 花之一。制造时一般是期望在它 达到最高点时爆裂,
如果烟花 距地面的
高度h m与时间t s之间的关系为
h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到1m）
知识探究（二）
观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
图1
x
x0
o
图2
x
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称？ 思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 f ( x) 的最小值？
一般地，设函数 y f ( x)的定义域为I， 如果存在实数m满足： （1）对于任意的 x I , 都有 f ( x) m; （2）存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) m . 那么称m是函数 y f ( x)的最小值，记作
(1)最大值为f(-2)=23,最小值为f(1)=2; (2)最大值为f(6)=47,最小值为f(3)=8;
(3)最大值为f(3)=8,最小值为f(5/4)=15/8.
2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时， 能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量 减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
课后作业： P39 Ａ组Ｔ５、Ｂ组Ｔ1
f ( x)max M
思考3：函数最大值的几何意义是什么？
函数图象最高点的纵坐标。
思考4:函数 y 2 x 1, x (1, )有最大 值吗？为什么？点（-1，3）是不是最高点？
思考4：由问题4你发现了什么值得注意的地方？
讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图 象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是 函数图象上的点。
本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次 函数解决实际问题的能力，解应用题步骤是①审清题 意读懂题；②实际问题转化为数学问题来解决；③归 纳结论。 注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最 值要借助于图象即数形结合。
3、利用图象求函数的最大（小）值
-2x+1 x≤-1
例4、求函数f(x)= 3
f ( x)min m
函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。 讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图 象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是 函数图象上的点。
理论迁移 1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值
2 , x 2,6 ，求函数 f ( x) 例1已知函数 f x x 1 的最大值和最小值.
4 (4.9)
14.7 t 1.5 2 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的 高度约为29m
练习：1
画出函数y=2x2-5x+5的图象，并结合图象写出函数 在下列区间上的最大值与最小值. (1) [-2，1] (2) [3，6] (3) [1，3] 解:根据题意画出如下函数图象
1.3.1
函数的最值
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？
2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性， 如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象：
y
M
AyMB源自xox0图1
o
图2
x0
x
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高 点B,也就是说,这两个函数的图象的共同特征是都有最 高点
2x-1
-1<x<2 的最值
x≥2
课堂小结：
（1）函数的最大（小）值的概念 （2）求函数的最大（小）值一般方法
①对于熟悉的 一次函数、二次函数、反比例函数等 函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大 （小）值 ②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画 出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利 用单调性求出函数的最值
解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟 花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。
h 30 25 20 15 10 5 0
1
2
3
4
t
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2 +14.7t+18 ， 我们有：当 h 4 (4.9) 18 14.7 2 29时，函数有最大值
结伦：
单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利 用其单调性求最值；常用到以下一些结论： ► ①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区 间[b,c)上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大 值f(b). ► ②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区 间[b,c)上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小 值f(b). ► ③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数 函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值 f(a).