BERNSTEIN
希尔伯特的23个数学问题
希尔伯特的23个数学问题展开全文德国数学家希尔伯特(图8-6)是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一．希尔伯特希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题．”同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的．只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．”1900年8月，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特应邀做了题为“数学问题”的著名讲演．在这具有历史意义的演讲中，他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界．他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远．同时，他还分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法．就是在这次会议上，希尔伯特根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个悬而未决的数学问题，即著名的“希尔伯特的23个数学问题”．这次大会是数学史上一个重要的里程碑，他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远．希尔伯特的23个问题分为四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题是属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析问题．经过一个多世纪，希尔伯特提出的23个问题中，接近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要的进展．问题1康托尔的连续统基数问题(公理化集合论)1874年，康托尔猜测在可数集基数与实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设．1938年，奥地利数理逻辑学家哥德尔证明了连续统假设与策梅洛-弗伦克尔(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科恩证明了连续统假设与ZF 集合论公理系统彼此独立．因而连续统假设不能用ZF集合论公理系统加以证明，即连续统假设的真伪不可能在ZF集合论公理系统内判定．在这个意义上，问题已经解决了．问题2算术公理的相容性(数学基础)欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明方法加以证明，后来发展为系统的希尔伯特计划(“元数学”或“证明论”)，但1931年，哥德尔发表“不完备性定理”做出否定．1936年，根茨(G. Gentaen，1909—1945)使用超限归纳法证明了算术公理系统的相容性，但数学的相容性问题至今未解决．问题3只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的(几何基础)问题的含义是：存在两个等底等高的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等，这一问题很快于1900年由希尔伯特的学生德恩(M. Dehn，1878—1952)给出了肯定的解答．这是希尔伯特问题中最早获得解决的一个．问题4直线作为两点间最短距离问题(几何基础)这一问题提得过于一般，满足这一性质的几何例子很多，只需要加以某些限制条件．在构造特殊度量几何方面已有很大进展，但未完全解决．1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．问题5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念(拓扑群论)这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧式群都一定是李群．经过漫长的努力，这个问题于1952年，由美国格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montqomery)和齐宾(Zipping)共同解决．1953年，日本的山迈彦得到完全肯定的结果．问题6物理公理的数学处理(数学物理)希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理学．1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A. Kolmogorov，1903—1987)将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论和热力学等领域，公理化方法获得很大成功，但物理学各个分支能否全盘公理化，很多人对此表示怀疑．公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题．问题7某些数的无理性与超越性(超越数论)要求证明：若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超越数或至少是无理数．苏联数学家盖尔丰德(A. O. Gelfond)于1929年、德国数学家施奈德(T. Schneieder)及西格尔(C. L. Siegel，1896—1981)于1934年各自独立地解决了这问题的后半部分．1966年贝克等大大推广了此结果．但是，超越数理论还远远未完成．要确定所给的数是否超越数，还没有统一的方法，如欧拉常数的无理性至今未获得证明．问题8素数分布问题(数论)希尔伯特在此问题中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题．一般情形的黎曼猜想至今未解决．哥德巴赫猜想和孪生素数问题也未最终解决，这两个问题的最佳结果均属于中国的数学家陈景润．问题9任意数域中最一般的互反律之证明(类域论)该问题于1921年由日本学者高木贞治(1875—1860)、1927年由德国学者阿廷(E. Artin)各自给以基本解决．类域理论至今仍在发展之中．问题10丢番图方程可解性的判别(不定分析)希尔伯特提出问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解．1970年，由苏联数学家马蒂雅塞维奇证明希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系．问题11系数为任意代数数的二次型(二次型理论)德国数学家哈塞(H. Hasse，1898—1979)于1929年和西格尔于1951年在这个问题上获得了重要的结果．20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新的重大进展，但未获最终解决．问题12阿贝尔(Abel)域上的克罗内克(L. Kroneker，1823—1891)定理推广到任意代数有理域(复乘法理论)尚未解决．问题13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程(方程论与实函数论)连续函数情形于1957年由苏联数学家阿诺尔德(V. Arnold，1937—2010)否定解决．1964年，苏联数学家维图斯金(Vituskin)推广到连续可微情形．但若要求是解析函数，则问题仍未解决．问题14证明某类完全函数系的有限性(代数不变式理论)1958年，日本数学家永田雅宜举出反例给出了否定解决．问题15舒伯特(Schubert)记数演算的严格基础(代数几何学)由于许多数学家的努力，舒伯特演算的基础的纯代数处理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解决．至于代数几何的基础，已由荷兰数学家范·德·瓦尔登于1940年及法国数学家魏依于1950年各自独立建立．问题16代数曲线与曲面的拓扑(曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论)这个问题分为两部分：前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目，后半部分要求讨论极限环的最大个数和相对位置．关于问题的前半部分，近年来不断有重要结果出现．关于问题的后半部分，1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出了至少有4个极限环的具体例子．1983年，中国的秦元勋进一步证明了二次系至多有4个极限环，从而最终解决了二次微分方程的解的结构问题，并且为希尔伯特第16问题的研究提供了新的途径．问题17半正定形式的平方表示式(实域论)一个实数n元多项式对任意数组都恒大于零或等于零，是否能写成平方和的形式？此问题于1927年，由阿廷给予肯定的解决．问题18用全等多面体构造空间(结晶体群理论)该问题由三部分组成．第一部分欧式空间仅有有限个不同类的带基本区域的运动群．第二部分包括是否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连即可充满全空间的多面体？第一部分由德国数学家贝尔巴赫(Bieberbach)于1910年做出了肯定的回答．第二部分由德国数学家莱因哈特(Reinhart)于1928年、黑施于1935年做出了部分解决．第三部分至今未能解决．问题19正则变分问题的解是否一定解析(椭圆型偏微分方程理论) 1929年，德国数学家伯恩斯坦(L. Bernstein，1918—1990)证明了一个变元的、解析的非线性椭圆方程，其解必定是解析的．这个结果后来又被伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基等推广到多变元和椭圆组的情形．在此意义下，问题已获解决．问题20一般边值问题(椭圆型偏微分方程理论)偏微分方程边值问题的研究正处于蓬勃发展的阶段，已成为一个很大的数学分支，目前还在继续发展，进展十分迅速．问题21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性证明(线性常微分方程大范围理论)此问题属于线性常微分方程的大范围理论．希尔伯特于1905年、勒尔(H. Rohrl)于1957年分别得出重要结果．1970年，法国数学家德利涅(Deligne)做出了突出的贡献．问题22用自守函数将解析函数单值比(黎曼曲面体)此问题涉及深奥的黎曼曲面理论，一个变数的情形已由德国数学家克贝(P. Koebe)于1907年解决，但一般情形尚未解决．问题23变分法的进一步发展(变分法)这是一个不明确的数学问题，只是谈了一些对变分法的一般看法．希尔伯特本人和许多数学家对变分法的发展做出了重要的贡献．20世纪变分法已有了很大的进展．希尔伯特的23个数学问题的影响及意义希尔伯特的23个数学问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的，但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向．在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域．一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用．许多世界一流的数学家都深深为这23个问题着迷，并力图解决这些问题．希尔伯特所提出的问题清晰、易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试．解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，就自然地被公认为是世界一流水平的数学家．我国的数学家陈景润因在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所瞩目，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位．经过整整一个世纪，希尔伯特的23个数学问题中，将近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要进展．希尔伯特提出的问题是极其深奥的，不少问题一般人连题目也看不懂．正因为困难，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有收获的科学猎场．一百多年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的．希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展，包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等．第2问题和第10问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长．当然，预测不可能全部符合后来的发展，20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析和多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了．（本期责编：王芳）本文摘编自胡伟文徐忠昌主编《数学文化欣赏》（北京：科学出版社，责任编辑吉正霞，2016.11）第八章部分，内容略有删节。
伯恩斯坦
伯恩斯坦蒋中池(镇江师范专科学校)伯思斯坦，F．(Bernstein，FeHx) 1872年2月24日生于德国哈勒；1956年l2月3日卒于瑞士苏黎世。
数学、遗传、生理学．伯恩斯坦的原籍在德国。
他的祖父是一位作家，兼做记者。
他的父亲曾求学于德国数学家杜·布瓦雷蒙(Du．Bois—Reymond)名下，是一位生物电学的早期工作者，做过教师，也研究过数学。
1896年前，伯思斯坦在家乡的小城镇哈勒读完小学和中学，1896年进入当地的哈勒大学深造，从师于G．康托尔(Canter)，开始了他的研究生涯，1899年毕业于哈勒大学。
由于他对数学研究产生强烈兴趣和爱好，1899年秋又进入当时德国十分有名的格丁根大学继续深造。
从师于D．希尔伯特(Hibert)和F．克莱因(Klein)。
1901年结业，回到故乡哈勒，与他父亲边教数学边从事生理学的研究，一直到1911年。
在此期间，他一直保持了与格丁根大学在学术上的联系，并于1907年获得格丁很大学的哲学博士学位。
20世纪初，格丁根大学已成为举世瞩目的数学中心和数学家的摇篮，使许多年轻的数学家像朝圣那样纷纷涌向格丁根。
1911年，伯恩斯坦带着理想和追求又来到了格丁根大学执教，任数理统计学副教授。
第一次世界大战期间，他由于身体原因而免服兵役，那时他已是德国柏林计划委员会统计室的主任了。
1921年，他担任财政部的高级专员。
尽管如此，他仍不放弃执教和研究，他不断发表论文，并取得了许多成果，1921年开为正教授，同时创办了格丁很大学数理统计学会，他担任理事长一直到1934年。
1933年希特勒上台，使兴旺发达的德国数学毁于一旦。
格丁根的大多数专家学者如H．韦尔(Weyl)、C．L．西格尔(Siege1)、E．阿廷(Artin)、R．柯朗(Courant)、E．诺特(Noether)、M．德恩(Dehn)等被迫流亡美国。
1934年，伯恩斯坦也被迫移居美国，并于1940年加入了美国籍，先后在哥伦比亚大学、纽约大学、锡拉丘兹(Syracuse)大学任教。
BERNSTEIN伯恩斯坦传感器的工作原理_6
BERNSTEIN伯恩斯坦传感器的工作原理德国伯恩斯坦电感式传感器产品要求：1、检测距离的衰减性。
滑翘为铁质，适合电感式传感器检测；而滑翘被测部分的尺寸略小于标准检测物尺寸（标准被测物尺寸为3倍额定检测距离，此应用中，标准尺寸应为120*120mm），这样的话就会有一定的衰减。
2、现场抗干扰能力。
这个是不容忽视的问题，普通电感式传感器容易被电机或变频器干扰，很多技术人员只对在此附近的应用选择相应强抗电磁干扰的传感器。
但在汽车制造车间，厂房大，现场技术人员习惯使用对讲机沟通，尤其是边走边用对讲机对话时，会不经意的靠近传感器，导致短暂失效。
3、安装方面。
随着电感式传感器的普及，传感器不仅仅在电气性能方面有所提升，其机械方面的设计也越来越人性化。
要在zui大程度的实现人性化安装。
减少了多种近似产品的备货和减少了安装、维护的时间。
4、稳定运行的保障。
在车厂的使用中，要杜绝任何油污、尘污的侵蚀。
另外，滑翘经过轨道时，震动是长期存在的，优异的抗震动性同样是有着非常重要的作用。
德国伯恩斯坦电感式传感器应用：传感器作为采集和获取信息的工具，对系统的自动化检测和质量监测起着重要作用。
电感式传感器是一种互感式电感传感器，它可将微小的机械量，如位移、振动、压力造成的长度、内径、外径、不平行度、不垂直度、偏心、椭圆度等非电量物理量的几何变化转换为电信号的微小变化，转化为电参数进行测量，是一种灵敏度较高的传感器，具有结构简单可靠、输出功率大、抗阻抗能力强、对工作环境要求不高、稳定性好等一系列优点，因而被广泛应用于各种工程物理量检测与自动控制系统中。
比如:用电感式位移传感器提高轴承制造的精度；用电感测微仪测量微小精密尺寸的变化；实现液压阀开口位置的测量；用于设计智能纺织品的柔性传感器；用电感传感器原理的孔径锥度误差测量仪；用电感传感器检测润滑油中磨粒；用电感传感器监测吊具导向轮等等。
电感传感器还可用作磁敏速度开关、齿轮龄条测速等，该类传感器广泛应用于纺织、化纤、机床、机械、冶金、机车汽车等行业的链轮齿速度检测，链输送带的速度和距离检测，齿轮龄计数转速表及汽车防护系统的控制等。
bernstein定理
bernstein定理
对于有限集，元素的个数可以用一个正整数来表示，而对于无限集，这显然不行。
而我们从希尔伯特旅馆中可以看到，无限似乎又是可以比较大小的。
所以，对于无限极的数量，我们必须给它一个名字。
这个名字就叫做无限极的势。
数学上，常用符号（读作“阿列夫数，Aleph数”）表示。
根据一一对应规则，如果某两个集合的元素“一样多”，就说它们的“势”相等，或它们“等势”，即。
如果A比B元素“多”，就说A的势比B大。
这样，之前证明的定理就可以表示为：如果两个无穷集合A和B可以和对方的子集一一对应，那么必有。
这个定理叫做Bernstein 定理。
伯恩斯坦多项式的性质及其应用
Bernstein 多项式的性质及其应用作者：张* 指导教师：汪**摘要 Bernstein 多项式的性质在B ézier 曲线上的应用更加的广泛，鉴于此，必须先给出Bernstein多项式的性质，然后再得出B ézier 曲线的性质和应用。
在工程应用领域，从设计要求出发，人们希望使用某种逼近方法，而非传统的插值方法，该法能模仿曲线、曲面的设计过程，又便于设计者使用。
B ézier 于1962年提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统，名为UNISURF,随后，Forrest,Gordon 和Riesenfeld 等对B ézier 方法作了深入研究，揭示了B ézier 方法与Bernstein 多项式的联系，从而使其具有更坚实的理论基础。
本文旨在介绍Bernstein 多项式，给出其性质，结合B ézier 曲线的性质，得出Bernstein 多项式在B ézier 曲线上的应用。
关键词 Bernstein 多项式 B ézier 曲线 逼近1 引言用多项式一致逼近连续函数是函数逼近论中的重要结果，在科学与工程中有广泛的应用。
而Bernstein 多项式是不可缺少的重要工具。
1.1 Bernstein 多项式定义：设f 是[0,1]上的函数,n *∈,约定01=.称[0,1]上的多项式函数()()()()(1)nn k k n n k n k B f x B f x f x x k n -=⎫⎛==-⎪ ⎝⎭∑；为f的第n 个Bernstein 多项式.应当将n B 视为一个映射,它把[0,1]上的函数映为[0,1]上的多项式函数.称n B 为第n 个Bernstein 算子.命题 若,f g 是[0,1]上的函数,,αβ是常数,I 是[0,1]上的恒等映射,则(1) ()n B f 的次数n ≤；(2) ()()()n n n B f g B f B g αβαβ+=+；(线性性质) (3) ()n B II αβαβ+=+.证明: (1),(2)显然成立,故只需证(3).0(1)()(1)[(1)]1nn k k n n k n B x x x x x k -=⎫⎛=-=-+=⎪ ⎝⎭∑,这说明(1)1n B =.0()()(1)nn k kn k n k B I x x x k n -=⎫⎛=-⎪ ⎝⎭∑1(1)111(1)1nn k k k n x x x k ----=-⎫⎛=-⎪-⎝⎭∑ 1101(1)n n j jj n x x x j ---=-⎫⎛=-⎪ ⎝⎭∑1[(1)]n x x x x -=-+=,这说明()n B I I =. 再由(1),(2)便得到 ()()(1)n n n B IB I B I αβαβαβ+=+=+.□引理 设f 是[0,1]上的函数.若引入[0,1]上的辅助函数()x ϕ111n n n f x f x nn n --⎡⎤⎫⎫⎛⎛=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎭⎣⎦,则它们的Bernstein 多项式之间满足关系1()()()()n n B f x B x ϕ-'=.证:11!()()()(1)(1)!()!nn k k n k k n B f x f x x n k n k --='=---∑110!()(1)!(1)!n n k k k k n f x x n k n k ---=----∑1101!()(1)!(1)!n n j j j j n f x x n j n j ---=+=---∑110!()(1)!(1)!n n j j j j n f x x n j n j ---=----∑1101!()()(1)!(1)!n n j j j j j n f f x x n n j n j ---=+⎡⎤=--⎢⎥--⎣⎦∑1101(1)!()()(1)!(1)!n n j j j j j n n f f x x n n j n j ---=+-⎡⎤=--⎢⎥--⎣⎦∑11101()(1)()()1n n j jn j n j x x B x j n ϕϕ----=-⎫⎛=-=⎪-⎝⎭∑.□ 1.2 定理 ( Bernstein 多项式的逼近性质)设f是[0,1]上的连续函数(或1C 函数).那么,0ε∀>,N *∃∈使得当n N>时,[0,1]x ∀∈都成立()()()n B f x f x ε-<(或()()()n B f x f x ε''-<).证: (1) 记01max ()x Mf x ≤≤=.0ε∀>,取0δ>,使得当,[0,1],x y x y δ∈-<时成立()()2f x f y ε-<；再取N *∈,使得当n N >时成立2Mn εδ<. 于是,当n N >时,[0,1]x ∀∈都成立0()()()()()(1)nn k kn k n k B f x f x f f x x x k n -=⎫⎛⎡⎤-=--⎪ ⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑()()(1)()()(1)n k k n k kkkx x nnn n kkf f x x x f f x x x k k n n δδ---<-≥⎫⎫⎛⎛≤--+--⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭∑∑2222(1)()(1)2n kkn k kkkx x nnn n M x x k nx x x k k n δδεδ---<-≥⎫⎫⎛⎛≤-+--⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭∑∑202()(1)2n n k k k n k nx x x k n εε-=⎫⎛<+--⎪ ⎝⎭∑.对以t 为自变量的函数()0(1)(1)nn k t k nx nxt t n k n x e e x e k ---=⎫⎛-=-+⎪ ⎝⎭∑求2阶导数,由Leibniz 公式得到2()0()(1)nn k t k nx k n k nx x e k --=⎫⎛--⎪ ⎝⎭∑ 222(1)1(1)2(1)nxt t n nx t t n n x e x e n xe x e ---=-+--+ (1)1(2)2(1)(1)(1)nx t t n nx t t n ne x e n n e x e ----+-++--+,或20()(1)nn k tk k n k nx x e k -=⎫⎛--⎪ ⎝⎭∑2221(1)2(1)t n t t n n x x e n xe x e -=-+--+ 122(1)(1)(1)t t n t t n ne x e n n e x e --+-++--+.令ln tx =便得到20()(1)nn k k k n k nx x x k -=⎫⎛--⎪ ⎝⎭∑222(1)n x nx n n x =-++- [1(1)]nx nx n x =-++-(1)4nnx x =-≤. 于是, ()()()n B f x f x -22422n n εεεεε<+=+=. (2).为了估计()()()n B f x f x ''-,只需估计出1()()()()n n B f x B f x -''-和1()()()n B f x f x -''-即可.记111()n n x n fx f x n n n ϕ--⎡⎤⎫⎫⎛⎛=+-⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎭⎣⎦,由引理得到1()()()()n n B f x B x ϕ-'=1101()()1(1)1n n j j j j j f f n n n x x j n ---=+⎡⎤--⎢⎥⎫⎛=-⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑. 1101()(1)n n j jj j n f x x j ξ---=-⎫⎛'=-⎪ ⎝⎭∑, 1j j j n n ξ+<<(0,1,,1j n =-). 故 1()()()()n n B f x B f x -''-1101()()(1)1n n j jj j n j f f x x j n ξ---=-⎫⎛''≤--⎪ -⎝⎭∑. 0ε∀>,取0δ>,使得当,[0,1]x y ∈,x y δ-<时成立()()2f x f y ε''-<；再取N*∈满足1Nδ<,则当n N >时,便有11j j n n n δ-<-≤--1jj n ξ<-- 111j j n n n δ+<-≤<-,故0,1,j ∀=,1n -,成立()()12j j f f n εξ''-<-. 于是,当n N >时,[0,1]x ∀∈都成立 1()()()()n n B f x B f x -''-1101(1)22n n j jj n x x j εε---=-⎫⎛<-=⎪⎝⎭∑.如果取N *∈更大一些,还可使得当n N>时,[0,1]x ∀∈都成立1()()()2n B f x f x ε-''-<.于是,()()()n B f x f x ''-11()()()()()()()n n n B f x B f x B f x f x --''''≤-+-22εεε<+=.□2 下面介绍给出B ézier 曲线的定义、性质及其应用 2．1 Bézier 曲线定义0()()nk n k P x P B x ==∑，01x ≤≤。
巴兹尔·伯恩斯坦教育、符号控制与认同英文版
巴兹尔·伯恩斯坦.教育、符号控制与认同英文版Basil Bernstein: Education, Symbolic Control, and IdentityIntroductionBasil Bernstein was a groundbreaking sociologist who revolutionized the field of education with his theories on symbolic control and identity. His work has had a lasting impact on the way we understand the role of education in society and the ways in which we construct our identities. In this paper, we will explore Bernstein's key ideas and their implications for education and social theory.BackgroundBasil Bernstein was born in London in 1924 and studied at the University of London and Cambridge University. He began his career as a teacher before becoming an academic, specializing in sociology and education. Bernstein's work focused on the ways in which language, communication, and social class shape the educational experiences of students. He argued that education is not just about acquiring knowledge and skills, but also about socialization and the transmission of cultural values.Symbolic ControlOne of Bernstein's most influential concepts is that of symbolic control. He argued that education is a form of social control that operates through the manipulation of symbols, language, and communication. In other words, schools not only teach students what to think, but also how to think. By controlling the symbols and language that are used in the classroom, educators can shape students' perceptions and understanding of the world.According to Bernstein, there are two main forms of symbolic control: hierarchical and horizontal. Hierarchical control refers to the use of formal language and specialized knowledge to maintain social order and reinforce existing power structures. This form of control is typical of traditional educational systems, where teachers are the authority figures and students are expected to passively receive information.Horizontal control, on the other hand, involves the use of informal language and everyday experiences to promote collaboration and critical thinking. This form of control is more egalitarian and democratic, encouraging students to question authority and challenge conventional wisdom. Bernstein believed that a balance between hierarchical and horizontalcontrol is essential for a well-rounded education that fosters both conformity and creativity.IdentityIn addition to symbolic control, Bernstein also explored the concept of identity in his work. He argued that our sense of self is shaped by the social contexts in which we live and interact. In the classroom, students develop their identities through interactions with teachers, peers, and the curriculum. Education is not just about learning facts and figures, but also about constructing a coherent sense of self that is influenced by our social background and experiences.Bernstein believed that social class plays a pivotal role in shaping identity, as students from different backgrounds have access to different forms of knowledge and cultural capital. Working-class students, for example, may struggle to adapt to the formal language and conventions of the classroom, while middle-class students may find it easier to navigate the hidden curriculum of school. These differences in cultural capital can lead to inequalities in educational outcomes and reinforce existing social hierarchies.Implications for EducationBernstein's theories have important implications for education policy and practice. By understanding the ways in which symbolic control and identity shape the educational experiences of students, educators can design more inclusive and equitable learning environments. Schools can promote horizontal forms of control that encourage collaboration and critical thinking, rather than relying solely on hierarchical forms of control that reinforce social hierarchies.In addition, educators can be more mindful of the ways in which social class influences students' identities and educational achievements. By recognizing the diverse backgrounds and experiences of students, teachers can create a more supportive and nurturing learning environment that meets the needs of all learners. This includes providing additional support for students who may struggle with the formal language and conventions of the classroom, as well as challenging the stereotypes and biases that can limit their academic success.ConclusionBasil Bernstein's work on education, symbolic control, and identity has had a profound impact on our understanding of the role of schools in society. By exploring the ways in which language, communication, and social class shape the educationalexperiences of students, Bernstein has provided a powerful lens through which to view the complexities of the education system. His theories have important implications for education policy and practice, guiding educators in their efforts to create more inclusive and equitable learning environments. Ultimately, Bernstein's work reminds us of the transformative potential of education to shape our identities and empower us to create a more just and equitable society.。
名词解释电生理
膜学说：Bernstein认为胞膜，对钾离子有特殊的通透性，而对较大的阳离子或阴离子均无通透性。
因此，由于膜内外K+浓度不同，膜内K+浓度大，所以膜内电位为负，膜外为正，膜电位在数值上等于K+的平衡电位。
当电刺激时，神经或肌肉细胞膜兴奋，膜的选择通透性暂时消失，而变为没有选择性通透性的膜，此时膜两边的电位差消失，所以冲动到达处的电位较正常部位为负，所以他认为动作电位是膜电位消失的结果。
也就是说动作电位达到顶峰时膜的电位应接近于零。
离子学说：动作电位期间膜对钠通透性瞬间增大并远远超过了对钾的通透性的双离子假说。
时间常数：指膜电压随时间而改变的过程，用一常数表示之，它的大小等于R,C的乘积。
空间常数：指度量电压的空间衰减，即标志电压依距离而衰减的程度。
膜电位：生物电发生在细胞膜的内外两边静息电位:在不同生理状态下，细胞膜内部和外部之间的电位差电紧张电位：当直流电流或去极化方波作用于神经纤维时，在电流刺激强度小于阈强度时，即阈下刺激，电流从膜外穿过介质经阳极流向阴极。
在阳极，电流从膜外流向膜内，在阴极处则电流是从膜内流向膜外。
这样在阳极和阴极附近有一个被动的电流分布，引起膜电流的变化称电紧张电位。
兴奋性突出后电位（EPSP）:刺激攀缘纤维可在蒲倾野氏细胞内记到一去极化电位。
/突触后膜在递质作用下发生去极化，使该突触后神经元的兴奋性升高，这种电位变化称为兴奋性突触后电位。
抑制性突出后电位（IPSP）：突触后膜在递质作用下发生超级化，使该突触后神经元的兴奋性下降，这种电位变化称为抑制性突触后电位。
诱发电位：指人工的或自然的特异刺激所引起的中枢神经系统的电位变化。
它不同于自发电位。
在感觉系统中，诱发电位是指感受器刺激时在中枢内所引起的电位变化。
体感诱发电位（SEP）：指刺激肢体末端粗大感觉纤维，在躯体感觉上行通路不同部位记录的电位，它主要反映周围神经，脊髓后束和有关神经核，脑干，丘脑，丘脑放射及皮层感觉区的功能。
7.6 Bezier曲线性质
三、Bezier曲线的性质
1、端点性质
P 1 P0 P2 P3 P0 P2 P 1 P3
顶点p0和pn分别位于实际曲线段的起点和终点上
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Bezier曲线段的参数方程表示如下：
p (t ) =
∑
n
n
i= 0
P i B i , n ( t ) = P 0 B 0 , n ( t ) + P1 B 1 , n ( t ) + K + P n B n , n ( t )
i=1
i
− p
i−1
)B
i−1,n −1
当 t=0：
p ' ( 0 ) = n ( p1 − p 0 )
当 t=1：
p ' (1 ) = n ( p n − p n − 1 )
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这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边 形的第一条边及最后一条边的走向一致
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P 1 P0
P2
P2
P3
P1
P3
P0
B i , n ( t ) = B n − i , n (1 − t )
B n − i , n ( 1 − t ) = C nn − i [1 − ( 1 − t )] n − ( n − i ) ⋅ ( 1 − t ) n − i
p (0 ) = p (1 ) =
∑ ∑
n i= 0
i= 0
P i B i , n ( 0 ) = P 0 B 0 , n ( 0 ) + P1 B 1 , n ( 0 ) + K + P n B n , n ( 0 ) = P 0 P i B i , n ( 1 ) = P 0 B 0 , n ( 1 ) + P1 B 1 , n ( 1 ) + K + P n B n , n ( 1 ) = P n
bernstein提出的自由度的概念
bernstein提出的自由度的概念
自由度（Degree of Freedom，简称DOF）是一个描述系统位置所需的最小独立坐标数。
这一概念在多个领域中都有应用，特别是在生物学和物理学中。
在物理学中，自由度是描述一个物理状态，独立对物理状态结果产生影响的变量的数量。
例如，火车车厢沿铁轨的运动只需一个量就可确定其位置，即其位置用一个量就可确定，我们说火车车厢的运动有一个自由度；汽车能在地面上到处运动，需要用三个量才能确定其位置，我们说汽车的运动有三个自由度；飞机能在空中完全自由地运动，需要用六个量才能确定其位置，我们说飞机在空中的运动有六个自由度。
而在生物学中，自由度更多地被用于描述生物体如何完成复杂的运动任务。
Bernstein最初讨论了这个问题，并把它作为自由度问题提出。
所谓“自由度问题”即中枢神经系统必须解决如何处理多余的运动、生物和生理变量的问题。
DOF可以被认为是一个生物学相关的概念，无论人们选择研究的运动系统水平如何，可以帮助探索控制人类运动的机制。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询专业人士。
bernstein定理的一个简单证明
bernstein定理的一个简单证明Bernstein定理是一个关于极限理论和复变函数的定理，由犹太数学家保罗伯恩斯坦在1915年提出，并得到英国数学家贝宁曼和美国数学家伯克共同改进验证。
它表明，微分不改变复变函数的极限，即微分并不影响极限的值。
本文将介绍伯恩斯坦定理的一个简单证明。
首先，定义线性复变函数f(x)的定义域[a,b]，分别提出变量x处的连续与可微性。
那么，果复变函数在定义域[a,b]处可微，则设置变量X和Y之间的迭代序列：X0=A,X1,X2,...Xn=BY0=F(A), Y1,Y2,...Yn=F(B)则Xn和Yn之间有：Lim Yn-Yn-1 = Lim F(Xn) F(Xn-1)注意上面的F(Xn)F(Xn-1)是极限，不是求和。
既然定义域内的函数是可微的，那么F(Xn)F(Xn-1)的极限也是可微的。
由于函数在定义域[a,b]是连续的，因此可以知道，F(Xn)F(Xn-1)的极限等于函数本身，即：Lim F(Xn) F(Xn-1) = F(X)而Xn和Yn分别以步长变化，所以可以得出下一个结果：Lim [F(Xn) F(Xn-1)]/[Xn-Xn-1) = F(X)以上就是伯恩斯坦定理的一个简单证明。
它表明，在可微的定义域内，微分并不影响极限的值，这与我们关于可微函数的认识相符合。
伯恩斯坦定理是一个重要的概念，它为进一步探究复变函数提供了一个很好的出发点。
它的应用已经被证明，可以应用于建筑学中的构造和材料的结构，以及数字图像处理等领域。
因此，我们可以看到，伯恩斯坦定理深远的影响超越了复变函数的领域，它对数学模型对于自然现象和实际生活有着深远的影响。
伦纳德伯恩斯坦
谢谢观看
“他是智慧和艺术敏感力的最好象征。在过去的一个星期里，我们已经成了十分接近的朋友。我俩就象灵魂 之友一样，相互之间达成了充分的理解……当然，麻烦总是有的，而对我们来说，最令人痛心的是他要去纽约。 今天早上他走了，我仿佛感觉到一座大山倒下了……”
在校时，伯恩斯坦写了一篇有关同性爱情的文章，质问“为什么如此美好的情感要受到反常之......
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自纽爱退休后，他转往欧洲发展，希望多花点时间作曲，不过显然事与愿违。他在欧洲最重要的功绩是与维 也纳爱乐保持长久良好的关系。因此维也纳爱乐颁给伯恩斯坦“荣誉副同志”的殊荣。
DG公司出版伯恩斯坦指挥“两德统一版”贝九CD实况 永远值得纪念的是1989年12月23日和12月25日两 天，伯恩斯坦在钢琴家朱斯图斯·弗朗兹的邀请下到柏林指挥贝多芬第九交响曲，地点分别是柏林爱乐厅和音乐会 堂，由Unitel摄影。当时正值柏林墙倒下，伯恩斯坦将交响曲中席勒的欢乐颂改为“自由颂”。伯恩斯坦对此说 道：“我肯定，贝多芬会同意咱们这么做的”。超过20个国家，一亿人通过电视转播收看了这场音乐会。
个人简介
个人简介
伯恩斯坦指挥维也纳爱乐乐团贝多芬交响作品 伯恩斯坦的出生名字为路易斯·伯恩斯坦。16岁时他更名为伦 纳德。1943年，临时代替生病的布鲁诺·瓦尔特上台，指挥了三个难曲中的难曲而大获成功，自此在乐坛上崭露 头角（当时的曲目为《唐吉诃德》、舒曼《曼弗雷德》序曲与瓦格纳的《纽伦堡的名歌手》序曲）。当时他就已 经有不少作品面世，包括第一号交响曲《耶利米》、芭蕾舞剧《自由想像》、音乐剧《夜生活》等等。自1943年 起频频担任纽约爱乐乐团的客席指挥，在1959年升任为该乐团音乐总监，成为土生土长美国人中，第一位获得指 挥国际级乐团殊荣的指挥家。他在任的十一年间，开创了该团的黄金时代，其间他曾荣获“桂冠指挥家”的称号， 从此一举确立了第一流指挥家的名声。这十一年间号称纽约爱乐的黄金岁月。期间，他还和乐团拍摄了电视节目 《年轻人的音乐会》，为古典音乐在年轻人群体中的推广起到很大的作用。
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》范文
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》篇一一、引言变分数阶微分方程是现代数学和物理领域的重要研究对象，在许多实际问题的建模中具有广泛的应用。
然而，由于变分数阶微分方程的复杂性，其解析解往往难以获得，因此，寻求有效的数值解法显得尤为重要。
本文提出了一种基于Bernstein多项式的数值解法，用于求解五类变分数阶微分方程。
二、Bernstein多项式简介Bernstein多项式是一类在[0,1]区间上定义的特殊多项式，具有许多优良的性质，如非负性、对称性和端点插值性质等。
这些性质使得Bernstein多项式在数值逼近和函数插值等领域具有广泛的应用。
三、变分数阶微分方程的数值解法针对五类变分数阶微分方程，我们采用Bernstein多项式进行数值求解。
首先，将微分方程的定义域划分为若干个子区间，然后在每个子区间上构造Bernstein多项式。
通过在每个子区间上对微分方程进行离散化处理，将原问题转化为求解一系列代数方程的问题。
最后，利用适当的数值方法（如迭代法、牛顿法等）求解这些代数方程，得到原微分方程的数值解。
四、五类变分数阶微分方程的数值解法1. 线性变系数分数阶微分方程：对于这类问题，我们采用分段常数系数近似的方法，将变系数问题转化为一系列常数系数问题，然后利用Bernstein多项式进行求解。
2. 非线性变系数分数阶微分方程：对于这类问题，我们首先对非线性项进行泰勒展开，然后利用Bernstein多项式对展开后的方程进行逼近和求解。
3. 时变分数阶微分方程：对于这类问题，我们采用时间离散化的方法，将时变问题转化为一系列时间节点上的问题，然后在每个时间节点上利用Bernstein多项式进行求解。
4. 高阶分数阶微分方程：对于高阶问题，我们采用降阶的方法，将高阶问题转化为一系列低阶问题，然后利用Bernstein多项式进行求解。
5. 多维分数阶微分方程：对于多维问题，我们采用多维Bernstein多项式进行逼近和求解。
bernstein不等式和hoeffding不等式
bernstein不等式和hoeffding不等式
Bernstein不等式和Hoeffding不等式是统计学中最重要的不
等式之一，它们可以用来证明概率分布的性质。
Bernstein不等式
是由俄国数学家Sergei Bernstein在1926年提出的，它可以用来
证明概率分布的性质，特别是在多元分布中。
Hoeffding不等式是
由瑞典数学家Wassily Hoeffding在1963年提出的，它可以用来
证明概率分布的性质，特别是在单变量分布中。
Bernstein不等式可以用来证明多元分布的性质，它可以用来
证明概率分布的期望值和方差的上界。
它可以用来证明概率分布
的期望值和方差的上界，以及概率分布的期望值和方差的下界。
它还可以用来证明概率分布的期望值和方差的上下界之间的关系。
Hoeffding不等式可以用来证明单变量分布的性质，它可以用
来证明概率分布的期望值和方差的上界。
它可以用来证明概率分
布的期望值和方差的上界，以及概率分布的期望值和方差的下界。
它还可以用来证明概率分布的期望值和方差的上下界之间的关系。
Bernstein不等式和Hoeffding不等式都是统计学中最重要的
不等式之一，它们可以用来证明概率分布的性质。
Bernstein不等
式可以用来证明多元分布的性质，而Hoeffding不等式可以用来
证明单变量分布的性质。
它们都可以用来证明概率分布的期望值
和方差的上下界之间的关系。
它们都是统计学中最重要的不等式
之一，它们可以用来证明概率分布的性质，并且在统计学中有着重要的应用。
伯恩斯坦波的物理意义
伯恩斯坦波的物理意义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：伯恩斯坦波是指经由射频功率源和导电材料相互作用而产生的一种特殊波形。
在传统的物理学中，伯恩斯坦波最早被描述为一种长波，具有特定的频率和振幅，可以在导体中传播。
它是由美国物理学家伯恩斯坦（A. H. B. Bernstein）首次提出的，由于其具有独特的性质和应用潜力，受到了广泛的关注。
伯恩斯坦波的物理意义主要体现在以下几个方面：一、电磁波：伯恩斯坦波实际上属于一种特殊的电磁波，它是通过导电材料内部的电流产生的，因此具有一定的频率和波长。
与传统的电磁波（如光波、无线电波）相比，伯恩斯坦波具有更高的频率和更低的传播速度，适用于一些特殊的应用领域。
二、电磁波导：伯恩斯坦波可以在导电材料中传播，并且可以沿着导体表面和内部传播，形成不同的波导模式。
通过调控导体的形状、尺寸和导电性能等参数，可以实现对伯恩斯坦波的控制和调制，从而满足不同的应用需求。
三、物质特性研究：伯恩斯坦波可以通过对导体内部的电流和磁场分布进行分析，来研究材料的电磁特性和物理特性。
通过测量和分析材料的反射、透射和吸收等参数，可以揭示材料的导电性、磁性和光学性等特点，为新材料的设计和应用提供重要的参考。
四、应用技术：伯恩斯坦波具有广泛的应用潜力，可以用于电磁场探测、材料研究、无线通信、医学成像和光子学等领域。
在医学成像领域，伯恩斯坦波可以用于实现高分辨率的组织成像和病变检测，为医学诊断和治疗提供重要的技术支持。
第二篇示例：伯恩斯坦波是一种特殊的物质波，最初由德国物理学家伯恩斯坦提出。
它具有许多独特的物理意义和应用价值，在现代物理学中扮演着重要的角色。
伯恩斯坦波的属性和特性为我们理解粒子的运动和行为提供了新的视角，有助于研究和解释许多物理现象。
伯恩斯坦波在量子力学中具有重要的地位。
在量子力学中，粒子既呈现粒子性又呈现波动性，这种双重性质在传统的经典力学中是无法解释的。
而伯恩斯坦波则可以揭示这种双重性质，它描述了粒子的波函数，可以用来描述粒子的波动性和在空间中的运动轨迹。
二维广义Bernstein多项式
二维广义Bernstein 多项式李 良（绍兴文理学院 数学系, 浙江 绍兴 31200）摘要:本文给出二维广义的Bernstein 多项式的定义,并研究该多项式一致收敛的充分必要条件，用连续模估计该多项式对连续函数的逼近误差.关键词:二维广义Bernstein 多项式;Korovkin 定理;连续模.1． 引言我们知道Bernstein 多项式为（见[1]）()()().10,1,0≤≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=x x x k n n k f x u f B kk nk n对于该多项式我们易得如下性质: 1.对于任意的()[]1,0C x f ∈,恒一致地有()()().10,,lim ≤≤=∞→x x f x u f B n n2.G .G .Lorentz[1]给出:如果()[]1,0C x f ∈,()δω是()x f 的连续模,则有估计式:()()(),1,45,⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-n f x f x u f B n ω 2,1=n 在文献[1]中关于Bernstein 多项式有如下的多元推广:一种是乘积型的推广设()k x x x f ,,,21 是k 维立方(){}k i x x x x s i k ,,2,1,10|,,,21 =≤≤=上有定义的有界函数,k 维乘积型Bernstein 多项式为()()().11,,,,,111111111101121,kkk kk kv nk vk v n v kkn v n v k k k fn n x x x x v n v n n v n v f x x x B--==--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑T.H.Hildebrandt 和I.J.Schoenberg[2]指出:在函数()k x x x f ,,,21 的任一连续点处,有()()==∞→k fn n k i n x x x B k i ,,,lim21,,,11 ()k x x x f ,,,21 .另一种多元Bernstein 多项式是定义在单纯形(){}k i x x x x x i k k ,,1,0,1|,,11 =≥≤++=∆上的.设()k x x x f ,,,21 于∆上有定义,则Bernstein 多项式为()(),,,,,,,1;,,1,01111k n v v v v v k k fn x x P n v nvf x x B k k i ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑≤++≥其中()(),1,,,,1111111;,,kkk vv n kv k v k k n v v x x x x vv n x x P ------⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=().!!!!,,111kk k v v n v v n vv n ---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛同样若()k x x x f ,,,21 于∆上连续,则在∆上一致地有()().,,,,lim 11k k fn n x x f x x B =∞→在这个形式的多项式上李文清[4]给出了它的连续模估计式:()().1,2,,,,11⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-n f x x f x x B kk fn ω其中 ()()(),max,Y f X f f Y X -=≤-δδω Y X -是()k x x X ,,1 =和()k y y Y ,,1 =在k维欧氏空间k R 中的距离.曹家鼎的文章[4]给出了一个新的广义Bernstein 多项式,其表达式如下:()()().11,,,010x P s n j i F s x s u F C i n ni s j n nn n n ∑∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=, 其中 ()().1,in i i n x x i n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 在文章[4]中曹家鼎给出了对于任意的()[]1,0C u F ∈,有()().0,,lim =-∞→x F x s F C n n n的充要条件是.0lim=∞→ns n n 以及在该形式下的连续模估计式()().11,4,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-≤-n n s F x F x s F C n n n ω本文的目的是研究二维广义Bernstein 多项式一致收敛的充分必要条件和用连续模估计该多项式对连续函数的逼近误差.2.新多项式的定义令[][]b a b a C ,,⨯是一个在[][]b a b a ,,⨯上的连续函数空间,如果()∈y x F ,[][]b a b a C ,,⨯则定义范数如下()()y x F y x F by a b x a ,max ,≤≤≤≤=根据二元伯恩斯坦多项式的定义:()()()().,,,,,,00y P x P m j n i F y x v u F B j m i n ni mj n ∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛=其中 ()()in ii n x x i n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,,()().1,jm j j m y y j m y P --⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 现在我们来定义二维广义的伯恩斯坦多项式.令N 是一个自然数集, n s 是一个自然数的序列,再令.,N m n ∈()∈y x F ,[][]1,01,0⨯C ,则我们定义新的广义Bernstein 多项式为()()()().1,11,,,,,,00,1010,y P x P s m lk s n j i F s s y x s s v u F C k m ni mk i n s j s l m n mn m n m n n m ∑∑∑∑==-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-++=显然,若1==m n s s 则()().,,,,1,1,,y x F B y x F C n m n =我们称()y x s s F C m n m n ,,,,,为二维广义伯恩斯坦多项式.3． 引 理为了证明定理需要,本节给出几个引理. 引理1.以下不等式成立()()()()().1112131134,,,,max 0222222,1,0⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤-+-≤≤≤m n ms n s y x s s y v x u C m n m n m n y x 证明:因为()()()()y x s s v u C y x s s y v x u C m n m n m n m n ,,,,,,,,22,22,+=-+-()∑∑∑∑==-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+ni mk s j s l m n mn m n m n n m s m l k s n j i s s y x s s v u C 0010102222,111,,,, ()()y P x P k m i n ,,⋅=()x P s n j i s i n ni s j n nn ,010211∑∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++ ()()()().,,,,1,,,,2,,,,2,22,,y x s sC yxy x s s v yC y x s s u xC m nmn m n m n m n m n ++--+().11,0102y P s m l k s k m nk s l m m m ∑∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++ =()().,,,,22y s v C x s u C m m n n +易得()().,,,,,,,x s u C y x s s u C n n m n m n = ()().,,,,,,,y s v C y x s s v C m n m n m n =().1,,,,1,=y x s s C m n m n曹家鼎[4]给出了广义伯恩斯坦多项式的一些结论有:().1,,1=x s C n n()().1211,,-+-+-+=n n n n n s n s s n nx x s u C()()[]()()2222221111,,-+-++--+=nn nn n s n xs n nx nxx ns n x s u C ()()().16121-+--+n n n s n s s所以,综合上述等式可得()()()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-+-≤22222222,1111,,,,0m m n n m n m n s m m s y s n ns x y x s s y v x u C ()()()()2222112112-+----+---mm nn s m s m ys n s n x+()()()()()()()()22161121161121-++--+-++--m m mn n n s m s s s n s s()().11121311342222⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤m n m s n s m n 引理1得证.4． 收敛与逼近阶本节给出连续模估计式,先给出一个关于二维广义Bernstein 多项式收敛的充要条件,即 定理1.对每一个()∈y x F ,[][]1,01,0⨯C .()()的充分必要条件是0,,,,,lim ,=-∞→∞→y x F y x s s F C m n m n m n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∞→∞→0lim 0lim ms ns m m n n 证明:充分性.由()()()111,,,,1,,001010,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑==-=-=y P x P s s y x s s C k m in ni mk s j s l mn m n m n n m . 再从引理1和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∞→∞→0lim 0lim ms ns m m n n 可得()()()0,,,,max lim 22,1,0=-+-≤≤∞→∞→y x s s y v x u C m n m n y x m n由文献[5]知:二元线性正算子序列的Korovkin 定理为:Korovkin 定理 设()[]{}y x f L n ,;,ηξ是一个线性正算子序列,它满足(i).[](),,1,;1y x y x L n n α+= (ii).[](),,,;y x x y x L n n βξ+= (iii).[](),,,;y x y y x L n n γη+=(iv).[](),,,;2222y x y x y x L n n δηξ++=+其中()()()()y x y x y x y x n n n n ,,,,,,δγβα和均于有界闭区域D 上一致趋于0,则对于一切()()D C y x f ∈,，于闭区域D 上恒一致地有()[]().,,;,lim y x f y x f L n n =∞→ηξ应用上面定理可得对于任意的()∈v u F ,[][]1,01,0⨯C 都有()()0,,,,,lim ,=-∞→∞→y x F y x s s F C m n m n m n必要性.令().,v u v u F +=则()()0,,,,lim ,=+-+∞→∞→y x y x s s v u C m n m n m n 和()000,0,,,lim ,=-+∞→∞→m n m n m n s s v u C而 ();)1(21)1(210,0,,,,-+-+-+-=+m m n n m n m n s m s s n s s s v u C因为11-+-n n s n s 和11-+-m m s m s 都是大于0,所以，若要()00,0,,,,→+m n m n s s v u C 要求上面两个都趋向于0. 即011→-+-n n s n s 同时011→-+-m m s m s 有结论得（见 [4]）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∞→∞→0lim 0lim ms ns m m n n 所以，充分必要性得证.推论1.若()∈v u F ,[][]1,01,0⨯C 则()()0,,,lim ,=-∞→∞→y x F y x F B m n m n证明:假如() 3,2,11==ns n () 3,2,11==m s m 从定理1就能到推论1.令()∈y x F ,[][]b a b a C ,,⨯,()()2121,,,y y Y x x X 为为,()y x F ,的连续模定义为 ()()(){},,,,,,,s u p ,21212211δδω≤-≤≤≤≤-=Y X b y y a b x x a y x F y x F F引理 2.令()n L 为从[][]b a b a C ,,⨯→[][]d c d c C ,,⨯线性正算子序列,而[][]b a d c ,,⊆.定义()()()()y x y s x t L y x n n ,,,222-+-=α （()0,≥y x n α）d y x c ≤≤,若∈f [][]b a b a C ,,⨯和d y x c ≤≤,得 ()()()()y x L y x f y x f y x f L n n ,,11,,,,-⋅≤-+()()()()()y x f y x L y x L n n n ,,,,1,,121αω⎪⎭⎫⎝⎛+. 证明:假设()[][]b a b a C y x f ,,,⨯∈,[][]d c y d c x ,,,∈∈,则对于任意的[]和b a t ,∈ []b a s ,∈及().,y x n αδ>有连续性质可知()()()()().;1;,,1δωδωf Y X Y X f y x f s t f -+≤-≤--其中,若()0,>y x n α则令()y x n ,αδ=.由上式可知()()()()()()()()()y x f y x y x f L y x y x f s t f L y x f y x s t f L n n n ,,;,,;,,,,;,-+-≤-()()()()()().1,;1,,;,;1;1-⋅+-+≤-y x L y x f y x Y X L y x L f n n n δδω 而()()()()()()()()y x y x L y x L YX Y X L y x Y X L n n n n n ,,;1,;1,;,;2121212α=-≤-所以()()()()()()()()()()δω;,;1,;11,;1,,,;,21f y x L y x L y x L y x f y x f y x y x f L n n n n ++-⋅≤- 定理2.令()∈v u F ,[][]1,01,0⨯C ,Q 为N 的子集,使得对Q m Q n ∈∈,,有()1110≤+-<nns n和()1110≤+-<mms m即.110,1110:,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<<+-<∈=m m s n n s n n m Q m n 则对于Q m n ∈,()∈v u F ,[][]1,01,0⨯C 以下式子成立()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-≤-m n m s n s F y x F y x s s F C m n m n m n 1111,4,,,,,,ω 证明:应用引理2,有()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-≤-m ms nns F y x F y x s s F C mnm n m n 111134,2,,,,,2222,ω ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-≤m nm s n s F m n 111134,2ω .1111,4⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-≤m n m s n s F m n ω 定理2证毕.参考文献1．Lorentz,G.G..Bernstein polynomials[M].University of Toronto Press.Toronto,1953.2．Hildebrandt,T.H. and Schoenberg,I.J.. On the moment problem[J].Ann.of math., 1933,34(2):317-328. 3．李文清.关于k 维空间的伯恩斯坦多项式的逼近度[J].厦门大学学报,1962,2:119-129.4. Jia-ding Cao. A Generalization of the Bernstein Polynomials[J]. J Math Anal Appl, 1997,209:140-146.5.王仁宏,梁学章.多元函数逼近[M]. 北京:科学出版社,1988.A Two-dimensional Generalization ofthe Bernstein PolynomialsLi liang(Dept.of Math.,Shaoxing College of Arts and Science, Shaoxing Zhejiang 312000)Abstract:This paper gives a definition of two-dimensional generalization of the Bernstein Polynomials.We find a sufficient and necessary condition such the uniform convergence of the bivariate polynomials.By using the modulus of continuity,we estimate the error of approximation by the polynomials for continuous function.Key words:Two-dimensional generalization of the Bernstein Polynomials;Korovkin theorem;Modulus of continuity.。
bernstein不等式
伯恩斯坦不等式是多项式或三角多项式导数的一种估计式。
伯恩斯坦不等式在函数逼近论中有重要应用，是由伯恩斯坦建立的。
伯恩斯坦不等式是多项式或三角多项式导数的一种估计式。
伯恩斯坦不等式在函数逼近论中有重要应用，是由伯恩斯坦建立的。
在数学中，三角多项式是一类基于三角函数的函数的总称。
三角多项式是可以表示成有限个正弦函数sin(nx) 和余弦函数cos(nx) 的和的函数，其中的x 是变量，而n 是一个自然数。
三角多项式中每一项的系数可以是实数或者复数。
如果系数是复数的话，那么这个三角多项式是一个傅里叶级数。
bernstein法计算基因频率
bernstein法计算基因频率
Bernstein方法是一种用于估计基因频率的统计方法，通常用
于分析群体的遗传多样性。
这种方法通过计算一个样本中各个基因型的频率，进而估计整个群体中各个基因型的频率。
具体步骤如下：
1. 收集一组样本，编写它们的基因型信息，将每个样本的基因型编码为数字。
2. 对于每个基因型，计算所有样本中该基因型的频率。
例如，如果某个基因型在10个样本中出现了3次，则该基因型的频
率为3/10=0.3。
3. 根据所收集的样本中各个基因型的频率，估计整个群体中每个基因型的频率。
可以使用不同的统计方法进行估计，如最大似然估计或贝叶斯估计。
需要注意的是，Bernstein方法仅是一种计算基因频率的方法
之一，其精度和效果取决于所收集的样本数量和样本的代表性。
此外，这种方法常用于小样本的情况，对于大规模的群体研究，可能需要使用其他更适合的方法。
伯恩施坦
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正统马克思主义者
1881－1895年，伯思施坦 倾向于马克思主义，并批 评拉萨尔主义。他甚至得 到了“正统派马克思主义 者”的称号。担任了长达 10年之久的《社会民主党 人报》的主编，赢得了 “马克思主义理论家”的 声誉。他还被恩格斯指定 为“遗嘱执行人”。
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“修正”的开始
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1898年的《崩溃论和殖民政策》最集中地反映了《社会 主义问题》的基本观点：
借口反对“崩溃论”，否定资本主义经济发展中资本集中 和经济危机的现实性。 断言资本主义制度内部已经生长起来越来越多的社会主义 因素，消解无产阶级反对资本主义的革命意义和作用。 以“探求当前的问题的细节”的重要性为借口。主张放弃 科学社会主义的一般原理("通则")和社会主义的最终目的。 借口把落后民族纳入文明化制度的范围，为资本主义殖民 政策辩护。
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《社会主义中的现实因素和空想因素》
伯恩施坦公开的主张用新康德主义来指导社会主义运动。 在他心中，新康德主义的主观唯心主义远远胜于马克思主 义唯物主义。
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《社会主义问题》
中心论点： 主张“修正”乃至抛弃马克思主义基本原理，放弃马克思 主义作为无产阶级政党、作为社会主义运动的指导思想的 地位。
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在《前提和任务》中，伯恩施坦对科学社会主义理论的责 难，主要表现在对马克思主义阶级斗争和无产阶级专政学 说的背叛；对无产阶级政党及任务的曲解；对社会主义目 标和特征的歪曲等方面。
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对伯恩施坦修正主义的反思：
作为一个马克思主义的研究者，在根据新的形势去分清马 克思主义中哪些是仍然正确的成分与哪些是业已过时的成 分之时，必须首先有一个基本的判断，即马克思主义在总 体上是不是已经被时代所超越。 必须对马克思主义的基本内容有一个正确的把握。不能抓 住马克思和恩格斯的个别词句大做文章，而全然不顾马克 思和恩格斯所提出的基本理论。
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BERNSTEIN控制器Bernstein AG 有着辉煌的历史，这一历史是与德国的历史发展息息相关的。
在魏马时期，Bernstein兄弟在莱比锡创办了一家公司，生产为小型电力大厦提供管理系统的产品。
战后，现任董事长的父亲，Hans Bernstein先生在西德定居下来。
在Porta Westfalica，后来发展成为家族企业--Bernstein。
作为信号承购和预处理的机电零件的制造者和经销商，该企业很快便为自己赢得了名声。
在公司的发展史上，博恩斯坦涉足了几乎所有的重要技术发展的阶段，直至今天的工业安全技术，公司以机电开关起步，随后发展到各个应用领域的电子和磁传感技术。
一开始为特殊应用而设计的产品，逐渐进入规模生产，通过不断的累积经验，形成了独特的创新和专业技能。
安全方案不断的向功能性和智能化发展，进而应用于外围的一些领域，今天博恩斯坦集团为工业自动化应用提供了一系列完整的安全的零部件和系统，公司是工业安全技术的供应商。
丰富经验的累积成为在市场上立足的强大的后盾。
博恩斯坦为人，机器，和过程提供了完整的系统解决方案。
博恩斯坦公司是世界领先的工业安全技术产品提供商之一,依靠长期的生产经验，我们为各个行业的安全规划和安全技术提供技术支持,博恩斯坦公司的产品使用领域涉及了传统机器设备制造以及电梯制造,汽车生产，农业生产设备, 原材料生产设备和自动化技术,数量丰富的博恩斯坦常规方案可以提供多种解决问题的途径. 在开关技术,传感器技术,控制盒制造技术等领域的经验和竞争力是我们为客户提供安全方案的保证.安全开关:博恩斯坦公司是世界领先的工业安全技术产品提供商之一,依靠长期的生产经验，我们为各个行业的安全规划和安全技术提供技术支持,博恩斯坦公司的产品使用领域涉及了传统机器设备制造以及电梯制造,汽车生产，农业生产设备, 原材料生产设备和自动化技术,数量丰富的博恩斯坦常规方案可以提供多种解决问题的途径. 在开关技术,传感器技术,控制盒制造技术等领域的经验和竞争力是我们为客户提供安全方案的保证.传感器：在传感器领域，博恩斯坦提供了一系列的产品，电感传感器，电容传感器，光电传感器，浮子开关，磁开关等等都能在不同的使用领域达到你理想的要求，您还可以要求得到更多的信息以及根据您的要求特殊定制。
我们的传感器应用范围广，从传统的机械，到工程设备，电梯，自动化工业和机器人技术到重型机械和复杂的安全门的使用，这能够使我们以最短的相应时间和高度的灵活性来满足客户更高的要求。
机箱：我们提供全面的标准机箱，我们的系列产品包括机箱和支撑系统提供固定的和移动的人机界面的工业信号和能量的传输，博恩斯坦的控制盒制造技术在博恩斯坦有着良好的传统，与之相符的它的产品：从铝，聚碳酸脂，ABS或者聚酯制成的设备控制盒到轻控操作箱。
此外我们提供各种形式的加工服务，可以使您减少后续加工，直接使用在您所需要的场合。
大陆常用货号以及型号102.0000.000 GEH.KPL.CA-020102.0006.000 GEH.KPL.CA-020 SBGL BEA KB 102.0010.000 GEH.KPL.CA-020 SB BEA KB 102.0034.000 GEH.KPL.CA-020 UNL106.0000.000 GEH.KPL.CA-060 B106.0006.000 GEH.KPL.CA-060 SBGL KB 106.0008.000 GEH.CA-060 HF BEA106.0010.000 GEH.KPL.CA-060 SB BEA KB 106.0038.000 GEH.KPL.CA-060106.0094.000 GEH.KPL.CA-060 BEA B108.0000.000 GEH.KPL.CA-080 B108.0006.000 GEH.KPL.CA-080 SBGL BEA KB 108.0008.000 GEH.KPL.CA-080 HF BEA KB 108.0009.000 GEH.KPL.CA-080 W108.0010.000 GEH.KPL.CA-080108.0042.000 GEH.KPL.CA-080110.0000.000 GEH.KPL.CA-100110.0006.000 GEH.KPL.CA-100 SBGL BEA KB 110.0008.000 GEH.KPL.CA-100 HF110.0010.000 GEH.KPL.CA-100 SB110.0053.000 GEH.KPL.CA-100 UNL.110.0076.000 GEH.KPL.CA-100 B113.0000.000 GEH.KPL.CA-130 B113.0006.000 GEH.KPL.CA-130 SBGL BEA KB 113.0008.000 GEH.KPL.CA-130 HF113.0010.000 GEH.KPL.CA-130 SB BEA KB 113.0057.000 GEH.KPL.CA-130113.0082.000 GEH.KPL.CA-130 W B114.0000.000 GEH.CA-140 BEA.114.0006.000 GEH.KPL.CA-140 SBGL BEA KB 114.0008.000 GEH.KPL.CA-140 HF KB114.0010.000 GEH.KPL.CA-140 SB BEA KB 114.0080.000 GEH.KPL.CA-140 UNL.114.0086.000 GEH.KPL.CA-140 BEA B115.0000.000 GEH.KPL.CA-150 B115.0006.000 GEH.KPL.CA-150 SBGL BEA KB 115.0008.000 GEH.KPL.CA-150 HF115.0009.000 GEH.KPL.CA-150 W B115.0010.000 GEH.KPL.CA-150 SB BEA KB 115.0019.000 GEH.KPL.CA-150 UNL116.0000.000 GEH.KPL.CA-160 B116.0006.000 GEH.KPL.CA-160 SBGL BEA KB 116.0008.000 GEH.CA-160 HF116.0010.000 GEH.KPL.CA-160 SB KB116.0045.000 GEH.KPL.CA-160117.0000.000 GEH.KPL.CA-170 B117.0006.000 GEH.KPL.CA-170 SBGL BEA KB 117.0008.000 GEH.KPL.CA-170 HF117.0009.000 GEH.KPL.CA-170 W B117.0010.000 GEH.KPL.CA-170 SB BEA KB 117.0016.000 GEH.KPL.CA-170 UNL.118.0000.000 GEH.KPL.CA-180118.0006.000 GEH.KPL.CA-180 SBGL BEA KB 118.0008.000 GEH.KPL.CA-180 HF BEA KB 118.0010.000 GEH.KPL.CA-180 SB BEA KB 118.0040.000 GEH.KPL.CA-180118.0044.000 GEH.KPL.CA-180 W B119.0000.000 GEH.KPL.CA-190119.0006.000 GEH.KPL.CA-190 SBGL BEA KB 119.0010.000 GEH.KPL.CA-190 SB BEA KB 119.0026.000 GEH KPL.CA-190 U/U119.0048.000 GEH.KPL.CA-190 W B121.0000.000 GEH.KPL.CA-210121.0000.050 GEH.KPL.CA-215121.0001.000 GEH.KPL.CA-210/SKT BEA B 121.0006.000 GEH.KPL.CA-210 SBGL BEA KB 121.0006.050 GEH.KPL.CA-215 SBGL BEA KB 121.0008.000 GEH.KPL.CA-210 HF KB121.0008.050 GEH.KPL.CA-215 HF BEA KB 121.0010.000 GEH.KPL.CA-210 SB BEA KB 121.0010.050 GEH.KPL.CA-215 SB BEA KB 121.0011.050 GEH.CA-215 W121.0012.050 GEH.KPL.CA-215 U/U KB 121.0015.000 GEH. KPL. CA-210 W121.0016.000 GEH.KPL.CA-210 U/U122.0000.000 GEH.KPL.CA-220122.0001.000 GEH.KPL.CA-220/SKT BEA B 122.0006.000 GEH.KPL.CA-220 SBGL BEA KB 122.0008.000 GEH.KPL.CA-220 HF122.0010.000 GEH.KPL.CA-220 SB BEA KB 122.0027.000 GEH.KPL.CA-220 W BEA B 122.0061.000 GEH.KPL.CA-220 U/U123.0000.000 GEH.KPL.CA-230123.0000.050 GEH.KPL.CA-235123.0001.000 GEH.KPL.CA-230 ISKT BEA B 123.0001.050 GEH.KPL.CA-235 ISKT BEA B 123.0006.000 GEH.KPL.CA-230 SBGL BEA KB123.0006.050 GEH.KPL.CA-235 SBGL BEA KB 123.0008.000 GEH.KPL.CA-230 HF123.0008.050 GEH.KPL.CA-235 HF BEA KB 123.0010.000 GEH.KPL.CA-230123.0010.050 GEH.KPL.CA-235 SB BEA KB 123.0011.050 GEH.KPL.CA-235 W B123.0012.050 GEH.KPL.CA-235 U/U123.0015.000 GEH.KPL.CA-230 U/U123.0016.000 GEH.KPL.CA-230 BEA B124.0000.000 GEH.KPL.CA-240124.0001.000 GEH.KPL.CA-240 ISKT124.0006.000 GEH.KPL.CA-240 SBGL BEA KB 124.0010.000 GEH.CA-240 SB BEA124.0082.000 GEH.KPL.CA-240 U/U124.0097.000 GEH.CA-240 W125.0000.000 GEH.KPL.CA-250125.0001.000 GEH.KPL.CA-250 ISKT BEA B 125.0006.000 GEH.KPL.CA-250 SBGL BEA KB 125.0008.000 GEH.KPL.CA-250 HF KB125.0010.000 GEH.KPL.CA-250 SB BEA KB 125.0011.000 GEH.KPL.CA-250 U/U125.0124.000 GEH.KPL.CA-250 BEA B127.0000.000 GEH.KPL.CA-270127.0001.000 GEH.KPL.CA-270 ISKT BEA B 127.0006.000 GEH.KPL.CA-270 SBGL BEA KB 127.0008.000 GEH.KPL.CA-270 HF127.0012.000 GEH.KPL.CA-270 BEA127.0013.000 GEH.KPL.CA-270 KB127.3001.000 -10/ 270 RAL7035 128.0000.000 GEH.KPL.CA-280128.0001.000 GEH.KPL.CA-280 ISKT BEA B 128.0006.000 GEH.KPL.CA-280 SBGL BEA KB 128.0008.000 GEH.KPL.CA-280 HF KB128.0010.000 GEH.KPL.CA-280128.0033.000 GEH.CA-280 U/U BEA128.0059.000 GEH.KPL.CA-280 BEA B129.0000.000 GEH.KPL.CA-290 RAL 7001 129.0001.000 GEH.KPL.CA-290 ISKT BEA B 129.0006.000 GEH.KPL.CA-290 SBGL BEA KB 129.0008.000 GEH.KPL.CA-290 HF129.0010.000 GEH.KPL.CA-290 SB BEA KB 129.0011.000 GEH.KPL.CA-290129.0047.000 GEH.KPL.CA-290 W B129.3001.000 GEH. CC 10/290 RAL7035130.0000.000 GEH.KPL.CA-300130.0001.000 GEH.KPL.CA-300 IN130.0006.000 GEH.KPL.CA-300 SBGL BEA KB 130.0008.000 GEH.KPL.CA-300 HF KB130.0010.000 GEH.KPL.CA-300 SB130.0041.000 GEH.KPL.CA-300 U/U130.0064.000 GEH.KPL.CA-300 BEA B131.0000.000 GEH.KPL.CA-310131.0001.000 GEH.KPL.CA-310 ISKT BEA B 131.0006.000 GEH.KPL.CA-310 SBGL BEA KB 131.0008.000 GEH.KPL.CA-310 HF BEA KB 131.0010.000 GEH.KPL.CA-310 SB BEA KB 131.0071.000 GEH.KPL.CA-310 U/U131.0158.000 GEH.KPL.CA-310 BEA B131.3001.000 -10/ 310 RAL7035 133.0000.000 GEH.KPL.CA-330133.0001.000 GEH.KPL.CA-330 ISKT BEA B 133.0006.000 GEH.KPL.CA-330 SBGL BEA KB 133.0008.000 GEH.KPL.CA-330 HF BEA KB 133.0010.000 GEH.KPL.CA-330 SB BEA KB 133.0022.000 GEH.KPL.CA-330 U/U KB 133.0056.000 GEH.KPL.CA-330 W B135.0000.000 GEH.KPL.CA-350135.0001.000 GEH.KPL.CA-350 ISKT BEA B 135.0006.000 GEH.KPL.CA-350 SBGL BEA KB 135.0008.000 GEH.KPL.CA-350 HF135.0010.000 GEH.KPL.CA-350135.0017.000 GEH.KPL.CA-350135.0078.000 GEH.KPL.CA-350 BEA B135.3001.000 GEH. 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