江苏省第十五届初中数学竞赛
七年级数学竞赛题：数形结合谈数轴
七年级数学竞赛题：数形结合谈数轴数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的．我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是－种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数；2．利用数轴能直观地解释相反数；3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例1 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为l ，点A 与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点0的距离之和等于 ． (北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 确定A 、B 在数轴上的位置，求出A 、B 两点所表示的有理数．例2已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如下图：则1-c +c a -+b a -化简后的结果是( )．(湖北省初中数学竞赛选拔赛试题)(A)b －l (B)2a －6—1(C)l+2a －b －2c (D)1—2c+b解题思路 从数轴上获取关于a 、b 、c 的相关信息，判断代数式c —l ，a －c ，a －b 的正负性．例3 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：试判定b a b a +-，b a b a -+，cba cb a -+之间的大小关系． 解题思路 推断各分数分子、分母的正负性及大小关系。
……….例4(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B两点之间的距离表示为|AB|．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=-b-(-a)=|a-b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．(2)回答下列问题：．①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是_______；②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是_____，如果∣AB∣=2，那么x为______；③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______；④求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-1997∣的最小值．．(2002年南京市中考题)解题思路通过观察图形，阅读理解代数∣a-b∣所表示的意义，来回答所提出的具体问题．例5某城镇沿环形路有五所小学，依次为－小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、1l、3、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：－小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给－小，若甲小给乙小－3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应作怎样安排?(湖北省荆州市竞赛题) 解题思路通过设未知数，把调动的电脑总台数用相关代数式表示，解题的关键是，如何将实际问题转化为类似“例4”的问题加以解决．．1．已知数轴上表示负有理数Ⅲ的点是点M，那么在数轴上与点M相距∣m∣个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是_______．(第十五届江苏省竞赛题)2．如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为______．3．在数轴上表示数a的点到原点的距离为3，则以a－3=______．4．已知a>0，b<O且以a+b<O，那么有理数a，b，-a，∣b∣的大小关系是_____________.(用“<”号连接)(北京市“迎春杯”竞赛题)5．已知有理数以在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么( )．(A)ab<b (B)ab>b (C)a+b>0 (D)a－b>O6．如图，a、b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b，b—2a，∣a-b∣,∣b∣-∣a∣中，负数的个数有( )．(“祖冲之杯”邀请赛试题)(A)1 (B)2 (C)3 (D))47．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，式子|a|+|b|+|a+b||b-c|化简结果为( )．(A)2a+3b －c (B)3b －c (C)b+c (D)c －b8．如图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是( )．(A)－l (B)0 (C)1 (D)2(第十二届“希望杯”邀请赛试题)9．已知a 、b 、c 、d 为有理数，在数轴上的位置如图所示：且6∣a ∣=6∣b ∣=3∣c ∣=4∣d ∣=6，求∣3a －2d ∣—∣3b —2a ∣+∣2b －c ∣的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第－步从K 。
第十五届中学生数理化生综合实践活动九年级数学试卷
第十五届中学生数理化生综合实践活动九年级数学试卷摘要：I.引言- 介绍第十五届中学生数理化生综合实践活动- 强调九年级数学试卷在活动中的重要性II.试卷概述- 试卷的题型和分值分布- 试卷的难度和考察的知识点III.试卷解析- 选择题部分- 填空题部分- 解答题部分IV.备考策略- 针对试卷的题型和难度进行复习- 提高解题能力和应试技巧V.总结- 强调数学在综合实践活动中的重要性- 对参加活动的学生提出鼓励和期望正文：I.引言第十五届中学生数理化生综合实践活动旨在激发中学生对科学的热情，培养他们的实践能力和创新精神。
在这个活动中，九年级数学试卷的设置是衡量学生数学水平的重要环节，也是对他们在数学领域学习成果的检验。
II.试卷概述本届九年级数学试卷共有三种题型，分别是选择题、填空题和解答题，总分为120 分。
选择题共20 题，每题3 分，主要考察学生的基础知识和基本技能；填空题共10 题，每题4 分，主要考察学生的逻辑思维和分析能力；解答题共6 题，每题8 分，主要考察学生的综合运用能力和解决问题的能力。
整张试卷难度适中，涵盖了初中阶段数学的主要知识点。
III.试卷解析本届九年级数学试卷在题型和难度方面都表现出较高的水平。
在选择题部分，学生需要灵活运用所学的知识点，准确判断各选项的正确性。
填空题部分则需要学生具备较强的逻辑分析能力，能够根据已知条件推导出未知量。
解答题部分则要求学生具备扎实的基本功，能够熟练运用各种数学方法解决问题。
IV.备考策略针对本届九年级数学试卷，学生应该在平时的学习中注重基础知识和基本技能的掌握，加强逻辑思维和分析能力的训练。
在备考阶段，可以通过做历年真题和模拟试卷来提高解题能力和应试技巧。
同时，要注重查漏补缺，确保在考试时能够充分发挥自己的水平。
V.总结数学是科学的基础，它在综合实践活动中具有举足轻重的地位。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。
第十五届江苏初中数学竞赛试题初一年级第一试和第二试
第十五届江苏初中数学竞赛试题初一年级第一试和第二试Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试和第二试一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内)1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( )．(A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-332. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( ) (A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+21b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+21b)2-4(a 2＋b 2)2 3．若a 是负数，则a+|-a|( )，(A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )．(A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )．(A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离(C)A 、B 两点到原点的距离之和(D)A 、C 两点到原点的距离之和6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )．(A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点7.已知a+b ＝0，a ≠b ，则化简a b (a+1)＋ba (b+1)得( )． (A)2a (B)2b (C)+2 (D)-28．已知m<0，-l<n<0，则m ，mn ，mn 2由小到大排列的顺序是 ( )．(A)m ，mn ，mn 2 (B)mn ，mn 2，m (C)mn 2，mn ，m (D)m ，mn 2，mn二、填空题(每小题分，共84分)9．计算：31a －(21a －4b －6c)+3(－2c+2b)= 10．计算：0．7×194+243×(－15)+0．7×95+41×(-15)= ll.某班有男生a(a>20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是12．在数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是13．下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量，则表中问号“”表示的数是14．某学生将某数乘以-1．25时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0．25，则正确结果应是 .15．在数轴上，点A 、B 分别表示-31和51，则线段AB 的中点所表示的数是 . 16．已知2a x b n-1与-3a 2b 2m (m 是正整数)是同类项，那么(2m-n)x =17．王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5，把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250，最后得到2 088，则王恒出生在 年 月．18．银行整存整取一年期的定期存款年利率是2．25％，某人1999年12月3日存入1 000元，2000年12月3日支取时本息和是 元，国家利息税税率是20％，交纳利息税后还有 元．19．有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，其中a 1＝6×2+l ；a 2＝6×3+2；a 3＝6×4+3；a 4＝6×5＋4；则第n 个数a n ＝ ；当a n ＝2001时，n ＝ .20．已知三角形的三个内角的和是180°，如果一个三角形的三个内角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个内角的度数分别是第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初一年级第一试一、1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．D二、9.一6a +1 06． 10．一43．6． 11．男生比女生多的人数．1 2．90． 1 3．1 6． 1 4．0．1 2 5． 1 5．-151 1 6．1． 1 7．1988；1．18．1022．5；101 8．1 9．7n+6；2 8 5．2 O ．2，8 9，8 9或2，7 1，1 07(每填错一组另扣2分)．第十五届江苏省初中数学竞赛试卷初一年级 第二试一、选择题1．已知x=2是关于x 的方程3x-2m=4的根，则m 的值是（ ）（A ）5 （B ）-5 （C ）1 （D ）-12．已知a+2=b-2=2c =2001，且a+b+c=2001k ，那么k 的值为（ ）。
初中数学竞赛试题及答案解析
初中数学竞赛试题二、填空题1、 41-的负倒数与4-的倒数之和等于 . 2、 甲、乙、丙、丁四个数之和等于90-.甲数减4-,乙数加4-,丙数乘4-,丁数除以4-彼此相等.则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大 .3、 已知a 1999=,则=-+---+-200133314232323a a a a a a .4、 填数计算:〇中填入的最小的自然数.△中填入最小的非负数.□中填入不小于5-且小于3的整数的个数.将下式的计算结果写在等号右边的横线上.(〇+□)⨯△= .5、 从集合}5,4,1,2,3{---中取出三个不同的数,可能得到的最大乘积填在□中,可能得到的最小乘积填在〇中,并将下式计算的结果写在等号右边的横线上.-(-□)÷〇= .6、 计算:=------------)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1 . 7、 x 是有理数,则22195221100++-x x 的最小值是 . 8、 如图,C 是线段AB 的中点,D 是线段AC 的中点.已知图中所有线段的长度之和为23,则线段AC 的长度为.9、 在1000到5000之间同时被24,36,30整除的最小整数是_________,最大整数是__________.10、 一个有理数的倒数的相反数的3倍是31,那么这个有理数是 . 11、 一个有理数的二次幂大于这个有理数,那么这样的有理数的取值范围是 .12、 若8919+=+=+c b a ,则=-+-+-222)()()(a c c b b a .13、 a 1的倒数是51-,那么=a _____. 14、 小丽写出三个有理数,其中每两个有理数的平均值分别是326,217,7,那么这三个有理数的平均值是 .15、 计算:=--+-)36173)(72.0()722(125.11.16、 m ，y 互为相反数,n 和y 互为倒数,则5)(y my n -的值是_____.17、 已知1171=x ,则3)114(3)711)(1(2++--x x x 的值是 . 18、 已知52,32<-<-b a a b .则化简98272-+++-----b a a b a b 所得的结果是 .19、 m ,n 是正整数,mn =120,则m +n 可能取到的最小值是_____.20、 若a=1997,则7122----+a a a a 的值是 .21、 若x = -0.239,则199********-------++-+-x x x x x x 的值等于_____.参考答案二、填空题1、 417- 解：41-的负倒数为411--,4-的倒数为41-, 二者之和为:411--+41-417414-=--=.2、 204解：设等数为a ,则 90)4()4()]4([)]4([-=-⨯+-+--+-+a a a a 即90412-=-a ,∴ a =40, 因此,甲数为36,乙数为44,丙数为-10,丁数为-160,其中,最大数-最小数=44-(-160)=204.3、 4000000 解：当a 1999=时,142314232323-+-=-+-a a a a a a=-+-200133323a a a 200133323-+-a a a ,所以,原式=142323-+-a a a )2001333(23-+--a a a2000200019992000)1(20002+⨯=++=++=a a a a400000020002000=⨯=.4、 0解：〇中填1,△中0,□填8. []⎣⎦⎡⎤00)81(=⨯+.5、 ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷-- 解：由-3,-2,-1,4,5中任取三个相乘可得10种不同的乘积,它们是:124)1)(3(,205)2)(3(,244)2)(3(,6)1)(2)(3(=⋅--=⋅--=⋅--=---,105)1)(2(,84)1)(2(,6054)3(,155)1)(3(=⋅--=⋅---=⋅⋅-=⋅--,2054)1(,4054)2(-=⋅⋅--=⋅⋅-,最大乘积是30,最小的乘积是-60.∴ ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷--.6、 137 解：)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1------------ )4151()3141()2131(1)]4151([)]3141([)]2131([1---------------= )4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1-------+-+-+= 41513141213114151314121311+-+-+--+-+-+= 13710131075121151211==-++-=.7、 1715 解：一般解法是分三种情况讨论:（1）当22195-<x 时 ,,（2）当22110022195≤≤-x 时 ,,（3）当221100>x 时 ,.综合（1）,（2）,（3）可得,最小值是1715.最简单的解法是:根据绝对值的几何意义,22195221100++-x x 表示数轴上x 对应的点P 到22195-对应的点A 和221100对应的点B 的距离之和,易知当P 在线段AB 上时,P A +PB 最小值为2211001715)22195(=--.8、 1373 解：设线段AC 的长度为x ,则AD =2x ,则AB =2x ,DC =2x ,DB =x 23,CB =x ,所以 232321221=+++++x x x x x x ,即23213=x .∴13731346==x .即AB 长度为1373.9、 4680解：24,30,36三个数的最小公倍数是360,10803360=⨯,∴大于10000且能被24,30,36整除的最小整数是1080,又36010805000⋅+>n ,其中n 为自然数,解得9810<n .∴取10=n ,得4680360101080=⋅+.∴具有这种性质的最大整数是4680.10、 -9解：利用还原算法:某数a 的3倍是31,显然91=a ,而91应是一个有理数倒数的相反数,所以这个有理数的倒数为91-,故这个有理数是-9.11、 大于1的有理数和负有理数解：画出数轴如图.大于1的有理数的二次幂大于它自身；1的二次幂等于1;大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身;0的二次幂是0；负有理数的二次幂是正数,大于它自身.综上可知,二次幂大于其自身的有理数的范围,是大于1的有理数和负有理数.12、 222解：由8919+=+=+c b a 得:11,1,10=--=--=-a c c b b a .∴+-+-22)()(c b b a =-2)(a c 222121110011)1()10(222=++=+-+-.13、 51- 解：a 1的倒数是51-,那么a 1=-5,51-=a .14、 1817 解：设小丽写出的三个有理数为x ,y ,z ,则3262,2172,72=+=+=+z y z x y x , 所以15,340,14=+=+=+x z z y y x ,三式相加,3127)(2=++z y x , 则1817181273==++z y x .15、 -14 解：因为2179167212518511.125(2)(0.72)(3)73687100367214-+--=-+=-+=-. 所以原分式的值为-14.16、 0解：由m 和y 互为相反数,知m = -y ,由n 和y 互为倒数,知道0,0≠≠y n 且yn 1= ∴0=-=-y y y y y m y n ,故5)(ym y n -=0. ∴17、 38 解：由1171=x ，可知2114,1171=+=-x x ，所以原式= 37772(1117)322113838111111-+=+=.18、 -6解：由32<-a b ,得03272<--<--a b a b .由52<-b a ,得052>+-a b ,得 05282>+->+-a b a b .而853)2()2(=+<-+-=+b a a b a b . 089<-+<-+∴a b b a98272-+++-----b a a b a b9)()82()72(-+-+----=b a a b a b987+--=6-=.19、 22解：由222)(1204)(4)(n m n m mn n m -+⋅=-+=+当2)(n m -愈小时,2)(n m +越小,从而m +n 也愈小,m 、n 为120的约数,且n m -要最小,由53222120⋅⋅⋅⋅==mn所以,当m =12,n =10时,m +n =22为最小值.20、 4000解：当a =1997时,0719971997,011997199722>-->-+7122----+a a a a)7()1(22----+=a a a a7122++--+=a a a a62+=a4000619972=+⋅=.21、 999解：由b a x <≤,可得a b a x b x -=---,则原式)19961997()23()1(---++---+--=x x x x x x)19961997()23()01(-++-+-=个99921998111=÷+++= 999=.。
江苏省初中数学竞赛题（含答案）
第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试一、选择题(每小题7分，共56分.以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内)1.在-I一3|3,-(-3)3,(-3)3,-33中，最大的是(B).(A)-|・3|3(B)-(-3)3(C)(-3)3(D)-332.“a的2倍与b的一半之和的平方，减去a、b两数平方和的4倍”用代数式表示应为()(A)2a+(—b2)-4(a+b)2(B)(2a+—b)2-a+4b22 2(c)(2a+b)2-4(a2+b2)(D)(2a+-^-b)2-4(a2+b2)23.若a是负数，则a+|-a|(C),(A)是负数(B)是正数(C)是零(D)可能是正数，也可能是负数4.如果n是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是().(A)2n+1(B)2n-1(C)-2n+l(D)-2n-l5.已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、1、-1,那么|a+l|表示().(A)A、B两点的距离(B)A、C两点的距离(C)A、B两点到原点的距离之和(D)A、C两点到燎点的距离之和6.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是().(A)A点(B)B点(C)C点(D)D点b a7.已知a+b=O,a#b»则化简一(a+1)—0+1)得().a b(A)2a(B)2b(C)+2(D)-28.已知m<0»-l<n<0,则m,mn»mn?由小到大排列的顺序是().(A)m,mn.mn2(B)mn,mn2,m(C)mn2,mn,m(D)m,mn2,mn二、填空题(每小题?分，共84分)9.计算：—a—(ia—4b—6c)+3(—2c+2b)=_______324 35I10.计算：0.7xl—+2—x(—15)+0.7x-+-x(-i5)=______9 4 94IL某班有男生a(a>20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是12.在数-5,-3,-1,2,4,6中任取三个相乘，所得的积中最大的是13.下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量,则表中问号表示的数是__________梨梨苹果苹果30梨型梨梨28荔枝香蕉苹果梨20香蕉香蕉荔枝苹果1920253014.某学生将某数乘以-1.25时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0.25,则正确结果应是_________.15.在数轴上，点A、B分别表示和!，则线段AB的中点所表示的数是.16.已知2a'bn-i与-3a2b2m(m是正整数)是同类项，那么(2m-n)x=17.王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5,把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250,最后得到2088,则王恒出生在年月.18.银行整存整取一年期的定期存款年利率是2.25%,某人1999年12月3日存入1000元，2000年12月3日支取时本息和是元，国家利息税税率是20%,交纳利息税后还有元.19.有一列数a”a?,a,,…，a n»其中ai=6x2+l：32=6x3+2：a3=6x4+3：a4=6x5+4：则第n个数an=:当an=2001时，n=.20.已知三角形的三个内角的和是180。
与三角形的角有关的竞赛题
word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载与三角形的角有关的竞赛题.（1996年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）已知：如图23，DO 平分∠ADC ，BO 平分∠ABC ，且∠A=270，∠O=330，则∠C 的大小是 . 2.（1994年四川省初中数学竞赛试题）如图24，已知∠xoy=900，点A 、B 分别在射线ox 、oy 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线交于点C .试问∠ACB 的大小是否变动？证明你的结论.3.（江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题）如图25，XK ，ZF 是△XYZ 的高且交于一点H ，∠XHF ＝400，那么∠XYZ ＝ 度.A BOF X Y图23 图24 图254.在△ABC 中，∠A=70°，∠B=50°，过A 、B 两点分别作BC 和AC 的垂线，这两条垂线相交于O ，则∠AOB 等于( ) A.120° B.60° C.70°或50° D.60°或120°5.（江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试）如图26，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于（ ）A 、600B 、750C 、900D 、13506. (2004年富阳市初一数学竞赛试卷)如图27，已知AB ∥ED ，∠C ＝900，∠ABC ＝∠DEF ，∠D ＝1300，∠F ＝1000，求∠E 的大小。
7.（1988年上海市初二数学竞赛）一个六边形的六个内角都是1200,连续四边的长依次是1,3,3,2,则该六边形的周长是____.8.已知空间中有8个点，其中任四点不在同一个平面上，在这8点中间连结21条线段，则这些线段最多能构成的三角形的个数为（ ） (A)56 (B)35 (C)21 (D)以上都不对9.平面上有n 个点，其中每三个点都是某个正三角形的顶点，则n 的最大值是 .10. (1988年上海市初二数学竞赛试题) ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角,且25B A ∠=∠,若B ∠的最大的值是m 0最小值是n 0,则m n += .11.如图28所示,四边形ABCD 中,AB=AC=AD,(1) 若∠DAC=2∠BAC,则∠DBC=2∠BDC,说明理由;(2) 试猜想当∠DAC=3∠BAC,∠DAC=4∠BAC,…,∠DAC=n ∠BAC 时,∠DBC 与∠BDC 有何关系?并说明你的理由O D C B A。
江苏数学竞赛初中试题及答案
江苏数学竞赛初中试题及答案试题一：代数基础题题目：已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a^2 - b^2 = 21 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的值。
答案：根据差平方公式，\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)。
已知\( a^2 - b^2 = 21 \)，我们可以将21分解为两个因数的乘积，即\( 21 = 3 \times 7 \)。
考虑到 \( a \) 和 \( b \) 是正整数，我们可以得出 \( a = 7 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何题题目：在一个直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，求这个三角形的三个角度数。
答案：设较小的锐角为 \( x \) 度，则较大的锐角为 \( 2x \) 度。
根据直角三角形的性质，三个角的和为180度，因此有 \( x + 2x + 90 = 180 \)。
解这个方程，我们得到 \( 3x = 90 \)，所以 \( x = 30 \)。
因此，较小的锐角是30度，较大的锐角是60度，直角是90度。
试题三：数列题题目：一个数列的前三项为 \( 2, 4, 7 \)，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求第10项的值。
答案：根据题意，数列的前几项为：2, 4, 7, (2+4+7), (4+7+13), ...即：2, 4, 7, 13, 24, 41, 75, 130, 231, ...第10项的值为 \( 231 \)。
试题四：逻辑推理题题目：有5个盒子，每个盒子里都装有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个和5个。
现在有5个人，每个人从每个盒子里都拿了一个球，但没有人拿到两个相同数量的球。
每个人拿的球的总数都是6个。
问每个人分别从哪些盒子里拿球？答案：设5个人分别为A、B、C、D、E。
根据题意，每个人拿的球的总数都是6个，且没有人拿到两个相同数量的球。
我们可以列出以下可能的组合：- A: 1, 2, 3- B: 1, 3, 4- C: 1, 4, 5- D: 2, 3, 5- E: 2, 4由于每个人拿的球的总数都是6个，我们可以排除E的组合，因为2+4=6，没有第三个球。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题15 全等三角形[精品]
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专题15 全等三角形阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解【例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．（第十六届江苏省竞赛试题）解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ ＝90°．【例3】如图，已知为AD 为△ABC 的中线，求证：AD ＜1()2AB AC ．（陕西省中考试题）解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB ，AC ，AD 集中到同一个三角形中，从构造2AD 入手．【例4】如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ． 求证：AB ＝AC ＋BD ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB 上截取AF ，使AF ＝AC ，以下只要证明FB ＝BD 即可，于是将问题转化为证明两线段相等．【例5】如图1，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BECQABC DEOPABCDA BCDE＝∠CFA ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图2，若∠BCA ＝90°，∠α＝90°，则BE ＿＿＿＿CF ，EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图3，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图4，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，请提出EF ，BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE ≌△CAF 应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．【例6】如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝105°，∠ABC ＝∠ADC ＝45°． 求证：CD ＝AB ．（天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得∠CAB ＝30°，∠GAC ＝75°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＋∠DAC ＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．BCDEFαα图1ABCDEF 图2 ABCE F图3D ABCDEF图4AB CD能力训练A 级1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ︰DB ＝3︰5，则点D 到AB 的距离是＿＿＿＿．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过B ，C 作经过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD ＝3cm ，CE ＝4cm ，则DE ＝＿＿＿＿．3．如图，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的边AB 、AC 为边的形外的等腰直角三角形，CE 和BF 相交于O ，则∠EOB ＝＿＿＿＿．4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB ＝AE ，AC ＝AD ．有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC ＝DE ；③∠DBC ＝12∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考试题）5．如图，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE ，则（ ） A ．△ABD ≌△AFD B ．△AFE ≌△ADC C ．△AFE ≌△DFCD ．△ABC ≌△ADE6．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．若AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm7．如图，从下列四个条件：①BC ＝B 'C ；②AC ＝A ′C ；③∠A ′CA ＝∠B ′CB ；④AB ＝A ′B ′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北京市东城区中考试题）ABCD 第1题ADE第2题 ABC EFO第3题ABCDE第4题第5题ABCDE F321ABCD第6题ABCB 'A '第7题8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．（1）求证：ED平分∠FEC；（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．10．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．求证：∠M＝1()2ACB B∠-∠．（天津市竞赛试题）AB CDEF图1AB DEC图2A BCDMO图1A BCDMO图2ABCDEFMP2111．如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，BE ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，P 为BE ，CD 的交点． 求证：BD ＋CE ＝BC ．12．如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD ．（日照市中考试题）B 级1．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝＿＿＿＿．（武汉市竞赛试题）2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是＿＿＿＿．（“希望杯”竞赛试题）3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线，P 是AD 上任意一点，在AB -AC 与BP -PC 两式中，较大的一个是＿＿＿＿．4．如图，已知AB ∥CD ，AC ∥DB ，AD 与BC 交于O ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，那么图中全等的三角A BC DE PA BC 第2题DA BC PD第3题A BCD EFO 第4题第5题A BCDEF A形有（ ）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对5．如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，则（ ） A ．BE ＋CF ＞EF B ．BE ＋CF ＝EFC ．BE ＋CF ＜EFD ．BE ＋CF 与的大小关系不确定（第十五届江苏省竞赛试题）6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余D.互补或相等（北京市竞赛试题）7．如图，在△ABE 和△ACD 中，给出以下四个论断：①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③AM ＝AN ；④AD ⊥DC ，AE ⊥BE ．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荆州市中考试题）8．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝1()2AB AD ，求∠ABC＋∠ADC 的度数． （上海市竞赛试题）9．在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝6，且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画出图形并证明你的结论．（河北省竞赛试题）ABC DEM NABCDE10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD ，CE ：分别平分∠BAC ，∠ACB ．求证：AC ＝AE ＋CD ．（武汉市选拔赛试题）11．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AP ，CQ 分别平分∠BAC ，∠BCA ．AP 交CQ 于I ，连PQ ． 求证：IAC ACPQS S ∆四边形为定值．12．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD 丄MN 于O ，BE ⊥MN 于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：DE ＝AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD -BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问：DE ，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出这个等 量关系，并加以证明． （海口市中考试题）ABCDEMN图1ABCM N图3DEAB CMN图2DEQAB CIPA BCDEO13．CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CFA ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA ＝90°，∠α＝90°，则BE ＿＿＿＿CF ，EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，请提出EF ，BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）A BCDE F 图1ABCE F图2DABCDEF图3。
初中数学竞赛专题6：因式分解
专题6：因式分解第1讲 因式分解赛题练习一、选择题1．（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A ．是完全平方数，还是奇数 B ．是完全平方数，还是偶数 C ．不是完全平方数，但是奇数D ．不是完全平方数，但是偶数2．（第17届希望杯竞赛题）There is a two-placed number 10ab a b =+satisfying that ab ba + is a complete square number ，then total number of those like ab is （ ） A ．4B ．6C ．8D ．10（英汉词典：two-placed number 两位数；number 数；to satisfy 满足；complete square 完全平方（数）；total 总的，总数）3．（2005年全国初中数学竞赛题）若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．整数4.（北京市竞赛题）44a +分解因式的结果是（ ） A.()()222222a a a a +--+ B.()()222222a a a a +--- C.()()222222a a a a ++--D.()()222222a a a a ++-+5.（2006年希望杯竞赛题）实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.20036.（2005年武汉市竞赛题）若3234x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为（ ） A.2B.4C.9D.107.（第13届希望杯竞赛题）已知a b c >>，222M a b b c c a =++，222N ab bc ca =++，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N <B.M N >C.M N =D.不能确定8.（美国犹他州竞赛题）322136x x x +-+的因式是（ ） A.21x - B.2x + C.3x -D.21x +E.21x +9.（2005年全国初中数学竞赛题）若22389M x xy y =-+-4613x y ++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数B.负数C.零D.整数10.（武汉市竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ） A.7 B.8C.15D.21二、填空题11．（第7届五羊杯竞赛题）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+因式分解为________．12．（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=________． 13．（第18届五羊杯竞赛题）分解因式：2226773x xy y x y --+++=________．14．（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=________．15．（2007年全国初中数学联赛题）若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是________．16.（北京市竞赛题）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则2002()x y z --=__________. 17.（2004年广西竞赛题）已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=__________.18.（北京市竞赛题）1~100若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有____________个.19.（郑州市竞赛题）分解因式：22423a b a b -+++=_______________________________________. 20.（2004年河南省竞赛题）分解因式：229643x x y y --+-=_______________________________. 21.（第16届希望杯竞赛题）分解因式：()()221ab a b a b +-++=_____________________________. 22.（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________________.23.（第15届江苏省竞赛题）已知26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的因式，则a =___________，b =___________.24.（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=___________. 25.（大连市第8届育英杯竞赛题）分解因式：()()112x x y y xy -++-=____________. 三、解答题26．（1991年黄冈初中数学竞赛题）已知a 是自然数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．27．（1999年天津市数学竞赛题）当k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？28．（第9届华杯赛总决赛题）计算；()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．29．（第10届希望杯竞赛题）272-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是________．30．（第10届希望杯竞赛题）若233x x x k +-+有一个因式是x +1，求k 的值．31．（第6届希望杯竞赛题）计算：2211100.010.01101001000⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．32．（第9届五羊杯竞赛题）当n =1，x =2时，求多项式51n n x x ++的两个因式的和．33．（2000年美国犹他州中学数学竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式x +1和x +2，求a +b 的值．34．（第5届美国数学邀请赛试题）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．35．（第37届美国中学生数学竞赛题）设543269569106910695691N =+⨯+⨯+⨯+⨯+．问：有多少个正整数是N 的因数？36．（第9届莫斯科奥林匹克试题）证明：对任何整数x 和y ，343223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33．37．（第37届美国中学生数学竞赛题）已知b ，c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求当x =1时，2x bx c ++的值．38.（祖冲之杯竞赛题）分解因式：32539x x x ++-.39.（北京市竞赛题）证明恒等式：()244422()2a b a b a ab b +++=++.40.（江苏省竞赛题）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，求22x y +的值.41.（希望杯竞赛题）分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-.42.（第12届五羊杯竞赛题）分解因式：()()42424310x x x x +-+++.43（2006年希望杯培训题）计算：32322007220072005200720072008-⨯-+-.44.（太原市竞赛题）已知关于x 、y 的二次式22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值.45.（2005年莫斯科市竞赛题）对方程22222004a b a b ++=，求出至少一组整数解.46.（2006年创新杯培训题）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n .47.（2006年全国初中数学竞赛题）计算 (252)(472)(692)(8112)(200420072)(142)(362)(582)(7102)(200320062)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+48.计算：（1）（第15届希望杯竞赛题）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）（第九届华杯赛竞赛题）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++49.分解因式： （1）4464a b +； （2）4224x x y y ++； （3）()2222(1)x x x x ++++；（4）（昆明市竞赛题）()()()24c a b c a b ----；（5）（第15届希望杯竞赛题）432234232a a b a b ab b ++++； （6）（重庆市竞赛题）32256x x x +--.50.（重庆市竞赛题）分解因式： （1）224443x x y y --+-； （2）343115x x -+.问题解决例1.分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---=______. 例2.把下列各式分解因式： （1）()()22525312x x x x ++++-； （2）()()()()21236x x x x x +++++； （3）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-.例3.阅读理解：观察下列因式分解的过程： （1）244x xy x y -+-原式()()()()()()24444x xy x y x x y x y x y x =-+-=-+-=-+. （2）2222a b c bc --+原式()()()()222222a b c bc a b c a b c a b c =-+-=--=+--+.第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）2a ab ac bc -+-； （2）22244x y z yz --+.例4.分解因式：326116x x x +++.例5.把下列各式分解因式： （1）261110y y --； （2）22823x xy y --.数学冲浪 知识技能广场1.分解因式：（1）()()22162x x x ---=______； （2）()()4a b a b ab --+=______； （3）276ax ax a -+=______. 2.分解因式：（1）3222a ab a b +-=______；（2）()()21211x x ---+=______； （3）2221a ab b -+-=______； （4）2244x y x --+=______. 3.分解因式：（1）323412x x x +--=______； （2）()()2223238x xx x +-+-=______.4.若()()23x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______.5.把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）. A.()34xy x y x --B.()22x x y --C.()2244x xy y x --D.()2244x xy y x --++6．()()()()()()656565323322134x x x x x x x xx +-+++-+++-与下列哪一个式子相同（ ）.A.()()653421x x x -+ B.()()653423x x x -+ C.()()653421x x x --+D.()()653423x x x --+7．把多项式22243x y x y ----因式分解之后，正确的结果是（ ） A.()()31x y x y ++-- B.()()13x y x y +--+ C.()()31x y x y +--+D.()()13x y x y ++--8．已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ） A.3个B.4个C.6个D.8个9．先阅读以下材料，然后解答问题.分解因式：()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n +++=+++=+++=()()m n x y ++；也可以()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++. 以上分解因式的方法称为分组分解法. 请用分组分解法分解因式：3322a b a b ab -+-.10.分解因式：（1）22463a b a b -+-；（2）222944a b bc c -+-； （3）()()()2a c a c b b a +-+-； （4）()()221212x x x x ++++-； （5）()22223122331x x x x -+-+-； （6）()()()213512x x x -+++.思维方法天地11.分解因式：()()()()()12345x x x x x x ++++++=______. 12.分解因式：()()()33322x y x y -----=______.13.已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解为()()8ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a b c ++=______.14.已知1x -得多项式33x x k -+的一个因式，那么k =______；将这个多项式分解因式，得______. 15.44a +分解因式的结果是（ ）.A.()()222222a a a a +--+B.()()222222a a a a +---C.()()222222aa a a ++-- D.()()222222aa a a ++-+16．实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.200317．已知3a b -=，5b c +=-，则代数式2ac bc a ab -+-的值为（ ） A.15-B.2-C.6-D.618．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形是（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定19．分解因式：（1）224443x x y y --+-；（2）()()()2221x y xy x y xy +-+-+-； （3）343115x x -+； （4）32539x x x ++-.应用探究乐园20.已知在ABC ∆中，三边长a ，b ，c 满足等式222166100a b c ab bc --++=.求证：2a c b +=.21.下金蛋的鸡法国数学家费马（1601-1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是“费马大定理”：关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=（n 为大于2的整数）没有正整数解.直到350年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯（1953— ）于1994年证明.德国数学家希尔伯特（1862-1943）将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了12215+=，222117+=，3221257+=，422165537+=，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数n ，221n+（即()221n+）都是素数.瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，5221+并不是素数.我国数学家华罗庚（1910—1985）在他的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：设72a =，5b =，可算得()524442111ab a a b +=++-，可见5221+必有除1和本身以外的约数______（填较简单的一个，用含a ，b 的式子表示），即5221+能被______整除（填入具体数值），所以不是素数.第2讲 因式分解的应用赛题练习1.（2004年重庆市竞赛题）已知2310x x x +++=，则220041x x x ++++的值为（ ）A.0B.1C.1-D.20042.（第19届江苏省竞赛题）若432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则:a b 的值是 （ ） A.2-B.12-C.6D.43.（第14届希望杯竞赛题）若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值为（ ） A.0B.1-C.1D.34.（第17届江苏省竞赛题）a 、b 、c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -的值为（ ） A.1-B.1-或7-C.1D.1或75.（中学生智能通讯赛试题）设()()322320042003200420052003200220012002a -⨯+=⨯--，()()322320052004200520062004200320022003b -⨯+=⨯--，则a 、b 的大小关系是（ ） A.a b >B.a b =C.a b <D.不能确定6.（湖北省竞赛题）设a 是正数，且21a a -=，那么224a a-的值为（ ） A.3-B.1C.3D.57.（2005年全国初中数学竞赛题）已知2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18B.20C.24D.258.（2007年全国初中数学竞赛题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解(),x y 的个数是（ ） A.0B.1C.3D.无穷多9.（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数10.（2002年全国初中数学联赛题）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A.1B.0C.1-D.2-11.（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412.（第14届希望杯竞赛题）已知54410a a b a a b --+--=，且231a b -=，则33a b +的值为___________.13.（全国初中数学竞赛题）已知a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________.14.（第17届希望杯竞赛题）A 、n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =_____________.15.（四川省竞赛题）对一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是____________. 16.（2001年全国初中数学联赛题）一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为___________.17.（第9届华杯赛试题）a 、b 、c 是正整数，并且满足等式12004abc ab ac bc a b c +++++++=，那么a b c ++的最小值是__________.18.（祖冲之杯竞赛题）整数a 、b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=___________.19.（第18届五羊杯竞赛题）若P 是两位的正整数，则以下等式中有可能成立的式子的个数是______________.①22006(34)(59)x Px x x ++=--； ②22006(17)(118)x Px x x ++=--； ③22006(34)(59)x Px x x --=+-； ④22006(17)(118)x Px x x --=+-； ⑤22006(1)(2006)x Px x x +-=-+.20.（2001年全国初中数学联赛题）若214x xy y ++=，228y xy x ++=，则x y +的值为___________. 21.（2005年四川省竞赛题）对于一个正整数n ，如果能找到正整数a 、b ，使得n a b ab =++，则称n 为一个“好数”，例如31111=++⨯，3就是一个“好数”，那么，在1~20这20个正整数中，好数有___________个.22.（2004年北京市竞赛题）已知x 、y 为正整数，且满足22222341x y x y +=+，则22x y +__________. 23.（第10届希望杯竞赛题）7221-能被500与600之间的若干整数整除，请找出3个这样的整数，它们是__________.24.（2008年天津市竞赛题）已知4个实数a 、b 、c 、d ，且a b ≠，c d ≠.若4个关系式：22a ac +=，22b bc +=，24c ac +=，24d ad +=同时成立，则6232a b c d +++的值为___________. 25.（五城市联赛题）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明.26.（全国初中数学联赛题）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是()911145mn m n +++元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.27.（2006年俄罗斯萨温市竞赛题）（1）证明：19992000200120032004200536⨯⨯⨯⨯⨯+是一个完全平方数.（2）证明：数848497n n ++-对于任何自然数n 都能被20整除.28.（江苏省竞赛题）（1）证明：791381279--能被45整除；（2）证明：当n 为自然数时，()221n +形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭29.（2005年太原市竞赛题）二次三项式22x x n --能分解为两个整系数一次因式的乘积. （1）若130n ≤≤，且n 是整数，则这样的n 有多少个？ （2）当2005n ≤时，求最大的整数n .30.（重庆市竞赛题）按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.问题解决例1.方程2270xy x y --+=的整数解（x y ≤）为______. 例2.1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（ ）. A.6 B.5 C.4 D.3例3.计算：（1）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++. 例4.设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数.例5.已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n 的值.例6.（1）实数x ，y 满足221252810x xy y y ++-+=，则22x y -=______.（2）在平面直角坐标系中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标(),x y 的个数为（ ）. A.10B.9C.7D.5数学冲浪 知识技能广场1.设y ax =，若代数式()()()23x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，则a =______.2.如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______. 3.如果实数x ，y 满足方程组1,2225,x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩那么22x y -的值为______.4.已知2m ≥，2n ≥，且m ，n 均为正整数，如果将n m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在52的“分解”中最大的数是11； （2）在34的“分解”中最小的数是13；（3）若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5. 其中正确的是______.5.若实数x ，y ，z 满足()()()240x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A.0x y z ++= B.20x y z +-= C.20y z x +-=D.20z x y +-=6．边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ） A.140B.70C.55D.247．设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（ ）. A.5814B.5841C.8415D.84518．a ，b ，c 是正整数，a b >，27a ab ac bc --+=，则a c -等于（ ） A.1- B.1-或7- C.1 D.1或79．计算：（1）32322004220042002200420042005-⨯-+-； （2）44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方. ①选取二次项和一次项配方：()224222x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：(()22424x x x x -+=+，或((32424x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-.根据上述材料，解决下面的问题.（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方；（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值.思维方法天地11.若两个不等实数m ，n 满足22m m a -=，22n n a -=，225m n +=，则实数a 的值为______. 12.已知a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222a b xy ab x y +++=______. 13.整数x ，y 满足方程283xy x y ++=，则x y +=______.14.A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =______. 15.若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ）. A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数16．设n 为某一正整数，代入代数式2n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（ ） A.7770B.7775C.7776D.777917．方程222334x xy y ++=的整数解(),x y 的组数为（ ）. A.3B.4C.5D.618．黑板上写有1，12，…，1100共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后黑板上剩下的数是（ ）. A.2012B.101C.100D.9919．已知()()222012a b c b a c +=+=，且a b ≠，求()2c a b +的值.20.计算：()()()()()()()()()()424242424242424242422214416618881010133155177199111111++++++++++++++++++++.应用探究乐园21.当我们看到下面这个数学算式333337133713503724613724++==++时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++，但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种等式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…，你能发现以上等式的规律吗？22.按下面规则扩充新数：已有两数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.。
2019年第十五届初中数学文化节活动试题及解答
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （第2题） 2019年第十五届初中数学文化节活动试题及参考解答（初三组）（2019年12月25日15:00~16:30）一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分）1．已知a ＝1＋3，且3a 2－6a ＋b ＝0，则实数b 等于（ ）A ．3B ．－3C ．6D ．－6选D ．解：a －1＝3⇒a 2－2a ＋1＝3⇒3a 2－6a ＝6⇒6＋b ＝0⇒b ＝－6．选D ．2．如图，由16个直角三角形纸片拼成的一个海螺图形，记这个图形的周长（实线）为l ，则与l 最接近的整数是（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23选B ． 解：周界上共有长为1的线段17段，还有一条长为17的线段．故周长l ＝17＋17．17最接近的整数为4，故与l 最接近的整数是17＋4＝21. 选B ．3．设正方形ABCD 的中心为点O ，在所有由五个点A 、B 、C 、D 、O 中的三个点为顶点的三角形中，随机取出两个三角形，它们面积相等的概率是（ ）A ．12B ．23C ．37D ．47选C ．解：共有8个三角形，其中任选两个三角形的方法有C 28＝28个．有两个三角形面积相等的方法数为C 24＋C 24＝12种．故所求概率 P ＝1228＝37．选C ． 4．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到的野果的个数为（ ）A ．8B ．1838C ．1848D ．2713选B ． 解：采集的野果数＝2＋3×62＋2×63＋1×64＝2＋108＋432＋1296＝1838. 选B ．（第4题）←“六进制”D C B5．如图，在凸四边形ABCD 中，已知∠BAD ＝∠DCB ＝120°，BC＝CD ＝10，则两点A 、C 之间的距离是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．不确定选B ．解：连BD ，由∠BAD ＝∠DCB ＝120°，BC ＝CD ＝10，知C 、A分别在以BD 为弦，所对的圆周角＝60︒的圆周上，这两个圆的半径都＝CB ＝10．且点A 所在的圆弧的圆心为点C ，从而AC ＝10. 选B ．6．三次方程 x 3－x 2－2x ＋1＝0的根的正负情况是（ ）A ．有两个负根，一个正根B ．有三个负根C ．有一个负根，两个正根D ．有三个正根选C ． 解：记f (x )＝x 3－x 2－2x ＋1，易得，f (－2)＝－7；f (－1)＝1，f (0)＝1，f (1)＝－1，f (2)＝1.故方程分别有一个根在－1与－1之间，0与1之间，1与2之间．所以此方程有一个负根，两个正根．选C ．二、填空题（每题7分，共28分）7．设实数x 满足x －6－x ＝5，则x ＋6－x 的值是 ． 答7． 解：令x ＝u ，6－x ＝v ；则⎩⎨⎧u －v ＝5， ①u 2＋v 2＝6． ②②－①2：2uv ＝1， ③②＋③：(u ＋v )2＝7⇒u ＋v ＝7．8．如示意图（1），某厂房内，两根圆形枕木l 1，l 2上放着15米长的轨道AB ，它与枕木的轴垂直，且A 端与墙面接触．枕木的轴平行于与轨道接触的墙，且此墙与最近的枕木l 1相距 5m ．推动轨道（枕木与地面、枕木与轨道之间无滑动）时，枕木也滚动，并且轴的方向不变．如示意图（2），当轨道的B 端与厂房另一面墙接触时，轨道的A 端恰好在枕木l 1的轴线上，则厂房的宽度为 米．答25．解：钢轨向右移动了5米，故枕木的圆周上任一点也顺时针旋转了5米，从而在地面上向右走过5米，这样，点A 向右移动了5＋5＝10米．所以，厂房宽度＝10＋15＝25米．9．设点P 是等边△ABC 内一点，已知P A ＝4，PB ＝5，PC ＝3，则△ABC 的面积为 ． 题） 5m15m A B A B l 1 l 2 l1 l2 图（2）答9＋2543． 解：在△ABC 外取一点O ，使AO ＝AP ＝4，BO ＝CP ＝3，连OP ．则△AOB ≌△APC ⇒∠OAB ＝∠P AC ⇒∠OAP ＝60︒.所以，△AOP 为正三角形⇒OP ＝4⇒△OBP 为直角三角形，∠BOP ＝90︒．若以OP 为x 轴正方向，OB 为y 轴负方向建立直角坐标系．则B (0，－3)，A (2，23)AB 2＝(2－0)2＋(23＋3)2＝4＋21＋123＝25＋12 3.S △ABC ＝34AB 2＝34(25＋123)＝9＋2543． (也可从A 作BO 的垂线AD ，垂足为D ，则AD ＝2，BD ＝3＋23，于是AB 2＝BD 2＋AD 2，同上解)10．记[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.3]＝1，[－1.2]＝－2，则满足[12x ＋10]＋[x ＋1012]＝1的x 的取值范围是 ．答－4＜x ＜14且x ≠2．解：考察方程[u ]＋[1u]＝1． 由于u 与1u 同号，故[u ]与[1u ]不能符号相反，所以u ＞0且u ≠1．u 与1u必有一个＞1．不妨设u ＞1，则0＜1u ＜1．于是[1u]＝0，[u ]＝1.从而1＜u ＜2． 解1＜12x ＋10＜2，显然x ＋10＞0，于是x ＋10＜12＜2(x ＋10)⇒－4＜x ＜2． 解1＜x ＋1012＜2，得12＜x ＋10＜24⇒2＜x ＜14． 故x 的取值范围是－4＜x ＜2与2＜x ＜14．即－4＜x ＜14且x ≠2．三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题20分，第14题24分，共80分）11．（本题满分18分）青松小学文学社团的学生参加了一次语文阅读练习，每名学生的得分均在78分到100分之间．已知此次练习的平均分为84分，其中得分排在前8名的学生的分数依次为100、98、94、94、94、90、88、86分，求该文学社团人数的最小值．解：100＋98＋94×3＋90＋88＋86＝744． ……………4分设该文学社团人数为x ＋8．则78x ＋744≤84(x ＋8)≤86x ＋744. ……………9分解得，x ≥12⇒x ＋8≥20． ……………14分C又，若该社团中有12人都得78分，其余8人得分如上时，他们的均分为84分． 所以，该文学社团人数的最小值为20． ………………18分12．（本题满分18分）在等边△ABC 中，点M 为边BC 的中点，点D 、E 分别为CA 、AB 延长线上的一点．若MD ＝ME ，N 为线段MD 与线段AB 的交点．求证：∠BNM ＝∠BME ．证明：如图，延长AC 到点F ，使得CF ＝BE ，连接MF ．…………………… 4分因为△ABC 为等边三角形，所以 ∠ABC ＝∠ACB ，从而 ∠EBM ＝∠FCM ．又因为M 为边BC 的中点，所以 BM ＝CM ，从而 △EBM ≌△FCM ，所以 ME ＝MF ，∠BME ＝∠CMF ． ……… 8分因为 MD ＝ME ，所以MD ＝MF ， 从而 ∠CFM ＝∠CDM ． ……………………分又△ABC 为等边三角形，则 ∠FCM ＝180°－∠ACB ＝180°－∠BAC ＝∠DAN ，所以 △MFC ∽△NDA ，从而 ∠CMF ＝∠DNA ．因此 ∠BNM ＝∠DNA ＝∠CMF ＝∠BME ．故结论得证． …………………… 18分证法二：作MF ⊥AB ，MG ⊥AC ，垂足分别为F ，G ．因△ABC 为等边三角形，M 为BC 中点，故MF ＝MG .………4分在Rt △MFE 与Rt △MGD 中：MF ＝MG ，ME ＝MD .所以△MFE ≌△MGD (H.L) …………………8分所以∠MEB ＝∠MDG . …………………12分又，∠MBE ＝∠NAD ＝180︒－60︒＝120︒.所以，∠BME ＝∠AND ， …………………16分而∠BNM ＝∠A N D.所以，∠BNM ＝∠BME ． …………………18分13．（本题满分20分）若实数x ，y ，z 使得三数1｜x 2＋2yz ｜、1｜y 2＋2xz ｜、1｜z 2＋2xy ｜可以是某一个三角形的三边长．⑴ 求证：xy ＋yz ＋zx 可以取得全体正实数值；⑵ 求证：xy ＋yz ＋zx 也可以取得全体负实数值；A B C D EF M NG F N ED M C B A⑶ 求证：xy ＋yz ＋zx 不可能为0．证明：由于本题只说这三数可以是某一个三角形的边长，故只需找到一个特殊的三角形即可． ⑴ 取x ＝y ＝z ＝t ，t ＞0，则1｜x 2＋2yz ｜＝1｜y 2＋2xz ｜＝1｜z 2＋2xy ｜， 所以长为1｜x 2＋2yz ｜的三条线段恰好是一个正三角形的三边． …………… 3分 于是xy ＋yz ＋zx ＝3t 2．由t 可以取得全体正实数值，可知xy ＋yz ＋zx 可以取得全体正实数值．故结论成立． …………………… 6分⑵ 考虑x ＝y ＝t ，t ＞0，且取z ＝－2t ，那么三个分式1｜x 2＋2yz ｜，1｜y 2＋2xz ｜，1｜z 2＋2xy ｜分别为13t 2，13t 2，16t 2， 而长为13t 2，13t 2，16t 2的三条线段恰好是一个等腰三角形的三边． …………… 9分 于是 xy ＋yz ＋zx ＝－3t 2．由t 可以取得全体正实数值，可知xy ＋yz ＋zx 可以取得全体负实数值.故结论成立． …………………… 12分⑶ 假设xy ＋yz ＋zx ＝0．若x ＝y ，则｜x 2＋2yz ｜＝｜xy ＋yz ＋zx ｜＝0，与题设矛盾，所以x ，y ，z 两两不等． 由于x 2＋2yz ＝x 2＋yz －(xy ＋zx )＝(x －y )(x －z )，同理，y 2＋2xz ＝y 2＋xz －(xy ＋yx )＝(y －x )(y －z )，z 2＋2xy ＝z 2＋xy －(yz ＋zx )＝(z －x )(z －y )． …………………… 16分由题意，可不妨设x ＜y ＜z ，那么(x －y )(x －z )＞0，(y －x )(y －z )＜0，(z －x )(z －y )＞0， 从而有1｜x 2＋2yz ｜＋1｜z 2＋2xy ｜＝1 (x －y )(x －z ) ＋1 (z －x )(z －y ) ＝z －y ＋y －x (z －x )(z －y )(y －x ) ＝1 (z －y )(y －x ) ＝1｜y 2＋2xz ｜. 这表明，两个分式的值的和等于另一分式的值，那么分别以长为三个分式值的三条线段不能作为三角形的三条边．所以假设不成立．故xy ＋yz ＋zx 不可能为0． …………………… 20分14．（本题满分24分）五位同学围绕圆桌等间隔的坐着，每位同学面前放着一只精美的、封闭的正方体盒子（上面有一个盖子可以打开），在这些盒子中放了数目各不相同的桔子（至多有一只盒子中未放桔子）. 老师对同学们说：你们每人都可以将自己面前盒子的盖子揭开，知道自己盒子中的桔子数，并且允许悄悄地询问坐在自己左、右两边同学的桔子数目．教师告诉了他们桔子的总数，并让同学们猜他对面两名同学拥有的桔子个数之差．（1）若桔子总数为10，证明：任意一位同学都能正确猜出他对面两位同学拥有的桔子个数之差；（2）若桔子总数为14，证明：老师可以有一种放桔子的方式，使得既有一些同学能够正确猜出他对面两位同学拥有的桔子个数之差，也有一些同学不能正确猜出他对面两位同学拥有的桔子个数之差；（3）若桔子总数为16，证明：老师可以有一种放桔子的方式，使得没有一位同学能够正确猜出他对面两名同学拥有的桔子个数之差．证明：⑴因盒子中的桔子数互不相同，10＝0＋1＋2＋3＋4．故这五个盒子中的桔子数必为0，1，2，3，4．只有这一种放法．如果已经知道其中三个盒子中的桔子数，则必知道另两个盒子中的桔子数的和，从而一定知道两个盒子中的桔子数的差．…………………6分⑵如果老师在A盒子中放8个桔子，其余四个盒子就只有一种可能的放法，即分别放0，1，2，3个桔子，…………………12分则A知道左右两个盒子中的桔子数后，就知道了其余两个盒子中的桔子数的差，A左右两人也可以知道另两个盒子中的桔子数的差．而其余两人则不能正确猜出对面两人的桔子数的差．………………16分⑶老师在五个盒子中依次分别放入1，6，2，3，4个桔子，……………19分于是，6对面两人共有7个桔子，可以是0与7个，也可以是3与4个，无法确认对面两人桔子数的差．放1与2的的盒子的人只知道对面二人桔子数的和为5，可能是0，5或2，3(或1，4），无法确认对面两人桔子数的差．同样，在3的对面二人的和为7，可能为0，7或1，6；在4对面二人和为8，可能为0，8或2，6；所以都无法正确猜到．………………24分。
江苏省普通高等学校第十五届高等数学竞赛获奖名单公示
一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖
南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学 南京财经大学
201006163 201006126 201006133 201006005 201006001 201007002 201031020 201031002 201031012 201031007 201031010 201031005 201031027 201018001 201018018 201018002 201018019 201012006 201012052 201012061 201012011 201012005 201012003 201012051
一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖
张佳宁 李凌寒 杨芷晗 王秋爽 陆逸峰 郝宇宸 王舒明 陈茜茜 陈思颖 徐滟婷 汪 俊 王梓铭 周 潜 解 政 李思琦 于重庆 任 平 倪 微 郑丽云 恽博文 潘慧凡 吕晓莉 陈 涓 任 权 男 男 女 男 男 女 女 男 女 女 女 男
基地1702 酿酒1501 会计1503 金融1703 工商管理类1702 生工1704 生工1705 生工1705 生工1705 国贸1701 生工1706 应化1701 机械中法1701 金融1601 统计1501 机械中法1701 药学1702 金融1703 会计1502 物流1502 会计1503 食品1701 17级财务管理 17级应用物理学
江苏初中生数学竞赛试题
江苏初中生数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 22. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的平方根是4，那么这个数的立方根是多少？A. 2B. 4C. 8D. 164. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π5. 一个数列的前三项是2, 4, 8，那么第四项是多少？A. 16B. 32C. 64D. 128二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。
7. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm和4cm，那么它的体积是______。
8. 一个分数的分子是10，分母是15，化简后的结果是______。
9. 一个圆的直径是14cm，那么它的半径是______。
10. 一个数的立方是-27，那么这个数是______。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是勾股定理，并给出一个使用勾股定理解决的问题的例子。
12. 解释什么是代数方程，并给出一个一元二次方程的解法。
四、解答题（每题25分，共50分）13. 一个农场主有一块长方形的土地，长是宽的两倍。
如果这块土地的周长是100米，求这块土地的面积。
14. 一个班级有40名学生，其中1/3的学生参加数学竞赛，1/4的学生参加科学竞赛。
如果参加数学竞赛的学生中有一半也参加了科学竞赛，求班级中没有参加任何竞赛的学生人数。
五、证明题（每题20分，共20分）15. 证明：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
结束语：希望这份试题能够帮助参赛学生更好地准备江苏初中生数学竞赛。
通过练习这些题目，学生可以加深对数学概念的理解，提高解题技巧，并在竞赛中取得优异的成绩。
祝所有参赛学生好运！。
七年级数学竞赛题选 数阵图与数字谜
七年级数学竞赛题选 数阵图与数字谜姓名一．选择题1．(2008年江西)某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数ab cd 与，结果所得到的六位数28abcd 恰是一个完全立方数，则ab cd +=（ D ）A ．40 B.50 C.60 D.70 提示：设()328abcd xy =，则y=2, 因603=216000，703=343000，故6070xy ， 只有xy =62，而623=2383282.（第17届“五羊杯”初一竞赛题）下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，而且已知“六"=6，那么“神’’+“舟”+“六"+“号"+“飞"+“天"=( )．A.18B.20C.27D.30解：注意到“飞"ד舟"的个位数字是“舟"，只有“飞"=1或6．但已有“六，，=6， 所以“飞"=1．代入易化简得神舟×号神舟6=06号飞天设“神舟”=x，则因27×27=729，“舟”≠6，24×2469=59256，知只有x=25． 代入易得“号"=4，“天”=0．题设算式为25×25641=641025．所以“神"+“舟"+“六”+“号”+“飞”+‘‘天’=2+5+6+4+1+0=18．3.（第16届“五羊杯”初一竞赛） 下面算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．飞船高飞×飞=高飞吧飞船×船．那么，飞+船+高+飞=( A )A ．18 B.21 C.25 D.26提示:记算式为×x=×y．由乘积个位数知x2与y2的个位数字相等．显然x≥3且x≠5．若x=4，则y=6．由乘积的首位知z=2或3，再由乘积的末2位发觉不行．同样的分析知x=6，y=4或x=8，y=2或x=9，y=1均不行，惟有x=7，y=3可行．此时算式为73z7×7=z7u73×3．由乘积的末2位易得z=1，从而u=0．题设算式为7317×7=17073×3．又7+3+1+7=18，答案为(A)．二．填空题1.（2008年烟台中考）表2是从表1中截取的一部分，则a= 182.（2004年重庆七年级初赛）在如图所示的竖式乘法中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，则算式中2□□△代表的四位数是 2004 。
奥赛 三角形面积(含答案)
A、4B、5C、6D、
（江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题）10、已知凸四边形ABCD的面积是 ，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，那么图中阴影部分的总面积是。
A.4∶9B.2∶3C.1∶2D2∶5
（2003年嵊州市初二数学竞赛试卷）10.观察下列图形
则图②中的三角形的个数为_________，图③中的三角形的个数为___________.
（2003年嵊州市初二数学竞赛试卷）12.已知△ABC为等腰三角形，由A点所引BC边的高线恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数为______________.
(嵊州市2004年初三数学竞赛试题)5．如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE＝ AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果 ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
(嵊州市2004年初一数学竞赛试题)10．在等腰△ABC（AB＝AC≠BC）所在的平面上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（ ）
（A）3种（B）4种（C）5种（D）6种
（江苏省第十七届初中数学竞赛初一年级第1试）8．如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（）．
（A） （B） （C） （D）
（江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试）13．如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个长方形，如果S1＝75cm2，S2＝15cm2，那么大正方形的面积是S＝_____________cm2
初中数学专题与三角形有关的角典型试题
7. (江苏省第十五届初中数学竞赛初二第 1 试试题) 已知△ABC 的三个内角为 A、B、C，令 B C ,
C A A B ，则 , , 中锐角的个
数至多为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （ D） 4 8．一个三角形的三个外角中（ ） （A）至少有一个钝角 （B）至少有两个钝角 （C）至少有三个钝角 （D）可以没有钝角 9. 在 ABC 中, B, C 的平分线相交于一点 P ,设 A x , BPC y ,如果 x 每增加 1 ,那么 y 增加
图 13
1 ，求满足此条件的所有锐角三角形的度数. 4
.
27. (1998 北京市初中数学竞赛试题)
ABC 中，三个内角的度数均为整数，且 A B C ， 4C 7A ，则 B
28. (1987 年宝鸡市初中数学竞赛第一试) 若三角形的三个内角 A, B, C 关系满足 A 3B, C 2 B ,则这个三角形是（ (A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形但不等边 ）
1 A . 2
0
图 3 中，若 E 为 ABC 两外角平分线的交点，则 BEC 90 角的外角的一半）.
1 1 A 1800 A （即等于第三个 2 2 1 A . 2
E
FD
B
图 4 中，若 P 为 B 的平分线和 ABC 外角平分线的交点,则 P 图 5 中, BOC A B C . 图 6 中, 若 E 为 ABC , ADC 平分线的交点,则 E
与三角形有关的角
重要结论
A B I B C A A A P
C
D
B
C
E
B
C
图1
A
第15届世界数学奥林匹克数学竞赛七年级B卷复赛-含答案
WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知:1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
七年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．若3a -≤2a-，则a 一定满足（ ）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ≤02．正数a 的两个平方根是方程3x +2y =2的一组解，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．9 D ．43．甲、乙两种茶叶，以x :y （重量比）混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤50元， 乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了 10%，但混合茶的价格不变，则x :y 等于（ ）A ．1:1B ．5:4C ．4:5D ．5:64．已知x =－2015，计算|x 2+2014x +1|+|x 2+2016x －1|的值为（ ） A ．4030 B ．4031 C ．4032 D ．40335．已知关于x ，y 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=+4832,412m y x m y x 的解满足3x －1＜y ，则m 的取值范围是（ ） A ．31-＜m B ．31-＞m C ．32-＜m D ．32-＞m6．如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的∠1=65°，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则∠2的度数为（ ）图① 图② 图③ A ．20° B ．25° C ．30° D ．35°7．如图，在坐标平面上，小七从点A （0，－8）出发，每天都是先向右走1个单位，再向上走3个单位．小七第一天由A 点走到A 1点，第二天由A 1点走到A 2点，…．那么小七第二 十九天走到的点的坐标是（ ） A ．（28，70） B ．（28，79） C ．（29，70） D ．（29，79）第7题图 第8题图8．有一种“扫雷”游戏如图，方格内的数字表示与它相邻的方格内总共有的“地雷”数，例 如:右下角的数字1表示A 、B 、C 中只有一个“地雷”．通过推理，请判断“？”处应填 的数字是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．已知有一列数a 1，a 2，…，a n 满足:后面的这个数依次比前面的这个数大k （k 为定值）， 且3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则a 1+a 2+…+a 13的值为（ ） A ．22 B ．24 C ．26 D ．3010．已知正整数a 、b 、c 满足a ＞b ＞c ，且34－6（a +b +c ）+（ab +bc +ac ）=0，79+（ab +bc +ac ） －9（a +b +c ）=0，则abc 的值是（ ）A ．60B ．45C ．24D ．14二、填空题（每小题5分，共30分）11．在平面直角坐标系中点A 、B 的坐标分别是（－1，3）、（－1，－2），那么A 、B 两点间的距离是_______________．12．当4－1-a 有最大值时，－a 2n的值为_______________．13．已知线段AB 的中点O 及线段AB 上任意一点M ，则MO :|AM －BM |=________________． 14．树上结满了桃子，小猴子第一天吃掉树上所有桃子的52，还扔掉了4个；第二天吃掉的桃 子数再加3个就等于第一天所剩桃子数的85，这时候树上至少还剩_____________个桃子． 15．算式（20142014+20132013）×342342的结果的尾数是_______________．16．在一次数学游戏中，老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0，b 0，c 0，记为G 0=（a 0，b 0，c 0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则 从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果 数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果）， 记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n 次操作后的糖果数记为G 0= （a 0，b 0，c 0）．小晓发现：如果G 0=（4，8，18），那么游戏将永远无法结束，则此时G 2015= ．17．已知4=b，4=b，求c的值．（8分）18．若实数a满足不等式2（a－3）＜32a-，试求不等式axxa--＜5)4(的解集．（8分）19．已知，点E、F分别在直线AB，CD上，点P在AB、CD之间，连接EP、FP，已知AB∥CD，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分∠EJF，且JK∥AB，则∠BEP与∠EPF之间有何数量关系，并证明你的结论．（10分）20．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA=OB，BC=12，点P的坐标是（a，6）．（1）△ABC三个顶点的坐标分别为A（____,____），B（____,____），C（____,____）；（6分）21．排球比赛中，甲、乙两方上场的各6名队员面对排球网，分别站在排球场的一边，6名队员一般站成两排，从排球场右下角开始，分别为1号位、2号位、3号位、4号位、5号位、6号位（如图）．比赛中每一次换发球的时候有位置轮换，简单说就是第一轮发球是比赛开始由甲方1号位的选手发球，得分则继续发球，失分则乙方发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球．甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，以此类推，2号位队员到1号位置发球，得分则继续发球，失分则乙方发球，再轮到甲方选手发球的时候，甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），随后以此类推…如果甲方选手小花上场时（这场比赛最多发21轮球）站在6号位置，那么，（1）第五轮发球时，她站在几号位置？（3分）（2）第几轮发球时，她站在3号位置？（4分）（3）第n轮发球时，她站在几号位置？（5分）参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.D2.D3.C4.C5.B6.B7.D8.D9.C 10.A3.由题意得50x +40y =50（1+10%）x +40（1－10%）y ，x ：y =4：5．4.当x =－2015时，原式=|（－2015）2－2014×2015+1|+|（－2015）2－2015×2016－1|=20152－2014×2015+1－20152+2015×2016+1=2015×（2016－2014）+2=4030+2=4032．5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=+②,4832①,412m y x m y x ①×2+②得，20x =5－10m ，∴x =421m -，代入①得，y =432m +，∴421m -×3+432m+＜1，解得，m ＞－31．6.如图，由折叠的性质得：∠5=∠1=65°，∠3=∠4， ∴∠3=∠4=21（180°－∠1－∠5）=25°， ∵长方形的对边平行，∴∠2=∠3=25°． 8.根据题意用“是”表示有“地雷”，用“不”表示没有“地雷” 填表如图，“？”的周围有两颗“地雷”，所以“？”处应填 的数字是2．9.∵有一列数a 1，a 2，…，a n 满足关系：后面的这个数依次比前面的这个数大k （k 为定值）， ∴可知a 2=a 1+k ，a 3=a 1+2k ，a 13=a 1+12k ，从而可知3（2a 1+6k ）+2（3a 1+27k ）=24， ∴可得12a 1+72k =24，∴可得a 1+6k =2，∴a 1+a 2+…+a 13=13a 1+21312⨯k =13（a 1+6k ）=26． 10.设A =a +b +c ，B =ab +bc +ca ，则⎩⎨⎧=-=-.79B A 9,34B Α6解得⎩⎨⎧==.56B ,15A 即⎩⎨⎧=++=++.56,15ac bc ab c b a又∵a ＞b ＞c ，∴a ＞5，c ＜5，∵a +b +c =15，∴a =6、b =5、c =4或a =7、b =5、c =3或a =7、b =6、c =2或a =8、b =4、c =3或a =8、b =5、 c =2 或a =8、b =6、c =1或a =9、b =5、c =1或a =9、b =4、c =2或a =10、b =4、c =1或a =10、 b =3、c =2，代入ab +bc +ca =56可知，只可能是a =10、b =3、c =2，∴abc =60．二、填空题（每小题5分，共30分）11.5 12.－1 13.21（或1:2） 14.6 15.6 16.（9，10，11）13.设点M 在O 、B 之间，则AM －BM =AO +OM －BM =OB +OM －BM =2OM ， MO :|AM －BM |=21．14.设树上原有桃子x 个，第一天树上少了（52x +4）个桃子，剩下（53x －4）个桃子；第二天树上少了[85（53x －4）－3]个桃子，剩下[83（53x －4）+3]个桃子．设m 为树上最后剩下的桃子的个数，则m =83（53x －4）+3=40609+x （m 、x 均为正整数）①，故40m =9x +60，由此可知要m 的值最小，且为整数，则整数x 的值最小为20，代入①中得m =6，因此树 上至少剩下6个桃子．15.解:20142的尾数为6，20143的尾数为4,2014的尾数为6，… 由此得到其尾数的规律为4，6，4，6，…2014÷2=1007，∴20142014的尾数为6；20132的尾数为9,20133的尾数为7,20134的尾数为1，… 由此得到其尾数的规律为3，9，7，1，3，9…2013÷4=503……1，∴20132013的尾数为3；3422的尾数为4，3423的尾数为8，3424的尾数为6，… 由此得到其尾数的规律为2，4，8，6，2，4…342÷4=85……2，∴342342的尾数为4．∴（6+3）×4=36，原式的结果的尾数为6．16.若G 0=（4，8，18），则G 1=（5，9，16），G 2=（6，10，14），G 3=（7，11，12）， G 4=（8，12，10），G 5=（9，10，11），G 6=（10，11，9），G 7=（11，9，10），G 8=（9， 10，11），G 9=（10，11，9），G 10=（11，9，10），…由此看出从G 5开始3个一循环， （2015－4）÷3=670……1，所以G 2014与G 8相同，也就是（9，10，11）．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵415=++b c b a ，411=-+b c b a ,∴4a +4b +4c =15b ①，4a +4b －4c =11b ②， ①+②得8a +8b =26b ，∴8a =18b ，∴a =49b ，代入②得，9b +4b －4c =11b ，整理得，2b =4c ，∴cb=2．18.解：先求不等式2（a －3）＜32a-的解集为a ＜720，将不等式a x x a --＜5)4(化简为（a －5）x ＜－a ，∵a ＜720，∴a －5＜0， 不等式两边除以a －5可得x ＞aa-5．19.解：∠BEP +23∠EPF =270°，理由如下：延长FP 交CD 于点Q ，如图，∵AB ∥CD ，∴∠BEP +∠FQP =180°， ∵将射线FC 沿FP 折叠，∴∠QFP =∠PFJ ， ∵JK ∥AB ，∴JK ∥CD ，∴∠FJK =2∠CFP ，∵∠EQF +∠QFP +∠QPF =180°，而∠QPF +∠EPF =180°， ∴∠EPF =∠EQF +∠QFP ，∴∠EPF =180°－∠BEP +∠QFP ， ∵JK 平分∠EJF ，∴∠FJK =∠KJE ，∵JK ∥CD ，∴∠KJE =∠FQP ，∴∠EPF =180°－∠BEP +21∠FJK ， ∴∠EPF =180°－∠BEP +21×（180°－∠BEP ），∴∠BEP +23∠EPF =270°．20.（1）A （0，4），B （－4，0），C （8，0）．（2）解：S △ABC =21•4•12=24，当点P 在第一象限，即a ＞0，作PH ⊥x 轴于H ，如图①， S △PAB =S △AOB +S 梯形AOHP －S △PBH =8+264+•a －21•6•（a +4）=2a －4，则2a －4=24，解得a =14．此时P 点坐标为（14，6）；当点P 在第二象限，即a ＜0，作PH ⊥y 轴于H ，如图②， S △PAB =S 梯形OHPB －S △PAH －S △OAB =24a-•6－21•（6－4）•（－a ）－8=4－2a ，则4－2a =24， 解得a =－10．此时P 点坐标为（－10，6）．综上所述，点P 的坐标为（14，6）或（－10，6）．图① 图② 21.解：（1）根据题意可得：小花上场时，站在6号位置，第5轮发球时，站在①号位置； （2）∵小花上场时，站在6号位置，∴第3轮发球时站在3号位置， ∵这场比赛最多发21轮球，且每发球6轮循环一圈，∴第9轮发球时也站在3号位置，同理可得：第15轮发球时也站在3号位置，第，21轮 发球时也站在3号位置，综上所述：第3，9，15，21轮发球时，小花站在3号位置；（3）∵小花上场时，站在6号位置，第1轮发球时，站在⑤号位置； 第2轮发球时，站在④号位置，第3轮发球时，站在③号位置， 第4轮发球时，站在②号位置，第5轮发球时，站在①号位置， 第6轮发球时，站在⑥号位置，第7轮发球时，站在⑤号位置， 第8轮发球时，站在④号位置，第9轮发球时，站在③号位置，第10轮发球时，站在②号位置，第11轮发球时，站在①号位置，第12轮发球时，站在⑥号位置；∴第n 轮发球时，1≤n ≤5时，站在（6－n ）号位置， 当n =6或12，18时，站在⑥号位置；7≤n ≤11时，站在（12－n ）号位置，13≤n ≤17时，站在（18－n ）号位置， 19≤n ≤21时，站在（24－n ）号位置．。
初三数学竞赛专题--求根公式
初三数学竞赛专题——求根公式一、选择题1．设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A ． 一4B ．8C ．6D ．0 (全国初中数学联赛题) 答案：A2．当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A ．1-<x B ．4>x C ．41<<-x D ．1-≠x 且4≠x (2002年重庆市竞赛题)答案：D3．对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2．5 (北京市竞赛题) 答案：B4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )A ．b a =B ．0=+b aC ．1=+b aD ．1-=+b a(第十六届江苏省竞赛题)答案：D5．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A 6．自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )A ．2B ．1C ．3D ．4 (第十五届江苏省竞赛题) 答案：C7．已知a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A ．215+ B ．251- C ．251+- D ．251-- 答案：C二、填空题8．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ． (2001年北京市海淀区中考题) 答案：51±9．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．答案：310．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。
则代数式a 200012000120003+++的值为 ．(2003年河北省竞赛题) 答案：288935+ 11．满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．(2002年全国初中数学竞赛题)答案：4312．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ．(2001年四川省中考题)答案：213．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)答案：7-或6三、解答题14．在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为32811，求n 的值．答案：4115．已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值． (四川省选拔赛题)答案：7=p ，1=q16．解下列关于x 的方程：(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ；(2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．答案：（1）当1=m 时，2=x ；当1≠m 且1211>m 时，)1(21112212,1--±-=m m m x ；当1≠m 且1211=m 时，521==x x ；当1≠m 且1211<m 时，方程无实数根（2）2512,1+±=x （3）121-==x x ，5234,3±-=x 17．设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．(2000年重庆市竞赛题) 答案：62-18．解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．答案：6（1）当1=a 时，方程的根为21=x ；当0>a 且1≠a 时，方程有两个不相等的实数根11-+=a a a x ，12--=a a a x ；当0=a ，方程有两个相等的实数根021==x x ；当0<a 时，方程没有实数根19．已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值．(2003年全国初中数学联赛题)答案：由已知有：a x b -=1，12---=ax x a x c ，代入x d c =+1得0112=+---d ax x a x ，即01)2()1(23=++--+-ad x a d x ad dx ，又由x a d =+1得ax ad =+1，代入上面的方程得0)2)((3=--x x a d ，由已知0≠-a d ，故023=-x x ，若0=x ，则c a =矛盾，故有22=x ，即2±=x20．若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ ．答案：6 21．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．答案：2=m ，公共根α=122．如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证：ABBS 为无理数．(上海市竞赛题)答案：如图，设BC=a ，边上的高AD=h ，PS=x ，RS=y ，由△ASR ∽△ABC ，得ay h x h =-，∴a h x h y ⋅-=，∵PQRS ABC nS S 矩形=∆，∴a h x h nx nxy ah ⋅-⋅==21，整理得02222=+-h nxh nx ，∴n n n h x 221212-±=，显然22)1(2-<-n n n ，又3≥n ，∴22)2(2->-n n n ，故n n 22-不是完全平方数，从而n x 为无理数，于是hx BA BS =为无理数23．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．(2003年上海市中考题) 答案：124．已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值． 答案：199325．已知3819-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值． 答案：5。
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江苏省第十五届初中数学竞赛
初二试题
一、选择题（每小题7分共56分）
1、某商店售出两只不同的计算器，每只均以90元成交，其中一只盈利20%，另一只亏本20%，则在这次买卖中，该店的盈亏情况是（ ）
A 、不盈不亏
B 、盈利2.5元
C 、亏本7.5元
D 、亏本15元
2、设2001
2000,20001999,19991998===
c b a ，则下列不等关系中正确的是（ ） A 、c b a << B 、b c a << C 、a c b << D 、a b c <<
3、已知,511b a b a +=+则b
a a
b +的值是（ ） A 、5 B 、7 C 、3 D 、3
1 4、已知x B x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－
2 B 、2 C 、－4 D 、4
5、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，令B A A C C B +=+=+=γβα,，则γβα,,中锐角的个数至多为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、0
6、下列说法：（1）奇正整数总可表示成为14+n 或34+n 的形式，其中n 是正整数；（2）任意一个正整数总可表示为n 3或13+n 或23+n 的形式，其中；（3）一个奇正整数的平方总可以表示为18+n 的形式，其中n 是正整数；（4）任意一个完全平方数总可以表示为n 3或13+n 的形式
A 、0
B 、2
C 、3
D 、4
7、本题中有两小题，请你选一题作答：
（1）在19991002,1001,1000 这1000个二次根式中，与2000是同类二次根式的个数共有……………………………………………………（ ）
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
（2）已知三角形的每条边长是整数，且小于等于4，这样的互不全等的三角形有（ ）
A 、10个
B 、12个
C 、13个
D 、14个
8、钟面上有十二个数1,2，3，…,12。
将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n 个负号，这个数n 是（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
二、填空题（每小题7分共84分）
9、如图，XK ，ZF 是△XYZ 的高且交于一点H ，∠XHF ＝400，那么∠XYZ ＝ 0。
Z
K
H
X F Y
10、已知凸四边形ABCD 的面积是a ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么图中阴
F E
O O 影部分的总面积是 。
11、图中共有 个三角形。
A
B D C
12、已知一条直线上有A 、B 、C 、三点，线段AB 的中点为P ，AB ＝10；线段BC 的中点为Q ，BC ＝6，则线段PQ 的长为 。
13、三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，b a +，a 的形式，又可分别表示为0，b a ，b 的形式，则20012000b a +＝ 。
14、计算：2
200120012001199920012000222-+的结果为 。
15、三位数除以它的各位数字和所得的商中，值最大的是 。
16、某校初二（1）班有40名学生，其中参加数学竞赛的有31人，参加物理竞赛的有20人，有8人没有参加任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有 人。
17、本题中有两小题，请你任选一题作答。
（1）如图，AB ∥DC ，M 和N 分别是AD 和BC 的中点，如果四边形ABCD 的面积为24cm 2,那么CD O Q PO S S ∆∆-＝ 。
（2）若a ＞3，则226944a a a a +-++-＝ 。
D C
M N
Q P A B
18、跳格游戏：如图：人从格外只能进入第1格，在格中，每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6。