【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第六章数列 6-5 Word版含解析

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【走向高考】高三数学一轮总复习 6-5数列的综合应用课件北师大版

课前自主预习
知识梳理 1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：审题，找出题意 ――→ 实际应用题构建数列模型与结论间的数学关系
与数列有关的数学问题
数学问题的解
2．数列应用题常见模型： (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an＋1 的递推关系，还是前 n 项和 Sn 与 Sn＋1 之间的递推关系．
[答案] B
)
B．7s D．9s
[解析]
设至少需要 ns，则
1＋21＋22＋…＋2n－1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴n≥7.故选 B. 1－2
5．(2012· 合肥模拟)秋末冬初，流感盛行，某医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知 a1＝1，a2 ＝2，且 an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则该医院 30 天入院治疗流感的人数共有________．
课堂典例讲练
等差数列与等比数列的综合应用
[例 1]
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man
＝m＋3(n∈N＋)，其中 m 为常数，m≠－3，且 m≠0. (1)求证：{an}是等比数列； 3 (2)若数列{an}的公比满足 q＝f(m)且 b1＝a1，bn＝2f(bn－
[答案] 2n2＋6n
[解析]
令 n＝1 得 a1＝4，即 a1＝16，
当 n≥2 时， an＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，所以 an＝4(n＋1)2，当 n＝1 也适合，所以 an＝4(n＋1)2(n∈N＋)． an a1 a2 an 于是＝4(n＋1)，故 2 ＋ 3 ＋…＋＝2n2＋6n. n＋1 n＋1

【走向高考】高三数学一轮复习 6-5同步练习北师大版

第6章第5节一、选择题1．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝14(9n －4n )(n ∈N *)，那么这个数列( )A ．是等差数列而不是等比数列B ．是等比数列而不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 [答案] B[解析] S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫94n －1符合S n ＝Aq n－A 的特征，故该数列为等比数列．2．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17等于( ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 [答案] C[解析] a 3＝S 3－S 2＝(32－2×3－1)－(22－2×2－1)＝3.a 17＝S 17－S 16＝(172－2×17－1)－(162－2×16－1)＝31，∴a 3＋a 17＝34.3．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后细胞存活数是( )A ．33B ．64C ．65D ．127 [答案] B[解析] 每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．4．(2011·黄冈模拟)小正方形按照如图的规律排列：每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论： ①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．① [答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…，观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．5．△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错 [答案] B[解析] 由题意知：tan A ＝－1－－7－3＝34>0. tan 3B ＝412＝8，∴tan B ＝2>0，∴A 、B 均为锐角．又∵tan(A ＋B )＝34＋21－34×2＝－112<0，∴A ＋B 为钝角，即C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的通项公式a n为( )A．2n－1B．2n－1＋1C．2nD．2n＋1[答案] C[解析] 据题意得a n－2a n－1＝0，即a n＝2a n－1，所以a n＝2×2n－1＝2n.7．编辑一个运算程序：1&1＝2，m&n＝k，m&(n＋1)＝k＋3(m、n、k∈N*)，1&2004的输出结果为( )A．2004B．2006C．4008D．6011[答案] D[解析] 由已知m&(n＋1)－m&n＝3可得，数列{1&n}是首项为1&1＝2，公差为3的等差数列，∴1&2004＝2＋(2004－1)×3＝6011.应选D.8．下表给出一个“直角三角形数阵”141 2，143 4，38，316……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且诸行的公比都相等，记第i行，第j列的数列为a ij(i≥j，i，j∈N)，则a83等于( )A.1 8B.1 4C.1 2D．1[答案] C[解析] 由已知在第一列构成的等差数列中，首项为14，公差为14，∴a81＝14＋(8－1)·14＝2在每行构成的等比数列中公比q ＝12，∴a 83＝2·(12)2＝12.二、填空题9．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．[答案]22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝n －m n＝22. 10．已知α∈(0，π2)∪(π2，π)，且sin α，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．[答案]2π3[解析] 由题意，sin 22α＝sin α·sin4α， ∴sin 22α＝2sin α·sin2α·cos2α，即sin2α＝2sin α·cos2α，∴2sin αcos α＝2sin α·cos2α，即cos α＝cos2α， ∴2cos 2α－1＝cos α，∴(2cos α＋1)(cos α－1)＝0. 解得cos α＝1(舍去)或cos α＝－12，∴α＝2π3.11．(文)(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] 本题主要考查了导数的几何意义及等比数列的知识，要求数列的和，关键在于确定a k 与a k ＋1之间的关系，再利用数列的相关知识求解．∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a k 2)的切线方程为y －a k 2＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.(理)如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n (n >7，n ∈N )行，设其第k (k ≤n ，k ∈N *)行中不是1的数字之和为a k ，由a 1，a 2，a 3，…组成的数列{a n }的前n 项和是S n .现在下面四个结论：①a 8＝254；②a n ＝a n －1＋2n ；③S 3＝22；④S n ＝2n ＋1－2－2n .1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 … … … …其中正确结论的序号为________．(写出所有你认为正确的结论的序号) [答案] ①④[解析] 由已知得a n ＝C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n－2 ＝(1＋1)n －2＝2n－2，∴a 8＝28－2＝256－2＝254，①正确；a n －a n －1＝2n －2－2n －1＋2＝2n －1≠2n ，②不正确；∵S n ＝2－2＋22－2＋ (2)－2＝－2n1－2－2n ＝2n ＋1－2n －2，∴S 3＝24－6－2＝8≠22，③不正确，④正确． ∴①④正确．三、解答题12．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，…，P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n n －2d ，∴S n n＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d .∴点P n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上．∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．13．(2010·福建文)数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．[解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)从而S n ＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *) (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 14．(2010·湖北文)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a (单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b (单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6)[解析] 本小题主要考查阅读资料，提取信息，建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．(1)第1年末的住房面积a ·1110－b ＝(1.1a －b )(m 2) 第2年末的住房面积(a ·1110－b )1110－b ＝a (1110)2－b (1＋1110)＝(1.21a －2.1b )(m 2)(2)第3年末的住房面积⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11102－b＋1110·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡ 1＋1110＋⎦⎥⎤11102第4年末住房面积为：a (1110)4－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋11102＋11103.第5年末住房面积为：a ·(1110)5－b ⎣⎢⎡ 1＋1110＋11102＋11103⎦⎥⎤＋11104＝1.6a －6b 依题意可得，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a20，所以每年拆除的旧房面积为a20(m 2)．15．某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)[解析] 设该企业逐年的项目资金依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则由已知a n ＋1＝a n (1＋25%)－200(n ∈N *)，即a n ＋1＝54a n －200，令a n ＋1－x ＝54(a n －x )，即a n ＋1＝54a n －14x ，由x4＝200，得x ＝800， ∴a n ＋1－800＝54(a n －800)(n ∈N *)，故{a n －800}是以a 1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a 1＝1000(1＋25%)－200＝1050， ∴a 1－800＝250∴a n －800＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1，∴a n ＝800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1(n ∈N *)．由题意a n ≥4000，∴800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1≥4000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n≥16， ∴n ln 54≥lg16，即n (1－3lg2)≥4lg2，∵lg2＝0.3，∴0.1n ≥1.2，故n ≥12. 答：经过12年后，该项目资金可以翻两番．教师备课平台一、函数与方程的思想在数列中的应用在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定义域是N ＋(或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的点．数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a 1>0，q >1)．因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式．在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题．但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别．[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝2x－1的图像上，数列{b n }满足b n ＝log 2a n －12(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)当数列{b n }的前n 项和最小时，求n 的值；(3)设数列{b n }的前n 项和为T n ，求不等式T n <b n 的解集．[分析] 先利用函数关系求出S n 的表达式，再依a n 与S n 关系求出a n .进而求出b n 、T n ，使问题解决．[解析] 由题意得S n ＝2n－1. (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1.又∵a 1＝1＝21－1，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝log 2a n －12＝log 22n －1－12＝(n －1)－12＝n －13，∴b n ＝n －13，令b n ≥0得n ≥13，∴数列{b n }的前12项均为负数，第13项为0，从第14项起均为正数，∴当n ＝12或13时，数列{b n }的前n 项和最小．(3)∵b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }为等差数列． ∴T n ＝n n －2<n －13，整理得n 2－27n ＋26<0，解得1<n <26. ∴T n <b n 的解集为{n |1<n <26，n ∈N *}．[例2] 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n项和，求T n 的最大值．[分析] 列方程组可求得S n ，继而求得T n ，把T n 看成关于自变量n 的函数来求最大值即可．[解析] 设等差数列{a n }公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝21，S 15＝－75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝21，15a 1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝3，a 1＋7d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝9n －(n 2－n )＝10n －n 2，则S nn＝10－n ， ∵S n ＋1n ＋1－S nn＝－1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以9为首项，公差为－1的等差数列．则T n ＝n ·[9＋－n2＝－12n 2＋192n＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋3618.∵n ∈N *，∴当n ＝9或n ＝10时，T n 有最大值45. 二、分类整合思想在数列中的应用分类整合思想在数列中的体现，主要是表现在对字母范围的讨论上．例如，涉及到等比数列前n 项和问题时，需要对公比q 进行讨论，在对公比q 进行讨论时，除去q ＝1，q ≠1两种情况外，有时还需对0<q <1及q >1进行讨论，这需认真审题弄清题意，切实做到分类讨论时不漏不重，合情合理．已知S n 求a n 时，需对n ＝1与n ≥2两种情况进行讨论．最后需进行验证，能否将通项公式写为一个通式．若能，则写为一个通式；若不能，则需写成分段函数的形式．[例3] 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2，…)． (1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小．[解析] (1)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q>0，∴1－q n1－q>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－q <01－q n<0或⎩⎪⎨⎪⎧1－q >01－q n>0.∴－1<q <0或0<q <1或q >1. 综上所述，q >－1且q ≠0.(2)由b n ＝a n ＋2－32a n ＋1得b n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫q 2－32q ，∴T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫q 2－32q S n∴T n －S n ＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q －1＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋12(q －2)，∴当－1<q <－12或q >2时，T n >S n ；当－12<q <2且q ≠0时，T n <S n ；当q ＝－12或q ＝2时，T n ＝S n .三、转化思想在数列中的运用在数列中，处处体现转化与化归的思想．例如，求a 1、a n 、n 、S n 、d 、q 时，往往是设出基本量，转化为解方程(组)问题；等差数列的单调性、前n 项和最值问题可转化为解不等式组、二次函数或利用图像来解决；数列的求和问题往往转化为等差、等比数列的求和问题；求数列的通项公式、解数列应用题等都要进行相应的转化．[例4] (2011·哈尔滨模拟)数列{a n }中，a 1＝57，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求a n ；(3)求数列{a n }中的最大项与最小项．[分析] (1)根据已知a n 与b n 的关系式利用等差数列的定义证明．(2)利用(1)的结论，数列{b n }是等差数列，确定其通项公式，根据已知a n 与b n 的关系求解．(3)利用(2)的结论，即求出的a n 的表达式，利用函数的单调性求解即可． [解析] (1)证明：∵b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝1(n ≥2)．∴{b n }是等差数列．(2)∵{b n }是等差数列，首项b 1＝1a 1－1＝－72且公差为1， ∴b n ＝－72＋(n －1)×1，即b n ＝n －92， ∴1a n －1＝n －92，a n ＝1n －92＋1＝2n －72n －9. (3)∵a n ＝1n －92＋1，而函数f (x )＝1x －92＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92，⎝ ⎛⎭⎪⎫92，＋∞上都是减函数， ∴a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…，且当n ≤4时，a n <1；当n >4时，a n >1，∴最大项为a 5＝3，最小项为a n ＝－1.四、定义的应用深刻理解等差、等比数列的定义，能正确运用定义和等差、等比数列的性质，是学好本板块的关键．在正确理解定义的基础上，要认真分析等差数列、等比数列定义中所蕴含的各自的特点，不要被某些问题的表面现象所迷惑，特别是一些与定义有关的题目，可能会在关键词部位做手脚，使人产生错觉而出错．[例5] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，又有数列{b n }，它们满足关系b 1＝a 1，对n ∈N ＋，有a n ＋S n ＝n ，b n ＋1＝a n ＋1－a n .求证：数列{b n }是等比数列，并写出它的通项公式．[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1，故a 1＝b 1＝12. 当n ≥2时，a n ＋S n ＝n ，a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，两式相减得2a n ＋1－a n ＝1①将①中的n 换为n －1，有2a n －a n －1＝1②由①－②得2(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝0(n ≥2)，即2b n ＋1＝b n (n ≥2)，于是b n ＋1b n ＝12(n ≥2)．又由a 2＋S 2＝2，得a 2＝34，b 2＝a 2－a 1＝14，于是b 2b 1＝12.所以 b n ＋1b n ＝12(n ∈N ＋)．因此，数列{b n }是等比数列，公比q ＝12，通项公式为b n ＝12n (n ∈N ＋)．。

2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义：第六章数列范文

常考题型强化练——数列A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析设该数列的公差为d ，则a 4＋a 6＝2a 1＋8d ＝2×(－11)＋8d ＝－6，解得d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36， ∴当n ＝6时，取最小值．2．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知， a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2. 由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝⎛⎭⎫2×54－a 4＝14. ∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12，∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31.3．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n －a 1＝S 1·S n (a 1≠0，n ∈N ＋)，则a 7等于( ) A ．16 B ．32C ．64D ．128答案 C解析令n ＝1，则a 1＝1，当n ＝2时，2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2，当n ≥2时，由2a n －1＝S n ，得2a n －1－1＝S n －1，两式相减，解得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1，于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，因此a n ＝2n －1.故a 7＝26＝64.4．已知等差数列{a n }的公差d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值是( )A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182答案 B解析 ∵a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋2d ×33 ＝50＋66×(－2) ＝－82.5．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N ＋，且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<0答案 A解析－a m <a 1<－a m ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.易得S m ＝a 1＋a m 2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.二、填空题6．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________. 答案 20解析由题意知，若{a n }为调和数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，∴由⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，可得数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________. 答案 2－⎝⎛⎭⎫12n －1解析由于S n ＝2n －a n ，所以S n ＋1＝2(n ＋1)－a n ＋1，后式减去前式，得S n ＋1－S n ＝2－a n＋1＋a n ，即a n ＋1＝12a n ＋1，变形为a n ＋1－2＝12(a n －2)，则数列{a n －2}是以a 1－2为首项，12为公比的等比数列．又a 1＝2－a 1，即a 1＝1. 则a n －2＝(－1)⎝⎛⎫12n －1，所以a n＝2－⎝⎛⎫12n －1. 8．已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8的值为_____．答案 3＋2 2解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2.∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q .∴q 2－2q －1＝0.∴q ＝1±2. ∵各项都是正数，∴q ＞0.∴q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.三、解答题9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N ＋，a 3＝5，S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23.10．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S nn ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．解 (1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ，又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3. ∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2. 由S k ＝ka 1＋k (k －1)2d ，得2k ＋k (k －1)2×2＝2 550，即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)． ∴a ＝3，k ＝50.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n .∴b n ＝S nn＝n ＋1.∴{b n }是等差数列．则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1)＝(4＋4n )n2.∴b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝2n 2＋2n .B 组专项能力提升 (时间：25分钟)1．已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( )A ．1B ．－1C ．1或－1 D. 2答案 C解析依题意，有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，整理得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1(q 2＝－2舍去)，所以q ＝1或q ＝－1.2．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析由等差、等比数列的性质，可求得x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4， ∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.3．已知数列{a n}满足：a 1＝1，a n＝⎩⎨⎧1＋2a n 2， n 为偶数，12＋2a n －12， n 为奇数，n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________．答案 b n ＝2n解析由题意，得对于任意的正整数n ，b n ＝a 2n －1＋1， ∴b n ＋1＝a 2n ＋1，又a 2n ＋1＝(2a 2n 2＋1)＋1＝2(a 2n －1＋1)＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1＋1＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n .4．某音乐酒吧的霓虹灯是用，，三个不同音符组成的一个含n ＋1(n ∈N ＋)个音符的音符串，要求由音符开始，相邻两个音符不能相同．例如n ＝1时，排出的音符串是，；n ＝2时，排出的音符串是，，，；…….记这种含n ＋1个音符的所有音符串中，排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为a n .故a 1＝0，a 2＝2.则 (1)a 4＝________； (2)a n ＝________.答案 (1)6 (2)2n ＋2(－1)n3解析由题意知，a 1＝0，a 2＝2＝21－a 1，a 3＝2＝22－a 2，a 4＝6＝23－a 3，a 5＝10＝24－a 4，所以a n ＝2n －1－a n －1，所以a n －1＝2n －2－a n －2，两式相减得a n －a n －2＝2n －2.当n 为奇数时，利用累加法得a n －a 1＝21＋23＋…＋2n －2＝2n －23，所以a n ＝2n－23.当n 为偶数时，利用累加法得a n －a 2＝22＋24＋…＋2n －2＝2n －223，所以a n ＝2n ＋23.综上所述，a n ＝2n ＋2(－1)n3.5．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝13，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，所以a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝⎛⎭⎫13n.(2)由已知可得f (a n )＝log 3⎝⎛⎭⎫13n ＝－n ，则b n ＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，故1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，又T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，所以T 2 012＝－4 0242 013.(3)由题意得c n ＝(－n )·⎝⎛⎭⎫13n ，故U n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝－⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫131＋2×⎝⎛⎭⎫132＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ，则13U n ＝－⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫132＋2×⎝⎛⎭⎫133＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，两式相减可得23U n ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫131＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝－12＋12·⎝⎛⎭⎫13n ＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，则U n ＝－34＋34·⎝⎛⎭⎫13n ＋32n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1.。

【步步高】2015届高考数学总复习第六章 6.4数列求和强化训练理北师大版

§6.4 数列求和1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( √ )(6)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )2．(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101B.99101 C.99100D.101100 答案 A解析利用裂项相消法求和．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n 2－2 答案 C解析 S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋(2n －1)) ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝________. 答案 4－n ＋42n解析设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋(122＋123＋…＋12n )－n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋(12＋122＋…＋12n －1)－n ＋22n＝3＋12[1－(12)n －1]1－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n .题型一分组转化求和例1 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .思维启迪先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解．解由已知得，数列{a n }的通项公式为 a n ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n ) ＝n (2＋3n －1)2＋2(1－2n )1－2＝12n (3n ＋1)＋2n ＋1－2. 思维升华某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.解和式中第k 项为 a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝12n －1＋2n －2. 题型二错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n . 思维启迪 (1)列方程组求{a n }的首项、公差，然后写出通项a n . (2)q ＝1时，b n 为等差数列，直接求和；q ≠1时，用错位相减法求和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1. 若q ≠1，将上式两边同乘以q 有 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1 ＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{}对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练． (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用X 围．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三裂项相消法求和例3在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消法求和．解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n－12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N ＋.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N ＋，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列． (2)解由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)(2012·某某)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .规X 解答解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .[6分]当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .(2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①[7分]所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1[11分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[12分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案；(2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数．方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．失误与防X1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X 围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5nn ＋1 答案 B解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)] ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 2．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．21答案 C解析由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 故使S n 取值最小正值的n 为19.3．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.故选B.4．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )A ．31B ．120C ．130D ．185答案 C解析 a 1＋...＋a k ＋...＋a 10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130. 5．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9答案 B解析数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.二、填空题6．数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________．答案 n (n ＋1)2＋1－12n 解析 ∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18， 6516＝4＋116，… ∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋12n ) ＝n (n ＋1)2＋12[1－(12)n ]1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n . 7．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________. 答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1. S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014， ∴S ＝2 0142＝1 007. 8．(2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．答案 1 830解析利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830. 三、解答题9．已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 41a n (n ∈N ＋)，数列{}满足＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{}的前n 项和S n .解 (1)由题意，知a n ＝(14)n (n ∈N ＋)，又b n ＝3log 41a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N ＋)．(2)由(1)，知a n ＝(14)n ，b n ＝3n －2(n ∈N ＋)，所以＝(3n －2)×(14)n (n ∈N ＋)．所以S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n ，于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1. 两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×(14)n (n ∈N ＋)． 10．若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求等比数列S 1，S 2，S 4的公比；(2)若S 2＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈ N ＋都成立的最小正整数m .解 (1)因为{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d (d ≠0)，所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d .因为S 1，S 2，S 4成等比数列且设其公比为q ，所以S 1·S 4＝S 22.所以a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2.所以2a 1d ＝d 2.因为公差d ≠0.所以d ＝2a 1.所以q ＝S 2S 1＝4a 1a 1＝4. (2)因为S 2＝4，所以2a 1＋d ＝4.又d ＝2a 1，所以a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1.(3)因为b n ＝3(2n －1)(2n ＋1)＝32(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝32[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝32(1－12n ＋1)<32. 要使T n <m 20对所有n ∈N ＋都成立，则有m 20≥32，即m ≥30. 因为m ∈N ＋，所以m 的最小值为30.B 组专项能力提升(时间：30分钟)1．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A ．2 008B ．2 010C ．1D ．0答案 B解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.2．(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n 的三边长分别为a n 、b n 、，△A n B n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…，若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝＋a n 2，＋1＝b n ＋a n 2，则( ) A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列答案 B解析因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13；故S 1＝ 3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1， S 2＝ 3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21.显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a 12＝1312a 1， c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1， S 3＝ 3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 3．(2013·某某)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N ＋，则： (1)a 3＝________； (2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116(2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1， ∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n . 当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ， ∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116. 根据以上{a n }的关系式及递推式可求．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128. ∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…， ∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n ＝2a n －2n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12. (1)解当n ∈N ＋时，S n ＝2a n －2n ，则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2，∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2，当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2，∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2；(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝14＋14(1－12n )1－12－n ＋12n ＋2 ＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1，当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n ＝n ＋12n ＋1>0， ∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12. 5．直线l n ：y ＝x －2n 与圆：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N ＋.数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，a n (n 为偶数)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由题意，知圆的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ，半径r n ＝2a n ＋n ，所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2n －d 2n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n . 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1) ＝n (n －1)2＋2(1－2n )1－4＝n 2－n 2＋23(2n －1)．当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＋1＝(n ＋1)2－(n ＋1)2＋23(2n ＋1－1) ＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1－1)．而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n，所以T n ＝n 2＋n 2＋13(2n －2)．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－n 2＋23(2n －1)(n 为偶数)，n 2＋n 2＋13(2n －2)(n 为奇数).。

【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第六章数列 6-3

走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第六章
数
列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第六章
第三节等比数列
高考目标导航
3
课堂典例讲练
课前自主导学
4
课后强化作业
高考目标导航
考纲要求 1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系.
)
B．64 D．48
S5 4．设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2＋a5＝0，则＝ S2 ( ) A．－11 C．5
[答案] A
B．－8 D．11
[解析]
由 8a2＋a5＝0，
a5 ∴a ＝－8，即 q3＝－8，q＝－2. 2 a11－q5 1－q 1－q5 33 S5 ∴ ＝＝＝＝－11. S2 a11－q2 1－q2 －3 1－q
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2＝6,6a1 ＋a3＝30.求 an 和 Sn. [思路分析] 列方程组求首项 a1 和公比 q.
[规范解答] 设{an}的公比为 q，由已知有：
a1q＝6 2 6 a ＋ a q 1 1 ＝30 a1＝3 .解得 q＝2 a1＝2 或 q＝3
a11－qn 1－q
基础自测 1.等比数列{an}中 a5＝4，则 a2a8 等于( A．4 C．16
[答案] C
)
B．8 D．32
[解析]
∵{an}是等比数列且 2＋8＝2×5，
∴a2· a8＝a2 5＝16.
2．(2013· 江西高考)等比数列 x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( ) B．0 D．24

走向高考一轮课后强化作业北师大：第六章数列 64 含解析

基础达标检测一、选择题1．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为( )A ．700B ．710C ．720D ．730[答案] C[解析] 因为{a n }，{b n }都是等差数列，由等差数列的性质可知，{a n ＋b n }的前20项的和为S 20＝20(a 1＋a 20)2＋20(b 1＋b 20)2＝10(a 1＋b 1＋a 20＋b 20)＝10×(5＋7＋60)＝720.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15[答案] A[解析] 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.3．(2014·三门峡模拟)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121[答案] C [解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.4．(2013·全国大纲)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)[答案] C[解析] 本题考查等比数列的定义，前n 项和的求法． 3a n ＋1＋a n ＝0 ∴a n ＋1a n＝－13＝qa 2＝a 1·q ＝－13a 1＝－43，∴a 1＝4 ∴S 10＝4[1－(－13)10]1＋13＝3(1－3－10)． 5．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 考查等比数列的性质、通项、等差数列求和及对数的运算法则．∵{a n }为等比数列，且a 5·a 2n －5＝22n ，∴a 2n ＝22n ，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1. ∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1 ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.6．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( ) A ．2－12n －n2n ＋1B ．2－12n －1－n2nC.12(n 2＋n ＋2)－12nD.12n (n ＋1)＋1－12n －1[答案] B[解析] S ＝1×12＋2×14＋3×18＋4×116＋…＋n ×12n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①则12S ＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1，②①－②得12S ＝12＋122＋123＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1.∴S ＝2－12n －1－n2n .二、填空题7．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.[答案] 54[解析] 由等差数列的性质，a 2＋a 8＝18－a 5，即2a 5＝18－a 5，∴a 5＝6， S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝54. 8．(文)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________，前n 项和S n ＝________.[答案] 2 2n ＋1－2[解析] 本题考查了等比数列性质，前n 项和公式等．由题意a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴q ＝2，又由a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3知a 1＝2，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(理)(2013·重庆高考)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n为其前n 项和，若a 1、a 2、a 5成等比数列，则S 8＝________.[答案] 64[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 22＝a 1a 5，∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，即d 2＝2d ，∵d ≠0，∴d ＝2，∴S8＝8×1＋8×72×2＝64.9．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则S100＝________.[答案] 2 600[解析]由已知，得a1＝1，a2＝2，a3－a1＝0，…a99－a97＝0，a100－a98＝2，累加得a100＋a99＝98＋3，同理得a98＋a97＝96＋3，…，a2＋a1＝0＋3，则a100＋a99＋a98＋a97＋…＋a2＋a1＝50×(98＋0)2＋50×3＝2 600.三、解答题10．(文)(2013·江西高考)正项数列{a n}满足：a2n－(2n－1)a n－2n ＝0.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n＝1(n＋1)a n，求数列{b n}的前n项和T n. [解析](1)由a2n－(2n－1)a n－2n＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)．T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).(理)(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10，即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n . 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.能力强化训练一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A.212 B ．6 C ．10 D ．11[答案] B[解析] 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项，偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6.2．(文)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N ＋)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值32 [答案] B[解析] S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝log 223＋log 234＋log 245＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×45×…×n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2<－5，∴2n ＋2<132，∴64<n ＋2， ∴n >62，∴n min ＝63.(理)已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N ＋)，若称使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 为劣数，则在区间(1,2 015)内所有的劣数的和为( )A ．2 026B ．2 046C ．1 024D ．1 022[答案] A[解析] ∵a 1.a 2.a 2.....a n ＝lg3lg2.lg4lg3.....lg (n ＋2)lg (n ＋1)＝lg (n ＋2)lg2＝log 2(n ＋2)＝k ，则n ＝2k －2(k ∈Z )．令1<2k －2<2015，得k ＝2,3,4， (10)∴所有劣数的和为4(1－29)1－2－18＝211－22＝2 026.二、填空题3．设f (x )＝12x ＋2，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________．[答案] 5 2[解析] ∵f (－n )＋f (n ＋1)＝12－n ＋2＋12n ＋1＋2＝2n 1＋2n ·2＋12n ＋1＋2＝2n ·2＋12n ＋1＋2＝22， ∴f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)＝5 2.4．(文)数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前10项和S 10＝________.[答案] 1011[解析] 由题意可知a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，整理可得1a n ＋1－1a n ＝1，则1a n ＝1＋(n －1)＝n ，所以a n ＝1n ，b n ＝a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝1－111＝1011.(理)有限数列A ＝{a 1，a 2，…，a n }，S n 为其前n 项的和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn 为A 的“凯森和”；如果有99项的数列{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为1 000，则有100项的数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为________．[答案] 991[解析] ∵{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为 S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1 000，∴S 1＋S 2＋…S 99＝1 000×99，数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为： 1＋(S 1＋1)＋(S 2＋1)＋…＋(S 99＋1)100 ＝100＋S 1＋S 2＋…＋S 99100＝991. 三、解答题5．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n 项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力．(1)因为{a n }为首项a 1＝19，公差d ＝－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21， S n ＝19n ＋n (n －1)2(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意知b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋S n ＝－n 2＋20n ＋3n －12.6．(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n . [解析] (1)由S n ＝kc n －k ，得 a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)，由a 2＝4，a 6＝8a 3，得⎩⎨⎧kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，解得⎩⎨⎧c ＝2k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n .(2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i ，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n 2T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1∴T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.(理)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .[解析] (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即S ＝S k＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4.从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)，又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1 .所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.。

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第六章数列 6-5 Word版含解析

基础达标检测一、选择题1．已知数列{a n}是首项为a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于()A．1B．－1C．1或－1 D. 2[答案] C[解析]依题意有2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，整理得q4＋q2－2＝0，解得q2＝1(q2＝－2舍去)，所以q＝1或－1，故选C.2．等差数列{a n}的前n项和为S n，S9＝－18，S13＝－52，等比数列{b n}中，b5＝a5，b7＝a7，则b15的值为()A．64 B．－64C．128 D．－128[答案] B[解析]因为S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝－18，S13＝132(a1＋a13)＝13a7＝－52，所以a5＝－2，a7＝－4，又b5＝a5，b7＝a7，所以q2＝2，所以b15＝b7·q8＝－4×16＝－64.3．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等数列的公差等于()A ．0 B.π12 C.π6 D.π4[答案] A[解析] 因A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3，b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，可推得a ＝c ＝b . ∴A ＝B ＝C ，即公差为0.4．等差数列{a n }中，a 1＝a 3＋a 7－2a 4＝4，则a n a n ＋1＋12n 2＋3n 的值为整数时n 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] a 3＋a 7－2a 4＝2d ＝4， ∴d ＝2.∴a n ＝2n ＋2.∴a n a n ＋1＋12n 2＋3n ＝(2n ＋2)(2n ＋4)＋12n 2＋3n＝4＋20n (n ＋3).当n ＝1,2时，符合题意．5．某种细胞开始时有2个，1h 后分裂成4个并死去1个，2h 后分裂成6个并死去1个，3h 后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6h 后细胞存活数是( )A ．33B ．64C．65 D．127[答案] B[解析]每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．6．小正方形按照如图的规律排列：每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n}，有以下结论：①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n＋1＝a n＋n＋1(n∈N＋)．其中正确的命题序号为()A．①②B．①③C．①④D．①[答案] C[解析]当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3；当n＝3时，a3＝6；当n＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有a n＋1＝a n＋n＋1，a5＝15.故①④正确．二、填空题7．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆x2m＋y2n＝1的离心率为________．[答案] 22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝n －m n＝22.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] 2n ＋1－2[解析] ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ， ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.9．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N ＋)等于________．[答案] 6[解析] 本题考查等比数列通项公式，前n 项和公式等．记第一天植树a 1＝2，则第n 天为a n ＝2n，这n 天总共植树S n ＝2(1－2n)1－2＝2(2n－1)，令S n ≥100得n ≥6，所以最少要6天．三、解答题10．(2013·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N ＋函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′(π2)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2(a n ＋12a n)，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1·sin x －a n ＋2cos x对任意n ∈N ＋.f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1. (2)由b n ＝2(a n ＋12a n )＝2(n ＋1＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12[1－(12)n ]1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .能力强化训练一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图像在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为( )A.2 0132 015B.2 0122 013C.2 0132 014D.2 0142 015[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S 2 014＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 013－12 014)＋(12 014－12 015)＝1－12 015＝2 0142 015.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64an的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案] D[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n .∴S n ＋64a n＝n 2＋n ＋642n＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n ，∴n ＝8，故选D.二、填空题3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.[答案] 10[解析] 由等差数列的性质可知2a m ＝a m ＋1＋a m －1，又∵a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，∴a 2m ＝2a m ，∴a m ＝2(a m ＝0不合题意，舍去)，又S 2m －1＝2m －12(a 1＋a 2m －1)＝2m －12×2a m ＝(2m －1)·a m ＝38，∴2m －1＝19. ∴m ＝10.4．(2014·济南模拟)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列{1x n}为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．[答案] 100[解析] 因为数列{1x n}为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20(x 1＋x 20)2＝20(x 3＋x 18)2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3，x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤(x 3＋x 182)2＝100，即x 3x 18的最大值为100.三、解答题5．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{a n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上， ∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)∵b n ＝a n ·3n ，∴b n ＝(2n ＋1)·3n .∴T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)·3n －1＋(2n ＋1)·3n ，① ∴3T n ＝3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ＋(2n ＋1)·3n ＋1.②①－②得－2T n ＝3×3＋2(32＋33＋…＋3n )－(2n ＋1)·3n ＋1＝9＋2×9(1－3n －1)1－3－(2n ＋1)·3n ＋1＝－2n ·3n ＋1∴T n ＝n ·3n ＋1.6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .[解析] (1)由已知点A n (a n ，a n ＋1)在y 2－x 2＝1上知， a n ＋1－a n ＝1，又∵a 1＝2.∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上， ∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，② ①②两式相减得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)， ∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列． (3)证明：由(2)可知b n ＝23·(13)n －1＝23n . ∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)· 23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)<0， ∴c n ＋1<c n .------------------------------------------------------------------------怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．－2 D ．3[答案]C[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝6，a 1＝4，∴d ＝－2.(理)(2013·某某二模)已知等差数列1，a ，b ，且3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则该等差数列的公差为( )A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3 [答案]C[解析]2a ＝1＋b ，(a ＋2)2＝3(b ＋5)，a ＝4或a ＝－2. ∵等比数列中的项不能为0， ∴a ＝4，b ＝7，∴等差数列的公差为3.2．(2013·某某新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案]C[解析]因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.3．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．9 [答案]C[解析]设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.(理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 7＝4a 6＋a 8＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋10d ＝42a 1＋12d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17d ＝－3，∴a n ＝－3n ＋20.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.解得173≤n ≤203，又n ∈N *，∴n ＝6.故选B.法二：S n ＝17n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32(n －376)2＋37224，∵n ∈N *，∴当n ＝6时，S n 取得最大值．故选B.4．(2013·某某一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案]D[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n . ∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.5．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案]B[解析]设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d 10a 1＋12×10×9d＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)(2013·某某省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．641B ．640C ．639D ．638 [答案]B [解析]由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选B.6．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x [答案]D[解析]对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1－x n ＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．(理)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 2014＝( )A.20134029B.20144029 C.40174029D.40184029 [答案]B[解析]依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T 2014＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(14027－14029)]＝12×(1－14029)＝20144029.故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．[答案]20[解析]依题意得①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac .或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc .或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab .由①得a ＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b 2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.8．(文)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案]110[解析]由题意，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10(10－1)2d ＝110.(理)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，则a 11＋a 12＋a 13＝________.[答案]75[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，a 1a 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1(a 1＋2d )＝21， ∵d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝3，∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝75.9．(文)(2013·冀州中学检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析]∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)．两式相减得a n ＝2a n －1，∴a n a n －1＝2.由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n .∴S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝317. (理)(2013·某某某某中学模拟)设m >3，对于项数为m 的有穷数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k (k ≤m )中最大值，称数列{b n }为{a n }的“创新数列”．例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2，…，m (m >3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}．若m ＝4，则创新数列为3,4,4,4的所有数列{a n }为________．[答案]3,4,2,1或3,4,1,2[解析]由数列{a n }的创新数列定义知，a 1＝3，a 2＝4，由于c 3＝4，∴a 3≤4，又{a n }是1,2,3,4的一个排列，∴a 3≠3,4，∴a 3＝1或2，由于c 4＝4， ∴当a 3＝1时，a 4＝2；当a 3＝2时，a 4＝1， ∴数列{a n }为3,4,1,2或3,4,2,1. 三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12(16n －5－16n ＋1)， ∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2. (理)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[解析](1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.[点评] 在等差数列和等比数列中，已知具体项或某几项的和等条件时，常选用“基本量法”来求解，即把已知条件均用数列的首项、公差或首项、公比来表示；概率中的古典概型关键是能正确列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A ．－2或－3B ．2或3C ．－2D ．3 [答案]A[解析]由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6，由S 15＝m 得a 8＝m15.又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根，解之得m ＝0，或m ＝－45，则a 8＝0，或a 8＝－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3.(理)(2013·某某六中月考)已知a >0，b >0，若2是4a 与2b 的等比中项，则2a ＋1b的最小值为( )A ．2 2B ．8C ．9D ．10 [答案]C[解析]由条件知：4a ·2b ＝(2)2， ∴22a ＋b ＝21，∴2a ＋b ＝1， ∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9，等号在⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时成立．12．(2013·某某市调研)已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( )A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或12[答案]A[解析]由条件知2S 9＝S 3＋S 6，∴2a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－12，∵q ≠1，∴q 3＝－12.13．(文)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L ，下面3节的容积共4L ，则第5节的容积为( )A ．1L B.6766L C.4744L D.3733L[答案]B[解析]设该数列为{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解之得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝6766.(理)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →等于( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1 [答案]A[解析]S 29＝S 4000⇒a 30＋a 31＋…＋a 4000＝0⇒a 2015＝0，又P (1，a n )，Q (2015，a 2015)，则OP →＝(1，a n )，OQ →＝(2015，a 2015)， ∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2015，a 2015)＝2015＋a n a 2015＝2015，故选A. 二、填空题14．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.[答案]4[解析]由条件知，S k ＋S k ′＝k (k －1)2d ＋k (k －1)2d ′－4k ＝k (k －1)(d ＋d ′)2－4k ＝0，∵k 是正整数，∴(k －1)(d ＋d ′)＝8， ∴a k ＋b k ＝(k －1)d －4＋(k －1)d ′ ＝(k －1)(d ＋d ′)－4＝4. 三、解答题15．(文)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .[解析](1)由2S n ＝a n ＋1，n ＝1代入得a 1＝1，两边平方得4S n ＝(a n ＋1)2①①式中n 用n －1代替得4S n －1＝(a n －1＋1)2 (n ≥2)②①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2,0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2， [(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0， ∵{a n }是正数数列，∴a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n 2n ＋1.(理)(2013·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析](1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0，所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. 当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2， …b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．16．(文)(2013·某某适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设＝b n ·2n ，求数列{}的前n 项和S n .[解析](1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n ＝4， ∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列．1a n＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，①2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.(理)(2013·某某调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a 2n 2n }的前n 项和S n . [解析](1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n 2n ＝2n －12n ，于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，②①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，所以S n ＝3－2n ＋32n .考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充材料1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则(1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大； (2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．备选习题1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6[答案]D[解析]∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝a 3＋a 92＝0，∴S 5＝S 6. 2．(2013·某某模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11[答案]B[解析]因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.3．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i ≥5?D ．i <6?[答案]D[解析]由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋1i (i ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋1＝i i ＋1，故要输出S ＝56，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若＝b n a n，求数列{}的前n 项和T n . [解析](1)由题意S n ＝2－a n ，①当n ≥2时，S n －1＝2－a n －1，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1；由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9，所以d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1. 综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1. (2)＝b n a n＝(2n －1)·2n －1， T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，④ ③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2×2－2n1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a 1和公差d 的值，由条件a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{b n }，可考虑利用等差数列的定义，研究使b n ＋1－b n (n ∈N *)为一个常数时需要满足的条件．[解析](1)由题设知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c，因为c ≠0，所以可令c ＝－12，得到b n ＝2n . 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．。

【走向高考】高三数学一轮总复习 6-5数列的综合应用同步练习北师大版

6-5数列的综合应用基础巩固一、选择题1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14 028，则出齐这套书的年份是( )A ．2004B ．2006C ．2008D ．2010[答案] D[解析] 设出齐这套书的年份数是x ，则有7x －7×62×2＝14 028.解得x ＝2010.2．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等数列的公差等于( )A ．0 B.π12 C.π6D.π4 [答案] A[解析] 因A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3，b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，可推得a ＝c ＝b .∴A ＝B ＝C ，即公差为0.3．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n}(n ∈N ＋)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 4．(2013·浙江金华一中12月月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( ) A ．7 B ．8 C.152D.172[答案] D[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n .∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.5．某种细胞开始时有2个，1h 后分裂成4个并死去1个，2h 后分裂成6个并死去1个，3h 后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6h 后细胞存活数是( )A ．33B ．64C ．65D ．127[答案] B[解析] 每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．6．小正方形按照如图的规律排列：每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论： ①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N ＋)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…，观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．二、填空题7．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．[答案]22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝n －m n＝22. 8．已知α∈(0，π2)∪(π2，π)，且sin α，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．[答案]2π3[解析] 由题意，sin 22α＝sin α·sin4α， ∴sin 22α＝2sin α·sin2α·cos2α，即sin2α＝2sin α·cos2α，∴2sin αcos α＝2sin α·cos2α，即cos α＝cos2α， ∴2cos 2α－1＝cos α，∴(2cos α＋1)(cos α－1)＝0. 解得cos α＝1(舍去)或cos α＝－12，∴α＝2π3.三、解答题9．(2012·湖南文，20)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．[解析] (1)由题意得a 1＝2000(1＋50%)－d ＝3000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32(32a n －2－d )－d＝(32)2a n －2－32d －d ＝… ＝(32)n －1a 1－d [1＋32＋(32)2＋…＋(32)n －2]．整理得a n ＝(32)n －1(3 000－d )－2d [(32)n －1－1]＝(32)n －1(3 000－3d )＋2d . 令a m ＝4 000得(32)m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000.解之得d ＝m－2m ＋13m －2m .所以该企业每年上缴资金d 的值为m－2m ＋13m －2m 时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.能力提升一、选择题1．(文)一个凸多边形，它的各内角度数成等差数列，最小角为60°，公差为20°，则这个多边形的边数是( )A ．3B ．4C ．5或9D ．4或9[答案] B[解析] 设边数为n ，则60°n ＋n n －2·20°＝(n －2)·180°，解得n ＝4或9.当n ＝9时，最大内角度数为60°＋(9－1)×20°＝220°>180°，故舍去． (理)下表给出一个“直角三角形数阵” 14 12，14 34，38，316……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且诸行的公比都相等，记第i 行，第j 列的数列为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N )，则a 83等于( )A.18B.14 C.12 D ．1[答案] C[解析] 由已知在第一列构成的等差数列中，首项为14，公差为14，∴a 81＝14＋(8－1)·14＝2，在每行构成的等比数列中公比q ＝12，∴a 83＝2·(12)2＝12.2．(2012·北京理，8)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为( )A ．5B ．7C ．9D ．11[答案] C[解析] 本题考查了读图、识图的能力及分析问题、解决问题的能力．由于目的是使平均产量最高，就需要随着n 增大，变化超过平均值的加入，随着n 的增大，变化不足值就舍去．由图可知6、7、8、9这几年增长最快，超出平均值，所以应该加入，故选C.二、填空题3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. [答案] 10[解析] 由等差数列的性质可知2a m ＝a m ＋1＋a m －1，又∵a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，∴a 2m ＝2a m ，∴a m ＝2(a m ＝0不合题意，舍去)，又S 2m －1＝2m －12(a 1＋a 2m －1)＝2m －12×2a m ＝(2m －1)·a m ＝38，∴2m －1＝19. ∴m ＝10.4．设f (x )是定义域为R 且恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．[答案] [12，1)[解析] 因a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12a n ，故S n ＝12[1－12n]1－12＝1－(12)n，∵n ≥1，n ∈N ，∴S n ∈[12，1)．三、解答题5．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·3n，求数列{a n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上， ∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)∵b n ＝a n ·3n ，∴b n ＝(2n ＋1)·3n. ∴T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)·3n －1＋(2n ＋1)·3n，①∴3T n ＝3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n＋(2n ＋1)·3n ＋1.②①－②得－2T n ＝3×3＋2(32＋33＋ (3))－(2n ＋1)·3n ＋1＝9＋2×－3n －11－3－(2n＋1)·3n ＋1＝－2n ·3n ＋1∴T n ＝n ·3n ＋1.6．(文)数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．[解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N ＋)又a 1＝13，故a n ＝(13)n(n ∈N ＋)从而S n ＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n](n ∈N ＋) (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327，从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. (理)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，…，P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N ＋)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n n －2d ，∴S n n＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d .∴点P n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上．∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N ＋)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．7．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M更新．证明：须在第9年初对M 更新．[解析] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n－6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，34n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6.A n ＝780－34n －6n因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又 A 8＝780－3428＝824764>80，A 9＝780－3439＝767996<80，所以须在第9年初对M 更新．。

6-4走向高考数学章节-53页文档资料

学
配
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列
北师
大
对应项相乘构成的数列求和；
(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方
法．
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第六章数列
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·( )
版《走向高考》高考总复习
数学配北师大
第六章数列
基础自测
·( )
1．(2011·威海模拟)设 f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈
第六章数列
知识梳理
·( )
版《
1．当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋
走向高
f(2)＋…＋f(n)可求，则可用
累加法
求数列的通项an.
考》
高
2．当已知数列{an}中，满足aan＋n1＝f(n)，且 f(1)·f(2)·…·f(n)
考总复习
可求，则可用累积法求数列的项通 an.
版《走
向
N*)，则 f(n)等于( )
高考》
高
A.27(8n－1)
B.27(8n＋1－1)
考总复习
C.27(8n＋2－1) [答案] B
D.27(8n＋3－1)
数学配北师
[解析] 由题意发现，f(n)即为一个以 2 为首项，公比 q 大
＝23＝8，项数为 n＋1 的等比数列的和．由公式可得 f(n)＝
Sn＋1＝a111－－qqn＋1＝211－－88n＋1＝27(8n＋1－1)．
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第六章数列

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第六章数列 6-3 Word版含解析

基础达标检测一、选择题1．(文)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( )A ．2 B. 2 C.22 D.12[答案] B[解析] ∵a 3·a 9＝(a 6)2＝2a 25， ∴(a 6a 5)2＝2，又{a n }的公比为正数，∴q ＝a 6a 5＝ 2.∴a 1＝a 2q ＝ 2.(理)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2[答案] A[解析] ∵{a n }为正项等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，且a 4a 5a 6>0， ∴a 4a 5a 6＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝52，故选A.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．243[答案] A[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，∴由a 1＋a 1q ＝3得a 1＝1，∴a 7＝1×27－1＝64.3．(文)(2013·新课标Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n[答案] D[解析] 本题考查等比数列前n 项和S n 与通项a n 之间的关系，由题意得，a n ＝(23)n －1，S n ＝1－(23)n 1－23＝1－23(23)n －113＝3－2a n ，选D. (理)(2013·新课标Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19[答案] C[解析] ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， a 3＝9a 1＝a 1q 2，∴q 2＝9，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 3，∴a 3＝1，又a 3＝9a 1，故a 1＝19.4．(文)一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项[答案] B[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，a n1qn (n －1)2＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n ＝642.所以n ＝12.(理)设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20＝( )A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．10 240[答案] C[解析] ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N ＋)， ∴log 2x n ＋1＝log 2(2x n )， ∴x n ＋1＝2x n ，x n ＋1x n＝2(n ∈N ＋)，又x n >0(n ∈N ＋)，所以数列{x n }是公比为2的等比数列，由x 1＋x 2＋…＋x 10＝10得到x 1＝10210－1，所以S 20＝x 1(1－220)1－2＝10×(210＋1)＝10 250.5．(文)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7[答案] D[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8⇒a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， a 4＝4，a 7＝－2⇔a 1＝－8，a 10＝1⇔a 1＋a 10＝－7， a 4＝－2，a 7＝4⇒a 10＝－8，a 1＝1⇔a 1＋a 10＝－7.(理)(2014·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n －13D.22n －23[答案] C[解析] 依题意，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1，a n ＝2n －1也适合a 1. 因此，a n ＝2n －1，a n ＋1a n＝2，数列{a n }是等比数列．数列{a n }的奇数项的前n 项和为1×(1－22n )1－22＝22n －13. 6．(2014·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32 C ．1 D ．－32[答案] B[解析] 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3 ，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 二、填空题7．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N ＋都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.[答案] 11[解析] 本题考查了等比数列通项公式，求和公式等，设{a n }公比为q ，则a n ＋2＋a n ＋1 －2a n ＝a 1q n ＋1＋a 1q n －2a 1q n －1＝0，所以q 2＋q －2＝0，即q ＝－2，q ＝1(舍去)，∴S 5＝1－(－2)51－(－2)＝11.8．在等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于________．[答案] 13(4n －1)[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1， ∴a 1＝1，a 2＝2，q ＝2 又∵{a n }是等比数列∴{a 2n }也是等比数列，首项为1，公比为4 ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝13(4n －1)． 9．(2013·辽宁高考)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.[答案] 63[解析] 本题考查等比数列的基本运算问题．因为方程x 2－5x ＋4＝0的两根为1,4.由a 1，a 3是方程的两根且数列是递增数列知，a 1＝1，a 3＝4，所以公比q ＝2，S 6＝1－261－2＝63.三、解答题10．(文)S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，且公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项．(1)求S 2和S 3；(2)求此数列{a n }的前n 项和公式．[解析](1)根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧12S 2＋13S 3＝2，(2S 2)(3S 3)＝36.整理得⎩⎨⎧3S 2＋2S 3＝12，(3S 2)(2S 3)＝36.解得3S 2＝2S 3＝6，即⎩⎨⎧S 2＝2，S 3＝3.(2)∵q ≠1，则⎩⎨⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝3.可解得q ＝－12，a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83－83(－12)n. (理)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列． [解析] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3. (2)数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2，所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2，因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．能力强化训练一、选择题1．(文)在正项等比数列{a n }中，若a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，则log 2a 7－12log 2a 8＝( )A.18B.16C.14D.12[答案]D[解析] ∵a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，∴a 6＝2， ∴log 2a 7－12log 2a 8＝log 2a 7a 8＝log 2a 6a 8a 8＝log 2a 6＝log 22＝12.(理)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12[答案] B[解析] 设{a n }的公比为q ，则q >0. ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列， ∴a 3＝a 1＋a 2，∴a 1q 2＝a 1＋a 1q ， ∵a 1≠0，∴1＋q ＝q 2，又∵q >0，∴q ＝5＋12， ∴a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝5＋12. 2．(2014·武汉模拟)等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0，且q >1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1>a n ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 [答案] A[解析] 易知，当a 1>0且q >1时，a n >0，所以a n ＋1a n＝q >1，表明a n ＋1>a n ；若对任意自然数n ，都有a n ＋1>a n 成立，当a n >0时，同除a n 得q >1，但当a n <0时，同除a n 得0<q <1. 也可举反例，如a n ＝－12n . 二、填空题3．若数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则a n 等于________．[答案] 2n －1[解析] a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2a 3－a 2＝22…a n－a n －1＝2n －1相加：a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， ∴a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1.4．(文)已知等比数列{a n}为递增数列，若a1>0，且2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的公比q＝________.[答案]2[解析]本题考查了等比数列的通项公式．∵{a n}是递增的等比数列，且a1>0，∴q>1，又∵2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，∴2a n＋2a n q2＝5a n q，∵a n≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12(舍去)，∴公比q为2.(理)已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的通项公式a n＝________.[答案]2n[解析]本题考查等比数列通项公式的求法．由题意，a25＝a10，则(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q.又∵2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，∴2q2－5q－2＝0，∵q>1，∴q＝2，a1＝2，∴a n＝a1·q n－1＝2n.三、解答题5．(2013·四川高考)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比及前n 项和．[解析] 根据题意确定数列的首项及公比．再利用等比数列的前n 项和公式求解．设该数列的公比为q ，由已知可得由a 2－a 1得a 1q －a 1＝2，即a 1(q －1)＝2.由6a 1＝2a 2＋a 3得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以数列的前n 项和S n ＝3n －12.6．(文)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．[解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.(理)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和． [解析] (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13，由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2nn ＋1.所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1.。

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第六章数列 6-4 Word版含解析

基础达标检测一、选择题1．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为( )A ．700B ．710C ．720D ．730[答案] C[解析] 因为{a n }，{b n }都是等差数列，由等差数列的性质可知，{a n ＋b n }的前20项的和为S 20＝20(a 1＋a 20)2＋20(b 1＋b 20)2＝10(a 1＋b 1＋a 20＋b 20)＝10×(5＋7＋60)＝720.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 [答案] A[解析] 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.3．(2014·三门峡模拟)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121[答案] C [解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.4．(2013·全国大纲)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)[答案] C[解析] 本题考查等比数列的定义，前n 项和的求法． 3a n ＋1＋a n ＝0 ∴a n ＋1a n＝－13＝qa 2＝a 1·q ＝－13a 1＝－43，∴a 1＝4 ∴S 10＝4[1－(－13)10]1＋13＝3(1－3－10)．5．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 考查等比数列的性质、通项、等差数列求和及对数的运算法则．∵{a n }为等比数列，且a 5·a 2n －5＝22n ，∴a 2n ＝22n ，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1. ∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1 ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.6．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( ) A ．2－12n －n2n ＋1B ．2－12n －1－n2nC.12(n 2＋n ＋2)－12nD.12n (n ＋1)＋1－12n －1[答案] B[解析] S ＝1×12＋2×14＋3×18＋4×116＋…＋n ×12n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①则12S ＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1，②①－②得12S ＝12＋122＋123＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1.∴S ＝2－12n －1－n2n .二、填空题7．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.[答案] 54[解析] 由等差数列的性质，a 2＋a 8＝18－a 5，即2a 5＝18－a 5，∴a 5＝6， S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝54. 8．(文)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________，前n 项和S n ＝________.[答案] 2 2n ＋1－2[解析] 本题考查了等比数列性质，前n 项和公式等．由题意a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴q ＝2，又由a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3知a 1＝2，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(理)(2013·重庆高考)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n为其前n 项和，若a 1、a 2、a 5成等比数列，则S 8＝________.[答案] 64[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 22＝a 1a 5，∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，即d 2＝2d ，∵d ≠0，∴d ＝2， ∴S 8＝8×1＋8×72×2＝64.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)，则S 100＝________.[答案] 2 600[解析] 由已知，得a 1＝1， a 2＝2， a 3－a 1＝0， …a 99－a 97＝0， a 100－a 98＝2，累加得a 100＋a 99＝98＋3，同理得a 98＋a 97＝96＋3，…，a 2＋a 1＝0＋3，则a 100＋a 99＋a 98＋a 97＋…＋a 2＋a 1 ＝50×(98＋0)2＋50×3＝2 600. 三、解答题10．(文)(2013·江西高考)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)．T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).(理)(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10，即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.能力强化训练一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A.212 B ．6 C ．10 D ．11[答案] B[解析] 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项，偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6.2．(文)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N ＋)，设其前n项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值32[答案] B[解析] S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋log 245＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×45×…×n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2<－5，∴2n ＋2<132，∴64<n ＋2， ∴n >62，∴n min ＝63.(理)已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N ＋)，若称使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 为劣数，则在区间(1,2 015)内所有的劣数的和为( )A ．2 026B ．2 046C ．1 024D ．1 022[答案] A[解析] ∵a 1.a 2.a 2.....a n ＝lg3lg2.lg4lg3.....lg (n ＋2)lg (n ＋1)＝lg (n ＋2)lg2＝log 2(n ＋2)＝k ，则n ＝2k －2(k ∈Z )．令1<2k －2<2015，得k ＝2,3,4， (10)∴所有劣数的和为4(1－29)1－2－18＝211－22＝2 026.二、填空题3．设f (x )＝12x ＋2，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________．[答案] 5 2[解析] ∵f (－n )＋f (n ＋1)＝12－n ＋2＋12n ＋1＋2＝2n 1＋2n ·2＋12n ＋1＋2＝2n ·2＋12n ＋1＋2＝22， ∴f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)＝5 2.4．(文)数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前10项和S 10＝________.[答案] 1011[解析] 由题意可知a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，整理可得1a n ＋1－1a n ＝1，则1a n ＝1＋(n －1)＝n ，所以a n ＝1n ，b n ＝a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝1－111＝1011.(理)有限数列A ＝{a 1，a 2，…，a n }，S n 为其前n 项的和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn 为A 的“凯森和”；如果有99项的数列{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为1 000，则有100项的数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为________．[答案] 991[解析] ∵{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为 S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1 000， ∴S 1＋S 2＋…S 99＝1 000×99，数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为： 1＋(S 1＋1)＋(S 2＋1)＋…＋(S 99＋1)100 ＝100＋S 1＋S 2＋…＋S 99100＝991. 三、解答题5．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n 项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力．(1)因为{a n }为首项a 1＝19，公差d ＝－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21， S n ＝19n ＋n (n －1)2(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意知b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋S n ＝－n 2＋20n ＋3n －12.6．(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n . [解析] (1)由S n ＝kc n －k ，得 a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)，由a 2＝4，a 6＝8a 3，得⎩⎨⎧kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，解得⎩⎨⎧c ＝2k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)，于是a n＝2n .(2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i ，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n 2T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1∴T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.(理)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n的前n 项和T n . [解析] (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即S ＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4.从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)，又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1 .所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-6指数与指数函数课后强化作业北师大版

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-6指数与指数函数课后强化作业北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)函数y ＝log 2x 的图像大致是( )A B C D[答案]C[解析]考查对数函数的图像．(理)函数f (x )＝2|log 2x |的图像大致是( )[答案]C[解析]∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C. 2．设f (x )＝lg 2＋x 2－x，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)[答案]B[解析]f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，要使f (x 2)＋f (2x)有意义应满足⎩⎨⎧ x ≠0，－2<x 2<2，－2<2x <2，解得－4<x <－1或1<x <4，故B 正确． 3．(2013·某某高考)设a ，b ，c 为均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c[答案]B[解析]本题考查对数的运算法则，运算性质．由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，B 正确．4．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a，b ) B ．(10a,1－b ) C ．(10a，b ＋1) D ．(a 2,2b ) [答案]D[解析]该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．由题意知b ＝lg a ，对于A 选项，lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，对B 选项lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ≠1－b .对C 选项lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，对D ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，故(a 2,2b )在图像上．5．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．不单调的函数[答案]A[解析]由于x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，所以a >1，因而f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．6．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)且a >b >c >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c的大小关系是( ) A.f (a )a >f (b )b >f (c )c B.f (c )c >f (b )b >f (a )aC.f (b )b >f (a )a >f (c )cD.f (a )a >f (c )c >f (b )b[答案]B[解析]∵f (a )a 、f (b )b 、f (c )c可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像及a >b >c >0可知f (c )c >f (b )b >f (a )a.故选B. 二、填空题7．(2013·某某高考)lg 5＋lg 20的值是________．[答案]1[解析]本题考查对数的运算． lg 5＋lg 20＝lg5 12 ＋lg20 12 ＝12lg5＋12lg20 ＝12(lg5＋lg20)＝12lg100＝1. 8．(文)方程log 2(x 2＋x )＝log 2(2x ＋2)的解是________．[答案]x ＝2[解析]原方程⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x >0，2x ＋2>0，x 2＋x ＝2x ＋2，解得x ＝2.(理)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．[答案] 5[解析]log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4x ＋1，解得x ＝±5(负值舍去)，所以x ＝ 5.9．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．[答案](－∞，0)[解析](等价转化法)令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的单调减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是(－∞，0)．三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值X 围．[解析](1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值X 围是{x |0<x <1}.能力强化训练一、选择题1．(2013·某某高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f (lg 12)＝() A ．－1 B ．0C ．1D ．2[答案]D[解析]本题主要考查函数的性质与换底公式．∵f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1 ＝－ln(1＋9x 2＋3x )＋1，f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，∴f (x )＋f (－x )＝2，又lg 12＝－lg2，∴f (lg2)＋f (lg 12)＝2，故选D. 2．(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14B.12C ．2D ．4[答案]B[解析]∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性．∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12. (理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e － 12 ，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x[答案]D[解析]本小题主要考查了对数、指数的性质的运用．∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e － 12 ＝1e且e<2<log 25 ∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D.二、填空题3．(改编题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值X 围是________． [答案](－∞，－1)∪(0，33)[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 3a <13，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值X 围是________．[答案]{x |－1<x ≤0或x >2}[解析]当x ≤0时，由3x ＋1>1，得x ＋1>0，即x >－1.∴－1<x ≤0.当x >0时，由log 2x >1，得x >2.∴x 的取值X 围是{x |－1<x ≤0或x >2}．三、解答题5．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是x 的减少的，若存在，求a 的取值X 围．[分析] 参数a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a 的取值X 围的制约．[解析]∵a >0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 是x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]是减少的，∴函数y ＝log a u 是u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎨⎧a >12－a >0即1<a <2. ∴a 的取值X 围是(1,2)．6．(文)已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)求f (x )在[－1,0)上的解析式；(2)求f (log 1224)的值．[解析](1)令x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1]，∴f(－x)＝2－x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，∴f(x)＝－⎝⎛⎭⎫12x＋1.(2)∵log1224＝－log224∈(－5，－4)，∴log1224＋4∈(－1,0)，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(log1224)＝f(log1224＋4)＝－⎝⎛⎭⎫12log1224＋4＋1＝－24×116＋1＝－12.(理)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)．[解析](1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74. (2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或0<x <1，－1<x <2⇒0<x <1. ∴x 的取值X 围为(0,1)．。

走向高考一轮课后强化作业北师大：第六章数列 62 含解析

基础达标检测一、选择题1．(文)如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35[答案] C[解析] 由a 3＋a 4＋a 5＝12得，a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28.(理)若等差数列{a n }的前5项和为S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 [答案] B[解析]由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝25，a 1＋d ＝3∴⎩⎨⎧a 1＝1d ＝2，∴a 7＝a 1＋6d ＝1＋6×2＝13.2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．44[答案] C[解析] S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C. 3．(文)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24[答案] B[解析] 本题考查等差数列的性质．由等差数列的性质得，a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16，B 正确． (理)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24 [答案] B[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质以及等差数列通项公式．S 11－S 10＝a 11＝0，a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0，所以a 1＝20.4．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a nn }是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4[答案] D[解析] 对于p 1，数列{a n }的公差d >0，所以数列是递增数列；对于p 4，因为(a n ＋1＋3(n ＋1)d )－(a n ＋3nd )＝d ＋3d ＝4d >0，是递增数列．对于p 2，因为(n ＋1)a n ＋1－na n ＝(n ＋1)a n ＋(n ＋1)d －na n ＝a 1＋2nd ，a 1不知道正负，不一定大于零，所以不一定是递增数列；同理，对于p 3，也不一定是递增数列，选D.5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5[答案] D[解析] 由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5.6．(2013·安徽高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2[答案] A[解析]⎩⎨⎧S 3＝4a 3a 7＝－2⇒⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝4a 1＋8d a 1＋6d ＝－2⇒⎩⎨⎧a 1＝10，d ＝－2.∴a 9＝a 1＋8d ＝－6. 二、填空题7．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. [答案] －1[解析] 本题考查了对等差数列前n 项和的理解和应用，同时还考查了等差数列的运算性质及考生灵活处理问题的能力．∵S 2＝S 6，∴S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，又∵a 3＋a 6＝a 4＋a 5， ∴S 6－S 2＝2(a 4＋a 5)＝0， ∴a 4＋a 5＝0，又∵a 4＝1，∴a 5＝－1.8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，则S 9＝________.[答案] 54[解析] 设首项为a 1，公差为d ，由S 4＝14得 4a 1＋4×32d ＝14.①由S 10－S 7＝30得3a 1＋24d ＝30，即a 1＋8d ＝10.②联立①②得a1＝2，d＝1，∴S9＝54.9．在等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是________．[答案]5或6[解析]∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，∴a1＋2d＝－a1－8d，∴a1＋5d＝0，∴a6＝0，∴a n>0(1≤n≤5)，∴S n取得最大值时的自然数n是5或6.三、解答题10．(2013·新课标Ⅱ)已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.[解析](1)设{a n}的公差为d，由题意，a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故a n＝－2n＋27.(2)令S n＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2) ＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n .能力强化训练一、选择题1．(2013·新课标Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1， S m ＝a 1m ＋m (m －1)2·1＝0，① a m ＝a 1＋(m －1)·1＝2， ∴a 1＝3－m .②②代入①得3m －m 2＋m 22－m2＝0，∴m ＝0(舍去)或m ＝5，故选C.2．(文)若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项[答案] A [解析]依题意⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝34a n －2＋a n －1＋a n ＝146，两式相加得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝180. ∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴a 1＋a n ＝60. ∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝390，∴n ＝13. (理)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2015，S 2 0142 014－S 2 0122 012＝2，则S 2 015的值为( )A ．－2 014B ．2 015C ．2 014D ．－2 015[答案] D[解析] 设S n ＝An 2＋Bn ，则S nn ＝An ＋B ，S 2 0142 014－S 2 0122 012＝2A ＝2，故A ＝1.又a 1＝S 1＝A ＋B ＝－2 015，∴B ＝－2 016. ∴S 2 0152 015＝2 015－2 016＝－1.∴S 2015＝－2 015. 二、填空题3．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N＋，n ≥2)，则S 2 015等于________． [答案] 4 030[解析] ∵a n －1＋a n ＋1＝2a n ，∴a 2n －a n －1－a n ＋1＝a 2n －2a n ＝0，解得a n ＝2或a n ＝0(舍)． ∴S 2 015＝2×2 015＝4 030.4．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.[答案] 10[解析] 本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式以及基本运算能力．设等差数列公差为d ，则a n ＝1＋(n －1)d ， ∵S 4＝S 9，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴a 7＝0， ∴1＋6d ＝0，d ＝－16.又a 4＝1＋3×(－16)＝12，a k ＝1＋(k －1)(－16)， ∴12＋1＋(k －1)(－16)＝0，解得k ＝10. 三、解答题5．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝1，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .[解析]由a 4＝1，S 15＝75得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝115a 1＋15×142d ＝75，解得a 1＝－2，d ＝1.∴S n ＝－2n ＋n (n －1)2×1＝12n 2－52n ， ∴S n n ＝12n －52，而S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为12的等差数列，首项S 11＝－2. ∴T n ＝－2n ＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .6．(2013·全国大纲)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d .因为⎩⎨⎧a 7＝4a 19＝2a 9，所以⎩⎨⎧a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝2(a 1＋8d )，解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)因为b n ＝1na n ＝2n (n ＋1)＝2n －2n ＋1，所以S n ＝(21－22)＋(22－23)＋…＋(2n －2n ＋1)＝2nn ＋1.。

【走向高考】高三数学一轮阶段性测试题6 数列(含解析)北师大版

阶段性测试题六(数列)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·福建高考)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14[答案] C[解析] 本题考查等差数列的通项公式．由a1＝2，S3＝3a1＋3×22d ＝6＋3d ＝12可得d ＝2，∴a6＝a1＋5d ＝12.注意熟记等差数列的常见性质，如d ＝an －am n －m. 2．在数列{an}中，a1＝1，点(an ，an ＋1)在直线y ＝2x 上，则a4的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．16[答案] B[解析] 因为点(an ，an ＋1)在直线y ＝2x 上，即an ＋1＝2an ，所以数列{an}是公比为2的等比数列，所以a4＝a1q3＝23＝8，选B ．(理) 已知{an}为等差数列，若a3＋a4＋a8＝9，则S9＝( )A ．15B ．24C ．27D ．54[答案] C[解析] 由已知a3＋a4＋a8＝3a1＋12d ＝9，故a1＋4d ＝3，即a5＝3，∴S9＝9a1＋a92＝9a5＝27.3．(2015·河南三市调研)设{an}是等比数列，Sn 是{an}的前n 项和，对任意正整数n ，有an ＋2an ＋1＋an ＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0[答案] A[解析] 设等比数列的公比为q.由an ＋2an ＋1＋an ＋2＝0得an(1＋2q ＋q2)＝0，因为a n≠0，所以1＋2q ＋q2＝0，解得q ＝－1，所以S101＝a1＝2.4．(文)在等比数列{an}中，a2016＝8a2013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8[答案] A[解析] ∵a2016＝8a2013，∴q3＝a2016a2013＝8，∴q ＝2.(理)设Sn 为等比数列{an}的前n 项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 根据题意将3S3＝a4－2和3S2＝a3－2相减得：3(S3－S2)＝a4－a3，则3a3＝a4－a3,4a3＝a4，所以q ＝a4a3＝4.5．(2015·昆明第一次调研)设Sn 是公差不为0的等差数列{an}的前n 项和，若a1＝2a8－3a4，则S8S16＝( )A ．310B ．13C ．19D ．18[答案] A[解析] 由已知得a1＝2a1＋14d －3a1－9d ，∴a1＝52d ，又S8S16＝8a1＋28d 16a1＋120d，将a1＝52d 代入化简得S8S16＝310. 6．(文)已知等比数列{an}的首项a1＝1，公比q ＝2，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a11＝( )A ．50B ．35C ．55D ．46[答案] C[解析] 因为等比数列{an}的首项a1＝1，公比q ＝2，所以a6＝25，故log2a1＋log2a2＋…＋log2a11＝log2a1a2…a11＝log2a116＝log2(25)11＝log2255＝55，故选C ．(理)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8＝( ) A ． 2 B ．3－2 2C ．3＋2 2D ． 3[答案] C[解析] a1，12a3,2a2成等差数列，所以a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q ，解得q ＝1＋2，a9＋a10a7＋a8＝q2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 7．在等差数列{an}中，a1＝－28，公差d ＝4，若前n 项和Sn 取得最小值，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或 8D ．8或9[答案] C[解析] an ＝a1＋(n －1)d ＝－28＋4(n －1)＝4n －32，由an≤0得4n －32≤0，即n≤8.即a8＝0.当n<7时，an<0.所以要使Sn 取得最小值，则有S7＝S8最小，选C ．8．(2014·保定调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an ＋1＝2an ＋1，则其通项公式为an ＝( )A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)[答案] A[解析] 由题意知an ＋1＋1＝2(an ＋1)，∴an ＋1＝(a1＋1)·2n －1＝2n ，∴an ＝2n －1.9．在数列{an}中，已知an ＋1＋an －1＝2an(n ∈N ＋，n≥2)，若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →，满足OC →＝a1008OA →＋a1009OB →，三点A 、B 、C 共线，且直线不过O 点，则S2016等于( )A ．1008B ．1009C ．2015D ．2016[答案] A[解析] 由条件知{an}成等差数列，∵A 、B 、C 共线，∴a1008＋a1009＝1，∴S2016＝2016a1＋a20162＝1008(a1008＋a1009)＝1008. 10．已知函数f(x)＝x2－ax 的图像在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，若数列{1f n }的前n 项和为Sn ，则S2015的值为( )A ．12015B ．12016C ．20142015D ．20152016[答案] D[解析] f ′(x)＝2x －a ，由已知得f ′(1)＝3，所以a ＝－1，所以1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，所以Sn ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1，故S2015＝20152016.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6＝________.[答案] 4[解析] 因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，所以a6＝a2q4＝1×22＝4.12．(2014·北京高考)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．[答案] 8[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n 项和．由等差数列的性质，a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，于是有a8>0，a8＋a9<0，故a9<0，故S8>S7，S9<S8，S8为{an}的前n 项和Sn 中的最大值．等差数列{an}中首项a1>0公差d<0，{an}是一个递减的等差数列，前n 项和有最大值，a1<0，公差d>0，{an}是一个递增的等差数列，前n 项和有最小值．13．若数列{an}满足a1＝2且an ＋an －1＝2n ＋2n －1，Sn 为数列{an}的前n 项和，则log2(S2015＋2)＝________.[答案] 2016[解析] 因为a1＋a2＝22＋2，a3＋a4＝24＋23，a5＋a6＝26＋25，….所以S2015＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2015＝21＋22＋23＋24＋…＋22014＋22015＝21－220151－2＝22016－2. 故log2(S2015＋2)＝log222016＝2016.14．已知数列{an}，其前n 项和Sn ＝n2＋n ＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝________.[答案] 100[解析] a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7＝(122＋12＋1)－(72＋7＋1)＝100.15．如图，将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列a1，a2，a5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若a4＝5，a86＝518，则d ＝________.a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9…[答案] 32[解析] ∵a4＝5，∴a2＝5－2D ．又∵第1行到第9行共有1＋3＋5＋…＋17＝81项，∴第10行的第1项为a82＝a86－4d ＝518－4D ．又表中的第1列a1，a2，a5，…，a82是公比为2的等比数列，∴a82＝a2·28，即518－4d ＝(5－2d)·28，解得d ＝32.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a2, a3, a4＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝2n an ＋2，求数列{bn}的前n 项和Sn. [解析] (1)设数列{an}的公差为d ，由a1＝2和a2，a3，a4＋1成等比数列，得(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)解得d ＝－1或d ＝2.当d ＝－1时，a3＝0，这与a2，a3，a4＋1成等比数列矛盾舍去．所以d ＝2.∴an ＝a1＋(n －1)d ＝2n ，即数列{an}的通项公式为an ＝2n ，(n ∈N*)．(2)bn ＝2n an ＋2＝2n 2n ＋2＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1.∴Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 17．(本小题满分12分)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5 ＝45，a2 ＋a6 ＝14.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：b12＋b222＋…＋bn 2n ＝an ＋1(n ∈N*)，求{bn}的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d ，则依题设知d>0.由a2＋a6＝14，可得a4＝7.由a3a5＝45，得(7－d)(7＋d)＝45，可得d ＝2.所以a1＝7－3d ＝1.可得an ＝2n －1.(2)设cn ＝bn 2n ，则c1＋c2＋…＋cn ＝an ＋1.即c1＋c2＋…＋cn ＝2n ，可得c1＝2，且c1＋c2＋…＋cn －1＝2(n －1)．所以cn ＝2(n ∈N*)．所以bn ＝2n ＋1，所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列，所以前n 项和Sn ＝41－2n 1－2＝2n ＋2－4. 18．(本小题满分12分)(2014·浙江高考)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d 及Sn ；(2)求m ，k(m ，k ∈N*)的值，使得am ＋am ＋1＋am ＋1＋…＋am ＋k ＝65.[解析] (1)∵S2·S3＝36，a1＝1，∴(2a1＋d)·(3a1＋3d)＝36即d2＋3d －10＝0，∴d ＝2或d ＝－5∵d>0，∴d ＝2∴an 为1为首项，2为公差的等差数列．∴Sn ＝n ＋n n －12×2＝n2. (2)∵am ＋am ＋1＋…＋am ＋k ＝65∴Sm ＋k －Sm －1＝65由(1)得(m ＋k)2－(m －1)2＝65.即2mk ＋k2＋2m －1＝652m(k ＋1)＋k2－1＝65即(k ＋1)(2m ＋k －1)＝65＝5×13，∵k 、m ∈N ＋，∴2m ＋k －1>k ＋1∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝52m ＋k －1＝13解之得m ＝5，k ＝4. ∴当m ＝5，k ＝4时，am ＋am ＋1＋…＋am ＋k ＝65.19．(本小题满分12分)(2015·奉新一中月考)已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2与a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝an －log2an ，Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ，求使不等式Sn －2n ＋1＋47<0成立的n 的最小值．[解析] (1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q ，∵2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项，∴a1(2＋q2)＝3a1q ， ①a1(q ＋q3)＝2a1q2＋4， ②由①及a1≠0，得q2－3q ＋2＝0，∴q ＝1，或q ＝2，当q ＝1时，②式不成立；当q ＝2时，符合题意，把q ＝2代入②得a1＝2，所以，an ＝2·2n －1＝2n ；(2)bn ＝an －log2an ＝2n －n.所以Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝(2＋22＋2n)－(1＋2＋…＋n)＝2n ＋1－2－12n －12n2，因为Sn －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n2－2n ＋1＋47<0，即n2＋n －90>0，解得n>9或n<－10.故使Sn －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.20．(本小题满分13分)已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝anlog 12an ，Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ，求使Sn ＋n·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．[解析] (1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q ，依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8，∴a2＋a4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1q2＝8，a1q ＋a1q3＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝12，a1＝32又数列{an}单调递增，所以q ＝2，a1＝2，∴数列{an}的通项公式为an ＝2n.(2)∵bn ＝2nlog 122n ＝－n·2n ，∴Sn ＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，2Sn ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n·2n ＋1]，两式相减，得Sn ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1＝2n ＋1－2－n·2n ＋1.∴Sn ＋n·2n ＋1>50，即2n ＋1－2>50，即2n ＋1>52.易知：当n≤4时，2n ＋1≤25＝32<52，当n≥5时，2n ＋1≥26＝64>52.∴使Sn ＋n·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.21．(本小题满分14分)(文)已知数列{an}满足a1＝1，a1＋a2＋…＋an －1－an ＝－1(n≥2且n ∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)令dn ＝1＋loga a2n ＋1＋a2n ＋25(a>0，a≠1)，记数列{dn}的前n 项和为Sn ，若S2n Sn 恒为一个与n无关的常数λ，试求常数a 和λ.[解析] (1)由题a1＋a2＋…＋an －1－an ＝－1①∴a1＋a2＋…＋an －an ＋1＝－1②由①－②得：an ＋1－2an ＝0，即an ＋1an ＝2(n≥2)．当n ＝2时，a1－a2＝－1，∵a1＝1，∴a2＝2，a2a1＝2，所以，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列故an ＝2n －1(n ∈N ＋)(2)∵an ＝2n －1，∴dn ＝1＋loga a2n －1＋a2n －25＝1＋2nloga2， ∵dn ＋1－dn ＝2loga2，∴{dn}是以d1＝1＋2loga2为首项，以2loga2为公差的等差数列，∴S2n Sn ＝2n 1＋2loga2＋2n 2n －12×2loga2n 1＋2loga2＋n n －12×2loga2 ＝2＋4n ＋2loga21＋n ＋1loga2＝λ， ⇒(λ－4)nloga2＋(λ－2)(1＋loga2)＝0，∵S2n Sn 恒为一个与n 无关的常数λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－4loga2＝0λ－21＋loga2＝0解之得：λ＝4，a ＝12.(理) 数列{an}中，a1＝t ，a2＝t2，其中t>0且t≠1，x ＝t 是函数f(x)＝an －1x3－3[(t ＋1)an －an ＋1]x ＋1(n≥2)的一个极值点．(1)证明：数列{an ＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn ＝anlogtan ，数列{bn}的前n 项和为Sn ，求Sn.[解析] (1)证明：f ′(x)＝3an －1x2－3[(t ＋1)an －an ＋1]，根据已知f ′(t)＝0，即tan －1－(t ＋1)an ＋an ＋1＝0，即an ＋1－an ＝t(an －an －1)，∵t>0，t≠1，∴a2－a1＝t2－t ＝t(t －1)≠0.所以数列{an ＋1－an}是以t(t －1)为首项，t 为公比的等比数列．(2)由(1)可知an ＋1－an ＝(t －1)tn.所以an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(t －1)tn －1＋(t －1)tn －2＋…＋(t －1)t ＋t＝(t －1)×t 1－tn －11－t＋t ＝tn.所以数列{an}的通项公式an＝tn.(3)由(2)知an＝tn，所以bn＝anlogtan＝ntn. ∴Sn＝1×t＋2×t2＋3×t3＋…＋ntn.则tSn＝1×t2＋2×t3＋…＋(n－1)tn＋ntn＋1. 所以(1－t)Sn＝t＋t2＋t3＋…＋tn－ntn＋1＝t1－tn1－t－ntn＋1.所以Sn＝t－tn＋11－t2－ntn＋11－t.。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n3n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列 [答案]A[解析]a n ＝23－29n ＋3，∵n ∈N *，∴a n 随n 的增大而增大，故选A.[点评] 上面解答过程利用了反比例函数y ＝－1x 的单调性，也可以直接验证a n ＋1－a n >0.2．(文)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( ) A.n [(－1)n －1]2 B.(－1)n －1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12[答案]D[解析]因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1－(－1)n ×(－1)1－(－1)＝(－1)n －12，选D.[点评] 直接检验，S 1＝－1，排除B ，C ；S 3＝－1，排除A ，故选D.(理)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．80 [答案]C[解析]∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.3．(文)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈R )，则a 2014＝( ) A ．0 B ．－ 3 C.3D.32[答案]A[解析]∵a 1＝0，∴a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，∴数列{a n }的周期为3，∴a 2014＝a 1＝0，故选A.(理)(2013·麻城实验高中月考)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n项之积为πn ，则π2012的值为( )A ．－12B ．－1C.12D ．1 [答案]D[解析]∵a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 1＝2，a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，故数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝－1，又2012＝670×3＋2，∴π2012＝(－1)670×2×12＝1.4．在数列{a n }中，已知a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ∈N ＋，n ≥2)，若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →，满足OC →＝a 1007OA →＋a 1008OB →，三点A 、B 、C 共线，且直线不过O 点，则S 2014等于( )A ．1007B ．1008C ．2014D ．2015 [答案]A[解析]由条件知{a n }成等差数列， ∵A 、B 、C 共线，∴a 1007＋a 1008＝1，∴S 2014＝2014(a 1＋a 2014)2＝1007(a 1007＋a 1008)＝1007.5．(文)已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 2015＝( )A ．6042B ．6048 C.16043D.16047 [答案]C [解析]∵1a n ＋1－1a n ＝3，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2，∴a 2015＝16043.(理)(2013·某某某某市第一中学二模)数列11、21、12、31、22、13、41、32、23、14、…依次排列到第a 2010项属于的X 围是( )A ．(0，110)B ．[110，1)C ．[1,10]D ．(10，＋∞) [答案]B[解析]分子分母和为k ＋1的有k 项，由1＋2＋3＋…＋n ≤2010得，n ≤62，且1＋2＋3＋…＋62＝1953,2010－1953＝57，∴a 2010项为和为64的第57项，即757∈[110，1)，故选B.6．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34950B ．35000C ．35010D ．35050 [答案]A[解析]由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)992＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.二、填空题7．(文)(2013·东城区综合练习)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.[答案]20[解析]由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20. (理)(2013·某某测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案]3n[解析]a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .8．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案]n 2＋n (n ∈N *)[解析]由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，则a n ＝2n ，所以S n ＝n 2＋n .9．(2013·某某调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案]2n ＋1－2[解析]由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…，a n －a n －1＝2n －1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n ，从而S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{}的增减性．[解析](1)S n ＝n 2＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， ∵b n ＝2a n ＋1，∴b 1＝2a 1＋1＝23，n ≥2时，b n ＝2(2n －1)＋1＝1n，∴b n＝⎩⎨⎧23 (n ＝1)，1n(n ≥2).(2)由题设知，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，T 2n ＋1＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＋1， ∴＝T 2n ＋1－T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1，∴＋1－＝(b n ＋2＋b n ＋3＋…＋b 2n ＋3)－(b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1)＝b 2n ＋2＋b 2n ＋3－b n ＋1＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0， ∴＋1<，即数列{}为递减数列.能力拓展提升一、选择题11．(2013·日照市阶段训练)已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点A (8,4)的定直线l 上，则数列{a n }的前15项和S 15＝( )A ．12B ．32C ．60D ．120 [答案]C[解析]解法1：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴{a n }为等差数列，由条件知(8，a 8)在直线l 上，l 经过(8,4)，∴a 8＝4，∴S 15＝15a 8＝60.解法2：可设定直线为y －4＝k (x －8)，知a n －4＝k (n －8)，得a n ＝k (n －8)＋4，则{a n }是等差数列，S 15＝15·(a 1＋a 15)2＝15·a 8＝15×4＝60.12．(2013·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、某某中学联考)如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于( ) A ．32 B ．64 C ．－32 D ．－64 [答案]A [解析]由条件知a na n －1＝(－2)n －1(n ≥2)，∴a 5＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4＝1×(－2)·(－2)2·(－2)3·(－2)4＝(－2)10＝32.13．(文)(2013·池州一模)数列{a n }的通项公式a n ＝2n ·sin(n π2－π3)＋3n cos n π2，前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A ．1005B ．－1005C ．2013D ．－2013 [答案]B[解析]a n ＝2n sin(n π2－π3)＋3n cos n π2＝n sin n π2.由函数y ＝sin π2x 的周期是4，且a 1＝1，a 2＝2×0＝0，a 3＝3×(－1)＝－3，a 4＝4×0＝0，归纳可知数列{a n }的每相邻四项之和是一个常数－2，所以S 2013＝2013－14×(－2)＋1＝－1005，故选B.(理)(2013·某某模拟)已知数列{a n }中，a 1＝45，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，则a 2012等于( )A.45B.35C.25D.15 [答案]C[解析]∵a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，又a 1＝45，∴a 2＝2×45－1＝35，a 3＝2×35－1＝15，a 4＝2×15＝25，a 5＝2×25＝45，∴数列{a n }以4为周期， ∵20124＝503，∴a 2012＝a 4＝25. 二、填空题14．(文)数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1－a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a nn 的最小值是________．[答案]10[解析]由a n ＋1－a n ＝2n －1可知，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝[2(n －1)－1]＋[2(n －2)－1]＋[2(n －3)－1]＋…＋(2×1－1)＋35＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]－(n －1)＋35＝n 2－2n ＋36.∴a n n ＝n 2－2n ＋36n ＝n ＋36n－2≥2×n ·36n－2＝10，当且仅当n ＝6时，取等号．(理)已知f (x )＝sin πx2，a n ＝f (n )＋f ′(n )，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝________.[答案]1[解析]f ′(x )＝π2cos πx 2，a n ＝sin n π2＋π2cos n π2，∴a 1＝1，a 2＝－π2，a 3＝－1，a 4＝π2，且{a n }的周期为4，又2013＝503×4＋1且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，∴S 2013＝503×0＋a 1＝1. 三、解答题15．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，某某数k 的最大值． [解析](1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3，① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0. ∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)．又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1(n 为正整数)． (2)由(1)知，S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有 k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝⎛⎭⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.(理)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *. (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′(1a n )，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)记b n ＝a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和T n ，求证：43≤T n <2.[解析](1)由题意及f ′(x )＝2ax ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由条件得1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2n ，累加得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝[2＋2(n －1)]×(n －1)2＝n 2－n ，∴1a n ＝(n －12)2，所以a n ＝1(n －12)2＝4(2n －1)2(n ∈N *)． (3)b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2(12n －1－12n ＋1)，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝2(1－12n ＋1)<2. ∵2n ＋1≥3，故2(1－12n ＋1)≥43，∴43≤T n <2.16．(文)(2013·某某莱州一中质检)已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n ＋1满足a n ＋a n ＋1＝2n ，且a 1＝1.(1)求证{a n －13×2n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .[解析](1)由a n ＋a n ＋1＝2n ，得a n ＋1－13×2n ＋1＝－(a n －13×2n )，故数列{a n －13×2n }是首项为a 1－23＝13，公比为－1的等比数列．(2)由(1)知，a n －13×2n ＝13×(－1)n －1，即a n ＝13[2n －(－1)n ]，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝13{(2＋22＋23＋…＋2n )－[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n ]} ＝13[2n ＋1－2－(－1)n －12] ＝13·2n －1－16(－1)n －12. (理)(2013·某某市部分中学联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12an＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，某某数λ的最小值． [解析](1)令b n ＝na n ，{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝12b n ＋1，∴S n －1＝12b n (n ≥2)，两式相减得b n ＋1b n＝3，又b 1＝a 1＝1，在条件式中令n ＝1,2得a 2＝1，a 3＝2，∴b 2＝2a 2＝2，∴b n ＝b 2×3n －2＝2×3n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (n ＝1)，2n ·3n －2， (n ≥2).(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a nn ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝n (n ＋1)2·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)(1－n )3n －1<0，∴1f (n ＋1)>1f (n )(n ≥2)，又1f (2)＝13及a 12＝12，所以所某某数λ的最小值为13.考纲要求了解数列的概念，了解数列是自变量为正整数的一类函数．了解数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)．补充材料1．求数列的通项公式常见的有以下三种类型 (1)已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④综合写出项与项数的关系．要特别注意以下数列特点： ①自然数列，自然数的平方列． ②奇数列，偶数列．③a n ＝(－1)n ，a n ＝12[1＋(－1)n ]．④a n ＝sin n π2，a n ＝cos n π2. ⑤a n ＝k 9(10n －1)(k ＝1,2，…，9)．要注意理顺其大小规律如：2，－83，4，－325，…先变化为：42，－83，164，－325，…. (2)已知数列的递推关系求其通项公式：一般是采用“归纳—猜想—证明”，有时也通过变形转化为等差、等比数列进行处理．(3)已知数列的前n 项和求通项公式，用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求解．2．注意数列的两个性质(1)单调性——若a n ＋1>a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性——若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零常数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．3．数列求和方法(1)公式法①直接用等差、等比数列的求和公式求．②了解一些常见的数列的前n 项和．1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (2)倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和可用“乘公比，错位相减”法进行，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．(4)裂项相消法如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随n 的变化而变化，前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法．(5)分组求和法当一个数列的通项由几个项构成，各个项构成等差或等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加．4．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此可用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．备选习题1．设a 1，a 2，…，a 50是从－1，0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9，且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50中数字1的个数为( )A ．24B ．15C ．14D ．11[答案]A[解析]⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a 50＝9，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，⇒a 21＋a 22＋…＋a 250＝39. 故a 1，a 2，…，a 50中有11个零，设有x 个1，y 个－1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝39，x －y ＝9，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝15.故选A. 2．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若有穷数列{f (n )g (n )}(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[答案]B[解析]f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )⇒f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0 ⇒[f (x )g (x )]′<0⇒0<a <1， f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52⇒2a 2－5a ＋2＝0 ⇒a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f (n )g (n )＝(12)n ， ∴{f (n )g (n )}(n ∈N *)是以12为首项，12为公比的等比数列． ∴12[1－(12)n ]1－12＝3132， ∴(12)n ＝132，∴n ＝5.故选B. 3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2014的值是( )A ．2012×2013B ．2013×2014C ．2010×2011D ．2011×2012[答案]B[解析]解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：a 1＝0×1，a 2＝1×2，a 3＝2×3，a 4＝3×4，猜想a 2014＝2013×2014，故选B.解法2：a n －a n －1＝2(n －1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，…a 3－a 2＝2×2，a 2－a 1＝2×1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]．＝2(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)． ∴a 2014＝2013×2014.。

高考数学一轮总复习(目标导航+自主导学+典例讲解)第六章数列课件北师大版

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则Snn＝10－n， ∵nS＋n＋11－Snn＝－1， ∴数列Snn是以 9 为首项，公差为－1 的等差数列．则 Tn＝n·[9＋210－n]＝－12n2＋129n ＝－12n－1292＋3681. ∵n∈N＋，∴当 n＝9 或 n＝10 时，Tn 有最大值 45.
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∴an－1 1＝n－92，an＝n－1 92＋1＝22nn－－79.
(3)∵an＝n－1 92＋1，
而函数f(x)＝
1 x－92
＋1在
－∞，92
，
92，＋∞
上都是减函
数，
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∴a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…，且当n≤4时，an<1；当n>4时，an>1， ∴最大项为a5＝3，最小项为a4＝－1.
[规范解答] 由题意得 Sn＝2n－1. (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1. 又∵a1＝1＝21－1，∴an＝2n－1. (2)bn＝log2an－12＝log22n－1－12 ＝(n－1)－12＝n－13， ∴bn＝n－13，令 bn≥0 得 n≥13， ∴数列{bn}的前 12 项均为负数，第 13 项为 0，从第 14 项起均为正数． ∴当 n＝12 或 13 时，数列{bn}的前 n 项和最小．
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数列{an}中，a1＝
5 7
，an＝2－
1 an－1
(n≥2，n
∈N＋)，数列{bn}满足bn＝an－1 1(n∈N＋)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；

【走向高考】高三数学一轮总复习 6-2等差数列课件北师大版

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋(a1－d2)n. 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是 n的二次函数且不含常数项，即Sn＝ An2＋Bn，(A2＋B2≠0． ) 7．在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若 a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
走向高考·数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第六章数列
第六章
第二节等差数列
高考目标
3 课堂典例讲练
课前自主预习
4 思想方法点拨
5 课后强化作业
高考目标
考纲解读 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系．
1 ∴an＝2 －1
2nn－1
n＝1 n≥2
.
[点评] 1.由Sn－Sn－1＝an来转化为an与an－1的递推关系时，要注意是n≥2成立，即要验证a1是否成立．
2．等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
[解析] 解法1：∵{an}是等差数列，∴S3、S6－S3、S9－ S6为等差数列．
∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， ∴S9－S6＝2S6－3S3＝45.
解法2：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，令bn＝Snn，则{bn}成等差数列．由题设b3＝S33＝3，b6＝S66＝6， ∴b9＝2b6－b3＝9. ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝9b9－36＝45.

【步步高】2015届高考数学总复习第六章 6.3等比数列及其前n项和强化训练理北师大版

§6.3 等比数列及其前n 项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)． 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 为a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )(5)若{a n }是等比数列，则S 1·S 2·…·S k ＝0(k ≥2，k ∈N )的充要条件是a n ＋a n ＋1＝0.( √ )(6)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则Y (Y －X )＝X (Z －X )恒成立．( √ )2．(2013·某某)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.3．(2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D解析方法一由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8， ∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.4．(2013·)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40. 得20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.5．(2012·某某)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2n解析先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．a 25＝a 10>0，根据已知条件得2⎝⎛⎭⎫1q ＋q ＝5，解得q ＝2. 所以a 21q 8＝a 1q 9，所以a 1＝2，所以a n ＝2n .题型一等比数列的基本运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 思维启迪利用等比数列的通项公式与前n 项和公式列方程(组)计算．答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4(1－125)1－12＝314.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比为q ，且|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12(2)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(3)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n }的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158 答案 (1)C (2)B (3)C解析 (1)∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10，即a m ＝a 1·q 10，∴m ＝11.故选C.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2 ②①－②得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，则q ＝a 4a 3＝4.(3)若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1. 由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1.所以数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.题型二等比数列的性质及应用例2 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝_______.(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.思维启迪利用等比数列的项的性质和前n 项和的性质求解．答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n >0，所以a 4＋a 8＝51. (2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A ．52B ．7C ．6D ．4 2(2)记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N ＋)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12(3)已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________.答案 (1)A (2)A (3)－78解析 (1)把a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝5×10＝5 2. (2)因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由题中a m －1a m ＋1－2a m ＝0，可知a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积为T 2m －1＝a 2m －1m，即22m －1＝128，故m ＝4.(3)根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S 9－7)．解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.题型三等比数列的判定例3已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设＝a n －1，求证：{}是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．思维启迪 (1)由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1转化成a n 与a n ＋1的递推关系，再构造数列{a n －1}． (2)由求a n 再求b n . (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∵首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又＝a n －1，∴{}是以－12为首项，以12为公比的等比数列．(2)解由(1)可知＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 思维升华注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n ＝1时是否符合n ≥2时的通项公式，能合并的必须合并．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列．所以a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，得a n ＝(3n －1)·2n －2.等比数列求和忽视公比q 的X 围致误典例：(5分)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)．则q 的取值X 围为________．易错分析本题易忽视q 的X 围，由于等比数列求和公式中分两种情况q ＝1和q ≠1，而本题未说明q 的X 围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q .解析因为{a n }为等比数列，S n >0，可以得到a 1＝S 1>0，q ≠0，当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q>0，即1－q n 1－q >0(n ＝1,2,3，…)，上式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n <0，(n ＝1,2,3，…)，①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0，(n ＝1,2,3，…)．②解①式得q >1，解②式，由于n 可为奇数，可为偶数，得－1<q <1.综上，q 的取值X 围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案 (－1,0)∪(0，＋∞)温馨提醒在应用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 或S n ＝a 1－a n q 1－q求和时，应注意公式的使用条件为q ≠1，而当q ＝1时，应按常数列求和，即S n ＝na 1.因此，对含有字母参数的等比数列求和时，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，体现了分类讨论思想．方法与技巧1．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n }也是等比数列． (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. 2．判断数列为等比数列的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N ＋)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N ＋，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N ＋)⇔数列{a n }是等比数列．失误与防X1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．(2012·某某)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析利用等比数列的性质和通项公式求解．∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数， ∴a 7＝4.又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25， ∴log 2a 10＝5.故选B.2．等比数列{}a n 中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1B ．－(－2)n －1 C ．(－2)n D ．－(－2)n 答案 A解析 ∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2. 又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0. 而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1. 故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.3．(2013·课标全国Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10 答案 B解析设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9， (a 1·a n )3＝3×9＝33，∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ， T n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，∴T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n ，∴n ＝12.5．数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 33＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n －1) C ．9n －1 D.14(3n －1) 答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N ＋，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)．二、填空题6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________．答案 3解析由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3. 7．(2012·某某)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.答案 11解析利用“特殊值”法，确定公比．由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0. 由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11. 8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．答案－2解析由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2. 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1. 10．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N ＋.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列；(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，＝a n ＋b n ，T n 是数列{}的前n 项和，求T n . 解 (1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n >1，且n ∈N ＋)，a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，n >1，a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n ，b n ＝log 4a n ＋1＝n ，＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋n (n ＋1)2.B 组专项能力提升(时间：30分钟)1．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4B.4027或4C.4027D.158答案 C解析设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q .解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027. 2．(2013·某某)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{}为等比数列，公比为qm 2D ．数列{}为等比数列，公比为qm m答案 C解析 ∵b n ＝a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )∴b n ＋1b n ＝a mn (q ＋q 2＋…＋q m )a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )＝a mn a m (n －1)＝q m (常数)． b n ＋1－b n 不是常数．又∵＝(a m (n －1))m q 1＋2＋…＋m ＝(a m (n －1)q m ＋12)m ， ∴＋1＝(a mn a m (n －1))m ＝(q m )m ＝qm 2(常数)．＋1－不是常数．∴选C.3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N ＋)，这个数列的通项公式是_______________________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝12×3n －2， n ≥2 解析由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1①当n ≥3时，a n －1＝2S n －2②①－②整理得a n a n －1＝3 (n ≥3)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2×3n －2， n ≥2. 4．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)解由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上， ∴T n ＝－12b n ＋1，① ∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，② ①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)， ∴32b n ＝12b n －1， ∴b n ＝13b n －1(n ≥2)．令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23， ∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列．5．(2013·某某)已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N ＋)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.。

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