2019版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件 新人教A

＝ 22＋22＋2×2×2×12 ＝2 3.
|素养提升|
1．对复数加减运算法则的理解 (1)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的 实部分别相加，虚部分别相加． (2)两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数， 例如(3＋2i)－2i＝3. (3)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、 减法类似于多项式的加、减法，只需要“合并同类项”就可以了．
解析：z＝3－i－(i－3)＝6－2i. 答案：D
4．在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为－1－8i， －2－3i，则B→C对应的复数为( )
A．－1－5i B．－1＋5i C．－3＋11i D．1－5i
解析：B→C＝A→C－A→B＝(－2－3i)－(－1－8i)＝－1＋5i. 答案：B
解析：(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i. (2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋ (1＋2－2)i＝－2＋i.
类型二 复数加减法的几何意义 [例 2] 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的 复数分别为 0,3＋2i，－2＋4i.
【解析】 方法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1 ① (a－c)2＋(b－d)2＝1 ② 由①②得 2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2|＝ a＋c2＋b＋d2 ＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.
(3)|z－z1|＋|z－z2|＝2a(a>0)，当 2a>|Z1Z2|时，表示以复数 z1， z2 的对应点 Z1，Z2 为焦点的椭圆；当 2a＝|Z1Z2|时，表示以复数 z1，z2 的对应点 Z1，Z2 为端点的线段；当 2a<|Z1Z2|时，无轨迹；
(4)||z－z1|－|z－z2||＝2a(a>0)，当 2a<|Z1Z2|时，表示以复数 z1， z2 的对应点 Z1，Z2 为焦点的双曲线；当 2a＝|Z1Z2|时，表示分别 以复数 z1，z2 的对应点 Z1，Z2 为端点的两条射线；当 2a>|Z1Z2| 时，无轨迹．
跟踪训练 3 已知|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.
解析：设 O 为坐标原点，z1，z2，z1＋z2 对应的复数分别为 A， B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2， ∴OBCA 是一个内角为 60°，边长为 2 的菱形． ∴|z1－z2|＝|AB| ＝ OA2＋OB2－2OA×OB×cos120°
|巩固提升|
1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i 是虚数单位)，则 a， b 的值分别等于( )
A．3，－2 B．3,2 C．3，－3 D．－1,4
解析：由题可知 3－2i＝a＋bi，因为 a，b 均为实数，所以 a ＝3，b＝－2.
答案：A
2．在复平面内，复数 1＋i 与 1＋3i 分别对应向量O→A和O→B， 其中 O 为坐标原点，则|A→B|＝( )
方法归纳 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部 相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以 看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这 些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).
跟踪训练 1 计算： (1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．
B→C＝O→C－O→B对应的复数是 (－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. 因为A→D＝B→C，
即(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， 所以yx－－21＝＝－1，3， 解得yx＝＝－2，1.
类型三 综合应用 [例 3] 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
(1)求A→O表示的复数； (2)求C→A表示的复数．
【解析】 (1)∵A→O＝－O→A， ∴A→O表示的复数为－(3＋2i)， 即－3－2i. (2)∵C→A＝O→A－O→C， ∴C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
方法归纳 复数加、减法几何意义的应用技巧 (1)复数的加、减运算可以转化为点的坐标或向量运算． (2)复数的加、减运算转化为向量运算时，同样满足平行四 边形法则和三角形法则.
2．复数形式的基本轨迹方程 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义的应用——复数形式的基本轨 迹：
(1)|z－z1|＝r 表示复数在复平面内对应的点的轨迹是以复数 z1 对应的点为圆心，r 为半径的圆；
(2)|z－z1|＝|z－z2|表示复数 z1，z2 的对应点 Z1，Z2 为端点的 线段的垂直平分线；
加法
减法
运算 法则
z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i
几何 意义
复数的和 z1＋z2 与向量 O→Z1＋O→Z2＝O→Z的坐标对
应
复数的差 z1－z2 与向量O→Z1 －O→Z2＝Z→2Z1的坐标对应
运算 律
交换律 结合律
z1＋z2＝z2＋
z1 (z1＋z2)＋z3 ＝z1＋(z2＋
5．复数 z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为 纯虚数，则实数 a＝________，b＝________.
解析：z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i， z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i， 由已知得 b＋4＝0，a＋3＝0，∴a＝－3，b＝－4. 答案：－3 －4
课堂探究 互动讲练 类型一 复数的加减法运算 [例 1] (1)计算(3－2i)＋(－4i＋5)－(6－3i)． (2)若(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝2＋i，求实数 a，b.
上，则 a 为( )
A．3
B．2
C．1
D．－1
解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i， ∵z1＋z2 所对应的点在实轴上， ∴1＋a＝0.∴a＝－1. 答案：D
3．若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z 等于( ) A．0 B．2i C．6 D．6－2i
【课标要求】 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利新知预习|
复数的加、减法法则及几何意义与运算律
z1，z2，z3∈C，设O→Z1，O→Z2分别与复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋
di(a，b，c，d∈R)相对应，且O→Z1，O→Z2不共线
【解析】 (1)原式＝(3＋5－6)＋[－2＋(－4)－(－3)]i＝2－ 3i.
(2)因为(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i， 即－a＋(4b－3)i＝2＋i，
所以－ 4ba－＝32＝，1. 所以ab＝ ＝－ 1. 2，
跟踪训练 2 复数 z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，如 图，它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点 A，B， C，求这个正方形的第四个顶点所对应的复数．
解析：如题图，设正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x ＋yi(x，y∈R)，则A→D＝O→D－O→A对应的复数是(x＋yi)－(1＋2i) ＝(x－1)＋(y－2)i，
z3)
|自我尝试|
1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数．( √ ) (2)若复数 z1，z2 满足 z1－z2>0，则 z1>z2.( × ) (3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可 能不成立．( × )
2．若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2 所对应的点在实轴
A. 2 B．2 C. 10 D．4
解析：∵A→B＝O→B－O→A，∴A→B对应的复数为(1＋3i)－(1＋ i)＝2i，故|A→B|＝2.
答案：B
3．设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，则 z1－z2＝________.
解析：因为 z1＋z2＝5－6i， 所以(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i， 所以2x＋－3y＝＝－5，6， 即yx＝＝82，， 所以 z1＝2＋2i，z2＝3－8i， 所以 z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i
方法归纳
(1)设出复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念， 可把条件转化为 x，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是 本章“复数问题实数化”思想的应用．
(2)在复平面内，z1，z2 对应的点为 A、B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形 OACB①为平行四边形；②若|z1＋ z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形.
方法二：设 O 为坐标原点， z1，z2，z1＋z2 对应的点分别为 A、B、C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB 是边长为 1 的正三角形， ∴四边形 OACB 是一个内角为 60°，边长为 1 的菱形，且|z1 ＋z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长， ∴|z1＋z2|＝|OC| ＝ |OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.