全微分及其应用

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全微分及其应用

常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0，则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某一点处的切线的斜率，这个斜率表示函数在该点处沿任一方向的变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应用。

全微分的实际应用举例

全微分的实际应用举例
全微分的实际应用举例有：
1. 在物理学中，全微分可以用于描述物体的位移。

例如，当一个物体在空间中进行自由落体运动时，其位移可以通过全微分来描述。

2. 在经济学中，全微分可以用于描述生产函数和边际效应。

例如，当某个企业的生产函数发生微小变化时，可以利用全微分来计算其边际效益的变化。

3. 在化学中，全微分可以用于描述化学反应的速率。

例如，当各种反应物的浓度发生微小变化时，可以利用全微分来计算反应速率的变化。

4. 在生物学中，全微分可以用于描述生物体的生长变化。

例如，当一个生物体的体积发生微小变化时，可以利用全微分来计算其生长速率的变化。

5. 在工程学中，全微分可以用于描述工程系统的稳定性。

例如，在控制系统中，全微分可以用于描述系统的输入和输出之间的关系，并帮助分析系统的稳定性和响应速度。

全微分的应用及举例

全微分的应用及举例
全微分是微积分中的概念，它是指一个多元函数在某一点处的微小变化，可以用该点的偏导数以及自变量的微小变化来描述。

全微分可以应用于多个实际问题中，以下是一些常见的例子：
1.求出曲线的弧长
当我们想要求曲线的弧长时，可以使用全微分来计算。

我们可以将曲线表示为函数y=f(x)，并使用以下公式来计算弧长：
L = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx
其中dy/dx 是函数f(x) 的导数。

可以看出，这个公式就是对函数f(x) 的全微分进行积分得到的。

2.计算温度/压力的变化
当物体温度或压力发生微小变化时，可以使用全微分来计算其变化量。

例如，对于理想气体，温度和压力可以表示为函数T(V,P) 和P(V,T)，可以使用以下两个公式计算它们的微小变化量：
dT = (∂T/∂V) dV + (∂T/∂P) dP
dP = (∂P/∂V) dV + (∂P/∂T) dT
其中(∂T/∂V)、(∂T/∂P)、(∂P/∂V)、(∂P/∂T) 分别为函数T(V,P) 和P(V,T) 在某一点处的偏导数。

3.计算多元函数的极值
求多元函数的极值时，可以使用全微分的概念。

设多元函数为f(x,y)，则当(∂f/∂x)=0 和(∂f/∂y)=0 时，该函数在某一点处取得极值。

这个过程利用了全微分的定义和二元函数的最值定理。

§8.3 全微分及其应用

可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， Ax By 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
令 y 0, 得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
Ax o ( x )
4
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
所以函数
在点可微.
7
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ห้องสมุดไป่ตู้ 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 du u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
d(1z)函d数f 可微Ax By 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
3
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证因函数在点(x, y) 可微, 故
2
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高等数学第八章第3节全微分及其应用(中央财经大学)

第三节全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可微连续可导连续可导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。

6.3全微分及其应用

f 'y (x0, y0 ) 不全为0，| x |,| y | 充分小时，有
z dz f 'x (x0 , y0 ) x f 'y (x0 , y0 ) y 即
f (x, y) f (x0 , y0 ) f 'x (x0 , y0 ) (x x0 ) f 'y (x0 , y0 )( y y0 ) f (x, y) f (x0 , y0 ) f 'x (x0 , y0 ) (x x0 ) f 'y (x0 , y0 )( y y0 )
且
u x
f
'x 2xf
'z
,
u y
f
'y
f
'z
例6.3.4
已知 z3
3xyz
a3,求
z , z 。 x y
解：方程两边同时微分，有
d (z3 3xyz) da3,
由全微分的形式不变性，得
d (z3) d (3xyz) 0,
3z2dz (3yzdx 3xzdy 3xydz) 0,
得 (1.02)1.99 12 2121 0.02 12 ln1 (0.01)
1 0.04 1.04
例6.3.6有一个圆柱体，其底面半径由20cm增大到20.05cm，高由50cm减小到49.5cm,体积V大约改变了多少？
解:已知圆柱体的体积
V r2h
取 r0 20, h0 50, r 0.05, h 0.5, 而
第六章多元函数微积分
全微分及其应用
6.3.1 全微分的概念 6.3.2 全微分在近似计算中的应用
x
一、全微分的概念
1.定义
设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，分别给自变量x,y以增量 x, y ，则称

8全微分及其应用-PPT精选文档

复习一元函数微分
微分的几何意义
f ( x0 ) lim
y x 0 x
微分是函数的局部线性化
.
f (x)
N
(x)
tan
x dy = f(x 0)
y
=tan x
在图上是哪条线段？
y
y d y ( x )
当 x 很小时
dy
f ( x0 )
即
d y f ( x ) dx
函数可导函数连续
一、全微分的定义
设二元函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)的某邻域内有定义. 当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量 x 和y 时，函数的全增量为
z f ( x x , y y ) f ( x , y ). 0 0 0 0
令 x B ,y A ，则 S 可以表示为 0 0
S A x B y o ( ).
将增量S 分离出和的线性部分 A , x B y x y 再加上一项比高阶的无穷小 o() .

定义设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量
例1
解
2 2 计算函数 z x y y 的全微分 .
z z x2 2y, 因为 2 xy , y x
2 所以 d z 2 xy d x ( x 2 y ) d y .
例2 解
xy 计算函数 z e 在点 ( 2 ,1 ) 处的全微 .
z z xy xy xe , ye , y x z z 2 2 e , 2 e . ( 2 , 1 ) ( 2 , 1 ) x y

全微分的定义与应用

全微分的定义与应用全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化与其自变量的微小变化之间的关系。

在本文中，我们将介绍全微分的定义以及一些常见的应用。

**一、全微分的定义**在微积分中，对于一个具有多个自变量的函数，其全微分可以被定义为函数在某一点处的线性逼近。

假设有一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn为自变量。

在点(a₁, a₂, ..., an)处，函数f的全微分df可以表示为如下形式：df = ∂f/∂x₁ · dx₁ + ∂f/∂x₂ · dx₂ + ... + ∂f/∂xn · dxn其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xn分别表示函数f对自变量x₁, x₂, ..., xn的偏导数，dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。

**二、全微分的应用**全微分的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些常见应用。

**1. 近似计算**全微分可以用于进行函数值的近似计算。

通过求解函数的全微分，可以将函数在某一点处的微小变化近似表示为自变量的微小变化量与偏导数的乘积之和。

这对于计算复杂函数在某一点处的近似值非常有用。

**2. 极值问题**全微分还可以用于求解函数的极值问题。

对于一个多元函数，函数的局部极值点处，其全微分等于0，即df=0。

通过求解这个方程组可以得到极值点的坐标。

**3. 函数的变化率**全微分还可以用于描述函数的变化率。

对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其全微分可以看作一个量对另一个量的变化率。

这对于分析函数在不同自变量取值情况下的变化规律非常有帮助。

**4. 微分方程的求解**全微分在微分方程的求解中也起到重要作用。

通过对微分方程进行全微分，可以将微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到方程的解析解。

**结语**全微分作为微积分中的一个重要概念，在数学和科学研究中有着广泛的应用。

全微分及其应用

? x ?? y , (? x)2 ? (? y)2
? x ?? y
则
(? x)2 ?
?
(? y)2 ?
? x?? y (? x)2 ? (? y)2
如果考虑点 P?(? x, ? y)沿着直线 ?y? ?x趋近于(0,0)，
? x?? y
1
(? x)2 ? (? y)2 ?? ? 2
说明它不能随着 ? ? 0 而趋于 0, 当 ? ? 0时，
? f (1,2) ? 1, fx ( x, y) ? yx y?1 , f y( x, y) ? x y ln x,
f x (1,2) ? 2, f y(1,2) ? 0, 由公式得 (1.04)2.02 ? 1 ? 2 ? 0.04 ? 0 ? 0.02 ? 1.08.
三、小结
１、多元函数全微分的概念；２、多元函数全微分的求法；３、多元函数连续、可导、可微的关系．
? z ? dz ? fx ( x, y)? x ? f y( x, y)? y. 也可写成
f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x, y) ? fx ( x, y)? x ? fy( x, y)? y.
例 5 计算(1.04)2.02 的近似值.
解设函数 f ( x, y) ? x y . 取 x ? 1, y ? 2, ? x ? 0.04, ? y ? 0.02.
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
? xy
例如，
f ( x, y)
?
? ?
x2 ? y2
??0
x2 ? y2 ? 0 .
x2 ? y2 ? 0
在点(0,0) 处有 f x (0,0) ? f y (0,0) ? 0

第四节,全微分及其应用解析

定理2(充分条件) 如果函数z=f(x,y)的偏导数在点 (x,y)连续，则函数在该点处可微.
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数
函数可微偏导数连续
三、全微分的计算
例2 求函数z 2xy3－x2 y6 的全微分.
解 z 2y 3 2x y 6, z 6x y 2 12x 2y 5,
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x
,
y
)
、
f
y
(
x
,
y
)在点(
x0
,
y0
)
的
某邻域存在；
（3）z
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
y)y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（4）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
(x)2 (y)2
y)y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
z dz fx ( x, y)x fy ( x, y)y. 也可写成
f ( x x, y y) f ( x, y) fx ( x, y)x fy ( x, y)y.
例 5 计算(1.04)2.02的近似值.
解设函数 f ( x, y) x y. 取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02.
x
y
故 dz 2y3(1－xy3)dx 6xy2 (1－xy3)dy.
例3 计算函数z exy 在点(1，2)处的全微分.

全微分及其应用

3.02
的近似值.
y f x , y x 解设函数 .x 1, y 3, x 0.05,
y 0.02. f 1,3 13 1, f x x, y yx y－1 ,
f x 1,3 3, f y 1,3 0.
3.02
得
1.05
z y ex y z x ex y , y x
z z 2 2 e x 1 2e , x 1 y x y 2 y 2 故 dz 2e2 dx e2 dy.
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例4
解
求函数 u xy cos2y e yz 的全微分.
§7.4 全微分及其应用
一. 全微分的定义定义1 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义， x )为这邻域内的任意一点，则称 y 并设M(x+ ,y+
f ( x x, y y)－f x, y
为函数在点P对应于自变量增量Δx,Δy的全增量，记为Δz，即
z f ( x x, y y)－f x, y .
在点(0,0)的偏导数、连续性和可微性. 解由§7.3的例7，同理可得： (1) 函数f(x,y)在点(0,0)的偏导数存在，且为：
目录上一页下一页退出
f x 0,0 0, f y (0,0) 0.
(2) 因函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在，所以f(x,y)在点(0,0)处不连续. 由定理1可知连续是可微的必要条件，故由f(x,y)在点 (0,0)处不连续，即知f(x,y)在点(0,0)处不可微. 定理2(充分条件) 如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y) 连续，则函数在该点处可微.

高数考研全微分及其应用

? z ? [ f x (0,0) ?? x ? f y(0,0) ?? y]?
? x ?? y , (? x)2 ? (? y)2
如果考虑点 P ?(? x, ? y)沿着直线 y ? x 趋近于(0,0) ，
? x ?? y
则
(? x)2 ?
?
(? y)2
?
? x ?? x (? x)2 ? (? x)2
函数在该点连续.
事实上 ? z ? A? x ? B? y ? o( ? ), lim ? z ? 0, ?? 0
lim f ( x ? ? x, y ? ? y) ? lim[ f ( x, y) ? ? z]
? x? 0
?? 0
? y? 0
? f ( x, y)
故函数 z ? f ( x, y)在点( x, y) 处连续.
? f y ( x, y)? y ? ?2? y, 当? y ? 0时，?2 ? 0 , ? z ? f x ( x, y)? x ? ?1? x ? f y ( x, y)? y ? ?2? y
?
?1? x ? ?
?2? y
?
?1
?
?2
? ???? 0?
0,
故函数z ? f ( x, y)在点( x, y) 处可微.
?x ?y
可微分．
证 ? z ? f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x, y)
? [ f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x, y ? ? y)]
? [ f ( x, y ? ? y) ? f ( x, y)],
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x, y ? ? y)

全微分的应用及举例

全微分的应用及举例全微分是微分学中的一个重要概念，它在多个领域中都有广泛的应用。

本文将从不同角度出发，列举全微分的应用及举例，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 物理学中的应用在物理学中，全微分可以用来描述物体在空间中的运动。

例如，在描述一个质点在平面上的运动时，我们可以使用全微分来表示质点在每个时刻的位置和速度。

全微分可以帮助我们计算质点的位移、速度和加速度等物理量，从而更好地理解和预测质点的运动轨迹。

2. 经济学中的应用在经济学中，全微分可以用来描述经济变量之间的关系。

例如，在研究供求关系时，我们可以使用全微分来表示需求和供应的变化情况。

全微分可以帮助我们计算价格和数量的变动对需求和供应的影响程度，从而更好地理解和预测市场的运行情况。

3. 生物学中的应用在生物学中，全微分可以用来描述生物体内各种化学反应的变化过程。

例如，在研究酶催化反应时，我们可以使用全微分来表示底物浓度、酶浓度和反应速率之间的关系。

全微分可以帮助我们计算底物浓度和酶浓度对反应速率的影响程度，从而更好地理解和控制生物体内的化学反应。

4. 地理学中的应用在地理学中，全微分可以用来描述地球表面各个点的地形特征。

例如，在研究地形起伏时，我们可以使用全微分来表示地球表面高程和坡度之间的关系。

全微分可以帮助我们计算高程和坡度的变化对地形起伏的影响程度，从而更好地理解和分析地球表面的地貌特征。

5. 工程学中的应用在工程学中，全微分可以用来描述工程系统的性能和优化问题。

例如，在研究机械系统的运动学和动力学时，我们可以使用全微分来表示机械系统的位移、速度和加速度之间的关系。

全微分可以帮助我们计算位移、速度和加速度的变化对机械系统的性能和优化问题的影响程度，从而更好地设计和改进工程系统。

6. 计算机科学中的应用在计算机科学中，全微分可以用来描述算法和数据结构的复杂度。

例如，在研究算法的时间复杂度时，我们可以使用全微分来表示算法的执行时间和输入规模之间的关系。

全微分及其应用

dy
x x0
dy f ( x0 )dx , f ( x0 ) dx
首页
x x0
;
对一元函数，可微可导。
上页下页尾页
一、全微分的概念
设D为R 中的一个开集, P x , y D, z f x , y 是
2
定义在D内的函数, Q x x , y y D, 则称这两
且当 x 0, y 0 时， 1 0 .
首页上页下页尾页
同理
f ( x , y y ) f ( x , y )
f y ( x, y )y 2y, 当y 0时， 2 0 ,
z f x ( x, y )x 1x f y ( x , y )y 2 y
同理可得
z B . y
首页上页下页尾页
如果函数 z = f ( x , y ) 在点(x0, y0) 可微, 定理2：
则函数z f x , y 必在点 x0 , y0 连续.
（作为练习自己证明）
三、可微的充分条件
定理 3 （充分条件）如果函数 z f ( x , y ) 的偏导数
dx
解

4
，dy 时的全微分.
z y sin( x 2 y ), x z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
dz ( , )
4
z z 2 dx dy ( 4 7 ). x ( , ) y ( , ) 8
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尾页
(0,0) 时, 当点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋于

全微分及其应用

第四节全微分及其应用一元函数)(x f y =在x 处可微的本质是:可用x 处自变量的增量x ∆的线性函数x A ∆近似地描述函数值增量y ∆,从而可简化y ∆的计算.我们自然要问:给定二元函数()y x f z ,=,当y x ,有改变量y x ∆∆,时,相应的函数值的改变量z ∆与y x ∆∆,有何关系?可否用y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆来近似代替z ∆?一、全微分1. 全微分的定义对于一元函数)(x f y =,当自变量在点x 处有增量x ∆时,若函数的增量y ∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆,其中,A 与x ∆无关而仅与x 有关,当0→x ∆时,)(x o ∆是比x ∆高阶的无穷小量.则称函数)(x f y =在点x 可微,并把x A ∆叫做)(x f y =在点x 的微分,记作dy ,即x A dy ∆=.类似的,我们给出二元函数全微分的定义.定义如果二元函数),(y x f z =在点()y x P ,的某一个邻域)(P U 内有定义,相应于自变量的增量y x ∆∆,,函数的增量为),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆.称z ∆为函数),(y x f 在点),(y x P 处的全增量.若全增量z ∆可表示为:)(ρo y B x A z +∆+∆=∆ (6.4.1) 其中B A ,仅与y x ,有关,而与y x ∆∆,无关,22)()(y x ∆+∆=ρ,则称函数),(y x f z =在点),(y x P 可微.并称y B x A ∆+∆为),(y x f 在点),(y x P 的全微分,记作z d 或),(y x f d ,即:y B x A z d ∆+∆=. (6.4.2) [说明](1) 当0→ρ时,)(ρo 是比ρ高阶的无穷小量,即:()()()();0)()()()(limlim22220,0,0=∆+∆∆+∆=→∆∆→y x y x o o y x ρρρ(2) 习惯上,自变量的增量x ∆与y ∆常写成dx 与dy (类似于一元函数的情形可证明其相等性,请读者自行完成),并分别称为自变量y x ,的微分.这样,函数()y x f z ,=的全微分也可写为:Bdy Adx z d +=(3) 如果函数在区域D 内的各点都可微,则称函数在区域D 内可微,或称函数为D 内的可微函数.例1 求证函数22y x z +=在()00,y x 处可微,并求其全微分.解因为()00,y x 处函数的全增量为:()()()()(),22220020202020y x y y x x y x y y x x z ∆+∆+∆+∆=+-∆++∆+=∆且()()()().0)()(lim)()()()(lim220,0,22220,0,=∆+∆=∆+∆∆+∆→∆∆→∆∆y x y x y x y x y x所以,根据可微的定义知,函数22y x z +=在()00,y x 处可微,且其全微分为:.22220000y d y x d x y y x x z d +=∆+∆=2. 全微分与偏导数、连续的关系(1) 可微必连续在第三节中我们指出,多元函数即使可偏导(即各个偏导数存在),也不能保证函数是连续的.然而,从全微分的定义知,如果函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在该点必定连续.事实上,由于此时()()0lim 0,0,=∆→∆∆z y x ,也就是()()[]0),(),(lim0,0,=-∆+∆+→∆∆y x f y y x x f y x ,即()()),(),(lim 0,0,y x f y y x x f y x =∆+∆+→∆∆.从而),(y x f z =在点),(y x P 处连续.在一元函数中,可导与可微是等价的,那么对二元函数,可微与可偏导存在之间有什么关系呢?下面的两个定理回答了这个问题.(2) 可微必可偏导定理1(可微的必要条件) 若函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在点),(y x P 的两个偏导数yzx z ∂∂∂∂,都存在(即函数),(y x f z =在点),(y x P 可偏导),且 dy yz dx x z y y z x x z z d ∂∂+∂∂==∆∂∂+∆∂∂=. (6.4.3)证明因),(y x f z =在点),(y x P 可微,所以对于),(y x P 的某一邻域()P U 内的任意一点),(y y x x ∆+∆+,都有)(),(),(ρo y B x A y x f y y x x f +∆+∆=-∆+∆+.特别地,当0y ∆=时,||x ρ=∆且|)(|),(),(x o x A y x f y x x f ∆+∆=-∆+,两边同除以x ∆,取极限得=∂∂x z A xx o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆)|)(|(lim ),(),(lim 00,同理yz ∂∂=B ,所以 y y zx x z z d ∆∂∂+∆∂∂=. 然而,两个偏导数存在是二元函数可微的必要条件,而不是充分条件.例如在原点(0,0)处有0)0,0(,0)0,0(='='y x f f (即可偏导),但是由第二节例8可知,该函数在原点(0,0)是不连续的,因此函数在原点(0,0)不可微.但是,可以证明,如果函数的各个偏导数存在且连续,则该函数必是可微的.定理2(可微的充分条件) 如果函数),(y x f z =的两个偏导数),(),,(y x f y x f y x ''在点),(y x P 的某一邻域内存在且在该点连续,则函数在该点可微.由上述结论可知:二元函数的可微、可偏导及连续之间的关系为⎩⎨⎧⇒⇒)()(可偏导偏导数存在连续可微且连续可偏导偏导数存在一般情况下,上述关系是不可逆的. 3. 全微分公式及其计算由定理1知，二元函数),(y x f z =的全微分可以写成: dy y x f dx y x f dy yz dx x z y x df dz y x ),(),(),('+'=∂∂+∂∂==. (6.4.4) 称上式为全微分公式.全微分公式很容易推广到二元以上的函数的情形.例如,如果三元函数()z y x f u ,,=可微分,那么它的全微分公式为:dz z y x f dy z y x f dx z y x f dz zudy y u dx x u u d z y x ),,(),,(),,('+'+'=∂∂+∂∂+∂∂=(6.4.5) 由此可见,在函数可微的条件下,要求函数的全微分,只需先求出其偏导数,再代入全微222222,0;(,)0,0.xy x y x yf x y x y +≠+=+=分公式进行组装即可得到.例2 求函数22y y x z +=的全微分. 解因为y x yz xy x z 2,22+=∂∂=∂∂,所以dy y x xydx dz )2(22++=. 例3 求函数32),(y x y x f =在点)1,2(-处的全微分.解因为 2233),(,2),(y x y x f xy y x f y x ='=',所以12)1,2(,4)1,2(=-'-=-'y x f f .由于两个偏导数是连续的,故dy dx df 124)1,2(+-=-.例4 求函数yzy x u arctan 2cos+-=的全微分. 解因为2222,2sin 21,1z y yz u z y z y y u x u +=∂∂+-=∂∂=∂∂.所以 dz zy zdy z y z y dx du 2222)2sin 21(+++-+=.二、全微分在近似计算中的应用二元函数的全微分也可用来做近似计算.若二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 可微,则有,)(),(),(),(),(00000000ρo y y x f x y x f y x f y y x x f z y x +∆'+∆'=-∆+∆+=∆其中22)()(y x ∆+∆=ρ.故当|||,|y x ∆∆充分小时,有dz y y x f x y x f z y x =∆'+∆'≈∆),(),(0000, (6.4.6) 即y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆'+∆'≈-∆+∆+),(),(),(),(00000000.移项得y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆'+∆'+≈∆+∆+),(),(),(),(00000000 (6.4.7) 公式（6.4.6）可用来计算函数的增量的近似值,公式（6.4.7）可用来计算函数的近似值.例5 计算3397.102.1+的近似值.解设函数33),(y x y x f +=,所计算的值可看作是函数在97.1,02.1==y x 处的函数值.取03.0,2,02.0,100-====y y x x ∆∆.则33233223),(,23),(yx y y x f yx x y x f y x +='+='.而2)2,1(,21)2,1(,3)2,1(),(00='='==y x f f f y x f ,所以 95.2)03.0(202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+.例6 有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20厘米增大到05.20厘米,高度由100厘米减少到99厘米,求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径,高和体积分别为V h r ,,,则h r V 2π=.记V h r ,,的增量依次为V h r ∆∆∆,,,且1,05.0,100,20-=∆=∆==h r h r ,由公式(6.4.6)得.200)1(2005.010*******πππππ-=-⨯⨯+⨯⨯⨯=∆+∆=∆∂∂+∆∂∂≈∆h r r rh h hV r r V V即此圆柱体在受压后体积约减少了π200立方厘米.习题 6-41. 求下列函数的全微分: (1) 22lny x z +=; (2) 5ln 23+-=-x xe z y ; (3) zx y u 1⎪⎭⎫⎝⎛=.2. 求函数x y e x z ysin 22+=在点()0,π处的全微分. 3. 求函数yx e z =当1.0,15.0,1,1=∆=∆==y x y x 时的全微分.4. 计算()02.204.1的近似值.5. 设生产两种产品B A ,的产量分别为y x ,时的联合总成本函数为:()223215,y xy x y x C +++=.求当产量分别为40,50时,产量再分别增加2个单位,联合总成本的增加量.。

9.4 全微分及其应用

全增量：全增量：定义: 定义如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点 x , y ) 在定义域的内点( 处全增量可表示成
∆ z = A∆x + B ∆y + o(ρ ) ,
其中 A , B 不依赖于∆ x , ∆ y , 仅与 x , y 有关，不依赖于∆ 有关，则称函数 f ( x, y ) 在点 x, y) 可微，A ∆ x + B ∆ y 称为函数 f (x, y) 在点( 可微，全微分, 在点 (x, y) 的全微分记作
= x + yx ∆x + x ln x∆y
y y
y−1
取 x = 1, y = 2, ∆x = −0.01, ∆y = 0.01 则
0.99
2.01
= f (0.99,2.01)
= 1 + 2 × (−0.01) + 0 × 0.01 = 0.98.
内容小结 1. 微分定义:
∆z =
+ o ( ρ)
在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微.
证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂ y
= [ f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] + [ f (x, y + ∆y) − f (x, y)]
= f x (x +θ1∆x, y + ∆y)∆x + f y (x, y +θ2∆y)∆y = [ f x (x, y) + α ]∆x + [ f y ( x, y) + β ]∆y

第三节全微分及其应用分布图示偏增量与全增量全微分的定义可微...

第三节全微分及其应用分布图示★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件★ 可微的充分条件★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6★ 例7★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题8—3 ★ 返回内容要点一、全增量与偏增量二、全微分的定义三、函数可微的必要条件与充分条件定理1 (必要条件) 如果函数),(y x f z =在点),(y x 处可微分, 则该函数在点),(y x 的偏导数yzx z ∂∂∂∂,必存在, 且),(y x f z =在点),(y x 处的全微分 y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. (3.4) 定理 2 (充分条件) 如果函数),(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x 处连续, 则函数在该点处可微分.四、利用全微分进行近似计算dz z ≈∆y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+≈∆+∆+),(),(),(),( (3.7)例题选讲例1（E01）求函数62354y x xy z +=的全微分. 解因为,3012,10452263y x xy yzxy y x z +=∂∂+=∂∂ .)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++=例2（E02）计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分. 解,xy ye xz=∂∂,xy xe y z =∂∂ ,2)1,2(e x z=∂∂,22)1,2(e y z =∂∂所求全微分.222dy e dx e dz +=例3 求函数 yz e yx u ++=2sin 的全微分. 解由,1=∂∂x u,2cos 21yz ze yy u +=∂∂ ,yz ye zu=∂∂ 故所求全微分.)2cos 21(dz ye dy ze ydx du yz yz +++=例4（E03）求函数zy x u =的偏导数和全微分. 解 z z y z y z x xy x y x u ⋅=⋅=∂∂-1z z y z z y x yx y z x y z x y u ⋅⋅=⋅⋅⋅=∂∂-ln ln 1y x y x y y x x zuz y z y z z ln ln ln ln ⋅⋅⋅=⋅⋅=∂∂ dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z例5（E04）计算02.2)04.1(的近似值.解设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f 由二元函数全微分近似计算公式得02.0004.021)04.1(02.2⨯+⨯+≈.08.1=例6（E05）测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.解以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz zV dy y V dx x V dV ∂∂+∂∂+∂∂=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤∆x ,2.0||≤∆y ,2.0||≤∆z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx再结合,40,60,75===z y x 得dV V ≈∆2.060752.040752.04060⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,1980=即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.422Tlg π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?解如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ∆与|,|T ∆则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224Tlg π=的全增的绝对值.||g ∆由于||||T l ∆∆、都很小，因此可用dg 近似的代替.g ∆这样就得到g 的误差为g ∆dg ≈T l T g l g ∆∂∂+∆∂∂=T T g l l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤,214322⎪⎭⎫ ⎝⎛+=T l T l T δδπ 其中l δ与T δ为l 与T 的绝对误差.把004.0,1.0,2,100====T l T l δδ代入上式，得g 的绝对误差约为⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+=004.02100221.04322g πδ25.0π=)./cm 93.42s （≈ 从而g 的相对误差为%.5.02/)1004(5.0222g=⨯=ππδg课堂练习1.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222242y x y x y x y x z 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在?。

全微分及其应用

全微分及其应用

全微分的实际应用举例

全微分的应用及举例

§8.3 全微分及其应用

高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)

6.3全微分及其应用

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全微分的定义与应用

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第四节,全微分及其应用解析

全微分及其应用

高数考研全微分及其应用

全微分的应用及举例

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9.4 全微分及其应用

第三节全微分及其应用分布图示偏增量与全增量全微分的定义可微...

高等数学第八章第3节全微分及其应用(中央财经大学)