2020新课标改编版第2章 2.4 2.4.1 等比数列的定义及通项公式 _6-10
高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式同步aa高一数学
(2)a1＝qan－n 1＝5642－51＝5，故 a1＝5. (3)a3＝a1·q2，即 8＝2q2， 所以 q2＝4，所以 q＝±2. 当 q＝2 时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， 所以数列{an}的公比为 2 或－2， 对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
所以 a1＝q－42q4＝12－42124＝96. 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·1210＝9. 所以 G＝±3. 即 a5，a7 的等比中项为±3.
归纳升华 等比中项的三点认识
1．当 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个；当 a， b 异号时，没有等比中项．
2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
3．“a，G，b 成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b 均不为 0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的．可 以用它来判断或证明三个数成等比数列，同时还要注意到 “a，G，b 成等比数列”与“G＝± ab”是不等价的．
又 an＝1，所以 3212n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6. 法二 因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
归纳升华 1．在已知 a1 和 q 的前提下，利用公式 an＝a1qn－1 可 求出等比数列中任意一项． 2．在通项公式中知道 a1、q、n、an 四个量中的任意 三个，可求得另一个量．
[变式训练] (1)已知－1，x，－4 成等比数列，则 x
等比数列定义知识点归纳总结
等比数列定义知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一种数列形式，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等比数列的定义、性质和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。
比值常用字母q表示，称为公比。
换言之，一个数列满足an+1 = an * q的关系，其中an表示第n项，an+1表示第n+1项，q表示公比。
二、等比数列的性质1. 公比的影响：公比q的绝对值决定了等比数列的性质。
当|q|<1时，等比数列的值越来越小；当|q|>1时，等比数列的值越来越大；当q=1时，等比数列的值保持不变。
2. 通项公式：对于等比数列an，第n项的通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中a1为首项。
3. 公式推导：可以通过递归或数学归纳法得到等比数列的通项公式，进而求解数列中任意一项的值。
4. 前n项和：等比数列的前n项和（部分和）可用以下公式表示：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
三、等比数列的应用等比数列在诸多领域有广泛的应用，如金融、物理、工程等。
以下列举几个常见的应用场景：1. 财务投资：与利率相关的问题往往可以转化为等比数列问题，如计算定期存款每年的本息总额。
2. 自然科学：许多自然界的现象或物理规律可以用等比数列来描述，如累积衰减、分裂增殖等。
3. 几何问题：等比数列广泛应用于几何问题中，如计算等比数列构成的等边三角形的面积。
4. 数据分析：等比数列可用于分析一些数据序列或随机变量的增长规律，如人口增长、疾病传播等。
综上所述，等比数列是一种重要的数列形式，具有较广泛的应用价值。
通过对等比数列的定义、性质和应用的归纳总结，读者可更好地理解等比数列，并能在实际问题中灵活运用。
在解决问题时，读者可以根据题目给定的条件，利用等比数列的相关公式和性质进行推导和计算，以得到准确的结果。
第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式
2. 4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1•通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2•掌握等比中项的概念并会应用. 3•掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.预冃案*自建迸习j 研读• M •営试新知提炼1.等比数列的定义(1) 从第2项起条件(2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数结论这个数列就叫做等比数列有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2•等比数列的通项公式门―1a n = aq 1.3. 等比中项若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab.■自我尝试‘1•判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.()(2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. ()⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. ()(4) 常数列一定为等比数列.()(5) 任何两个数都有等比中项. ()答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（）A. 6B. 3x 2n—13. 4与9的等比中项为()A . 6B . - 6=1,C . 2 x 3n —1 D . 6n答案：CA . 6B . - 6=1,C . i6D . 36 答案：C 11 14. 等比数列一10-而，一而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：105. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3,贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________1答案：1 4探究案讲练互普探究点一等比数列的通项公式H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n .(2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3,［解］(1)因为6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以a 1q 6= 8,②②3， 由①，得43= 4,从而q = - 4,而a 1q 3= 2,n — 1又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6.方祛归纳于是a 1 = q 3=M2' 2n -5所以 a n = a 1q n -1 = 2 3a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ①⑵因为25② 1由①，得q =P 从而a 1 = 32.等比数列通项公式的求法a i 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.关于 a i 和q的求法通常有以下两种方法：⑴根据已知条件，建立关于a i , q 的方程组，求出a i , q 后再求a n ，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求a i ,最后求a n ,这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.”i.在等比数列｛a n ｝中，(1) 已知 a i = 3, q = — 2，求 a 6； (2) 已知 a 3= 20, a 6 = i60，求 a n ； …9i 2十(3) 已知 a i = 8〉a n = 3, q = 3,求 n.解：⑴由等比数列的通项公式，得a 6= 3 X (— 2)6— i = — 96.⑵设等比数列的公比为 q ,a i q 2= 20,由已知可得a i q 5= i60,q= 2,解得a i = 5.所以 a n = a i q n — i = 5X 2n — i . ⑶由 a n = a i q n —i ,3，得 n = 4.探究点二等比数列的判定■- 在数列｛a n ｝中，若a n >0,且a n +i = 2a n + 3(n € N *).证明：数列｛a n + 3｝是等比数列.［证明］法一：因为a n >0, 所以 a n + 3>0.i 9得 3=8 Xn — i又因为a n+1= 2a n+ 3,a n +1 + 3 2a n+ 3+ 3 2 (a n + 3)所以= = =2.a n + 3 a n+ 3 a n + 3所以数列｛ a n+ 3｝是首项为a i + 3，公比为2的等比数列. 法二：因为a n>0, 所以a n+ 3>0.又因为a n+1= 2a n+ 3,所以a n+ 2= 4a n+ 9.所以(a n+ 2+ 3)(a n + 3) = (4a n+ 12)(a n+ 3)=(2a n+ 6)2=(a n+1+ 3)2.即a n+ 3, a n +1 + 3, a n+2+ 3 成等比数列，所以数列｛a n+ 3｝是等比数列.Rm貝*本例的条件不变，若a1 = 2,求数列｛a n｝的通项公式.解：由数列｛a n + 3｝是等比数列，当a1= 2 时，a1 + 3 = 5,所以数列｛a n+ 3｝是首项为5,公比q= 2的等比数列，所以a n+ 3 = 5 x 2n-1,即a n= 5 x —1—3.方注归期等比数列的三种判定方法(1)定义法探究点三等比中项及其应用方祛归抽已知等比数列中的相邻三项 a n — 1 , a n , a n + 1,则a n 是a n — 1与a n + 1的等比中项, a n -1 a n +1,运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程，同时等比中项常起到桥梁作用, 要认真感悟和领会."!" '||［3.(1)如果一1, a , b , c,— 9 成等比数列，那么()a n + 1—=q(q 为常数且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列. a n (2)等比中项法a n +1 = a n a n + 2(n € N *且a n 丸)等价于｛a n ｝是等比数列. (3)通项公式法a n = a 1q n —1(a 1^0且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列.1”2.已知数列｛a n ｝是首项为2，公差为一1的等差数列，令b n = 1，求证数列｛b n ｝是等比数列，并求其通项公式.解：由已知得，a n = 2+ (n — 1)x (— 1) = 3— n ,1 3-( n + 1)b n + 1 2 故 = ~b n 1 3—n23 — ( n + 1) — 3+ n所以数列｛ b n ｝是等比数列. 因为b 1= 114,所以 b n =X 2n —1 = 2n ― 3［解］由题意知 3 b 2, b ，243, c 这五个数成等比数列，求 32a ,b ,c 的值.23b2= — 2243 X—亦 3ab = — 2 27 27所以b = ±8•当b =—时，2 10243 3 初/曰bc =—五=—2 ，解得 c =3 6 =2 ，2，解得2 a =3 ；27 2同理，当 b =— "8■时，a =— 3, 3 c =—2综上所述，a , b , c 的值分别为2 27 3, 8 ,2 — 27 3, —8，A . b = 3, ac = 9 B. b =— 3, ac = 9 C. b = 3, ac =— 9 D. b =— 3, ac =— 9⑵已知等比数列｛a n ｝的前三项依次为 a — 1, a +1, a + 4,贝U a n = _________解析：(1)因为 b 2= (— 1)x (— 9) = 9, 且b 与首项—1同号， 所以b =— 3，且a , c 必同号. 所以 ac = b 2= 9.⑵由已知可得(a + 1)2= (a — 1)(a + 4), 解得 a = 5,所以 a 1= 4, a 2= 6,所以a n = 4 x 31. 等比数列定义的再认识(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数， 是具有任意性的，但须注意是从“第2项”⑵从“第2项”起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是“同一个”.(3)对于公比q ,要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒，q 不为零.⑷各项不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列. 2. 等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ,可以确定一个等比数列.⑵在公式a n = a 1q n 1中有a n , a 1, q , n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.⑶等比数列｛a n ｝的通项公式的推导所以a 2a 12'答案：(1)B3 n — 1(2)4 x 3起.法一：（迭代法） 根据等比数列的定义，有2n — 2 n —1a n = a n -i q = a n — 2q 2=^= a 2q 2= a i q 1 法二：（累乘法） 根据等比数列的定义，可以得到把以上n -1个等式左右两边分别相乘，得 a 2 a 3 a 4 a i a 2 a 3即 an = q n —1, a i 所以 a n = a 1q n -1.3. 等比中项的理解（1） 当a , b 同号时，a , b 的等比中项有两个；当 a , b 异号时，没有等比中项.（2） 在一个等比数列中， 从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后 一项的等比中项.（3） “a , G , b 成等比数列”等价于“ G 2= ab ”（a , b 均不为0），可以用它来判断或证明 三数是否成等比数列.当堂检测 ♦1•数列｛a n ｝的通项公式是a n = 5x 3n ，则此数列是（ ）A •公比为3的等比数列B •公比为5的等比数列C .首项为5的等比数列D .公差为3的等差数列 解析：选A.因为a n = 5x 3n , 所以 a n -1= 5x 3n -1（n 》2）, 所以当n > 2时，—匹=3.a n - 1由等比数列的定义知，｛a n ｝是公比为3的等比数列. 2.在首项a 1= 1，公比q = 2的等比数列｛a n ｝中，当a n = 64时，序号n 等于（）a 2 ar q ， a 3 a 4 ar q ，aT q ，a na n -1q ,a n a n -1n -1A. 4B. 5C. 6解析：选 D.因为a n= a i q—1,所以 1 x 2n-1= 64,即1= 26，得 n— 1 = 6,解得n = 7.3. (2015高考广东卷)若三个正数a, b, c成等比数列，其中a = 5+ 2丁6, c= 5—2.6,则b= ________ .解析：因为a, b, c成等比数列，所以b2= a c= (5 + 2 '6) (5 — 2 .：6)= 1.又b>0,所以b= 1.答案：14•求下列各等比数列的通项公式：(1) a1 = —2, a3= —8;(2) a1 = 5，且2a n+1 = —3a n.解：(1)因为a3= a1q2,所以q2= 4,所以q= ±2.当q = 2 时，a n= (—2) x 2n—1= —2n;当q = — 2 时，a n= ( —2)x (—2)n—1= (—2)n.a n+1 3(2)因为q= "a^ =—2，又a1 = 5,3 n—1 所以a n= 5 x — 2.应用案巩固提升丄［A 基础达标］1. 若｛a n｝为等比数列，且2a4= a6 —a5，则公比是()A. 0 B . 1 或一2D . —1或一2解析：选 C.由已知得2a1q3= a1q5—ag4,得2= q2—q,所以q=—1或q = 2.2. 在等比数列｛a n｝中，a n>0，且a i+ a2= 1, a3+ a4= 9，贝U a4+ a5 的值为()A. 16B. 27C. 36D. 81解析：选 B.由a3+ a4= q2(a1 + a2)= 9,所以q2= 9,又a n>0,所以q= 3.a4+ a5= q(a3 +a4）= 3X 9 = 27.3. 彳，是等比数列4,2, 4, 2 2,…的（）A .第10项B .第11项C.第12项 D .第13项解析：选B.由题意可知q=痣二乎，令¥= 4返x普，所以土= 32=扌210，故n— 1 = 10,即n= 11.4. 在数列｛a n｝中，a1= 1,点（a n, a n+1）在直线y= 2x上，贝U a4的值为（）A . 7B . 8C. 9D. 16解析：选B.因为点（a n, a n+1）在直线y= 2x上,所以a n+1= 2a n.因为a1= 1丰0,所以a n丸,所以｛a n｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以a4= 1 x 23= 8.5. 一个数分别加上20, 50, 100后得到的三个数成等比数列，其公比为（）5 4A・3 %3 1CQ DQ解析：选A.设这个数为x,则(50+ x)2= (20 + x) (100 + x).解得x= 25,所以这三个数为45, 75, 125,75 5公比q为45= 36.右一1, 2, a, b成等比数列，则a + b=解析：根据题意有=身=b，解得a=—4, b= 8,—1 2 a所以a+ b= (-4) + 8 = 4.答案：47•下面各数列一定是等比数列的是(填序号).①一1, —2, —4, —8;② 1 , 2, 3, 4;1111③x, x, x, x；④a,評評尹解析：根据等比数列的定义，①④是等比数列，②不是等比数列，③中x可能为0,故③不一定是等比数列.答案：①④1 r,&在等比数列｛a n｝中，若a4= 27, q= —3，贝卩a6= ,a n =1解析：因为a4= a1q3= a1 —3 = 27,所以a1= —36,所以a6= a1q5= —36x=36x 3 = 3,n- 11a n=—36X—1= (—1)n37—n答案：3 (—1)n37 —n16 a3=—4，且公比为正数.9.已知数列｛a n｝为等比数列，首项a1=—9,(1)写出此等比数列的通项公式a n;⑵—20丁是否为｛a n｝中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.解：(1)设公比为q(q>0),由a3= a i q2,得一4 =—£q2,3解得q=3,16 3 n—1所以a n=—— X 2 .n —1人16、/ 3 1 81⑵令—-X 2 = —204= —7,3 n—1819 3 6得2 =乎X 16= 3，解得n = 7.1故—204是｛a n｝中的第7项.10.已知数列｛a n｝的前n项和为S n,对一切正整数n,点(n, S n)都在函数f(x)= 2x+ 2—4的图象上.求证：数列｛a n｝是等比数列.证明：由题意得S n = 2n+ 2—4,4, n=1,S1, n = 1, 所以a n=S n—S n—1, n》22n+ 1, n》2.又a i= 4 也符合a n= zZln G N*, n》2),所以a n= 2n+ 1(n € N ),a n +1 2n+ 2因为百=产=2，所以数列｛a n｝是等比数列.[B 能力提升]1. 已知数列｛a n｝，下列选项正确的是()A .若a2= 4n, n € N*，则｛a n｝为等比数列B. 若a n a n+2= a n+1, n € N*，则｛a n｝为等比数列C. 若a m a n= 2m n, m, n €N*，则｛a n｝为等比数列D .若a n a n+ 3= a n+ 1a n+ 2, n€ N*，则｛ a n｝为等比数列解析：选C•由a2= 4n知|a n| = 2n，则数列｛a n｝不一定是等比数列；对于 B , D选项，满足条件的数列中可以存在为零的项，所以数列｛a n｝不一定是等比数列；对于C选项，由a m a na n + 1=2m+n知，a m a n+ 1= 2m+ n+ S两式相除得石 =2(n € N ),故数列｛a n｝是等比数列.故选C.12. ___________________________________________________________________ 已知等比数列｛a n｝中，a i= 1,且a i, 2玄3, 2a2成等比数列，则a n = _____________________ 解析：设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a2= q, a3 = q2.1因为a i, §a3, 2a2成等比数列，1所以4q4= 2q,解得q= 2,所以an= 2n—I答案：2n_13. 已知数列｛a n｝的前n项和S n= 2a n + 1.(1)求证：｛a n｝是等比数列，并求出其通项公式；⑵设b n= a n+ 1+ 2a n,求证：数列｛b n｝是等比数列.解：(1)因为S= 2a n+ 1,所以S n+1= 2a n+1+ 1,S n + 1 —S n = a n+ 1 = (2a n + 1 + 1) —(2a n+ 1) = 2a n+ 1 —2a n,所以a n+ 1 = 2a n①，由已知及①式可知a n M O.a n+1所以由丁 = 2，知｛a n｝是等比数列.a n由a1= S1= 2a1 + 1,得a1=—1，所以a n = —2n—1.⑵证明：由(1)知，a n= —2n—1,所以b n= a n+1+ 2a n=—2n—2X 2n—1=—2X 2n=—2n +1= —4X 2n —1.所以数列｛b n｝是等比数列.4. (选做题)已知等比数列｛a n｝中，a1 = 1,公比为q,且b n= a n+1—a n.(1)判断数列｛b n｝是否为等比数列？说明理由；⑵求数列｛b n｝的通项公式.解：⑴因为等比数列｛a n｝中，a i= 1, 公比为q，所以a n = 1 x q n—1= q n一1, 若q = 1 ,贝y a n=1 , b n = a n+ 1 —a n= 0,所以数列｛b n｝是各项均为0的常数列,不是等比数列.若q丰1,由于b n+ 1a n+2—a n+1 q n+1—q nb n - =a n+1—a n = q n—q n-1q n(q —1)=q,q n —1(q —1)所以数列｛ b n｝是首项为b1= a2—a1= q —1，公比为q的等比数列.⑵由(1)可知，当q = 1时，b n= 0；当q 工 1 时，b n= (q —1)q n—1。
2.4.1 等比数列的概念及通项公式
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第二章
数
列
新知初探·思维启动
1．等比数列的定义
第2项 起，每一项与它的 如果一个数列从________ 同一常数 ，那么这个数 前一项的比都等于__________ 列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 __________ ，公比通常用字母q(q≠0)表示．
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数
列
想一想
1.常数列一定为等比数列吗？ 提示：不一定，当常数列为非零数列时，此 数列为等比数列，否则不是． 做一做
1.试写出两个等比数列．
答案：1,2,4,8，„ 1，－1,1，－1„
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数
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2．等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为 q(q≠0)：
递推公式
n－ 1
(2)由(1)知 an＋1＝(a1＋1)q ＝2· 2n 1＝2n， 10 分
－
∴an＝2n－1.
12 分
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数
列
【名师点评】 证明一个数列是等比数列的常 用方法： an＋ 1 an (1) 定 义 法 ： ＝ q( 常 数 ) 或 ＝ q( 常 an an－ 1 数)(n≥2)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：a2 an＋2 且(an≠0， n＋ 1＝ an· n∈N＋)⇔{an}为等比数列． (3)通项法： an＝a1qn 1(其中 a1、 q 为非零常数，
【答案】
D
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第二章
数
列
G 【名师点评】 由等比中项的定义可知： ＝ a b ⇒G2＝ab⇒G＝± ab.这表明： 只有同号的两 G 项才有等比中项， 并且这两项的等比中项有两 个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中 G b 项．反之，若 G ＝ab，则 ＝ ，则 a，G，b a G
等比数列的定义和通项公式
等比数列的定义和通项公式一、等比数列的定义和通项公式1.等比序列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。
（1）等比序列中的任何项都不是0，公共比率为$Q≠ 0 $.（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。
2.等比序列的通项公式（1）通项公式如果比例序列${a_n}$的第一项是$a_1$，公共比率是$q$，那么这个比例序列的一般项公式是$a_n=a_1q^{n-1}（a_1，q≠0)$。
在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。
注：通过$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，您可以启动$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$所以有：①在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。
② $a在已知的比例序列${a_n}${M$和$a_n$中，可以使用$\frac{a_n}{a_M}=q^{n-M}$来找到公共比率。
（2）等比数列中项的正负对于比例序列${a_n}$，如果$Q<0$，则${a_n}$中正负项之间的间隔，如序列1、-2、4、-8、16、$\cdots$；如果$Q>0$，则序列${a_n}$中的所有项都具有相同的编号。
总之，等比序列的奇数项必须有相同的符号，偶数项也必须有相同的符号。
3、等比中项如果插入一个数字$g（g≠ 0）$在$a$和$B$之间，因此$a$，$g$，$B$处于等比序列中，$g$被称为$a$和$B$等比的中间。
2.4 等比数列的概念及通项公式
又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.
1234
1.等比数列的判断或证明
规律与方法
(1)利用定义：aan＋n 1＝q(与 n 无关的常数). (2)利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2(n∈N*). 2.两个同号的实数 a，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(± ab)，
而不是一个( ab)，这是容易忽视的地方. 3.等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 共涉及 a1，q，n，an 四个量，已知其 中三个量可求得第四个量.
跟踪训练2 在等比数列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； 解 由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 解 设等比数列的公比为q， 那么aa11qq25＝＝2106，0， 解得qa＝1＝25，. 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
知识点二 等比中项的概念
思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？ 答案 设这个数为 G，则G2 ＝G8 ，G2＝16，G＝±4，所以这样的数有 2 个.
梳理 等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
若a，A，b成等差数列，则 若a，G，b成 等比 数列，
第二章 §2.4 等比数列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
知识点一 等比数列的概念 梳理 等比数列的概念和特点. (1)文字定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 比 等 于 同一 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母q表示(q≠0). (2)递推公式形式的定义：aan－n 1＝q(n>1)(或aan＋n 1＝q，n∈N*). (3)等比数列各项均 不能 为0.
2020新课标改编版第2章 2.4 2.4.1 等比数列的定义及通项公式 _11-15
易错点评：没有分清等差数列与等比数列．
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4
1．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣定义 是解决问题的关键．
2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项 a1， 公比 q 为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与 结论的联系，往往使很多问题更容易解决．
列．
(2)等比中项法：a
2 n＋1
＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比
数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(an≠0且q≠0)⇔{an}为等比数 列．
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2
【变式与拓展】
4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式． (1)证明：方法一：∵an＋1＝2an＋1，∴aan＋n＋1＋11＝2. ∴{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列．
3．等比中项在题目中会经常出现，因此要掌握好．
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5Байду номын сангаас
它是我的性命，你真要狠心夺走我的命吗?” “这……”好人变的不知所措了，这条蛇说的好有道理，甚至无懈可击。你帮它们避免了一切可能伤害它们的东西。什么时候你才能变得聪明起来呢?我都快要生病了。
okex https:///exchange/okex/ 望着自已胖得不能再胖的身躯，胖熊有苦难言不知所措，后悔自己不求甚解以偏盖全，错误领会了运动减肥的真正内涵。
方法二：an＋1＝2an＋1，∴aan＋n＋1＋11＝2aan＋n＋1＋ 1 1＝2(aann＋＋11)＝2. ∴{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)知：an＋1＝(a1＋1)qn－1＝2·2n－1＝2n， ∴an＝2n－1.
2020新课标改编版第2章 2.4 2.4.1 等比数列的定义及通项公式 _1-5
答案：不一定，当常数列为非零数列时，才是等比数列，
否则不是．
2．若 G2＝ab，则 a，G，b 一定成等比数列吗？
答案：不一定，若a＝G＝b＝0，则G2＝ab成立，但a，G，
b 不成等比数列．
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3
题型1 等比数列的基本概念 例 1：在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 a4 的值． 思维突破：要求a4 可以先求an，这样求基本量a1 和q 的值 就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决．
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4
自主解答：设此数列的公比为 q，由已知，得
a1＋a1q2＝10， a1q3＋a1q5＝54
a1(1＋q2)＝10， ① ⇒a1q3(1＋q2)＝54.②
由 a1≠0,1＋q2≠0，②÷①，得
q3＝18⇒q＝12⇒a1＝8. a4＝a1q3＝8×18＝1.
本题在求基本量a1 和q 时，运用方程思想把两 个方程相除达到消元的目的，此法应重视．
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5
匡衡就在农忙的时节，给有钱的人家打短工，不要工钱，只求人家借书给他看。”
他把小骆驼带回去，拴在一头大黑骆驼的脖子上。当猎人走近鹿的时候，鹿就立刻逃走。 动漫电视剧 ”于是，老人想到了早上孙子给他的两颗糖，就从衣袋里掏出糖，朝着树上的小男孩说：“小孩，你真棒，你能爬得这么高，还尿中了，真凉爽，奖赏你!”小男孩信以为真，胆战心惊地从树上下来， 接过老人的赏赐，高兴地回家了，老人并没打骂他。“没有。，他们在相互学习中成长
2.4 等比数列
2.4.1 等比数列的定义及中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
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1
高中数学：第二章 2.4 第一课时 等比数列的概念及通项公式
证明：(1)由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a1＋2 a3.
⑤
将④⑤代入②，得 a32＝a1＋2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5，即 a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．
[活学活用]
在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求 an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
解：(1)因为aa47＝ ＝aa11qq36， ， 所以aa11qq36＝＝28，，
① ②
② 由①得
q3＝4，从而
q＝3
4，而
a1q3＝2，
于是
a1＝q23＝12，所以
an＝a1qn－1＝2
等比数列的判定与证明
[典例] 在数列{an}中，若 an>0，且 an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明： 数列{an＋3}是等比数列．
证明：[法一 定义法] ∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴aan＋n＋1＋33＝2ana＋n＋3＋ 3 3＝2aann＋＋33＝2. ∴数列{an＋3}是首项为 a1＋3，公比为 2 的等比数列．
(2)由 2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2 或12，由 a25＝ a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以 q＝2.
a25＝a10⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为 an＝2n.
[答案] (1)C (2)2n
等比数列的定义和通项公式
2
3
……
,2
63
9，92，93，94，95，96，
9
7
共同特点？从第2项起，每一项
与前一项的比都等于同一常数。
等比数列
定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它 前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比 数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用 字母q表示。(q≠0）
其数学表达式：
an q ( n 2) an 1
等比数列的概念 和通项公式
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。 数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或 d=an+1-an 2、等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d (n∈N*) 3、等差数列通项公式的推导公式： an=am+(n-m)d (n,m∈N*)
等比数列的通项公式
已知等比数列的首项为a1， 公比为q，求第n项an。
方法一： 归纳法
a2=a1q a3=a2q=(a1q)q=a1q2 a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 …… an=a1qn-1 从特殊到一般的方法称为归纳法
方法二：累乘法
a4 an a3 … , … a2 q , q , q , q, a a3 an 1 2 a1
或
an 1 * q(n N ) an
名 称
等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
如果一个数列从 第 2 项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数 , 那么这个数列 叫做等比数列. 这个常数叫做等比 数列的公比，用 q表示.
等比数列的概念及通项公式 课件
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
复习回顾
1、等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
an 数学语言： a q （q是常数，n≥2，n∈N*） n 1 an 1 或 q （q是常数， n∈N* ） an 2、等比数列的通项公式 a = a q(n－1)
第1个图形的边数为3，从第2个图形起，每一个图形的边 数均为前一个图形边数的4倍. 所以，第n个图形的边数为 3 4n 1
1 n 1 4 n 1 n 1 所以，第n个图形的周长= ( ) 3 4 3 ( ) 3 3
练
习
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
3
1
3
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
例5、如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边三 等份，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一 段，得图（2) 如此继续下去，得图（3）……试求第n个 图形的边长和周长。 解： 设第n个图形的边长为an.由题知， 从第2个图形起，每一个图形的边 (1) (2) 1 长均为前一个图形边长的 . 1 n 1 31 an ( ) 所以{an}是首项为1，公比为 3 的等比数列. 3
2.4.1等比数列概念及通项公式
an am ( n m )d
一、复习 1、等差数列的定义： an1 an d ( n N *)
an an1 d (n N *, n 2)
2、等差数列的通项公式：
an a1 ( n 1)d
3、等差中项
an am ( n m )d
1 1 1 1 1, , , , ,鬃 ? 2 4 8 16
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1, 20, 20 , 20 , 20 , 鬃 ?
2
3
4
(1).1, 2, 4,8,16, 鬃 ?
1 1 1 1 列有什么共同 (2). 1, , , , ,鬃 ? 特点? 2 4 8 16 2 3 4 (3). 1, 20, 20 , 20 , 20 , 鬃 ?
一、复习
1、等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 定义式：
an1 an d (n N *)
an an1 d (n N *, n 2)
2、等差数列的通项公式：
an a1 ( n 1)d
数学语言：
an * q (n 2且n N ). an 1 an 1 或 q an
2.等比数列的通项公式
猜一猜？
如果等比数列 {a n}的首项是 a1 ,公比是 q,那么这个等比数列的第n 项a n 如何表示?
想一想？
a3 a2 = q 证明：∵ = q a1 a2
……
将等式左右两边分别相乘可得：
如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等 差数列，那么A叫做a与b的等差中项。 ab a、A、b成等差数列 A 2
2020学年高中数学第2章数列2.4等比数列第1课时等比数列的定义与通项公式课件新人教A版必修5
◆方法技巧 应用等比中项解题的两个注意点 (1)要证三数 a，G，b 成等比数列，只需证明 G2＝ab， 其中 a，b，G 均不为零. (2)已知等比数列中的相邻三项 an－1，an，an＋1，则 an 是 an－1 与 an＋1 的等比中项，即 a2n＝an－1an＋1(an≠0)，运用等比中 项解决问题，会大大减少运算过程.
►知识点二 等比中项 【探究1】 对任意两个不为零的数是否一定都有等 比中项？若有，是否唯一？ 提示 不一定，只有当两个数同号，即两个数之积大 于零时，此两数才有等比中项且有两个等比中项，它们互 为相反数.
【探究2】 若c是a，b的等比中项，则有c2＝ab，反 之成立吗？
提示 不一定成立.在c2＝ab中，若c＝0，则a，b中至 少有一个为0，此时三个数不成等比数列，则c不是a，b的 等比中项；若a，b，c均为非零常数，反之也成立.
[突破练1]
已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a5＝
A.4
B.8
C.16
D.64
解析 q＝aa21＋＋aa32＝2，a1＋2a1＝3，即 a1＝1，
则 a5＝a1q4＝16.
答案 C
类型二 等比中项及应用
[例 2] (1)已知等差数列{an}的公差 d≠0，若 a9 是 a5，
【探究2】 在数列{an}中，若an＋1＝2an.则{an}是等 比数列吗？
提示 不一定.当an≠0时，{an}是等比数列.当an＝0 时，{an}不是等比数列.
【探究3】 等比数列的公比q能否为零？
提示 不能.根据等比数列的定义，公比为每一项与 前一项的比，即：aan－n 1＝q，若 q＝0，则 an＝0，所以数 列中每一项都为零，所以 an－1＝0，这样比值aan－n 1无意义， 所以 q≠0.
2019_2020版高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式课件新人教A版必修
第1课时 等比数列的概念 及通项公式
课标阐释 1.理解等比数列的概念,理解等比中 项的概念. 2.掌握等比数列的通项公式,能运用 公式解决相关问题. 3.掌握等比数列的判断与证明方法.
思维脉络
等比数列的概 等比数列的概念
念及通项公式 等比中项 等比数列的通项公式
一二三
一、等比数列
23;(4)不是等比数列;(5)是等比数列,公比为-4.
一二三
二、等比中项
【问题思考】
1.能否在如下的两个数之间,插入一个数,使这三个数构成等比数列?
(1)2,
,8;(2)-10,
,-10;(3)9,
,-1.
提示(1)能,插入的数是4或-4;(2)能,插入的数是10或-10;(3)不能.
2.填空: 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b 的等比中项,这三个数满足关系式ab=G2.
(1)证明由 an=23an-1+1,得 an-3=23(an-1-3).因为 bn=an-3,所以
bn-1=an-1-3, 因此 bn=23bn-1,故数列{bn}是公比为23的等比数列.
(2)解
由(1)知,b1=a1-3=5-3=2,所以
bn=2·
2 3
������
-1
,即
an-3=2· 23
an=3n-1; (2)a1=1,a2=3a1,a3=3a2=a1·32,…,an=a1·3n-1.
2.填空: 等比数列的通项公式 已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),则数列{an}的通项公 式为 an=a1qn-1.
3.做一做:
已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=-2,则an= ( )
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式教案 新人教A版必修
安徽省长丰县高中数学第二章数列2.4 等比数列2.4.1 等比数列的概念及通项公式教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省长丰县高中数学第二章数列2.4 等比数列2.4.1 等比数列的概念及通项公式教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为安徽省长丰县高中数学第二章数列2.4 等比数列2.4.1 等比数列的概念及通项公式教案新人教A版必修5的全部内容。
2.4。
1 等比数列的概念及通项公式2。
4.1 等比数列的概念及通项公式（共 1 课时）一、知识与技能1。
了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题；4.体会等比数列与指数函数的关系。
二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动；3。
密切联系实际，激发学生学习的积极性。
三、情感态度与价值观1。
通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2。
通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣。
教学重、难点教学重点 1.等比数列的概念；2。
等比数列的通项公式。
教学难点1。
在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系。
教学准备多媒体课件教学过程导入新课师现实生活中,有许多成倍增长的实例.如,将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗? 生一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子,…师非常好的一个例子！现实生活中，我们会遇到许多这类的事例。
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有一只叫做一聪明的虾蟆同它们俩结成了友谊。
人类世界的人们，都住在有好几棵大树那么高的房子里，它们坐在四个轮子的东西上到处跑，还讲了关于人类世界好多的新鲜事物，森林里的动物们一个个都听得入迷了，无不 被吸引，连连称赞，逃跑的小鸟更是自满的觉得自己是最有知识的。文王又命玉匠把玉石雕琢成璧，并给它起了个名字，叫“和氏璧”，用以昭示和氏的胆识与忠贞。 小小影视 它们嘱咐儿子也照它们这样做。’他说。，
【变式与拓展】
1．(2010 年重庆)在等比数列{an}中，a2 010＝8a2 007 ，则公 比 q 的值为( A )
A．2
B．3
C．4
D．8
2．(2011 年广东广州调研)已知等比数列{an}的公比是 2， a3＝3，则 a5 的值是____1_2___．
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1
题型2 等比数列的通项公式
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4
自主解答：(1)因为 2an＝3an＋1，所以aan＋n 1＝23. 故数列{an}是公比 q＝23的等比数列． 又 a2·a5＝287，则 a1q·a1q4＝287，即 a21·235＝233. 由于数列各项均为负数，则 a1＝－32.
. 所以 an＝－32×23n-1＝－23n-2
故an＝2n－1或an＝4·12n－1＝2－n＋3.
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2
求等比数列的通项公式关键是确定等比数列的 首项和公比． 【变式与拓展】
3．(2010 年福建)在等比数列{an}中，若公比为 q＝4，且前 3 项的和等于 21，则该数列的通项公式 an＝__4_n_－_1_.
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3
题型3 等比数列的判定 Байду номын сангаас3：在各项为负数的数列{an}中，已知：2an＝3an＋1，且 a2·a5＝287. (1)求证：{an}是等比数列，并求出通项； (2)试问：－1861是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是 第几项；如果不是，说明理由．
例2：在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求 an. 自主解答：a1＋a2＋a3＝7⇒a1(1＋q＋q2)＝7. a1a2a3＝8⇒a31q3＝8⇒a1q＝2.
则aa11(q1＝＋2q. ＋q2)＝7，
① ②
由①÷②，得1＋qq＋q2＝72，解得q＝2或q＝12.
当q＝2时，a1＝1；当q＝12时，a1＝4.