高三复习——线面角的求法

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线面角的求法总结

线面角的求法总结一．直接法：平面的斜线与斜线在平面的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。

（2）SC与平面ABC所成的角。

解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,图1∴SC⊥平面SAB 故SB是斜线BC 在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。

（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥面SCM过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC∴CH即为SC 在面ABC的射影。

∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。

sin ∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

）二利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面AB1C1D 所成的角。

解：设点B 到AB1C1D的距离为h,=V A﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB，易得h=12／5∵V B﹣AB1C1设AB 与面A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5图2∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5三. 利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2（如图3）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α的射影，OC为面α的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，图3θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ1·cosθ2（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC所成的角的余弦值。

求线面角的三种常见思路方法

求线面角的三种常见思路方法线面角是指直线与平面之间所形成的角，是几何学中一个重要的概念。

解线面角问题可以采用以下三种常见的思路方法：思路一：利用平行线的性质在解线面角问题时，常常会涉及到平行线的性质。

根据平行线的特征，可以使用以下思路来解决线面角问题：1.利用平行线的对应角相等和内错角相等性质。

如果已知两条直线平行，可以利用对应角相等和内错角相等的性质来求解线面角。

通过对已知条件进行分析，找到与线面角有关的对应角或内错角，利用性质得到所求的线面角的大小。

2.利用平行线与截线的交角性质。

当一条直线与两条平行线相交时，可以利用平行线与截线的交角性质来求解线面角。

根据已知条件，找到已知直线与平行线之间的交角，利用交角的性质计算出线面角的大小。

思路二：利用投影思想在解线面角问题时，可以利用投影的概念，将线面角问题转化为由线段形成的平面角的问题。

通过以下思路来解决线面角问题：1.利用垂直平分线的性质。

如果已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段的中垂线与平面垂直相交，就可以利用垂直平分线的性质求解线面角。

通过画出线段的垂直平分线，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质计算出线面角的大小。

2.利用投影线段的长度比例。

当已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段在平面上的投影与线段本身的长度之间存在一定的比例关系时，可以利用投影线段的长度比例求解线面角。

通过给出的长度比例关系，利用投影线段的性质计算出线面角的大小。

思路三：利用旋转思想在解线面角问题时，可以借助旋转的概念，将线段或线面角问题转化为更容易解决的问题。

以下是利用旋转思想解决线面角问题的方法：1.利用其中一直线的旋转。

如果已知一条直线与平面之间的夹角，并且可以将该直线绕一个点旋转，使旋转后的直线与平面重合或相切，就可以利用旋转后的性质来求解线面角。

通过旋转后的直线与平面的位置关系，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质求解线面角的大小。

2.利用绕轴旋转。

线面角的求法总结1

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

A1C1D1H 4CB123BAD图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

OαD ACB图41．平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，A O 是平面α的斜线，A 是斜足，O B 垂直于平面α，B 为垂足，则直线A B 是斜线在平面α内的射影。

设A C 是平面α内的任意一条直线，且B C A C ⊥，垂足为C ，又设A O 与A B 所成角为1θ，A B 与A C 所成角为2θ，A O 与A C 所成角为θ，则易知：1||||c o s A B A O θ=，212||||c o s ||c o s c o s A C A B A O θθθ==又∵||||c o s A C A O θ=，可以得到：12c o s c o s c o s θθθ=⋅，θθ2θ1OCBAα注意：2(0,)2πθ∈（若22πθ=，则由三垂线定理可知，O A A C ⊥，即2πθ=；与“A C 是平面α内的任意一条直线，且B C A C ⊥，垂足为C ”不相符）。

高中几何线面角的经典求解方法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC =60°, M 为AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。

（2）SC 与平面 ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H,则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

）2.利用公式sin θ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2（如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,AB=3,BC=2,A 1A=4，求AB 与面AB 1C 1D所成的角的正弦值。

A1C 1D1H4CB123BAD解：设点B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3S △AB 1C 1·h=1／3S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h／AB=4／5图23.利用公式cos θ=cosθ1·cosθ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。

线面角的求法总结[学习]

线面角的求法总结[学习]
一、定义
斜线面角，又称为投影面角，是指在一个平面和另一个平面上投影的两个斜线之间的
夹角。

一般我们用斜线来表示斜线面角，用直线来表示竖直面角。

二、求法
1.两斜线角度法
如果两斜线是相互垂直的，则斜线面角等于这两条斜线的夹角，这也是斜线面角最常
使用的求法。

4.斜线特点法
如果斜线有一个特点或异性，则可以用它来求斜线连接线的夹角，进而求出斜线面角。

比如说斜线的弦长、半径长I、斜线的最大距离C可以用来求斜线的斜线面角。

计算方式
如下：斜线面角=arcsin[(I-C)/C]
三、总结
以上就是斜线面角的求法总结：1.两斜线角度法；2.斜线直线角度法；3.斜线圆心角法；4.斜线特点法。

此外，也可以把斜线面角写成三角形的标准式求出，只要知道斜线面
角上两个边长，以及所角的度数就可以求出三角形的剩余一边所构成的总面角，也就是斜
线面角。

线面角的求法

线面角的范围
线面角的范围是[0,π/2]。当线面角为0时，直线与平面重合；当线面角为π/2时，直线与平面垂直。
02
线
首先确定直线和平面的向量，通常用向量表示为$\mathbf{a},\mathbf{b}$。
VS
夹角公式
通过向量数量积和向量模长的计算，得到线面角的正弦值，即$\sin\theta = |\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}| $。
利用坐标系求线面角
1 2
建立坐标系
建立适当的坐标系，确定直线和平面的方程。
找到交线
通过求解直线和平面方程的交点，得到交线向量。
夹角公式
3
利用向量夹角公式，求出线面角的正弦值。
利用几何定理求线面角
利用定理
利用线面角和线线角的关系，通过已知条件找到线面角的正弦值。
具体定理
例如三角形内角和定理、平行四边形定理等。
判断线面平行关系
判断直线与平面是否平行
若直线与平面内某一直线平行，则直线与平面平行；若直线与平面内两条相交直线都平行，则直线与平面平行。
判断平面与平面是否平行
若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线对应平行，则两个平面平行。
求直线和平面的距离
求点A到平面ABCD的距离
过点A作平面ABCD的垂线，垂足为O，连接OA，则OA为点A到平面ABCD 的距离。
03
线面角的应用
确定点在线面上的位置
确定点P在线面ABCD上的射影
在线面角为锐线面角时，点P为直线AB与CD交点；在线面角为钝线面角时，点P 为直线AB与CD延长线交点。

线面角的求法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B MHSCA 图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

）2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H 4C123B A D图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／53. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， BαO AC 图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

线面角的求法总结

线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。

一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。

例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。

（2）SC与平面ABC所成的角。

解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。

2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。

由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。

过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。

因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。

求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。

例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。

解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。

设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。

解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。

线面角的三种求法

其中θ是斜线与平面所成的角， h是垂线段的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12

线面角的求法总结(经典实用)

线面角的求法总结（经典实用）
1、直接法：即定义法，做出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形,根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求.
2、三余弦定理：设斜线与平面所成角为θ，在平面上作出一条过斜足的特殊直线,求出该直线与射影间的夹角θ，以及它与斜线间的夹角γ或其余弦,就可利用三余弦关系cosγ=cosθ·cosβ求出线面角的余弦值。

3、三正弦定理
设二面角M-AB-N的度数为α，在平面M内有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成角为γ，则sinγ=sinαsinβ结论：二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值，即二面角是线面角的最大值。

线面角二面角线线角的公式

线面角二面角线线角的公式线面角、二面角和线线角是在几何学中常见的概念，它们有各自的计算公式。

下面将分别介绍这三个角的定义和计算方法。

1.线面角：线面角是由一条线与一个平面相交所形成的角。

设平面上有一条直线L，平面上有一点A和直线上的一点B，在平面上从点A引一条垂线，与直线L相交，就形成了一个线面角。

线面角的度量是直线L的角度与平面的夹角。

线面角的计算公式如下：线面角=直线L与平面的夹角2.二面角：二面角是由两个平面相交所形成的角。

设有一个平面P1和一个不与P1平行的平面P2，两个平面相交于一条直线L。

通过P1和P2的交线L 可以确定两个交点A和B。

二面角的计算公式如下：二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）值得注意的是，二面角没有固定的度量单位，它的度量取决于直线L 在两个平面上的角度度量单位。

3.线线角：线线角是由两条直线相交所形成的角。

设有两条直线L1和L2，它们相交于一点O。

通过O可以确定L1上的一点A和L2上的一点B。

线线角的计算公式如下：线线角=∠AOB其中，∠AOB表示点A、O和B所形成的角。

总结：线面角、二面角和线线角是几何学中常见的角度概念。

线面角由一条直线与一个平面相交所形成，计算公式为线面角=直线L与平面的夹角。

二面角由两个平面相交所形成，计算公式为二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）。

线线角由两条直线相交所形成，计算公式为线线角=∠AOB。

这些角度概念在几何学的应用中起着重要的作用。

线面角的求法

03
线面角的应用
平面几何中的应用
01
直线和平面的交点
02
三角形的高线
通过线面角，可以确定一条直线和一个平面的交点位置。
在三角形中，可以使用线面角确定高线的位置，从而求得三角形的面积。
03
圆和直线的位置关系
通过线面角，可以确定一条直线和一个圆的位置关系。
空间几何中的应用
确定空间中点的位置
通过线面角，可以确定一个点在三个平面上的位置。源自空间几何体的表面积和体积
通过线面角，可以确定一个几何体的表面积和体积。
异面直线的距离
通过线面角，可以确定两条异面直线之间的距离。
物理学中的应用
弹性碰撞
在弹性碰撞中，可以通过线面角确定入射和反射的角度。
光的反射和折射
在光学中，可以通过线面角确定光的反射和折射角度。
波的传播
在波的传播过程中，可以通过线面角确定波的方向。
利用圆的性质
在圆中，利用圆的性质可以求出圆的半径和圆心坐标等。
利用向量求解的技巧
01
02
03
向量的数量积
利用向量的数量积可以求出两个向量的夹角，进而求出线面角。
向量的向量积
利用向量的向量积可以求出两个向量的外积，进而求出线面角。
向量的模长
利用向量的模长可以求出线段或平面的长度等。
06
计算点的坐标
根据题目所给条件，计算出线段或平面上的点的坐标。
计算向量
利用向量的坐标运算性质，计算出线段或平面上的向量的坐
标。
利用几何定理求解的技巧
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段或平面上的点到原点的距离。