二次函数y=ax2+c的图像与性质12

5 10
函数y=x2+1的图 函数 的图 象可由y=x2的图 象可由 象沿y轴向 轴向上 象沿 轴向上平移 1个单位长度得到 个单位长度得到. 个单位长度得到 相同
-10 -5
6
4
2
y=x2
O
-2
x
x y=x2 y=x2-2
….. …… ……
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
……
2
-1
y
8
-2
-1
－4 －3 －2 －1
y = (x −2 2 )
y=x2
2
1
2
3
4
抛物线 的关系
y = 1 ( x + 1) 2 2
y=
1 2 x 与抛物线 y = 1 ( x + 1) 2 2 2
把二次函数 y =
1 2 x 的图象 向左平移 个单位，得到图形 的图象E向左平移 个单位，得到图形F 向左平移1个单位 2 如图. ，如图
A
x1
y B o
x2
x
a (2) 函数 函数y=ax2-a与y= ( a ≠ 0) 与 x
在同一直角坐标系中的图象可能是 （A ）
y
y o
y
y o
x
x o A
o
x
x
B
C
D
已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2), 已知二次函数 点 C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上 且x2< x4<0, 在其图象上,且 在其图象上 0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则 A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 D.y4>y2>y3>y1 x2 y2 y1 y3 y4 x4 x3 x1 (B )
向上 (0 ,0) y轴
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧， y随着 的增大而减小。 随着x的增大而减小 随着 的增大而减小。 在对称轴的右侧， 在对称轴的右侧， y随着 的增大而增大。 随着x的增大而增大 随着 的增大而增大。
x=0时,y最小=0 时 x=0时,y最大=0 时 的形状是由|a|来确定的 一般说来, 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由 来确定的 一般说来 抛物线 的形状是由 来确定的,一般说来 |a|越大 抛物线的开口就越小 越大,抛物线的开口就越小 越大 抛物线的开口就越小.
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
…… ……
5
2
y
8
1
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与 的图象与y=x2的 函数 的图象与 图象的位置有什么关系? 图象的位置有什么关系 函数y=x2+1的图 函数 的图 象与y=x2的图象 象与 的形状相同吗? 的形状相同吗
y=－ 1 ﹙x-1﹚2 2
－4 －6
1 2 可以看出， 的开口向下， 可以看出，抛物线 y = − ( x + 1) 的开口向下，对称轴 2
是经过点（－ ， ）且与x轴垂直的直线 轴垂直的直线， 是经过点（－1，0）且与 轴垂直的直线，我们把它记住 （－
1 2 x=－1，顶点是（－ ，0）；抛物线 y = − ( x − 1) （－1， ） － ，顶点是（－ 2 的开口向_________，对称轴是 x = 1 的开口向 下 ，对称轴是________________，顶点 ，
5
2
O
-2
x
10
y=x2-2
函数y=-x2+3的图 函数 的图 象可由y=-x2的图 象可由 象沿y轴向 轴向上 象沿 轴向上平移 3个单位长度得到 个单位长度得到. 个单位长度得到
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
O
-2
x
10
函数y=-x2-2的图 函数 的图 象可由y=-x2的图 象可由 象沿y轴向 轴向下 象沿 轴向下平移 2个单位长度得到 个单位长度得到. 个单位长度得到
(1,0) 是_________________． ．
1 2 1 1 2 y = − ( x − 1) 与抛物线 y = − x 2 抛物线 y = − ( x + 1) 2 2 2
有什么关系？ 有什么关系？
1 2 向左平移1个单位 个单位， x 向左平移 个单位，就得到抛物 2 1 1 2 y = − x 2 向右平移 个单位，就得到抛物 向右平移1个单位 个单位， 线 y = − ( x + 1) 把抛物线 ； 2 2
• 说出下列二次 函数的开口方向、
对称轴及顶点坐标 向上， 轴 向上，y轴 （0, (1) y=5x2 向下， 轴 (2) y=-3x2 +2 向下，y轴 （0, 向上， 轴 (3) y=8x2+6 向上，y轴 （0, 向下， 轴 (4) y= -x2-4 向下，y轴 （0,
0) 2) 6) - 4)
轴 （4）抛物线 ）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 的开口 顶点坐标是 (0,5) 在对称轴的左侧，y随x的增大 ，在对称轴的左侧， 随 的增大 而 增大 在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧， 随 的增大而 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 轴 （5）抛物线 ）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ， 的开口 在对称轴的左侧， 随 的增大 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 在对称轴的右侧， 随 的增大而 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。 6.二次函数 二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点 （1，-1）， 的图象经过点A（ ， ）， ），B 二次函数 的图象经过点 2+c的表达式为 y=2x2-3。若 ），则函数 （2，5），则函数 ， ），则函数y=ax 的表达式为 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点 的坐 （ ）也在函数的图象上，则点C的坐 . 标为 (-2,5) D的坐标为 ( 5 ,7) 或 (− 5 ,7) 点 的坐标为
探究
的图象， 的图象，
··· ··· ···
－3
－2
－2 1 − 2
－1
0
－8 －4.5 －2
0 1 − 2 1 − 2
1
2
3
··· ··· ···
－2 －4.5 －8 0
1 − 2
－2
－4
－2 －2 －4
2
4
y=－ 1 ﹙x+1﹚2 －6 2
y=－ 1 ﹙x-1﹚2 2
－4
－2 －2
2
4
y=－ 1 ﹙x+1﹚2 2
2 ……
函数y=x2-2的图象 函数 的图象 可由y=x2的图象 可由 轴向下 沿y轴向下平移 轴向 平移2 个单位长度得到. 个单位长度得到 相同
-10 -5
6
函数y=x2-2的图象与 的图象与y=x2的 函数 的图象与 图象的位置有什么关系? 图象的位置有什么关系
4
y=x2
函数y=x2-2的图象 函数 的图象 与y=x2的图象的 形状相同吗? 形状相同吗
-8
个单位得到。 向 下 平移 |c|个单位得到。
上加下减
(1)函数 函数y=4x2+5的图象可由 的图象可由y=4x2的图象 函数 的图象可由 个单位得到； 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 的图象 个单位得到。 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (2)将函数 将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 将函数 的图象向 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向上平移 7 个 的图象； 的图象向 的图象。 -7的图象 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 的图象。 的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 向上平移3个单位 个单位， （3）将抛物线 ）将抛物线y=4x2向上平移 个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 向下平移5个单位 将抛物线y=-5x2+1向下平移 个单位 所得的 将抛物线 向下平移 个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, （1）已知二次函数 ）已知二次函数 取
x1,x2分别是 分别是A,B两点的横坐标 时，函数值相等， 两点的横坐标)时 函数值相等， 两点的横坐标 则当x取 则当 取x1+x2时，函数值为 （ D ） A. a+c B. a-c C. –c D. c
10
y
8
y=x2+1 y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线 时 抛物线y=ax2+c的开口 向上 对称轴 的开口 ， 轴 在对称轴的左侧， 随 的 是 y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 在对称轴的右侧,y随 的增大而 增大而 减小，在对称轴的右侧 随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ； 抛物线y=ax2+c的开口 向下 对称轴 当a<0时,抛物线 时 抛物线 的开口 ， 轴 在对称轴的左侧， 随 的 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 在对称轴的右侧,y随 的增大而 增大而 增大，在对称轴的右侧 随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。