【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)

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【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)(2)

练习 1.写出下列圆的方程
x2+y2=9 （1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在(-3、4),半径为 5 。 (x+3)2+(y-4)2=5
（3）圆心为（2，-3），且过原点的圆C 的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 2 3 13
2 2
因此，所求圆C的方程为：
x 2 y 3

y 1
2
25
练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x
第二章解析几何初步
2.2.1 圆的标准方程
如设何此写圆出的此半圆径的为方程米？，
r
一﹑定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。其中的定点是圆心，定长是半径。
y r (a,b)
O
x
一个圆的圆心位置和半径一旦确定，这个圆就被确定下来了。
例2:已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？解：（如右图）建立直角坐标系，则半圆的方程为：
4 Y
x y 16 y 0
2 2
2
车宽为2.7米即： 2.7 x
A
0
2.7

2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)

1 7 即圆心坐标为C(－4，4)．又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0. a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10. ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆心C为(2b＋3，b)，因为有|AC|＝|BC|，所以 2b＋3－22＋b＋32 ＝ 2b＋3＋22＋b＋52. 解得b＝－2，所以圆心为(－1，－2)，半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
条件
与x轴相切与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
与两坐标轴都相切 (|a|＝|b|≠0) 直径的两端点为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·
(x1，y1)，(x2，y2)
(y－y2)＝0
2.对于特殊位置的圆的方程
条件过原点，圆心为(a，b) 圆心在x轴上圆心在y轴上方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点

【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)

问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X
x 2
2
y 1 1
2
X
下列方程分别表示什么图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)( x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2
Y
P(x,y)
A (-r,0)
O 0
一、建立适当的直角坐标系，如右图所示：以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y)，则：OP=r
即：
( x 0) ( y 0) r
2 2
所以此圆的方程为：
即：x 2 y 2 r 2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程设P(x,y)是圆上任意一点， y
2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为直径的圆的方程。（分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。）解：以中点坐标公式有：圆心坐标为（1，-1），又以两点距离公式有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1

y 1
2
25
练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x

【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)(2)

Y
P(x,y)
A (-r,0)
O 0
一、建立适当的直角坐标系，如右图所示：以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y)，则：OP r
2 2
所以此圆的方程为：
即：x 2 y 2 r 2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程设P(x,y)是圆上任意一点， y
根据定义，点P到圆心C的距离等于r，由两点间的距离公式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。
练习：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长 y 度（精确到0.01m)
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。
练习 1.写出下列圆的方程
x2+y2=9 （1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在(-3、4),半径为 5 。 (x+3)2+(y-4)2=5
（3）圆心为（2，-3），且过原点的圆C 的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 2 3 13
2 2
因此，所求圆C的方程为：
x 2 y 3
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的方程是什么？？

数学：2.2.1《圆的标准方程》课件(北师大版必修2)

那Байду номын сангаас是否二元二次方程均可化为圆方程？怎样的二元二次方程可化为圆的方程？
18
▪ 必做题
作业
圆(x 1)2 ( y 1)2 5 关于直线y x对称的圆的方程是什么?
2
4
19
点A(1,1)在圆(x a)2 ( y a)2 4的内部，求a的取值范围。
20
车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。15
练习：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱度高（O精P确=4到m0，.0在1m建) 造时每隔4m需用一个支柱支y撑，求支柱A2P2的长
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。
的方程为（x-4）2 ( y 6)2 9
练习 1.写出下列圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3； x2+y2=9
（2）圆心在(-3、4),半径为 5 。
(x+3)2+(y-4)2=5
9
（3）圆心为（2，-3），且过原点的圆C 的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 22 32 13
因此，所求圆C的方程为：
7
于是我们得到：方程
x a2 y b2 r2 r 0
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的圆的标准方程。
若如圆果心圆为的（方0，程0为）：时，此方程变为：
x2 y2 r2 r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
8
例1：求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆
6
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程

【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)(2)

x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为直径的圆的方程。（分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。）解：以中点坐标公式有：圆心坐标为（1，-1），又以两点距离公式有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1
2
2
r r 0
2
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的圆的标准方程。
如果圆的方程为：若圆心为（0，0）时，此方程变为：
x y r
2 2 2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
例1：求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆 2 的方程为（x-4） ( y 6)2 9
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X
x 2

2
y 1 1
2
X
下列方程分别表示什么图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)( x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2

2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)

(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心
和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，
b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能
1 a＝－4，解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)，即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)．所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3. 3)2.
2．写出下列圆的标准方程． (1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5. (2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)．
写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

自学导引 1．确定圆的条件一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．
2．圆的标准方程 (1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点叫做圆的圆心，定长称为圆的半径． (2)方程：圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 . 是
∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
本题出错原因在于没有理解题意，错将圆心到 x、y 轴的距离直接当成圆心(a，b)中 a、b 的值，这是错误的．而事实上，圆心到 x、y 轴距离应该是|a|、|b|，从而圆心在直线 y＝ 2|x|上． [正解] 由圆心到 x 轴的距离是它到 y 轴的距离的 2 倍可知，圆心必在直线 y＝2x 或 y＝－2x 上．又∵圆过点 A(1,0)，B(3,0)， ∴圆心必在线段 AB 的垂直平分线 x＝2 上．从而可知圆心 C 为(2,4)或(2，－4)．又 r2＝|AC|2＝17， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17 或(x－2)2＋(y＋4)2＝17.
(1)
(2)
【题后反思】本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注重代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观．几种常见代数式的几何意义： (1)x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． y (3)x：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
确定圆心的位置是解决本题的切入点，同时，本题易漏掉圆心在直线 y＝－2x 上这种情况．纠正错误的关键是弄清距离的概念，审题时要做到滴水不漏。
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2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

(2)在求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量．一般地，圆心的三个重要几何性质为： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
题型一
求圆的标准方程
【例 1】直线 3x－y－2＝0 过已知圆的圆心，点 A(3,1)，B(－ 1,3)均在这个圆上，求此圆的方程． [思路探索] 利用待定系数法，设圆的标准方程，建立关于圆心坐标，半径的方程组求解，也可借助几何性质确定圆心坐标及半径来解决．
[规范解答] (1)由题意，结合图(1)，可知圆心(3,0)，r＝2，所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(4 分) (2)如图(2)所示，过 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0，垂足为 D. |3＋1| 由点到直线距离公式，可得|CD|＝＝2 2，(8 分) 2
又 P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2.结合图形易知点 P 到直线 x－y＋1＝0 距离的最大值为 2 2＋2，最小值为 2 2－2.(12 分)
§ 圆与圆的方程 2 2．1 圆的标准方程
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)
故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|，故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32，解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.

【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)(3)

2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为直径的圆的方程。（分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。）解：以中点坐标公式有：圆心坐标为（1，-1），又以两点距离公式有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1
2
2
r r 0
2
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的圆的标准方程。
如果圆的方程为：若圆心为（0，0）时，此方程变为：
x y r
2 2 2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
例1：求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆 2 的方程为（x-4） ( y 6)2 9
第二章解析几何初步
2.2.1 圆的标准方程
如设何此写圆出的此半圆径的为方程米？，源自r一﹑确定圆的条件
圆的定义是什么？平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。其中的定点是圆心，定长是半径。
y r (a,b)
O
x
一个圆的圆心位置和半径一旦确定，这个圆就被确定下来了。

y 1
2
25
练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x

【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)(2)

2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为直径的圆的方程。（分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。）解：以中点坐标公式有：圆心坐标为（1，-1），又以两点距离公式有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X
x 2
2
y 1 1
2
X
下列方程分别表示什么图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)( x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2
Y
P(x,y)
A (-r,0)
O 0
一、建立适当的直角坐标系，如右图所示：以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y)，则：OP=r
即：
( x 0) ( y 0) r
2 2
所以此圆的方程为：
即：x 2 y 2 r 2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程设P(x,y)是圆上任意一点， y
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。

2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)

解：(1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝－4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8. ∵(2－1)2＋(2－4)2＝5＜8， (5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8， ∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．
[悟一法]
判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位
置关系，即比较|MC|与r的关系：
[悟一法] 用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：
①设出圆的标准方程．
②根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值． ③代入标准方程，得出结果．
[通一类] 3．求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相
切的圆的方程．
解：设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ∵圆与两坐标轴相切， ∴圆心满足 a－b＝0 或 a＋b＝0，又圆心在直线 5x－3y＝8 上，∴5a－3b＝8.
§
[读教材·填要点]
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程 (1)圆心为(a，b)，半径是ห้องสมุดไป่ตู้，圆的标准方程是 (x－a) ＋(y－b)2＝r2 . (2)当圆心在原点时，圆的方程为

【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)

根据定义，点P到圆心C的距离等于r，由两点间的距离公式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
2
2
r r 0
2
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的圆的标准方程。
如果圆的方程为：若圆心为（0，0）时，此方程变为：
x y r
2 2 2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
例1：求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆 2 的方程为（x-4） ( y 6)2 9
例2:已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？解：（如右图）建立直角坐标系，则半圆的方程为：
4 Y
x y 16 y 0
2 2
2
车宽为2.7米即： 2.7 x
A
0
2.7
B X
y 则： 16 2.7 8.71 3
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。

【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)(2)

x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
练习 1.写出下列圆的方程
x2+y2=9 （1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在(-3、4),半径为 5 。 (x+3)2+(y-4)2=5
（3）圆心为（2，-3），且过原点的圆C 的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 2 3 13
2 2
因此，所求圆C的方程为：
x 2 y 3
2
2
r r 0
2
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的圆的标准方程。
如果圆的方程为：若圆心为（0，0）时，此方程变为：
x y r
2 2 2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
例1：求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程.
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆 2 的方程为（x-4） ( y 6)2 9

y 1
2
25
练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|

2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)

解：(1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝－4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和半径．
[研一题] [例[例2] 已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)， Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
[自主解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝ 1 |P1P2|＝ 2 3＋12＋6－22＝2 2. 1 2
若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)(2)

根据定义，点P到圆心C的距离等于r，由两点间的距离公式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为直径的圆的方程。（分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。）解：以中点坐标公式有：圆心坐标为（1，-1），又以两点距离公式有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X

高中数学 2.2.1 圆的标准方程课件北师大版必修2

• 5．若坐标原点在圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的外部(wàibù)，则实数a的取值范围是 __[答__案_]__a>_．2或 a<－ 2
[解析] ∵坐标原点在圆(x－a)2＋(y－a)2＝4 的外部， ∴(0－a)2＋(0－a)2>4. ∴a2>2，即 a> 2或 a<－ 2.
第十二页，共41页。
第十九页，共41页。
• 待定系数(xìshù)法求圆的标准方程
求圆心在直线 5x－3y＝8 上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．
• [思路分析(fēnxī)] 先设出圆的标准方程，由题设列出关于a，b，r的关系式，组成方程组，解方程组求出a，b，r的值代入即得圆的方程．
第二十页，共41页。
[规律总结] 点与圆的位置关系的判断方法： (1)几何法：根据圆心到该点的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系； (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点在圆外； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，点在圆内．
• [思路分析] 首先确定圆心坐标(zuòbiāo)和半径大小，然后再写出圆的标准方程．
第十四页，共41页。
[ 规范解答 ] (1) 由两点间距离公式，得圆的半径 r ＝ 6－22＋3＋22＝ 41，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段 AB 的中点，为(1，－3)．又|AB|＝－4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径 r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
第三十二页，共41页。
[规律总结] 通过坐标系，把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合，是解决几何问题的重要方法．其中要特别注意选择适当的坐标系，选择恰当可以使解题过程简化．在通常情况下，使图形中某些线段在坐标轴上，线段的端点或中点在原点，遇到图形中有两条互相垂直的线段，常常选这两条线段所在直线为坐标轴；如果遇到轴对称图形，常常选它的对称轴为坐标轴；如果遇到中心对称图形，常常选它的对称中心为原点．

【数学】 2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)(3)

练习 1.写出下列圆的方程
x2+y2=9 （1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在(-3、4),半径为 5 。 (x+3)2+(y-4)2=5
（3）圆心为（2，-3），且过原点的圆C 的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 2 3 13
2 2
因此，所求圆C的方程为：
x 2
第二章解析几何初步
2.2.1 圆的标准方程
如设何此写圆出的此半圆径的为方程米？，
r
一﹑确定圆的条件
圆的定义是什么？平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。其中的定点是圆心，定长是半径。
y r (a,b)
O
x
一个圆的圆心位置和半径一旦确定，这个圆就被确定下来了。
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X
x 2
2
y 1 1
2
X
下列方程分别表示什么图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)(x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2
例2:已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？解：（如右图）建立直角坐标系，则半圆的方程为：
4 Y
x y 16 y 0
2 2
2
x 车宽为2.7米即： 2.7
A
0
2.7
B X
y 则： 16 2.7 8.71 3

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)

2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)

数学：2.2.1《圆的标准方程》课件(北师大版必修2)

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)

2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(3)

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)

2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)

2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

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高中数学 2.2.1 圆的标准方程课件 北师大版必修2

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2.2.1 圆的标准方程课件(北师大必修2)

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