【备战2016】(湖北版)高考数学分项汇编专题14 推理与证明、新定义(含解析)理

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【备战2016】(四川版)高考数学分项汇编专题13 推理与证明、新定义(含解析)文

第十三章推理与证明、新定义一．基础题组1.【四川，文】【2009四川，文12】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是( )A . 0B .21 C . 1 D . 25 【答案】A2.【2009四川，文16】设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a .若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换.现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+②若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换；③对,()a V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =.其中的真命题是（写出所有真命题的编号）【答案】①③④3.【2010四川，文16】设S 为实数集R 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：○1集合{S a =+ a,b 为整数}为封闭集；○2若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ○3封闭集一定是无限集； ○4若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是（写出所有真命题的序号）【答案】①②则1x y T -=-∉，所以T 不是封闭集.故填①②.【命题意图】本题主要考察新概念问题，属于创新问题，考查学生对新概念的理解、认知能力及知识的迁移能力.4.【2011四川，文16】函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）【答案】②③④5.【2014四川，文15】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。

专题14 推理与证明、新定义(第02期)-决胜2016年高考全国名校试题理数分项汇编(新课标Ⅰ特

第十四章推理与证明、新定义一．基础题组1. 【湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三5月适应性考试理14】分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则当3n ≥时，第*()n n N ∈行空心．．圆点个数n a 与第1n -行及第2n -行空心．．圆点个数12n n a a --，的关系式为；第12行的实心．．圆点的个数是．【答案】12n n n a a a --=+；55考点：归纳法．数列的递推式．2. 【唐山一中2014—2015学年度第二学期期末考试理9】用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n ·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为（）A.2k+1B.2（2k+1）C.112++k kD.132++k k ∙ ∙∙【答案】B【解析】试题分析：当k n =时，原式是()()()k k k k ++++......21，当1+=k n 时，变为()()()()()2212......32+++++k k k k k k ，所以增乘的代数式是()()()()12212212+=+++k k k k 考点：数学归纳法3. 【海南省嘉积中学2014—2015学年度第二学期高三大测（五）理12】定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，若函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，3()1x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（）A ．γαβ>>B ．βαγ>>C ．αβγ>>D ．βγα>> 【答案】A考点：1.函数的导数；2.方程的实根.4. 【山东省潍坊中学2016届高三上学期开学考试理6】下列推理过程是演绎推理的是A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B ．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人C ．两条直线平行，同位角相等；若A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角，则A B ∠=∠D ．在数列{}n a 中， 12a =，121(2)n n a a n -=+≥，由此归纳出{}n a 的通项公式【答案】C【解析】试题分析：A 是类比推理；B 是归结推理；C 是演绎推理：大前题是：两条直线平行，同位角相等；小前题是：A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角；结论为：A B ∠=∠．故选：C ．考点：推理与证明．5. 【临川一中2016届高三数学月考试卷理12】定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x=，③()f x =，④()x f x e -=，其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（）A. 1B.2C. 3D.4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，结合函数图像，可知只有①没有，剩下三个都可以，所以选C.考点：新定义.6. 【河北定州中学2016届高三第一次月考理12】若函数)(x f 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数)(x f 为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①xx f 1)(=；②x x f 2)(=；③)2lg()(2+=x x f ；④x x f πcos )(=．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（）． A ． ①③ B ． ②④ C ． ①② D ． ③④【答案】B【解析】试题分析：对于①，若存在实数0x ，满足)1()()1(00f x f x f +=+，则111100+=+x x ，所以0(010020=/=++x x x 且)10-=/x ，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数0x ，满足+0(x f )1()()10f x f +=，则222001+=+x x ，解得10=x ，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数0x ，满足00(1)=()(1)f x f x f ++，则++20)1lg[(x )21lg()2lg(]2220+++=x ，化简得0322020=+-x x ，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”；对于④，注意到==+34cos )131(πf 21-，21cos 3cos )1()31(-=+=+ππf f ，即+=+)31()131(f f )1(f ，因此④是“1的饱和函数”，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④，故选B ．考点：新定义题.7. 【江西省名校学术联盟2016届高三第一次调研（一）考试理6】给出以下数阵，按各数排列规律，则n 的值为122353416164565655nA.66B.256C.257D.326【答案】C考点：归纳推理.8. 【江西省名校学术联盟2016届高三第一次调研（一）考试理12】已知定义域为A 的函数()f x ，若对任意的12,x x A ∈，有1212()()()f x x f x f x +-≤，则称函数()f x 为“定义域上的M 函数”，以下五个函数：①()23,f x x x R =+∈；②211(),,22f x x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦； ③211()1,,22f x x x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦；④()sin ,0,2f x x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；⑤2()log ,[2,)f x x x =∈+∞，其中是“定义上的M 函数”的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C考点：1.新定义问题；2.函数性质的应用.二．能力题组1. 【唐山一中2014—2015学年度第二学期期末考试理16】观察下列等式： 21211=-41314131211+=-+- 61514161514131211++=-+-+- 。

高三数学(理)百所名校好题速递分项解析汇编专题14 推理与证明、新定义(第01期)

第十四章推理与证明、新定义一．基础题组1. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考8】老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中两人说对了．（） A ．甲丙B ．乙丁C ．丙丁D ．乙丙【答案】D 【解析】试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D ．考点：合情推理．2. 【山东潍坊一中2016届高三10月考5】下面几种推理过程是演绎推理的是（） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则A ∠+B ∠=︒180B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{}n a 中，11=a ，)2()11(211≥-+=-n a a a n n n ，计算432,,a a a ，由此推测通项n a 【答案】A考点：归纳推理、演绎推理、类比推理的区别。

3. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考16】定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >= 122max{,2}()nn n a a a n N *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为．【答案】7254考点：周期数列．【名师点晴】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（象本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题． 4. 【山东潍坊一中2016届高三10月考13】观察下列式子：232112<+，353121122<++，474131211222<+++，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为．【答案】1n 12n )1(131211222++<+++++n 【解析】试题分析：由归纳推理易知，答案为1n 12n )1(131211222++<+++++n 。

湖北省各地2016届高三最新数学理试题分类汇编：复数、推理与证明

湖北省各地2016届高三最新数学理试题分类汇编复数、推理与证明一、复数1、（黄冈市2016高三3月质量检测）若复数z 满足201520161zi i i=++ （i 为虚数单位），则复数z ＝A ．1B ．2C ．iD ．2i2、（荆、荆、襄、宜四地七校联盟2016届高三2月联考）复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A. z 的实部为1-B. z 的虚部为2i -C.5z z ⋅=D.z iz =3、（荆门市2016届高三元月调考）复数231iz i+=+（i 为虚数单位）在复平面上的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4、（湖北省七市（州）2016届高三3月联合调研） i 505的虚部为 (A) -i (B) i (C)-l (D) l 5、（潜江、天门、仙桃市2016届高三上学期期末联考）已知复数1i2iz -=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在坐标平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、（武汉市2016届高中毕业班二月调研）设i 是虚数单位，若复数ia --417，R a ∈是纯虚数，则实数a 的值为A.-4B.-1C.4D.17、（武汉市武昌区2016届高三元月调研）已知(z －1＋3i)(2－i) ＝4 ＋3i （其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数），则z 的虚部为(A) 1 (B) －1 (C) i (D) －i8、（孝感市六校教学联盟2016届高三上学期期末联考）在复平面中，满足等式|34|||i i z -=+的复数z 所对应点的轨迹是（）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆9、（湖北省优质高中2016届高三下学期联考）已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z-的共．轭．复数是（） A ． 13i -+ B ． 13i + C ．13i - D ．13i --10、（湖北省八校2016届高三第一次（12月）联考）欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11、（湖北省部分重点中学2016届高三第一次联考）复数23i -（i 为虚数单位）的虚部是（） A. 2- B. 2 C. 3i - D. 3-12、（孝感市2016届高三上学期第一次统考）已知i 是虚数单位，则复数221i i ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭的值为A 、iB 、－iC 、1D 、－1参考答案：1、B2、C3、A4、D5、D6、C7、A8、C9、B 10、B 11、D 12、B二、推理与证明1、（黄冈市2016高三3月质量检测）将向量1a u r =(x 1，y 1)，2a u u r =(x 2，y 2)，…n a u u r=(x n ,y n )组成的系列称为向量列{n a u u r}，并定义向量列{n a u u r }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+u u r u r u u r u u r．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。

【备战2016】(上海版)高考数学分项汇编专题13 推理与证明、新定义(含解析)文

专题13 推理与证明、新定义一．基础题组1. (2009上海,文14)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5)为报刊零售点.请确定一个格点__________为发行站,使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】(3,3)2. 【2008上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ）Ａ．»AB B ．»BCC ．»CD D ．»DA【答案】DAB C DO y Ω3. 【2006上海,文12】如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.【答案】44. 【2005上海,文16】用n 个不同的实数n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b Λ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++Λ等于（）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720【答案】－1080。

【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编专题14 推理与证明、新定义(含解析)文

专题14 推理与证明、新定义1. 【2009高考北京文第8题】设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ．三角形区域 B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域2. 【2006高考北京文第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示.图中x 1,x 2,x 3分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 A.x 1>x 2>x 3B.x 1>x 3>x 2C.x 2>x 3>x 1D.x 3>x 2>x 13. 【2011高考北京文第14题】设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。

记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则(0)N = ； ()N t 的所有可能取值为。

4. 【2014高考北京文第14题】顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为工作日.5. 【2009高考北京文第14题】设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.6. 【2011高考北京文第20题】（本小题共13分）若数列12,:,(2)n n A a a a n ⋯≥满足1k k a a +|-|=1 (1,2,,1)k n =⋯-，则称n A 为E 数列。

【备战2016】(湖北版)高考数学分项汇编专题13 推理与证明、新定义(含解析)

【备战2016】（湖北版）高考数学分项汇编专题13 推理与证明、新定义（含解析）一．选择题1. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是（） A.289 B.1024 C.1225 D.13782.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b c t b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的（） A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】试题分析：本题考查充分条件和必要条件的基本概念，以及逻辑思维能力、推理能力.定义新运算，是高考命题经常使用的一种手段。

因为c b a ≤≤，则可知max{,,}a b c c b c a a =，min{,,}a b c a b b c a b c =或，所以当倾斜度为1时，即满足11=⨯=⨯c b a c b a a c 或，即b c =或a b =.因此当三角形为等边三角形时，则1===a c c b b a ，满足倾斜度为1，反之，若满足倾斜度为1，则三角形也可为等腰三角形.故选择B.3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x = ④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④4.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） A.227 B.258 C.15750 D.355113 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75231ππ=，所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中π的近似计算，容易题. 5. 【2015高考湖北，文10】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30二．填空题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数. 对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于②的式子： .○2式可以用语言叙述为： . 【答案】②的式子：32443R R ππ'（）＝； ○2式可以用语言叙述为：球的体积函数的导数等于它的表面积函数. 【解析】试题分析：V 球＝343R π，又32443R R ππ'（）＝故○2式可填32443R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”.2.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测：（Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；（Ⅱ）21k b -=________.（用k 表示）3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数. 若某格点多边形对应的 71N =，18L =，则S = （用数值作答）.10 6 3 1 ···【答案】(1)3,1,6 (2)79。

【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编专题14 推理与证明、新定义(含解析)理

专题14 推理与证明、新定义1. 【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （）（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 【答案】C2. 【2009高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A考点：创新题型.3. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【答案】B考点：合情推理，中等题.4. 【2005高考北京理第14题】已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P 10（x 0）的值共需要次运算. 【答案】1(3)22n n n + 考点：信息题。

高考数学真题分类汇编专题14 推与证明、新定义理

专题十四推理与证明、新定义1.【2015高考湖北，理9】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【解析】因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.【考点定位】1.集合的相关知识，2.新定义题型.【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.2.【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（） A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【答案】C ．【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即3n =或4n =时命题成立，由此可排除A 、B 、D ，故选C ．【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案C ，由于3n =时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除A 、B ，又当4n =时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除D ．3.【2015高考浙江，理6】设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立【答案】A.【考点定位】集合的性质【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题①正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合A ，B ，C ，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较.4.【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力，本题属于中等题，有能力要求，贴近学生生活，要求按照“燃油效率”的定义，汽车每消耗1升汽油行驶的里程，可以断定“燃油效率”高的车省油，相同的速度条件下，“燃油效率”高的汽车，每消耗1升汽油行驶的里程必然大，需要学生针对四个选择只做出正确判断.5.【2015高考福建，理15】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于．【答案】5．【考点定位】推理证明和新定义．【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． 6.【2015高考山东，理11】观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=L .【答案】14n -【考点定位】1、合情推理；2、组合数.【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题. 7.【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】试题分析：（1）根据题意按a 分类计数：1,1,2,3,4,5,6;a b ==2,1,2,4,6;a b ==3,1,3,6;a b ==共13个（2）由（1）知1,1,2,3,,;a b n ==L 2,1,2,4,,2;a b k ==L *3,1,3,,3;()a b k k N ==∈L ，所以当6n ≥时，()f n 的表达式要按236⨯=除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明试题解析：（1）()613f =．()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立．【考点定位】计数原理、数学归纳法【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k N *∈，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立； ③由①②得出结论．8.【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…．记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】（Ⅰ）由已知121823618n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.【2015高考上海，理23】对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数；（2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（2）由于()f x 的值域为R ，所以对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，c 都是一个函数值，即有0R x ∈，使得()0f x c =.若0x a <，则由()f x 单调递增得到()()0c f x f a =<，与()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦矛盾，所以0x a ≥.同理可证0x b ≤.故存在[]0,x a b ∈使得()0f x c =.（3）若0u 为()cos 1f x =在[]0,T 上的解，则()0cos 1f u =，且[]0,2u +T∈T T ，()()00cos cos 1f u f u +T ==，即0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解.同理，若0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解，则0u 为该方程在[]0,T 上的解. 以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在012340x x x x x =<<<<=T ，使得()i f x i π=，0i =，1，2，3，4. 而[]1,i i x x +是函数()cos f x 的单调区间，0i =，1，2，3.与之前类似地可以证明：0u 是()cos 1f x =-在[]0,T 上的解当且仅当0u +T 是()cos 1f x =-在[],2T T 上的解.从而()cos 1f x =±在[]0,T 与[],2T T 上的解的个数相同.故()()4i i f x f x π+T =+，0i =，1，2，3，4. 对于[]10,x x ∈，()[]0,f x π∈，()[]4,5f x ππ+T ∈，而()()cos cos f x f x +T =，故()()()()4f x f x f x f π+T =+=+T . 类似地，当[]1,i i x x x +∈，1i =，2，3时，有()()()f x f x f +T =+T . 结论成立.【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.。

【备战2016】四川版高考数学分项汇编专题14推理与证明、新定义(含解析)理

第十四章推理与证明、新定义一．基础题组1. 【 2009 四川，理12】已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对随意实数x 都有x f (x 1) = (1x) f ( x) ，则 f ( f ( 5)) 的值是（）2（A ）0（B ）1（C ）1（D ）5222.【 2011四川，理16】函数 f ( x) 的定义域为 A ，若 x 1，x 2A 且f (x 1 )f (x 2 ) 时总有 x 1x 2，则称 f (x) 为单函数. 比如，函数f ( x)2 x1( xR) 是单函数. 以下命题：①函数f ( x)x 2 ( xR) 是单函数；②若f ( x) 为单函数， x 1, x 2A 且x 1x 2，则 f ( x 2 )f ( x 2 )；③若f : AB 为单函数，则关于随意b B ，它至多有一个原象；④函数f ( x)在某区间上拥有单一性，则f (x) 必定是单函数.此中的真命题是. （写出全部真命题的编号）【答案】②③3.【 2013 四川，理 15】设P1, P2, , P n为平面内的 n 个点，在平面内的全部点中，若点 P 到P1, P2, , P n点的距离之和最小，则称点P为 P1 , P2 , , P n点的一个“中位点”．比如，线段AB上的随意点都是端点A, B的中位点．则有以下命题：①若 A, B,C 三个点共线， C 在线段上，则 C 是 A, B,C 的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个极点的中位点；③若四个点 A,B, C , D 共线，则它们的中位点存在且独一；④梯形对角线的交点是该梯形四个极点的独一中位点．此中的真命题是____________．（写出全部真命题的序号）4. 【 2014 四川，理15】以 A 表示值域为R 的函数构成的会合， B 表示拥有以下性质的函数(x) 构成的集合：关于函数( x) ，存在一个正数M ，使得函数( x) 的值域包括于区间[ M ,M ].比如，当 1 (x) x3，2 (x) sin x 时， 1 (x) A ， 2 ( x) B .现有以下命题：①设函数 f ( x) 的定义域为 D ，则“ f (x) A”的充要条件是“ b R ， a D ， f ( a) b ”；②函数 f ( x) B 的充要条件是 f (x) 有最大值和最小值；。

高考数学压轴专题武汉备战高考《推理与证明》知识点

新《推理与证明》专题解析(1)一、选择题1．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立．故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．2．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（） A ．甲 B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙【答案】D 【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论. 【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立. 综上所述，甲与乙被录取. 故选：D. 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.3．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯；第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯；第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；故选C ．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题5．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=；当分母的指数为2时，分子为224=；当分母的指数为3时，分子为3327=；据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C【解析】【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论.【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符．故选：D．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）A．1个B．5个C．7个D．9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有5个.故选：B【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（） A ．小明 B ．小红C ．小金D ．小金或小明【答案】B 【解析】【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B. 【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙【答案】A【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.12．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．13．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -，首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+，313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.14．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题15．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（） A ．271 B ．272C ．273D ．274【答案】A 【解析】【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-16．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（） A ．A 和B B ．B 和CC ．A 和CD ．无法判断【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论. 【详解】B 和C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，由于甲、乙共同选修的课不是B ，则甲、乙共同选修的是C ，但甲不能选择B 课程. 因此，甲选修是A 、C 两门课程. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.17．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（） A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ）【答案】D 【解析】【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．18．已知()()()212f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（）A ．()21f x x =+ B ．()422x f x =+ C ．()11f x x =+ D ．()221f x x =+ 【答案】A 【解析】因为()()()212f x f x f x +=+,所以()()11112f x f x =++ ,因此()()()()()11112111221x x f x f x f x =+-=+⇒=+,选A.19．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n*-+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（） A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++ 【答案】D【解析】【分析】根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求．【详解】当n k =时，等式的左边为111111234212k k-+-+⋯+--，当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++，故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++．故选：D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．20．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.。

高考数学压轴专题通辽备战高考《推理与证明》全集汇编含解析

【最新】数学《推理与证明》高考知识点一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质【答案】C【解析】【分析】根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可.【详解】对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理；对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ．【点睛】该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.2．观察下图：12343456745678910L L则第行的各数之和等于22017（） A ．2017B ．1009C ．1010D ．1011 【答案】B【解析】【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n =故选：B【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.3．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）A ．1个B ．5个C ．7个D ．9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有5个.故选：B【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.4．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（） A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.5．某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几A．二B．三C．四D．五【答案】C【解析】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．故今天是周四．故选：C．点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．6．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意. 综上所述，盗窃者是甲.故选：A.【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．7．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（）A 3B ．23C 65D 5【答案】D【解析】【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率.【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==，所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===，所以3a OC ==. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =-=-=，所以5c e a ==，故选：D.【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.8．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（）A ．271B ．272C ．273D ．274【答案】A【解析】【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=，()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=，()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A.【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.10．已知()()2739nf n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( )A ．30B ．9C ．36D ．6【答案】C【解析】【分析】依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可.【详解】由()(27)39n f n n =+⋅+，得(1)36f =， (2)336f =⨯，(3)1036f =⨯，(4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明：(1)当1n =时，显然成立。

【备战2016】(陕西版)高考数学分项汇编专题14 推理与证明、新定义(含解析)理科

专题14 推理与证明、新定义一．基础题组1. 【2010高考陕西版理第12题】观察下列等式：13+23=32，13+23+32=62，13+23+33+43=102，……，根据上述规律，第五个等式为 _13+23+__32__+43____+53__=212___________.【答案】13＋23＋33＋43＋53＋63＝212考点：推理与证明，容易题.2. 【2012高考陕西版理第11题】观察下列不等式213122+<, 231151233++<， 222111512343+++<， ……照此规律，第五个．．．不等式为____________________．【答案】6116151413121122222<+++++考点：推理与证明，容易题.二．能力题组1. 【2006高考陕西版理第12题】为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a ，b ，c ，d 对应密文a +2b ，2b +c ，2c +3d ，4d ，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为( ) A ．4，6，1，7 B ．7，6，1，4 C ．6，4，1，7 D ．1，6，4，7【答案】C【解析】考点：推理与证明.2. 【2008高考陕西版理第12题】为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011【答案】C考点：推理与证明.3.【2011高考陕西版理第13题】观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 .【答案】2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-考点：推理与证明.5. 【2013高考陕西版理第14题】观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为__________．【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+) 考点：推理与证明.5. 【2014高考陕西版理第14题】观察分析下表中的数据：面 9 猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.【答案】2F V E +-=考点：归纳推理.。

2016届高考数学全国名校试题分项汇编(江苏特刊)专题14推理与证明、新定义(第01期)(解析版)

第十四章推理与证明、新定义一．基础题组1. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(6)】若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2 (x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k －1)x －1，g(x)＝0，h(x)＝(x ＋1)ln x ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________．【答案】{2}考点：新定义，不等式恒成立，导数与单调性.2. 【】用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第○n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是．【答案】62n + 【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n 项为62n + 考点：等差数列3. 【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n2，则数列{n a }的前n 项和n S = .【答案】122n +- 【解析】试题分析：由题意得：12nn n a a +-=，所以1122(12)22222212n n n n n a ----=++++=+=-，所以n S 122n +=-考点：等比数列求和，累加法求通项4. 【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：① ()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为．【答案】3考点：函数性质5. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(5)】一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合 {1，2，3，…，3n }的子集中所有“好集”的个数为f (n )．（1）求f (1)，f (2)的值；（2）求f (n )的表达式．【答案】（1）f (1)=3，f (2)＝23；（2）f (n )＝2n (4n －1)3+2n－1．试题解析：(1)易得f(1)=3；当n=2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2, 3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．故f(2)＝1+(2+5)×2+8＝23．(2)首先考虑f(n+1)与f(n)的关系．集合{1，2，3，…，3n，3n+1，3n+2，3n+3}在集合{1，2，3，…，3n}中加入3个元素3n+1，3n+2，3n+3．故f(n+1)的组成有以下几部分：①原有的f(n)个集合；②含有元素3n+1的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+,3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；③含有元素是3n+1与3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n+2与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+1与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n ；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}．所以，f (n +1)＝2 f (n )+2×23n +1．两边同除以2n +1，得f (n +1)2n +1－f (n )2n ＝4n +12n +1，所以 f (n )2n ＝4n -1+4n -2+…+4+12n +12n -1+…+122+32＝4n －13+1－12n ，即f (n )＝2n (4n －1)3+2n－1．考点：新定义，子集，归纳推理.6. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(2)】汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当k =8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围．【答案】（1）6752210米；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k .（2）汽车的瞬时速度为'v s =，所以21521v t kt =-+ 汽车静止时0v =，故问题转化为215210t kt -+=在[]1,2内有解又21511215t k t t t+==+，115t t +≥Q，当且仅当115,t t t ==Q []1,2t =，∴记1()15f t t t=+， '21()15f t t =-，[1,2]t ∈，'21()150f t t ∴=->，()f t ∴单调递增， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴261,16)(t f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈261,162k ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k ，故k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k . 考点：导数的物理意义，方程有解问题.7. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(3) 】若数列{}n C1n c +≤，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.则称数列{}n c 是“和谐数列”.（1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”；（2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ⎧==⎧⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩-⎩, 所以51322n n s -=-.(32=532(22n n --+4223222n -≤+141322n n S +-=-=.且513232.2n n S -=-<即存在常数32,所以，数列{}n S 是“和谐数列”.（1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立;当1q >，则111(1)111n n n a q a aS q q q q -==---- 所以，对于给定的正数M ，若11,11n a aq M q q ->-- 因为，1q >，所以，11log (1).q q n M a ->+ 即当11log (1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q <<综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<.考点：充要关系，新定义8．【江苏省南京一中等五校2015届高三联考（四模）数学】已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足12n n a a +-=，2214n n b b +=，且111,1a b ==-．（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数()r r N *∈，使得1r r c c +<，称数列{}n c 为“梦r 数列”；设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ， ① 若数列{}n a 为“梦5数列”，求n S ；② 若{}n a 为“梦1r 数列”，{}n b 为“梦2r 数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩（2）①22,5420,6n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩②max 6m =试题解析：（1）数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴12n n a a +-=，21212,2,n n b b b b n N *++=-=∈，∴21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩； ………4分（2）①∵数列{}n a 满足：存在唯一的正整数=5r ，使得1r r a a +<，且12n n a a +-=，∴数列{}n a 必为1,3,5,7,9,7,9,11,⋅⋅⋅，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故22,5420,6n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩； ………8分②∵2214n n b b +=即12n n b b +=±，1||2n n b -∴= ………9分而数列{}n b 为“梦数列”且11b =-，∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得+1m m S T =，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，∴m 必为偶数． ………10分首先证明：6m ≤．若7m >，数列{}n a 中()()21max 1321(1)m S m m +=++⋅⋅⋅++=+，而数列{}n b 中，m b 必然为正，否则()()1121212122230m m m m T b ---=-++⋅⋅⋅+-≤-++⋅⋅⋅++-=-<，显然矛盾；（※） ∴()()()13211min 12+22223m m m m m T ----=-++⋅⋅⋅++-+=-，设122(1)3m m c m -=-+-，易得11223,m m m m d c c m -+=-=-- 而11220m m m d d -+-=->，()7m >，∴{}m d ()7m >为增数列，且70d >进而{}m c ()7m >为增数列，而80c >， ∴()()min max m m T S >，即6m ≤． ………14分当6m =时，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--⋅⋅⋅ 此时12r =，24r =所以max 6m =，对应的12r =，24r = ………16分考点：1.等差数列；2等比数列；3.新定义；4.递增数列；9. 【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测数学试题】（本小题满分16分）设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（1）若11,23p q ==-，求3b ; （2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式;（3）是否存在p 和q ，使得32m b m =+()m N *∈？如果存在，求p 和q 的取值范围？如果不存在，请说明理由.【答案】（1）37b =；（2）22m m +；（3）121,[,]333p q =∈--. 【解析】试题分析：(1)已知说明1123n a n =-，要求3b ，只要求得不等式11323n -≥的最小整数解即可；（2）同样21n a n =-，为了求m b ，我们要解不等式21n m -≥，即12m n +≥，因此按m的奇偶分类讨论：当21m k =-时，()m b k k N *=∈，当2m k =时，1()m b k k N *=+∈，这样在求数列{}m b 的前2m 项和2m S 时也要分组求和，奇数项一起，偶数项一起分别求和；（3）存在性命题，都是假设存在，然后计算，本题假设存在的意思就是说不等式pn q m +≥的最小整数解为32m +，由于0p >，因此m q n p ->，则3132m qm m p-+<≤+，即2(31)p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立.于是有310p -=，13p =，代入上式又得2133q -≤<-.故结论为存在.考点：不等式的整数解，分类讨论，分组求和，存在性命题.二．能力题组1. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】（本小题满分10分）一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合 {1，2，3，…，3n }的子集中所有“好集”的个数为f (n )．（1）求f (1)，f (2)的值；（2）求f (n )的表达式．【答案】（1）f (1)=3，f (2)＝23；（2）f (n )＝2n (4n －1)3+2n －1．试题解析：(1)易得f (1)=3；当n =2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}， {1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．故f (2)＝1+(2+5)×2+8＝23． (2)首先考虑f (n +1)与f (n )的关系．集合{1，2，3，…，3n ，3n +1，3n +2，3n +3}在集合{1，2，3，…，3n }中加入3个元素3n +1，3n +2，3n +3．故f (n +1)的组成有以下几部分：①原有的f (n )个集合；②含有元素3n +1的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +,3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n ；③含有元素是3n +1与3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n +2与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +1与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n ；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}．所以，f (n +1)＝2 f (n )+2×23n +1．两边同除以2n +1，得f (n +1)2n +1－f (n )2n ＝4n +12n +1，所以 f (n )2n ＝4n -1+4n -2+…+4+12n +12n -1+…+122+32＝4n －13+1－12n ，即f (n )＝2n (4n －1)3+2n －1．考点：新定义，子集，归纳推理.2. 【扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学】设集合{1,0,1}M =-,集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，, 集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n mS ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时,求证：n m S 111322n m n +++<+-．【答案】⑴228S =,4232S =；⑵见试题解析.试题解析：⑴228S =,4232S =；因为当0k n ≤≤时,1k n C ≥,故10k n C -≥所以1122222n m m m n n n S C C C =+++ 001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++ 11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+．考点：1.集合；2.排列组合；3.推理证明。

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