2017年广西玉林市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

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2017年高考数学模拟试卷(广西理科附答案和解释)

2017年高考数学模拟试卷（广西理科附答案和解释）2017年广西高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（） A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5） 2．复数的实部与虚部分别为（） A．7，�3 B．7，�3i C．�7，3 D．�7，3i 3．设a=log25，b=log26，，则（） A．c＞b＞a B．b ＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c 4．设向量 =（1，2）， =（�3，5），=（4，x），若 + =λ（λ∈R），则λ+x的值是（） A．�B． C．�D． 5．已知tanα=3，则等于（） A． B． C． D．2 6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（） A． B．2 C． D．0 7．将函数y=cos（2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（） A．f（x）=�sin2x B．f（x）的图象关于x=�对称 C．f （）= D．f（x）的图象关于（，0）对称 8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（） A．94 B．99 C．45 D．203 9．直线y=2b与双曲线� =1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄�执�》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（） A．33 B．35 C．37 D．39 11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8π B． +8π C．16+8π D． +16π 12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（�ax+lnx+1）+f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（） A．[2，e] B．[ ，+∞） C．[ ，e] D．[ ， ] 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（x�1）7的展开式中x2的系数为． 14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为． 15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）设数列{2n•an}的前20项的和为S20，求log2S20�log220的值． 18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第�道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望． 19．如图，在三棱柱ABC�A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=3 ，A1C1的中点为D1，求二面角C�AB1�D1的余弦值． 20．如图，F1，F2为椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 21．已知函数f（x）=4x2+ �a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf （x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x�）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ= （p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）=|x+2|�|2x�1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M 时，|x+y+xy|＜15．2017年广西高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（） A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5）【考点】子集与真子集．【分析】求解二次不等式化简A，然后可得集合A的真子集．【解答】解：因为A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（1，5）．故选：D． 2．复数的实部与虚部分别为（） A．7，�3 B．7，�3i C．�7，3 D．�7，3i 【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： = ，∴z的实部与虚部分别为7，�3．故选：A． 3．设a=log25，b=log26，，则（） A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c ＞a＞b D．a＞b＞c 【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的性质直接求解．【解答】解：∵log24=2＜a=log25＜b=log26＜log28=3， =3，∴c＞b＞a．故选：A． 4．设向量=（1，2）， =（�3，5）， =（4，x），若 + =λ（λ∈R），则λ+x 的值是（） A．� B． C．� D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出λ和x的值，即可求出λ+x的值．【解答】解：向量 =（1，2），=（�3，5）， =（4，x），∴ + =（�2，7），又 + =λ（λ∈R），∴ ，解得λ=�，x=�14；∴λ+x=��14=�．故选：C． 5．已知tanα=3，则等于（） A． B． C． D．2 【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可计算得解．【解答】解：∵tanα=3，∴ = = = ．故选：B． 6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（） A． B．2 C． D．0 【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C（2，3），所以的最大值为；故选：A． 7．将函数y=cos（2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（） A．f（x）=�sin2x B．f（x）的图象关于x=�对称 C．f（）= D．f（x）的图象关于（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数y=cos（2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到f（x）=cos[2（x+ ）+ ] =cos（2x+ ）=�sin（2x+ ）的图象，故排除A；当x=�时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于x=�对称，故B正确； f（）=�sin =�sin =�，故排除C；当x= 时，f（x）=�sin =�≠0，故f（x）的图象不关于（，0）对称，故D错误，故选：B． 8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（） A．94 B．99 C．45 D．203 【考点】程序框图．【分析】输入x和n的值，求出k的值，比较即可．【解答】解：第一次运算：s=2，s=5，k=2；第二次运算：s=5+2=7，s=16，k=3；第三次运算：s=16+3=19，s=41，k=4；第四次运算：s=41+4=45，s=94，k=5＞4，输出s=94，故选：A． 9．直线y=2b与双曲线� =1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（） A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（ b，2b），代入双曲线�=1，可得�4=1，b= a，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（ b，2b），代入双曲线�=1，可得�4=1，∴b= a，∴c= = a，∴e= = ，故选D． 10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄�执�》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（） A．33 B．35 C．37 D．39 【考点】线性回归方程．【分析】计算前四组数据的平均数，代入线性回归方程求出k的值，再由回归直线方程求出x=32时的值即可．【解答】解：前四组数据的平均数为，= ×（12+17+22+27）=19.5，= ×（10+18+20+30）=19.5，代入线性回归方程 =kx�4.68，得19.5=k×19.5�4.68，解得k=1.24，∴线性回归方程为=1.24x�4.68；当x=32时，=1.24×32�4.68≈35，由此可推测t的值为35．故选：B． 11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． +8πB． +8πC．16+8πD． +16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是下面为半圆柱体、上面为四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式即可求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是下面为半个圆柱、上面为一个四棱锥的组合体，且四棱锥的底面是俯视图中小矩形的两条边分别是2、4，其中一条侧棱与底面垂直，高为2，圆柱的底面圆半径为2、母线长为4，所以该几何体的体积为V= ×2×4×2+ ×π×22×4= +8π．故选：A． 12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（�ax+lnx+1）+f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（） A．[2，e] B．[ ，+∞） C．[ ，e] D．[ ， ] 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤ax�lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax�lnx，则由g′（x）=a�=0，求得x= ．分类讨论求得g（x）的最大值和最小值，从而求得a的范围．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（�∞，0）上单调递增，若不等式f（�ax+lnx+1）+f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则2f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，即f（ax�lnx�1）≥f（1）对x∈[1，3]恒成立．∴�1≤ax�lnx�1≤1 对x∈[1，3]恒成立，即0≤ax�lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax�lnx，则由g′（x）=a�=0，求得x= ．①当≤1，即 a＜0 或a≥1时，g′（x）≥0在[1，3]上恒成立，g（x）为增函数，∵最小值g（1）=a≥0，最大值g（3）=3a�ln3≤2，∴0≤a≤ ，综合可得，1≤a≤ ．②当≥3，即0＜a≤ 时，g′（x）≤0在[1，3]上恒成立，g（x）为减函数，∵最大值 g（1）=a≤2，最小值g（3）=3a�ln3≥0，∴ ≤a≤2，综合可得，a无解．③当1＜＜3，即＜a＜1时，在[1，）上，g′（x）＜0恒成立，g（x）为减函数；在（，3]上，g′（x）＞0恒成立，g（x）为增函数．故函数的最小值为g（）=1�ln ，∵g（1）=a，g（3）=3a�ln3，g（3）�g（1）=2a�ln3．若 2a�ln3＞0，即ln ＜a＜1，∵g（3）�g（1）＞0，则最大值为g（3）=3a�ln3，此时，由1�ln ≥0，g（3）=3a�ln3≤2，求得≤a≤ ，综合可得，ln ＜a＜1．若2a�ln3≤0，即＜a≤ ln3=ln ，∵g（3）�g（1）≤0，则最大值为g（1）=a，此时，最小值1�ln ≥0，最大值g（1）=a≤2，求得≤a≤2，综合可得≤a≤ln ．综合①②③可得，1≤a≤ 或ln ＜a＜1或≤a≤ln ，即≤a≤ ，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（x�1）7的展开式中x2的系数为�21 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式Tr+1= ，令7�r=2，解得r=5．∴（x�1）7的展开式中x2的系数为�=�21．故答案为：�21． 14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别求出抛物线y2=8x及其准线与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数，即可得到结论．【解答】解：圆的圆心坐标为（�3，0），半径为4，抛物线的顶点为（0，0），焦点为（2，0），所以圆（x+3）2+y2=16与抛物线y2=8x的交点个数为2．圆心到准线x=�2的距离为1，小于半径，直线与圆有两个交点，综上所述，曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为4．故答案为：4． 15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为18π．【考点】球的体积和表面积．【分析】设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，可得c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O表面积的最小值．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，∴c=4．长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r= ≥ =3 ，当且仅当a=b时，r的最小值为，所以球O表面积的最小值为：4πr2=18π．故答案为：18π． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21 平万千米．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．【解答】解：由题意画出图象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米， AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得， cosB= = = ，所以sinB= = ，则该沙田的面积：即△ABC的面积S= = =21000000（平方米）=21（平方千米），故答案为：21．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n 排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）设数列{2n•an}的前20项的和为S20，求log2S20�log220的值．【考点】数列的求和．【分析】（1）由题意可得数列{an}为等差数列，根据等差数列通项公式即可求得an=2+（n�1）=n+1，（1≤n≤20），由此看台共有座位个数为S20，由等差数列前n项和公式即可求得S20．（2）由（1）可知2n•an=（n+1）•2n，利用“错位相减法”即可求得数列{2n•an}的前20项的和为S20，代入根据对数的运算性质即可求得log2S20�log220的值．【解答】解：（1）由题意可得数列{an}为等差数列，首项a1=2，公差d=1，∴an=2+（n�1）=n+1，（1≤n≤20），∴由等差数列前n项和公式可知：此看台共有S20= = =230；（2）由2n•an=（n+1）•2n，数列{2n•an}的前20项和S20=2•2+3•22+4•23+…+21•220，∴2S20=2•22+3•23+4•24+…+21•221，两式相减得：�S20=2•2+22+23+…+220�21•221， =2+ �21•221， =�20•221，∴S20=20•221，log2S20�log220=log220•221�log220=log220+log2221�log220=2 1．∴log2S20�log220=21． 18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第�道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P（A）= ．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B ．【解答】解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X 可取0，1，2，3，则X～B . ，．所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故（或）． 19．如图，在三棱柱ABC�A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=3 ，A1C1的中点为D1，求二面角C�AB1�D1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，由此能证明CC1⊥AB1．（2）分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C�AB1�D1的余弦值．【解答】证明：（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1，∴CC1⊥AB1．解：（2）由（1）知OA=OB1=3，又AB1=3 ，∴OA2+OB12=AB12，∴OA⊥OB1，OA⊥平面B1C1C，如图，分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，�，0），B1（3，0，0），A（0，0，3），C1（0，，0），A1（0，2 ，3），D1（0，，），设平面CAB1的法向量 =（x，y，z），∵ =（3，0，�3）， =（1，�，1），∴ ，取x=1，得 =（），设平面AB1D1的法向量 =（a，b，c），∵ =（0，，�）， =（�3，，），∴ ，取b=1，得 =（），∴cos＜＞= = = ，由图知二面角C�AB1�D1的平面角为钝角，∴二面角C�AB1�D1的余弦值为�． 20．如图，F1，F2为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即 =0，当直线AB 的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2�4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点， D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，∴ ，解得a=2，b=1，c= ，∴椭圆C的标准方程为 =1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P （，y1），Q（），由OP⊥OQ，即 =0，（*）①当直线AB的斜率不存在时，S= |x1|×|y1�y2|=1．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2�4=0，△=16（4k2+1�m2），，同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，此时，△=16m2＞0， AB= |x1�x2|= ， h= ，∴S=1，综上，△ABC的面积为1． 21．已知函数f（x）=4x2+ �a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f （x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=�1或t= ，即f（x）=�1�b 或f（x）= �b都有3个实数解，由图象可得�1�b＞0，且�b＞0，即可得到所求a+b的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x2+ �a，则y=xf（x）=4x3+1�ax的导数为y′=12x2�a，由题意可得12�a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+ �12，f′（x）=8x�，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，�7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x�1），即为y=7x�14；（2）由f（x）=4x2+ �a，导数f′（x）=8x�，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x= 处取得极小值，且为3�a，由f（x）有两个零点，可得3�a=0，即a=3，零点分别为�1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=�1或，则f（x）=�1�b或f（x）= �b，由题意可得f（x）=�1�b或f（x）= �b都有3个实数解，则�1�b＞0，且�b＞0，即b＜�1且b＜，可得b＜�1，即有a+b＜2．则a+b 的范围是（�∞，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x�）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ= （p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆C的极坐标方程；（2）利用|MN|=|ρ1�ρ2|，求线段MN的长．【解答】解：（1）（x�）2+（y+1）2=9可化为x2+y2�2 x+2y�5=0，故其极坐标方程为ρ2�2 ρcosθ+2ρsinθ�5=0．… （2）将θ= 代入ρ2�2实用精品文献资料分享ρcosθ+2ρsinθ�5=0，得ρ2�2ρ�5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=�5，∴|MN|=|ρ1�ρ2|= =2 ．… [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）=|x+2|�|2x�1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（1）f（x）= ，当x＜�2时，由x�3＞0得，x ＞3，舍去；当�2≤x≤ 时，由3x+1＞0得，x＞�，即�＜x≤ ；当x＞时，由�x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，综上，M=（�，3）；（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15． 2017年3月23日。

广西玉林市高考数学模拟试卷(理科)

广西玉林市高考数学模拟试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知，集合，若有三个元素，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·石家庄模拟) 在复平面中，复数 +i4对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）“cosx=0”是“sinx=1”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（）A . [2 ，+∞）B . [ ，+∞）C . [ ，+∞）D . （﹣∞，2 ]5. （2分）右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值。

若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A . 1个B . 2 个C . 3 个D . 4个6. （2分）已知命题：p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A . {a|a≤﹣2或a=1}B . {a|a≥1}C . {a|a≤﹣2或1≤a≤2}D . {a|﹣2≤a≤1}7. （2分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）.可得这个几何体的体积是（）A .B .C .D .8. （2分）角α的终边过点（﹣1，2），则cosα的值为（）A .B .C . ﹣D . ﹣9. （2分） (2017高二下·和平期末) 二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A . 24B . 18C . 6D . 1610. （2分）已知点 A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC的面积为（）A . 5B .C . 10D .11. （2分） (2015高一上·娄底期末) 如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=6，AD=D′D=5，二面角D′﹣AB﹣D的大小是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°12. （2分）已知函数f(x)＝x2＋2x＋blnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数b的取值范围是（）A . b≥ 0B . b<－4C . b≥0或b≤－4D . b>0或b<－4二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·和平期末) 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC边上的一点（含端点），则• 的取值范围是________14. （1分）(2017·长宁模拟) 如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为________．15. （1分） (2016高三上·湖北期中) 关于x的不等式表示的平面区域是等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．16. （1分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py （p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．三、解答题： (共7题；共65分)17. （10分）已知数列满足 ,且 .（1）证明数列是等差数列;（2）求数列的前项和 .18. （5分）(2017·淄博模拟) 如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．（Ⅰ）证明：OA=OB；（Ⅱ）证明：AB⊥OP；（Ⅲ）若AP：PO：OC= ：1，求二面角P﹣OA﹣B的余弦值．19. （10分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4），现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.（1）求X的分布列，均值和方差；（2）若Y＝aX＋b，E（Y）＝1，D（Y）＝11，试求a，b的值．20. （10分） (2020高二下·汕头月考) 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：与椭圆C相交于A，B两点，点D的坐标为，问直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由．21. （15分）(2020·兴平模拟) 已知函数； .（1）判断在上的单调性，并说明理由；（2）求的极值；（3）当时，，求实数的取值范围.22. （10分）(2019·定远模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为 ( 为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 .（1）求和的极坐标方程；（2）设点是与的—个交点(异于原点），点是与的交点，求的最大值.23. （5分）解答题（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数满足|2a+b|+|2a﹣b|≥λ|a|，求实数λ的最大值．（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共65分) 17-1、17-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。

广西玉林、贵港市2017届高三下学期质量检测考试数学理

2017年3月玉林市、贵港市高中毕业班质量评价检测数学（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,所以,故选A.2. 若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设,则,且，两式作比得,代入解得，故选A.3. 向量，均为非零向量，，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，所以，即，设的夹角为，，又，所以的夹角为，故选A.4. 如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A. 组距越大，频率分布折线图越接近于它B. 样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C. 阴影部分的面积代表总体在内取值的百分比D. 阴影部分的平均高度代表总体在内取值的百分比【答案】C【解析】试题分析：根据总体密度曲线的定义可得：阴影部分的面积代表总体在内取值的百分比，故选C.考点：总体密度曲线．5. 若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则故选A6. 若偶函数在上单调递减，，，，则，，满足（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵偶函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，∴f（x）在{0，+∞）上单调递增，∵2＞log23=log49＞log45，＞2，∴f（log45）＜f（log23）＜f（∴b＜a＜c，故选C．点睛：本题考查的知识点是函数奇偶性，单调性的应用，熟练掌握对数的运算性质是解答的关键．7. 计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的、、、在二进制分别表示为、、、.下面是某同学设计的将二进制数化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在将二进制数化为十进制数的程序中,循环次数由循环变量决定,因为共有位,因此要循环次才能完成整个转换过程,所以进入循环的条件应设为,故选B.8. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理,代入已知条件得,,整理得,所以,又,所以,故选B.9. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知,该几何体是底面为斜边边长为的等腰直角三角形,高为的直三棱柱,所以该几何体的表面积为,故选D.点睛:本题考查学生的是空间几何体的三视图的体积和表面积,属于中档题目.空间几何体的三视图是从正面,侧面和上面三个方向对一个几何体的全方位透视,因此解答这类问题的关键是根据三视图所提供的图形信息弄清楚该几何体的形状和有关数据,然后直接选择相应的柱锥台球的体积和面积公式,或者运用割补思想分别利用公式进行求解.10. 用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设矩形的长,宽分别为,则,所以圆柱的体积为,令得,此时,体积取最大值,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为,故选C.11. 如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为厘米，底面半径为厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:切点为,与圆柱面相交于,此时可知即为椭圆的长轴,在直角三角形中,,又因为,所以,由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长,即,则求得,,故选A.点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴的值,需要先利用切线性质求出,再利用相似求出长,即为,短轴长为底面半径,故比较容易求出,根据椭圆中的关系式,得出值,进而求出离心率.12. 已知数列中（），将数列中的整数项按原来的顺序组成数列，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，此数列为：，的整数项为：，即整数为：.其规律就是各项之间是这样递增的,,由,解得,,故选C.点睛:本题考查的是数列的概念与表示,数列的通项公式以及数列的应用,属于中档题目.解决本题需要先列举出数列的各项,从中找出的整数项为：，即整数为：.观察这些整数可发现规律,按奇偶项分别写出新数列的通项公式即可得出答案.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象至少向左平移_______个单位．【答案】【解析】,因此向左平移即可,故填.14. 已知实数，满足条件，则的取值范围是__________．【答案】【解析】作出可行域如图，解得A（1，2）．的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∵k OA=2．∴则的取值范围是[0，2]．故答案为[0，2]．15. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为__________．【答案】【解析】,可得,即有,解得,则,则切线,过Q的切线与切线l平行时距离最短,令,可得,即切点,则Q到切线l的距离为,故填.16. 已知点，，若圆：上存在一点使得，则的最大值为__________．【答案】【解析】圆,圆心,半径,设,则,故,即为点与点之间的距离,当最大时, 取得最大值,因为的最大值为,所以的最大值为,故填.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列中，，（）.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和为.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由，（）知，又，∴是以为首项，为公比的等比数列，由此可求通项公式；（2），，错位相减求和即可.试题解析：（1）由，（）知，又，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴（2），，两式相减得，∴点睛：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力.18. 2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以连胜的不败成绩赢得第届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一张直通里约奥运会的入场券.赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛（最有价值球员），下表是易建联在这场比赛中投篮的统计数据.中国中国中国中国中国中国中国印度中国中国注：（1）表中表示出手次命中次；（2）（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：（1）从上述场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中超过的概率；（2）从上述场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中至少有一场超过的概率；（3）用来表示易建联某场的得分，用来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断与之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由.【答案】（1）（2）（3）不具有线性相关关系【解析】试题分析：（1）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在该场比赛中超过的概率。

广西玉林市、贵港市2017届高中毕业班质量检测数学理试

2017年3月玉林市、贵港市高中毕业班质量评价检测数学（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知集合2{|340}M x x x =--≤，集合{|ln 0}N x x =≥，则MN =（）A ．{|14}x x ≤≤B ．{|1}x x ≥C ．{|14}x x -≤≤D ．{|1}x x ≥- 2．若复数z 满足||2015z z i ⋅=-，则z 的虚部为（） A ．3 B ．-3 C ．3i D ．3i -3．向量a ，b 均为非零向量，(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 4．如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A ．组距越大，频率分布折线图越接近于它B ．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C ．阴影部分的面积代表总体在(,)a b 内取值的百分比D ．阴影部分的平均高度代表总体在(,)a b 内取值的百分比5．若3sin cos 0αα+=，则21cos 2sin cos ααα+的值为（）A ．103B ．53C ．23D ．2-6．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，2(log 3)a f =，4(log 5)b f =，32(2)c f =，则a ，b ，c 满足（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a << 7．计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100．下面是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是（）A ．4i >B ．4i ≤C ． 5i >D ．5i ≤8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ． 23π D ．56π 9．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A ．2B ．4C ． 4-．6-10．用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，则圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A B C ． D 11．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）AB ．15C ．D ．1412．已知数列{}n a中n a =*()n N ∈，将数列{}n a 中的整数项按原来的顺序组成数列{}n b ，则2018b 的值为（）A ．5035B ．5039C ．5043D ．5047第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将正确答案填在答题卡中的横线上）13．为了得到函数y x =的图象，可以将函数sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移个单位．14．已知实数x ，y 满足条件30302x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则y x 的取值范围是．15．已知函数()'(0)2xf x f e x =-+，点P 为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线l 上的点，点Q 在曲线xy e =上，则||PQ 的最小值为．16．已知点(1,0)A m -，(1,0)B m +，若圆:C 2288310x y x y +--+=上存在一点P 使得0PA PB =，则m 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+*()n N ∈．（1）求证：11{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足(31)2nn n nnb a =-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 18． 2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP （最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．注：（1）表中/a b 表示出手b 次命中a 次；（2）%TS （真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为： %2(TS =⨯全场得分投篮出手次数+0.44罚球出手次数)（1）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中%TS 超过50%的概率；（2）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中%TS 至少有一场超过60%的概率；（3）用x 来表示易建联某场的得分，用y 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断y 与x 之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．19．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11122AB A B CC ==，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．（1）求证：1AB //平面1C MN ；（2）若AB BC ⊥且AB BC =，求二面角1C MC N --的大小．20．已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为3，直线:l 2y x =+与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左顶点A 作直线m ，与圆O 相交于两点R ，S ，若ORS ∆是钝角三角形，求直线m 的斜率k 的取值范围． 21．已知函数1()ln h x x x=+．（1）函数()(2)g x h x m =+，若1x =是()g x 的极值点，求m 的值并讨论()g x 的单调性；（2）函数21()()2x h x ax x xϕ=-+-有两个不同的极值点，其极小值为M ，试比较2M 与3-的大小关系，并说明理由．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为(3,)4π，曲线C 的参数方程为2cos()4πρθ=-（θ为参数）．（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线:l 2cos 4sin ρθρθ+的最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知()|2||1|2|2|f x x x x =-++++．（1）求证：()5f x ≥；（2）若对任意实数x ，229152()1f x a a -<++都成立，求实数a 的取值范围．2017年3月玉林市、贵港市高中毕业班质量评价检测数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5:AABCA 6-10:CBBDC 11、12：AC二、填空题（每小题5分，共20分）13．8π14．[0,2] 15．6 三、解答题17．解：（1）由11a =，13n n n a a a +=+*()n N ∈知，111113()22n n a a ++=+，又111322a +=，11{}2n a ∴+是以32为首项，3为公比的等比数列，111333222nn n a -∴+=⨯=，231n na ∴=-．（2）12n n nb -=，0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，2n T =121111112(1)2222n n n n -⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得012111111222222n n n T n -=+++++⨯222n n +=-，1242n n n T -+∴=-．18．解：（1）设易建联在比赛中%TS 超过50%为事件A ，则共有8场比赛中%TS 超过50%，故8()9P A =，（2）设“易建联在这两场比赛中%TS 至少有一场超过60%”为事件B ，则从上述9场比赛中随机选择两场共有2936C =个基本事件，而从中任意选择两场中，两场%TS 都不超过60%的有2510C =个基本事件，那么两场至少有一场超过60%的基本事件为(3610)-个基本事件．361013()3618P B -∴==．（3）不具有线性相关关系．因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛．19．解：（1）证明：连接1B N ，1B C ，设1B C 与1NC 交于点G ，连接MG ，在三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，则112BC B C =，而N 是BC 的中点，11//B C BC ，则11//B C NC ，11B C NC =所以四边形11B C CN 是平行四边形，G 是1B C 的中点，在1AB C ∆中，M 是AC 的中点，则1//MG AB ，又1AB ⊄平面1C MN ，MG ⊂平面1C MN ，所以1//AB 平面1C MN ．（2）解：由1CC ⊥平面ABC ，可得1A M ⊥平面ABC ，而AB BC ⊥，AB BC =，则MB AC ⊥，所以MA ，MB ，1MA 两两垂直，故以点M 为坐标原点，MA ，MB ，1MA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB =，则1111A B CC ==，AC =AM =B，(C，1()C，(,22N -，则平面11ACC A 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面1C MN 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2210,0,n MN n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22220,0,x y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 取21x =，则21y =，2z，2(1,1n =，121cos ,2n n ==，易得二面角1C MC N --为锐角，所以二面角1C MC N --的大小为60︒．20．解：（1）由e =222213b e a =-=，由直线:l 20x y -+=与圆222x y b +=||b =所以b =a = 所以椭圆的方程是22132x y +=．（2）由（1），得圆O 的方程是222x y +=，(A ，直线m的方程是(y k x =设11(,)R x y ，22(,)S x y，由222,(x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得2222(1)320k x x k +++-=则12x x +=2122321k x x k -=+．由2222)4(1)(32)0k k ∆=-+->，得k <<因为ORS ∆是钝角三角形，所以0OR OS ⋅<，即1212OR OS x x y y ⋅=+=21212(x x k x x +=2221212(1)()3k x x x x k +++224201k k -=<+所以22k -<<．② 由R ，S 与x 轴不共线，知0k ≠．③由①、②、③，得直线m 的斜率k的取值范围是k <<，且0k ≠．21．解：（1）1()ln(2)2g x x m x m =+++()2mx >-，22222(21)'()2(2)(2)x m g x x m x m x m +-=-=+++，因为1x =是()g x 的极值点，所以'(1)0g =，得210m +-=，1m =-，此时1()ln(21)21g x x x =-+-1()2x >，24(1)'()(21)x g x x -=-，当112x <<时，'()0g x <；当1x >时，'()0g x >．所以()g x 在1(,1]2单调递减，在[1,)+∞单调递增．（2）2()2ln x ax x x ϕ=-+(0)x >，21221'()22ax x x ax x xϕ-+=-+=(0)x >，因为()x ϕ有两个不同的极值点，所以22210ax x -+=在(0,)+∞有两个不同的实根，设此两根为1x ，2x ，且12x x <．则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即48010102a aa ⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，解得102a <<．'()x ϕ与()x ϕ随x 的变化情况如下表：由表可知2()()x M x ϕϕ==极小值22222ln ax x x =-+，因为2222210ax x -+=，所以22212ax x =-代入上式得： 221ln 2M x x =--+，所以222122ln M x x =--+，因为212x a=，且102a <<，所以21x >．令()122ln h x x x =--+，则22(1)'()2x h x x x-=-+=，当1x ≥时，'()0h x ≤，即()h x 在[1,)+∞单调递减，所以当21x >时，有2()(1)122ln13h x h <=--+=-，即23M <-．22．解：（1）点P的直角坐标为；由2cos()4πρθ=-得2cos sin ρθθ=①将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，可得曲线C的直角坐标方程为22(()122x y -+-=．（2）直线:l 2cos 4sin ρθρθ+=240x y +，设点Q的直角坐标为(cos ,sin )22θθ++，则cos sin )22M θθ，那么M 到直线l 的距离：cos sin |))d θθ+===，d ∴≥=（当且仅当sin()1θϕ+=-时取等号），所以M到直线:2cos 4sin l ρθρθ+．23.解：（1）43,25,21()27,1243,2x x x f x x x x x --≤-⎧⎪-<≤-⎪=⎨+-<≤⎪⎪+>⎩，∴()f x 的最小值为5，∴()5f x ≥．（2）由（1）知：152()f x -的最大值等于5. ∵222299(1)111a a a a +=++-++15≥=，“=”成立229(1)1a a ⇔+=+，即a =∴当a =2291a a ++取得最小值5.当a ≠22951a a +>+，又∵对任意实数x ，152()f x -<2291a a ++都成立，∴a ≠∴a的取值范围为a ≠。

2017年广西玉林市、贵港市高考数学一模试卷(理科)

2017年广西玉林市、贵港市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣3x﹣4≤0}，集合N={x|lnx≥0}，则M∩N=（）A．{x|1≤x≤4}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1≤x≤4}D．{x|x≥﹣1}2．（5分）若复数z满足|z|•=20﹣15i，则z的虚部为（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i3．（5分）已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C． D．4．（5分）如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A．组距越大，频率分布折线图越接近于它B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比5．（5分）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣26．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a7．（5分）计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100．下面是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是（）A．i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤58．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a﹣b=2ccosB，则角C的大小为（）A．B．C． D．9．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．2 B．4 C．4+4D．6+410．（5分）用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A．B．C．D．11．（5分）如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）A．5035 B．5039 C．5043 D．5047二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）为了得到函数y=cos2x的图象，可以将函数y=sin2x+cos2x的图象至少向左平移个单位．14．（5分）已知实数x，y满足条件，则的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=﹣f'（0）e x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e x上，则|PQ|的最小值为．16．（5分）已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），若圆C：x2+y2﹣8x﹣8y+31=0上存在一点P，使得•=0，则m的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}为等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP（最有价值球员），如表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．注：（1）表中a/b表示出手b次命中a次；（2）TS%（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：TS%=．（Ⅰ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中TS%超过50%的概率；（Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%的概率；（Ⅲ）用x来表示易建联某场的得分，用y来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断y与x之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=2A1B1=2CC1，M，N分别为AC，BC的中点．（1）求证：AB1∥平面C1MN；（2）若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C﹣MC1﹣N的大小．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线m，与圆O相交于两点R，S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．21．（12分）已知函数h（x）=lnx+．（1）函数g（x）=h（2x+m），若x=1是g（x）的极值点，求m的值并讨论g（x）的单调性；（2）函数φ（x）=h（x）﹣+ax2﹣2x有两个不同的极值点，其极小值为M，试比较2M与﹣3的大小关系，并说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（3，）．曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ﹣）（θ为参数）．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2ρcosθ+4ρsinθ=的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（1）求证：f（x）≥5；（2）若对任意实数x，15﹣2f（x）＜a2+都成立，求实数a的取值范围．2017年广西玉林市、贵港市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2017•广西一模）已知集合M={x|x2﹣3x﹣4≤0}，集合N={x|lnx≥0}，则M∩N=（）A．{x|1≤x≤4}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1≤x≤4}D．{x|x≥﹣1}【解答】解：∵集合M={x|x2﹣3x﹣4≤0}={x|﹣1≤x≤4}，集合N={x|lnx≥0}{x|x≥1}，∴M∩N={x|1≤x≤4}．故选：A．2．（5分）（2017•广西一模）若复数z满足|z|•=20﹣15i，则z的虚部为（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），由|z|•=20﹣15i，得，∴，解得a=4，b=3．∴z的虚部为3．故选：A．3．（5分）（2017•洛阳模拟）已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C． D．【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，∴（）•=﹣2 =0，（）•=﹣2 =0，∴==2 ，设与的夹角为θ，则由两个向量的夹角公式得cosθ====，∴θ=60°，故选B．4．（5分）（2017•广西一模）如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A．组距越大，频率分布折线图越接近于它B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比【解答】解：总体密度曲线与频率分布折线图关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布折线图越接近总体密度曲线，但它永远达不到总体密度曲线．在总体密度曲线中，阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比，故选：C．5．（5分）（2017•广西一模）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．6．（5分）（2017•广西一模）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，∴f（x）在{0，+∞）上单调递增，∵2＞log23=log49＞log45，2＞2，∴f（log45）＜f（log23）＜f（2），∴b＜a＜c，故选：B．7．（5分）（2017•广西一模）计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100．下面是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是（）A．i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤5【解答】解：在将二进制数11111化为十进制数的程序中循环次数有循环变量i决定∵11111共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程∴进入循环的条件应设为i≤4故选B．8．（5分）（2017•广西一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a﹣b=2ccosB，则角C的大小为（）A．B．C． D．【解答】解：∵在△ABC中，2ccosB=2a﹣b，∴由余弦定理可得：2c×=2a﹣b，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，又C∈（0，π），∴C=．故选：B．9．（5分）（2017•广西一模）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．2 B．4 C．4+4D．6+4【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×1=1，底面周长为：2+2×=2+2，故直三棱柱的表面积为S=2×1+2×（2+2）=6+4．故选：B．10．（5分）（2017•广西一模）用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，∴圆柱的体积V（X）=πy2x==π（﹣x3+4R2x），（0＜x＜2R），∴V′（x）=π（﹣3x2+4R2），列表如下：）（∴当x=时，此圆柱体积最大．∴圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为和2=，∴圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：=．故选：C．11．（5分）（2017•广西一模）如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由题意得，解得a=8，b=2，c==2，∴该椭圆的离心率为e===．故选：B．12．（5分）（2017•广西一模）已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）A．5035 B．5039 C．5043 D．5047【解答】解：由a n=（n∈N*），n∈N*，可得此数列为，，，，，，，，，，，，，…．a n的整数项为：，，，，，，…．即整数：2，3，7，8，12，13，…．其规律就是各项之间是+1，+4，+1，+4，+1，+4这样递增的，=2+5（n﹣1）=5n﹣3，∴b2n﹣1b2n=3+5（n﹣1）=5n﹣2．由2n=2018，解得n=1009，∴b2018=5×1009﹣2=5043．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）（2017•广西一模）为了得到函数y=cos2x的图象，可以将函数y=sin2x+cos2x的图象至少向左平移个单位．【解答】解：将函数y=sin2x+cos2x=cos（2x﹣）的图象至少向左平移个单位，可得得到函数y=cos[2（x+）﹣]=cos2x的图象，故答案为：．14．（5分）（2017•广西一模）已知实数x，y满足条件，则的取值范围是[0，2] ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∵k OA=2．∴则的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．15．（5分）（2017•广西一模）已知函数f（x）=﹣f'（0）e x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e x上，则|PQ|的最小值为．【解答】解：f（x）=﹣f'（0）e x+2x，可得f′（x）=﹣f'（0）e x+2，即有f′（0）=﹣f'（0）e0+2，解得f′（0）=1，则f（x）=﹣e x+2x，f（0）=﹣e0+0=﹣1，则切线l：y=x﹣1，y=e x的导数为y′=e x，过Q的切线与切线l平行时，距离最短．由e x=1，可得x=0，即切点Q（0，1），则Q到切线l的距离为=．故答案为：．16．（5分）（2017•广西一模）已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），若圆C：x2+y2﹣8x﹣8y+31=0上存在一点P，使得•=0，则m的最大值为6．【解答】解：圆C的方程变成：（x﹣4）2+（y﹣4）2=1；∴设P（4+cosθ，4+sinθ），如图：线段AB的中点坐标为（1，0），|AB|=2|m|；∴P点到线段AB中点的距离为|m|；∴（3+cosθ）2+（4+sinθ）2=m2；∴26+6cosθ+8sinθ=m2；∴26+10sin（θ+φ）=m2，其中tanφ=；∴m2最大为36；∴m的最大值为6．故答案为：6．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）（2017•广西一模）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}为等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解（1）∵a1=1，a n+1═，∴，即==3（+），则{+}为等比数列，公比q=3，首项为，则+=，即=﹣+=，即a n=．（2）b n=（3n﹣1）••a n=，则数列{b n}的前n项和T n=①=+…+②，两式相减得=1﹣=﹣=2﹣﹣=2﹣，则T n=4﹣．18．（12分）（2017•广西一模）2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP（最有价值球员），如表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．注：（1）表中a/b表示出手b次命中a次；（2）TS%（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：TS%=．（Ⅰ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中TS%超过50%的概率；（Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%的概率；（Ⅲ）用x来表示易建联某场的得分，用y来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断y与x之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设易建联在比赛中TS%超过50%为事件A，则共有8场比赛中TS%超过50%，故P（A）=．．…（4分）（Ⅱ）设易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%为事件B，则易建联在这两场比赛中TS%至少有一场均不超过60%为事件，由题意可得易建联在比赛中TS%不超过60%的有5场，故P（）==，故P（B）=1﹣P（）=．…（8分）（Ⅲ）不具有线性相关关系．…（10分）因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛．…（12分）19．（12分）（2017•广西一模）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=2A1B1=2CC1，M，N分别为AC，BC的中点．（1）求证：AB1∥平面C1MN；（2）若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C﹣MC1﹣N的大小．【解答】证明：（1）连接B1N，B1C，设B1C与NC1交于点G，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB=2A1B1，则BC=2B1C1，而N是BC的中点，B1C1∥BC，则B 1C1NC，所以四边形B1C1CN是平行四边形，G是B1C的中点，在△AB1C中，M是AC的中点，则MG∥AB1，又AB1⊄平面C1MN，MG⊂平面C1MN，所以AB1∥平面C1MN．解：（2）由CC1⊥平面ABC，可得A1M⊥平面ABC，而AB⊥BC，AB=BC，则MB⊥AC，所以MA，MB，MA1两两垂直，故以点M为坐标原点，MA，MB，MA1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2，则A1B1=CC1=1，AC=2，AM=，B（0，，0），C（﹣，0，0），C1（﹣，0，1），N（﹣，，0），则平面ACC1A1的一个法向量为=（0，1，0），设平面C1MN的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则=（1，1，），cos＜＞=，由图形得得二面角C﹣MC1﹣N为锐角，所以二面角C﹣MC1﹣N的大小为60°．20．（12分）（2017•广西一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线m，与圆O相交于两点R，S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得e==，又圆O的方程为x2+y2=b2，因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，b=，由a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．所以椭圆C的方程为．（2）由（1）得知圆的方程为x2+y2=2．A（﹣，0），直线m 的方程为：y=k （x+）．设R（x1，y1），S（x2，y2），由得，由△=12k4﹣4（1+k2）（3k2﹣2）＞0的﹣＜k＜…①因为△ORS是钝角三角形，∴==．…②由A、R、S三点不共线，知k≠0．③由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．21．（12分）（2017•广西一模）已知函数h（x）=lnx+．（1）函数g（x）=h（2x+m），若x=1是g（x）的极值点，求m的值并讨论g（x）的单调性；（2）函数φ（x）=h（x）﹣+ax2﹣2x有两个不同的极值点，其极小值为M，试比较2M与﹣3的大小关系，并说明理由．【解答】解：（1）g（x）=ln（2x+m）+，（x＞﹣），g′（x）=﹣=，若x=1是g（x）的极值点，则g′（x）==0，解得：m=﹣1，故g（x）=ln（2x﹣1）+，（x＞），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：＜x＜1，故g（x）在（，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）φ（x）=h（x）﹣+ax2﹣2x=ax2﹣2x+lnx（x＞0）φ′（x）=2ax﹣2+=（x＞0）∵φ（x）有两个不同的极值点，∴2ax2﹣2x+1=0在（0，+∞）有两个不同的实根．设p （x ）=2ax 2﹣2x +1=0，则，即，即有0＜a ＜．设p （x ）在（0，+∞）的两根x 1，x 2且x 1＜x 2，∴φ（x ）的极小值为M=φ（x 2）=ax 22﹣2x 2+lnx 2 又p （x ）=0在（0，+∞）的两根为x 1，x 2， ∴2ax 22﹣2x 2+1=0∴φ（x ）极小值=M=φ（x 2）=ax 22﹣2x 2+lnx 2 =x 2﹣﹣2x 2+lnx 2=﹣+lnx 2﹣x 2， ∴2M=﹣1+2lnx 2﹣2x 2， ∵x 2=（0＜a ＜）∴x 2＞1令v （x ）=﹣1+2lnx ﹣2x ，v′（x ）=﹣2， ∴x ＞1时，v′（x ）＜0，v （x ）在（1，+∞）递减， ∴x ＞1时，v （x ）=﹣1+2lnx ﹣2x ＜v （1）=﹣3， ∴2M ＜﹣3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•广西一模）已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为（3，）．曲线C 的参数方程为ρ=2cos （θ﹣）（θ为参数）．（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2ρcosθ+4ρsinθ=的距离的最小值．（I）由P点的极坐标为（3，），∴x P=3=，y P=3=，【解答】解：∴点P的直角坐标为．曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ﹣）（θ为参数），展开可得：ρ2=（ρcosθ+ρsinθ），∴x2+y2=x+y，配方为：+=1．（II）直线l：2ρcosθ+4ρsinθ=的直角坐标方程为：：2x+4y=．设Q，则M，则点M到直线l的距离d===，当且仅当sin（θ+φ）=﹣1时取等号．∴点M到直线l：2ρcosθ+4ρsinθ=的距离的最小值是．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•广西一模）已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（1）求证：f（x）≥5；（2）若对任意实数x，15﹣2f（x）＜a2+都成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…（7分）∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5．当时，，又∵对任意实数x，都成立，∴．∴a的取值范围为．…（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；sxs123；394782；lcb001；刘长柏；豫汝王世崇；w3239003；742048；沂蒙松；caoqz；双曲线；wkl197822；maths；陈远才；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年4月20日。

2017年广西高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

2017年广西高考数学模拟试卷（理科)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列集合中,是集合A=｛x｜x2＜5x｝的真子集的是()A．{2,5｝B．（6,+∞）C．（0，5) D．（1,5）2．复数的实部与虚部分别为()A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7,3i3．设a=log25，b=log26，，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．设向量=(1，2）,=（﹣3，5），=（4,x），若+=λ(λ∈R），则λ+x的值是（）A．﹣B．C．﹣D．5．已知tanα=3,则等于()A．B．C．D．26．设x，y满足约束条件，则的最大值为(）A．B．2 C．D．07．将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称C．f(）=D．f(x）的图象关于(，0)对称8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4,则输出的s等于（）A．94 B．99 C．45 D．2039．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左支、右支分别交于B,C两点，A为右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在［10,14]，[15，19］，［20，24],［25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10％,18%，20%,30％，t%．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段,如12代表［10，14],17代表［15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为(）A．33 B．35 C．37 D．3911．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（)A．+8πB．+8πC．16+8πD．+16π12．已知定义在R上的偶函数f（x）在［0，+∞)上递减，若不等式f(﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3］恒成立,则实数a的取值范围是（）A．［2,e］B．［，+∞) C．［,e]D．［,］二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13．（x﹣1）7的展开式中x2的系数为．14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成,则曲线C与圆（x+3)2+y2=16的交点的个数为．15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上，则球O表面积的最小值为．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算,则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（本大题共5小题，共70分。

2017年广西高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

2017年广西高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．下列集合中，是集合＜的真子集的是（）．，．（， ∞）．（，）．（，）．复数的实部与虚部分别为（）．，﹣ ．，﹣ ．﹣ ，．﹣ ，．设，，，则（）．＞＞．＞＞．＞＞．＞＞．设向量（，），（﹣ ，），（，），若（ ∈ ），则的值是（）．﹣ ．．﹣ ．．已知，则等于（）．．．．．设，满足约束条件，则的最大值为（）．．．．．将函数（）的图象向左平移个单位后，得到（）的图象，则（）．（） ﹣ ．（）的图象关于 ﹣对称．（）．（）的图象关于（，）对称．执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（）．．．．．直线与双曲线﹣ （＞，＞）的左支、右支分别交于，两点，为右顶点，为坐标原点，若∠ ∠ ，则该双曲线的离心率为（）．．．．．年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在，，，，，，，，，的爱看比例分别为，，，，．现用这个年龄段的中间值代表年龄段，如代表，，代表，，根据前四个数据求得关于爱看比例的线性回归方程为，由此可推测的值为（）．．．．．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．．．．．已知定义在上的偶函数（）在， ∞）上递减，若不等式（﹣ ）（ ﹣ ﹣ ）≥ （）对 ∈ ，恒成立，则实数的取值范围是（）．，．， ∞）．，．，二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）．（ ﹣ ）的展开式中的系数为．．已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆（）的交点的个数为．．若体积为的长方体的一个面的面积为，且这个长方体个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为．．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五田域类里有一个题目：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为里，里，里，假设里按米计算，则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（本大题共小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．某体育场一角的看台共有排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由个座位，从第二排起每一排都比前一排多个座位，记表示第排的座位数．（）确定此看台共有多少个座位；（）设数列的前项的和为，求 ﹣ 的值．．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（）求审核过程中只通过两道程序的概率；（）现有部智能手机进人审核，记这部手机可以出厂销售的部数为，求的分布列及数学期望．．如图，在三棱柱 ﹣ 中，侧面与侧面都是菱形，∠ ∠ ，．（）求证： ⊥ ；（）若，的中点为，求二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值．．如图，，为椭圆：（＞＞）的左、右焦点，，是椭圆的两个顶点，，，若点（，）在椭圆上，则点（，）称为点的一个椭点．直线与椭圆交于，两点，，两点的椭点分别为，，已知以为直径的圆经过坐标原点．（）求椭圆的标准方程；（）试探讨△ 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．．已知函数（） ﹣ ，（）（），其中，为常数．（）若是函数（）的一个极值点，求曲线（）在点（，（））处的切线方程；（）若函数（）有个零点，（（））有个零点，求的取值范围．请考生在、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修：坐标系与参数方程．在直角坐标系中，圆的方程为（ ﹣）（），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（）求圆的极坐标方程；（）直线：（ ∈ ）与圆交于点，，求线段的长．选修：不等式选讲．已知（） ﹣ ﹣ ，为不等式（）＞的解集．（）求；（）求证：当， ∈ 时，＜．年广西高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．下列集合中，是集合＜的真子集的是（）．，．（， ∞）．（，）．（，）【考点】子集与真子集．【分析】求解二次不等式化简，然后可得集合的真子集．【解答】解：因为＜＜＜，所以是集合＜的真子集的是（，）．故选：．．复数的实部与虚部分别为（）．，﹣ ．，﹣ ．﹣ ，．﹣ ，【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解：，∴ 的实部与虚部分别为，﹣ ．故选：．．设，，，则（）．＞＞．＞＞．＞＞．＞＞【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的性质直接求解．【解答】解：∵ ＜＜＜，，∴ ＞＞．故选：．．设向量（，），（﹣ ，），（，），若（ ∈ ），则的值是（）．﹣ ．．﹣ ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出和的值，即可求出的值．【解答】解：向量（，），（﹣ ，），（，），∴ （﹣ ，），又（ ∈ ），∴，解得 ﹣， ﹣ ；∴ ﹣﹣ ﹣．故选：．．已知，则等于（）．．．．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可计算得解．【解答】解：∵ ，∴ ．故选：．．设，满足约束条件，则的最大值为（）．．．．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与连接的直线斜率最大，且（，），所以的最大值为；故选：．．将函数（）的图象向左平移个单位后，得到（）的图象，则（）．（） ﹣ ．（）的图象关于 ﹣对称．（）．（）的图象关于（，）对称【考点】函数（）的图象变换．【分析】利用诱导公式、（）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数（）的图象向左平移个单位后，得到（）（）（） ﹣ （）的图象，故排除；当 ﹣时，（），为最大值，故（）的图象关于 ﹣对称，故正确；（） ﹣ ﹣ ﹣，故排除；当时，（） ﹣ ﹣≠ ，故（）的图象不关于（，）对称，故错误，故选：．．执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（）．．．．【考点】程序框图．【分析】输入和的值，求出的值，比较即可．【解答】解：第一次运算：，，；第二次运算：，，；第三次运算：，，；第四次运算：，，＞，输出，故选：．．直线与双曲线﹣ （＞，＞）的左支、右支分别交于，两点，为右顶点，为坐标原点，若∠ ∠ ，则该双曲线的离心率为（）．．．．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件得出∠ ，（，），代入双曲线﹣ ，可得﹣ ，，即可得出结论．【解答】解：∵∠ ∠ ，∴∠ ，∴ （，），代入双曲线﹣ ，可得﹣ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选．．年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在，，，，，，，，，的爱看比例分别为，，，，．现用这个年龄段的中间值代表年龄段，如代表，，代表，，根据前四个数据求得关于爱看比例的线性回归方程为，由此可推测的值为（）．．．．【考点】线性回归方程．【分析】计算前四组数据的平均数，代入线性回归方程求出的值，再由回归直线方程求出时的值即可．【解答】解：前四组数据的平均数为，×（），×（），代入线性回归方程 ﹣ ，得 × ﹣ ，解得，∴线性回归方程为 ﹣ ；当时， × ﹣ ≈ ，由此可推测的值为．故选：．．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．．．．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是下面为半圆柱体、上面为四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式即可求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是下面为半个圆柱、上面为一个四棱锥的组合体，且四棱锥的底面是俯视图中小矩形的两条边分别是、，其中一条侧棱与底面垂直，高为，圆柱的底面圆半径为、母线长为，所以该几何体的体积为× × × × × × ．故选：．．已知定义在上的偶函数（）在， ∞）上递减，若不等式（﹣ ）（ ﹣ ﹣ ）≥ （）对 ∈ ，恒成立，则实数的取值范围是（）．，．， ∞）．，．，【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得 ≤ ﹣ ≤ 对∈ ，恒成立．令（） ﹣ ，则由（） ﹣ ，求得．分类讨论求得（）的最大值和最小值，从而求得的范围．【解答】解：∵定义在上的偶函数（）在， ∞）上递减，∴ （）在（﹣∞，）上单调递增，若不等式（﹣ ）（ ﹣ ﹣ ）≥ （）对 ∈ ，恒成立，则（ ﹣ ﹣ ）≥ （）对 ∈ ，恒成立，即（ ﹣ ﹣ ）≥ （）对 ∈ ，恒成立．∴﹣ ≤ ﹣ ﹣ ≤ 对 ∈ ，恒成立，即 ≤ ﹣ ≤ 对 ∈ ，恒成立．令（） ﹣ ，则由（） ﹣ ，求得．①当≤ ，即＜或 ≥ 时，（）≥ 在，上恒成立，（）为增函数，∵最小值（） ≥ ，最大值（） ﹣ ≤ ，∴ ≤ ≤，综合可得， ≤ ≤．②当≥ ，即＜ ≤时，（）≤ 在，上恒成立，（）为减函数，∵最大值（） ≤ ，最小值（） ﹣ ≥ ，∴≤ ≤ ，综合可得，无解．③当＜＜，即＜＜时，在，）上，（）＜恒成立，（）为减函数；在（，上，（）＞恒成立，（）为增函数．故函数的最小值为（） ﹣ ，∵ （），（） ﹣ ，（）﹣ （） ﹣ ．若 ﹣ ＞，即＜＜，∵ （）﹣ （）＞，则最大值为（） ﹣ ，此时，由 ﹣ ≥ ，（） ﹣ ≤ ，求得≤ ≤，综合可得，＜＜．若 ﹣ ≤ ，即＜ ≤ ，∵ （）﹣ （）≤ ，则最大值为（），此时，最小值 ﹣ ≥ ，最大值（） ≤ ，求得≤ ≤ ，综合可得≤ ≤ ．综合①②③可得， ≤ ≤或＜＜或≤ ≤ ，即≤ ≤，故选：．二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）．（ ﹣ ）的展开式中的系数为﹣ ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式，令 ﹣ ，解得．∴（ ﹣ ）的展开式中的系数为﹣ ﹣ ．故答案为：﹣ ．．已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆（）的交点的个数为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别求出抛物线及其准线与圆（）的交点的个数，即可得到结论．【解答】解：圆的圆心坐标为（﹣ ，），半径为，抛物线的顶点为（，），焦点为（，），所以圆（）与抛物线的交点个数为．圆心到准线 ﹣ 的距离为，小于半径，直线与圆有两个交点，综上所述，曲线与圆（）的交点的个数为．故答案为：．．若体积为的长方体的一个面的面积为，且这个长方体个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为．【考点】球的体积和表面积．【分析】设长方体的三度为，，，则，，可得，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球表面积的最小值．【解答】解：设长方体的三度为，，，则，，∴ ．长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以 ≥ ，当且仅当时，的最小值为，所以球表面积的最小值为：．故答案为：．．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五田域类里有一个题目：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为里，里，里，假设里按米计算，则该沙田的面积为平万千米．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意画出图象，并求出、、的长，由余弦定理求出，由平方关系求出的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．【解答】解：由题意画出图象：且里米，里米，里米，在△ 中，由余弦定理得，，所以，则该沙田的面积：即△ 的面积（平方米）（平方千米），故答案为：．三、解答题（本大题共小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．某体育场一角的看台共有排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由个座位，从第二排起每一排都比前一排多个座位，记表示第排的座位数．（）确定此看台共有多少个座位；（）设数列的前项的和为，求 ﹣ 的值．【考点】数列的求和．【分析】（）由题意可得数列为等差数列，根据等差数列通项公式即可求得（ ﹣ ），（ ≤ ≤ ），由此看台共有座位个数为，由等差数列前项和公式即可求得．（）由（）可知（），利用错位相减法即可求得数列的前项的和为，代入根据对数的运算性质即可求得 ﹣ 的值．【解答】解：（）由题意可得数列为等差数列，首项，公差，∴ （ ﹣ ），（ ≤ ≤ ），∴由等差数列前项和公式可知：此看台共有；（）由（），数列的前项和，∴ ，两式相减得：﹣ ﹣ ，﹣ ，﹣ ，∴ ，﹣ ﹣ ﹣ ．∴ ﹣ ．．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（）求审核过程中只通过两道程序的概率；（）现有部智能手机进人审核，记这部手机可以出厂销售的部数为，求的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（）设审核过程中只通过两道程序为事件，则（）．（）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得可取，，，，则～．【解答】解：（）设审核过程中只通过两道程序为事件，则．（）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得可取，，，，则～，．所以的分布列为：故（或）．．如图，在三棱柱 ﹣ 中，侧面与侧面都是菱形，∠ ∠ ，．（）求证： ⊥ ；（）若，的中点为，求二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（）连结，则△ ，△ 都是正三角形，取中点，连结，，则 ⊥ ， ⊥ ，由此能证明 ⊥ ．（）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值．【解答】证明：（）连结，则△ ，△ 都是正三角形，取中点，连结，，则 ⊥ ， ⊥ ，∵ ∩ ，∴ ⊥平面，∵ ⊂平面，∴ ⊥ ．解：（）由（）知，又，∴ ，∴ ⊥ ， ⊥平面，如图，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则（，﹣，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），设平面的法向量（，，），∵ （，，﹣ ），（，﹣，），∴，取，得（），设平面的法向量（，，），∵ （，，﹣），（﹣ ，，），∴，取，得（），∴ ＜＞，由图知二面角 ﹣ ﹣ 的平面角为钝角，∴二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值为﹣．．如图，，为椭圆：（＞＞）的左、右焦点，，是椭圆的两个顶点，，，若点（，）在椭圆上，则点（，）称为点的一个椭点．直线与椭圆交于，两点，，两点的椭点分别为，，已知以为直径的圆经过坐标原点．（）求椭圆的标准方程；（）试探讨△ 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（）由，是椭圆的两个顶点，，，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的标准方程．（）设（，），（，），则（，），（），由 ⊥ ，即，当直线的斜率不存在时，．当直线的斜率存在时，设其方程为， ≠ ，联立，得（） ﹣ ，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ 的面积为．【解答】解：（）∵ ，为椭圆：（＞＞）的左、右焦点，，是椭圆的两个顶点，，，∴，解得，，，∴椭圆的标准方程为．（）设（，），（，），则（，），（），由 ⊥ ，即，（）①当直线的斜率不存在时， × ﹣ ．②当直线的斜率存在时，设其方程为， ≠ ，联立，得（） ﹣ ，△ （ ﹣ ），，同理，，代入（），整理，得，此时，△ ＞，﹣ ，，∴ ，综上，△ 的面积为．．已知函数（） ﹣ ，（）（），其中，为常数．（）若是函数（）的一个极值点，求曲线（）在点（，（））处的切线方程；（）若函数（）有个零点，（（））有个零点，求的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（）求得函数（）的导数，由极值的概念可得，求出（）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（）求出（）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为，可得，作出（）的图象，令（），由题意可得 ﹣ 或，即（） ﹣ ﹣ 或（） ﹣ 都有个实数解，由图象可得﹣ ﹣ ＞，且﹣ ＞，即可得到所求的范围．【解答】解：（）函数（） ﹣ ，则（） ﹣ 的导数为 ﹣ ，由题意可得 ﹣ ，解得，即有（） ﹣ ，（） ﹣，可得曲线在点（，（））处的切线斜率为，切点为（，﹣ ），即有曲线（）在点（，（））处的切线方程为（ ﹣ ），即为 ﹣ ；（）由（） ﹣ ，导数（） ﹣，当＞时，（）＞，（）递增；当＜或＜＜时，（）＜，（）递减．可得处取得极小值，且为 ﹣ ，由（）有两个零点，可得 ﹣ ，即，零点分别为﹣ ，．令（），即有（），可得 ﹣ 或，则（） ﹣ ﹣ 或（） ﹣ ，由题意可得（） ﹣ ﹣ 或（） ﹣ 都有个实数解，则﹣ ﹣ ＞，且﹣ ＞，即＜﹣ 且＜，可得＜﹣ ，即有＜．则的范围是（﹣∞，）．请考生在、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修：坐标系与参数方程．在直角坐标系中，圆的方程为（ ﹣）（），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（）求圆的极坐标方程；（）直线：（ ∈ ）与圆交于点，，求线段的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆的极坐标方程；（）利用 ﹣ ，求线段的长．【解答】解：（）（ ﹣）（）可化为 ﹣ ﹣ ，故其极坐标方程为 ﹣ ﹣ ．（）将代入 ﹣ ﹣ ，得 ﹣ ﹣ ，∴ ， ﹣ ，∴ ﹣ ．选修：不等式选讲．已知（） ﹣ ﹣ ，为不等式（）＞的解集．（）求；（）求证：当， ∈ 时，＜．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（）通过讨论的范围，解关于的不等式，求出的范围即可；（）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（）（），当＜﹣ 时，由 ﹣ ＞得，＞，舍去；当﹣ ≤ ≤时，由＞得，＞﹣，即﹣＜ ≤；当＞时，由﹣ ＞得，＜，即＜＜，综上，（﹣，）；（）证明：∵ ， ∈ ，∴ ＜，＜，∴ ≤ ≤ ＜ × ．年月日。

2017年广西高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

2021年广西高考数学模拟试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．以下集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是〔〕A．{2，5}B．〔6，+∞〕C．〔0，5〕 D．〔1，5〕2．复数的实部与虚局部别为〔〕A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i3．设a=log25，b=log26，，那么〔〕A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．设向量=〔1，2〕，=〔﹣3，5〕，=〔4，x〕，假设+=λ〔λ∈R〕，那么λ+x 的值是〔〕A．﹣B．C．﹣D．5．tanα=3，那么等于〔〕A．B．C．D．26．设x，y满足约束条件，那么的最大值为〔〕A．B．2 C．D．0+〕的图象向左平移个单位后，得到f〔x〕的图象，那么〔〕对称C．f〔〕=，0〕对称8．执行如下图的程序框图，假设输入的x=2，n=4，那么输出的s等于〔〕A．94 B．99 C．45 D．2039．直线y=2b与双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左支、右支分别交于B，C 两点，A为右顶点，O为坐标原点，假设∠AOC=∠BOC，那么该双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．10．2021年年岁史诗大剧?芈月传?风行大江南北，影响力不亚于以前的?甄嬛传?．某记者调查了大量?芈月传?的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，由此可推测t的值为〔〕A．33 B．35 C．37 D．3911．某几何体是组合体，其三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A． +8π B． +8πC．16+8πD． +16π[0，+∞〕上递减，假设不等式f〔﹣ax+lnx+1〕+f〔ax﹣lnx﹣1〕≥2f〔1〕对x ∈[1，3]恒成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．[2，e]B．[，+∞〕C．[，e]D．[，]二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔x﹣1〕7的展开式中x2的系数为．14．曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，那么曲线C与圆〔x+3〕2+y2=16的交点的个数为．15．假设体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，那么球O外表积的最小值为．平万千米．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记a n表示第n排的座位数．〔1〕确定此看台共有多少个座位；〔2〕设数列{2n•a n}的前20项的和为S20，求log2S20﹣log220的值．18．某智能制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部只有三道程序都通过才能出厂销售．〔1〕求审核过程中只通过两道程序的概率；〔2〕现有3部智能进人审核，记这3部可以出厂销售的部数为X，求X 的分布列及数学期望．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．〔1〕求证：AB1⊥CC1；〔2〕假设AB1=3，A1C1的中点为D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．20．如图，F1，F2为椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，假设点M〔x0，y0〕在椭圆C上，那么点N〔，〕称为点M的一个“椭点〞．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B 两点的“椭点〞分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕试探讨△AOB的面积S是否为定值？假设为定值，求出该定值；假设不为定值，请说明理由．2+﹣a，g〔x〕=f〔x〕+b，其中a，b为常数．+b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为〔x﹣〕2+〔y+1〕2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求圆C的极坐标方程；〔2〕直线OP：θ=〔p∈R〕与圆C交于点M，N，求线段MN的长．[选修4-5：不等式选讲]23．f〔x〕=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f〔x〕＞0的解集．〔1〕求M；〔2〕求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．2021年广西高考数学模拟试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．以下集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是〔〕A．{2，5}B．〔6，+∞〕C．〔0，5〕 D．〔1，5〕【考点】子集与真子集．【分析】求解二次不等式化简A，然后可得集合A的真子集．【解答】解：因为A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是〔1，5〕．应选：D．2．复数的实部与虚局部别为〔〕A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i【考点】复数的根本概念．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：=，∴z的实部与虚局部别为7，﹣3．应选：A．3．设a=log25，b=log26，，那么〔〕A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比拟．【分析】【解答】解：∵log24=2＜a=log25＜b=log26＜log28=3，=3，∴c＞b＞a．应选：A．4．设向量=〔1，2〕，=〔﹣3，5〕，=〔4，x〕，假设+=λ〔λ∈R〕，那么λ+x 的值是〔〕A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出λ和x的值，即可求出λ+x的值．【解答】解：向量=〔1，2〕，=〔﹣3，5〕，=〔4，x〕，∴+=〔﹣2，7〕，又+=λ〔λ∈R〕，∴，解得λ=﹣，x=﹣14；∴λ+x=﹣﹣14=﹣．应选：C．5．tanα=3，那么等于〔〕A．B．C．D．2【考点】【分析】【解答】解：∵tanα=3，∴===．应选：B．6．设x，y满足约束条件，那么的最大值为〔〕A．B．2 C．D．0【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由得到可行域如图：那么表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C〔2，3〕，所以的最大值为；应选：A．+〕的图象向左平移个单位后，得到f〔x〕的图象，那么〔〕对称C．f〔〕=，0〕对称【考点】+φ〕的图象变换．【分析】利用诱导公式、y=Asin〔ωx+【解答】+〕的图象向左平移个单位后，得到f〔x〕=cos[2〔x+〕+] =cos〔2x+〕=﹣sin〔2x+〕的图象，故排除A；当x=﹣对称，故B正确；f〔〕=﹣sin=﹣sin=﹣，故排除C；当x=时，f〔x〕=﹣sin=﹣≠，0〕对称，故D错误，应选：B．8．执行如下图的程序框图，假设输入的x=2，n=4，那么输出的s等于〔〕A．94 B．99 C．45 D．203【考点】程序框图．【分析】输入x和n的值，求出k的值，比拟即可．【解答】解：第一次运算：s=2，s=5，k=2；第二次运算：s=5+2=7，s=16，k=3；第三次运算：s=16+3=19，s=41，k=4；第四次运算：s=41+4=45，s=94，k=5＞4，输出s=94，应选：A．9．直线y=2b与双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左支、右支分别交于B，C 两点，A为右顶点，O为坐标原点，假设∠AOC=∠BOC，那么该双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C〔b，2b〕，代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C〔b，2b〕，代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，∴c==a，∴e==，应选D．10．2021年年岁史诗大剧?芈月传?风行大江南北，影响力不亚于以前的?甄嬛传?．某记者调查了大量?芈月传?的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，由此可推测t的值为〔〕A．33 B．35 C．37 D．39【考点】线性回归方程．【分析】计算前四组数据的平均数，代入线性回归方程求出k的值，再由回归直线方程求出x=32时的值即可．【解答】解：前四组数据的平均数为，=×〔12+17+22+27〕=19.5，=×〔10+18+20+30〕=19.5，代入线性回归方程=kx﹣4.68，得19.5=k×19.5﹣4.68，解得k=1.24，∴线性回归方程为=1.24x﹣4.68；当x=32时，=1.24×32﹣4.68≈35，由此可推测t的值为35．应选：B．11．某几何体是组合体，其三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A． +8π B． +8πC．16+8πD． +16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是下面为半圆柱体、上面为四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式即可求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是下面为半个圆柱、上面为一个四棱锥的组合体，且四棱锥的底面是俯视图中小矩形的两条边分别是2、4，其中一条侧棱与底面垂直，高为2，圆柱的底面圆半径为2、母线长为4，所以该几何体的体积为V=×2×4×2+×π×22×4=+8π．应选：A．[0，+∞〕上递减，假设不等式f〔﹣ax+lnx+1〕+f〔ax﹣lnx﹣1〕≥2f〔1〕对x ∈[1，3]恒成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．[2，e]B．[，+∞〕C．[，e]D．[，]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]=0，求得x=．分类讨论求得g〔x〕的最大值和最小值，从而求得a的范围．【解答】解：∵[0，+∞〕上递减，∴f〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递增，假设不等式f〔﹣ax+lnx+1〕+f〔ax﹣lnx﹣1〕≥2f〔1〕对x∈[1，3]恒成立，那么2f〔ax﹣lnx﹣1〕≥2f〔1〕对x∈[1，3]恒成立，即f〔ax﹣lnx﹣1〕≥f〔1〕对x∈[1，3]恒成立．∴﹣1≤ax﹣lnx﹣1≤1 对x∈[1，3]恒成立，即0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．=0，求得x=．①当≤1，即a＜0 或a≥1时，g′〔x〕≥0在[1，3]∵最小值g〔1〕=a≥0，最大值g〔3〕=3a﹣ln3≤2，∴0≤a≤，综合可得，1≤a≤．②当≥3，即0＜a≤时，g′〔x〕≤0在[1，3]∵最大值g〔1〕=a≤2，最小值g〔3〕=3a﹣ln3≥0，∴≤a≤2，综合可得，a无解．③当1＜＜3，即＜a＜1时，在[1，〕上，g′〔x〕＜在〔，3]上，g′〔x〕＞〕=1﹣ln，∵g〔1〕=a，g〔3〕=3a﹣ln3，g〔3〕﹣g〔1〕=2a﹣ln3．假设2a﹣ln3＞0，即ln＜a＜1，∵g〔3〕﹣g〔1〕＞0，那么最大值为g〔3〕=3a﹣ln3，此时，由1﹣ln≥0，g〔3〕=3a﹣ln3≤2，求得≤a≤，综合可得，ln＜a＜1．假设2a﹣ln3≤0，即＜a≤ln3=ln，∵g〔3〕﹣g〔1〕≤0，那么最大值为g 〔1〕=a，此时，最小值1﹣ln≥0，最大值g〔1〕=a≤2，求得≤a≤2，综合可得≤a≤ln．综合①②③可得，1≤a≤或ln＜a＜1或≤a≤ln，即≤a≤，应选：D．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔x﹣1〕7的展开式中x2的系数为﹣21．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．=【解答】解：通项公式T r+1∴〔x﹣1〕7的展开式中x2的系数为﹣=﹣21．故答案为：﹣21．14．曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，那么曲线C与圆〔x+3〕2+y2=16的交点的个数为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别求出抛物线y2=8x及其准线与圆〔x+3〕2+y2=16的交点的个数，即可得到结论．【解答】解：圆的圆心坐标为〔﹣3，0〕，半径为4，抛物线的顶点为〔0，0〕，焦点为〔2，0〕，所以圆〔x+3〕2+y2=16与抛物线y2=8x的交点个数为2．圆心到准线x=﹣2的距离为1，小于半径，直线与圆有两个交点，综上所述，曲线C与圆〔x+3〕2+y2=16的交点的个数为4．故答案为：4．15．假设体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，那么球O外表积的最小值为18π．【考点】球的体积和外表积．【分析】设长方体的三度为a，b，c，那么ab=1，abc=4，可得c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O外表积的最小值．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，那么ab=1，abc=4，∴c=4．长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=≥=3，当且仅当a=b时，r的最小值为，所以球O外表积的最小值为：4πr2=18π．故答案为：18π．21平万千米．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．【解答】解：由题意画出图象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，所以sinB==，那么该沙田的面积：即△ABC的面积S===21000000〔平方米〕=21〔平方千米〕，故答案为：21．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记a n表示第n排的座位数．〔1〕确定此看台共有多少个座位；〔2〕设数列{2n•a n}的前20项的和为S20，求log2S20﹣log220的值．【考点】数列的求和．【分析】〔1〕由题意可得数列{a n}为等差数列，根据等差数列通项公式即可求得a n=2+〔n﹣1〕=n+1，〔1≤n≤20〕，由此看台共有座位个数为S20，由等差数列前n项和公式即可求得S20．〔2〕由〔1〕可知2n•a n=〔n+1〕•2n，利用“错位相减法〞即可求得数列{2n•a n}的前20项的和为S20，代入根据对数的运算性质即可求得log2S20﹣log220的值．【解答】解：〔1〕由题意可得数列{a n}为等差数列，首项a1=2，公差d=1，∴a n=2+〔n﹣1〕=n+1，〔1≤n≤20〕，∴由等差数列前n项和公式可知：此看台共有S20===230；〔2〕由2n•a n=〔n+1〕•2n，数列{2n•a n}的前20项和S20=2•2+3•22+4•23+…+21•220，∴2S20=2•22+3•23+4•24+…+21•221，两式相减得：﹣S20=2•2+22+23+…+220﹣21•221，=2+﹣21•221，=﹣20•221，∴S20=20•221，log2S20﹣log220=log220•221﹣log220=log220+log2221﹣log220=21．∴log2S20﹣log220=21．18．某智能制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部只有三道程序都通过才能出厂销售．〔1〕求审核过程中只通过两道程序的概率；〔2〕现有3部智能进人审核，记这3部可以出厂销售的部数为X，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔1〕设“审核过程中只通过两道程序〞为事件A，那么P〔A〕=．〔2〕每部该智能可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，那么X～B．【解答】解：〔1〕设“审核过程中只通过两道程序〞为事件A，那么．〔2〕每部该智能可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，那么X～B.，．所以X的分布列为：X0123P故〔或〕．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．〔1〕求证：AB1⊥CC1；〔2〕假设AB1=3，A1C1的中点为D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】〔1〕连结AC1，那么△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，那么CC1⊥OA，CC1⊥OB1，由此能证明CC1⊥AB1．〔2〕分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．【解答】证明：〔1〕连结AC1，那么△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，那么CC1⊥OA，CC1⊥OB1，∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1，∴CC1⊥AB1．解：〔2〕由〔1〕知OA=OB1=3，又AB1=3，∴OA2+OB12=AB12，∴OA⊥OB1，OA⊥平面B1C1C，如图，分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，那么C〔0，﹣，0〕，B1〔3，0，0〕，A〔0，0，3〕，C1〔0，，0〕，A1〔0，2，3〕，D1〔0，，〕，设平面CAB1的法向量=〔x，y，z〕，∵=〔3，0，﹣3〕，=〔1，﹣，1〕，∴，取x=1，得=〔〕，设平面AB1D1的法向量=〔a，b，c〕，∵=〔0，，﹣〕，=〔﹣3，，〕，∴，取b=1，得=〔〕，∴cos＜＞===，由图知二面角C﹣AB1﹣D1的平面角为钝角，∴二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值为﹣．20．如图，F1，F2为椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，假设点M〔x0，y0〕在椭圆C上，那么点N〔，〕称为点M的一个“椭点〞．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B 两点的“椭点〞分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕试探讨△AOB的面积S是否为定值？假设为定值，求出该定值；假设不为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么P〔，y1〕，Q〔〕，由OP⊥OQ，即=0，当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得〔4k2+1〕x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．【解答】解：〔1〕∵F1，F2为椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，∴，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的标准方程为=1．〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么P〔，y1〕，Q〔〕，由OP⊥OQ，即=0，〔*〕①当直线AB的斜率不存在时，S=|x1|×|y1﹣y2|=1．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得〔4k2+1〕x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=16〔4k2+1﹣m2〕，，同理，，代入〔*〕，整理，得4k2+1=2m2，此时，△=16m2＞0，AB=|x1﹣x2|=，h=，∴S=1，综上，△ABC的面积为1．2+﹣a，g〔x〕=f〔x〕+b，其中a，b为常数．+b的取值范围．【考点】【分析】，即f〔x〕=﹣1﹣b或f〔x〕=﹣b都有3个实数解，由图象可得﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即可得到所求a+b的范围．【解答】2+﹣a，那么y=xf〔x〕=4x3+1﹣ax的导数为y′=12x2﹣a，由题意可得12﹣a=0，解得a=12，即有f〔x〕=4x2+﹣12，f′〔x〕=8x﹣，可得曲线在点〔1，f〔1〕〕处的切线斜率为7，切点为〔1，﹣7〕，即有曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y+7=7〔x﹣1〕，即为y=7x﹣14；〔2〕由f〔x〕=4x2+﹣a，导数f′〔x〕=8x﹣，当x＞时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递增；当x＜0或0＜x＜时，f′〔x〕＜0，f〔x〕递减．可得x=处取得极小值，且为3﹣a，由f〔x〕有两个零点，可得3﹣a=0，即a=3，零点分别为﹣1，．，那么f〔x〕=﹣1﹣b或f〔x〕=﹣b，由题意可得f〔x〕=﹣1﹣b或f〔x〕=﹣b都有3个实数解，那么﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，可得b＜﹣1，即有a+b＜2．那么a+b的范围是〔﹣∞，2〕．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为〔x﹣〕2+〔y+1〕2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求圆C的极坐标方程；〔2〕直线OP：θ=〔p∈R〕与圆C交于点M，N，求线段MN的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】〔2〕利用|MN|=|ρ1﹣ρ2|，求线段MN的长．【解答】解：〔1〕〔x﹣〕2+〔y+1〕2=9可化为x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，故其极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．…〔2〕将θ=代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，得ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=﹣5，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|==2．…[选修4-5：不等式选讲]23．f〔x〕=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f〔x〕＞0的解集．〔1〕求M；〔2〕求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】〔2〕根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：〔1〕f〔x〕=，当x＜﹣2时，由x﹣3＞0得，x＞3，舍去；当﹣2≤x≤时，由3x+1＞0得，x＞﹣，即﹣＜x≤；当x＞时，由﹣x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，综上，M=〔﹣，3〕；〔2〕证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．2021年3月23日。

广西玉林市、贵港市2017届高中毕业班质量检测数学(理)试题含答案

2017年3月玉林市、贵港市高中毕业班质量评价检测数学（理科)第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上) 1．已知集合2{|340}M x x x =--≤，集合{|ln 0}N x x =≥，则M N =（）A ．{|14}x x ≤≤B ．{|1}x x ≥C ．{|14}x x -≤≤D ．{|1}x x ≥-2．若复数z 满足||2015z z i ⋅=-，则z 的虚部为( ）A ．3B ．—3C ．3iD ．3i -3．向量a ，b 均为非零向量，(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a ，b 的夹角为( ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 4．如图是总体密度曲线,下列说法正确的是（）A ．组距越大，频率分布折线图越接近于它B ．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C ．阴影部分的面积代表总体在(,)a b 内取值的百分比D ．阴影部分的平均高度代表总体在(,)a b 内取值的百分比5．若3sin cos 0αα+=，则21cos 2sin cos ααα+的值为（） A ．103 B ．53 C ．23 D ．2- 6．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减,2(log 3)a f =，4(log 5)b f =，32(2)c f =,则a ，b ，c 满足（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<7．计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100．下面是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是（）A ．4i >B ．4i ≤C ． 5i >D ．5i ≤8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ,已知22cos a b c B -=,则角C 的大小为( )A ．6πB ．3πC ． 23πD ．56π 9．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵"的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A ．2B ．4C ． 442-D ．642-10．用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，则圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为( ）A ．338πB ．337πC ． 328πD ．327π 11．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒,高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A ．154B ．15C ． 65D ．14 12．已知数列{}n a 中51n a n =-*()n N ∈,将数列{}n a 中的整数项按原来的顺序组成数列{}n b ，则2018b 的值为（）A ．5035B ．5039C ．5043D ．5047第Ⅱ卷非选择题（共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,满分20分,将正确答案填在答题卡中的横线上)13．为了得到函数2cos2y x =的图象，可以将函数sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移个单位．14．已知实数x ,y 满足条件30302x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则y x 的取值范围是． 15．已知函数()'(0)2x f x f e x =-+，点P 为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线l 上的点，点Q 在曲线x y e =上，则||PQ 的最小值为．16．已知点(1,0)A m -，(1,0)B m +，若圆:C 2288310x y x y +--+=上存在一点P 使得0PA PB =,则m 的最大值为．三、解答题 (本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{}n a 中，11a =,13n n n a a a +=+*()n N ∈．（1)求证：11{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足(31)2n n n n n b a =-⋅⋅,求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 18． 2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后,中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP (最有价值球员)，下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．注：（1)表中/a b 表示出手b 次命中a 次；（2）%TS （真实得分率)是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：%2(TS =⨯全场得分投篮出手次数+0.44罚球出手次数)(1）从上述9场比赛中随机选择一场,求易建联在该场比赛中%TS 超过50%的概率；（2）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中%TS 至少有一场超过60%的概率；（3）用x 来表示易建联某场的得分，用y 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示,请根据散点图判断y 与x 之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．19．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11122AB A B CC ==，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．（1）求证：1AB //平面1C MN ;（2）若AB BC ⊥且AB BC =，求二面角1C MC N --的大小．20．已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为33，直线:l 2y x =+与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切．(1）求椭圆C 的方程；(2）过椭圆C 的左顶点A 作直线m ，与圆O 相交于两点R ，S ，若ORS ∆是钝角三角形，求直线m 的斜率k 的取值范围．21．已知函数1()ln h x x x=+．（1）函数()(2)g x h x m =+,若1x =是()g x 的极值点，求m 的值并讨论()g x 的单调性;（2)函数21()()2x h x ax x xϕ=-+-有两个不同的极值点,其极小值为M ，试比较2M 与3-的大小关系，并说明理由．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．选修4-4:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P 点的极坐标为(3,)4π,曲线C 的参数方程为2cos()4πρθ=-（θ为参数）．(1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线:l 2cos 4sin ρθρθ+23．选修4—5：不等式选讲已知()|2||1|2|2|f x x x x =-++++．（1）求证：()5f x ≥;(2）若对任意实数x ，229152()1f x a a -<++都成立，求实数a 的取值范围．2017年3月玉林市、贵港市高中毕业班质量评价检测数学(理科）参考答案一、选择题(每小题5分，共60分）1-5:AABCA 6-10:CBBDC 11、12：AC二、填空题（每小题5分，共20分）13．8π 14．[0,2] 15．6 三、解答题17．解：（1）由11a =，13n n n a a a +=+*()n N ∈知，111113()22n n a a ++=+，又111322a +=，11{}2n a ∴+是以32为首项，3为公比的等比数列， 111333222nn n a -∴+=⨯=，231n n a ∴=-． (2）12n n nb -=，0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯, 2n T =121111112(1)2222n n n n -⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得012111111222222n n n T n -=+++++⨯222n n +=-， 1242n n n T -+∴=-． 18．解：（1）设易建联在比赛中%TS 超过50%为事件A ，则共有8场比赛中%TS 超过50%，故8()9P A =，（2）设“易建联在这两场比赛中%TS 至少有一场超过60%"为事件B ,则从上述9场比赛中随机选择两场共有2936C =个基本事件，而从中任意选择两场中，两场%TS 都不超过60%的有2510C =个基本事件，那么两场至少有一场超过60%的基本事件为(3610)-个基本事件．361013()3618P B -∴==．（3）不具有线性相关关系．因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛．19．解:（1）证明：连接1B N ，1B C ,设1B C 与1NC 交于点G ，连接MG ，在三棱台111ABC A B C -中,112AB A B =，则112BC B C =，而N 是BC 的中点,11//B C BC ，则11//B C NC ，11B C NC =所以四边形11B C CN 是平行四边形,G 是1B C 的中点,在1AB C ∆中,M 是AC 的中点，则1//MG AB ，又1AB ⊄平面1C MN ，MG ⊂平面1C MN ,所以1//AB 平面1C MN ．（2)解：由1CC ⊥平面ABC ,可得1A M ⊥平面ABC ，而AB BC ⊥，AB BC =，则MB AC ⊥,所以MA ，MB ，1MA 两两垂直,故以点M 为坐标原点，MA ，MB ，1MA 所在的直线分别为x，y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB=，则1111A B CC==，AC =AM =B，(C ，1()C ，(22N , 则平面11ACC A 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面1C MN 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2210,0,nMN n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22220,220,x y z ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩取21x =，则21y =，22z =，2(1,1,2)n =，1211cos ,2112n n ==++，易得二面角1C MC N --为锐角，所以二面角1C MC N --的大小为60︒．20．解：（1）由33e =222213b e a =-=，由直线:l 20x y -+=与圆222x y b +=||2b =所以2b =3a = 所以椭圆的方程是22132x y +=．（2)由（1)，得圆O 的方程是222x y +=，(3,0)A -，直线m 的方程是(3)y k x =设11(,)R x y ，22(,)S x y ，由222,(3),x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得2222(1)23320k x k x k +++-= 则21223k x x +=2122321k x x k -=+．由2222(23)4(1)(32)0k k k ∆=-+->，得22k -<因为ORS ∆是钝角三角形，所以0OR OS ⋅<，即1212OR OS x x y y ⋅=+=21212(3)(3)x x k x x +=2221212(1)3()3k x x k x x k +++224201k k -=<+ 所以22k <<．② 由R ，S 与x 轴不共线，知0k ≠．③由①、②、③，得直线m 的斜率k 的取值范围是2222k -<<，且0k ≠． 21．解:（1)1()ln(2)2g x x m x m =+++()2m x >-， 22222(21)'()2(2)(2)x m g x x m x m x m +-=-=+++，因为1x =是()g x 的极值点，所以'(1)0g =，得210m +-=，1m =-，此时1()ln(21)21g x x x =-+-1()2x >，24(1)'()(21)x g x x -=-，当112x <<时,'()0g x <；当1x >时，'()0g x >．所以()g x 在1(,1]2单调递减，在[1,)+∞单调递增．（2）2()2ln x ax x x ϕ=-+(0)x >，21221'()22ax x x ax x xϕ-+=-+=(0)x >，因为()x ϕ有两个不同的极值点，所以22210ax x -+=在(0,)+∞有两个不同的实根，设此两根为1x ，2x ,且12x x <．则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即48010102a a a⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩,解得102a <<． '()x ϕ与()x ϕ随x 的变化情况如下表：由表可知2()()x M x ϕϕ==极小值22222ln ax x x =-+,因为2222210ax x -+=，所以22212ax x =-代入上式得: 221ln 2M x x =--+，所以222122ln M x x =--+，因为21122a x a-=,且102a <<，所以21x >．令()122ln h x x x =--+，则22(1)'()2x h x x x-=-+=，当1x ≥时，'()0h x ≤，即()h x 在[1,)+∞单调递减，所以当21x >时,有2()(1)122ln13h x h <=--+=-，即23M <-．22．解:（1）点P的直角坐标为；由2cos()4πρθ=-得2cos sin ρθθ=①将222x y ρ=+，cos x ρθ=,sin y ρθ=代入①,可得曲线C的直角坐标方程为22(()122x y -+-=． (2)直线:l 2cos 4sin ρθρθ+=240x y +=，设点Q的直角坐标为(cos ,sin )22θθ++，则cos sin )22M θθ，那么M 到直线l 的距离:cos sin |))d θθ+===，12d ∴≥=（当且仅当sin()1θϕ+=-时取等号），所以M到直线:2cos 4sin l ρθρθ+=． 23.解：（1）43,25,21()27,1243,2x x x f x x x x x --≤-⎧⎪-<≤-⎪=⎨+-<≤⎪⎪+>⎩，∴()f x 的最小值为5，∴()5f x ≥．（2)由（1）知：152()f x -的最大值等于5. ∵222299(1)111a a a a +=++-++15≥=,“="成立229(1)1a a ⇔+=+,即a =∴当a =2291a a ++取得最小值5。

【百强校】2017届广西名校高三上第一次摸底数学(理)试卷(带解析)

已知全集，若，，则不可能是（）A．B．C．D．2．复数（）A．B．C．D．3．在等差数列中，，则此数列前项的和（）A．13 B．26 C．52 D．1564．已知，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．48 D．806．动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填写（）A．B．C．D．8．已知，则（）A．B．C．D．9．已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（）A．B．C．D．10．在中，已知，若最长边为，则最短边长为（）A．B．C．D．11．点是椭圆上一点，是椭圆的右焦点，，则点到抛物线的准线的距离为（）C．D．A．B．12．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A．24种B．48种C．64种D．72种13．计算：．14．已知变量满足约束条件，则的最大值为．15．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为．16．已知函数，则在上的最大值与最小值之差为．17．数列满足下列条件：．（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每温差（℃）发芽数（颗）求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：）19．如图，在四棱锥中，已知，点是的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．20．如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，，当与的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若直线在轴上的截距时，求面积的最大值．21．已知函数．（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）令，当（是自然数）时，函数的最小值是3，求出的值；（Ⅲ）当时，证明：．22．选修4-1：几何证明选讲：如图，在中，作平行于的直线交于，交于，如果和相交于点，和相交于点，的延长线和相交于．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）23．选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极方程为．（Ⅰ）分别求曲线和曲线的普通方程；（Ⅱ）若点，求的最小值．24．选修4-5：不等式选讲．已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）当时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案 1．D【解析】试题分析：由已知得可能为，故选D．考点：集合的元素及交并补运算．2．B【解析】试题分析：，故选B．考点：复数的运算．3．B【解析】试题分析：由，得，于是，故选B．考点：等差数列的性质，等差数列求和．4．C【解析】试题分析：由条件得，所以，所以，即．考点：向量的数量积运算．5．A【解析】试题分析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为，下底为，高为，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为，其余四面的面积为，所以几何体的表面积为，故选A．考点：空间几何体四棱台的特征．6．C【解析】试题分析：设,则，，动点与定点的连线的斜率之积为,，，即，又时,必有一个斜率不存在,故，综上:点的轨迹方程为，故应选C．考点：直接法求轨迹．【思路点晴】本题主要考察直接法求轨迹的方法，根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程了．设出点,表示出两线的斜率,利用其乘积为建立方程化简即可得到点的轨迹方程．7．A【解析】试题分析：当即当退出循环，所以判断框内应填“”．故本题正确答案为A．考点：算法的含义和程序框图．8．D【解析】试题分析：由，得，所以,故选D．考点：诱导公式；二倍角的正切公式．9．B【解析】试题分析：，,，即是最小正周期为的函数,令,则,当时,，，，是定义在上的偶函数,，令,则，，，，当时，函数的解析式为:.所以B选项是正确的.考点：利用函数的性质求解析式.【思路点睛】根据将换为,再将换为,得到函数的最小正周期为,由当时,,求出的解析式,再由是定义在上的偶函数,求出的解析式,再将的图象向左平移个单位即得的图象,合并并用绝对值表示的解析式.10．A【解析】试题分析：由，得，由，，得，于是，即为最大角，故有，又，最短边为，于是由正弦定理，求得，故选A．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【方法点晴】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出，由的值为负数及的范围得到为钝角即最大角，即，又，为最小边，根据正弦定理，由及的值即可求出的值．11．B【解析】试题分析：设，由，得，即，解得或（舍去），即点的横坐标为，故点到抛物线的距离为．故选B．考点：抛物线的定义；椭圆的参数方程．12．D【解析】试题分析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点的涂色方法，有种方法，若点与不同色，则、点只有种涂色的方法，有种涂法，若点与同色，则点有种涂色的方法，共种涂法，所以不同的涂法共有种．法二：用种颜色涂色时，即同色，共有种涂色的方法，用种颜色时，有和同色种情况，共有，故共有种,故选D．考点：分类计数原理，排列组合．【方法点晴】排列组合中的涂色问题是高考的一个难点，解决这类问题大致有两种方法：一是直接法，一个区域一个区域的来解决，但要考虑先从哪个区域入手，往往是与其他区域都相邻的区域首先考虑，同时要注意这类题往往要求相邻区域不同色，所以在涂色的过程需要分类讨论；二是从颜色入手，条件中的颜色种数可能大于区域块数，也可能小于区域块数，但是不是所有颜色都用上，因此可以从颜色入手，分类讨论．13．【解析】试题分析：．考点：二倍角公式．14．【解析】试题分析：如图，作出可行域，有圆心到切线的距离等于半径，可求得的最大值为．考点：线性规划，数形结合．15．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为，得底面所在平面截其外接球所成圆半径为，又由高为，则球心到圆的球心距为，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径满足：，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为．考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．16．【解析】试题分析：，当时，，故，即函数的值域为，故答案为．考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．【方法点晴】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，，进而利用的范围得到，即为换元思想，把看作一个整体，利用的单调性即可得出最值，这是解决的常用做法．17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用递推关系，可以得出是等比数列；（2）错位相减求和．试题解析：（1）由已知有，又，是首项为，公比为的等比数列，即．（2）由已知有，即…①于是…②得．考点：数列递推求通项公式；数列求和．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）可靠．【解析】试题分析：（1）先确定基本事件总数，事件的反面比较简单，即相邻两组数据的情况有种；（2）利用数据代入公式得回归方程的系数，即得回归方程；（3）利用回归方程算出数据的估计值，判断误差即可．试题解析：（Ⅰ）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有种，所以，故选取的组数据恰好是不相邻的天数据的概率是．（Ⅱ）由数据，求得．，，，由公式求得．所以关于的线性回归方程为．（Ⅲ）当时，，同样地，当时，，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率．【方法点晴】（1）考察了等可能事件的概率，根据组合的思想，从组数据中选取组数据共有种情况，用正难则反的思想找到种相邻的情况，根据等可能事件的概率得出结果；（2）利用题中所给出的回归方程系数的公式，用第一个（第二个也可以）得到回归方程系数，写出线性回归方程；（3）根据题意，用检验数据利用回归方程算出估计值，判断误差即可．19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）由,分别是的中点，由中位线定理可得平行且等于，进而可得出平面；（II）运用空间直角坐标系的坐标解决，求出平面的法向量，运用向量的夹角公式，即可得到直线与平面所成角的正弦值试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，有平行且等于，于是平行且等于，所以四边形是平行四边形，即，又平面，故平面．（Ⅱ）依题意知：，所以，即平面，建立如图所示空间坐标系，，于是有，设平面的法向量为，由，有，得，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．考点：线面平行的判定，直线和平面所成角．20．（I）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）设出，的点坐标，根据，得到，进而根据点在抛物线上，把换成，即可得出结果；（II）由，得出，设直线的方程为，与抛物线联立可得，又点到直线的距离为，所以，构造关于的函数，求导利用单调性求最值即可．试题解析：解（Ⅰ）由抛物线过点，得，设直线的斜率为，直线的斜率为，由、倾斜角互补可知，即，将，代入得．（Ⅱ）设直线的斜率为，由，得，由（Ⅰ）得，将其代入上式得．因此，设直线的方程为，由，消去得，由，得，这时，，，又点到直线的距离为，所以，令，则由，令，得或．当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，故的最大值为，故面积的最大值为．（附：，当且仅当时取等号，此求解方法亦得分）考点：直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题分析：（I）求导，根据函数单减得在上恒成立，再结合二次函数的性质可求出的范围；（II）由，对分情况讨论，由在的单调性求最值符合题意；（III）构造函数，利用单调性证明不等式．试题解析：解：（Ⅰ）在上恒成立，令，有，得，得．（Ⅱ）由，得，①当时，在上单调递减，，（舍去），②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴,，满足条件．③当时，在上单调递减，,（舍去），综上，有．（Ⅲ）令，由（Ⅱ）知，，令，当时，,在上单调递增，，，即．考点：利用导函数研究函数的单调性，求函数的最值，利用单调性证明不等式．【方法点晴】本题是函数导数的一个综合考察，既有函数的单调性，也考察了分情况讨论在区间上找最值，也用到了构造函数证明不等式，第一问中给出函数单调减，转成在区间上恒成立，等号是一个易错点，进而转成二次函数的恒成立，本题中二次函数开口向上，在闭区间恒小于等于，故只需保证两个端点即可；第二问中常规的讨论，需讨论在单调性研究最值即可；第三问中先分析不等式结构，发现同时除以后，左右两个函数有，易得结果．22．（I）证明见解析；（II）证明见解析．【解析】试题分析：（I）利用三角形相似易得；（II）由∽，即，同理，易得．试题解析：解（Ⅰ）∵，∽，即，同理，于是．（Ⅱ），∴∽，即，同理，所以，又由（Ⅰ）有，所以，即．考点：三角形相似判定和性质．23．（Ⅰ）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）消参得的普通方程为，由，得的普通方程为；（II）利用直线和圆的位置关系即可得出的最小值为．试题解析：解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，由有，又，∴曲线的普通方程为．（Ⅱ）圆的圆心，半径．点到直线的距离为，故的最小值为．考点：参数方程，极坐标方程，普通方程的互化；直线与圆的位置关系．24．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）由得，解得，可得出；（II）对，分段解不等式即可．试题解析：解：（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得．（Ⅱ）当时，，设，于是，，故当时，，当时，，当时，，所以实数的取值范围为．考点：绝对值不等式的解法．。