九年级数学上册第二十二章一元二次方程 22.2 降次──解一元二次方程名师教案2 人教新课标版

合集下载

【初中数学】22.2 降次-解一元二次方程(重难点)

降次-解一元二次方程（重难点、易错点）课前检测1、简述一元二次方程的常见解法，并分析和比较这几种解法的优缺点。

2、结合一元二次方程的几种解法分析一元二次方程无实数根、有两个相等的实数根和有两个不相等的实数根的情况。

3、通过配一元二次方程的一般式得到一元二次方程的求根公式。

重难点讲解1、配方法判断多项式的值。

例题1：用配方法证明：2x x-+-的值恒小于0.31216变式1：对于二次三项式21036-+,小明同学得到如下结论：无论x取何值，它的值都x x不可能是10.你是否同意他的说法？请说明理由。

2、一元二次方程的根例题2：已知方程20++=有一个根是(0)x bx a-≠，则下列代数式的值恒为常a a数的是（）C.a b+D.a b-A.a bB.ab例题3：关于x的一元二次方程20+=解的情况是___________________________；mx nx例题4：已知关于x的一元二次方程2-++-=,试证明不论m取何值，原9(7)30x m x m方程都有两个不相等的实数根。

3、根据一元二次方程根的情况判断三角形形状例题5：若,,a b c 是A B C 的三边，且关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=有两个相等的实数根，试判断A B C 的形状。

变式2：在R t A B C 中，090C ∠=，若,,a b c 是R t A B C 的三边，试证明关于x 的方程21()()04a c x bx c a +-+-=有两个相等的实数根。

变式3：若,,c a b 是A B C 的三条边的长，且,a b 是方程2-33+1=0x x 的两根，5c =试判断A B C 的形状。

4、根据方程的根求多项式的值例题6：（2010北京海淀第一学期期中）已知关于x 的一元二次方程21(31)04a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值。

例题7：已知12,x x 是方程2310x x ++=的两实根，则312820x x ++=____________；5、根与系数关系例题8：已知关于x 的方程222(3)410x k x k k --+--=。

人教版九年级数学上册《二十二章一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_21

21.2.2解一元二次方程(公式法)教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-76x=-16配方，得：x2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512x1=512+712=7512+=1x2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知x2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：a x2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a=即x=2b a-±∴x 1=2b a -+x 2=2b a-- 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=(4)22--±==⨯如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±= x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--=⨯∴x 1x 2 （3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．三、巩固练习教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5）五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业1．教材P 45 复习巩固4．。

人教版九年级数学上册《二十二章一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_8

期中复习：第22章一元二次方程的解法学习过程：一、自学复习1、关于y 的一元二次方程y(y-3)=-4的一般形式是，它的二次项系数是_____ , 一次项系数是_____ , 常数项是_____ 。

2、下列方程是一元二次方程的是（）A 、2x+y=1B 、212=-x xC 、(x-1)2=x 2+3D 、2x 2+5=0 3、关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+x+a 2-1=0的一个根是0，则a 的值是（）A 、1或-1B 、1C 、-1D 、04、x=m 是方程x 2＋x －2=0的根，则m 2＋m= 。

5、解下列方程：（1）2x 2=8 （2）(x-1)2=27 （3）x 2－6x+2=0（4）x 2+x+2=0 （5）x 2 -5x+6=06、方法总结：(1)解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为方程，即。

(2)一元二次方程主要有四种解法，它们是，，，。

（3）配方法和公式法是较重要的方法：使用配方法时，先把二次项系数化为，再配上，最后直接开平方解方程。

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成的形式，以便确定系数，先计算的值，判断方程是否有解，再用公式x= 求方程的解。

二、过关练习：选择适当的方法解下列方程：(1) 4x 2－1＝0 (2) x 2+8x=0 (3) 2x 2+5x+2=0(4) x(x－3)+x－3=0 (5) (x-2)2=(2x+3)2方法小结：解一元二次方程时，一般考虑选择方法的顺序是：→→三、课堂提高：A组（基础巩固）：1、方程4x2 -16=0的解为。

2、填空：x2-6x+ =(x- )2。

3、关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是。

4、方程(x+2)(x-3)=0的解是。

5、用适当的方法解方程：x2－4x=5B组（强化提高）：1、方程2(2x-3)2 =18解为。

人教版九年级数学上册《二十二章一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_0

22.2.1降次——配方法解一元二次方程学案一、问题情境问题(1) 一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10二、探究新知（一）、一般地,对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得这种解一元二次方程的方法叫做（直接）开平方法（square root extraction ）. 例1、用开平方法解下列方程:(1)3x 2－27=0; (2)(2x －3)2=5巩固练习1、（1）方程x 2=0.25的根是（2）方程（2x-1）2=9的根是（3）方程3x 2=18的根是2. 选择适当的方法解下列方程：(1) x 2－81＝0 (2) x 2＝50 (3) (x ＋1)2=4 (4) x 2＋2x ＋1=0（二）、把一元二次方程的左边配成，然后用求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.填空：(1)x 2＋8x ＋ =(x ＋4)2 (2)x 2－4x ＋ =(x － )2(3)x 2－___x ＋9 =(x － )2经验总结：配方时, 等式两边同时加上的是填一填：例2、解方程x 2＋6x ＋9=2练习1：解下列方程：___)(___)(___)(___)(22222222____21)4(_____5)3(_____8)2(_____2)1(-+-+=+-=++=+-=++y y y y x x x x y y x x ._________________________________________:22或的形式，那么可得或如果方程能化成归纳）（p p n mx x ==+1、2x2-8=02、9x2-5=33、(x+6)2-9=04、3(x-1)2-6=05、x2-4x+4=56、9x2+6x+1=4三、合作探究：（按要求填空）怎样解方程x2+6x-16＝0解：移项得：（等号左边只含未知数的项，右边只含常数项）两边加上得：（使左边配成完全平方式：a2+2ab+b2）即：（左边写成平方形式）变成一元一次方程得：（两边开平方）即：所以方程的解是：像上面通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方是为了，把一个一元二次方程转化成个一元一次方程来解。

人教版九年级数学上册《二十二章一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》公开课课件_10

x2 2x 4 ,
x2

2x
3
12
4
12 ,
x2
21 3 3
x 12 7 ,
3
x＋1
21 ,
忠写x1 告成－：“1如商果的321最形,3终式x2结”果，－想1请由注3“2意1和符.3或号差的的问形题式。”
x1 3 3 21
x2

3 3
21
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
移项:把常数项移到方程的右边; 化 1：把二次项系数化为1；配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
自 3 x 2 6 x 4,
x1 3 3 21
情境导入
一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算盒子的棱长吗？
设其中一个盒子的棱长为xdm,则这个盒子的表面积为 6x2dm2,根据一桶漆可刷的面积,列方程 10×6x2=1500
整理得
x2=25
根据平方根的意义，得 x= 5,
3.用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 化 1：把二次项系数化为1；配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.

22.2降次——解一元二次方程(共8课时)

22.2降次——解一元二次方程（共8课时）第一课时：配方法（1）一、教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课教学过程设计做一做1．一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？（课件：盒子的棱长）2．对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）2x-=；（2）2692(21)5x x++=．学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到21x-=对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成2xp=或2()(0)m x n p p +=≥的形式，那么可得x =m x n+=课堂练习解下列方程．学生独立思考、独立板书解题1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=03、应用拓展市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=〒1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．课堂小结问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=的．作业31页练习1、2第二课时：配方法（2）教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程一、复习回顾、引入新课用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．二、探究新知、归纳配方法一般过程．学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程探究二：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（课件：配方）学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．（1）x 2－8x + 1 = 0；（2）2213x x+=；（3）23640x x -+=．（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=；（3）按照（2）的方式进行处理．在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式2a xb xc ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？师生活动设计：学生在独立思考的基础上解决问题，在必要时教师进行适当引导，遇到问题时可以让学生讨论解决．…解答‟设绿地的宽是x 米，则长是（x ＋10）米，根据题意得x （x +10）＝900．整理得210900x x +=，配方得2(5)925x +=．解得1255x x =-+=--由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是5-+的长是5+四、课堂练习解方程x 2-4x-3=0．解方程2x 2+3=7x ．五、归纳总结、布臵作业1、在解决问题的过程中你采取了什么方法？2、应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的要点是： (1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数； (3)方程两边各加上一次项系数一半的平方；作业：习题22．2第1～3题．第三课时：用公式法解一元二次方程。

22.2.1 降次--解一元二次方程(配方法)

东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
课题
22.2 降次—解一元二次方程（配方法）
课时
第1课时
课型
新授
主备人
王金涛
学习目标
1、理解配方法的意义，知道用配方法解一元二次方程的一般步骤。
2、会用配方法解一元二次方程。
学习重点
会用配方法解一元二次方程。
学习难点
如何配方？
学习过程
一、复习
、你的收获？2、还有哪些注意的地方？
六、达标
学生感悟
(教师修订)
年级：九年级学科：数学命题人：王金涛审核人：叶书生
东辛店中学验标题
（满分：50+10时间：10分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1、填空：
（1）（2）
2、要使方程左边配成完全平方式，在方程两边应该都加上（）
（2）填空：
① ②
（3）在解方程时，共几步？哪几步？
（4）什么叫配方法？请在课本中画出。
四、师生互动，探究新知
1、以小组为单位交流讨论在自学过程和思考题中的疑惑问题（3分钟）。
2、小组内不明白的问题，把问题写在后黑板相应的位置。
3、师生共同解决疑惑问题。
4、解方程：
（1）（2）
5、练习：课本第34页，练习中的第2题中的（2）、（4）、（6）
（2）解下列方程
① ② ③
（3）要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16 ，场地的长和宽应各是多少？
二、把学习目标读两遍
三、自学指导
1、自学内容：课本32页至33页例1之上。
2、自学时间：5分钟
3、自学方法：请同学认真自学课本，不明白的地方请画出，可交流讨论也可问老师，然后完成下列思考题。

教案：22.2降次——解一元二次方程(2)

22.2降次——解一元二次方程（2）配方法南通市观河中学初二备课组一、教学内容本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。

二、教学目标知识技能：探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．数学思考：（1）在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。

（2）渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．情感态度：继续体会由未知向已知转化的思想方法．三、教学重点、难点重点：用配方法解一元二次方程．难点：正确理解把ax x 2形的代数式配成完全平方式.四、教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容五、教学过程（一）复习引入【问题】（学生活动）请同学们解下列方程(1)3x 2－27=0; (2)(2x －3)2=7老师点评：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p ≥0）．如：4x 2+16x+16=（2x+4）2 【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识解答问题．【设计意图】复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．（二）探索新知【问题情境】要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？【活动方略】学生活动：学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．考虑设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决。

22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法

2
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目的；
2
一元二次方程配方的一般步骤：化简：把方程化简为一般形式，把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方开方：根据平方根意义,方程两边开平方求解：解一元二次方程定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程

22.2 降次——解一元二次方程辅导资料(含答案)

22.2 降次——解一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，解一元二次方程的算法是《一元二次方程》一章的重点内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节的主要内容是一元二次方程的解法。

这部分知识是对一次方程（组）知识学习的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。

主要学习下列三个内容：1.配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单，主要设置了【典例引路】中的例1、例2.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.配方及二次项系数是1的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例2，【当堂检测】中的第3，5题，【课时作业】中的第4，5，6，7，8，9，10，12题，【选做题】中的第1，2题，【备选题目】中的第1，2题。

2.公式法此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计【典例引路】的例3、[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。

3.因式分解法利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例4，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。

4.整体思想和数感整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计[拓展应用]的例1，课标虽不要求解含字母系数的方程,为提高数感, 为此设计[备选题目]的问题。

点击一：利用直接开平方法解一元二次方程用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。

人教版九年级数学上册《二十二章一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程黄金分割数》优质课教案_1

《黄金分割》教学设计一、教材分析《相似图形》是从现实世界中相似现象的观察与分析、概括与抽象开始的，符合学生的认知规律。

本章内容按“相似图形——相似多边形——相似三角形——相似多边形的性质”的次序展开的。

重要知识包括线段的比、位似图形及位似中心与位似比。

相似三角形是本章的核心知识。

《黄金分割》是本章第二节的内容，是在线段的比之后学习的，《黄金分割》的内容既是比例线段的应用，也蕴含着丰富的文化价值。

本节课的知识目标是让学生通过建筑、艺术、生活的实例了解黄金分割，同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段。

本节课的重点是过程性目标和情感、态度、价值观目标，也就是让学生通过建筑、艺术、生活中大量的实例，体会黄金分割的文化价值以及在人类历史上的作用和影响。

二、学生状况分析学生的知识储备：学生在学习了基本作图之后，懂得了作图的方法。

又在学习本章第一节后，掌握了线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质，会比和比例尺的计算，坚实了学习黄金分割的基础。

学生学习状况分析：我校学生基础差，学习缺乏主动性，后进生较多。

三、教学目标通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割，体会其中的文化价值。

同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心。

教学重点：了解黄金分割，黄金比，体会黄金分割的文化价值；教学难点：作一条线段的黄金分割点四、课型：新授课五、教学方法引导发现法课前准备1、学生准备：查找生活中关于黄金分割的例子，准备刻度尺和计算器。

2、教师准备：多媒体课件、印有五角星的纸片、圆规、三角尺等。

六、教学过程我校的学生基础查，学习缺乏主动性，因此教学设计中注重激发学生的兴趣，让他们在轻松的氛围中完成对知识的探究。

《课标》中也明确指出：“数学教学是数学活动的教学”。

因此我将本节课设计为八个活动环节：观察美——探寻美——创造美——应用美——欣赏美——发现美——课堂小结——布置作业。

人教版九年级数学上册《二十二章一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》公开课课件_23

变形为
x2-4x+4=-1+4 （x－2）2=3
这个方程怎样解？
(X + m)2 =n 的形式．（n为非负常数）
我们刚才解的两个方程
x2 6x 4 0
X2－4x＋1＝0
你觉得用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？
最关键的是哪一步？
x2 12x 15 0
移项
x2 12x 15
x1 19 3, x2 19 3
1、把一元二次方程通过配成完全平方式的方法得到了方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2、用配方法解一元二次方程的一般步骤（1）移项:把常数项移到方程的右边; （2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; （3）开方:根据平方根意义,方程两边开平方; （4）求解:解一元一次方程;
（1）解：移项，得 x2 8x 1 配方，得 x2 8x 42 1 42
( x 4)2 15 两边开方，得 x 4 15
x1 15 4 x2 15 4
(2)x2 3x 2 0
（2）解：移项，得 x2 3x 2
配方，得
注意:配方时, 方程两边同时加上的是一次项项系数一半的平方.
1.用配方法解方程 X2 + 8X + 7 = 0方程可化为（Ｂ）Ａ（ｘ－４）２＝９Ｂ（ｘ＋４）２＝９Ｃ（ｘ－８）２＝１６Ｃ（ｘ＋８）２＝５７
2.用配方法解方程 x2 + x = 2 应把方程两边同时加上（A）
A1 4
B1 2
x2

3x

3
2

2

3

九年级数学上册第二十二章一元二次方程 22.2 降次──解一元二次方程名师教案3 人教新课标版

——解一元二次方程（因式分解法）
课题因式分解法主备人
教学目标知
识
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。

体会解决问题方法的多样性。

能
力
2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。

情
感
3．加强学生的分散思维能力培养
重点掌握分解因式法解一元二次方程。

难点灵活运用分解因式法解一元二次方程。

教具小黑板彩粉笔
教法
学法
讲练结合法
板书设计
分解因式法平方差公式
完全平方公式
二次三项式因式分解
教学过程
环节教师活动学生活动
设计意图，学情分
析估时。

人教版九年级数学上册《二十二章一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》公开课课件_20

第22章一元二次方程
22.2.3 因式分解法
解方程： X(4-x)=0 (x-5)(4-x)=0
知识回顾
1、式子a●b=0说明了什么？
2、把下列各式因式分解. （1）x2－4x （2）x＋3－x（x＋3）（3）（2x－1）2－x2
（4） x2－6x+9
尝试：
1、若在上面的多项式后面添上=0，你怎样来解这些方程？
(2)(2x 3)2 4(2x 3);
(3)2(x 3)2 x2 9; (4)x2 4x 12 0
(5)(x 2)x 3 12;
解下列方程
参考答案：
1.x1

2 3
;
x2
1.
2.x1

3 2
;
x2

1 2
.
3x1 3; x2 9.
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x

2)(2x
1)

0
x1

2 3
,
x2

1 2
下面的解法正确吗？如果不正确，
错误在哪？ x2 x
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
x2 x
解：移项，得
x2 x 0,
x(x 1) 0
x 0,或x 1 0
原方程的解为 : x1 0, x2 1.
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？

人教版九年级数学上册《二十二章一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_1

2.2用配方法求解一元二次方程基础题1．(随州中考)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是()A．(x－6)2＝－4＋36B．(x－6)2＝4＋36C．(x－3)2＝－4＋9D．(x－3)2＝4＋92．用配方法解下列方程时，配方错误的是()A．x2－2x－99＝0，化为(x－1)2＝100B．x2－4x＝5，化为(x－2)2＝9C．x2＋8x＋9＝0，化为(x＋4)2＝25D．x2＋6x＝1，化为(x＋3)2＝103．把一元二次方程x2－6x＋4＝0化成(x＋n)2＝m的形式时，m ＋n的值为()A．8 B．6 C．3 D．24．(吉林中考)若将方程x2＋6x＝7化为(x＋m)2＝16，则m＝________．5．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解：移项，得x2＋2x＝________．配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋____)2＝____．[开平方，得x＋______＝______，即x＋______＝______或x＋______＝______．所以x1＝______，x2＝______．6．(河北中考)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.知识点2解二次项系数不为1的一元二次方程7．下列对方程2x2－7x－1＝0的变形，正确的是()A．(x＋74)2＝5716 B．(x－74)2＝5716C．(x－74)2＝4116 D．(x＋74)2＝41168．(聊城中考)用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可变形为()A．(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2B．(x＋b2a)2＝4ac－b24a2C．(x－b2a)2＝b2－4ac4a2D．(x－b2a)2＝4ac－b24a29．小明同学解方程6x2－x－1＝0的简要步骤如下：解：6x2－x－1＝0，――→两边同时除以6第一步x2－16x－16＝0，――→移项第二步x2－16x＝16，――→配方第三步(x－19)2＝16＋19，――→两边开方第四步x－19＝±518，――→移项第五步x1＝19＋106，x2＝19－106.上述步骤，发生第一次错误是在()A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步10．解方程：4x2－7x＋2＝0.知识点3配方法的应用11．甲、乙两位同学对问题“求代数式x2＋1x2的最小值”提出各自的想法．甲说：“可以利用已经学过的完全平方公式，把它配方成(x＋1x)2－2，所以代数式的最小值为－2”．乙说：“我也用配方法，但我配成(x－1x)2＋2，最小值为2”．你认为()A．甲对B．乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都不对12．用长为100 cm的金属丝做成一个矩形的框子，框子的面积不可能是()A．325 cm2 B．500 cm2C．625 cm2 D．800 cm213．如果|x－2|＋y2－10y＋25＝0，那么x＋y＝______．中档题14．若关于x的一元二次方程x2－6x－5＝0可化成(x＋a)2＝b 的形式，则b等于()A．－4 B．4 C．－14 D．1415．(枣庄中考)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是()A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于316．已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0配方后为(x＋n)2＝22，那么一元二次方程x2－mx－3＝0配方后为()A．(x＋5)2＝28B．(x＋5)2＝19或(x－5)2＝19C．(x－5)2＝19D．(x＋5)2＝28或(x－5)2＝2817．(济宁中考)若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则ba＝________．18．解方程：(1)(大连中考)x2－6x－4＝0；(2)x2－2x＝2x＋1；(3)3x2＋6x－1＝0；(4)2x2－5x－3＝0.19．一条长64 cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160 cm2，求两个正方形的边长．20．若a，b，c是△ABC的三条边，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b ＋10c，试判断这个三角形的形状．综合题21．用配方法证明：(1)a2－a＋1的值为正；(2)－9x2＋8x－2的值小于0.参考答案基础题1．D 2.C 3.D 4.3 5.1 1 2 1±2 1 2 1－2 2－1－2－1 6.移项，得x2－2x＝24.配方，得x2－2x＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25.开方，得x－1＝±5.∴x1＝6，x2＝－4.7.B 8.A 9.C 10.x1＝78＋178，x2＝78－178.11.B 12.D 13.7中档题14．D 15.A 16.D 17.418.(1)(x－3)2＝13，x－3＝±13，x－3＝13或x－3＝－13，∴x1＝3＋13，x2＝3－13.(2)x2－4x＝1，x2－4x＋4＝1＋4，(x－2)2＝5，x－2＝±5，∴x1＝2＋5，x2＝2－5.(3)3x2＋6x＝1，x2＋2x＝13，x2＋2x＋1＝43，(x＋1)2＝43，x ＋1＝±233，∴x1＝－1＋233，x2＝－1－233.(4)x2－52x＝32，x2－52x＋2516＝4916，(x－54)2＝4916，x －54＝±74，∴x1＝3，x2＝－12.19.设一个正方形的边长为x cm，根据题意，得x2＋(64－4x4)2＝160.解得x1＝12，x2＝4.答：两个正方形的边长分别为12 cm和4 cm.20.∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，∴a2＋b2＋c2＋50－6a －8b－10c＝0，a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25＝0，(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.∴a＝3，b＝4，c＝5.∵a2＋b2＝25，c2＝25，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．综合题21．证明：(1)∵a2－a＋1＝a2－a＋14＋34＝(a－12)2＋34≥34>0，∴a2－a＋1的值为正．(2)∵－9x2＋8x－2＝－9[x2－89x＋(49)2]＋169－2＝－9(x－49)2－29≤－29<0，∴－9x2＋8x－2的值小于0.。

人教版九年级数学上册《二十二章一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_7

九年级学案学习目标：1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程；2．在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解．学习重点：理解配方法及用配方法解一元二次方程．【情景导入】已知矩形的长比宽多6米，面积是16平方米，求这个矩形的宽。

整理得 01662=-+x x如何解这个方程？【复习引入】1、利用开平方的知识填空：(1) 已知252=x ，则x =__________；已知52=x ，则x =__________；(2) 已知02=x ，则x =__________；(3) 已知252-=x ，则x __________（填“存在”或“不存在”）；理由：一个正数有____个实数根，它们互为___________；0的平方根是_______；负数________平方根。

【新课】<知识点一> 直接开方法--- 若)0(2≥=a a x ，则a x ±=。

例1、解下列一元二次方程：（1）252=x ；（2）52=x ；（3）02=x ；（4）252-=x解：5±=x 解：5±=x 解：0=x 解：方程没有实数根 ∴51=x ∴51=x ∴021==x x52-=x 52-=x<小结>1、利用开平方把一元二次方程降次为两个一元一次方程再求解（转化思想）的方法叫做直接开方法。

---若)0(2≥=a a x ，则a x ±=2、形如a x =2的一元二次方程根的情况：① 当0>a 时，方程有两个不相等的实数根；② 当0=a 时，方程有两个相等的实数根；③ 当0<a 时，方程没有实数根。

<题组一>用直接开方法解下列一元二次方程：（1）122=x ；（2）8212=x ；（3）0942=-x ；（4）0132=-x2、直接开方法解下列一元二次方程：---若)0()(2≥=+a a b x ，则a b x ±=+（1）)3(+x 252= （2）117)53(22=--x ；解：（1）)3(+x 5±=----------整体思想/直接开平方（降次）53=+x 或53-=+x21=x ，82-=x解：（2） 18)53(22=-x ---移项，合并9)53(2=-x ------二次项系数化为1353±=-x ------直接开方法353=-x 或353-=-x∴ 381=x ，322=x思考：你会解方程25962=++x x 吗？方程01662=-+x x 呢？<知识点二> 配方法例2、解方程：01662=-+x x解：移项得 1662=+x x两边同时加上9得 25962=++x x ----------配成完全平方公式分解为完全平方式 25)3(2=+x开平方得 5)3(±=+x ----------（降次）53=+x 或53-=+x21=x ，82-=x想一想：以上解法中，为什么在方程的两边同时加上9？加其他数可以吗？如果不可以，为什么？<小结>1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法。

九年级数学上册 第二十二章 一元二次方程 22.2 降次──解一元二次方程名师教案2 人教新课标版

【初中数学】22.2 降次-解一元二次方程(重难点)

人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_21

人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_8

人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_0

人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》公开课课件_10

22.2降次——解一元二次方程(共8课时)

22.2.1 降次--解一元二次方程(配方法)

教案：22.2降次——解一元二次方程(2)

22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法

22.2 降次——解一元二次方程 辅导资料(含答案)

人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程 黄金分割数》优质课教案_1

人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》公开课课件_23

九年级数学上册 第二十二章 一元二次方程 22.2 降次──解一元二次方程名师教案3 人教新课标版

人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》公开课课件_20

人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_1

人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_7