数学人教版九年级上册用配方法解一元二次方程.2 用配方法解一元二次方程

合集下载

2022年九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时直接开平方法与配方法

0,
1 3
y
2
1
5,
①
1 y 1 5, ②
3
1 y 1 5, ③
3
y 3 5 1, ④
解：不对，从开始错，应改为
1 3
y
1
5,
y1 3 5 3, y2 3 5 3.
5.解下列方程：
1 x2 4x 4 5
x 22 解5, ： x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
第二章一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程
（第1课时直接开平方法与配方法(1)）
学习目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程. （重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. （重点）
复习引入
导入新课
1.如果 x2=a,则x叫作a的平方根 .
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
的实数根 x1 p ，x2 p ；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.

人教版九年级数学上册课件：用配方法解一元二次方程

∴ x1＝________，x2＝____2____.
（3）3x2－6x+4＝0
解：移项，得 3x2－6x＝-4
二次项系数化为1.得
x2___2_x_____43______
配方得__x2___2_x___1_2_____43___1_2_
(x
1)2
1 3
∵实数的平方不会是负数，
∴x取任何实数时（x-1）2都是非负数，
2.用配方法解方程 x2 + x = 2 应把方程两边同时加上（A）
A1 4
B1 2
1
C
4
1
D
2
3.若代数式X2 + 2(m+1)X + 25是完全平方式,则m的值是(C )
A、4
B、 - 6
C、4或 – 6
D、 - 1
4.解下列方程
(1)3x2+6x=0 (3)x2+4x-9=2x-11
(2)4x2-6x-3=0 (4)x(x+4)=8x+12
上式不成立，即原方程无实数根 .
广东省怀集县蓝钟镇中心学校
冯丽娟
归纳小结：
应用配方法解一元二次方程的解题步骤: (1)移项，使方程左边为___二__次____项、 __一__次___项，右边为_常__数__项:(一移) (2)方程两边都除以_二__次__项_系数，将 __二__次_项___系数化为l:(二除) (3)配方,方程两边都加上一__次__项_系__数_一__半__的_平_，方
两边加上32,使左边配成
完全平方式
x2 6x 32 4 32
左边写成完全平方的情势
(x 3)2 5
变成了(x+n)2=p的情势

九年级数学上册第二章一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程解一元二次方程课标解读素材 (新

解一元二次方程课标解读一、课标要求包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。

1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．3．了解一元二次方程的根与系数的关系．二、课标解读1．学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解．学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程．从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元〞上的推广．自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程．类比二〔三〕元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次〞降为“一次〞，这是本章学习的另一条主线．与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解．这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机．根据?课程标准〔 2022年版〕?的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程．2．解一元二次方程的根本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．具体地，根据平方根的意义，可得出方程和的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程配方后得出的．如能将分解为两个一次因式的乘积，那么可令每个因式为0来解．一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从到再到，是方程形式的不断推广，表达了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程那么是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，表达了化归思想．显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的．3．与?课程标准〔实验稿〕?相比，?课程标准〔 2022年版〕?重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等〞，“了解一元二次方程的根与系数的关系〞，这是需要注意的一个变化．这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题．实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备根底．教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，表达了研究代数学问题的一般方法；一般形式也是对具体方程从“元〞〔未知数的个数〕、“次数〞和“项数〞等角度进行归纳的结果；a ≠0的规定是由“二次〞所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一．教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基．接着，教科书安排“探究〞栏目，自然引出解并总结出“降次〞的策略，从而为用配方法解比拟复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为后的解的情况．以配方法为根底，教科书安排了“探究〞栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程(a≠0)，得到求根公式．最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法〞而到达“降次〞目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳〞栏目中总结出几种解法的根本思路、各自特点和适用范围等．上述过程的思路自然，表达了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解．这是具有普适性的数学思想方法．由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式的讨论．这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机．另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定〔系数a，b，c确定，方程就确定，其根自然就唯一确定〕，而且也反映了根与系数的联系．这里表达了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁．教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程化为的形式，，与p，q之间的关系〞，在“+，〞的启发下，利用求根公式求和，进而得到根与系数的关系．让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的时机．根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重要．所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度．。

初中数学九年级上册第二章一元二次方程用配方法求解一元二次方程

第二章一元二次方程２．用配方法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。

二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。

这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：探究析疑；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小测；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾活动内容：1、将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).（1）.x2+2x+________=(x+______)2（2）.x2-4x+________=(x-______)2（3）.x2+5x+________ =(x+______)2活动目的：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。

为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：学生对口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态；教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0 移项，得 x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得 x-3 =±7即 x-3=7或x-3=-7所以 x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：移项，配方，开平方，求解及注意事项。

数学人教版九年级上册解一元二次方程----配方法

直接开平方法 x nm
配方法解一元二次方程配方法 (x+m)2=n (n≥0)
ax2+bx+c=0 (a≠0）
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
x n p , x n p 1 2
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
随堂演练
基础巩固 1. 用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为( B )
A. (x+3)2=16
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号. 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
(3) 3x2-6x+4=0 (3) 解：移项，得：3x2-6x=-4
4 二次项系数化为1： x 2 x 3 配方，得： x 2 2 x 1 2 4 1 2 , 3 1 ( x 1) 2 3
2
因为实数的平方根不会是负数，所以x取任何实数时， (x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。
（2）x2+4x－9=2x-11; 解：移项, x2+2x=-2
配方, x2+2x+1=-1
(x+1)2=-1
方程没有实数根.

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章一元二次方程
课程结束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

九年级数学配方法解一元二次方程

拦住一辆面包车，然后出示了警官代谢说，我是警察，想搭你的车。司机打量了一下他全身的警服，并没看他的代谢件，就痛快地说，上来吧。上车后，通过交谈，才知道司机是黎鸣家所在的镇街上的，在镇政府旁边开了一家饭馆，每隔几天开车去县城买一次菜。到了镇上后，司机主
动说，你离家还远，我送你吧。从镇上到村里三公里的路程，步行需要半个小时，而坐车，五分钟就到家门口了，省了他以前的步行之苦。第一次搭车，黎鸣觉出了搭车的好处，方便快捷，省时省力。自此，每次回家，他都在县城搭车，而且每次都能如愿。这更使他感觉到了当警察的
黎鸣是个优秀的青年，为人诚实，懂礼貌；孝顺母亲，工作出色；二是黎鸣的违规行为并不严重，通过对他的约谈、警示，黎鸣已经认识到错误，不必再处分。事实代谢明“黎鸣从此再也没有搭过车”。这样人性化处理，体现了领导者的通情达理、体察民情，起到了保护、鞭策作用。
例2：不认同。一方面，原则、制度必须遵守，人情不能超越法纪。因人而异的处理会导致不公。另一方面，千里之堤溃于蚁穴，如果因为情节轻微而不加以重视，就有可能会使一些违纪者产生侥幸心理，进而一犯再犯，最终走到无法挽救的地步。文中黎鸣起先在县城搭车，后来逐渐发
x=
=
=.
（t1= ，t2= - ）
即 x1= -2 , x2= .
例用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
∴x=
=
= 即 x1=2,
x2= -
求根公式 : X=
记。 ③晨曦微亮，不必急于晨起，和衣而坐，望向邻近的窗棂，你会惊喜地发现，整个窗玻璃上冰窗花葳蕤①如春，轻轻地凑近鼻息，似乎能嗅出冰窗花散发着馥郁的馨香，冰洁，剔透，令人心灵震颤。手指轻轻抚摸上去，冰窗花棱角分明，如一朵朵雪花，被夜神的手指悄悄安抚上去，

【中小学资料】九年级数学上册第1章一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法第3课时用配方法解一元二次方

1.2 第3课时用配方法解一元二次方程(二次项系数不为1) 当堂检测1．用配方法解方程2x 2＋6＝7x 时，配方后所得的方程为( )A ．(x －74)2＝116B ．(x ＋74)2＝116C ．(x －72)2＝374D ．(x ＋72)2＝3742．用配方法解一元二次方程－3x 2＋4x ＋1＝0的第一步是把方程的两边同时除以________．3．用配方法将方程2x 2＋x ＝1变形为(x ＋h)2＝k 的形式是________．4．用配方法解下列方程：(1)x 2－6x －4＝0；(2)2x 2＋2x －1＝0.课后训练一、选择题1．用配方法解方程2x 2－4x ＋3＝0，配方正确的是( )A ．2x 2－4x ＋4＝3＋4B ．2x 2－4x ＋4＝－3＋4C ．x 2－2x ＋1＝32＋1D ．x 2－2x ＋1＝－32＋1 2．把方程2x 2－4x －1＝0化为(x ＋m )2＝32的形式，则m 的值是( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2二、填空题3．将方程2x 2－4x －5＝0化成(x ＋h )2＝k 的形式为________________．4．代数式－2x 2－4x ＋3的最大值是________．三、解答题5．用配方法解方程：(1)2x 2－7x ＋6＝0； (2)2x (x －3)＝1；(3)－16x 2－13＝12x; (4)2x 2＋4x ＋6＝0.6．已知关于x 的方程5x 2＋kx －10＝0的一个根是－5，求它的另一个根及k 的值.7．当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1的值与代数式x 2－19的值互为相反数？拓展题阅读材料：分解因式：x 2＋2x －3.解：x 2＋2x －3＝x 2＋2x ＋1－1－3＝(x 2＋2x ＋1)－4＝(x ＋1)2－4＝(x ＋1＋2)(x ＋1－2)＝(x ＋3)(x －1)．此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫做配方法．(1)用上述方法分解因式：m 2－4mn ＋3n 2；(2)无论m 取何值，代数式m 2－4m ＋2015总有一个最小值，请尝试用配方法求出当m 取何值时代数式的值最小，并求出这个最小值．答案及解析当堂检测1．A [解析] 移项，得2x 2－7x ＝－6，二次项系数化成1，得x 2－72x ＝－3，配方，得x 2－72x ＋4916＝－3＋4916，即(x －74)2＝116.故选A.2．－3 [解析] 利用配方法解一元二次方程时，首先将方程的二次项系数化为1，此方程的二次项系数为－3，故解方程的第一步是在方程的两边同时除以－3.3．(x ＋14)2＝916 [解析] ∵2x 2＋x ＝1，∴x 2＋12x ＝12，∴x 2＋12x ＋116＝12＋116，∴(x ＋14)2＝916.故答案为(x ＋14)2＝916. 4．解：(1)移项，得x 2－6x ＝4，配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9，即(x －3)2＝13，直接开平方，得x －3＝±13，∴x 1＝3＋13，x 2＝3－13.(2)方程变形，得x 2＋x ＝12，配方，得x 2＋x ＋14＝34，即(x ＋12)2＝34，直接开平方，得x ＋12＝±32，解得x 1＝－12＋32，x 2＝－12－32.课后训练1．[解析] D 方程两边都除以2，得x 2－2x ＋32＝0，移项，得x 2－2x ＝－32，配方，得x 2－2x ＋1＝－32＋1. 故选D .2．[解析] B ∵2x 2－4x －1＝0，∴2x 2－4x ＝1，∴x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝12＋1，∴(x －1)2＝32，∴m ＝－1.故选B . 3．[答案] (x －1)2＝72[解析] 方程两边同除以2，得x 2－2x －52＝0，移项，得x 2－2x ＝52，两边同时加上1可进行配方．4．[答案] 5[解析] －2x 2－4x ＋3＝－2(x 2＋2x)＋3＝－2(x 2＋2x ＋1－1)＋3＝－2(x ＋1)2＋5.5．[解析] 都先将二次项系数化为1，然后用配方法求解．解：(1)两边都除以2，得x 2－72x ＋3＝0，x 2－72x ＋4916＝－3＋4916， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝116，x －74＝±14，所以x 1＝2，x 2＝32. (2)整理，得2x 2－6x －1＝0，两边都除以2，得x 2－3x －12＝0， x 2－3x ＋94＝12＋94， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝114，x －32＝±112，所以x 1＝32＋112，x 2＝32－112. (3)移项，得－16x 2－12x －13＝0，两边都乘－6，得x 2＋3x ＋2＝0，x 2＋3x ＋94＝－2＋94， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＝14，x ＋32＝±12，所以x 1＝－1，x 2＝－2.(4)2x 2＋4x ＋6＝0，x 2＋2x ＋3＝0，x 2＋2x ＝－3，x 2＋2x ＋1＝－3＋1，(x ＋1)2＝－2，所以原方程无解．6．解：把x ＝－5代入方程5x 2＋kx －10＝0，得5×(－5)2－5k －10＝0，解得k ＝23.∴5x 2＋23x －10＝0.两边都除以5，得x 2＋235x －2＝0，配方，得x 2＋235x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23102＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23102， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23102＝729100，x ＋2310＝±2710，∴x 1＝25，x 2＝－5. ∴方程的另一个根为25. 7．[解析] 根据相反数的意义建立方程2x 2＋7x －1＝－(x 2－19)，再解这个方程求出x 的值．解：由题意，得2x 2＋7x －1＝－(x 2－19)，整理，得3x 2＋7x ＝20.两边都除以3，得x 2＋73x ＝203，配方，得x 2＋73x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫762＝203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫762， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋762＝28936，开平方，得x ＋76＝±176，所以x 1＝－4，x 2＝53. 即当x ＝－4或53时，代数式2x 2＋7x －1的值与代数式x 2－19的值互为相反数．【拓展题】解：(1)m 2－4mn ＋3n 2＝m 2－4mn ＋4n 2－4n 2＋3n 2＝(m －2n)2－n 2＝(m －n)(m －3n)．(2)m 2－4m ＋2015＝m 2－4m ＋4＋2011＝(m －2)2＋2011，∵(m －2)2≥0，∴(m －2)2＋2011≥2011.∴当m ＝2时，代数式m 2－4m ＋2015的值最小，最小值是2011.。

九上数学新人教版212解一元二次方程课时3

Δ＝b2－4ac．
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；
•荆州中考）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，
都有a*b＝(a+b)(a﹣b)﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、
乘法运算，例如4*3＝(4+3)(4﹣3)-1=7-1＝6．若x*k＝x（k为实
2.已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)-2ax+
c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状.
解：方程整理，得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0，
∵方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-2a)2-4(b+c)·[-(b-c)]=0，
4x2-4x+1=0；
c=-5,
Δ＝16+20=36>0. 无实数根
a=4,b=-4,c=1,
有两个不相等的
Δ＝16-16=0.
实数根
有两个相等实数根
利用判别式判断方程根的情况的一般步骤：
一化：化一般式，确保二次项系数为正；
二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号；
三算：算b2-4ac的值，判断符号；
x

2a
2a

2
+
1 =
2
=±
−+ 2 −4
,
2
这里用到了
− 4
2
2 =
a2 a
这里用到了 a a,与前
面的±运算后，结果还是±.
−− 2 −4
2
方程有两个不相等的实数根．

九年级上册数学人教版一元二次方程的解法-配方法

第2讲一元二次方程的解法(二)----配方法配方法：利用完全平方公式把一元二次方程转化成的形式，再利用直接开平方法解一元二次方程的方法叫做配方法.①当p ＞0时，方程有两个不等的实数根，；②当p=0时，方程有两个相等的实数根=-n ；③当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以方程无实数根. 知识要点梳理:完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-尝试解方程：x 2－4x ＋3＝0我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（）＝（x ＋）2；（2）x 2－8x ＋（）＝（x －）2；（3）x 2＋23x ＋（）＝（x ＋）2；从这些练习中你发现了什么特点?(1)________________________________________________(2)________________________________________________经典例题例1. 用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0；（2）x 2＋3x -1＝0. 解（1）移项，得x 2－6x ＝____.方程左边配方，得x 2－2·x ·3＋_ _2＝7＋___，即（____ __）2＝__ __.所以 x －3＝_______.原方程的解是x 1＝_____，x 2＝_____.（2）移项，得x 2＋3x ＝1.方程左边配方，得x 2＋3x ＋（）2＝1＋____，即 ____________________所以___________________原方程的解是： x 1＝______________x 2＝___________总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？例2.用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x(3)03422=+-x x例3.当x 为何值时，代数式5x 2 +7x +1和代数式x 2 -9x +15的值相等？例4.求证：不论a 、b 取何实数，多项式a 2b 2 +b 2 -6ab -4b +14的值都不小于1.例5. 试证：不论k 取何实数，关于x 的方程 (k 2 -6k +12)x 2 = 3 - (k 2 -9)x 必是一元二次方程.经典练习一、选择题1．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对2. 若9x 2 -ax +4是一个完全平方式，则a 等于（）；A. 12B. -12C. 12或-12D. 6或-63．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-14．把方程x x 432=+，得（）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=25．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A ．2±B ．-2C ．D ．6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数二、填空1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x －）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x －）2⑤ (x - )2 = x 2 - 32x + ；2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，所以方程的根为_________．三.用配方法解方程：（1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0.（3）2x2-x=6 （4）4x2－6x＋（）＝4（x－）2＝（2x－）2（5）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).四、用配方法求解下列问题（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。

人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(配方法)ppt课件

方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？（1）把常数项移到方程右边；（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫

新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法

新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法知识点一、配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=??? ??+? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求yx 的值。

例4、分解因式：31242++x x一元二次方程的解法（二）针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1 .★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为，最小值为。

★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为。

知识点二、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。

而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-；所以：当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。

由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示；即：ac b 42-=? 根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

典型例题：例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。

例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。

人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程教案

在学生小组讨论环节，我发现有些同学在表达自己的观点时不够自信，这可能是因为他们对知识的掌握还不够扎实。针对这一点，我打算在接下来的时间里，多鼓励学生开口表达，提高他们的自信心。同时，也要加强对学生基础知识的教学，为他们提供更多的练习机会，使他们在实践中不断提高。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-配方法解一元二次方程：使学生掌握将一元二次方程转化为完全平方公式的步骤，并能求解出方程的根。例如，解方程x^2 + 6x + 9 = 0，引导学生将方程左边写成(x + 3)^2的形式，从而迅速得出解。
-公式法解一元二次方程：让学生牢记一元二次方程的求根公式，并能够灵活运用公式求解不同形式的方程。如解方程ax^2 + bx + c = 0，使用公式x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)。
此外，实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常积极。他们在讨论中提出了很多有趣的问题，也展示出了很好的团队合作精神。这让我深感欣慰，也证明了解决实际问题的教学策略是有效的。但在这一过程中，我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题，因此，我需要在以后的课堂中加强对学生的引导，确保讨论能够更加高效和深入。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）

数学人教版九年级上册解一元二次方程——配方法.2.1-人教版九年级数学上册一元二次方程-配方法(第1课时)

(a－b) ² = 2.根据平方根的意义，解下列方程
（1）x² =4
(2)( x+1) ² =4
（三）尝试指导，学习新知。提问：这样的方程你能解吗？ x² +2x+1=4
这样的方程呢？ x² ＋2x－3＝0
【归纳】
配方法：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，这样的解法叫做配方法。配方法的依据：完全平方公式。
巩固新知、知识升华
六、布置作业 (六)布置作业。课本39页练习题1、2题
【 (五)总结】
1.解二次项系数为1的一元二次方程的基本思路：方程化为( x+m)2=n（n≥0）的形式，。 2、用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数a）；（2）移项（把常数项移到方程的右边）；（3）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）；（4）开平方（根据平方根意义，方程两边开平方）；（5）求解（解一元一次方程）；Fra bibliotek一起探究
对于方程2x ² ＋4x ＋1=0 如何用配方法求解呢？试试看
大家谈一谈
用配方法解一元二次方程的步骤是什么？与同学交流你的想法
用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数a）；（2）移项（把常数项移到方程的右边）；（3）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）；（4）开平方（根据平方根意义，方程两边开平方）；（5）求解（解一元一次方程）；
【 (四)合作讨论，自主探究】
1、配方训练、将下列方程化为( x+m) ² =n（m,n为常数，n≥0）的形式。（1）x² ＋2x＝48 （2）x² －4x＝12 (3)x² －6x＋5=0 (4)x² +x－3/4=0