第四章幂函数

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高中数学沪教版(上海)高一第一学期第四章4.1 幂函数的性质与图像课件

0 k 1
y
k 1
y
非奇非偶
O
y
x
O
y
x
O
x
y
O
x
y
O
x
O
x
y
O
x
O
x
奇
y
偶
O
x例3．请找出①y来自2x53
②y x4
, 0
④y
0,
x3
0, ⑤y
x
1 2
,0 0, 0,
③y x6
R
⑴是奇函数，且在 0, 上单调递减的为_④__y___x_3
⑵是偶函数，且在 0, 上单调递增的为_③__y___x_6
2
例2：研究幂函数 y x3 的定义域，奇
偶性，单调区间，值域．
1
练习2：研究幂函数 y x2 、y x2
的定义域，奇偶性，单调区间，值域
函数
yx
y x1 y x2
2
y x3
1
y x2
y x2
图像
定义域
R
(, 0) (0, )
R
R
[0, ) (,0) (0,)
奇偶性奇
奇
偶
偶
非奇非偶
y x y x1 y x2
2
1
y x3 y x2
例1：判断下列函数是否为幂函数
3
⑴ y x2
⑶ y x1.5
⑵ y 2x2
1
⑷ y x2
⑸ y x0
练习1：
已知函数 y t 1 xt2t为幂函数，
求 t 的值及函数解析式．
2
例2：研究幂函数 y x3 的定义域，奇
偶性，单调区间，值域．

高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数对数的概念学生用书湘教版必修第一册

4．3　对数函数最新课程标准学科核心素养1.理解对数的概念．2．理解对数的性质． 1.理解对数的概念．(数学抽象)2．掌握指数与对数的互化、简单求值．(数学运算)4.3.1　对数的概念教材要点要点一　对数的概念1．定义：如果a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么________叫作以________为底，________的对数，记作b ＝log a N .2．相关概念底数与真数其中，________叫作对数的底数，________叫作真数．状元随笔　log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．要点二　对数与指数间的关系当a ＞0，且a ≠1时，a b ＝N ⇔b ＝log a N .前者叫指数式，后者叫对数式．状元随笔　要点三　对数的性质性质1________没有对数性质21的对数是________，即log a 1＝__(a ＞0，且a ≠1)性质3底的对数是______，即log a a＝______(a＞0，且a≠1)要点四　对数的基本恒等式a log a N＝N(a＞0且a≠1，N＞0)；b＝log a a b(b∈R，a>0且a≠1)．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)log a N是log a与N的乘积．( )(2)因为(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2.( )(3)因为3x＝81，所以log813＝x.( )(4)log32＝log23.( )2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有( )A．log2M＝a B．log a M＝2C．log a2＝M D．log2a＝M3．若log8x＝－23，则x的值为( )A．14 B．4C．2D．1 24．3log32＋log21＝________．　对数的概念例1　(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( ) A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，+∞)C．(4，＋∞) D．(3，4)(2)将下列指数式、对数式互化．①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log√5125＝6.方法归纳指数式与对数式互化的方法(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．跟踪训练1　(1)(多选)下列指数式与对数式的互化正确的是( ) A．30＝1与log31＝0B．log39＝2与912＝3C.8−13＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7(2)对数式log(x－1)(x＋2)中x的取值范围是________．　对数的计算例2　求下列各式中x的值：(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；(3)log x27＝32.方法归纳(1)log a N＝x与a x＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等价的，转化前后底数不变．(2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．跟踪训练2　求下列各式中x的值：(1)log2x＝12；(2)log216＝x；(3)log x27＝3.　对数的性质及对数恒等式的应用例3　(1)已知log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________；(2)计算：51+log53＋102＋lg2＋e ln3.方法归纳1．利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log\”后再求解．2．利用对数恒等式求解的方法首先利用指数运算性质变形，变形为a log a b 的形式，再利用对数恒等式计算求值．跟踪训练3　(1)2－1＋log 2√2＝( )A ．√22B ．√2C ．12+√2D ．2√2(2)计算：log 3[log 3(log 28)]＝________．易错辨析　忽视对数的底数致误例4　使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( )A ．(12，1)∪(1，+∞)B.(0，12)C ．(0，1)∪(1，+∞)D.(−∞，−12)解析：使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 需满足{a ＞0，a ≠1，−2a +1＞0，解得0＜a ＜12.答案：B 易错警示易错原因纠错心得忽视了底数a 的范围致误，易错选D.对数式中只要底数和真数都含有参数，都需要考虑，否则致错．课堂十分钟1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( )　A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b2．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( )A ．3B ．±3C ．9D ．23．在log 3(m －1)中，实数m 的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)4．式子2log25＋log321的值为________．5．求下列各式中x的值：(1)若log31+2x3＝1，求x的值；(2)若log2021(x2－1)＝0，求x的值．4．3　对数函数4．3.1　对数的概念新知初探·课前预习要点一1．b　a　(正)数N2．a　N要点三零和负数　0　0　1　1　[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．解析：由对数的定义可知log a M＝2.答案：B3．解析：由对数与指数的互化可得：x＝8−23＝23×(−23)＝1 4 .答案：A4．解析：原式＝2＋0＝2.答案：2题型探究·课堂解透例1　解析：(1)由对数的定义可知解得x>3且x≠4.故选B.(2)①由54＝625得log5625＝4.②由log216＝4得24＝16.③由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2.④由log√5125＝6得()6＝125.跟踪训练1　解析：(1)对于A，30＝1可化为0＝log31，所以A中互化正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，所以B中互化不正确；对于C，8－＝可化为log8＝－，所以C中互化正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，所以D中互化正确．故选ACD.(2)由题意得解得∴x>1且x≠2.答案：(1)ACD　(2)(1，2)∪(2，＋∞)例2　解析：(1)∵4x＝5·3x，∴＝5，∴＝5，∴x＝log435.(2)∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.(3)∵log x27＝，∴x 32＝27，∴x＝2723＝32＝9.跟踪训练2　解析：(1)∵log2x＝，∴x＝212，∴x＝.(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.(3)∵log x27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.例3　解析：(1)∵log2[log4(log3x)]＝0＝log21，∴log4(log3x)＝1.又log4(log3x)＝log44＝1，∴log3x＝4，∴x＝34＝81.(2)原式＝5·5log53＋102·10lg 2＋e ln 3＝5×3＋102×2＋3＝218.答案：(1)81　(2)见解析跟踪训练3　解析：(1)2−1+log2√2＝2－1·2log2√2＝×＝.(2)log3[log3(log28)]＝log3[log3(log223)]＝log3(log33)＝log31＝0.答案：(1)A　(2)0[课堂十分钟]1．解析：由对数的定义直接可得log a c＝b.答案：B2．解析：∵log2(log x9)＝1，∴log x9＝2，即x2＝9，又∵x>0，∴x＝3.答案：A3．解析：由m－1>0得m>1.答案：D1＝0，故原式＝5. 4．解析：由对数性质知，2log25＝5，log32答案：55．解析：(1)∵log3＝1，∴＝3，∴1＋2x＝9，∴x＝4.(2)∵log2 021(x2－1)＝0，∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±.。

北师大版高中数学课件第四章 §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 §5 信息技术支持的函数研究

的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xc.
微探究
(1)画出一次函数y=2x,对数函数y=lg x和指数函数y=2x的图象,并比较它们
的增长差异;
(2)试着概括一次函数y=kx(k>0),对数函数y=logbx(b>1)和指数函数
y=ax(a>1)的增长差异;
(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
连续失败50次的概率不到8%
当堂检测
1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是(
A.y=100x
B.y=log100x
C.y=x100
D增长,则当x越来越大时,函数y=100x
的增长速度最快.
答案D
2.若x∈(0,1),则下列结论正确的是(
答案 (1)
①y=2x的图象在(0,+∞)上匀速上升;
②y=2x的图象在(0,+∞)上上升越来越快;
③y=lg x的图象在(0,+∞)上上升越来越慢.
(2)①y=kx(k>0)的图象在(0,+∞)上匀速上升;②y=logbx(b>1)的图象在(0,+∞)
上增长越来越慢;③y=ax(a>1)的图象在(0,+∞)上增长越来越快.
快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快
慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.
变式训练 1(1)下列所给函数,增长最快的是(
A.y=5x
B.y=x5
C.y=log5x
D.y=5x
)
(2)以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:
x

升学复习第四章-幂函数、指数函数、对数函数

（4）loga
n
1
M= logaM.
n
典例解析
例11.求下列对数的值：
(1)log64+log69；
(2)log2162；
(3)log672-log62；
(4)lg5+lg2.
知识聚焦
5.换底公式
logaN lgN
logbN= loga = lg (a>0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0).
函数时,图像只分布在第一象限.
知识聚焦
3.幂函数的图象与性质
(-2,4)
4
y=x3
(2,4)
y=x2
3
y=x
1
-6
-4
-2
(1,1)
-1
-2
-3
-4
(0,+∞)内都有定义,并且函数图象
y=x-1
2
(-1,-1)
（2）过定点：所有的幂函数在
y=x 2
(4,2)
2
(-1,1)
1
4
6
都通过点(1,1).
特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数
以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.
知识聚焦
2
对数
函数
的图
象与
性质
解析式
对数函数y=log
a>1(真大整体大,真小整体小)
图
象
a
0<a<1(真大整体小,真小整体大)
y
o
x (a>0, a≠1)
y
（1, 0)
（2）正数的负分数指数幂的意义：
a
m
n
1m
an
n
1 ( a 0, m , n N , 且n 1)

高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数学案(含解析)新人教B版必修第二册-新人

4.4 幂函数学习目标1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.自主预习1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量,为常数.2.幂函数的图像及性质(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点,在(0,+∞)上都有定义.(2)当α>0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当0<α<1时,图像上凸,当α>1时,图像.(3)若α<0,则幂函数图像过点,并且在第一象限内单调,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称.(5)幂函数在第象限无图像.课堂探究例1(1)下列函数:①y=x3;②y=(12)x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=a x(a>1).其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(m2+2m-2)x x2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值.跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(12,√22),则k+α等于()A.12B .1C.32D.2(2)已知f (x )=ax 2a+1-b+1是幂函数,则a+b 等于( )A.2B.1C.12D.0例2 比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)(x 2+2)-13和2-13.跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1.例3 讨论函数y=x 23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.核心素养专练1.以下结论正确的是( )A.当α=0时,函数y=x α的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x α的图像关于原点对称,则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限 2.下列不等式成立的是( ) A.(13)-12>(12)-12B.(34)23<(23)23C.(23)2>(32)2D.8-78<(19)783.函数y=x -3在区间[-4,-2]上的最小值是 .4.若幂函数f (x )=(m 2-m-1)x x2-2x -3在(0,+∞)上是减函数,则实数m= .参考答案自主预习1.y=x α底数指数2.(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴 (5)四课堂探究例1 (1)B解析:幂函数有①⑥两个. (2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得{x 2+2x -2=12x -3=0,解得{x =-3,x =32或{x =1,x =32. 所以m=-3或1,n=32.跟踪训练1 (1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f (12)=√22,所以(12)x =√22,解得α=12,从而k+α=32.(2)A解析:因为f (x )=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.例2 (1)考查幂函数y=x 1.1,因为在其区间[0,+∞)上是增函数,而且2.3<2.5,所以2.31.1<2.51.1. (2)考查幂函数y=x -13,因为其在区间(0,+∞)上是减函数,而且a 2+2≥2,所以(a 2+2)-13≤2-13.跟踪训练2 解:(1)因为幂函数y=x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的, 又25>13,所以(25)0.5>(13)0.5.(2)因为幂函数y=x -1在(-∞,0)上是单调递减的, 又-23<-35,所以(-23)-1>(-35)-1.例3 因为y=x 23=√x 23,所以不难看出函数的定义域是实数集R .记f (x )=x 23,则f (-x )=(-x )23=√(-x)23=√x 23=x 23=f (x ),所以函数y=x 23是偶函数,因此,函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像,如图.由图像可以看出,函数在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增. 核心素养专练1.D2.A3.-18解析:因为函数y=x-3=1x3在(-∞,0)上单调递减,所以当x=-2时,y min=(-2)-3=-18.4.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.掌握幂函数的概念、图像和性质.2.熟悉α=1,2,3,12,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点.3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=a b(a>0,a≠1)中.①如果把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?②如果把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?③如果把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.观察函数y=x,y=x2,y=x12,y=x-3,这几个函数有什么共同特点?把这几个函数的解析式改写成统一的形式.幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的有.①y=3x2②y=x2-1③y=-1x ④y=1x2⑤y=x-13⑥y=2x课堂探究1.问题①:给出下列函数:y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,是否为指数函数?问题②:根据问题①,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:根据函数y=x12,y=x3的性质画出图像.问题⑤:画出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的观察,你能类比出一般的幂函数的性质吗?3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)x x2-1+2n-3是定义域为R的幂函数,求m,n的值.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13,2-13.变式训练1比较下列各组的大小.(1)-8-78和-(19)78;(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-23和(-1.9)34.例3讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x25;(2)y=x-34;(3)y=x-2.核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.任意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f(127)的值为()A.19B.9 C.13D.33.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图像不过原点,则()A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=xα的定义域为[0,+∞),则满足条件的α可以是.(写出两个满足条件的α值)(2)已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满足条件的α可以是.6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.7.已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(2,18),则α=,若f(a+1)<f(3-2a),实数a的取值集合为.8.求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x23(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+x-12.9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x94,y=x49.参考答案自主预习略课堂探究1.略2.略3.例1 m=-3,n=32例2 (1)2.31.1<2.51.1 (2)(a 2+2)-13≤2-13变式训练1 (1)-8-78<-(19)78(2)(-2)-3<(-2.5)-3(3)(1.1)-0.1>(1.2)-0.1(4)(-1.9)34<(3.8)-23<(4.1)25例3 通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像.作图略.由图像可以看出,函数y=x 23在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.变式训练2 (1)定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]上单调递减. (2)定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 核心素养专练1.AB2.D3.A4.B5.(1)α=12或α=34 (2)2或12 6.d>b>c>a 7.-3 (-∞,-1)∪(23,32)8.(1){x|x ≠0},偶函数 (2)R,非奇非偶函数 (3)R,奇函数 (4){x|x>0},非奇非偶函数 9.作图略.(1)幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图像都通过点(1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图像过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数. (3)如果α<0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.。

新北师大版八年级上册第四章幂函数

新北师大版八年级上册第四章幂函数幂函数是数学中常见且重要的一类函数形式。

在八年级上册的第四章中，我们将研究幂函数的定义、性质和图像特征，以及一些幂函数的应用。

1. 幂函数的定义幂函数的形式为 $y = ax^b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，且$b$ 是正整数。

它是由底数 $x$ 与指数 $b$ 的正整数次幂的乘积构成。

2. 幂函数的性质幂函数有许多特点和性质，其中一些重要的性质包括：- 当指数 $b$ 为正奇数时，幂函数的图像在坐标平面中关于原点对称。

- 当指数 $b$ 为正偶数时，幂函数的图像在坐标平面中关于$y$ 轴对称。

- 当 $a > 0$ 时，幂函数的图像在坐标平面中上升，且在 $x$ 轴右侧趋近于正无穷大。

- 当 $a < 0$ 时，幂函数的图像在坐标平面中下降，且在 $x$ 轴右侧趋近于负无穷大。

3. 幂函数的图像特点幂函数的图像特点与指数 $b$ 的值密切相关。

以下是不同指数$b$ 对应的幂函数的图像特点：- 当 $b > 1$ 时，幂函数的图像在坐标平面中从左下方逐渐上升。

- 当 $b = 1$ 时，幂函数为一次函数，其图像为一条直线。

- 当 $0 < b < 1$ 时，幂函数的图像在坐标平面中从左上方逐渐下降。

- 当 $b = 0$ 时，幂函数为常数函数，其图像为一条水平直线。

4. 幂函数的应用幂函数在实际生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的幂函数应用：- 物体的自由落体运动的距离、速度和加速度与时间的关系可以通过幂函数来描述。

- 金融市场中的复利计算可以用幂函数进行模拟和分析。

- 自然界中的某些生长现象，如细胞数量的增长、植物高度的增长等，也可以使用幂函数来表示。

总结幂函数是一类重要的函数形式，它的图像特点和性质与指数$b$ 的值有密切关系。

通过研究幂函数的定义、性质和图像特征，我们能够更好地理解和应用幂函数。

4.1(2)幂函数的图像与性质

归纳幂函数 y
x

的性质。
① 所有幂函数图象在 (0,) 都有定义，且都经过点 (1,1); ② 当 0 时，幂函数图象都过（0，0），并且在是增函数；
0,

x ( 0 , 1 ), y x 1 特别，当时，的图象都在
y x 图象的下方，图象向下凸，
越大，下凸程度越大.
yx
图
当 0 1 时, x (0,1), y x 的图象都在象的上方,图象向上凸, 越小,上凸程度越大;
③ 当 0 时,幂函数的图象在 (0,) 上是减函数.
④图像分布的象限：为什么幂函数幂函数图像一定不在第四象限？
如果函数
f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函
数，且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足条件的实数m的值。
4.1幂函数的图像与性质（2）
例1 、 1 1 x 1 , h( x) （1）研究函数 f ( x) , g ( x) x x2 x2 之间的关系；（2）在同一坐标中作上述函数的图像；
的图像

例2、作函数
1 y | x | 1
的大致图像.
x 变式：作函数 y | x | 1 的大致图像.
例2、作出下列函数的大致图像.
1y x
2 y
2
2x
x 2x
2
说明：本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有更好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@

高考数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算

4.1.1 实数指数幂及其运算课标解读课标要求核心素养1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(重点)3.掌握根式与分数指数幂的互化.(重点、易错点)4.掌握有理指数幂的运算性质.(重点、难点)1.通过根式与分数指数幂互化的学习,培养数学运算的核心素养.2.通过利用指数式的条件解决求值问题,提升逻辑推理的核心素养.公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线的长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.问题:若x2=3,则这样的x有几个?它们叫做3的什么?如何表示?答案这样的x有2个,它们都称为3的平方根,记作±.1.有关幂的概念一般地,a n中的a 称为①底数,n称为②指数.2.根式的相关概念和性质(1)根式的概念:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得x n=a,则③x称为a的n 次方根;当有意义的时候,④称为根式,n称为⑤根指数,a称为⑥被开方数.(2)根式的性质:(i)()n=⑦a.(ii)=思考1:类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?提示a为正数:a为负数:零的n次方根为零,记为=0.3.分数指数幂(1)定义:一般地,如果n是正整数,那么:当有意义时,规定=⑧;当没有意义时,称没有意义.(2)意义:分数指数幂正分数指数幂=(a>0),=()m =⑨负分数指数幂a-s =⑩(a s有意义且a≠0)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)运算法则:(i)前提:s,t为任意有理数.(ii)法则:a s a t=a s+t;(a s)t=a st;(ab)s=a s b s.思考2:分数指数幂的运算性质是什么?提示分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆分数指数幂的运算性质的口诀:乘相加,除相减,幂相乘.4.实数指数幂一般地,无理指数幂a t(a>0,t是无理数)是一个确定的实数,有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂a t 都有意义,对任意实数s和t,类似有理指数幂的运算法则仍然成立.探究一n次方根的化简与求值例1 (易错题)化简:(1);(2)()2++(a-1≥0).解析(1)=|3-π|=π-3.(2)原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.易错点拨n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围n为奇数a∈Rn为偶数±[0,+∞)1.已知-3<x<3,求-的值.解析原式=-=|x-1|-|x+3|,∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4,∴原式=探究二根式与指数幂的互化例2 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-=(-x(x>0)B.=(y<0)C.=(x>0)D.=-(x≠0)(2)用指数幂的形式表示(x>0,y>0).答案(1)C解析(1)A选项,-=-(x>0);B选项,=(y2=-(y<0);C选项,=(x-3=(x>0);D选项,=(x≠0).故C正确.(2)解法一:由里向外化为分数指数幂.===.解法二:由外向里化为分数指数幂.===·=.思维突破(1)记结论:=和==(a>0).(2)明途径:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.2.化简:(1)(a>0);(2)(2)(-6)÷(-3).解析(1)===(=.(2)原式=[2×(-6)÷(-3)]·=4ab0=4a.探究三指数幂的化简与求值例3 已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.解析∵(x+x-1)2=x2+x-2+2,∴x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7.思维突破式子中包含的指数互为相反数时,通常用平方法进行解决,平方后观察条件和结论的关系,变形求解即可.3.(1)(变结论)已知x+x-1=3,求x2-x-2的值.(2)(变条件)已知x-x-1=3,求x2+x-2的值.解析(1)由例3知x2+x-2=7,∴x4+x-4=47,∴(x2-x-2)2=x4-2+x-4=45,即x2-x-2=±3.(2)∵(x-x-1)2=x2+x-2-2=9,∴x2+x-2=11.1.下列各式正确的是( )A.=-3B.=aC.()3=-2D.=2答案 C2.已知a>0,则=( )A. B.C. D.答案 D =,则===.故选D.3.化简(a3÷()(a>0,b>0)结果为( )A.aB.bC.D.答案 A 原式=÷()==a.故选A.4.化简:(x>0,y>0)= .答案2x2y解析∵x>0,y>0,∴==(24·x8y4=2x2y.5.若10m=2,10n=3,则103m-n= .答案解析由已知得103m=(10m)3=23=8,∴103m-n==.逻辑推理——指数运算与均值不等式的应用已知a>0,b>0,若2a·2b=2,则ab的最大值是.审:由指数运算法则以及2a·2b=2,可得a+b=1,再根据均值不等式ab≤,当且仅当a=b时取得最大值得出答案.联:求积的最值,会联想到基本不等式,那就需要和为常数,这个和刚好由指数运算求得.解:∵函数g(x)=2x,且有g(a)·g(b)=2,∴①2=2a·2b=2a+b,∴a+b=1,∵a>0且b>0,∴②ab≤=,当且仅当a=b=时,ab取得最大值.思:从已知条件中解出字母的值,然后代入求值,这种方法一般是不可取的,应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值,体现了数据分析、逻辑推理的核心素养.设x∈R且x≠0,若x+x-1=3,猜想x2n+x-2n(n∈N*)的个位数字是( )A.2B.5C.6D.7答案 D ∵x+x-1=3,∴当n=1时,x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7,当n=2时,x4+x-4=(x2+x-2)2-2=72-2=47,当n=3时,x8+x-8=(x4+x-4)2-2=472-2=2207,……则x2n+x-2n(n∈N*)的个位数字是7.——————————————课时达标训练—————————————1.计算:++(2019)0=( )A.6B.7C.8D.答案 B2.下列各式正确的是( )A.=aB.a0=1C.=-4D.=-π答案 D 对于A,当a为负数时等式不成立,故不正确;对于B,当a=0时,a0无意义,故不正确;对于C,=4,故不正确.故选D.3.若(3-2x有意义,则实数x的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.∪C. D.答案 C 要使(3-2x=有意义,需使3-2x>0,解得x<,即实数x的取值范围是.故选C.4.化简(2a-3)·(-3a-1b)÷(4a-4)=( )A.-b2B.b2C.-D.答案 A 原式==-b2.5.设α,β是方程2x2+3x+1=0的两根,则的值为( )A.8B.C.-8D.-答案 A 由题意可知α+β=-,则====8,故选A.6.(x>0)用分数指数幂表示为.答案解析=(x·=·=·==.7.化简:(1)π0+2-2×= ;(2)()4()4(a>0)= .答案(1)(2)a4解析(1)π0+2-2×=1+×=1+×=.(2)()4()4=()4()4=()4()4=a2×a2=a4.8.已知2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y= .答案27解析由2x=8y+1得2x=23y+3,所以x=3y+3,①由9y=3x-9得32y=3x-9,所以2y=x-9,②由①②解得x=21,y=6,所以x+y=27.9.计算下列各式的值:(1)(×(÷;(2)2(×)6+(-4×-×80.25+(-2019)0.解析(1)原式=(×(1÷1=2-1×103×1=2-1×1=.(2)原式=2(×)6+(×-4×-×+1=2×22×33+2-7-2+1=210.10.(多选)下列各式中正确的是( )A.=n7B.=C.=(x+yD.=答案BD =n7m-7,A错误;==,B正确;=(x3+y3,C错误;=(=(=,D正确.故选BD.11.x=1+2b,y=1+2-b,则y=( )A. B.C. D.答案 D ∵x=1+2b,∴2b=x-1.∴y=1+2-b=1+==.12.化简(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)的结果是( )A.(1-)-1B.(1-)-1C.1-D.(1-)答案 B 因为(1+)(1-)=1-,故将原式化为分数形式,并且分子、分母同乘(1-),得原式===(1-)-1.故选B.13.已知实数x满足x2-3x+1=0,则x2+x-2= ;= .答案7;4解析因为实数x满足x2-3x+1=0,所以x2+1=3x,即x+x-1=3,两边平方,得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7.又===x+x-1+1=4.14.若x>0,y>0,且x--2y=0,求的值.解析∵x--2y=0,x>0,y>0,∴()2--2()2=0,∴(+)(-2)=0,由x>0,y>0得+>0,∴-2=0,∴x=4y,∴==.15.若a,b,c为正实数,a x=b y=c z,++=0,则abc= .答案 1解析设a x=b y=c z=k,则k>0,则a=,b=,c=,因此abc===k0=1.16.已知实数x,y满足(x+2y)3+x3+2x+2y=0,则x+y-1= .答案-1解析因为(x+2y)3+x3+2x+2y=(2x+2y)[(x+2y)2-x(x+2y)+x2]+2(x+y)=2(x+y)[(x+2y)2-x(x+2y)+x2+1] =2(x+y)(x2+2xy+4y2+1)=2(x+y)[(x+y)2+3y2+1]=0,又易知(x+y)2+3y2+1>0,所以x+y=0,所以x+y-1=-1.。

第四章-幂级数

2 2
因此 z 2k (k 0, 1,...) 都是 f ( z) sin z 1 的二阶零点
2
解析函数零点的孤立性，唯一性定理
• 定理：设函数 f ( z ) 在 z a R 解析，且不恒为零，a为其零点，则必有a的一个邻域，使得 f ( z ) 在其中没有a之外的零点。

的系数
cn
满足
cn 1 l cn
（2）
lim n cn l
n
（3）则幂级数 c ( z a) 的收敛半径
n
lim n cn l

n
n 0
n
1 l , l 0, l R 0, l , l 0
cos(in)( z 1) 例.
1、幂级数各项均为幂函数的复变项级数
(*)
其中，都是复常数，这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。 2、幂级数的收敛性，收敛半径先看由上级数各项的模所组成的正项级数
应用正项级数的比值判别法可知，如果
则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记号
即，如果果，则
则原级数绝对收敛，如
即级数后面的项的模越来越大，不满足级数
eiz eiz 2i
(eiz i)2 0, eiz i

2
2 k
(k 0, 1,...)
这是 f ( z) sin z 1 的全部零点注意到
(sin z 1) ' z 2 k cos z z 2 k 0
2 2
(sin z 1) '' z 2k sin z z 2k 1
n z 2 z3 z 4 z f 0 ( z ) (ln( z 1))0 z ... (1) n1 ... 2 3 4 n

高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理

高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.4　幂函数学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1，2，3)的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一　幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．提醒　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二　幂函数的图像和性质1．幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝，y ＝x －1的图像如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数12x 12x公共点(1,1)1．y ＝－1x 是幂函数．(　×　)2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.(　√　)3．y ＝与y ＝定义域相同．(　×　)4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)一、幂函数的概念例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是( )A ．y ＝x 3 B ．y ＝(12)xC ．y ＝4x 2D ．y ＝x答案　AD解析　B 项为指数函数，C 中的函数的系数不为1，AD 为幂函数．(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解　由题意得Error!解得Error!或Error!所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟　判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1　已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案　A解析　因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0，即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.32x 64x 22m x二、幂函数的图像例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则对应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案　B解析　根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2.反思感悟　解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y ＝x －1 或y ＝或y ＝x 3)来判断．跟踪训练2　函数f (x )＝的大致图像是( )答案　A解析　因为－12<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.三、比较幂值的大小12x 12x例3　比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5；(2)(－23)－1与(－35)－1；(3)与.解　(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5.(2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.(3)∵函数y 1＝(23)x为R 上的减函数，又34>23，∴>.又∵函数y 2＝在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴>，∴>.反思感悟　比较幂值大小的方法跟踪训练3　比较下列各组值的大小：(1)，；(2)，，1.42.解　(1)∵y ＝为R 上的偶函数，∴＝.又函数y ＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，3423⎛⎫⎪⎝⎭2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫ ⎪⎝⎭23x 2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭2334⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫⎪⎝⎭()650.31-650.35121.2121.465x ()650.31-650.3165x∴<，即<.(2)∵y ＝在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，∴<.又∵y ＝1.4x 为增函数，且12<2，∴<1.42，∴<<1.42.幂函数性质的应用典例　已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a 的取值范围．解　因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N ＋，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1.则原不等式可化为.因为y ＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是Error!.[素养提升]　(1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．650.31650.35()650.31-650.3512x 121.2121.4121.4121.2121.433(1)(32)m m a a --+<-1133(1)(32)a a --+<-13x-1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3答案　B解析　函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图像一定不经过( )A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限 D ．第一象限答案　A解析　由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．3．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案　A解析　可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又因为y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3.4．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案　A解析　∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，∴k ＝1，f(12)＝(12)α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.5．已知f (x )＝，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f(1a )<f(1b)B ．f (1a )<f(1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f(1a )D ．f (1a )<f (a )<f(1b )<f (b )12x答案　C解析　因为函数f (x )＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f(1b )<f(1a).1．知识清单：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的图像．(3)幂函数的性质及其应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．1．幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则f (－12)等于( )A.12B.14 C ．－14 D ．2答案　B解析　幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则2α＝4，解得α＝2；∴f (x )＝x 2，∴f (－12)＝(－12)2＝14.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2 D ．y ＝答案　A解析　所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝不是偶函数，故排除选项B ，D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )12x 13x13x 2535⎛⎫ ⎪⎝⎭3525⎛⎫⎪⎝⎭2525⎛⎫⎪⎝⎭A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案　A解析　∵y ＝(x >0)为增函数，又35>25，∴a >c .∵y ＝(25)x (x ∈R )为减函数，又25<35，∴c >b .∴a >c >b .4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )答案　C解析　选项A 中，幂函数的指数a <0，则y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则y ＝ax －1a 应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．5．若幂函数f (x )的图像过点(2，2)，则函数g (x )＝f (x )－3的零点是( )A.3 B ．9 C ．(3，0) D ．(9,0)答案　B解析　∵幂函数f (x )＝x α的图像过点(2，2)，∴f (2)＝2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝，∴函数g (x )＝f (x )－3＝－3，由－3＝0，得x ＝9.∴函数g (x )＝f (x )－3的零点是9.6．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x11225x 12x 12x 12xf (x )122则f (x )的单调递增区间是________．答案　[0，＋∞)解析　因为f(12)＝22，所以(12)α＝22，即α＝12，所以f (x )＝的单调递增区间是[0，＋∞)．7．已知幂函数f (x )＝x α(α∈R )的图像经过点(8,4)，则不等式f (6x ＋3)≤9的解集为________．答案　[－5,4]解析　由题意知8α＝4，故α＝log 84＝23，由于f (x )＝＝x 2为R 上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f (6x ＋3)≤9即为f (6x ＋3)≤f (27)，所以|6x ＋3|≤27，解得－5≤x ≤4.8．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．答案　b <a <c解析　由a ＝，b ＝，可利用幂函数的性质，得a >b ，可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .9．已知幂函数f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，试画出f (x )的图像并指出该函数的定义域与单调区间．解　因为f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．10．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R 上单调递增．(1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解　(1)由幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m >0，解得m <3，m ∈N ＋，可得m ＝1,2，12x 23x 2312⎛⎫⎪⎝⎭2315⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭2315⎛⎫⎪⎝⎭若m ＝1，则f (x )＝x 6的图像不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f (x )＝x 3的图像关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f (x )＝x 3.(2)由(1)可得f (x )是奇函数，且在R 上单调递增，由f (a ＋1)＋f (3a －4)<0，可得f (a ＋1)<－f (3a －4)＝f (4－3a )，即为a ＋1<4－3a ，解得a <34.11．若函数f (x )＝(m ＋2)x a 是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g (x )＝ log a (x ＋m )的单调递增区间为( )A ．(－2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案　B解析　由题意得m ＋2＝1，解得m ＝－1，则f (x )＝x a ，将(2,4)代入函数的解析式得，2a ＝4，解得a ＝2，故g (x )＝log a (x ＋m )＝log 2(x －1)，令x －1>0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．12．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案　B解析　y ＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y ＝－1的图像可看作由y ＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝－1的图像关于x 轴对称后即为选项B.13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．答案　9解析　由题意可知加密密钥y ＝x α(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝12，则y ＝.由＝3，得x ＝9，即明文是9.14．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x答案　(3,5)解析　∵f (x )＝＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴Error!解得Error!∴3<a <5.15.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么，αβ等于________．答案　1解析　由条件，得M (13，23)，N (23，13)，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝13，β＝23.所以αβ＝13·23＝lg 13lg 23·lg 23lg 13＝1.16．已知幂函数g (x )过点(2，12)，且f (x )＝x 2＋ag (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解　(1)设幂函数的解析式g (x )＝x α(α为常数)．因为幂函数g (x )过点(2，12)，所以2α＝12，解得α＝－1，所以g (x )＝1x.(2)由(1)得f (x )＝x 2＋a x.①当a ＝0时，f (x )＝x 2.12x 23log 13log 23log 13log由于f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，可知f(x)为偶函数．②当a≠0时，由于f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠x2＋ax＝f(x)，且f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠－(x2＋a x)＝－f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．综上，①当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．。

第四章-§4-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修第一册北师大版

B.∀ > 0, > log
C.∀ > 0, > log
D.不一定存在0 ,当 > 0 时，总有 > > log
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，
幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B，C，当0 < < 1时，显然不

1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( D
)
A. = 2 − 2
B. =
1
2
C. = log 2
D. =
1
2
2 − 1
【解析】由于一次函数 = 2 − 2是均匀增加的，因此A不对；指数函数 =
1
是
2
单调递减的，也不符合要求，因此B不对；对数函数 = log 2 的增长速度先快后慢，
当 > 2 时， > ，
∴ 2 021 > 2 021 .
又 2 021 > 6 ，
∴ 2 021 > 2 021 > 6 > 6 .
题型2 函数增长模型的应用
例7 某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利
【答案】函数 = , = 和 = 在 , +∞ 上都是增函数，随着的增大，
= 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 和 = 的增长速度，而
= 的增长速度越来越慢, = 的增长速度介于两者之间.

高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数指数函数的图象与性质2学生用书湘教版必修第一册

第2课时　指数函数的图象与性质(2)教材要点要点一　比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用____________的单调性来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用__________的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．要点二　解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的________求解．(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为________________，再借助y＝a x的________求解．(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．要点三　指数型函数的单调性一般地，有形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__________的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝a x(a＞0且a≠1)的最小值为0.( )(2)y＝21－x是R上的增函数．( )(3)若0.1a＞0.1b，则a＞b.( )(4)由于y＝a x(a＞0，且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也构不成具有奇偶性的函数．( )2．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )A．y＝1xB．y＝|x|C．y＝2x D．y＝x33．下列判断正确的是( )A．1.51.5＞1.52B．0.52＜0.53C．e2＜√2eD．0.90.2＞0.90.54．函数y＝2|x|的单调递减区间是________．题型1　指数函数单调性的应用角度1　比较大小例1　(1)(多选)下列各组数的大小比较不正确的是( )A．1.52.5＜1.53.2B．0.6－1.2＞0.6－1.5C．1.50.3＞0.81.2D．0.30.4＜0.20.5(2)比较下列各值的大小：(43)13，223，(−23)3，(34)12.方法归纳比较指数幂的大小时，主要应用指数函数的单调性以及图象的特征，或引入中间数进行比较．角度2　解简单的指数不等式例2　(1)不等式3x－2＞1的解集为________．(2)若a x＋1＞(1a)5−3x(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．方法归纳解与指数相关的不等式的策略底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解．跟踪训练1　(1)已知a＝20.1，b＝0.33，c＝0.30.1，则a、b、c的大小关系为( ) A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜c＜a D．a＜c＜b(2)解不等式(13)x2−2≤3.题型2　与指数函数有关的复合函数的单调性例3　(1)函数y＝31x的单调递减区间是( )A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)(2)求函数y＝a x2＋2x－3的单调区间．方法归纳(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u ＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．跟踪训练2　已知函数f(x)＝(13)x2−2x，判断函数f(x)的单调性．题型3　指数函数性质的综合应用(2b－6＜x＜b)是奇函数．例4　已知函数f(x)＝1－a·3x3x+1(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数；(3)若f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围．方法归纳解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．跟踪训练3　已知函数f(x)＝(12x−1+12)·x3.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)证明：f(x)＞0.易错辨析　忽视对指数函数的底数分类讨论致误例5　若函数y＝a x(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为a2，则a的值为( )A．12 B．32C．23或2 D．12或32解析：当a＞1时，y＝a x在[1，2]上的最大值为a2，最小值为a，故有a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．当0＜a＜1时，y＝a x在[1，2]上的最大值为a，最小值为a2，故有a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)．综上，a＝32或a＝12.答案：D易错警示课堂十分钟1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是( )A．c＞b＞a B．b＞a＞cC．a＞b＞c D．a＞c＞b2．设f(x)＝(12)|x|，x∈R，那么f(x)是( )A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数3．若函数f(x)＝a x(a＞0且a≠1)在[−2，1]上的最大值为4，最小值为m，实数m 的值为( )A．12B．14或12C．116D．12或1164．不等式23－2x＜0.53x－4的解集为________．5．已知函数f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[0，3]上的值域．第2课时　指数函数的图象与性质(2)新知初探·课前预习要点一(1)指数函数　(2)指数函数图象　(3)中间值要点二(1)单调性　(2)以a为底的指数幂　单调性要点三(1)相同　(2)相同　相反[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．解析：y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.答案：D3．解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，所以0.90.2＞0.90.5.答案：D4．解析：函数y＝2|x|的图象如图．由图可知，函数y＝2|x|的单调递减区间是(－∞，0].答案：(－∞，0]题型探究·课堂解透例1　解析：(1)A中，函数y＝ 1.5x在R上是增函数，∵2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2，A正确；B中，函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5，B不正确；C中，由指数函数的性质，知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2，C正确；D中，在同一直角坐标系内，画出y＝0.3x，y ＝0.2x两个函数的图象，由图象得0.30.4>0.20.5，D不正确．故选BD.(2)先根据幂的特征，将这4个数分类：①负数：(−23)3；②大于1的数：(43)13，223；③大于0且小于1的数：(34)12.也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y=(43)x，y=2x的图象，再分别取x=13，x=23，比较对应函数值的大小，如图)故有(−23)3<(34)12<(43)13<223.答案：(1)BD　(2)(−23)3<(34)12<(43)13<223例2　解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．(2)因为a x＋1＞(1a)5−3x，所以当a＞1时，y＝a x为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析跟踪训练1　解析：(1)因为函数y＝x0.1在(0，+∞)上为增函数，则a＝20.1>0.30.1＝c，指数函数y＝0.3x为R上的减函数，则b＝0.33<0.30.1＝c.因此，b<c<a.(2)(13)x2−2＝32−x2≤3，∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1，解得x≥1或x≤－1，∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．答案：(1)C　(2)见解析例3　解析：(1)设u＝1x，则y＝3u，对任意的0<x1<x2，有u1>u2.又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝31x在(0，＋∞)上是减函数．对任意的x1<x2<0，有u1>u2，又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝31x在(－∞，0)上是减函数．所以函数y＝31x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．故选D.(2)设y＝a u，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．当a>1时，y关于u为增函数；当0<a<1时，y关于u为减函数，∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)；当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1)，减区间为[－1，＋∞)．答案：(1)D　(2)见解析跟踪训练2　解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(13)u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝(13)u 在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y ＝(13)x 2−2x在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．例4　解析：(1)函数f (x )＝1－a·3x 3x +1(2b －6＜x ＜b )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即1－a·3−x 3−x +1＝－1＋a·3x 3x +1，整理得(a －2)(3x ＋1)＝0，所以a ＝2，因为2b －6＋b ＝0，解得b ＝2，所以a ＝2，b ＝2.(2)证明：由(1)得f (x )＝1－2·3x 3x +1，x ∈(－2，2)，设任意取x 1，x 2∈(－2，2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1−2·3x 13x 1+1)−(1−2·3x 23x 2+1)＝2(3x 2−3x 1)(3x 1+1)(3x 2+1)，因为x 1＜x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 2−3x 1＞0，而3x 1+1>0，3x 2＋1＞0，所以2(3x 2−3x 1)(3x 1+1)(3x 2+1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是区间(2b －6，b )上的减函数．(3)f (m －2)＋f (2m ＋1)＞0，所以f (m －2)＞－f (2m ＋1)，因为函数f (x )是奇函数，所以f (m －2)＞f (－2m －1)，因为函数f (x )是区间(－2，2)上的减函数，所以{m−2<−2m−1−2<m−2<2−2<2m +1<2，解得0＜m ＜13，所以实数m的取值范围是(0，13).跟踪训练3　解析：(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)．(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．令g(x)＝12x−1+12＝2x+12(2x−1)，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x)．∵g(－x)＝2−x+12(2−x−1)＝1+2x2(1−2x)＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，∴f(x)＝(12x−1+12)·x3为偶函数．(3)证明：当x>0时，2x>1，∴2x－1>0，∴12x−1+12>0.∵x3>0，∴f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，恒有f(x)>0.[课堂十分钟]1．解析：因为40.1>1，0.40.8<0.40.5<1，所以a>b>c.答案：C2．解析：因为f(－x)＝(12)|−x|＝(12)|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又当x＞0时，f(x)＝(12)x在(0，＋∞)上是减函数，答案：D3．解析：函数f(x)＝a x在[−2，1]上：当0<a<1时，f(x)单调递减，最大值为f(－2)＝a－2＝4，最小值f(1)＝a＝m，即有m＝12；当a>1时，f(x)单调递增，最大值为f(1)＝a＝4，最小值f(－2)＝a－2＝m，即有m＝116；综上，有m＝12或m＝116.答案：D4．解析：原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}．答案：{x|x<1}5．解析：(1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].(2)由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝18，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝18，所以f(x)的值域为[18，2].。

第4章幂函数、指数函数、对数函数

第四章：幂函数、指数函数和对数函数4、1 幂函数的图像与性质1、幂函数的概念一般地，函数(k y x k =为常数，k Q ∈）叫做幂函数。

思考：（1）在我们学过的函数中，有哪些是幂函数？举例说明。

2y x =、y x =、1y x=、0y x =、12y x =⋅⋅⋅(2)下列函数是否为幂函数：（1）2y x =；（2）17(2)y x -=；（3）13(2)y x =-；（4）y =。

2、幂函数的图像画幂函数图像分两步：（1）画出幂函数在第一象限的图像（如图）（2）由定义域和奇偶性画出幂函数在其它象限的图像。

例1、分别画出下列幂函数的大致图像。

（1）43y x =；（2）12y x -=；（3）13y x =；（4）0y x =；（5）2y x-=；（6）12y x =；（7）32y x =；（8）23y x =（9）53y x =；（10）y x =；（11）13y x -=。

3、幂函数()ky x k Q =∈的性质：（1）幂函数的图像恒过点(1,1)；（2）当0k >时，幂函数在区间[0,)+∞是上增函数；当0k <时，幂函数在区间(0,)+∞上是减函数。

例2、已知幂函数21(732)35(1)()t t y t t xt Z +-=-+∈是偶函数，且在区间[)0,+∞上是单调增函数。

求整数t 的值，并作出相应幂函数的大致图像。

解：0t =（舍去），或1t =±，图像略。

例3、分别画出下列函数的大致图像。

（1）y = （2）3(1)y x =+；（3）y = （4）()231y x -=-。

例4、设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1mnkr之间的大小关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

解：在同一坐标系内作出函数,,,a b c dy x y x y x y x ====与直线(01)y p p =<<相交，得交点的横坐标分别为,,,n r k m 可以得出：1n r k m <<<<。

高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数对数函数的图象与性质1学生用书湘教版必修第一册

4．3.3　对数函数的图象与性质最新课程标准1.通过具体实例，了解对数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．2．知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a ＞0且a ≠1)．学科核心素养1.了解对数函数的概念．(数学抽象)2．掌握对数函数的图象和性质，并会解决相关的问题．(数学抽象，逻辑推理)3．会解决对数型函数的定义域、值域、单调性等有关的问题．(逻辑推理、数学运算 )第1课时　对数函数的图象与性质(1)教材要点要点一　对数函数的概念对数运算y ＝____________________确定了一个函数，叫作(以a 为底的)对数函数．状元随笔　(1)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a ＞0，且a≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数．要点二　反函数一般地，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．要点三　对数函数的图象与性质表达式y ＝log a x (a ＞1)y ＝log a x (0＜a ＜1)图象性质定义域________值域R过点________，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________状元随笔　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝log2x2是对数函数．( )(2)对数函数y＝log5x与y＝log15x的图象关于y轴对称．( )(3)对数函数的图象都在y轴的右侧．( )(4)函数y＝a x与函数y＝log a x的图象关于直线y＝x对称．( )2．(多选)若函数y＝log a x的图象如图所示，则a的值可能是( )A．0.3B．1 5C．32 D．π3．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为( ) A．[12，+∞)B．(12，1) C．(12，+∞)D．[12，1]4．函数y＝log a(x－3)－2的图象过的定点是________．　对数函数的图象问题角度1　图象过定点问题例1　已知函数y＝log a(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．方法归纳解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a＞0且a≠1，都有log a1＝0，例如，解答函数y＝m＋log a f(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．角度2　对数函数的底与图象变化的关系例2　如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.方法归纳当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．角度3　图象的识别问题例3　函数y＝log a|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )方法归纳(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解．(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等．跟踪训练1　(1)函数y＝x＋a与y＝log a x的图象只可能是下图中的( )(2)图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取√3，43，35，110四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )A．√3，43，35，110B．√3，43，110，35C．43，√3，35，110D．43，√3，110，35(3)函数y＝log a(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(－1)＝________．题型2　对数型函数的定义域例4　求下列函数的定义域：(1)y＝logx2−2(x−2)；(2)f(x)＝0√||lg (x＋2)．方法归纳求函数的定义域，首先要分析自变量x 的约束条件，在与对数函数有关的问题中应注意真数大于零，底数大于零且不等于1；其次求解不等式时，要充分应用函数的性质．跟踪训练2　(1)函数y ＝√log 2(2x −1)的定义域为( )A ．(12，+∞) B ．[1，＋∞)C ．(12，1]D ．(－∞，1)(2)函数y ＝log a (x －1)＋log a (1＋x )的定义域为________．　对数型函数的值域与最值问题例5　求函数f (x )＝log 2(4x )log 14x 2，x ∈[12，4]的值域．方法归纳(1)利用对数运算性质化为关于log 2x 的一个二次函数，再通过二次函数的性质求最值．(2)求形如y ＝log a f (x )(a ＞0且a ≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y ＝log a u (a ＞0，且a ≠1)，u ＝f (x )两个函数；③由定义域求u 的取值范围；④利用函数y ＝log a u (a ＞0且a ≠1)的单调性求值域．跟踪训练3　已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．易错辨析　忽视对底数的讨论致误例6　若函数y＝log a x(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．解析：当a＞1时，函数y＝log a x在[2，4]上是增函数，所以log a4－log a2＝1，即log a 42＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，函数y＝log a x在[2，4]上是减函数，所以log a2－log a4＝1，即log a 24＝1，所以a＝12.综上可知a＝2或a＝12.答案：2或12易错警示易错原因纠错心得忽视对底数a的分类讨论，只考虑了a＞1底数的范围不同决定了对数函数的单调性不的情况，漏掉了0＜a＜1的情况．同，从而影响了在闭区间上的最值．所以一定要对底数进行讨论．课堂十分钟1．(多选)函数f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)的图象必过( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数f(x)＝√1−log2(x+2)的定义域为( )A．[－2，0] B．(－2，0)C．(－2，0] D．(－2，＋∞)3．函数f(x)＝x|x|log a x(0＜a＜1)的图象大致为( )4．若函数y＝(a2＋a－5)log a x为对数函数，则f(1)＝________．5．设a＞1，函数f(x)＝log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值．4．3.3　对数函数的图象与性质第1课时　对数函数的图象与性质(1)新知初探·课前预习要点一log a x(x>0，a>0且a≠1)要点三(0，＋∞)　(1，0)　增函数　减函数[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．解析：由图象可知函数y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，所以0<a<1.答案：AB3．解析：由对数函数的概念可知2x－1>0，即x>12，故选C.答案：C4．解析：因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)恒过定点(1，0)，所以令x－3＝1，即x＝4，此时y＝－2，所以函数y＝log a(x－3)－2过定点(4，－2).答案：(4，－2)题型探究·课堂解透例1　解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.答案：例2　解析：由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞1，b＞1，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.答案：b>a>1>d>c例3　解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.答案：A跟踪训练1　解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝log a x为减函数，A 错；B中，0＜a＜1，而y＝log a x为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝log a x为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝log a x无意义，也不对．(2)已知图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1，由a取，，，四个值，故C1，C2，C3，C4的a值依次为，，，.(3)根据题意，令2x－1＝1，得x＝1，此时y＝2，所以定点P的坐标是(1，2)，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝.答案：(1)C　(2)A　(3)例4　解析：(1)由得，所以定义域为(2，＋∞).(2)由得，所以定义域为(－2，－1)∪(－1，0).跟踪训练2　解析：(1)由题意得{x−1>olog(2x−1)≥0即{x>12x≥1故函数的定义域为[1，＋2∞).(2)由题意知{x−1>01+x>0　解得x>1，∴函数y＝log a(x－1)＋log a(1＋x)的定义域为(1，＋∞).答案：(1)B　(2)(1，＋∞)例5　解析：f(x)＝log2(4x)·log\f(1,4＝(log2x＋2)·＝－.设log2x＝t.∵x∈，∴t∈[－1，2]，则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，因此二次函数图象的对称轴为t＝－，∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，∴当t＝－时，y有最大值，且y max＝；当t＝2时，y有最小值，且y min＝－2.∴f(x)的值域为.跟踪训练3　解析：(1)由题意得解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).(2)因为f(x)＝log a[(1＋x)(3－x)]＝log a(－x2＋2x＋3)＝log a[－(x－1)2＋4]，若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值log a4，所以log a4＝－2，a－2＝4，又0＜a＜1，所以a＝.若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值log a4，f(x)无最小值．综上可知，a＝.[课堂十分钟]1．解析：f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示．所以必过第二、三、四象限．答案：BCD2．解析：要使函数有意义，则1－log2(x＋2)≥0得log2(x＋2)≤1，即0＜x＋2≤2，得－2＜x≤0，即函数的定义域为(－2，0].答案：C3．解析：在log a x中x>0，∴y＝x|x|log a x＝log a x(0<a<1)，故选B.答案：B4．解析：由对数函数的定义可知a2＋a－5＝1.解得a＝2或a＝－3(a＝－3舍去)，∴f(x)＝log2x，∴f(1)＝0.答案：05．解析：∵a>1，∴f(x)＝log a x在(0，＋∞)上是增函数．∴最大值为f(2a)，最小值为f(a).∴f(2a)－f(a)＝log a2a－log a a＝，即log a2＝.∴a＝4.11。

人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数

且图象都通过点 (1,1) .
2.如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,+∞) 上是增函数.
3.如果α<0,则幂函数在区间 (0,+∞) 上是减函数,且在第一象限内:当x从右
边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x
轴上方且无限地逼近x轴.
名师点睛对幂函数的性质的补充说明
9

又 y=|x| 是偶函数,故选 C.
学以致用•随堂检测全达标
1.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是(
A.(2,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.(-∞,0)
答案 B
解析设f(x)=xα(α为常数),由2α=4,得α=2,
所以f(x)=x2.故其单调递增区间为[0,+∞).
(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性.
(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为
中间值来比较大小.
变式训练2三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是(
A.0.76<log0.76<60.7 B.0.76<60.7<log0.76
C.log0.76<60.7<0.76
4.会用信息技术作幂函数的图象.
基础落实•必备知识全过关
知识点1 幂函数的定义
一般地,函数y=xα称为幂函数,其中 α 为常数.
名师点睛 1.幂函数的特征
(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以
上三个特征的函数才是幂函数,如y=
1 2
2,y=xx等都不是幂函数.

幂函数的积分

第四章幂函数的积分运算本章所指的积分运算，包括下面两种情况：1 根据变量的速度公式（对微分运算而言是微分公式，对积分运算而言是原函数）求变量的变化量（即积分值）或者变化公式（即积分公式）；2 根据变量的速度数据（即变量的速度公式是未知的，根据其速度的测定数据进行运算）求变量的变化量或者变化公式。

对于前一种情况，我们可以从微分公式逆向推导出积分公式（以下称之为逆向推导法）；对于后一种情况，我们可以先求出变量的速度公式，然后按前一种情况进行运算。

另外我们还可以根据微分运算的增量递减法导出一种割距递减法。

这种方法虽然计算工作量较大一些，但在计算机已经普及的今天来说，只要不是无穷大，就不能算是很大的问题。

下面我们就分别介绍该两种方法。

4-1 逆向推导法对于微积分运算来说，前者是指根据变量的变化量求变化速度的问题，后者是指根据变量的变化速度求变化量的问题。

这也就是说，积分运算中的原函数就是微分运算中的微分公式，积分运算中的积分公式就是微分运算中的原函数。

因此，对于积分运算来说，如果原函数的函数公式是已知的，则我们可以根据微分运算中微分公式与原函数的关系，从积分运算的原函数推导出积分公式。

因为这种推导，实际上也就是根据微分公式逆向推导出微分运算的原函数的问题。

所以，我们将其称之为逆向推导法。

该方法适合于原函数的幂通式为已知时使用，如果是未知的，应先求出其幂通式。

在上一章的介绍中，我们已经知道，在微分运算中，如果原函数)(x f =ax n ，则其微分公式（导函数）)(x f '= anx n-1。

该两式的关系式为)(x f ↔)(x f '= ax n ↔anx n-1。

根据上述关系式，微分运算中的原函数等于微分公式增加1次幂，再除以它的指数。

为与积分运算相适应，现在，我们令微分公式)(x f '= ax n ，于是我们有)(x f =11++n ax n 。

这就是微分公式)(x f '= ax n 时的原函数；也就是积分运算中，原函数)(x f =ax n 时的积分公式。