复数及复变函数
复数与复变函数
6. 乘方与开方 乘方 z r (cos i sin )
z r (cos 2 i sin 2 )
2 2
z r (cos n i sin n )
n n
开方为乘方的逆运算
n 1 n
设wn = z , 令w =r(cosy+isiny)
2kπ 2kπ z r cos( ) i sin( ) n n
ppΒιβλιοθήκη 5 i cosp
5
显然 r z 1,
p p 3p sin cos - cos , 5 2 5 10
3p p p cos sin - sin , 10 5 2 5
3p 3p 故 z cos 10 i sin 10
p
e
3 pi 10
8
9p 9p w1 2 cos i sin , 16 16
8
17p 17p w2 2 cos i sin , 16 16
8
25p 25p w3 2 cos i sin . 16 16
8
w1
w2
y
w0
这四个根是内接于中 心在原点半径为 8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
5 相等的概念 1 z乘方公式
w - 1 cos i sin - 1 因为 z w 1 cos i sin 1
2 sin - sin i cos 2 2 2 i tan , 2 2 cos cos i sin 2 2 2
x > 0,
x = 0, y ≠ 0,
argz =
y arctan π x < 0, y ≥ 0, x y arctan - π x < 0, y < 0, x π y π (其中 - arctan ) 2 x 2
复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复数与复变函数
z1 z2
z1 z2
.
z x iy z x iy
(3)
zz Re(z)2 Im( z)2
x2
y2 0 1 z
z zz
z z2 .
(4) z z 2 Re(z) 2x, z z 2i Im( z) 2iy,
例：求F
s
s2
s
2 2s
的原函数 2
解：s2 2s 2 s 1 j s 1 j
s1 1 j，s2 1 j
F s k1 k2
s 1 j s 1 j
注：s x jy 写成指数表示法：s k e j， k 为幅值，为幅角，取值区间(-， ]
26ei
6
6
64ei
64.
[例] u
X
[定义] 若对z, 存在，使得n z(n N), 称是z的n次
3 页
[定义] i称虚数单位，i2 1. [定义] z x iy 称复数，x, y R. x, y 分别称 z 的实部
和虚部，记为Re(z), Im( z). ( Real, Imaginary )
[定义] x 0, y 0时的z iy称纯虚数.
[复数表示法的唯一性] x iy a ib x a且y b.
r1ei1 r2ei2 r1 r2 且 1 2 2k .
两个复数不能比较大小.
X
2.复数的代数运算
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2, z x iy
[加减法] z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2).
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
第1章复数与复变函数汇总
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。
第1章复数与复变函数资料
arc
tan
y x
,
arg
z
arc tan
y x
,
arc
tan
y x
,
,
arc
tan
y x
,
当x在第一象限 当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限
2
arg
z
2
0,
,
当z在正y轴上
当z在负y轴上 当z在正x轴上 当z在负x轴上
4.复球面
扩充复平面的 一个几何模型就是 复球面。
对满足α＜t1＜β, α≤t2≤β, t1≠ t2的t1及t2,当 z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡 无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan
目录
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
§2 复数几何表示 §3 复数的乘幂与方根 §4 区 域 §5 复变函数 §6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 复数 形如
z=x+iy 或 z=x+yi
的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i·0=x
点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边 界(如图1.4.1)
注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤
立的点所组成的(如图1.4.2)
定义1.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为
开集
定义1.4.4 点集G称为一个区域，如果 它满足：
(1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1 和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起 来(图1.4.1)
(6) z z 2 Re z, z-z 2i Im z.
《复变函数》第一章 复数与复变函数
(1.14)
若 z 为指数形式， z rei ， w f (z) 则又可表为 w p(r,) i(r,) (1.15)
其中 p(r, ) ，Q(r, ) 均为 r 、 的二元实函数． 由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面 z 上的
z 1
均为多值函数．
今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．
设 w f (z) 是定义在点集 E 上的函数，若令 z x iy ，w u iv
则 u 、 v 均随着 x 、 y 而确定，即 u 、v 均为 x 、y 的
二元实函数，因此我们常把 w f (z) 写成
f (z) u(x, y) iv(x, y)
z2
Argz1 Argz1
Argz2 Argz2
(1.11)
公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数 z1 ， z2 的乘积（或商），其模等
于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或
差）．
特别当 z2 1 时可得 z1z2 rei(12 )
cos3 cos3 3cos sin2 4cos3 3cos
sin 3 3cos2 sin sin3 3sin 4sin3
4.曲线的复数方程
例1.2 连接 z1 及 z2 两点的线段的参数方程为 z z1 t(z2 z1) (0 t 1)
区域．
例如，例1.5—1.8所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连 通区域．
作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9
§3 复变函数
1．复变函数概念
复数和复变函数
Chapter 1 复数和复变函数一、复数的基本概念 (Basic concepts of complex number)形如b a i +(R b a ∈,，i =的数称为复数。
（两元素两算子与四元素四算子）1．复数（Complex number ）的三种形式：1) ()ϕρϕϕρi sin i cos i e y x z =+=+=，（,,R y x ∈R ∈ϕρ,）代数式： i y x z +=;（缺点：无法表示多值函数的高相位）三角式：()ϕϕρsin i cos +=z ;（极坐标系下的表示）指数式：ϕρi e z =， 其中 ()∑∞==0!1n n i i n e ϕϕ.ϕϕϕsin i cos +=i e 称为欧拉公式。
2) 一些术语（terminology ）和符号(notation):x z =Re , 实部（Real part ）, y z =Im ，虚部（Imaginary part ）.22mod y x z z +===ρ，模（Modulus ）, ϕ称为幅角（Argument ），记作z Arg . 而将满足πϕ200≤≤或πϕπ≤≤-0的ϕ值称为幅角的主值或主幅角，记为z arg ，因此有πn z z 2arg Arg += () 2,1,0±±=n .当取ππ≤≤-z arg 时，有关系3) ()ϕρϕϕρi *sin i cos i )or (-=-=-=e y x z z ，)or (*z z 称为z 的复共轭或共轭复数(Complex conjugate of z )，当然，z 也是)or (*z z 的复共轭。
arctan 0 0,02arg 0,02arctan 0,0arctan y x x x y z x y y x y x y x ππππ>=>=-=<+<≥-+ 0,0x y ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪<<⎪⎩注意：* 复数无大小。
复数与复变函数
复数与复变函数复数和复变函数是数学中重要的概念，它们在许多学科领域都有广泛的应用。
本文将从复数的定义入手，介绍复数的运算法则以及复变函数的概念和性质。
一、复数的定义和运算法则复数是由一个实数和一个虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
下面分别介绍这些运算法则。
加法：两个复数相加的结果是实部相加，虚部相加。
例如，(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i。
减法：两个复数相减的结果是实部相减，虚部相减。
例如，(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i。
乘法：两个复数相乘的结果是实部的乘积减去虚部的乘积，并加上实部和虚部的乘积。
例如，(a+bi)×(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
除法：两个复数相除的结果是将被除数乘以除数的共轭，再除以除数的模的平方。
例如，(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
二、复变函数的概念和性质复变函数是指定义在复数域上的函数，即其自变量和函数值都是复数。
复变函数有许多特殊性质，下面介绍其中的几个重要性质。
1. 解析性：复变函数在其定义域上处处可导，并满足柯西-黎曼方程。
2. 互补性：如果复变函数的实部和虚部是某个函数的共轭，那么该函数是解析函数。
3. 幂级数展开：复变函数可以用幂级数展开表示，这为研究复变函数提供了便利。
4. 含有极点：复变函数的定义域上可能存在极点，即函数在某些点上无穷大。
5. 解析延拓：如果复变函数在某个定义域上是解析的，那么可以通过解析延拓将其定义域扩展到更广的范围。
三、复数与复变函数的应用复数和复变函数在许多科学和工程领域都有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用领域。
1. 电工电子学：复数可以用来描述交流电的电压和电流，复变函数可以用来分析电路的性能和响应。
复数与复变函数
第一章、复数与复变函数1.1知识提要1.复数的概念形如iy x z +=的数称为复数，其中y x ,为任意实数，)1(2-=i i 称为虚单位，y x ,又称为z 的实部与虚部，记为).Im(),Re(z y z x ==iy x z +=与直角坐标系平面上的点),(y x 成一一对应，平面称复平面.22y x z +=表示复数z 的向量的长度，称复数的模.)/tan(x y Arc Argz ==θ称为z 的辐角，表示z 的向量与x 轴正向间的交角的弧度数.其中满足πθπ≤<-的0θ称为辐角z 的主值，记作.0a rcz =θ2.复数的各种表示法（1）复数iy x z +=可用复平面上点),(y x 表示。
（2）复数iy x z +=可用从原点指向点),(y x 的平面向量表示.（3）复数的三角表达式为)sin (cos θθi r z +=，其中θ,z r =为0≠z 时任一辐角值.（4）复数的指数表达式为θi re z =。
（5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面.3.复数的代数运算（21,z z 不为零）（1）21z z =当且仅当两复数实部与虚部分别相等。
（2）,0=z 当且仅当z 的实部与虚部同时为0.（3）,111iy x z +=,222iy x z +=则).()(212121y y i x x z z ±+±=± （4）).()(2112212121y x y x i y y x x z z ++-=即,2121z z z z ⋅=2121Arcz Arcz z z Arg +=（5）)./()()/()(/222221122222212121y x y x y x i y x y y x x z z +-+++= 即,//2121z z z z =.)/(2121Arcz Arcz z z Arg -=（6）).sin (cos θθn i n r z n n +=（7）[].1,,1,0,/)2sin(/)2cos(/1-=+++=n k n k i n k r z n n πθπθ在几何上，n z 的n 个值恰为以原点为中心，n r/1为半径的圆内接正n 边形的n 个顶点. 4.曲线与区域（1）设),()()(t iy t x t z +=，其中)(t x ，))((b t a t y ≤≤为实变量t 的单值连续函数，则)(t z z =)(b t a ≤≤表示复平面上的一条连续曲线.一条没有重点的连续曲线称简单曲线或约当曲线.如果简单曲线的起点与终点重合，称简单闭曲线.如果在b t a ≤≤上，)(t x ')(t y '连续，且对每一t 值，有[][],0)()(22≠'+'t y t x 称曲线)(t z 是光滑的.任意一条简单闭曲线分复平面为三个部分.曲线C 为边界，有界区域为C 的内部，无界区域为C 的外部.（2）复平面上的非空连通开集称为区域.区域连同其边界称闭区域.若在复平面上区域D 内任作一条简单闭曲线，其内部总属于D ，称D 为单连通域.若D 不是单连通域，则D 为多连通域.5.复变函数设G 为一个复数集，若有一个确定法则存在，使对于任一G z ∈，有一个或几个复数iv u +=ϖ与之对应，则称复变数ω是复变数z 的函数，记作).(z f =ϖ复变函数在几何上表示z 平面上一个点集G （定义集合）到ω平面上一个集合*G （函数值集合）的映射（或变换）.ω称为z 的像（映像），z 称为ω的原像. 6.复变函数的极限 设)(z f =ϖ在点0z 的某去心邻域ρ<-<00z z 内有定义，A 为一确定常数.若对任给的,0>ε存在相应0>δ，使对满足δ<-<00z z 的z ，恒有ε<-A z f )(，则称A 为)(z f 当z 趋向0z 时的极限，记作.)(lim 0A z f z z =→ 由于0z z →的方式的任意性更强，因此复变函数的极限定义比一元实函数极限定义要求苛刻得多.复变函数极限的运算法则与实函数极限运算法则相同.7.复变函数的连续性如果)()(lim 00z f z f z z =→，称)(z f 在0z 连续.若)(z f 在区域D 内每一点都连续，称)(z f 在D 内连续.iv u z f +=)(在点000iy x z +=连续的充要条件为u 和v 在点),(00y x 连续.复变函数连续性的运算法则与实函数连续性运算法则相同.学习与考试要求（1） 熟练掌握复数的各种表求方法以及四则、乘幂和共轭运算.（2） 了解区域的概念.单连域、多连域的区分.（3） 了解曲线、光滑曲线、简单闭曲线的定义，能用复数的方程或不等式表示一些常见的区域和曲线.（4） 掌握复变函数的概念，理解映射的意义，理解复变函数与两个实二元函数之间的关系.（5） 了解复变函数的极限与连续性概念，知道它们与实一元函数极限与连续性的异同. 重点与难点重点是复数表示法之间的转换、区域的确定、复变函数的概念.难点是复球面概念，复变函数理解为复平面上两个集合间的映射，以及复变函数的极限与连续性。
第一章 复数和复变函数
ei1 ei2 (cos1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) cos(1 2 ) i sin(1 2 ) ei (1 2 ) ,
可得
z1z 2 r1r2ei (1 2 ) .
于是有如下等式
（1.13）
| z1 z2 || z1 || z2 |, Arg ( z1z 2 ) Arg ( z1 ) Arg ( z 2 ).
（1.14）
式(1.14)表明： 两个复数乘积的模等于它们模的乘积， 两个复数乘积的辐角等于它们辐角的 和。值得注意的是，由于辐角的多值性，式(1.14)的第二式应理解为对于左端 Arg ( z1 z2 ) 的
上海交通大学数学系 王健
任一值， 必有由右端 Argz1 与 Argz2 的各一值相加得出的 和与之对应；反之亦然。以后，凡遇到多值等式时，都 按此约定理解。 由式(1.14)可得复数乘法的几何意义，即： z1 z2 所 对应的向量是把 z1 所对应的向量伸缩 r2 | z2 | 倍， 然后再 旋转一个角度 2 argz 2 所得(见图 1.2)。
a 2 b 2 ( a b)( a b), a3 b3 ( a b)(a 2 ab b 2 ),
等等仍然成立。实数域和复数域都是代数学中所研究的“域”的实例。 由于一个复数与平面上的一个向量所对应， 因此， 复数的加法运算与平面上向量加法运 算一致,从而以下两个不等式成立。
z2 x2 iy2 相等，是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等， 即 x1 iy1 x2 iy2
当且仅当 x1 x2 , y1 y2 。 1.1.2 复数的表示 1.1.2.1 代数表示 由式(1.1)所给出的即为复数的代数表示。 1.1.2.2 几何表示 由复数的定义可知，复数 z x iy 与有序数对 ( x, y ) 建立了一一对应关系。在平面上建立直角坐标 系 xOy ，用 xOy 平面上的点 P ( x , y ) 表示复数 z ，这 样复数与平面上的点一一对应，称这样的平面为复平 面。若用向量 OP 表示复数 z ，如图 1.1 所示。该向
复数与复变函数的性质与变换
复数与复变函数的性质与变换介绍：复数与复变函数是数学中的重要概念，在多个领域中有广泛的应用。
本文将探讨复数的基本性质，复变函数的定义和性质，以及复变函数在平面变换中的应用。
一、复数的基本性质1. 定义：复数由实部和虚部组成，通常表示为z=a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数运算：复数加法、减法、乘法和除法的计算规则与实数运算类似，但要注意虚部的处理。
3. 共轭复数：对于复数z=a+bi，其共轭复数表示为z*=a-bi，即实部相同而虚部正负相反。
二、复变函数的定义和性质1. 复变函数的定义：复变函数是将复数集合映射到复数集合的函数。
常见的复变函数包括多项式函数、指数函数、三角函数等。
2. 复变函数的解析性：复变函数满足柯西-黎曼方程，即必须满足柯西-黎曼条件才能解析。
柯西-黎曼条件要求函数的实部和虚部满足偏导数的连续性。
3. 复变函数的调和性：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实部和虚部，若满足拉普拉斯方程∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0，则函数具有调和性。
4. 积分和保守场：复变函数的积分与实变函数类似，但存在一些特殊性质。
若复变函数f(z)在闭合曲线上的积分为零，则说明该函数是保守场。
三、复变函数的变换与应用1. 平移变换：将复变函数f(z)平移至f(z-a)的形式，其中a为实常数。
平移变换可用于调整函数在平面上的位置。
2. 缩放变换：将复变函数f(z)缩放至kf(z)的形式，其中k为实常数。
缩放变换可用于调整函数的尺度。
3. 旋转变换：将复变函数f(z)旋转θ角度至e^(iθ)f(z)的形式，其中θ为实常数。
旋转变换可用于调整函数的方向。
4. 映射：由复变函数所生成的函数族可以描述多种平面映射，如圆形映射、逆映射等。
这些映射在物理学、工程学和计算机图像处理中有重要应用。
总结：复数与复变函数是数学中重要的概念，具有多样的性质和应用。
复数与复变函数(修定)
05
复变函数的积分公式与全 纯函数
柯西积分公式与解析函数的性质
柯西积分公式
对于复平面上的封闭曲线C，如果f(z)在C的 内部是解析的，那么f(z)在C上的积分可以 用f(z)在C上的四个点处的函数值来表示。
解析函数的性质
如果f(z)是解析函数，那么它在复平面上处 处可导，且满足Cauchy-Riemann方程。
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电气工程
在电气工程中，交流电的电压、电流 等参数通常用复数表示，方便进行计 算和分析。
在数学其他分支中的应用
01
代数
复数可以作为代数方程的根进行 求解，扩展了代数方程的解的范 围。
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03
几何
分析学
复数域可以视为二维平面上的点 集，为几何学的研究提供了新的 视角和方法。
复变函数是分析学的一个重要分 支，为实数域上的函数分析提供 了更广泛的应用和理论基础。
复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是 虚数单位，满足 i^2 = -1。
几何定义
复数可以视为平面上的点或向量，实部是 x 坐标，虚部是 y 坐标。
复数的几何表示
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平面坐标系
每个复数 z = a + bi 可以表示为平面上的一个点 (a, b)。
极坐标系
每个复数 z = r(cosθ + i sinθ) 可以表示为从原 点出发的一个向量，其模长为 r，幅角为 θ。
THANKS
感础 • 复变函数概念 • 复变函数的导数与积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 复变函数的积分公式与全纯函数 • 复变函数的应用
01
复数基础
复数的定义
形式定义
复数与复变函数
复数与复变函数
复数和复变函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍复数的基本概念、复变函数的定义以及它们在数学中的应用。
复数的基本概念
复数是由实数部分和虚数部分组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i² = -1。
复数的加法、减法、乘法和除法运算遵循一定的规则，例如：- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
复变函数的定义
复变函数是一种将复数映射到复数的函数，可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)的形式，其中u和v是实值函数，x和y分别是复数z的实部和虚部。
复变函数具有连续性、可导性和解析性等性质，例如：
- 如果一个复变函数在某一点连续，则它在该点的邻域内也连续；
- 如果一个复变函数在某一点可导，则它在该点附近也一定可导；
- 如果一个复变函数在某一点解析，则它在该点附近也一定解析。
复数和复变函数的应用
复数和复变函数在许多领域都有广泛的应用，例如：
- 在物理学中，复数被用来描述波动现象、电磁场等物理量；
- 在工程学中，复数被用来分析电路、信号处理等问题；
- 在计算机科学中，复数被用来设计算法、加密通信等技术；
- 在数学中，复变函数被用来研究微分方程、积分方程等问题。
总之，复数和复变函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
通过学习和掌握这些概念，我们可以更好地理解和应用数学知识来解决实际问题。
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1、复数及其代数运算 2、复数的表示方法 3、复数的乘幂与方根 4、区域 5、复变函数 6、复变函数的极限与连续性
1
复变函数与积分变换及应用背景
M.Kline
Morris Kline (1908-1992) , 纽约大学Courant数学 研究所的教授. 他的著作包括《数学: 确定性的丧 失》等.
应用复变
函数理论证明了
代数基本定理 .
复系数n次代数方程
z n a1 z n1
an1 z an 0
在复数域必有n个根.
• 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函
•
J. Hadamard
Jacques Hadamard
数的积分. (1865.12.8-1963.10.17) 法国数学家. 他在1896年应
Fourier分析在物理、数学和工程技术上都有广 泛的应用.
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之
间的关系进行分析. 随着计算机的发展，语音、图 象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.
(10)
Pierre Simon de Laplace (1749.3.23-1827.3.5)
(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,
从而研究机翼的造型问题.
(5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.
(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算.
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
§1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数
1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi
为复数.其 中i2 1, i称 为 虚.单 位 •复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y .
(real part) (imaginary part)
• 判断复数相等 z 1 z 2 x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,其 z 1 x 中 1 i1 y ,z 2 x 2 i2 y z 0 R z ) e I(m z ) 0(
一般, 任意两个复数不能比较大小.
2. 代数运算
•四则运算定义 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
用复变函数理论证明了当 x=1时, Riemann 函数 ( z ) 0, 从而证 明了素数定理. 他曾于1936年来华在清华大学讲学. Riemann 函数
1
(z)
zn n 1
（阿达马）说:
பைடு நூலகம்
实域中两个
真理之间的最短路程是通过复域.
(3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动 等问题的研究.
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
3.共轭运算
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992)
(《古今数学思想》(Mathematical Thought
from Ancient to Modern Times)的作者, 美国
数学史家) 指出: 从技术观点来看,十九世纪最
独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学
分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展
(9)
Joseph Fourier
变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1830.5.16)
法国数学家和物理学家.他致力于 研究固体的热传导问题, 1822年出版名著《热的分 析理论》, 形成了一种在数学物理问题中有普遍意 义的方法, 它开辟了Fourier分析这样一个近代数学 的重要分支.
工程计算设计的软件
MATLAB基础
MATLAB 是一个为科学和工程计算而专门 设计的高级交互式软件包, 是一种高性能的编程 软件, 具有通用科技计算、图形交互系统和程序 设计语言, 并且语法规则 简单, 容易掌握和调试方 便. 在Windows系统中, 点击MATLAB图标启动 程序, 进入MATLAB界面.
统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直
被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象
科学中最和谐的理论之一.
(1) 代数方程 x210在实数范围内无解.
为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数
的概念, 从而建立了复变函数理论.
Gauss 青年时代 老年时代
Carl Friedrich Gauss (1777.4.30-1855.2.23) 伟大的德国数学家、天文学家 和物理学家. 幼时家境贫困, 但聪敏 异常, 曾被誉为数学神童. 1795～1798年在哥廷根大学学 习, 1796年发现正十七边形的尺规 作图法, 解决了Euclid以来悬而未决
法国数学家和天文学家. 曾经 短期担任过Napoleon的内政部长. 凡是有助于解释世界的任何事情, 他都感兴趣. 最著名的著作有《天体力学》(1799-1825, 5卷本)和 《概率的分析理论》(1812). 提出了太阳系生成的星云假说. 以他的名字命 名的Laplace变换和Laplace方程有广泛的应用. 我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的.
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) zz z1 2x 1x |2 z 2|2 y 1y 2 ix 2y |1 z 2|x 21y 2 (z2 0 )
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即：
变换应用于控制问题.
在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace
变换与输出量的Laplace变换之比.
(11) Z变换应用于离散控制系统.
(12) 小波分析的应用领域十分广泛, 如信号分析和 图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、
地质勘探与地震预报等等.
(13) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和