2.4.1空间直角坐标系

2.4
空间直角坐标系
学习目标:
1.知识目标：
①使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景； ②使学生理解掌握空间中点的坐标表示．
2.能力目标：
建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示
3.情感目标：
通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申 出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列 结合的思想.
2
4
3
x
5
空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴 和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．
设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x，y和z， 那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）．
z
R M
P
O
M’
Q
y
x
反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以在x 轴、 y 轴和z 轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q和R，分别过P、 Q和R各作一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，这三个 平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M．
第七卦限 第八卦限
典例剖析
考点一
建立空间直角坐标系及求空间点的坐标
例1.已知四面体P－ABC中，PA、PB、 PC两两垂直，PA＝PB＝2，PC＝1，E为 AB的中点，试建立空间直角坐标系并写出 点P、A、B、C、E的坐标．
分析：PA、PB、PC两两垂直，可作坐标轴建系．
【解】 以P为原点，PA、PB、PC分别为x轴、y轴、z 轴建立如右图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,0)， A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,1)，E(1,1,0)．
过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，
使CM＝AM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且
C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使NB＝AN，
则A与B关于x轴对称，且B(1，－2,1)．
∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点
C(1,2,1)；
A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．
( ,0, ) 角线交点的坐标为_________． 2 2 1 1
4．有下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的 坐标一定可记为(0，b，c)； ②在空间直角坐标系中，在y轴上的点的 坐标一定可记为(0，b,0)； ③在空间直角坐标系中，在xOy平面上的 点的坐标一定可记为(a,0，c)； ④在空间直角坐标系中，在yOz平面上的 点的坐标一定可记为(0，b，c)． 2 其中正确叙述的个数是________．
右 手 直 角 坐 标 系
x
1 1
z
竖轴
纵轴
o
1
y
通过每两个坐标轴的平面
叫做坐标平面，分别称为
横轴
xOy 平面、yOz平面、zOx平面．
右手直角坐标系：
以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π /2角 度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向， 这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系， 点O叫做坐标原点。（如下图所示）
z
(0，0，1) D ' (1，0，1)A
' '
C
'
(0，1，1)
.P
x
B (1，1，1)
O(0，0，0) C (0，1，0) y
A(1，0，0) B (1，1，0)
卦限的概念
yoz 面
z
zox 面
第一卦限
第二卦限
xoy 面
x
o
y
第五卦限
空间直角坐标系共有三个坐标面
空间直角坐标系中共有八个卦限
三个坐标平面将空间分为八个部分，称其每个部分为卦限，
变式训练1
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、 H分别是AB、BB1、 B1C1、A1C1的中点，且正方 体的棱长为2.建立适当的坐标系写出点E、F、G、 H的坐标．
解：以D为坐标原点，以DA、DC、 DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系，如图所示，则A(2,0,0)， B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，A1(2,0,2)，
复习提问 1.数轴上的点
B
A
O 1
-2
-1
2
3
x
数轴上的点可以用 唯一的一个实数表 示
2.平面坐标系中的点
y y
P (x,y)
平面中的点可以 用有序实数对(x ，y)来表示点
O
x
x
情境引入
1.如何确定空中飞行的飞机的位置？
2.教室里某位同学的头所在的位置
z
y O
x
课堂探究
空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz.并取 定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其中O 点 称为坐标原点，数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两个坐标 轴所在的平面xOy、yOz、zOx叫做坐标平面.
它们分别是：
Ⅲ
第一卦限 第二卦限 第三卦限
z
zox
x>0,y>0,z>0， x<0,y>0,z>0， Ⅳ
xoy
yoz
面
o
面
y
Ⅶ 第四卦限 x>0,y<0,z>0， Ⅷ
第五卦限 第六卦限
x<0,y<0,z>0，
面
x
Ⅱ Ⅰ
Ⅵ
Ⅴ
x<0,y<0,z<0， x>0,y<0,z<0.
x>0,y>0,z<0， x<0,y>0,z<0，右手直角坐标系空间直角坐 Nhomakorabea系的画法:
z
从空间某一个定点０引三 条互相垂直且有相同单位长 度的数轴，这样就建立了空 间直角坐标系０－xyz． 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350,
1350
5 4 3 2 1o
1 2
y
1350
1 2 3 4 5
而z轴垂直于y轴,
2.射线的方向叫做正向,其相 反方向则叫做负向. 3.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单 1 位长度为y轴（或z轴）的单位长度的
∴BC＝ (1－1)2＋(－2－2)2＋(1－1)2 ＝4.
变式训练2
例2条件不变，求点A关于坐标平面yOz的对称点； 若点P(3,1,2)，求点A关于点P的对称点的坐标．
解：点A关于坐标平面yOz的对称点坐标为
(－1,2，－1)； 点A关于点P的对称点的坐标为(5,0,5)．
课堂训练
(-2,3,-1) 1．点M(2，－3,1)关于坐标原点的对称点是_____________. 2．在空间直角坐标系中，若点B是点A(1,2,3)在坐标平面 13 yOz内的射影，则OB的长度为______． 3.以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所 在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B对
z
R
M
P
O
M’
Q
y
x
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来 表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M 在此空间直角坐标 系中的坐标，记作M（x，y，z）．其中x叫做点M的横坐 标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
z
R M
P
O
M’
Q
y
x
空间中点的坐标
空间的点 有序数组 ( x , y , z )
所以，由中点坐标公式可得
E(2,1,0)，F(2,2,1)，G(1,2,2)，H(1,1,2)．
考点二
空间的对称点问题
例2.求点A(1,2，－1)关于x轴及坐标平面xOy的 对称点B、C的坐标，以及B、C两点间的距离．
分析：先通过点A向平面xOy及x轴作垂线， 然后再写坐标，由坐标求距离．
【解】
1 1
z
R
M ( x, y, z )
o
x
P
Q
y
坐标轴上和坐标面上的点的特征：
1.坐标轴上的点
D'
z C'
A' O Cy x A B B'
0 x轴上的点纵坐标竖坐标为_____.
y轴上的点横坐标竖坐标为 0 .
z轴上的点横坐标纵坐标为 0 __.
2.坐标平面内的点
xOy平面是坐标形如 (x,y,0) 的点构成的
yOz平面是坐标形如 (0,y,z) 的点构成的 xOz平面是坐标形如 (x,0,z) 的点构成的
OABC—D′A′B′C′是单位正方体．以O为原点，分别以射线 OA,OC, OD′作为正方向，以线段OA,OC, OD′的长为单位长， 建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点的坐 标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
课堂小结
１．空间直角坐标系的概念． ２．空间直角坐标系的画法． ３．运用空间直角坐标系表示空间点的 坐标．
4.空间直角坐标系中对称点的坐标表示