高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题难题测试综合卷学能测试试题

高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题难题测试综合卷学能测试试题

一、平面向量多选题

1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，

AB =BC =1，0PA PB PC PA

PB

PC

+

+

=，以下正确的是

（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC

【答案】ABCD 【分析】

根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】

在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵

0PA PB PC PA

PB

PC

+

+

=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，

∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠

APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，

在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，

∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪

∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CD

PCA P CD ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪'∠=∠⎩

，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即

1

2

BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP AC

CP BC

==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.

【点睛】

关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.

2．已知向量(2

2cos ,3m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数

()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）

A ．()f x 的最大值为3

B ．()f x 的周期为π

C ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称 D ．()f x 在,03π⎛-

⎫

⎪⎝⎭

上是增函数 【答案】ABD 【分析】

运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】

解：()2

2cos 3sin 2cos23sin 21f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫

=+

+ ⎪⎝

⎭

， 当6

x k π

π=

+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；

()f x 的周期22

T π

π=

=,选项B 描述准确； 当512x π=

时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫

⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确； 当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭

时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫

⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描

述准确.

故选：ABD. 【点睛】

本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.

3．已知a ，b 是平面上夹角为

23

π

的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）

A ．||1a b

+= B ．||3a b -=

C ．||3

D ．a b +，c 的夹角是钝角

【答案】ABC 【分析】

在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23

AOB π

∠=

，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：(

)

2

222+2||+cos

13

a b a b

a b a b π

+=

+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23

AOB π

∠=

，则2

222+c 3

2os

3AB O OA O A O B B π

-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，

c OC =的最大值为13

+

32

2

22

+A b B O MC a M +=

=

+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．

【点睛】

思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出

OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．