八年级数学上册7 二次根式
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿一. 教材分析北师大版八年级数学上册第2.7节《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上，进一步深入研究根式的一种拓展。
本节内容主要介绍了二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生对根式的理解和运用能力。
教材通过例题和练习题的形式，使学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对于根式的概念和性质有一定的了解。
但二次根式作为一种特殊的根式，其定义和性质与一次根式有所不同，需要学生进行进一步的学习和理解。
此外，学生需要掌握二次根式的运算规则，并能够灵活运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算规则，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣和热爱，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的定义、性质和运算规则。
2.教学难点：二次根式的运算规则的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探索、讨论和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件、板书、练习题等教学手段，帮助学生理解和掌握二次根式的相关知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次根式的相关知识，引导学生思考二次根式的定义和性质。
2.讲解：讲解二次根式的定义、性质和运算规则，通过例题和练习题的形式，使学生能够理解和掌握相关知识。
3.小组合作：学生分组讨论，通过解决实际问题，运用二次根式的相关知识，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
4.总结：对本节内容进行总结，强调二次根式的定义、性质和运算规则的重要性和运用。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容，本章主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算方法。
通过本章的学习，学生能理解二次根式的实际意义，掌握二次根式的基本性质和运算规律，为后续学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了实数和分数，对数的运算有一定的基础。
但是，对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生对于抽象的数学概念，有时难以理解其内涵，需要教师通过具体例子和生活中的实际问题来进行引导。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。
2.掌握二次根式的运算方法。
3.能运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、问题驱动法、小组讨论法等，结合多媒体教学，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.相关的生活实例和练习题。
3.多媒体教学设备。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。
”让学生思考如何用数学方法来解决这个问题。
2. 呈现（10分钟）教师通过讲解和展示课件，介绍二次根式的概念和性质，如“二次根式是一个形如√a的数学表达式，其中a是一个非负实数。
”并通过实例来引导学生理解二次根式的实际意义。
3. 操练（10分钟）教师给出一些二次根式的运算题目，如“计算√8 + √2”，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4. 巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生运用二次根式的运算方法，如“计算（√2 + √3）^2”，并引导学生理解二次根式的运算规律。
5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式在实际问题中的应用，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。
北师大版八年级数学上册2.7《二次根式》教案
举例：讲解(√2 + √3)(√2 - √3)的运算过程，强调平方差公式的运用。
2.教学难点
（1）二次根式的性质理解：特别是乘除法则和加减法则，学生容易混淆，需要通过实例反复讲解和练习。
举例：解释为何√a * √b = √(ab)，以及合并同类项时如何识别同类二次根式。
在讲授二次根式的应用时，我发现学生对于如何将实际问题转化为数学模型的这个过程比较生疏。以后，我打算引入更多贴近生活的案例，让学生感受到数学知识在实际中的应用，从而提高他们解决问题的能力。
此外，小组讨论的环节也让我有所启发。学生在交流中能够互相启发，碰撞出思维的火花。但我也注意到，有些学生在讨论中较为被动，今后我需要更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，表达自己的观点。
3.数学抽象：理解二次根式的概念及其性质，发展学生的数学抽象思维，提高对数学符号和表达式的理解和运用能力。
4.数学运算：掌握二次根式的化简与运算方法，培养学生的数学运算能力，使其准确快速地进行数学计算。
5.数据分析：在解决实际问题时，能运用二次根式进行数据分析，培养学生的数据敏感性和分析能力，为科学决策提供依据。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的概念、性质、化简方法和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。它是解决非完全平方数开平方运算的重要工具，广泛应用于数学和实际生活中。
北师大版八年级数学上册第二章 二次根式的计算
18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝ ＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？
北师大版八年级数学上册课件：2.7 二次根式 (共42张PPT)
aa
(ab≥0，b≥b0)
知识解读
（1）在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方
数a，b均为非负数的条件；
（2）a必须是非负数，b必须是正数，式子 才成立.若a，
b都是负a数，则 ＞0，虽然 有意义，但
在a实数
范围内b无意义 a b
b a, b
例4 计算： 48 .
3
解： 48 48 16 4.
题型三 二次根式的加减运算在实际生活中的应用
例11“教师节”要到了，为了表示对老师的敬意，李 明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一 张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用 金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金 彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够， 还需买多长的金彩带？（ 2 ≈1.414，结果保留整数）
思路导图
计算出所需金彩 带的长度
将求出的长度与 1.2 m进行比较
根据比较 结果得出 结论
解：正方形壁画的边长分别为 800 cm， 450cm.
镶壁画边所用的金彩带长为 4 ( 800 450 )
4 (20 2 15 2) 140 2 197.96 (cm).
因为1.2 m=120 cm＜197.96 cm，
a a (a≥0，bb≥0) b
ab a b
知识解读
（1）
(a≥0，b≥0)中的a，b既可以是数，也可以是代数式，
但必a须b满cd足a≥0，ab≥·0.公b式·可c推·广到d多个非负因式的情况，如
(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)；
（2） a （a≥a0，b＞0）中的a，b既可以是数，也可以是代数式， 但a，b必须b 满足a≥b0，
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.教材：确保每位学生都提前准备好北师大版《数学》八年级上册教材，翻到第二章实数7二次根式相关内容，以便课堂上随时翻阅和标注。
2.辅助材料：
-准备与二次根式混合运算相关的教学图片，如含有二次根式的实际应用题目图片，以直观展示数学在生活中的运用。
-制作动态图表，展示二次根式乘除运算的过程，帮助学生理解运算规则。
-设计课堂小测验，测试学生对二次根式混合运算规则的理解程度和运算能力，根据测试结果调整教学策略，针对性地进行辅导。
-利用课堂反馈表，让学生自我评价学习效果，反思学习过程，促进学生的自我管理和自我提升。
2.作业评价：
-对学生的课后作业进行认真批改，点评作业中的亮点和不足，及时反馈学生的学习效果，帮助学生明确自己的学习进步和需要改进的地方。
简要回顾本节课学习的二次根式混合运算内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握二次根式混合运算的规则，包括二次根式的乘除法运算，以及与整数、分数的混合运算。
-学生通过对比、归纳等学习方法，加深了对二次根式混合运算规则的理解，提高了逻辑思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观：
-学生在学习过程中，逐渐消除了对二次根式混合运算的恐惧和畏难情绪，增强了自信心和耐心。
-学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养了学以致用的意识，增强了学习数学的兴趣和动力。
-学生通过拓展知识的学习，拓宽了知识视野，激发了探索学科前沿的兴趣，培养了创新精神和探索意识。
核心素养数学学习后，已具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们在知识层面，对二次根式的概念和基本性质有初步了解，但混合运算的掌握程度参差不齐。在能力方面，学生的运算能力和问题解决能力有待提高，特别是将二次根式与整数、分数结合进行混合运算时，需要加强练习以提升熟练度和准确性。
北师版八年级数学上册第二章 实数7 二次根式
二次根式
乘、除法
运算
最后结果
加、减法
C. 2 2
D. 2
感悟新知
知识点 4 二次根式的乘除法
语言叙述
知4－讲
符号表示
a · b= ab ( a ≥
乘法 两个二次根式相乘，把被开
法则 方数相乘，根指数不变
0，b ≥ 0)
a
a
除法 两个二次根式相除，把被开
= (a≥0，
b
b
法则 方数相除，根指数不变
b ＞ 0)
感悟新知
知4－讲
法则
推广
9
9
9 3
122×(32＋中，正确的是(
A. ( － 6) 2= － 6
B.
4
9
3
=2
16
4
C. 21 ÷ 7 =3
D. 25a4 =5a2
D )
感悟新知
知识点 3 最简二次根式
概念
满足的条件
知3－讲
化简二次根式的一般方法
(1)如果被开方数是分数
(包括小数和分式)，先利
A. － 1
B.0
C.2
D.6
知1－练
例2
9
若y＝ x－3＋ 3－x＋2， 则xy＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a ≥ 0，
a ≥ 0”进行解答.
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ x－3＋ 3－x ＋2，所以y＝2，
行运算 . 例如： m a ·n b =mn ab
感悟新知
知4－讲
特别提醒
八年级数学上册《第二章7 二次根式》讲解与例题
《第二章7 二次根式》讲解与例题1．二次根式的概念 一样地，咱们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数．【例1－1】 以下式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？2，33，1x，x 2＋1，0，42，－2，1x ＋y，x ＋y .解：二次根式有：2，x 2＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x ，42，1x ＋y，x ＋y .析规律 二次根式的条件二次根式应知足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0.【例1－2】 当x 是多少时，3x －1在实数范围内成心义？分析：由二次根式的概念可知，被开方数必然要大于或等于0，因此3x －1≥0时，3x －1才成心义．解：由3x －1≥0，得x ≥13.因此当x ≥13时，3x －1在实数范围内成心义．点技术 二次根式成心义的条件二次根式成心义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数必然要大于或等于0. 2．积的算术平方根 用“＞，＜或＝”填空． 4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36.依照上面的计算咱们可得出：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积． 【例2】 化简： (1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54.分析：利用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)直接化简即可．解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36.(3)81×100＝81×100＝9×10＝90.(4)54＝9×6＝32×6＝3 6.点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．3．商的算术平方根填空：(1)916＝__________，916＝__________；(2)1636＝__________，1636＝__________；(3)416＝__________，416＝__________；(4)3681＝__________，3681＝__________.规律：916______916；1636______1636；416______416；3681______3681.通过计算容易患出上面的式子都是相等的．因此，a b＝ab(a≥0，b>0)即：商的算术平方根等于各算术平方根的商．【例3】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)9x64y2；(4)5x169y2.分析：直接利用ab＝ab(a≥0，b＞0)就能够够达到化简之目的．解：(1)364＝364＝38.(2)64b29a2＝64b29a2＝8|b|3|a|.(3)9x64y2＝9x64y2＝3x8|y|.(4)5x169y2＝5x169y2＝5x13|y|.4．最简二次根式最简二次根式应知足以下两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．因此，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．【例4】把以下根式化成最简二次根式：(1)12，(2)40，(3) 1.5，(4)4 3 .解：(1)12＝4×3＝2 3.(2)40＝4×10＝210.(3) 1.5＝32＝32＝3×22×2＝62.(4)43＝23＝233.点评：化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分母中的根号．5．二次根式的乘除二次根式的乘法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)二次根式的除法：ab＝ab(a≥0，b>0)即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数．【例5】计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)14÷116；(4)648.分析：直接利用a·b＝ab(a≥0，b≥0)和ab＝ab(a≥0，b＞0)计算即可．解：(1)5×7＝35.(2)13×9＝13×9＝ 3.(3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)648＝648＝8＝2 2.6．二次根式的加减计算以下各式：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2；(3)x＋2x＋3y；(4)3a2－2a2＋a3.上面的题目，事实上为同类项归并．同类项归并确实是字母不变，系数相加减．计算以下各式：(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.分析：(1)若是咱们把2当做x，不就转化为上面的问题了吗？22＋32＝(2＋3)2＝5 2.(2)把8当做y；28－38＋58＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)把7当做z；7＋27＋9·7＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4)把3看为x，2看为y.33－23＋2＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.因此，二次根式的被开方数相同的话是能够归并的．二次根式加减时，能够先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行归并．【例6】计算：(1)8＋18；(2)16x ＋64x ；(3)348－913＋312；(4)(48＋20)＋(12－5)．分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行归并． 解：(1)8＋18＝22＋32＝(2＋3)2＝52.(2)16x ＋64x ＝4x ＋8x ＝(4＋8)x ＝12x .(3)348－913＋312＝123－33＋63＝(12－3＋6)3＝153.(4)(48＋20)＋(12－5)＝48＋20＋12－5＝43＋25＋23－5＝63＋5.7．化简a 2(1)计算：42＝4，0.22＝0.2，⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝45，202＝20，观看其结果与根号内幂底数的关系，归纳取得：当a ＞0时，a 2＝a .(2)计算：(－4)2＝4，(－0.2)2＝0.2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝45，(－20)2＝20，观看其结果与根号内幂底数的关系，归纳取得：当a ＜0时，a 2＝－a .(3)计算：02＝0，当a ＝0时，a 2＝0.(4)将上面做题进程中取得的结论综合起来，取得二次根式的又一条超级重要的性质：a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0.【例7－1】 化简：(1)9；(2)(－4)2； (3)25； (4)(－3)2.分析：因为(1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，因此都可运用a 2＝a (a ≥0)去化简．解：(1)9＝32＝3. (2)(－4)2＝42＝4.(3)25＝52＝5. (4)(－3)2＝32＝3.【例7－2】 先化简再求值：当a ＝9时，求a ＋1－2a ＋a 2的值，甲、乙两人的解答如下：甲的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(1－a )＝1； 乙的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(a －1)＝2a －1＝17.两种解答中，__________的解答是错误的，错误的缘故是__________． 答案：甲 甲没有先判定1－a 是正数仍是负数 8．二次根式的混合运算 计算： (1)6x ·3y ； (2)(2x ＋y )·zx ； (3)(2x 2y ＋3xy 2)÷xy . (4)(2x ＋3y )(2x －3y )； (5)(2x ＋1)2＋(2x －1)2.若是把上面的x ，y ，z 改写成二次根式，以上的运算规律是不是仍成立？仍成立．整式运算中的x ，y ，z 是一种字母，它的意义十分普遍，能够代表所有一切，固然也能够代表二次根式，因此，整式中的运算规律也适用于二次根式．【例8】 计算：(1)(6＋8)×3；(2)(46－32)÷22；(3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．分析：因为二次根式仍然知足整式的运算规律，因此直接可用整式的运算规律． 解：(1)(6＋8)×3＝6×3＋8×3＝18＋24＝32＋26.(2)(46－32)÷22＝46÷22－32÷22＝23－32.(3)(5＋6)(3－5)＝35－(5)2＋18－65＝13－3 5.(4)(10＋7)(10－7)＝(10)2－(7)2＝10－7＝3.。
北师大版初二数学上册《7.二次根式(第1课时)》教学设计
《7■二次根式(第1课时)》教学设计广东省梅州市大埔县家炳第八中学余奋昌一、内容和内容解析1•内容二次根式2•内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念•它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础本节课的教学重点是：二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标(1)体会研究二次根式是实际的需要.(2)了解二次根式的概念.2.教学目标解析(1)学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性.(2)学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围.三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“丄；的双重非负性，”即被开方数 ::-> 0是非负数，二的算术平方根 '二》0也是非负数•教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性四、教学过程设计(1)独立尝试2 2 3.2 ^(2 3) 2 =5-2. (1)① 3 -:-1; 1 (2) . 7 .7 ； (3)(2 , 5 )2； (4)( • 2 . )2. <2⑴ 4 x P 9 = _________ ，、: 4 工 9 = ______(2)J 恆汇 J9 = _________ , J16=<9 = _________一 4 4⑶9=——，9=——16 16 (4) ---------------- ，.—= -------------------- . ..25 - 25［师］通过上面计算的结果，大家认真总结找岀规.如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢? (2 )合作探究■b (a >0,b >o )；请 (a > 0,b > 0)J25x6 ,81x64 占旌化卧(DTSO ； (2)yy ；⑶井(3 )自我挑战 =3 (. 2所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用 .下面看一些例题.计算:2.做一做1 •下列平方根中招已经简化的是()D V121z 判断下列■&式;是否咸立。
北师大版八年级上册数学第7讲《二次根式》知识点梳理
a aa baba ÷b aa 2a2a2a2【学习目标】北师大版八年级上册数学第 7 讲《二次根式》知识点梳理1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：≥0，（a≥0），（a≥0），（a≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质1. ≥0，（a≥0）；2. （a≥0）；3. .4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，=(或=÷ b )即（a ≥0，b >0）.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即a = ( a )2(a≥0）.（2）与( a )2 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，( a )2 中a ≥0，中a 为任意值。
② a ≥0 时，( a )2 = =a ；a <0 时，( a )2 无意义，= -a .要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；1 3 - 3 (- 1)23 1- x x -1 x + 2 3 - 2x -32 (-0.3)2 -2 x（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2） 含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1. 当 x 为实数时，下列各式有个. 【答案】 3.x 2 , x 2 -1, x , x 3 , (-x )2, ， ， ， 属二次根式的【解析】 x 2 , x , 这三个式子满足无论 x 取何值，被开方数都大于或等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0．举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.（1） ；（2） ； （3） -A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B.；（4） 3 8 ； （5） ；（6） （ x > 1 ）2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1） y = ； （2）y= － ；【答案与解析】 （1） x -1≥0，所以 x ≥1.3（2） x + 2 ≥0,3 - 2x ≥0,所以-2 ≤x ≤ 2 ； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.A. B. C. D.(-x )2x 2 +1(- 3)2 4 (3.14 -π)2(m +1)2 2 5 【答案】B.类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：-2 ⨯ (1) (2) 【答案与解析】(1)原式=-2 ⨯ =- 3 2 . (2) 原式= 3.14-π=π-3.14 .【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三：【变式】（1）（2） a - 2 - ( = . 2 - a )2 =.【答案】(1) 10； (2) 0.4. （ 2015• 蓬溪县校级模拟） 已知： 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示， 化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上 a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且 b ＞a ，故 a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.举一反三：= m +1,且m <, 【变式】若整数m 满足条件则m 的值是 .【答案】m =0 或m =-1. 3 4 (-2 5 )2 21 5 0.1 15 12 类型三、最简二次根式5. （2016•濉溪县校级月考） 下列根式中，最简二次根式共有 个. 【思路点拨】最简二次根式要满足两个条件（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.【答案与解析】【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1) 被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.举一反三：【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ． D.2【答案】C.。
八年级数学二次根式知识点
八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。
1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。
例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。
2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。
即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。
（2）二次根式的值域为非负实数。
即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。
（3）二次根式可以转化为分数形式。
即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。
3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。
（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘除法、平方根的基础上进行的。
二次根式是数学中的基本概念，它在几何、物理等领域有广泛的应用。
本节课的主要内容是二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平方根的概念和运算有一定的了解。
但二次根式相对于平方根来说，其概念和运算更为复杂，需要学生进行一定的抽象和推理。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理解二次根式的本质，掌握其运算规则。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质。
2.掌握二次根式的运算规则。
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析，让学生了解二次根式的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例材料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考这些实例与二次根式的关系。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的定义和性质，通过PPT展示相关公式和定理。
让学生初步了解二次根式的基础知识。
3.操练（10分钟）让学生进行一些简单的二次根式运算，如化简、求值等。
教师在这个过程中要注意引导学生掌握运算规则，并及时解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次根式解决一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等。
教师在这个过程中要注意引导学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）让学生探讨二次根式在实际生活中的应用，如物理、化学等领域。
教师在这个过程中要注意引导学生思考和探索，培养学生的创新能力。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》说课稿3
北师大版数学八年级上册7《二次根式》说课稿3一. 教材分析北师大版数学八年级上册7《二次根式》是初中数学的重要内容，它既是对实数系统的完善，也是进一步学习代数、几何等知识的基础。
本节课主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
通过学习，学生能够理解二次根式的实际意义，掌握二次根式的基本性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数的基本概念，具有一定的代数基础。
他们对实数的认识有助于理解二次根式。
然而，学生对二次根式的理解可能仍停留在表面，对其内在联系和应用可能不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生深入理解二次根式。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，学会进行二次根式的运算。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流，学生能够发现二次根式的性质，提高分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验数学与实际生活的联系，培养学习数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.重点：二次根式的概念、性质和运算。
2.难点：二次根式的性质的发现和证明，二次根式在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作学习、探究发现的教学方法，引导学生主动参与，培养学生的思维能力和创新能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过实际问题引入二次根式的概念，激发学生的兴趣。
2.新课导入：介绍二次根式的概念，引导学生探究二次根式的性质。
3.例题讲解：通过典型例题，讲解二次根式的运算方法。
4.实践环节：学生自主探究，发现二次根式的性质。
5.应用拓展：结合实际问题，引导学生运用二次根式解决实际问题。
6.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次根式的概念、性质和运算。
7.作业布置：布置巩固二次根式的练习题，提高学生的应用能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出二次根式的关键信息。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计3
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计3一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容，它在解决实际问题和其他学科中有着广泛的应用。
通过学习二次根式，学生能够更好地理解和掌握数学中的根式概念，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的代数基础。
但学生对二次根式这一概念可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时，学生可能对二次根式的运算规则和性质理解不够深入，需要在教学过程中进行引导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算规则；3.能够应用二次根式解决实际问题；4.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算规则；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实例和练习引导学生理解二次根式的概念和性质，通过讲解和练习让学生掌握二次根式的运算规则，通过实际问题让学生应用二次根式解决问题。
六. 教学准备1.PPT课件；2.相关例题和练习题；3.教学黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过PPT展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考如何利用二次根式解决这些问题。
让学生认识到二次根式在实际问题中的重要性。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关定义和性质，让学生理解二次根式的基本特点。
同时，给出一些例子，让学生加深对二次根式的认识。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简、求值等。
教师引导学生运用二次根式的性质和运算规则，解答练习题。
在此过程中，教师应及时解答学生的疑问，并进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，如计算物体体积、求解方程等。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案3
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案3一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容，本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中具有重要地位，是学习更高级数学的基础。
通过本节内容的学习，使学生了解二次根式的相关概念，掌握二次根式的性质和运算方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握实数、有理数、无理数等相关知识，具备一定的数学基础。
但二次根式较为抽象，学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，并通过实例分析，使学生掌握二次根式的性质和运算方法。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算方法，能够熟练进行二次根式的计算。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用启发式教学法、实例教学法和小组合作学习法。
通过实际问题引入二次根式的概念，引导学生自主探索二次根式的性质和运算方法，学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于导入二次根式的概念。
2.准备PPT课件，展示二次根式的性质和运算方法。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念。
例如：已知一根木料的长度为5√3米，问这根木料可以锯成多少段长度相等的木条？引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）利用PPT课件，呈现二次根式的性质和运算方法。
通过实例分析，使学生掌握二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、同类二次根式可以合并等。
同时，介绍二次根式的运算方法，如：二次根式的乘法、除法、乘方等。
3.操练（10分钟）学生进行小组合作学习，让学生互相练习二次根式的运算。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要地位，是学习更高阶数学的基础。
通过学习二次根式，学生可以更好地理解数学的本质和内在联系。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的代数运算能力。
但二次根式作为一种新的数学概念，对学生来说较为抽象，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的概念和性质。
2.培养学生运用二次根式进行代数运算的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法，引导学生主动探索、发现和总结二次根式的性质和运算方法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如物理中的速度、面积等问题，引导学生思考如何用数学知识来解决这些问题。
从而引入二次根式的概念。
2.呈现（15分钟）通过PPT展示二次根式的定义和性质，让学生初步了解二次根式。
同时，给出一些例子，让学生观察和总结二次根式的特点。
3.操练（15分钟）让学生进行一些二次根式的运算练习，巩固所学知识。
教师可引导学生运用二次根式解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.巩固（10分钟）通过一些填空题、选择题等，检查学生对二次根式的掌握程度。
教师可适时给予解答和指导。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次根式在实际问题中的应用，如几何中的面积、体积等问题。
同时，可引导学生探讨二次根式与其他数学知识之间的联系，如函数、方程等。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，让学生明确二次根式的概念、性质和运算方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关二次根式的练习题，让学生巩固所学知识。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》说课稿5
北师大版数学八年级上册7《二次根式》说课稿5一. 教材分析北师大版数学八年级上册7《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等基础知识后，进一步对根式进行深入研究的内容。
二次根式是中学数学中的重要概念，它不仅在学习后续的代数、几何等知识中占有重要地位，而且也符合学生认知发展的需要。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有了初步的认识。
但二次根式作为一个新的概念，对于学生来说还是较为抽象的，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 说教学目标1.让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.通过学习二次根式，让学生体会数学的抽象美和逻辑美，激发学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.重点：二次根式的概念、性质和运算方法。
2.难点：二次根式的性质和运算方法的灵活运用，以及解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的性质和运算方法。
2.利用多媒体课件，生动展示二次根式的图形和变化过程，帮助学生形象理解。
3.小组讨论，让学生在合作交流中解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 说教学过程1.导入：通过复习实数、有理数、无理数等基础知识，引出二次根式。
2.新课讲解：讲解二次根式的概念、性质和运算方法，通过实例让学生加深理解。
3.课堂练习：设计一些有关二次根式的练习题，让学生巩固所学知识。
4.应用拓展：让学生运用二次根式解决实际问题，提高学生的应用能力。
5.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点，提醒学生注意二次根式的运用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出二次根式的关键信息。
主要包括以下内容：1.二次根式的概念2.二次根式的性质3.二次根式的运算方法八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习态度、课堂参与度、练习成果等方面进行。
教师要关注每一个学生的发展，及时发现和纠正学生的错误，激发学生的学习兴趣。
北师大版数学八上2-7二次根式(第2课时)教学设计
第二章 实数7．二次根式（第2课时）课标与教材：课标要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算。
教材分析：教材用类比的方法，引入实数的运算法则，运算律等，并利用这些运算法则、运算率进行有关运算，解决有关实际问题．之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。
教学建议：在教学中先复习有理数的运算律和运算法则，让学生多计算几个能开的尽的几个根式的乘法运算，通过类比，观察得出计算法则。
二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础． 学情分析：学生已经知道的：在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。
学生想知道的：怎样进行实数的运算学生能自己解决的：学生已经学习了有理数的运算法则，有了学习经验，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法。
进行类比运算。
根据建构学生需要教师指导解决的：综合运用知识解决问题，进行确定评价。
教学目标：1、知识与技能目标（1）了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．（2）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算．（3）正确运用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0） ba b a=（a ≥0， b ＞0） 2、数学思考；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式，能用类比的方法解决问题，用已有知识去探索新知识．3、问题解决：在与他人合作交流过程中，能较好的理解他人的思考方法和结论。