排列、组合、二项式定理复习讲义2

排列、组合、二项式定理复习讲义（2）

二项式定理

一、复习目标

掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能运用它们计算与证明一些简单的问题。

二、基础训练

1．2*

(1)()n

x n N +∈的展开式中，系数最大的项是 （C ）

()A 第12

n

+项

()B 第n 项 ()C 第1n +项 ()D 第n 项与第1n +项

2．在103

3)21(x

x -的展开式中，有理式的项数为

（C ）

()A 1 ()B 2 ()C 3

()D 4

3．对于二项式3*

1()()n

x n N x

+∈，四位同学作出了四种判断

①存在n N +∈，展开式中有常数项； ②对任意n N +∈，展开式中没有常数项； ③对任意n N +∈，展开式中没有x 的一次项；

④存在n N +∈，展开式中有x 的一次项；上述判断正确的是 （D ）

()A ①③ ()B ②③ ()C ②④ ()D ①④

4．若1)(,)n n n n n n N a b a b Z +∈+∈，则n b 的值 （A ）

()A 一定是奇数

()B 一定是偶数

()C 与n 的奇偶性相反 ()D 与n 的奇偶性相同

5．若5643

1111n n n n C C C C ----+<+，则n =7,8,9．

6．)1()2(2

10-+x x 的展开式中10

x 的系数为179．（用数字作答）

7．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4

9

，常数a 的值为4．

三、例题分析

例1．已知

n +

的展开式中的前三项的二项式系数和为37，求展开式中

⑴所有x 的有理项； ⑵系数最大的项。

提示：⑴1634

18

12r

r r r T C x

-+⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，当0,4,8r =时对应的为有理项

即为：4

1592

351

,,8

256T x T x T x ==

=

⑵572

4

347,

7T x T x ==

例2．设481211

011112(1)(4)(3)(3)(3)x x a x a x a x a +⋅+=++++

+++，

求：⑴01212a a a a ++++的值；⑵02412a a a a ++++的值。

提示：用赋值法可得⑴256； ⑵128

例3．已知),()21()1()(*

∈+++=N n m x x x f n

m

的展开式中x 的系数为11，

⑴求展开式中2

x 项系数的最小值；

⑵当2

x 项系数取最小值时，求)(x f 展开式中x 的奇次幂项的系数之和。 答案：⑴22； ⑵30 例4．求证 1

52

2

221-++++n 能被31整除，其中n N *

∈．

提示：1

522221-++++n ()552121321311121

n n n n -==-=-=+--

四、课后作业 1．10()a b c ++的展开式中含有352

a b c 的项的系数是 （C ）

()A 352101010C C C

()B 352

101010C C C ++

()C 352

10

72C C C ()D 35522310

772210C C C C C C ++ 2．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”。如果“十•五”期间（2001年～2005年）每年的国内生产总值都按此年的增长率增长，那么到“十•五”末我国的国内生产总值约为 （C ）

()A 115000亿元

()B 120000亿元

()C 127000亿元 ()D 135000亿元

3．若4

2

012(2x a a x a x =+++44a x +，则2202413()()a a a a a ++-+的值 （A ）

()A 1 ()B 1- ()C 0 ()D 2

4．设n 是满足0123

23n n n n C C C C ++++450n

n nC +<的最大自然数，则n 等于

（D ）

()A 4

()B 5 ()C 6 ()D 7

5．对于10

()a b -的下列说法中，错误的是

（C ）

()A 展开式的二项式系数和为102

()B 展开式中，第6项的二项式系数最大 ()C 展开式中，第5或7项的二项式系数最大

()D 展开式中，第6项的系数最小

6．51

(2)x x

+

-展开式中的常数项是252-．

（写出常数项） 7．2

(1)(1)x x -+-+ (20)

(1)x +-的展开式中含3

x 项的系数为4

215985C -=-． 8．若2624012(21)x a a x a x +=+++ (12)

6a x +，则02a a ++…6a +=365． 9．设591413

01(1)(32)(1)(1)x x a x a x -+=++++

11314(1)a x a +++，则13a a ++13a +=9963．

10．⑴已知(

n x -

的展开式中，第三项的系数为4，求它的常数项；

⑵在n

的展开式中，已知最后三项的系数成等差数列，求这个展开式中所有的有理项。 答案：⑴728243T =； ⑵2

159********

,,T x T T x

x

===

。

11．在10

展开式中，

求：⑴第四项的二项式系数和第四项的系数；⑵常数项，并指出它是展开式的第几项。 答案：⑴第四项的二项式系数为120，第四项的系数为15- ⑵常数项7105

32

T =

，它是展开式的第7项。 12．在二项式12

()(0,0,0,0)m

n ax bx a b m n +>>≠≠中有20m n +=，如果它的展开式中

系数最大的项恰好是常数项，⑴求常数项是第几项？⑵求

a

b

的范围。