必修四-任意角与弧度制--知识点汇总(教师版)

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教师版__任意角和弧度制知识点和练习

9.一扇形半径长与弧长之比是3：，则该扇形所含弓形面积与该扇形的
面积之比为（）
（A）（B）（C） (D)
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
2．下列命题正确的是（）
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象
12．已知是第二象限角，且则的范围是
.
三、解答题
13. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象
限角？
（1）
（2）
（3）
14．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1）
（2）
（3）
于的角是锐角。
其中正确的命题序号是
。
例2：写出终边在直线上的角的集合；
练习：写出终边在直线上的角的集合。例3：求两个集合的交集已知集合，，练习：1、集合，，则等于（）
A、 B、 C、 D、 2、集合，，则等于（）（A）（B）（C）（D） 3、，求例4：判断下列角的集合的关系：已知集合集合,则（）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件是2kπ－
＜α＜2kπ(k∈Z) 14．设k∈Z，下列终边相同的角是（）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90° C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60° 15．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上都不对 16．设集合M={α|α=

高一必修四任意角知识点

高一必修四任意角知识点高一必修四任意角知识点一、定义任意角是指角的大小可以是大于0°小于360°的角。

任意角可以用弧度或度数表示。

二、角的转角1. 角的正向转角：角按照逆时针方向转动，转角为正。

2. 角的负向转角：角按照顺时针方向转动，转角为负。

三、角的初边和终边1. 初边：与x轴正半轴重合的射线。

2. 终边：从初边出发，按照逆时针方向旋转得到的射线。

四、角的度数和弧度的转换1. 角度到弧度的转换公式：弧度 = 角度× π / 1802. 弧度到角度的转换公式：角度 = 弧度× 180 / π五、角的相关概念1. 相互对立角：两条射线共享一个起点，但是方向相反的角。

它们的度数和为180°。

2. 余角：与给定角相加得到90°的角。

3. 补角：与给定角相加得到180°的角。

六、三角函数与任意角1. 正弦函数（sin）：在平面直角坐标系中，对于一个给定角，其正弦值等于该角对应终边上的y坐标值与终边长的比值。

2. 余弦函数（cos）：在平面直角坐标系中，对于一个给定角，其余弦值等于该角对应终边上的x坐标值与终边长的比值。

3. 正切函数（tan）：在平面直角坐标系中，对于一个给定角，其正切值等于该角的正弦值与余弦值的比值。

七、任意角的三角函数值的四象限规定1. 第一象限：角的终边位于x轴的正半轴。

2. 第二象限：角的终边位于y轴的正半轴。

3. 第三象限：角的终边位于x轴的负半轴。

4. 第四象限：角的终边位于y轴的负半轴。

八、反三角函数与任意角的关系1. 反正弦函数（arcsin）：给定一个比值，反三角函数可以求出对应的角度。

其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

2. 反余弦函数（arccos）：给定一个比值，反三角函数可以求出对应的角度。

其定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。

3. 反正切函数（arctan）：给定一个比值，反三角函数可以求出对应的角度。

高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总

任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。

（0,45）（180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30? ；390? ；?330?是第象限角 300? ； ?60?是第象限角585? ； 1180?是第象限角 ?2000?是第象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。

三角函数任意角和弧度制知识点

三角函数任意角和弧度制知识点第一章三角函数任意角和弧度制知识点任意角知识点一、任意角b终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。

α知识点二、直角坐标系则中角的分类始边o1、象限角与轴线角aβ2、终边相同的角与角α终边相同的角β子集为__________________c终边轴线角的表示：终边落到x轴非负半轴角的子集为_____________；终边落到x轴非正半轴角的子集为_______；终边落到x轴角的子集为____________________。

终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。

终边落在坐标轴角的集合为__________________。

象限角的则表示第一象限的角的子集为_________________第二象限的角的子集为_____________。

第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。

例题1、推论以下各角分别就是第几象限角：670°，480°，-150°，45°，405°，120°，-240°，210°，570°，310°，-50°，-315°例题2、以下角中与330°角终边相同的角是（）a、30°b、-30°c、630°d-630°题型一、象限角的认定例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他们是第几象限角，并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角。

（1）420°（2）-75°（3）855°（4）1785°（5）-1785°（6）2021°（7）-2021°（8）1450°（9）361°（10）-361°例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。

5.1 任意角和弧度制-教师版

1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝180πrad ；1 rad ＝180π° 弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2知识梳理例题解析例1写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.例2写出终边在直线3y x =上的角的集合. 【答案】{|=,}6k k Z πββπ+∈【解析】直线3y x =的倾斜角为6πα=，所以终边在直线y x =上的角为=2,6k k Z πβπ+∈或7=2,6k k Z πβπ+∈， =2(21),66k k k Z ππβπππ++=++∈，综合得终边在直线y x =上的角为=,6k k Z πβπ+∈，所以终边在直线3y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z πββπ+∈.例3已知α为第二象限角，则2α是第几象限角？【答案】第一或第三象限角【解析】∵α是第二象限角，∴+2+22k k k Z ππαππ<<∈，，∴++422k k k Z παπππ<<∈，.当k 为偶数时，2α是第一象限角；当k 为奇数时，2α是第三象限角．所以2α第一或第三象限角. 点睛:确定2()*n n N nα≥∈，终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)写出nα的范围；(3)根据k 的可能取值讨论确定nα的终边所在位置例4已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z αα=+⋅∈，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z αα=+⋅∈；（2）{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈. 【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z αα=+⋅∈，终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z αα=+⋅∈；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈.例5已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－【解析】（1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π. （2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝.所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－所以弓形的面积是12π－例6已知一扇形的圆心角为(0)αα>，所在圆的半径为R .（1）若60α︒=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）103cm π，()2503cm π⎛- ⎝；（2）2rad α=.【解析】（1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则603πα︒==，10R =，101033l cm ππ=⨯=，()221105*********S cm ππ⎛=⨯⨯-=- ⎝.（2）设扇形弧长为l ，则220l R +=，即10202101l R R π⎛⎫=-<<⎪+⎝⎭，∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-⋅=-+=--+， ∴当5R cm =时，S 有最大值225cm ，此时10l cm =，2rad lRα==. 因此当2rad α=时，这个扇形面积最大. 点睛:12,2C l R S lR =+=当周长C 为定值时可得面积()211222S C R R R CR =-=-+ 当面积S 为定值时可得周长22SC R R=+.1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( ) A ．120° B ．－120° C ．240° D ．－240°【答案】D【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A 、C ；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.随堂检测2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝()A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}【答案】C【解析】令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称【答案】A【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称．5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C ．y 轴的非负半轴上D ．y 轴的非正半轴上【答案】A【解析】∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ，∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上． 6．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】AC【解析】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选A 、C.7．若角α与角x ＋4π有相同的终边，角β与角x －4π有相同的终边，那么α与β间的关系为( ) A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝2π＋2k π(k ∈Z ) 【答案】D【解析】∵α＝x ＋4π＋2k 1π(k 1∈Z )，β＝x －4π＋2k 2π(k 2∈Z )，∴α－β＝2π＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z )．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z .∴α－β＝2π＋2k π(k ∈Z )． 8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转2π，则从动轮N 逆时针旋转( )A.8π B ．4π C.2π D ．π【答案】B【解析】设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以θπ⨯=⨯230022150，解得θ＝4π，选B. 9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________. 【答案】270°【解析】∵5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z . 又∵180°<α<360°，∴α＝270°.10.集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．【答案】②【解析】集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中，当k 为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k 为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围为图②所示．11．一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2km ，一列火车以30km /h 的速度通过，10s 间转过_______弧度．【答案】124【解析】10s间列车转过的弧长为10130(km)360012⨯=，转过的角1112224α==（弧度）．故答案为：1 2412.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.【答案】【解析】设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为r，∴||rθ==；，周长为，即圆弧长为，∴||rθ==13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．【解析】根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z .又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<71800⋅k <112.5°.又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为75400或77200.∵0°<75400<90°，90°<77200<180°，∴θ在第一象限或第二象限．15.已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【解析】（1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π. （2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝.所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－所以弓形的面积是12π－16，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()1dm 22l AB πππ=⨯==，面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=．在扇形12A CA 中，圆心角为2π，弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=，面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=，在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长()3233dm 333l A D πππ=⨯=⨯=，面积()232131323dm 2332S A D πππ=⨯⨯=⨯⨯=．综上，点A 走过的路程()()1239233dm 236l l l l ππππ+=++=++=，点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424ππππ=++=++=S S S S一、单选题1．300-化为弧度是（）课后练习A ．43π-B ．53π-C ．23π-D ．56π-【答案】B 【解析】300530023603ππ-=-⨯=-2．下列各角中，与2019°终边相同的角为（） A ．41° B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【解析】因为20195360219=⨯+，所以219与2019°终边相同. 故选：C.3．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】B 【解析】∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，故选B.4．一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（）A ．4B ．1C D ．2【答案】D 【解析】圆心角为51506πα==，设扇形的半径为R ， 2215152326S R R ππα=⋅⇒=⨯，解得2R =. 故选：D5．在0360~︒︒的范围内，与510︒-终边相同的角是（）A ．330︒B ．210︒C ．150︒D ．30︒【答案】B 【解析】因为510720210︒-=-+,则在0360~︒︒的范围内，与510︒-终边相同的角是210︒, 故选：B.6．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（）． A ．8cm 2 B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A 【解析】设扇形的半径为r cm ，∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ， ∴2412r r +=，得2r，∴此扇形的面积214282S =⨯⨯=（cm 2），故选：A ．7．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角} D ．以上都不对【答案】D【解析】∵A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}， ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，故选D ．8．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为（） A ．316π B ．38π C ．34π D ．32π 【答案】C【解析】由212S r α=得231182πα=⨯⨯，所以34πα=，故选：C.9.已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为（） A ．232cm B ．216cmC ．28cmD ．24cm【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，根据扇形的面积公式，可得22211241622S r cm α==⨯⨯= 所以此扇形的面积为216cm . 故选：B.10．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为1326ππ⨯⨯=，圆的周长为122ππ⨯=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166ππ⨯=，正三角形的面积1112S =⨯⨯=，则一个弓形面积6S π=则整个区域的面积为3(62ππ+= 而圆的面积为2124ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B. 二、多选题11.下列四个选项正确的有（） A ．75-︒角是第四象限角 B ．225︒角是第三象限角 C ．475︒角是第二象限角 D ．315-︒是第一象限角【答案】ABCD对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角；对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角. 故选：ABCD .12．下列与412︒角的终边相同的角是（） A ．52︒ B ．778︒C ．308-︒D ．1132︒【答案】ACD 【解析】因为41236052=︒︒+︒，所以与412︒角的终边相同角为36052,k k Z β=⨯︒+︒∈，当1k =-时，308β=-︒，当0k =时，52β=︒，当2k =时，772β=︒，当3k =时，1132β=︒，当4k =时，1492β=︒，综上，选项A 、C 、D 正确. 故选：ACD.13．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=B ．180αβ+=C ．()36090k k Z αβ︒︒+=⋅+∈D ．()360k k Z αβ︒+=⋅∈E.()()21180k k Z αβ+=+⋅∈ 【答案】BE【解析】假设α、β为0180内的角，如图所示，因为α、β的终边关于y 轴对称，所以180αβ︒+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k αβ+=⋅+=+⋅∈，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件．故选：BE.14．设α是第三象限角，则2α所在象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】α是第三象限角，360180360270k k α∴⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，则180901801352k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，令2k n =，n Z ∈ 有360903601352n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在二象限；21k n =+，n z ∈，有3602703603152n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在四象限；故选：B D ．三、填空题15．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈________.【答案】{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z .【解析】在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈16．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为．【答案】4【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142{2lr l r ==，解得4{2l r ==．17．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：1218.24︒=_________弧度；49π弧度=________. 【答案】215π 80° 【解析】根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad ππ==，可得2180241245ππ︒==⨯，441808099π=⨯=. 故答案为：215π，80. 19．（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】② 120-︒【解析】（1）①锐角的范围为()0,90︒︒是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ⋅︒︒+⋅︒∈，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120︒，即转过的度数为120-︒故答案为：120-︒20.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】 12π﹣【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB ＝46π＝23π，可得∠AOD ＝3π，OA ＝6，∴AB ＝2AD ＝2OA sin3π＝2×6∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12⨯4π×6﹣132⨯＝12π﹣故答案为：12π﹣21．已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2 100【解析】设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<． ∴221(402)20(10)1002S r r r r r =-=-+=--+， ∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为40210210-⨯=．故答案为：2；100．。

数学必修4知识导航 1.1任意角、弧度含解析精品

1.1 任意角、弧度知识梳理一、角的概念的推广1.定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类:正角、零角、负角.3.象限角如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角时，可表示为{α|2kπ<α<2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角时，可表示为{α|2kπ+2π<α<2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角时，可表示为{α|2kπ+π<α<2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角时，可表示为{α|2kπ+23π<α<2kπ+2π,k ∈Z }. 4.轴线角(象限界角)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角，也叫象限界角.终边落在x 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ,k ∈Z }；终边落在x 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+π,k ∈Z }；终边落在y 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+2π,k ∈Z }；终边落在y 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }；终边落在坐标轴上的角可表示为{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的3601为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制. 2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即3601周角=1°，π21周角=1弧度. 3.弧度与角度的换算360°=2π rad ，180°=π rad ，1°=180πrad≈0.017 45 rad ，1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式:l=|α|·r(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).5.扇形的面积公式:S 扇形=21l·r=21|α|r 2(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数). 知识导学要理解任意角概念，可创设情境“转体720°，逆(顺)时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、象限界角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析:(1)用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制)，需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.(2)弧度制下的弧长公式l=|α|r 、扇形面积公式S=21|α|r 2，与角度制下的弧长公式l=180r n π、扇形面积公式S=3602r n π比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数时，角的集合与实数集R 是一一对应关系？剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R 建立了一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是，有了角的集合与实数集R 的一一对应关系，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题，因为弧度制是十进制的实数.。

(完整版)任意角和弧度制知识点和练习

知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ．知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。

教师版任意角与弧度制

一、任意角 1、角的推广角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

①、按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 ②、顺时针方向旋转所形成的角叫负角， ③、当一条射线没有作任何旋转时，称为零角 2、象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角象限角的注意①主要是固定好始边看终边 ②坐标轴上的角不叫象限角第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、终边相同的角的表示S={β|β=α+k ×3600，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和任意两个角α，β同终边的条件是：πβαk 2=-（或︒⨯360k ）Z k ∈4、角与二倍角、半角的象限关系。

5、已知α是第二象限的角，判断3α所在的象限.探索：若α分别在第一、二、三、四象限，,,2,323αααα分别在第几象限？经典考点一、任意角的概念问题1．设集合{|90E x x =是小于的角｝，{|F x x =是锐角｝，={|G x x 是第一象限的角｝， {|M x x ＝是小于90，但不小于0的角｝，则下列关系成立的是（）．A ．B ．C ．(E G ) D ．G M F =2、已知集合=A {第一象限的角}，=B {锐角}，=C {小于90o的角}，下列四个命题： ①C B A == ② C A ⊂ ③A C ⊂ ④B C A =⊂正确的命题个数是（） A ．1个 B.2个. C.3个. D.4个.3、下列命题是真命题的是（）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα经典考点二、终边相同的角以及象限角1、－1120°角所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．3.与610°角终边相同的角表示为 A. k ·360°+230°(k ∈Z ) B. k ·360°+250°(k ∈Z ) C. k ·360°+70°(k ∈Z ) D. k ·360°+270°(k ∈Z )4．将885- 化为360(0360,)k k Z αα+⋅≤<∈的形式是（）． A ．165(2)360-+-⨯B ． 195(3)360+-⨯C ．195(2)360+-⨯D ．165(3)360+-⨯5.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z}(B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z}(D){α|α=k ·90°，k ∈Z}6．若{|360,}A k k Z αα==⋅∈ ；{|180,}B k k Z αα==⋅∈ ；{|90,}C k k Z αα==⋅∈，则下列关系中正确的是（）． A ．A B C == B ．A B C =⊆C ．A B C ⊆=D ．A BC 刎7．已知集合{|6030,}M x x k k Z ==⋅+∈，{|3060,}N y y n n Z ==⋅+∈，若M N α∈ ，且9090α-<< ，则由角α组成的集合为__________． 8、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|,{}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A .9．已知{|(1),}4kk k Z πθααπ∈=+-⋅∈，判断角θ所在象限．10.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 经典考点三、分角象限的确实1.若α是第四象限角，则180°－α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2.若α是第四象限角，则180°+α一定是（）Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 3.角α＝45°＋ｋ·90°的终边在第象限.4.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是（） (A) 90°-α(B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α5．下列说法中正确的是（）．A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角D ．若360()k k Z βα=+⋅∈，则α与β终边相同6、.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.经典考点四、区域角的表示 1．若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则集合B A 为（）．A ．[1,0][,1]3π- B ．[,2]3π C ．[2,0][,2]3π- D ．[2,][,2]43ππ- 2、写出(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合。

(完整版)三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。

必修4 数学最全知识点梳理(完整版)

高中数学必修4 知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan y xα= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、特殊角0°，30°，45°，60°，§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质12、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减）横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+平移||B 个单位()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =，变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、平面向量共线定理：向量()≠与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、在θcos .3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、两向量的夹角公式 2cos a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. （如图）2 用向量方法判定空间中的平行关系设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直. ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .ina ua uϕθ⋅==①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-.5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为1(||||h a b a =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离高中数学必修四知识梳理 10设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值.即.n MP d n⋅=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。

24任意角与弧度制知识点总结

②几何法：即利用三角函数线来作出正弦函数在0，2 内的图象，再通过平移得到
y sin x 的图象。
③五点法：在函数 y sin x ， x 0，2 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
0，0， 2 ，1，，0， 32 ，1，2，0
必修四第一章知识点总结
一、意角的概念
（1）、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。（2）、角的分类 ①按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 ②按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 ③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终边重合。这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
量角的单位制
无关
以省略
有关
五、任意角的三角函数
（1）、直角坐标系内用点的坐标表示锐角三角函数
设锐角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象
限。在的终边上任取一点 P a，b ，它与原点的距离 r a2 b2 0 ，过 P 作 x 轴的
垂线，垂足为 M ，则线段 OM 的长度为 a ， MP 的长度为 b 。根据初中学过的三角函数定
（4）、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数 y sin x （ x R ）是奇函数，余弦函数 y cos x （ x R ）是偶函数。
（5）、正弦函数、余弦函数的单调性 ①由正弦曲线和余弦曲线可得正弦函数和余弦函数的单调性如下：
函数
y

sin
x
在
2k

2
，2k

2

3 2

sin
，

人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_任意角和弧度制_基础

人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。

2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。

【要点梳理】要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈=+∈，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫ ⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：角的概念的理解例1．下列结论：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。

必修四三角函数知识点经典总结

必修四三角函数知识点经典总结高一必修四：三角函数一任意角的概念与弧度制（一）角的概念的推广 1、角概念的推广：在平面，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角算是多少度角。

按别同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。

适应上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。

射线旋转停止时对应的边叫角的终边。

2、特别命名的角的定义：(1)正角，负角，零角：见上文。

(2)象限角：角的终边降在象限的角,依照角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等(3)轴线角：角的终边降在坐标轴上的角终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合： {}Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+ (5)与α终边反向的角：(21)x k απ=++终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ(6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 (7)成特别关系的两角若角α与角β的终边对于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边对于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：90360±+=βαk 注：(1)角的集合表示形式别唯一.(2)终边相同的角别一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节要紧题型： 1.表示终边位于指定区间的角.例1:写出在720-?到720?之间与1050-?的终边相同的角. 例2:若α是第二象限的角,则2,2αα是第几象限的角?写出它们的普通表达形式.例3:①写出终边在y 轴上的集合.②写出终边和函数y x =-的图像重合,试写出角α 的集合. ③α在第二象限角,试确定2,,23ααα所在的象限.④θ角终边与168?角终边相同,求在[0,360)??与3θ终边相同的角.（二）弧度制1、弧度制的定义：l Rα=2、角度与弧度的换算公式：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一具式子中别能角度,弧度混用. 3、题型（1）角度与弧度的互化例:74315,330,,63ππ?? （2）L R α=，211,22l r s lr r αα===的应用咨询题例1:已知扇形周长10cm ,面积24cm ,求中心角.例2:已知扇形弧度数为72?,半径等于20cm ,求扇形的面积.例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大. 例4:12123 7570,750,,53ααβπβπ=-?=?==- a.求出12,αα弧度,象限.b.12,ββ用角度表示出,并在720~0-??之间找出，他们有相同终边的所有角. 二任意角三角函数（一）三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x=αcos ，正切xy =αtan 2（二）单位圆与三角函数线1、单位圆的三角函数线定义如图(1)PM表示α角的正弦值，叫做正弦线。

(完整版)三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．αx α第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在轴上的角的集合为x {}180,k k αα=⋅∈Z 终边在轴上的角的集合为y {}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角相同的角的集合为α{}360,k k ββα=⋅+∈Z(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是r αl αl rα=④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，()αα为弧度制r l C S l r α=，．2C r l =+21122S lr r α== 2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、(r r =正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、y r x r yx 四余弦）3．特殊角的三角函数值角度函数030456090120135150180270360角a 的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsina1/2√2/2√3/21√3/2√2/21/2-1cosa 1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101tana√3/31√3-√3-1-√3/3二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：＝tan α. （3）倒数关系：sin αcos α1cot tan =⋅αα2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，其中k ∈Z .απαtan )2tan(=+k 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，． ()tan tan παα-=-公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.()tan tan αα-=-公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sin α.(π2－α)(π2－α)公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.(π2＋α)(π2＋α)诱导公式可概括为k ·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇π2π2数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k ·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后π2作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．sin αcos α(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）ααcos sin +ααcos sin -ααcos sin (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin＝tan 2ππ4（4）齐次式化切法：已知，则k =αtan nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。

任意角与弧度制专题讲义-高三数学一轮复习

专题: 任意角和弧度制知识点一任意角1.角的定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2.角的表示：如图，OA 是角α的始边，OB 是角α的终边，O 是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3.角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. 4.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}.α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．知识点二弧度制的定义和公式1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1360. 2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．3. 弧度数的计算4. 角度与弧度的互化5. 设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝|α|r .(2)扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2名师点津：1．对终边相同的角的理解(1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)α是任意角且k为整数．(3)k·360°与α之间用“＋”号连接．(4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}与{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合．2．各象限角的集合3.(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍4．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．5．在应用扇形面积公式S＝12|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”题型一：任意角的概念[例1]下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角是第一象限角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．【跟踪训练】1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝()A．150°B．－150°C ．390°D ．－390°2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )A ．120°B ．－120°C ．－60°D ．60° 题型二：终边相同的角的表示【例2】(链接教材P170例1)已知α＝－315°.(1)把α改写成k·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1 080°＜θ＜－360°.【跟踪训练】1．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )A ．120°＋k·360°，k ∈ZB ．120°＋k·180°，k ∈ZC ．240°＋k·360°，k ∈ZD ．240°＋k·180°，k ∈Z 2.如图，终边落在阴影部分的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k ∈Z}D ．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k ∈Z}3．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x 轴的非负半轴上；(2)终边在y ＝x(x≥0)上．题型三：象限角的判断【例3】(1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)已知α是第二象限角，求角2所在的象限．【母题探究]】1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？．【题型四：角度与弧度的换算【例4】(链接教材P173例4)将下列角度与弧度进行互化： (1)5116π；(2)－712π；(3)10°；(4)－855°.【跟踪训练】1．把下列弧度化为角度： (1)236π＝________；(2)－136π＝________.2．把下列角度化为弧度：(1)－1 500°＝________；(2)67°30′＝________.题型五：用弧度制表示终边相同的角【例五】已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【跟踪训练】若角α的终边与3π角的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－2π，2π)，求角α的值．题型六：扇形的弧长及面积公式【例6】已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为23π.求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．【跟踪训练】1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？达标检测1．下列命题中正确的是（）A ．第一象限角一定不是负角B ．小于90︒的角一定是锐角C ．钝角一定是第二象限的角D ．终边相同的角一定相等2．把375-︒表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ的值可以是（）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12- 3．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3π B ．3π- C ．6π D ．6π- 4．若角3rad α=，则角α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（）A ．π3B ．2π3C ．3D ．26．已知扇形的弧长l 为23π，圆心角α为3π，则该扇形的面积S 为（） A ．6π B ．23π C ．43π D ．3π 7．将315︒化为弧度为A ．43πB ．53πC ．76πD ．74π 8．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+9．（多选）下列命题正确的是（）A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{}2,k k Z ααπ=∈B ．终边落在y 轴上的角的集合为{}90,k k Z ααπ=︒+∈∣C ．第三象限角的集合为322,2k k k Z παππαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．在720~0-︒︒范围内所有与45︒角终边相同的角为675-︒和315-︒10．如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（）A ．经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为3π＋3B ．经过12π s 后，扇形AOB 的弧长为712π C ．经过6πs 后，扇形AOB 的面积为3π D ．经过 59πs 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇11．走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.12．已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为___________.13．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度14．已知α终边在第四象限，则2α终边所在的象限为_______________．15．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．16．已知角α的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角α的取值集合.17．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．18．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？。

高一数学必修4任意角和弧度制实用知识

180 π = 180° 1rad = ≈ 57°18′ π
o
角度和弧度的关系弧度制意义下与 α 终边相同的角（连同 α ）的集合终边与 x 轴重合的所有角的集合
1° =
π
180°
{ β β = 2 kπ + α , k ∈ Z } { β β = kπ , k ∈ Z }
{β β = α + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 180° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = k • 360° {α α = 270° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 90° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 180° + k • 90°, k ∈ Z } {α k • 360° < α < k • 360° + 90°, k ∈ Z } {α k • 360° + 90° < α < k • 360° + 180°, k ∈ Z } {α k • 360° + 180° < α < k • 360° + 270°, k ∈ Z } {α k • 360° + 270° < α < k • 360° + 360°, k ∈ Z } {α α = 45° + k •180°, k ∈ Z } {α α = 135° + k •180°, k ∈ Z }
任意角和弧度制
与 α 终边相同的角（连同 α ）的集合终边在 x 轴的非正半轴上的角的集合终边在 x 轴的非负半轴上的角的集合终边在 x 轴上的角的集合终边在 y 轴的非正半轴上的角的集合终边在 y 轴的非负半轴上的角的集合终边在 y 轴上的角的集合终边落在第一象限角的集合终边落在第二象限角的集合终边落在第三象限角的集合终边落在第四象限角的集合终边落在 y = x 上角的集合终边落在 y = − x 上角的集合

高二数学必修四任意角和弧度制复习要点梳理

高二数学必修四随意角和弧度制复习重点梳理数学是研究现实世界空间形式和数目关系的一门科学。

以下是查词典数学网为大家整理的高二数学必修四随意角和弧度制复习重点，希望能够解决您所碰到的有关问题，加油，查词典数学网向来陪同您。

1.随意角(1)角的分类：①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：终边与角同样的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制：① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 .②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=， l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 .③用弧度做单位来胸怀角的制度叫做弧度制 .比值与所取的 r 的大小没关，仅与角的大小有关 . ④弧度与角度的换算： 360 弧度 ;180 弧度 .⑤弧长公式： l=||r ，扇形面积公式：S 扇形 =lr=||r2.2.随意角的三角函数(1)随意角的三角函数定义：设是一个随意角，角的终边与单位圆交于点P(x， y) ，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y ，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 .(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 .3.三角函数线我国古代的念书人 ,从上学之日起 ,就日诵不辍 ,一般在几年内就能识记几千个汉字 ,熟记几百篇文章 ,写出的诗文也是咬文嚼字 ,琅琅上口 ,成为博学多才的文人。

为何在现代化教课的今日 ,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生 ,竟提起作文就头疼 ,写不出像样的文章呢 ?吕叔湘先生早在 1978 年就尖利地提出 : “中小学语文教课成效差,中学语文毕业生语文水平低 , 十几年上课总时数是9160 课时 ,语文是 2749 课时,恰巧是 30%,十年的时间 ,二千七百多课时 ,用来学本国语文,倒是大部分可是关 ,莫非咄咄怪事 ! ”刨根问底 ,其主要原由就是腹中无物。

(完整word版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，co s(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。

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