第九节 磁场对载流线圈的作用
9-3 磁场对载流导线的作用
M Pm B
0
稳定平衡 非稳定平衡
m ax
M M
N B IS ,
/2
第9章 稳恒磁场
9–3 磁场对载流导线的作用
11
四、磁力的功
1.载流导线在磁场中运动时磁力所做的功
如图，ab长为l，电流I，ab边受力
方向向右。 磁力F所做功为：
在图示位置时，线圈磁矩Pm的方向与B垂直.
第9章 稳恒磁场
9–3 磁场对载流导线的作用
15
线圈所受磁力矩大小为
2 2 磁力矩M 的方向由 P B 确定，垂直于 B 的方向向上.
M Pm B sin
1
IB R
2
(2)计算磁力矩做功.
A I I ( 2 1 ) I ( B 1 2
2
ln
d l d
第9章 稳恒磁场
9–3 磁场对载流导线的作用
7
三、磁场对载流线圈的作用 1.均匀磁场对载流线圈的作用
a b l2
b c l1
a
F2
F1
d '
F
2
F1 B Il1 sin( ) B Il1 sin
I b
' F1
c n
' F2
B
F
B IS d ( cos ) I d (B S cos ) I d
第9章 稳恒磁场
9–3 磁场对载流导线的作用
13
线圈从1转到2时
A
2
1
Id I ( 2 1 ) I
对于变化的电流或非匀强场
磁场对载流线圈的作用(4)
.....
.I
. F
.
.
.
.....
I
F.
.
..
π,M
.B .
0
F
π ,M 2
B
Mmax
9
11－7 磁场对载流线圈的作用
第十一章 稳恒磁场
➢ 结论: 均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面 通电线圈所受的力和力矩为
F 0, M mB
m
//
B,
M 0
0
稳定平衡
p 非稳定平衡
m
B
,
M M max mB,
6
11－7 磁场对载流线圈的作用
第十一章 稳恒磁场
么么么么方面
• Sds绝对是假的
11－7 磁场对载流线圈的作用
第十一章 稳恒磁场
F3 P
M
Fபைடு நூலகம்
I
B
F1
N F4
O en
M,N
F1
F2 O,P
B en
MN l2 NO l1 M F1l1 sin BIl2l1 sin
M BISsin
安培定律 磁场对电流元的作用力 dF Idl B1
11－7 磁场对载流线圈的作用
第十一章 稳恒磁场
安培定律 dF Idl B dF IdlBsin
意义 磁场对电流元作用的力 ，在数值上等
于电流元 Idl 的大小 、电流元所在处的磁感强度 B
大小以及电流 元和磁感应 强度 之间的夹角 的正弦
第十一章 稳恒磁场
三 磁场作用于载流线圈的磁力矩
如图 均匀磁场中有一矩形载流线圈MNOP
MN l2 NO l1
F3 P
F1 BIl2 F1 F2
磁场对载流导线的作用
【例8-9】有一长为L通以电流为I的直导线，放在磁感应强 度为B的匀强磁场中，导线与B间的夹角为θ，如下图所示。求 该导线所受的安培力。
【解】在载流导线上任取一电流元 Idl，它与B之间的夹角为θ ，该电流元所 受的安培力大小为
dF Iห้องสมุดไป่ตู้sindl
该力的方向垂直纸面向里。因为导线上各电流元受力方向 都相同，所以整个载流导线受到的安培力的大小为
合力矩M的方向为垂直纸面向上。若线圈有N匝，则磁力矩
的大小为
M NIBS sin
这里引入线圈磁矩概念，定义载流线圈磁矩m的大小为
m＝NIS
取m的方向与线圈平面的法向一致。若用en表示线圈法向的
单位矢量，en与线圈中电流的流向遵循右手螺旋法则，则载流线
圈的磁矩为
m NISen
由此得到载流线圈所受的磁力矩大小为
物理学
用矢量表示为
M mBsin
M mB
磁力矩的方向与m×B的方向一致。
由上式可知 （1）当m与B的方向一致时，即θ＝0，sinθ＝0，线圈所受 的磁力矩为零，这时线圈处于稳定平衡位置。 （2）当m与B的方向垂直时，即θ＝π/2，sinθ＝1，线圈所 受的磁力矩最大，这时Mmax＝mB 。 （3）当m与B的方向相反时，即θ＝π，sinθ＝0，线圈所受 的磁力矩也为零，但这一平衡位置是不稳定的。
物理学
磁场对载流导线的作用
1.1 安培定律
如下图所示，在磁场中有一电流元Idl，电流元所在处的磁 感应强度为B。电流元中电子以速度v定向运动，其方向与电流 的流向相反。
由洛伦兹力公式可知，一个电子受到的洛伦兹力为F＝ qv×B＝-ev×B，方向沿x轴正向。设电流元中自由电子个数为 dN，这dN个自由电子所受洛伦兹力的总和即为电流元所受的安 培力，即 dF＝dN（-ev×B）
磁场对载流导线和载流线圈的作用
M
F1
P O
I N
F4
F3 BIl1 sin (π ) F3 F4 在同一条直线上 F F1 F2 F3 F4 0
F2
B
en
O,P
F2
M F1l1 sin BIl2l1 sin M,N M BIS sin F1 M ISen B m B 线圈有N匝时 M NISen B
22
大学物理 （下）
例 3 求两平行无限长直导线之间的相互作用力？
解
电流 2 中单位长度上受的安培力
0 I1 电流 2 处于电流 1 的磁场中 B1 2a
0 I1 I 2 f12 I 2 B1 2a
I1
f 21 f12
I2
同时，电流 1 处于电流 2 的磁场中， 电流 1 中单位长度上受的安培力
第十章 稳恒电流的磁场
B
en
29
大学物理 （下）
e （1） n 与 B
稳定平衡
× × ×I × × × × × × × × × × ×
讨论
0 I1 I 2 f 21 I1 B2 2a
电流单位安培的定义:
B1
真空中通有同值电流的两无限长平行直导线，若相距 1 米，
a
单位长度受力2×10-7N，则电流为1 安培。
第十章 稳恒电流的磁场
23
大学物理 （下）
例4 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动 0 I1 1 f1 I 2bB1 I 2b I1 解 2a 2 方向向左 0 I1 3 f3 I 2bB3 I 2b I2 4a 方向向右 1 3 b 2a 2 f 2 I 2dlB1 sin a 2 2a I a 0 I1I 2 0 1 I 2dx ln 2 a a 2x 2 4 f4 f2 x 4 o
磁场对载流线圈的作用
= πr dI = πσωr dr 方向沿轴线向上, π 3 所受磁力矩： 所受磁力矩： dM = dPm B sin = dPm B = πσωBr dr dPm 磁矩： 磁矩：
2
3
dq dqω dI = = = ωσrdr T 2π
2
M = ∫ dM = ∫ πσωBr dr = 0
3
R
ωσBπR
M = IBπ R2例3：一半径为 R 的薄圆盘,放在磁感应强度为 B 的均 匀磁场中, B 的方向与盘面平行,如图所示,圆盘表面的 电荷面密度为 σ ,若圆盘以角速度 ω 绕其轴线转动,试求 作用在圆盘上的磁力矩。 作用在圆盘上的磁力矩。 ω 解：取半径为 r, 宽为dr的圆 dr 环 。 dq = σ ⋅ 2πrdr 圆环带电量： 圆环带电量 ： r Rσ B 转动形成电流
2R +x
2
B=
µ0I
2R
(
3 2 2
)
B=
µ 0 nI
2
(cos β 1 − cos β 2 )
B = µ 0 nI
B内 = µ0 nI
B外 = 0
3. 掌握磁感应线和磁通量的物理意义； 掌握磁感应线和磁通量的物理意义；理解磁场高 斯定理； 斯定理；能计算简单非均匀磁场中， 能计算简单非均匀磁场中，某回路所包围 面积上的磁通量。 面积上的磁通量。
2. 掌握毕－ 掌握毕－萨定律， 萨定律，掌握磁场叠加原理， 掌握磁场叠加原理，能计算简 单几何形状的载流导体产生的稳恒磁场分布 r (1) 毕－萨定律 r µ0 I dl × r ˆ dB = ⋅ 2 电流元产生的磁场 4π r µ 0 Id l sin θ 大小： 大小 ： r 2 4 π r dB 方向： 方向：右手法则
物理-磁场对载流导线与线圈的作用
平行反向载流导线之间的力会怎样(方向、大小)?
电流单位“安培”定义如下:
真空中当两无限长圆形 截面平行载流导线相距1m， 通以相同电流，单位长度的 相互作用力为210-7 N 时, 导线内电流为1安培.
验证如下：当 I1 =I2 =1A
B dl1
A I1
I2 C
D dl2
dF 0 I1I2 0 2 107 N/m dl 2 d 2
结 均匀磁场中任意载流共面导线所受的磁场力 论 ＝载有相同电流的直导线所受的磁场力
对任意闭合回路均有
于是
二、磁场对载流线圈的作用
推 均匀磁场中任意载流共面闭合线圈所受的
论
磁场力的合力等于零。
讨论
平面载流线圈在 均匀磁场中所受力矩 是否也零？
侧视图
二、磁场对载流线圈的作用
设：ab cd l1 bc da l2
电磁学第十八讲
磁场对载流导线的作用
回顾、带电粒子在均匀磁场中的运动
1、粒子的初速度
vv ^B
R m
qB
T 2 m
qB
回转周期与速率无关：质谱仪、回旋加速的物理基础
回顾、带电粒子在非均匀磁场中的运动
１、横向磁约束与磁镜效应
q, m
F////
v υ
F q B
v
Bv
F
Frr
F
v
F （对称轴）
dF dN(qυ B)
安培力是洛仑兹力的集体
宏观表现！
B
I
S
dl
一、磁场对载流导线的作用 2、任意形状载流导线在外磁场中受到的安培力
v
v
vv
F LdF LIdl B
Idl
I
磁场对载流导线的作用
磁场对载流导线的作用一安培力1.安培力：，写成矢量式：。
此式既是一个电流元Idl在外磁场B中受力的基本规律，又是定义磁感应强度B的依据。
二平行无限长直导线间的相互作用如图：设两导线的垂直距离为d，其中电流强度分别为I1，I2，电流方向相同,在导线CD上任取电流元I2dl2，其受力dF2 =B1I2dl2 又由于,且在导线CD中每一电流元受力方向相同，故其每单位长度所受力为：方向:垂直CD指向AB。
同理在导线AB中每单位长度所受力为：方向: 垂直AB指向CD，故两导线相互吸引。
同样可证明当两导线电流方向相反时则两导线相相互斥。
三电流电位的规定在真空中有两根平行的长直导线，它们之间相距1m，两导线上电流的流向相同、大小相等。
当两导线每单位长度上的吸引力为时，导线中流有的电流定义为1A。
四矩形载流线圈在匀称磁场中所受的力矩在匀称磁场中，有一刚性矩形载流线圈abcd，它的边长分别为l1和l2，电流为I。
设的方向（电流绕行方向的右手螺旋方向）与B方向之间的夹角为。
对于导线ad段和bc段，作用力的大小相等、方向相反，并且在同始终线上，所以它们的合力及合力矩都为零。
而导线ab段和cd段所受磁场作用力的大小则分别为:。
这两个力大小相等、方向相反，但不在同始终线上，因此磁场作用在线圈上的磁力矩的大小为:考虑线圈的磁矩，则上式矢量表示为:假如线圈有N匝，那么其所受的磁力矩应为：考虑下述几种特别状况：（1）当时，线圈平面与B垂直，，此时线圈处于稳定平衡状态；（2）当时，线圈平面与B平行，；（3）当时，线圈平面与B垂直，但载流线圈的方向与B的方向相反，M=0，此时线圈是处于不稳定平衡状态。
不稳定平衡状态稳定平衡状态总之，磁场对载流线圈作用的磁力矩，总是使磁矩M转到磁感强度B 的方向上。
磁场对载流线圈的作用(3)
F
. . . .B .
π,M 0
B
π 2
,M
M max
第7 章 恒定磁场
3
物理学
第五版
7-7 磁场对载流线圈的作用
➢ 结论: 均匀磁场中，任意形状刚性闭合
平面通电线圈所受的力和力矩为
F 0, M mB
m
//
B,
M 0
0 稳定平衡
p 非稳定平衡
m
B
,
➢ 磁矩
M M max mB,
实验测定 游丝的反抗力矩与线圈转过
的角度 成正比.
N
S
M a
BNIS a
I a K
NBS
2021/3/8
第7 章 恒定磁场
磁 铁
11
物理学
第五版
7-7 磁场对载流线圈的作用
指导书P89计11、16
2021/3/8
第7 章 恒定磁场
12
m NISen
π /2
en与 I 成右螺旋
2021/3/8
第7 章 恒定磁场
4
物理学
第五版
7-7 磁场对载流线圈的作用
例 边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝，通
以电流2A ，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀
磁场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？
磁力矩等于多少？
解 M NBISsin
小为0.08T，方向沿 x
y
轴正向.
J
问线圈受力情况怎样？ I
线圈所受的磁力矩又 Q o
B
R
Kx
为多少？
zP
2021/3/8
第7 章 恒定磁场
6
物理学
载流导线在磁场中所受的力磁场对载流线圈的作用
载流导线在磁场中所受的力磁场对载流线圈的作用
物理作业
当一个载流线圈进入到磁场中，磁场会对载流线圈的回路造成影响，引起电流的流动。
1、电流流动
当一个载流线圈进入磁场中，其载体上的电压在机械施加电势差的基础上，受磁场的作用产生另外的电势差，由于存在电势差，就会有电流流动，这就是受磁场作用的结果。
根据霍尔定律，当电流流动时，磁场中的磁感应强度会受到影响，只要有电流流动就会改变磁场中的磁感应强度，进而引起磁场的变化。
2、磁场
当载流线圈进入磁场中时，会产生磁力，这个磁力会对载流线圈的回路造成影响，使其具有电磁能。
电磁能的大小取决于磁力大小，磁力的大小又取决于磁场的强度和磁力矢量的方向，所以，磁场的强度和方向对电磁能的大小起着关键性作用。
3、电磁对抗
当载流线圈进入到磁场中时，磁场会影响载流线圈的回路，使其具有电磁能，电磁能的大小取决于电压和磁力的大小，因此，载流线圈在磁场中的电磁能可以用电压和磁力两个度量表示。
当磁场和电压产生相互作用时，载流线圈会受到电磁对抗的作用，它会发出声音或震动，从而受到磁场的影响。
4、磁通率
当载流线圈进入到磁场中时。
10-6-3 磁场对载流线圈的作用-精选文档
10.5.3 磁场对载流线圈的作用
第10章 稳恒磁场
10
10.5.3 磁场对载流线圈的作用
第10章 稳恒磁场
11
10.5.3 磁场对载流线圈的作用
第10章 稳恒磁场
12
10.5.3 磁场对载流线圈的作用
第10章 稳恒磁场
例2 如图半径为0.20m，电流为20A，可绕轴旋转 的圆形载流线圈放在均匀磁场中 ，磁感应强度的大小 为0.08T，方向沿 x 轴正向.问线圈受力情况怎样？ 线 圈所受的磁力矩又为多少？ 解 把线圈分为JQP和PKJ两部分
上式成立的条件： 磁场是均匀的，线圈是任意形状的平面线圈。
3
10.5.3 磁场对载流线圈的作用 讨 论 1）en方向与 B 相同
稳定平衡
+ + +
第10章 稳恒磁场
M IS e B P B n m
2）方向相反 不稳定平衡
3）方向垂直
力矩最大
. I . . + + + + + + F . . . + F + + + + + . . . B
10.5.3 磁场对载流线圈的作用
一、载流线圈在磁场中受到的磁力矩
第10章 稳恒磁场
如图 均匀磁场中有一刚性矩形载流线圈MNOP 规定：与电流满足右手定 则的法线方向为正向。
F3
M
P
MN l l 2 NO 1
PM 边受到安培力:
F1
I
F BIl sin( π φ ) 3 1
0 P // B ,M 0 m
稳定平衡 非稳定平衡
8-7磁场对载流线圈的作用
为0.08T，方向沿 x 轴正向.问线圈受力情况怎样？ 线
圈所受的磁力矩又为多少？
解 把线圈分为JQP和PKJ两部分
FJQP
BI(2R)k
0.64kN
I
FPKJ BI (2R)k 0.64kN Q
以Oy为轴，Idl 所受磁力矩大小 z
y
B
J
x
R
o d K x
l
I
F
B
A=Faa'= BIl aa'
c
b
b'
导线移动前：通过abcd的磁通量， Φ0=Blad 导线移动后：通过a'b'cd的磁通量．Φ=Bla'd
ΦΦΦ0 Blaa'
导线移动时磁力所做的功等于导 线中的电流强度与通过回路环绕
A I
的面积内磁通量增量的乘积
8－7 磁场对载流线圈的作用
m
B
,
M M max mB,
π /2
磁矩 m NISen
en与 I 成右螺旋
8－7 磁场对载流线圈的作用
例1 边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝 ，通 以电流2A ，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁 场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁 力矩等于多少？
NBS
载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功
如图（俯视图），当线圈在磁力矩
f2'
作用下，从φ位置转过dφ角度 时，磁力矩做功dA=－Mdφ
负号表示磁力矩 做正 功时使φ减小。
M Pm B ISBsin
a(b)
f2
9-7 磁场对载流线圈的作用
M IBπ R
2
P
9－7 磁场对载流线圈的作用
二
第九章 稳恒磁场
磁电式电流计原理 实验测定 游丝的反抗力矩与线圈转过的角度 成正比. N S
磁铁
M a
BNIS a a I K NBS
2
M NBIS 50 0.05 2 (0.2) N m
M 0 .2 N m
问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？
9－7 磁场对载流线圈的作用
第九章 稳恒磁场
例2 如图半径为0.20m，电流为20A，可绕轴旋转 的圆形载流线圈放在均匀磁场中 ，磁感应强度的大小 为0.08T，方向沿 x 轴正向.问线圈受力情况怎样？ 线 圈所受的磁力矩又为多少？ 解 把线圈分为JQP和PKJ两部分
y
B
FJQP BI (2R)k 0.64kN I FPKJ BI (2R)k 0.64kN Q
z
J
o
x
R
K
以Oy为轴， Idl 所受磁力矩大小
d
x
P
dM xdF IdlBx sin
x R sin , dl Rd
9－7 磁场对载流线圈的作用
9－7 磁场对载流线圈的作用
一 磁场作用于载流线圈的磁力矩
第九章 稳恒磁场
如图 均匀磁场中有一矩形载流线圈MNOP
MN l2 NO l1 F1 BIl2 F1 F2
F3
I
M
P
F3 BIl1 sin(π ) F3 F4 4 F Fi 0
i 1
F1
N F4
O
F2 B
第九节 磁场对载流线圈的作用
10-7 磁场对载流线圈的作用一、磁场作用于载流线圈的磁力矩下面用安培定律来研究磁场对载流线圈的作用。
如下图所示，在磁感强度为B 的均匀磁场中，有一刚性矩形载流线圈MNOP ，它的边长分别为1l 和2l ，电流为I ，流向自M P O N M →→→→，设线圈平面的单位正法向矢量n e的方向与磁感强度B 方向之间的夹角为θ，即线圈平面与B 之间夹角为φ（)2/π=+θφ，并且MN边及OP 边均 与B 垂直。
由安培定律知磁场对导线NO 段和PM 般作用力大小相等，方向相反，并且在同一直线上，所以对整个线圈来讲，它们的合力及合力矩都为零。
导线MN 和OP 段受磁场力大小则分别为21BIl F = 22BIl F =这两个力大小相等，方向亦相反，但不在同一直线上，对线圈要产生磁力矩φcos 11l F M =。
由于θφ-=2/π，所以θφsin cos =，则有θθsin sin 1211l BIl l F M ==或θsin BIS M =（10-17a ）式中21l l S =为矩形线圈的面积，磁矩ne m IS =，此处ne 为线圈平面的正法向矢量. 所以上式用矢量表示则为Bm B e M ⨯=⨯=n IS （10-17b ）如果线圈不只一匝，而是N 匝，那么线圈所受的磁力矩应为Be M ⨯=n NIS （10-17c ）讨论： 载流线圈在均匀磁场中的运动问题（1）当载流线圈的ne 方向与磁感强度B 的方向相同（即︒=0θ），亦即磁通量为正向极大时，M=0，磁力矩为零，此时线圈处于平衡状态[图(a)]。
（2） 当载流线圈的ne 方向与磁感强度B 的方向相垂直（即︒=90θ），亦即磁通量为零时，M=NBIS ，磁力矩最大[图(b)]（3）当载流线圈的ne 方向与磁感强度B 的方向相反（即︒=180θ）时，M=0，这时也没有磁力矩作用在线圈上[图(c)]，不过，在这种情况下，只要线圈稍稍偏过一个微小角度，它就会在磁力作用下离开这个位置，而稳定在︒=0θ时的平衡状态，总之，磁场对载流线圈作用的磁力矩，总是要使线圈转到它的ne 方向与磁场方向相一致的稳定平衡位置(M10-8)。
7-9磁场对载流线圈的作用
第7 章 恒定磁场
物理学
第五版
7-7
磁场对载流线圈的作用
例4 如图半径为0.20m，电流为20A， 可绕轴旋转的圆形载流线圈放在均匀磁场 中 ，磁感应强度的大 y B 小为0.08T，方向沿 x J 轴正向. I 问线圈受力情况怎样？ R o Q K x 线圈所受的磁力矩又 为多少？ z
dM IBR sin d
2 2
d
x
z
P
第7 章 恒定磁场
物理学
第五版
7-7
磁场对载流线圈的作用
dM IBR sin d
2 2
M IBπ R 2 B Bi M m B
M sin d 2 m ISk I π R k y B
P
第7 章 恒定磁场
物理学
第五版
7-7
磁场对载流线圈的作用
解 把线圈分为JQP和PKJ两部分 FJQP BI (2R)k 0.64kN FPKJ Id l 以Oy为轴， y 所受磁力矩大小
J
B
dM xdF IdlBx sin
I
Q o
x
R K
x R sin , dl Rd
力矩最大
. .
.
×
× × F
× × × ×
×
×
× × ×
×
× × ×
×
×
I . . F
. .
.
.
.
.
.
.
I
.
.
.
.
B
×
.
.B .
F
.
大学物理10.6 磁场对载流线圈的作用Xiao
10.6
M
M m B
南 京 理 工
大 学
矢量式 mB sin m B
应 用 物 理 系
IB sin dS IB sin dS IBS sin
dM
磁场对载流线圈的作用 磁力的功 M mB sin 讨论: M m B 1）n 方向与 B 相同 2）方向相反 3）方向垂直 稳定平衡 不稳定平衡 力矩最大 . . . . .
dF Idl B sin IBdl cos
y
B
J
把线圈分成左右两半： 右半边: 受力垂直于纸面向里
cos 0 , dF 0
I
Q
z
用 物 理
R
o P
Id l
B
K x
左半边: 受力垂直于纸面向外
cos 0 , dF 0
南 京 理 工 大 学 应
C C’
F BIl A Fl AA' BIll AA'
BIS
A I
南 京 理 工 大 学
磁力所做的功，等于电 流与穿过电流回路的磁 通量的增量的乘积。
应 用 物 理 系
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
2 .载流线圈在磁场中转动时磁力矩的功 匀强磁场B, 线圈转动过程中, 电流保持不变. 磁力矩 M BIS sin d 0 功 dA Md BIS sin d Id ( BS cos )
10.6 磁场对载流线圈的作用 磁力的功
南
京
理
工
大
学
应
用
物
理
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10-7 磁场对载流线圈的作用
一、磁场作用于载流线圈的磁力矩
下面用安培定律来研究磁场对载流线圈的作用。
如下图所示，在磁感强度为B 的均匀磁场中，有一刚性矩形载流线圈MNOP ，它的边长分别为1l 和2l ，电流为I ，流向自M P O N M →→→→，设线圈平面的单位正法向矢量n e
的方
向与磁感强度B 方向之间的夹角为θ，即线圈平面与B 之间夹角为φ（)
2/π=+θφ，并且MN
边及OP 边均 与B 垂直。
由安培定律知磁场对导线NO 段和PM 般作用力大小相等，方向相反，并且在同一直线上，所以对整个线圈来讲，它们的合力及合力矩都为零。
导线MN 和OP 段受磁场力大小则分别为
21BIl F = 2
2BIl F =
这两个力大小相等，方向亦相反，但不在同一直线上，对线圈要产生磁力矩φ
cos 11l F M =。
由于
θ
φ-=2/π，所以
θ
φsin cos =，则有
θ
θsin sin 1211l BIl l F M ==
或
θsin BIS M =（10-17a ）
式中
2
1l l S =为矩形线圈的面积，磁矩
n
e m IS =，此处
n
e 为线圈平面的正法向矢量. 所以上
式用矢量表示则为
B
m B e M ⨯=⨯=n IS （10-17b ）
如果线圈不只一匝，而是N 匝，那么线圈所受的磁力矩应为
B
e M ⨯=n NIS （10-17c ）
讨论： 载流线圈在均匀磁场中的运动问题
（1）当载流线圈的
n
e 方向与磁感强度B 的方向相同（即︒=0θ），亦即磁通量为正向极大
时，M=0，磁力矩为零，此时线圈处于平衡状态[图(a)]。
（2） 当载流线圈的
n
e 方向与磁感强度B 的方向相垂直（即︒=90θ），亦即磁通量为零时，
M=NBIS ，磁力矩最大[图(b)]
（3）当载流线圈的
n
e 方向与磁感强度B 的方向相反（即︒=180θ）时，M=0，这时也没有磁
力矩作用在线圈上[图(c)]，不过，在这种情况下，只要线圈稍稍偏过一个微小角度，它就会在磁力作用下离开这个位置，而稳定在︒=0θ时的平衡状态，总之，磁场对载流线圈作用的磁力矩，
总是要使线圈转到它的
n
e 方
向与磁场方向相一致的稳定
平衡位置(M10-8)。
（4）式（10-17）虽然是从矩形线圈推导出来的，但可以证明它对任意形状的平面线圈都是成立的。
二、例题
如上 图所示，半径为0.20m ，电流为20A ，可绕Oy
轴旋转的圆形载流线圈放在均匀磁场中，
磁感强度B 的大小为0.08T ，方向沿x 轴正向。
问线圈受力情况怎样？线圈受的磁力矩又为多少？
解 把圆线圈分为JKP 和
PQJ
两部分，由安培定律中可知，半圆JKP 所受的力
1
F 为
N
64.0 N 20.02008.022)2(1k k k k F -=⨯⨯⨯-=-=-=BIR R BI
即1
F 的方向与Oz 轴的正向相反，垂直屏幕向里，作用在半圆
PQJ
上的力
2
F 为
N
64.02)2(2k k k F ===BIR R BI
即
2F 的方向与Oz 轴的正向相同，
垂直屏幕向外，因此，作用在圆形载流线圈上的合力为零，
但力矩并不为零。
如上面右图所示，按照力矩的定义，对Oy
轴而言，作用在电流元l I d 上的磁力矩M d 的大小
为
θ
sin d d d lBx I F x M ==
由图可以看出，,d d ,sin θθR l R x ==上式为
于是，作用在整个线圈上的磁力矩M 的大小则为
⎰=π
2 0 22d sin θ
θIBR M
得
2
πR IB M =
力矩M 的方向沿
Oy
轴正向。
上述结果如用式（10-17b ）是很容易得到的，读者自己试一试。
三、思考题
1.
如下图，把一载流线圈放入一永久磁铁的磁场中，在磁场的作用下线圈将发
生转动。
（1）图(a )中的线圈怎样转动？
（2）图(b )中的线圈由上往下看是顺时针在转动，问磁铁哪一边是N 极？哪一边是S 极？ （3）图(c)中的线圈由上往下看是逆时针在转动，问线圈中电流的流向怎样？
θ
θd sin d 22IBR M =。