材料力学第五版孙训芳总结课件
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材料力学 孙训方第五版PPT课件
为负（压应力）
例题3 如图所示正方形截面的梯形柱，柱顶受轴向压力P作用，上
段柱重为G1，下段柱重为G2。已知：P=15kN，G1=2.5kN，G2=10kN。
求：上、下段柱的底截面1-1，2-2上的应力。
解： N 1 1 P G 1 1 7 .5 k N
P 200
11N A 1 11 10 1.7 2 .5 01 .2 034.375105Pa
思考？
P
P
P/2 P
PP
PP
P/2
该杆件是轴向拉伸变形吗？
.
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
一、内力
1、内力的概念：物体内部相邻部分之间相互作用的力
2、内力的计算（截面法）
m
P
P
X 0
m
P
N
N
P
NF0
NF
.
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
3、内力正负号的规定
N
N
同一截面位置处左、右两侧截面上的内力必须具有相 同的正负号
2N A22 22000 110036 100MPa
m ax2100M P a
.
第四节 拉、压杆件的变形
3P
3P
P
P
L1
L2
L3
（3）
D LD L 1D L2D L3
N1L1 N2L2 N3L3 EA1 EA2 EA3
2 2 ( 0 0 1 0 1 )0 9 1 0 3 2 0 0 2 5 0 1 0 1 6 0 1 3 .5 2 2 0 0 0 1 1 0 0 3 9 2 2 5 0 0 0 1 1 0 0 3 6
令： ' λ：材料泊松比
材料力学(孙训方)PPT课件
[例3-2-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1
9.55P1 n
9.55500 300
A
15.9(kN m)
B
C
D
m 2 m 3 9 .5P n 5 2 9. 5 1 35 5 0 4 .0 0 7(8 k m N) m 49 .5P n 5 49. 5 3 25 0 0 6 0 0 .3(7km N)
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
其中：P n
— —
功率，马力（PS） 转速，转/分（rpm）
1PS=735.5N·m/s , 1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正， 反之为负。
m2
m3
m1
m4
A
B
C
T
– –
4.78 kNm
9.56 kNm
D
6.37 kNm
x
例 32-2已知 :m12kN m,m2 4kN m,m3
1kN m,m4 1kN m,求:各段扭矩及画扭
解：1——1:
m4 3 m3 2 m2 1 m1
M0 m1T10
T1 m1 2kNm
材料力学(孙训方课件)
P
综上，接头安全。
1 2 3
例8-1-5:一个铆钉连接三块板，上下为覆板，覆板与连接板材料
相同，且有： t 2 P
h
分析铆钉的计算方法。 t h t
P
d
解: 上下段:
Q 2 2P 1 2 d 2 As d 4 P 2 P bs 1 td 2td P
P 2 P 2
P
(a)
校核铆钉的强度。 10 mm
t 16 mm
d 10 mm
P
P=10KN
t
d=10
P 2 P 2
(a)
P
解：铆钉单独取出， 如图 (a),Fra bibliotek三段，上下 相同：
考虑下段：
P Q 2 2 P 63 .7 MPa 2 As d d 2 4 P Q 2 P 50 MPa bs Abs d 2d
3、剪切强度条件（准则）:
Q AS
其中 :
u
n
三、挤压(Bearing)的实用计算 1、挤压力—Pbs:接触面上的合力
2、挤压面积:接触面在垂直Pbs方向上的投影面
3、挤压强度条件（准则）:
Pbs bs bs Abs
四、应用
1 、校核强度： ； bs bs
综上，键满足强度要求。
例8-1-3: 齿轮与轴由平键（b=16mm，h=10mm，）连接，它传递
的扭矩M=1600Nm，轴的直径d=50mm，键的许用剪应力为[]=
80M Pa ，许用挤压应力为[bs]= 240M Pa，试设计键的长度。 M
h 2
h d
解：：键的受力分析如图
材料力学(I)第三章(配孙训方版)(第五版)PPT课件
T
2 r02
T
2A0
A0：平均半径所作圆的面积。
三、剪应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
第三章 扭 转 (Torsion)
§3–1 概述 §3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件 ·超静定问题 §3–6 等直圆杆在扭转时的应变能 §3–7 等直非圆杆在自由扭转时的应力和变形 §3–8 开口和闭合薄壁截面杆在自由扭转时的应力和变形
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力 ②横截面上各点处，只产 dy 生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4. 与 的关系：
L R
R L
´
a
b
´
c
d
dx
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
A dAr0 T
r0 AdA r0 2 r0 T
②物理关系方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
各圆周线的形状、大小和间 距均未改变，仅绕轴线作相对转 动；各纵向线均倾斜了同一微小
角度 。
可假设： 1. 横截面变形后仍为平面； 只是刚性地绕杆轴线转动； 2. 轴向无伸缩；
可认为： 圆周扭转时可视为
材料力学(孙训方课件)
4、泊松比（或横向变形系数）
1 即: E
或 :
弹性定律是材料力学等固体力学中的一个非常重要的定律。一般认 为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡 克定律。
例 2-4-1 小变形放大图与位移的求法。
1、怎样画小变形放大图？
ym
N CD LCD
变形线如红线 : 2 ym LCD LAB LCD
3 PL 2 5 PL 19PL 4 EA 3 12EA 36EA
a, 求作用点B的位移。 例2 4 6 水平刚杆由斜拉杆 CD拉住，如图
a
A
a
、 EA L C 60 B
N(x)
0 N ( x) p
0
A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均匀分布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
N ( x) max max( ) A( x)
4. 公式的应用条件：
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
§2–1 轴向拉压的概念及实例
一、概念
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
：求各杆的变形量△Li ，如图；
A
L1
B L2 C P
△ L1
：变形图严格画法，图中弧线； ：变形图近似画法，图中弧之切线
1 即: E
或 :
弹性定律是材料力学等固体力学中的一个非常重要的定律。一般认 为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡 克定律。
例 2-4-1 小变形放大图与位移的求法。
1、怎样画小变形放大图？
ym
N CD LCD
变形线如红线 : 2 ym LCD LAB LCD
3 PL 2 5 PL 19PL 4 EA 3 12EA 36EA
a, 求作用点B的位移。 例2 4 6 水平刚杆由斜拉杆 CD拉住，如图
a
A
a
、 EA L C 60 B
N(x)
0 N ( x) p
0
A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均匀分布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
N ( x) max max( ) A( x)
4. 公式的应用条件：
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
§2–1 轴向拉压的概念及实例
一、概念
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
：求各杆的变形量△Li ，如图；
A
L1
B L2 C P
△ L1
：变形图严格画法，图中弧线； ：变形图近似画法，图中弧之切线
材料力学第5版(孙训方编)
FAy
F
(b)
5. 将上述二个补充方程与由平衡条件ΣMA=0所得平衡方程
FN1a FN3
1 2
a
FN
2
(2a)
F
(3a)
0
联立求解得
FN3
3 2F 110 2
，FN1
2FN3
6 2F 110 2
，FN2
4FN3
12 2F 110 2
17
第六章 简单的超静定问题
Ⅱ. 装配应力和温度应力 (1) 装配应力
所以这仍然是一次超静定问题。
23
第六章 简单的超静定问题
2. 变形相容条件(图c)为 l1 l3 e
这里的l3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。 3. 利用物理关系得补充方程：
FN1l FN3l e EA E3 A3
24
第六章 简单的超静定问题
4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：
FN1 FN2
MA
Me
MB
Me
Mea l
M eb l
34
第六章 简单的超静定问题 (a)
4. 杆的AC段横截面上的扭矩为
TAC
M A
M eb l
从而有
C
TAC a GI p
M eab lGI p
35
第六章 简单的超静定问题
例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧 配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求 铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上 切应力沿半径的变化情况。
而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为
FN1
FN 2
FN3
2 c os
2
孙训方《材料力学》课件讲义
1．线应变
线应变 是单位长度 上的变形量，无量 纲，其物理意义是 构件上一点沿某一 方向变形量的大小
2．角应变
角应变 —— 即一点单元体两棱角直角的改变 量,无量纲
§1-4 材料力学的主要研究对象
材料力学的主要研究对象从几何方面抽象为杆件。
杆件：长度远大于横向尺寸的构件。杆件主要几 何因素是横截面和轴线，其中横截面是与轴线垂 直的截面；轴线是横截面形心的连线。
纳米力学、流体力学、理性力学 2.有助于后续专业课程学习
建筑结构、 机械设计、结构设计原理 3.有助于学习其它工程：
土木、机械、航空、航天、交通、运输、材料、 生物工程、仪表等 4.今后工程工作中直接受益
§1.2 变形固体的基本假设
在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称 为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，故构 件一般都是变形固体。
第一章 绪论及基本概念
主要内容
§1-1 材料力学的任务 §1-2 变形固体的基本假设 §1-3 基本概念 §1-4 材料力学的主要研究对象 §1-5 杆件变形的基本形式
【学 时】2 【基本要求】
掌握材料力学的性质、任务和研究对象. 掌握构件的强度、刚度和稳定性问题的概念.
懂得其重要性，激起学习它的兴趣. 理解材料力学的基本假设、基本概念及研究方法.
p ΔP ΔA
应力是一个矢量
应力不但与点有关，而且也与面的方位有关 C点的应力——当面积趋于零时，平均应力的大
小 和方向都将趋于一定极限，得到
lim p
P dP
A0 A dA
应力的国际单位为N/m2 1N/m2 = 1Pa（帕斯卡）
1MN/m2 = 1MPa = 106 N/m2 = 106Pa
1GPa = 1GN/m2 = 109Pa
线应变 是单位长度 上的变形量，无量 纲，其物理意义是 构件上一点沿某一 方向变形量的大小
2．角应变
角应变 —— 即一点单元体两棱角直角的改变 量,无量纲
§1-4 材料力学的主要研究对象
材料力学的主要研究对象从几何方面抽象为杆件。
杆件：长度远大于横向尺寸的构件。杆件主要几 何因素是横截面和轴线，其中横截面是与轴线垂 直的截面；轴线是横截面形心的连线。
纳米力学、流体力学、理性力学 2.有助于后续专业课程学习
建筑结构、 机械设计、结构设计原理 3.有助于学习其它工程：
土木、机械、航空、航天、交通、运输、材料、 生物工程、仪表等 4.今后工程工作中直接受益
§1.2 变形固体的基本假设
在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称 为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，故构 件一般都是变形固体。
第一章 绪论及基本概念
主要内容
§1-1 材料力学的任务 §1-2 变形固体的基本假设 §1-3 基本概念 §1-4 材料力学的主要研究对象 §1-5 杆件变形的基本形式
【学 时】2 【基本要求】
掌握材料力学的性质、任务和研究对象. 掌握构件的强度、刚度和稳定性问题的概念.
懂得其重要性，激起学习它的兴趣. 理解材料力学的基本假设、基本概念及研究方法.
p ΔP ΔA
应力是一个矢量
应力不但与点有关，而且也与面的方位有关 C点的应力——当面积趋于零时，平均应力的大
小 和方向都将趋于一定极限，得到
lim p
P dP
A0 A dA
应力的国际单位为N/m2 1N/m2 = 1Pa（帕斯卡）
1MN/m2 = 1MPa = 106 N/m2 = 106Pa
1GPa = 1GN/m2 = 109Pa
孙训方第五版 材料力学课件-高等教育出版社
扭转
T n
纯弯曲
M
M
第二章 轴向拉伸和压缩
主讲教师：郑新亮
2016年12月13日星期二
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
轴向拉伸与压缩是四种基本变形中最基本、最 简单的一种变形形式。 1、工程实例
拉杆 P
压杆
P
P
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
2、轴向拉伸与压缩的概念
受力特点：作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合 变形特点：沿轴线方向产生伸长或缩短
变 形
{
弹性变形 塑性变形
材料力学是在弹性范围内研究构件的承载能力
第二节 变形固体的基本假设
材料力学对变形固体所做的几个基本假设：
1 均匀连续性假设
变形固体的机械性质在固体内各点都是一样的，并且组成变形 固体的物质毫无空隙的充满了构件的整个几何容积。
2 各向同性假设
变形固体在各个方向上具有相同机械性质。具有相同机械性质 的材料为各向同性材料。
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
横截面上的应力分布：
F
ζ
1、正应力的概念：
内力在横截面上的分布集度
N A
单位： 帕斯卡 Pa （=N/m2）
常用单位： MPa=106 Pa GPa=109 Pa
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2、正应力的符号规定：
当轴向力为正时，正应力为正（拉应力），反之 为负（压应力）
2
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
讨论： cos 2 sin 2 2
45 90
0
o
o
,max
T n
纯弯曲
M
M
第二章 轴向拉伸和压缩
主讲教师：郑新亮
2016年12月13日星期二
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
轴向拉伸与压缩是四种基本变形中最基本、最 简单的一种变形形式。 1、工程实例
拉杆 P
压杆
P
P
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
2、轴向拉伸与压缩的概念
受力特点：作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合 变形特点：沿轴线方向产生伸长或缩短
变 形
{
弹性变形 塑性变形
材料力学是在弹性范围内研究构件的承载能力
第二节 变形固体的基本假设
材料力学对变形固体所做的几个基本假设：
1 均匀连续性假设
变形固体的机械性质在固体内各点都是一样的，并且组成变形 固体的物质毫无空隙的充满了构件的整个几何容积。
2 各向同性假设
变形固体在各个方向上具有相同机械性质。具有相同机械性质 的材料为各向同性材料。
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
横截面上的应力分布：
F
ζ
1、正应力的概念：
内力在横截面上的分布集度
N A
单位： 帕斯卡 Pa （=N/m2）
常用单位： MPa=106 Pa GPa=109 Pa
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2、正应力的符号规定：
当轴向力为正时，正应力为正（拉应力），反之 为负（压应力）
2
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
讨论： cos 2 sin 2 2
45 90
0
o
o
,max
材料力学(孙训方课件)
Pcr ( 1l )
2
L
(0.7 0.5)
2
40 .3kN
8 4 图（b） I min I z 3.89 10 m
图（a）
图（b）
Pcr
2 500 113 .6 p i 8.8 2 I min E 2 38.9 200
( 2l )
Pcr 2
2 EI
(0.5 L) 2
2
2E
d 4
64 2
0.5 L
3 Ed 4
8 L2
（2）下端固定，上端自由，y为中性轴 （左右失稳） d 4 d 2 a 2 2E 2 2 4 2 EI y 64 Pcr 2 L2 2 L2
Pcr
128L （3）下端固定，上端自由， z为中性轴 （前后失稳） d 4 2E 2 2 EI z 3 Ed 4 64 Pcr 2 2 128L2 2 L 2 L
比较可知，（3）中为最小的临界载荷
3 Ed 2
2
d
2
4a 2
(2)
Pcr
(3)
例 12-2-4 铰接桁架，两杆均为抗弯刚度为EI的细长杆。 (1)若a=1.2m，b=0.9m，确定水平力的最大值 ； (2)保持斜杆BC的长度不变。确定充分发挥两杆承载能力的a角。 A 1.6m 解：(1)：平衡分析 N AB 临界力 B
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
二、中小柔度杆的临界应力计算 1、直线型经验公式 ①、p<<s 时：
cr a b
cr a b s
s a
2
L
(0.7 0.5)
2
40 .3kN
8 4 图（b） I min I z 3.89 10 m
图（a）
图（b）
Pcr
2 500 113 .6 p i 8.8 2 I min E 2 38.9 200
( 2l )
Pcr 2
2 EI
(0.5 L) 2
2
2E
d 4
64 2
0.5 L
3 Ed 4
8 L2
（2）下端固定，上端自由，y为中性轴 （左右失稳） d 4 d 2 a 2 2E 2 2 4 2 EI y 64 Pcr 2 L2 2 L2
Pcr
128L （3）下端固定，上端自由， z为中性轴 （前后失稳） d 4 2E 2 2 EI z 3 Ed 4 64 Pcr 2 2 128L2 2 L 2 L
比较可知，（3）中为最小的临界载荷
3 Ed 2
2
d
2
4a 2
(2)
Pcr
(3)
例 12-2-4 铰接桁架，两杆均为抗弯刚度为EI的细长杆。 (1)若a=1.2m，b=0.9m，确定水平力的最大值 ； (2)保持斜杆BC的长度不变。确定充分发挥两杆承载能力的a角。 A 1.6m 解：(1)：平衡分析 N AB 临界力 B
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
二、中小柔度杆的临界应力计算 1、直线型经验公式 ①、p<<s 时：
cr a b
cr a b s
s a
材料力学课件-料力学_孙训方
y 2 dA
=
i
2 x
A
A
I y =
x2dA =
i
2 y
A
A
或
ix
Ix A
或
iy
Iy A
式中的ix、iy称为截面对X、Y轴的惯性半径，其单位与长度单位相同。
材料力学电子教程
附录
13
定义下列积分：
y
x
dA
xC
C
r
y yC
I p = r 2dA (x2 y2 )dA
A
A
为图形（整个截面）对坐标原点O的极惯性矩。
其中X轴平行于X1轴，Y轴平行于Y1轴。 X1=X+b Y1=Y+a
I x1 y12dA y2dA 2a ydA a2 dA
A
Ix
A
2aS x
a2 A
A
A
I y1 x12dA x2dA 2b xdA b2 dA
A
Iy
A
2bS y
yc1 y1
Y
解：
H/ 2
A
b(h 2
y1 )
C
H/ 2
X
yc1
y1
1(h 22
y1
)
1( 2
h 2
y1
)
b
Sx
A yc 1
b(h 2
y
1
)
1( 2
h 2
y1 )
b( h2 8
4 y12
)
材料力学电子教程
材料力学第5版(孙训方编)第八章
13
第八章 组合变形及连接部分的计算
故有中性轴的方程：
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
tanq z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z
其中 角为合成弯矩 M
M
2 y
M
2 z
与y的夹角。
14
第八章 组合变形及连接部分的计算
tanq I y tan
c
z
dA
y
z
dA
y
(a)
横截面对于形心主惯性轴 的惯性矩则称为形心主惯性矩 (principal centroidal moment of inertia)。
29
第八章 组合变形及连接部分的计算
显然当梁的横截面具有一个对称轴时，这个对称轴和它垂 直的形心轴都是形心主惯性轴，外力产生的弯矩作用在包含其 中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲。
c
z
dA
y
z
dA
y
(a)
反之如果荷载产生的 弯矩作用在包含z轴的纵向 面内，亦发生平面弯曲。
28
第八章 组合变形及连接部分的计算
yz d A称为横截面对于一对相互垂直轴y , z的惯性积 A
（product of inertia）,用Iyz表示。
而满足Iyz=0 且通过横截面形心的一对正交轴（y轴和z轴） 称为形心主惯性轴（principal centroidal axis of inertia）。
MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2， 故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面 和D 截面上的最大弯曲正应力。
第八章 组合变形及连接部分的计算
故有中性轴的方程：
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
tanq z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z
其中 角为合成弯矩 M
M
2 y
M
2 z
与y的夹角。
14
第八章 组合变形及连接部分的计算
tanq I y tan
c
z
dA
y
z
dA
y
(a)
横截面对于形心主惯性轴 的惯性矩则称为形心主惯性矩 (principal centroidal moment of inertia)。
29
第八章 组合变形及连接部分的计算
显然当梁的横截面具有一个对称轴时，这个对称轴和它垂 直的形心轴都是形心主惯性轴，外力产生的弯矩作用在包含其 中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲。
c
z
dA
y
z
dA
y
(a)
反之如果荷载产生的 弯矩作用在包含z轴的纵向 面内，亦发生平面弯曲。
28
第八章 组合变形及连接部分的计算
yz d A称为横截面对于一对相互垂直轴y , z的惯性积 A
（product of inertia）,用Iyz表示。
而满足Iyz=0 且通过横截面形心的一对正交轴（y轴和z轴） 称为形心主惯性轴（principal centroidal axis of inertia）。
MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2， 故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面 和D 截面上的最大弯曲正应力。
材料力学第5版(孙训方编,高等教育出版社)第四章
FB
Fa l
AC段梁
FS(x)
M x
FSx FA
Fb l
0 x a
M x
FA x
Fb x l
0
x
a
第30页 / 共207页
材料力学 F
F
FS(x)
x
M x
如截面法，保留右侧梁， 计算更简便。
第四章 弯曲应力
Fb
Fa
FA l , FB l
CB段梁
FS x
Fb l
F
F
l
l
b
Fa a x l
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
第6页 / 共207页
材料力学
第四章 弯曲应力
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲(对称弯曲 以及特殊条件下的非对称弯曲）。
l
F l a x
l
第15页 / 共207页
材料力学
第四章 弯曲应力
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力（参见课本P8）；梁的 横截面上作用在纵向平面内的 内力偶矩是与梁的弯曲相对应， 故称为弯矩。
第16页 / 共207页
体(图b)的平衡条件可知：
FS
FA
Fl
l
a,
M
FA x
Fl a
l
x
第13页 / 共207页
材料力学
第四章 弯曲应力
它们的指向和转向如图b中
材料力学(孙训方课件)
无 应 力 集 中 的 光 滑 试的 持 久 极 限 件
2、 —— 尺寸系数：
大 尺 寸 光 滑 试 件 的 持限 久 光滑小试件的持久限
( r )
r
3、 —— 表面质量系数：
构件持久限
光滑试件持久限
( r ) ( r )d
如果循环应力为剪应力，将上述公式中的正应力换为剪应力即可。
当 : b 900MPa 时， 1.25 K
当 : b 920MPa 时， 应用直线插值法
1.28 1.25 K 1.25 (920 900) 1.26 100 900
由表查尺寸系数
0.81
§16－5 对称循环下，构件的疲劳强度计算 一、对称循环的疲劳容许应力:
2、裂纹尖端严重的应力集
中促使微观裂纹逐渐扩展， 形成宏观裂纹。 3、裂纹尖端一般处于三向拉 应力状态，不易出现塑性变 形，当裂纹扩展到一定限度
时，将会骤然迅速扩展，使
构件截面严重削弱，从而发 生突然脆性断裂。
§16－2
交变应力的几个名词术语 一、循环特征： min ; ( min max ) max r max ; ( max min ) min
第十六章
§16–1 概述
交变应力
§16–2 交变应力的几个名词术语
§16–3 材料持久限及其测定
§16–4 构件持久限及其计算 §16–5 对称循环下，构件的疲劳强度计算 §16–6 非常温静载下,材料力学性能简介
§16－１ 概 述 一、交变应力：构件内一点处的应力随时间作周期性变化，这 种应力称为交变应力。
P
P
折铁丝
二、交变应力下，构件产生疲劳破坏，疲劳破坏的特点:
2、 —— 尺寸系数：
大 尺 寸 光 滑 试 件 的 持限 久 光滑小试件的持久限
( r )
r
3、 —— 表面质量系数：
构件持久限
光滑试件持久限
( r ) ( r )d
如果循环应力为剪应力，将上述公式中的正应力换为剪应力即可。
当 : b 900MPa 时， 1.25 K
当 : b 920MPa 时， 应用直线插值法
1.28 1.25 K 1.25 (920 900) 1.26 100 900
由表查尺寸系数
0.81
§16－5 对称循环下，构件的疲劳强度计算 一、对称循环的疲劳容许应力:
2、裂纹尖端严重的应力集
中促使微观裂纹逐渐扩展， 形成宏观裂纹。 3、裂纹尖端一般处于三向拉 应力状态，不易出现塑性变 形，当裂纹扩展到一定限度
时，将会骤然迅速扩展，使
构件截面严重削弱，从而发 生突然脆性断裂。
§16－2
交变应力的几个名词术语 一、循环特征： min ; ( min max ) max r max ; ( max min ) min
第十六章
§16–1 概述
交变应力
§16–2 交变应力的几个名词术语
§16–3 材料持久限及其测定
§16–4 构件持久限及其计算 §16–5 对称循环下，构件的疲劳强度计算 §16–6 非常温静载下,材料力学性能简介
§16－１ 概 述 一、交变应力：构件内一点处的应力随时间作周期性变化，这 种应力称为交变应力。
P
P
折铁丝
二、交变应力下，构件产生疲劳破坏，疲劳破坏的特点:
材料力学(II)第五章材料力学孙训方_图文
2
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
§5－2 平面应力状态下的应变分析
本节研究平面应力状态下，一点处在该平面内的应变随方向 而改变的规律。 Ⅰ. 任意方向的应变
设在平面应力状态下的平面内 ，过O点处有两组坐标系xOy
和xOy ，a 角以逆时针旋转为正
，如图a所示。
3
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
1. 只有正值ex(图b)，设 不动，矩形OAPB→OA'P'B,
的伸长量为 (b)
O点沿 x 方向的线应变为
(c)
5
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
2. 只有正值ey(图c)， 沿x' 方向的线应变为
6
的伸长量为 （d）
(e)
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
3. 只有正值gxy(图d)， 沿 x' 方向的线应变为
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
，可得
（5-11）
此即为旋钮读数与测量电桥4个应变片的线应变之间的关系。
Ⅲ. 应变测量中的一些问题
(1) 测量电桥的接线
1. 半桥接线法：测量电桥的R1和R2两臂接上应变片， R3
和R4为电阻应变仪内的标准电阻，该两电阻不随构件一起变形
，即e3=e4＝0,
则
e R= e1-e2
eR=e1+e3-e2-e4＝ 4e1,
g/2
B
(b)
由（ey ,-gxy /2）即（-149×10-6,-110×10-6）确定C点，连接
C,A两点，交e 轴与O1 ；以O1为圆心，
为半径画圆，
此圆即为所求的应变圆。
由 逆时针转 90°至B1点，B1(e 45°, g45°/2), 过B1作g /2轴
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
§5－2 平面应力状态下的应变分析
本节研究平面应力状态下，一点处在该平面内的应变随方向 而改变的规律。 Ⅰ. 任意方向的应变
设在平面应力状态下的平面内 ，过O点处有两组坐标系xOy
和xOy ，a 角以逆时针旋转为正
，如图a所示。
3
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
1. 只有正值ex(图b)，设 不动，矩形OAPB→OA'P'B,
的伸长量为 (b)
O点沿 x 方向的线应变为
(c)
5
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
2. 只有正值ey(图c)， 沿x' 方向的线应变为
6
的伸长量为 （d）
(e)
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
3. 只有正值gxy(图d)， 沿 x' 方向的线应变为
第五章 应变分析 电阻应变计法基础
，可得
（5-11）
此即为旋钮读数与测量电桥4个应变片的线应变之间的关系。
Ⅲ. 应变测量中的一些问题
(1) 测量电桥的接线
1. 半桥接线法：测量电桥的R1和R2两臂接上应变片， R3
和R4为电阻应变仪内的标准电阻，该两电阻不随构件一起变形
，即e3=e4＝0,
则
e R= e1-e2
eR=e1+e3-e2-e4＝ 4e1,
g/2
B
(b)
由（ey ,-gxy /2）即（-149×10-6,-110×10-6）确定C点，连接
C,A两点，交e 轴与O1 ；以O1为圆心，
为半径画圆，
此圆即为所求的应变圆。
由 逆时针转 90°至B1点，B1(e 45°, g45°/2), 过B1作g /2轴
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64
1
4
IZ D3 WZ 1 4 ymax 32
底×高
3
D
16
3
12
WZ
底×高
2
6
剪切的实用计算及强度条件
A Pbs bs [ bs ] Abs
FQ
[ ]
m P
P m
对于圆截面:
对于平键:
Abs=dt
Abs=hl/2
关键：剪切面、挤 压面的确定及计算
max
AD Tmax wt
m1 A 2m 7
m2 B D 1m 1m
m3
C
7 103 Pa 6 116 10 60.3MPa 40MPa [ ]
+
∴ AD轴强度不够。
T 3.5 (kNm) +
式中
d 4 80 4 3 wt D 1 ( ) 100 1 ( ) 109 16 D 16 100
C
3.5
(kNm)
空心轴D=100mm，d=80mm，实心轴d=80mm， G=80GPa ⑥ CA CD DB BA
TCD LCD TDB LDB TBA LBA CD DB BA GI p GI p GI p
3.5 103 1 3.5 103 1 9 6 8010 4.0210 80109 5.79106
A
B
D
C
2m
习题5
1m
1m
(1) 校核轴的强度和刚度(不考虑键的影响) (2) 三个轮的位置应如何设置才较为合理 (3) 经合理布置各轮位置后，求C截面相 对A截面转角 A B D C
2m
1m
1m
N1=300马力，N2=150马力、N3=150马力，n=300转/分
解：① 计算外力偶
300 m1 7 7 kN m 300
(D d )
4 4
(1004 804 ) 10 12
实心轴d=80mm，G=80GPa， []=1/m DC轴：
max
DC Tmax 180 GI p
m1
A 2m
m2
B D 1m 1m
m3 C
3.5 103 180 9 6 80 10 4.02 10
m2 B D 1m 1m
m3
C
3.5 103 35 106 Pa 100 106
+
T 3.5 (kNm) +
35MPa 40MPa
式中 wt
d3
16
16
803 109 100 106 m3
经校核CD轴强度足够。
空心轴D=100mm，d=80mm， []=100MPa， []=1 AD轴：
FN
+
10kN
② 求横截面上的应力
A 100
B P1
C 100
D P 2
100
FN
+
20kN 10kN
AB
FN AB 20 103 40 106 Pa 40MPa AAB 500 106 FN BC 10 103 20 106 Pa 20MPa ABC 500 106 FN CD 10 103 50 106 Pa 50MPa ACD 200 106
AD Tmax 3.5 103 max 30.2 106 Pa wt 100106
30.2MPa 40MPa
wt
d3
16
100 106 m3
m3=3.5kNm
强度足够了。
m2=3.5kNm A 2m T – 3.5 B 1m D 1m + m1=7kNm
扭矩图
扭转
T1 M B 3.82kN m
T2 M B M C 7.64kN m
T3 M D 5.09kN m
mB
1
mC 2
mA 3 +
mD 5.09
T (kN· 3.82 m)
－ 7.64
补充习题
习题5：有一外径D=100mm，内径d=80mm的空心 圆轴与一直径d=80mm的实心圆轴用键联接(如图所 示)。在A轮输入功率为N 1 =300马力。在B、C轮处 分别负载N2=150马力、N3=150马力。若已知轴的转 速为n=300转/分。材料的切变模量为G=80GPa，轴 的扭转许用切应力[]=100MPa，许用单位长度扭转 角[]=1/m ，要求：
AD Tmax 180 max GI P
m1 A 2m 7
m2 B D 1m 1m
m3
C
7 103 180 9 6 8010 5.7910
+
T 3.5 (kNm) +
0.866 / m 1 / m
式中 I p
32 32 5.79106 m4
常见荷载的内力图的特征
荷载 内力图 Fs图特征 q=0 水平线 q=c
d 2 M ( x) dFs ( x) q( x) 2 dx dx
集中力
P P
集中力偶 m0 m0
无影响
斜直线 斜直线
P P
M图特征 斜
Fs>0
抛物线 抛物线
直 线 Fs<0
m0
m0
Mmax发生位置：① Fs=0 ② 集中力作用点 ③ 集中力偶作用点
材料力学总结
内力及图
应力分布
轴向拉压 FN
FN A
圆轴扭转 T T
T IP
平面弯曲 FQ M
FQ S Z
My IZ
M
应力计算
T 基 强度计算 max max 本 WP 变 Tl 形 变形计算 l FN l GI P E EA 总 结 刚度计算 180
悬臂梁
内力小结
一.内力符号
Me
I
m m
T
先设正，拉为正， 离开截面扭矩正， 左上右下剪力正， 左顺右逆弯矩正。 二.作图规律 1.图形 q=0 q=c q＞0
+
Fs
FS = 0 FS＞0 FS＜0 FS＜0 FS＞0
M
q＜0
FS＞0
FS＜0
2.突变 q起止处 FS图 M图 3.求任一点Fs、M值 FS =左端FS值+q(x)图以左面积 M=左端M值+FS(x)图以左面积 4.求极值点位置x0 尖点 P作用处 突变（同向同值） 尖点 突变（同值，顺下逆上） M作用处
例.作图示梁的剪力图和弯矩图。 q 解：
mA ( F ) 0, FB 3qa
4qa
2qa 2
FA
2a
a
a
FB
q 2a a 4qa 2a 2qa 2 FB 4a 0,
FS
3qa qa x 3qa
Fy 0, FA FB q 2a 4qa 0, FA 3qa
0.624 m 1 m
7
+
T 3.5 (kNm) +
式中 I p
d4
32
32
804 1012 4.02 106 m4
经校核，全轴刚度足够。
实心轴d=80mm， []=100MPa ④ 强度校核
CD轴：
max
CD Tmax wt
m1 A 2m 7
a a a
1 FA FB qa 2
FS
qa/2 x qa/2
M qa /2
2
5qa 2/8
qa 2/2 x
例: 图示简支梁，为矩形截面木梁，承受均布荷载 q=3.6kN/m，其截面尺寸为 b=120mm, h=180mm。 梁 的计算跨度L=5m。 所用木材的许用应力[]=10MPa ， 求： q 180 L (1) 校核梁的强度； (2) 确定许用荷载； (3) 若强度不够，则试按b/h=2/3 重新设计梁的截面尺寸。 120
轴向拉压 例： 一构件如图所示，已知：P1=30kN， P2=10kN，AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2， E=200GPa。 试求：(1) 各段杆横截面上的内力和应力； (2) 杆的总伸长。 A 100 B P1 100 100 C D P2
解：① 作轴力图
A 100 B P1 100 20kN 100 C D P2
3
116 106 m3
⑤ 合理布置轮的位置，交换轮1和轮2的位置， 则轴的受力图和扭矩图如下图所示：
m2=3.5kNm m1=7kNm m3=3.5kNm
A
2m T (kNm) – 3.5 B D 1m 1m +
C 3.5
Tmax比原来小，这样布置显然更为合 理，原来AD轴强度不够，现再对它进 行强度校核
M
4qa 2
3qa 2 qa 2 x
例.作图示梁的剪力图和弯矩图。
qa
解：
mA ( F ) 0, FB
Fy 0, FA 3 qa 4
2
qa
q
a
a
a
5 qa 4
FS
3qa/4
qa x qa/4 3qa 2/4 x
M
qa 2/4
qa 2/2
作图示梁的剪力图和弯矩图。
q
解：
3.5 103 2 80109 5.79106
m2=3.5kNm A
m1=7kNm m3=3.5kNm 2m B 1m D1m
1
4
IZ D3 WZ 1 4 ymax 32
底×高
3
D
16
3
12
WZ
底×高
2
6
剪切的实用计算及强度条件
A Pbs bs [ bs ] Abs
FQ
[ ]
m P
P m
对于圆截面:
对于平键:
Abs=dt
Abs=hl/2
关键：剪切面、挤 压面的确定及计算
max
AD Tmax wt
m1 A 2m 7
m2 B D 1m 1m
m3
C
7 103 Pa 6 116 10 60.3MPa 40MPa [ ]
+
∴ AD轴强度不够。
T 3.5 (kNm) +
式中
d 4 80 4 3 wt D 1 ( ) 100 1 ( ) 109 16 D 16 100
C
3.5
(kNm)
空心轴D=100mm，d=80mm，实心轴d=80mm， G=80GPa ⑥ CA CD DB BA
TCD LCD TDB LDB TBA LBA CD DB BA GI p GI p GI p
3.5 103 1 3.5 103 1 9 6 8010 4.0210 80109 5.79106
A
B
D
C
2m
习题5
1m
1m
(1) 校核轴的强度和刚度(不考虑键的影响) (2) 三个轮的位置应如何设置才较为合理 (3) 经合理布置各轮位置后，求C截面相 对A截面转角 A B D C
2m
1m
1m
N1=300马力，N2=150马力、N3=150马力，n=300转/分
解：① 计算外力偶
300 m1 7 7 kN m 300
(D d )
4 4
(1004 804 ) 10 12
实心轴d=80mm，G=80GPa， []=1/m DC轴：
max
DC Tmax 180 GI p
m1
A 2m
m2
B D 1m 1m
m3 C
3.5 103 180 9 6 80 10 4.02 10
m2 B D 1m 1m
m3
C
3.5 103 35 106 Pa 100 106
+
T 3.5 (kNm) +
35MPa 40MPa
式中 wt
d3
16
16
803 109 100 106 m3
经校核CD轴强度足够。
空心轴D=100mm，d=80mm， []=100MPa， []=1 AD轴：
FN
+
10kN
② 求横截面上的应力
A 100
B P1
C 100
D P 2
100
FN
+
20kN 10kN
AB
FN AB 20 103 40 106 Pa 40MPa AAB 500 106 FN BC 10 103 20 106 Pa 20MPa ABC 500 106 FN CD 10 103 50 106 Pa 50MPa ACD 200 106
AD Tmax 3.5 103 max 30.2 106 Pa wt 100106
30.2MPa 40MPa
wt
d3
16
100 106 m3
m3=3.5kNm
强度足够了。
m2=3.5kNm A 2m T – 3.5 B 1m D 1m + m1=7kNm
扭矩图
扭转
T1 M B 3.82kN m
T2 M B M C 7.64kN m
T3 M D 5.09kN m
mB
1
mC 2
mA 3 +
mD 5.09
T (kN· 3.82 m)
－ 7.64
补充习题
习题5：有一外径D=100mm，内径d=80mm的空心 圆轴与一直径d=80mm的实心圆轴用键联接(如图所 示)。在A轮输入功率为N 1 =300马力。在B、C轮处 分别负载N2=150马力、N3=150马力。若已知轴的转 速为n=300转/分。材料的切变模量为G=80GPa，轴 的扭转许用切应力[]=100MPa，许用单位长度扭转 角[]=1/m ，要求：
AD Tmax 180 max GI P
m1 A 2m 7
m2 B D 1m 1m
m3
C
7 103 180 9 6 8010 5.7910
+
T 3.5 (kNm) +
0.866 / m 1 / m
式中 I p
32 32 5.79106 m4
常见荷载的内力图的特征
荷载 内力图 Fs图特征 q=0 水平线 q=c
d 2 M ( x) dFs ( x) q( x) 2 dx dx
集中力
P P
集中力偶 m0 m0
无影响
斜直线 斜直线
P P
M图特征 斜
Fs>0
抛物线 抛物线
直 线 Fs<0
m0
m0
Mmax发生位置：① Fs=0 ② 集中力作用点 ③ 集中力偶作用点
材料力学总结
内力及图
应力分布
轴向拉压 FN
FN A
圆轴扭转 T T
T IP
平面弯曲 FQ M
FQ S Z
My IZ
M
应力计算
T 基 强度计算 max max 本 WP 变 Tl 形 变形计算 l FN l GI P E EA 总 结 刚度计算 180
悬臂梁
内力小结
一.内力符号
Me
I
m m
T
先设正，拉为正， 离开截面扭矩正， 左上右下剪力正， 左顺右逆弯矩正。 二.作图规律 1.图形 q=0 q=c q＞0
+
Fs
FS = 0 FS＞0 FS＜0 FS＜0 FS＞0
M
q＜0
FS＞0
FS＜0
2.突变 q起止处 FS图 M图 3.求任一点Fs、M值 FS =左端FS值+q(x)图以左面积 M=左端M值+FS(x)图以左面积 4.求极值点位置x0 尖点 P作用处 突变（同向同值） 尖点 突变（同值，顺下逆上） M作用处
例.作图示梁的剪力图和弯矩图。 q 解：
mA ( F ) 0, FB 3qa
4qa
2qa 2
FA
2a
a
a
FB
q 2a a 4qa 2a 2qa 2 FB 4a 0,
FS
3qa qa x 3qa
Fy 0, FA FB q 2a 4qa 0, FA 3qa
0.624 m 1 m
7
+
T 3.5 (kNm) +
式中 I p
d4
32
32
804 1012 4.02 106 m4
经校核，全轴刚度足够。
实心轴d=80mm， []=100MPa ④ 强度校核
CD轴：
max
CD Tmax wt
m1 A 2m 7
a a a
1 FA FB qa 2
FS
qa/2 x qa/2
M qa /2
2
5qa 2/8
qa 2/2 x
例: 图示简支梁，为矩形截面木梁，承受均布荷载 q=3.6kN/m，其截面尺寸为 b=120mm, h=180mm。 梁 的计算跨度L=5m。 所用木材的许用应力[]=10MPa ， 求： q 180 L (1) 校核梁的强度； (2) 确定许用荷载； (3) 若强度不够，则试按b/h=2/3 重新设计梁的截面尺寸。 120
轴向拉压 例： 一构件如图所示，已知：P1=30kN， P2=10kN，AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2， E=200GPa。 试求：(1) 各段杆横截面上的内力和应力； (2) 杆的总伸长。 A 100 B P1 100 100 C D P2
解：① 作轴力图
A 100 B P1 100 20kN 100 C D P2
3
116 106 m3
⑤ 合理布置轮的位置，交换轮1和轮2的位置， 则轴的受力图和扭矩图如下图所示：
m2=3.5kNm m1=7kNm m3=3.5kNm
A
2m T (kNm) – 3.5 B D 1m 1m +
C 3.5
Tmax比原来小，这样布置显然更为合 理，原来AD轴强度不够，现再对它进 行强度校核
M
4qa 2
3qa 2 qa 2 x
例.作图示梁的剪力图和弯矩图。
qa
解：
mA ( F ) 0, FB
Fy 0, FA 3 qa 4
2
qa
q
a
a
a
5 qa 4
FS
3qa/4
qa x qa/4 3qa 2/4 x
M
qa 2/4
qa 2/2
作图示梁的剪力图和弯矩图。
q
解：
3.5 103 2 80109 5.79106
m2=3.5kNm A
m1=7kNm m3=3.5kNm 2m B 1m D1m