人教数学选修2-21.3.3

第一章 1.3 1.3.3A 级 基础巩固一、选择题1．(2018·潍坊高二检测)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x )( D )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值[解析] ∵函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e xx ，∴[x 2f (x )]′＝e xx，令F (x )＝x 2f (x )，则f ′(x )＝e xx，F (2)＝4·f (2)＝e 22．由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝ex x ，得f ′(x )＝e x －2F (x )x 3，令φ(x )＝e x －2F (x )，则φ′(x )＝e x－2f ′(x )＝e x(x －2)x．∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )的最小值为φ(2)＝e 2－2F (2)＝0．∴φ(x )≥0． 又x ＞0，∴f ′(x )≥0． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴f (x )既无极大值也无极小值．故选D ．2．(2018·新乡一模)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2ln x 在(1,2)上有最大值，则a 的取值范围为( B )A ．(0，＋∞)B ．(0,3)C ．(3，＋∞)D ．(1,3)[解析] f ′(x )＝－2x ＋a ＋2x ＝－2x 2＋ax ＋2x要使函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2ln x 在(1,2)上有最大值则函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2ln x 在(1,2)上有极大值即方程－2x 2＋ax ＋2＝0有两个不等实根，且较大根在区间(1,2)∴⎩⎪⎨⎪⎧－2×12＋a ·1＋2>0－2×22＋a ·2＋2<0，解得0＜a ＜3．故选B ．3．(2017·临沂高二检测)函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A )A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－15D ．5，－16[解析] 令y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A ．4．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( A )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x ) ∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0．所以F ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上递减，∴F (x )max ＝f (a )－g (a )． 5．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) [解析] ∵2x (x －a )<1， ∴a >x －12x ，令y ＝x －12x ，∴y 是单调增函数，若x >0，则y >－1，∴a >－1．6．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是( B )A ．3x －15y ＋4＝0B ．15x －3y －2＝0C ．15x －3y ＋2＝0D ．3x －y ＋1＝0[解析] ∵f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3 ＝－2(x －a )2＋2a 2＋3， ∵f ′(x )的最大值为5， ∴2a 2＋3＝5，∵a >0，∴a ＝1∴f ′(1)＝5，f (1)＝133． ∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －133＝5(x －1)，即15x －3y －2＝0．二、填空题7．(2018·荆州一模)函数f (x )＝x 3－x 2＋2在(0，＋∞)上的最小值为5027．[解析] 函数f (x )＝x 3－x 2＋2在(0，＋∞)，可得f ′(x )＝3x 2－2x ，令3x 2－2x ＝0，可得x ＝0或x ＝23，当x ∈(0，23)时，f ′(x )＜0，函数是减函数；x ∈(23，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数是增函数，所以x ＝23是函数的极小值即最小值，所以f (x )min ＝(23)3－(23)2＋2＝5027．故答案为5027．8．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[解析] f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0．因为函数f (x )有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1．三、解答题9．设函数f (x )＝12x 2－ax ＋2ln x (a ∈R )在x ＝1时取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝x －a ＋2x，因为当x ＝1时f (x )取得极值，所以f ′(1)＝0， 即1－a ＋2＝0，解得a ＝3， 经检验，符合题意．(2)由(1)得：f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x ，∴f ′(x )＝x －3＋2x ＝(x －1)(x －2)x ，(x >0)，令f ′(x )>0解得0<x <1或x >2， 令f ′(x )<0解得1<x <2，∴f (x )的单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)；单调递减区间为(1,2)． 10．(2017·宁波高二检测)设函数f (x )＝e x sin x ． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的最大值与最小值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin(x ＋π4)．f ′(x )≥0，所以sin(x ＋π4)≥0，所以2k π≤x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，即2k π－π4≤x ≤2k π＋34π，k ∈Z ．f (x )的单调增区间为[2k π－π4，2k π＋34π]，k ∈Z ．(2)由(1)知当x ∈[0，π]时，[0，34π]是单调增区间，[34π，π]是单调减区间．f (0)＝0，f (π)＝0，f (34π)＝22e 34π，所以f (x )max ＝f (3π4)＝22e 34π， f (x )min ＝f (0)＝f (π)＝0．B 级 素养提升一、选择题1．若函数f (x )在定义域R 内可导，f (1．9＋x )＝f (0．1－x )且(x －1)f ′(x )＜0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( D )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >a >c[解析] ∵(x －1)f ′(x )＜0，∴当x ＞1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减； 当x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增． 又f (1．9＋x )＝f (0．1－x )，∴f (x )＝f (2－x )， ∴f (3)＝f [2－(－1)]＝f (－1)， ∵－1＜0<12，∴f (－1)＜f (0)＜f (12)，∴f (3)<f (0)<f (12)，∴b ＞a ＞c ，故选D ．2．(2018·铁东区校级一模)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( A )A ．20B ．18C ．3D ．0 [解析] 函数f (x )＝x 3－3x －1的导数为f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，解得x ＝±1， 所以(1，－1)为函数f (x )的极值点．因为f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1， 所以在区间[－3,2]上，M ＝f (x )max ＝1， N ＝f (x )min ＝－19，对于区间[－3,2]上最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝20， 故选A ． 二、填空题3．(2018·红桥区一模)函数y ＝－e x ＋x 在R 上的最大值是－1． [解析] 函数y ＝－e x ＋x ，y ′＝1－e x ，由y ′＝0得x ＝0，当x ∈(－∞，0)时，y ′＞0，函数y ＝x －e x 单调递增， 当x ∈(0，＋∞)时，y ′＜0，函数y ＝x －e x 单调递减， 所以，当x ＝0时，y 取得最大值，最大值为－1． 故答案为－1．4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．[解析] 令g (x )＝f (x )x (x ≠0)，∵x >0时，xf ′(x )－f (x )x 2>0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上g (x )>0的解集为(1，＋∞)，∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上g (x )<0的解集为(－1,0)，由x 2f (x )>0得f (x )>0，∴f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．三、解答题5．设函数f (x )＝e x －k2x 2－x ．(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f (x )的最小值为f (0)＝1．(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R ．∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0． 所以f (x )在R 上单调递增．6．(2018·全国卷Ⅱ文，21)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点．[解析] (1)解：当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3．令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋23． 当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0．故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减． (2)证明：因为x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0．设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2(x 2＋2x ＋3)(x 2＋x ＋1)2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝⎛⎭⎫a －162－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点． 综上，f (x )只有一个零点．C 级 能力拔高设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R ． (Ⅰ)求f (x )的单调区间；(Ⅱ)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝0； (Ⅲ)设a ＞0，函数g (x )＝|f (x )|，求证：g (x )在区间[－1,1]上的最大值不小于14．[解析] (Ⅰ)由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a ． 下面分两种情况讨论：(1)当a ≤0时，有f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3，或x ＝－3a 3． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∞)．(Ⅱ)证明：因为f (x )存在极值点，所以由(Ⅰ)知a >0，且x 0≠0，由题意，得f ′(x 0)＝3x 20－a ＝0，即x 20＝a3， 进而f (x 0)＝x 30－ax 0－b ＝－2a3x 0－b ． 又f (－2x 0)＝－8x 30＋2ax 0－b ＝－8a 3x 0＋2ax 0－b ＝－2a3x 0－b ＝f (x 0)，且－2x 0≠x 0，由题意及(Ⅰ)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝－2x 0．所以x 1＋2x 0＝0．(Ⅲ)设g (x )在区间[－1,1]上最大值为M ，max{x ，y }表示x ，y 两数的最大值．下面分三种情况讨论：(1)当a ≥3时，－3a 3≤－1<1≤3a3，由(Ⅰ)知，f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (1)，f (－1)]，因此M ＝max{|f (1)|，|f (－1)|} ＝max{|1－a －b |，|－1＋a －b |}＝max{|a －1＋b |，|a －1－b |}＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ，b ≥0a －1－b ，b <0，所以M ＝a －1＋|b |≥2．(2)当34≤a <3时，－23a 3≤－1<－3a 3<3a 3<1≤23a3，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，f (－1)≥f (－23a 3)＝f (3a 3)，f (1)≤f (23a 3)＝f (－3a 3)， 所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (3a 3)，f (－3a 3)]，因此 M ＝max{|f (3a 3)|，|f (－3a3)|} ＝max{|－2a 93a －b |，|2a93a －b )|}＝max{|2a 93a ＋b |，|2a 93a －b )|}＝2a93a ＋|b |≥29×34×3×34＝14． (3)当0<a <34时，－1<－23a 3<23a 3<1，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，f (－1)<f (－23a 3)＝f (3a3)，f (1)>f (23a 3)＝f (－3a3)，所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (－1)，f (1)]，因此 M ＝max{|f (－1)|，|f (1)|}， ＝max{|－1＋a －b |，|1－a －b |}＝max{|1－a ＋b |，|1－a －b |}＝1－a ＋|b |>14．综上所述，当a >0时， g (x )在区间[－1,1]上的最大值不小于14．。