2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试(二)数学试题(图片版)
江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研数学试题 含解析 精品
江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研数学试题一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.已知集合错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
__________．【答案】错误！未找到引用源。
考点：集合的交集运算．2.若命题“错误！未找到引用源。
，使得错误！未找到引用源。
”是假命题，则实数错误！未找到引用源。
的取值范围为__________．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】试题分析: 因为命题“错误！未找到引用源。
，使得错误！未找到引用源。
”是假命题,所以命题错误！未找到引用源。
是真命题, 故错误！未找到引用源。
,即错误！未找到引用源。
,也即错误！未找到引用源。
,故应填答案错误！未找到引用源。
.考点：含有一个量词的命题的否定及二次函数的图象和性质的运用．3.函数错误！未找到引用源。
的单调增区间为__________．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】试题分析: 因为错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
,故应填答案错误！未找到引用源。
.考点：正切函数的图象和性质及运用．4.函数错误！未找到引用源。
的定义域为____________．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】试题分析: 由题设可得错误！未找到引用源。
,解之得错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
,所以应填答案错误！未找到引用源。
.考点：函数的定义域．5.若幂函数错误！未找到引用源。
的图像经过点错误！未找到引用源。
，则它在错误！未找到引用源。
点处的切线方程为____________．【答案】错误！未找到引用源。
考点：导数的几何意义及运直线的点斜式方程的运用．6.设函数错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
_____________．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】试题分析: 因为错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
,故应填答案错误！未找到引用源。
.考点：分段函数及指数和对数的运算法则．7.如图所示函数错误！未找到引用源。
2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试(二)数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）数学试题（解析版）一、填空题1．命题:p x R ∃∈，使得210x +≤的否定为___________. 【答案】x R ∀∈，使得210x +>【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题:p x R ∃∈，使得210x +≤的否定为x R ∀∈，使得210x +>.2．抛物线28x y =的准线方程为_______.【答案】2y =-【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为2y =-,填2y =-3．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 【答案】22 【解析】 试题分析：因为28511211a a a +=⇒=，所以31153422.a a a +==考点：等差数列性质4．下列命题：①54>或45>；②命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为______. 【答案】1【解析】①真，因为p 或q 命题是，p,q 中，只要一个为真即为真。
②真，否命题为：“若ab ，则a cb c ++”，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式方向不变。
③错，逆命题为：“若两上四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”，为错，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形。
所以填1.5．能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为________．【答案】2【解析】因为，故 ， 等号成立的条件为，故当 时函数值等于3.此时不满足题干。
故答案为2 。
点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。
6．“3x y +≥”是“1x ≥或2y ≥”的________条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 【答案】充分不必要【解析】不妨设P:“3x y +≥”,q:“1x ≥或2y ≥”p ⌝： 3x y +<， :1q x ⌝<且2y <，显然,q p ⌝⇒⌝而且p ⌝推不出q ⌝，所以p q ⇒，且推不回去，即“3x y +≥”是“1x ≥或2y ≥”的充分不必要条件，填充分不必要。
江苏省如东县2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题
2017 ~ 2018学年度第-学期期末学情检测高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．命题“∀x ∈R ，x ﹣1＞0”的否定是 ▲ ．2．抛物线y ＝x 2的准线方程是 ▲ ．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝9，a 5＝13，则S 7＝ ▲ ．4．不等式2x−1x+1＜0的解集是 ▲ ．5．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐进线平行于直线l ：y ＝x +4，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．6．若x +2y ＝4，则2x +4y 的最小值是 ▲ ．7．实数x ，y ∈R ，则命题甲“{x +y ＞4xy ＞4”成立是命题乙“{x ＞2y ＞2”成立的 ▲ 条件．（用“充分必要”充分不必要“必要不充分”“既不充分也不必要”填空）8．若实数x ，y 满足：{x +y −1≥0x −y +1≥0x ≤1，则z ＝x 2+y 2的最小值为 ▲ ．9．已知等比数列19，13，1，⋯前n 项和为S n ，则使得S n ＞2018的n 的最小值为 ▲ ． 10．若P 是椭圆C ：x 225+y 216=1上任意一点，点A ，B 分别为椭圆C 的上、下顶点，若直线P A ，PB 的斜率都存在，分别记为k P A ，k PB ，则k P A •k PB 的值为 ▲ ．11．各项均为正数的数列{a n }满足a n +2＝a n +1+a n ，且a 5＝18，则a 1a 2的最大值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设定点P （m ，m ），Q 是函数y =1x （x ＞0）图象上一动点，若点P ，Q 之间的最短距离为4√2，则所有满足条件的实数m 的值为 ▲ ．13．已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左顶点为A ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点A 作斜率为k （k ＞0）的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C ，若F 1C ⊥AB ，则实数k 的值是 ▲ ．14．已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }的首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数，且a 1＜b 1，b 2＜a 3，若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得a m +5＝b n 成立，则b n ＝ ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
2017-2018学年江苏省南通市如东市高二(上)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省南通市如东市高二（上）期中数学试卷(解析版）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，ax﹣2＞0”的否定为∀x∈R，ax﹣2≤0 ．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题：“∃x∈R，ax﹣2＞0”的否定为：∀x∈R，ax﹣2≤0．故答案为：∀x∈R，ax﹣2≤0【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（5分）不等式≥1的解集是{x|0＜x≤1} ．【分析】移项通分可化原不等式为≤0，易得解集．【解答】解：不等式≥1可化为﹣1≥0，通分可得≥0，即≤0，解得0＜x≤1，故答案为：{x|0＜x≤1}．【点评】本题考查分式不等式的解集，属基础题．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2S3﹣3a3=10，则数列{a n}的首项为．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2S3﹣3a3=10，∴2﹣3（a1+2d）=10，解得：a1=．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）关于x的不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜4，则实数m的取值范围是∅．【分析】运用绝对值不等式的解法，以及充分不必要条件的定义，可得m的不等式组，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：关于x的不等式|x﹣m|＜1，解得m﹣1＜x＜m+1，关于x的不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜4，可得（1，4）⊊（m﹣1，m+1），即为m﹣1＜1，且m+1＞4，即m＜2且m＞3，则m∈∅．故答案为：∅．【点评】本题考查充分必要条件的运用，考查绝对值不等式的解法，以及集合的包含关系的运用，属于中档题．5．（5分）若正项等比数列{a n}满足a2015+a2017=4，则a2016的最大值为 2 ．【分析】运用基本不等式和等比数列中项的性质，即可得到所求最大值．【解答】解：正项等比数列{a n}满足a2015+a2017=4，即有a 2015+a2017=≥2=2a2016，则2a2016≤4，可得a2016≤2，当且仅当a2015=a2017=2时取得等号，即最大值2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的性质和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）若直线y=ax上存在点（x，y）满足条件，则实数a 的取值范围为[﹣1，2] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线x=1与x+y﹣3=0确定交点A，直线x=1与x﹣2y﹣3=0的交点B则由条件确定a的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，解得x=1，y=2，即交点坐标A（1，2）．解得B（1，﹣1）要使直线y=ax上存在点（x，y）满足约束条件，可得﹣1≤a≤2，故实数a的取值范围为[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．7．（5分）若等比数列{a n}的前n项和为S n，，则公比q= 1或．【分析】根据等比数列的前n项和建立等式，利用a3和q表示出a1与a2，然后解关于q的一元二次方程，即可求出所求．【解答】解：∵∴a1+a2+a3=则a1+a2=3∴化简得2q2﹣q﹣1=0解得q=1或故答案为：1或【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，以及等比数列的通项，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．8．（5分）设{a n}与{b n}是两个等差数列，它们的前n项和分别为S n和T n，若=，那么= ．【分析】=，不妨设：S n=n（3n﹣1），T n=n（4n﹣3）．可得a6=S6﹣S5，b5=T5﹣T4．【解答】解：=，不妨设：S n=n（3n﹣1），T n=n（4n﹣3）．则a6=S6﹣S5=6×（3×6﹣1）﹣5×（3×5﹣1）=32．b5=T5﹣T4=5×（4×5﹣3）﹣4×（4×4﹣3）=33．∴=．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用10 年报废最合算（即平均每年费用最少）．【分析】设这种汽车最多使用x年报废最合算，计算总维修费可用：（第一年费用+最后一年费用）×年数，然后列出用x年汽车每年的平均费用函数，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：设这种汽车最多使用x年报废最合算，用x年汽车的总费用为10+1.5x+=10+1.5x+0.1x2万元，故用x年汽车每年的平均费用为y=0.1x++1.5≥2+1.5=3.5万元．当且仅当x=10成立．故答案为：10．【点评】本题考查函数的应用问题、利用基本不等式求最值等知识，难度不大，属于中档题．10．（5分）下列说法中所有正确的命题的序号是②③④①“x＜2”是“x2＜4”成立的充分非必要条件②已知a，b∈R，则“ab＞0”是“”的必要非充分条件③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真④设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＜0”是“S3＜S2”成立的充要条件．【分析】运用充分必要条件和基本不等式，以及四种命题的关系和等比数列的通项和求和的关系，对选项一一判断，即可得到正确命题．【解答】解：①由于x2＜4⇔﹣2＜x＜2，可得“x＜2”是“x2＜4”成立的必要非充分条件，故①错；②已知a，b∈R，ab＞0即有＞0，且＞0，则+≥2，当且仅当a=b时，取得等号，“ab＞0”是“”的必要非充分条件，故②对；③一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，故③对；④“a1＜0”可得““a1q2=a3＜0”即有“S3＜S2”；反之，若“S3＜S2”即“a1q2=a3＜0”，可得“a1＜0”，则“a1＜0”是“S3＜S2”成立的充要条件，故④对．故答案为：②③④．【点评】本题考查命题的真假判断，考查充分必要条件的判断和四种命题的关系，同时考查等比数列的通项和求和，属于基础题．11．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n= ﹣．【分析】a n+1=S n S n+1，可得S n+1﹣S n=S n S n+1，=﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=S n S n+1，∴S n+1﹣S n=S n S n+1，∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，解得S n=﹣．故答案为：．【点评】本题考查数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（b＞a＞0）的最大值为2，则的最小值为．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OAB及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，与x+y=2重合时z的最大值为a+b=2．再利用基本不等式求最值，即可算出的最小值．【解答】解：作出约束条件表示的平面区域：得到如图的四边形OAB及其内部，其中A（1，1），B（1，0），O（0，0），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l与直线重合时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（1，1）=2，即a+b=2．因此，=（）×（a+b）=[1+2+（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2≥2，∴当且仅当a=b，a+b=2时，则的最小值为：．故答案为：．【点评】本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by的最大值的情况下求出的最小值，着重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．13．（5分）对于数列{a n}，定义H n=为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n=3n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n ≤S5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是[] ．【分析】由题意可得：H n==3n+1，可得a1+3a2+…+3n﹣1a n=n •3n+1，当n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=（n﹣1）•3n，利用递推关系可得a n．当n=1时，可得a1．可得a n﹣kn=（6﹣k）n+3，则数列{a n﹣kn}为等差数列，根据S n≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a5≥0，a6≤0，即可得出．【解答】解：由题意可得：H n==3n+1，则a1+3a2+…+3n﹣1a n=n•3n+1，当n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=（n﹣1）•3n，两式相减可得：3n﹣1a n=n•3n+1﹣（n﹣1）•3n，则a n=6n+3，当n=1时，a1=9，上式对a1也成立，故a n=6n+3，n∈N+，则a n﹣kn=（6﹣k）n+3，则数列{a n﹣kn}为等差数列，故S n≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a5≥0，a6≤0，即，解得≤k≤，故答案为：[]．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知a，b均为正数，且ab=a+4b，则的最小值为 6 ．【分析】a，b均为正数，a+4b=ab，可得+=1，则=+b2﹣2（+）=+b2﹣2，+b=（+）（+b），展开后运用基本不等式可得最小值4，再利用柯西不等式（+b2）（1+1）≥（+b）2，即可得出最小值．【解答】解：∵a，b均为正数，且ab=a+4b，∴+=1，则=+b2﹣2（+）=+b2﹣2，+b=（+）（+b）=2++≥2+2=4，当且仅当a=4b时，取得等号，即最小值4，由（+b2）（1+1）≥（+b）2≥16，当且仅当a=8，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴+b2﹣2≥8﹣2=6，则的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（共10小题，满分130分）15．（14分）设f（x）=ax2+bx+6（a，b∈R）（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求a，b的值（2）记b=a2，若f（﹣1）＞0且f（﹣2）＜0，求a的取值范围．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值；（2）根据题意列出不等式组，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+6（a，b∈R），若不等式f（x）＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则2和3是方程ax2+bx+6=0的两个实数根，由根与系数的关系知，解得a=﹣1，b=5；（2）记b=a2，∴f（x）=ax2+a2x+6，由f（﹣1）＞0且f（﹣2）＜0，得，解得﹣2＜a＜﹣1，∴a的取值范围是﹣2＜a＜﹣1．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了二次函数的应用问题，是基础题．16．（14分）命题p：已知实数x，y满足约束条件，二元一次不等式2x+y﹣2a≤0恒成立，命题q：设数列{a n}的通项公式为a n=若∃n∈N*，使得a n≤a（1）分别求出使命题p，q为真时，实数a的取值范围（2）若命题p与q真假相同，求实数a的取值范围．【分析】（1）P为真时，画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解2x+y的最大值，推出a的范围；q为真时，利用基本不等式求解最值推出a 的范围即可．（2）利用两个命题同真，同假，列出不等式组求解即可．【解答】解：约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点A时，目标函数取得最大值．由，解得A（4，2），则z=2x+y的最大值为10．可得a≥5；命题q：设数列{a n}的通项公式为a n=若∃n∈N*，使得a n≤a，可得：n+≥6，当且仅当n=3时取等号，所以a≥6．（2）两个命题都是真命题可得：，∴a≥6．两个命题都是假命题时可得可得a＜5，综上：a＜5或a≥6．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，线性规划的简单应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．17．（14分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=n2（n∈N*）（1）记b n=2，求数列{b n}的前n项和T n（2）记c n=，且数列{c n}的前项n和为M n，若不等式M n＜k，对任意恒n∈N*成立，求实数k的最小值．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n，满足S n=n2（n∈N*）则：当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1．（n=1符合该式），所以：a n=2n﹣1．记b n=2=22n﹣1=2•4n﹣1，所以：，=．（2）记c n==，则：M n=+…+]，=所以：，即k的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用．18．（16分）某服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤a）万元满足m=3﹣，已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数（2）该服装厂2017年的促销费用太投入多少万元时，利润最大？【分析】（1）产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x ≤a）万元满足m=3﹣，又每件产品的销售价格为2倍的成本，可得利润y 与促销费用之间的关系式；（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．【解答】解：（1）∵由题意知，每件产品的销售价格为2×．∴利润y=m×2×﹣（8+16m+x）=8+16m﹣x=8+16（3﹣）﹣x=56﹣﹣x，x∈[0，a}，即y=56﹣﹣x，x∈[0，a}，（2）∵y=56﹣﹣x=57﹣[+（x+1）]≤57﹣2=49，当且仅当=x+1时，即x=3时取等号，∵x∈[0，a]，∴当a≥3时，当象时，y有最大值，当a＜3时，易知y关于x为增函数，∴当x=a时，y最大，答：当a≥3时，服装厂2017年的促销费用太投入3万元时，利润最大，当a＜3时，服装厂2017年的促销费用太投入a万元时，利润最大，【点评】本题考查了利润函数模型的应用，也考查了利用基本不等式研究函数的最值问题，是中档题．19．（16分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*），设a1=1（1）若△a n﹣a n=1，求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（2）若△a n﹣a n=2n，又数列{b n}满足a n+1=2a n b n①求数列{a n}的前n项和S n②求证：数列{b n}中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积．【分析】（1）由新定义可得a n+1=2a n+1，可得a n+1+1=2（a n+1），由等比数列的定义，即可得证，求得通项公式；（2）由题意可得a n+1=2a n+2n，可得=+，运用等差数列的定义和通项公式可得a n=n•2n﹣1，再由数列的求和方法：错位相减法，可得①数列{a n}的前n项和S n；②求得b n=，对给定的n∈N*，若存在k，t≠n，k，t∈N*，只需=•，即t=，取k=n+1，则t=n（n+2），即可得到证明．【解答】解：（1）证明：△a n﹣a n=1，即为a n+1=2a n+1，可得a n+1+1=2（a n+1），则{1+a n}是首项和公比均为2的等比数列，可得1+a n=2n，即a n=2n﹣1；（2）△a n﹣a n=2n，即a n+1=2a n+2n，可得=+，则数列{}是首项和公差均为的等差数列，则=n，即a n=n•2n﹣1，①前n项和S n=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1，2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减可得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，可得S n=1+（n﹣1）•2n；②证明：由a n+1=2a n b n，且a n=n•2n﹣1，可得b n=，对给定的n∈N*，若存在k，t≠n，k，t∈N*，只需=•，即t=，取k=n+1，则t=n（n+2），故对于数列{b n}中的任意一项b n=，总存在b n+1=，与b n（n+2）=，使得b n=b n+1•b n（n+2），则数列{b n}中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积．【点评】本题新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查存在性问题的解法，考查运算能力和推理能力，属于难题．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2ax（1）若任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤3恒成立，求实数x的取值范围（2）求证：对任意x1，x2∈R，都有f（）[f（x1）+f（x2）]成立（3）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立，求出M（a）的解析式．【分析】（1）]问题转化为x2﹣2ax≤3恒成立，令g（a）=﹣2ax+x2，a∈[﹣1，1]，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）作差，求出有2f（）﹣[f（x1）+f（x2）]≤0，从而求出答案；（3）根据二次函数的图象和性质，结合函数对折变换，由已知中在整个区间[0，M（a）]上不等式|f（x）|≤5恒成立，分﹣a2＜﹣5时和﹣a2≥﹣5时，两种情况分别求出对应的M（a）的解析式，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）∵任意a∈[﹣1，1]，x2﹣2ax≤3恒成立，令g（a）=﹣2ax+x2，a∈[﹣1，1]，则g（a）max≤3，故，解得：﹣1≤x≤1；（2）对任意x1，x2∈R，2f（）﹣[f（x1）+f（x2）]=2﹣4a﹣+2ax1﹣+2ax2=﹣﹣=﹣≤0，故f（）≤[f（x1）+f（x2）]；（3）由a＞0，f（x）=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=﹣5的较小的根，即M（a）=a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=5的较大的根，即M（a）=a+；所以M（a）=．【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的最值，对折变换，分类讨论思想，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．21．（10分）矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求A﹣1，B．【分析】由逆矩阵公式，能求出A﹣1，再由B=A﹣1AB，利用矩阵乘法公式能求出B．【解答】解：∵矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，∴由逆矩阵公式，得：A﹣1==，∴B=A﹣1AB==．【点评】本题考查逆矩阵的求法，考查矩阵乘积的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意逆矩阵公式、矩阵变换、矩阵相乘的性质的合理运用．22．（10分）已知矩阵M=的两个特征向量α1=，α2=，若β=，求M2β【分析】设矩阵Mr特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，由，求出m=n=0，λ1=2，λ2=1，再由β==α1+2α2，能求出M2β．【解答】解：设矩阵Mr特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由，解得m=n=0，λ1=2，λ2=1，∵β==α1+2α2，∴M 2=4．【点评】本题考查矩阵乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意矩阵变换、矩阵相乘的性质的合理运用．23．（10分）解关于x的不等式：ax2+（2﹣a）x﹣2＞0．【分析】讨论a=0、a＞0和a＜0时，分别求出对应不等式的解集即可．【解答】解：不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＞0化为（ax+2）（x﹣1）＞0，当a=0时，不等式化为x﹣1＞0，解得x＞1；当a＞0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＞0，且﹣＜1，解不等式得x＜﹣或x＞1；当a＜0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，若a＜﹣2，则﹣＜1，解不等式得﹣＜x＜1；若a=﹣2，则﹣=1，不等式化为（x﹣1）2＜0，解得x∈∅；若﹣2＜a＜0，则﹣＞1，解不等式得1＜x＜﹣；综上，a=0时不等式的解集为{x|x＞1}；a＞0时不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}；a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}；a=﹣2时，不等式的解集为∅；﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题．24．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n与2a n的等差中项为3（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式（2）是否存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由（3）设=•（）n，n∈N*，若集合M={n|b n≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用函数的分类讨论知识进一步求出结果．（3）直接利用已知条件和递推关系求出参数的范围．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n与2a n的等差中项为3（n ∈N*）则：4S n+2a n=6①，当n≥2时，4S n﹣1+2a n﹣1=6②，①﹣②得：，所以数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．（2）存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，即：恒成立，当n为奇数时，对任意的正整数k不等式恒成立，当n为偶数时，等价于恒成立，设，（0）则：2kt2+t﹣3＜0对于0恒成立，故：f（t）=2kt2+t﹣3在单调递增，故：＜0，解得：k＜12，所以k的最大值为11．（3）设=•（）n，n∈N*，，所以：，，当n=1时，b2＞b1，当n≥2时，b n+1＜b n，，b2=2，，，．集合M={n|b n≥λ，n∈N*}恰有4个元素，所以：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的恒成立问题的应用，及相关的集合的应用．2017-2018学年江苏省南通市如东市高二（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，ax﹣2＞0”的否定为．2．（5分）不等式≥1的解集是．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2S3﹣3a3=10，则数列{a n}的首项为．4．（5分）关于x的不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜4，则实数m的取值范围是．5．（5分）若正项等比数列{a n}满足a2015+a2017=4，则a2016的最大值为．6．（5分）若直线y=ax上存在点（x，y）满足条件，则实数a的取值范围为．7．（5分）若等比数列{a n}的前n项和为S n，，则公比q= ．8．（5分）设{a n}与{b n}是两个等差数列，它们的前n项和分别为S n和T n，若=，那么= ．9．（5分）某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用年报废最合算（即平均每年费用最少）．10．（5分）下列说法中所有正确的命题的序号是①“x＜2”是“x2＜4”成立的充分非必要条件②已知a，b∈R，则“ab＞0”是“”的必要非充分条件③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真④设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＜0”是“S3＜S2”成立的充要条件．11．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n= ．12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（b＞a＞0）的最大值为2，则的最小值为．13．（5分）对于数列{a n}，定义H n=为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n=3n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．14．（5分）已知a，b均为正数，且ab=a+4b，则的最小值为．二、解答题（共10小题，满分130分）15．（14分）设f（x）=ax2+bx+6（a，b∈R）（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求a，b的值（2）记b=a2，若f（﹣1）＞0且f（﹣2）＜0，求a的取值范围．16．（14分）命题p：已知实数x，y满足约束条件，二元一次不等式2x+y﹣2a≤0恒成立，命题q：设数列{a n}的通项公式为a n=若∃n∈N*，使得a n≤a（1）分别求出使命题p，q为真时，实数a的取值范围（2）若命题p与q真假相同，求实数a的取值范围．17．（14分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=n2（n∈N*）（1）记b n=2，求数列{b n}的前n项和T n（2）记c n=，且数列{c n}的前项n和为M n，若不等式M n＜k，对任意恒n∈N*成立，求实数k的最小值．18．（16分）某服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤a）万元满足m=3﹣，已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数（2）该服装厂2017年的促销费用太投入多少万元时，利润最大？19．（16分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*），设a1=1（1）若△a n﹣a n=1，求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（2）若△a n﹣a n=2n，又数列{b n}满足a n+1=2a n b n①求数列{a n}的前n项和S n②求证：数列{b n}中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2ax（1）若任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤3恒成立，求实数x的取值范围（2）求证：对任意x1，x2∈R，都有f（）[f（x1）+f（x2）]成立（3）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立，求出M（a）的解析式．21．（10分）矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求A﹣1，B．22．（10分）已知矩阵M=的两个特征向量α1=，α2=，若β=，求M2β23．（10分）解关于x的不等式：ax2+（2﹣a）x﹣2＞0．24．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n与2a n的等差中项为3（n ∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式（2）是否存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由（3）设=•（）n，n∈N*，若集合M={n|b n≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．。
江苏省如东高级中学2017-2018学年高二4月月考数学试题含解析
江苏省如东高级中学2017-2018学年高二4月月考试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题 1．若复数11iz i+=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为________． 2．用反证法证明某命题时，对结论“自然数,,a b c 中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数,,a b c 中 ”．3．若复数z 满足232z z i +=+（i 为虚数单位），则z =__________． 4．已知函数()()221f x x xf =+'，则()1f 的值为__________．5．对大于1的自然数m 的3次方幂有如下分解方式： 3235=+， 337+9+11=，3413+15+17+19=，根据上述分解规律， 3m 的分解数中有一个是59，则m 的值是__________．6．设点P是曲线3y x b =+（b 为实常数）上任意一点， P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是__________．7（a R ∈）是纯虚数（i 是虚数单位），则复数()3z a a i =+-在复平面内对应的点位于第__________象限．8．已知函数()3f x x =，则过（1,1）的切线方程为__________．9．若函数()332f x x x =-+在区间()2,24a a a -++上有极小值，则实数a 的取值范围为__________．10．已知函数()2sin cos f x x x x x =++，不等式()()11ln21f nx f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为__________．11．椭圆中有如下结论：11的弦的中点在直线 上12．已知函数()36ln h x x x x =-+图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m ，则实数m 的取值范围为__________．13．已知函数()()23xf x x e =-，设关于x 的方程()()20f x af x -=（a R ∈）有4个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．14．已知函数()(),(0){21,0lnx x f x x x >=+≤， ()g x ax =，若两函数()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点()()()()()(),,,,,,A m f m B n f n C t f t m n t <<，则12n m++的范围为__________．二、解答题 15．()21z m m i =+-（i 是虚数单位， a R ∈， m R ∈） （1）若1z 是实数，求a 的值；（2）在（1，求实数m 的取值范围.16（a R ∈）（1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在区间[]2,4上是单调增函数，求实数a 的取值范围.17．如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD ， CD 两段，其中两固定点A ，B 间距离为1 米，AB 与杆 AC 的夹角为60︒ ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 3a 元/米. 设 ∠ADB = α ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.（1）求S 关于α 的函数表达式，并求出α的取值范围； （2）问 BD 段多长时，S 最小？此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号18．已知函数()3223f x x ax =-，（ a R ∈）（1）若2a =，求曲线()f x 在1x =处的切线方程.（2）对任意[]10,2x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12'f x f x ≥（其中()'f x 为()f x 的导数）成立，求实数a 的取值范围.19．已知函数()2ln f x ax bx x =-+，（a ，b R ∈）.（1）若1a =， 3b =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若0b =时，不等式()0f x ≤在[1,+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =， 92b >时，记函数()f x 的导函数()'f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证： ()()12633ln216f x f x ->-. 20．已知函数()()ln 1f x x x k x =--， k R ∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间()1,+∞上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得()0f x x +>在()1,x ∈+∞上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．21．曲线2cos3xy ex =⋅在()0,1处的切线与直线ll 的方程．22．用数学归纳法证明： ()()21427311n n n n ⨯+⨯+++=+.23（a R ∈）. （1）若2x =为()f x 的极值点，求实数a的值；（2有实根，求实数b 的最大值.24．已知函数()1f x =n ，有()1n f x +=，求方程()2nf x x =的所有解．江苏省如东高级中学2017-2018学年高二4月月考试题数学 答 案1．1【解析】 由题意()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以复数z 的虚部为1.2．三个数都是偶数 【解析】试题分析：因为“自然数,,a b c 中至多有2个偶数”指“自然数,,a b c 中没有偶数或恰有1个偶数或恰有2个偶数”，所以其反面为“三个数都是偶数”. 考点：命题的否定 3【解析】 设(),z x yi x y R =+∈，则()223z z x yi x yi x yi +=++-=-， 所以332x yi i -=+，即33{2x y =-=，解得1,2x y ==-，所以12z i =-，所以z ==4．-3【解析】 由函数()()221f x x xf =+'，则()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.5．8【解析】 由题意，从32到3m ，正好用取从3开始的连续奇数共()()212342m m m +-++++=个，其中59是从3开始的第29个奇数，当7m =时，从32到37，用去从3开始的连续奇数共()()7271272+-=个，当8m =时，从32到38，用去从3开始的连续奇数共()()8281352+-=个，故8m =. 6．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【解析】 设点P 是曲线：3y x b =+的任意一点，因为3y x b =+，所以23y x '=， 所以点P处的切线的斜率23k x=， 所以k ≥tan α≥[)0,απ∈， 所以切线的倾斜角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 7．四【解析】由题意有： ，此复数为纯虚数，则： 20{20a a -=+≠ ，解得： 2a = .则： ()32z a a i i =+-=- , 在复平面内对应的点位于第四象限． 8．313244y x y x =-=+或 【解析】 由函数()3f x x =，则()23f x x '=，当点()1,1为切点时，则()13f '=，即切线的斜率3k =， 所以切线的方程为()131y x -=-，即32y x =-，当点()1,1不是切点时，设切点()3,P m m ，则32131m k m m -==-，即2210m m --=，解得12m =-或1m =（舍去），所以34k = 所以切线的方程为()3114y x -=-，即3144y x =+.9．()1,1-【解析】函数的导函数： ()()()2'33311f x x x x =-=+- ，据此可得当1x = 时，函数取得极小值，结合题意有：系．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 10．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 由函数()2sin cos f x x x x x =++，则()()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+'，则当0x >时， ()()0,f x f x '>递增，且()()()()()22sin cos sin cosf x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为偶函数，则有()()f x fx =，则不等式()()11ln 21f nx f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即为()()11f nx f <，即为()()11f nx f <，所以ln 1x <，即1ln 1x -<<，解得1x e e<<. 11【解析】试题分析：中的2x 变为x ，2y 变为y ，右边变为0，上斜率为1. 1的弦的中点在直不妨设弦的两个端点为11(,)x y ，22(,)x y ，则，中点设为00(,)x y ，则 考点：1.类比的思想；2.新定义题. 12．8m ≤【解析】假设存在实数m ,使得函数h (x )的图象上任意不同的两点A (x 1,h (x 1)),B (x 2,h (x 2))连线的斜率都大于m ,不妨设x 2>x 1>0，则问题可以转化为h (x 2)−mx 2>h (x 1)−mx 1，∴y =h (x )−mx 在(0,+∞),在(0,+∞)上恒成立， ,)<0，得0<x <1. 可知H (x )在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数。
江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研数学试题
数学试卷一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}{}1,0,1,|02A B x x =-=<<，则A B = __________．2.若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为------．3.函数tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 4.函数()()21log 3f x x =-的定义域为____________．5.若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ，则它在A 点处的切线方程为____________．6.设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，()()22log 12f f -+=_____________． 7.如图所示函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，现将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图像，则函数()g x 的解析式为____________．8.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________．9.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3，其渐近线与圆2260x y y m +-+=相切，则m _____________．10.已知椭圆22:1259x y C +=的左焦点为F ，点M 是椭圆C 上一点，点N 是MF 的中点，O 是椭圆的中点，4ON =，则点M 到椭圆C 的左准线的距离为___________．11.已知α为锐角，若3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．12.已知函数()212,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(],m x ∈-∞时，()f x 的取值范围为[)16,-+∞，则实数m 的取值范围是____________．13．在平行四边形ABCD 中，1AD =，060BAD ∠=，E 为CD 的中点，若3332AC BE = ，则AB 的长为___________．14．设函数()f x =（,a R e ∈为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在一点()00,x y 使得()()0ff y y =，则a 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点，32,cos ADB 23AE B π==∠=． （1）求sin BAD ∠； （2）求AD 及DC 的长． 16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为3,,,cos 10a b c C =， （1）若92CA CB =，求ABC ∆的面积；（2）设向量(22sin ,,cos 2,12sin 2B x B y B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且//x y ，求角B 的值． 17.（本小题满分14分）如图，有一块半径为R 的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE ∆，其中O 为圆心，,A B 在圆的直径上，,,C D E 在圆周上．（1）设BOC θ∠=，征地面积记为()f θ，求()f θ的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？ 18.（本小题满分16分）如图所示，已知圆A 的圆心在直线2y x =-上，且该圆存在两点关于直线10x y +-=对称，又圆A 与直线1:270l x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当MN =时，求直线l 的方程；（3）()BM BN BP +是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为左准线l 上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q ，当TF PQ最小时，求点T 的坐标．20．（本小题满分16分）已知函数()()24ln 1f x x ax x a a R =-+--+∈．（1）若()1202f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求a 的值； （2）若存在0x ⎛∈ ⎝，使函数()f x 的图像在点()()00,x f x 和点0011,,f x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线互相垂直，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 在区间()1,+∞上有两个极值点，则是否存在实数m ，使()f x m <对任意的[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．2017届高三年级第二次学情检测 数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1．已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点()1,2,M Q -，是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，求点Q 的轨迹方程．2．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()1,0B 且与x 轴不重合，l 交圆A 与,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．3．已知函数()()[)()ln 1,0,,f x x x f x '=+∈+∞是()f x 的导函数．设()()()g x f x axf x '=-（a 为常数），求函数()g x 在[)0,+∞上的最小值．4．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()1,1,A P -是动点，POA ∆且的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交与点M ，请问，是否存在点P 使得PQA ∆和PAM ∆的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1. {}1；2. []13-，；3. 5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；4. ()(),22,3-∞ ；5. 440x y -+=；6. 9；7. sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；8. 112m ≤<；9. 8；10. 52；11. 2425；12. []2,8-；13. 14；14. []1,e 二、解答题15.解：（1）在ABD ∆中，因为()cos 0,B B π=∈，所以sin B =（2）由正弦定理sin sin AD BDB BAD=∠，得2sin BD AD BAD ===∠．．．．．．．．．．． 9分依题意得23AC AE ==，在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD CD ADC =+-∠ ，即29422cos 3DC CD π=+-⨯⨯，所以2250DC DC --=，解得1DC =+（负值舍去）．．．．14分16.解：（1）∵92CB CA = ，∴9cos 2ab C =，∴15ab =．．．．．．．．．．．．．．3分 又∵()3cos ,0,,sin 10C C C π=∈=．．．．．．．．．．．．．．．5分所以ABC S ∆=．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（2）因为//x y ，所以22sin 12sin 202B B B ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，2sin cos 20B B B =，即sin 220B B =，显然cos 20B ≠，所以tan 2B =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分 所以25233B ππ=或， 即3B π=或56π．．．．．．．．．．．．．．．11分因为3cos 10C =<，∴6C π>．．．．．．．．．．．．．．．．13分 所以56B π=（舍去），即3B π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 17.解：（1）连接OE ，可得OE R =，cos ,sin ,0,2OB R BC R πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以()()22sin cos cos 0,2OBCE f S R πθθθθθ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭梯形．．．．．．．．．．．．．7分 （2）()()()22sin 1sin 1f Rθθθ'=--+，令()0f θ'=，∴sin 10θ+=（舍）或者1sin 2θ=．．．．9分 因为()()0,,0,,0,,,02662f f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''∈∈>∈< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以当6πθ=时，()fθ取得最大．．．．．．．．．．．．．．13分 故6πθ=时，征地面积最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18.解：（1）由圆存在两点关于直线10x y +-=对称知圆心A 在直线10x y +-=上，由210y xx y =-⎧⎨+-=⎩得()1,2A -．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分设圆A 的半径为R ，因为圆A 与直线1:270l x y ++=相切，所以R ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以圆A 的方程为()()221220x y ++-=．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当直线l 与x 轴垂直时，易知2x =-符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()2y k x =+， 即20kx y k -+=连接AQ ，则AQ MN ⊥，∵MN =1=，1，得34k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴直线l 的方程为3460x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴所求直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．．．．．．．．．．．．．．10分 （3）∵AQ BP ⊥，∴0AQ BP =，∴()()()2222BM BN BP BQ BP BA AQ BP BA BP AQ BP BA BP +==+=+= ，当直线l 与x 轴垂直时，得52,2P ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则50,2BP ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，又()1,2BA = ，∴()2210BM BN BP BQ BP BA BP +===-．．．．．．．．．．．13分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，由2270y kx x y =+⎧⎨++=⎩，解得475,1212k k P k k ---⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，∴55,1212k BP k k --⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦ ， ∴()510222101212k BM BN BP BQ BP BA BP k k -⎛⎫+===-=- ⎪++⎝⎭综上所述，()BM BN BP +是定值，且为-10．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分19.解：（1）依条件222222624c a a b a b c =⎧⎧⎪==⇒⎨⎨=⎩⎪-==⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设()()()223,,,,,T m P x y Q x y -，因为()2,0F -，故直线PQ 的方程为：2x my =-，()222223420162x my m y my x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， 所以()()222122122168324104323m m m m y y m y y m ⎧∆=++=+>⎪⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，=，所以TF PQ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分()1x x=≥，则2TFx PQ x ⎫==+⎪⎭，可以证明当(x∈时2x x+为减函数，当x ⎤∈+∞⎦时2x x+为增函数， 所以当x =时TF PQ最小，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分所以当TF PQ最小时，22x =即1m =或-1，此时点T 的坐标为()3,1-或者()3,1--．．．．．．．．．．．．．16分 20.解：（1）由()1202f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭得，()1114ln 1424ln 210422a a a a ⎛⎫-+--++-+--+= ⎪⎝⎭，解得92a =．．．．．．．．．． 3分 （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()00042f x a x x '=--，000124f a x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭， 由题意得()0011f x f x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，即000042241a x a x x x ⎛⎫⎛⎫----=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，．．．．．．．．．．．．5分整理得220000116850a x a x x x ⎛⎫⎛⎫-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设001t x x =+，由0x ⎛∈ ⎝，得()2,3t ∈， 则有228650t at a -++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设()22865f t t at a =-++，则()f t 在()2,3t ∈上有零点，考虑到()()22232125610f a a a =-++=-+>，所以3238308a a f ⎧<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或()33830a f ⎧≥⎪⎨⎪<⎩，解得8a ≤<或811a ≤<，所以a的取值范围是)⎡⎣．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（3）()24242x ax f x x a x x-+-'=-+-=，令()224g x x ax =-+-，由题意，()g x 在区间()1,+∞上有两个不同零点，则有()232014160a a g a ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪=-+<⎪⎩，解得6a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设函数()f x 的两个极值点为1x 和2x ，则1x 和2x 是()g x 在区间()1,+∞上的两个不同零点，不妨设12x x <，则222240x ax -+-=①，得2x =且关于a在()上递增，因此)22x ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又由①可得2242a x x =+②， 当()11,x x ∈时，()()()0,0,g x f x f x '<<递减；()12,x x x ∈时，()()()0,0,g x f x f x '>>递增；当()2,x x ∈+∞时，()()()0,0,g x f x f x '<<递减，结合②可得()()22222222222244ln 1244ln 21f x f x x ax x a x x x x x ==-+--+=-++---+⎡⎤⎣⎦极大值)222222424ln 5,2x x x x x =---+∈．．．．．．．．．．．．．14分 设())2424ln 5,2h x x x x x x =---+∈， 则()()()22221244220x x h x x x x x--'=-+-=>， 所以()h x在)2上递增，所以()()22h f x h <<，从而()72ln 2,234ln 20h h =-=->，所以()()272ln 2,34ln 2f x ∈---， 又()10f =，所以存在34ln 2m ≥-，使()f x m <，综上，存在满足条件的m ，m 的取值范围为[)34ln 2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分数学（加试）参考答案1.解：由题意知，M 为PQ 中点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分设(),Q x y ，则P 为()2,4x y ---，代入230x y -+=，得250x y -+=．．．．．．．．．10分2.解：因为,EB//AC AD AC =，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=，又圆A 的标准方程为()22116x y ++=， 从而4AD =，所以4EA EB +=．．．．．．．．．．．．5分由题设得()()1,0,1,0,2A B AB -=， 由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()221043x y y +=≠．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 3.解：由题意()()ln 11ax g x x x=+-+， ()()()()22111111a x ax x a g x x x x +-+-'=-=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 令()0g x '>，即10x a +->，得1x a >-，当10a -≤，即1a ≤时，()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()()min 0ln 1000g x g ==+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当10a ->即1a >时，()g x 在[)1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()min 1ln 1g x h a a a =-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分综上：()min 0,1ln 1,1a g x a a a ≤⎧=⎨-+>⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分3.变题：设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的 导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．解：在0x ≥范围内()()f x ag x ≥恒成立，等价于()()0f x ag x -≥成立，令()()()()ln 11ax h x f x ag x x x=-=+-+，即()0h x ≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．1分 ()()()()22111111a x ax x a h x x x x +-+-'=-=+++， 令()0h x '>，即10x a +->，得1x a >-，当10a -≤即1a ≤时，()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()()0ln 1000h x h ≥=+-=，所以当1a ≤时，()h x 在[)0,+∞上()0h x ≥恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当10a ->即1a >时，()h x 在[)1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()1ln 1h x h a a a ≥-=-+，设()()ln 11a a a a ϕ=-+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分()11a a ϕ'=-，因为1a >，所以110a-<，即()0a ϕ'<， 所以函数()a ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()10a ϕϕ<=，即()10h a -<，所以()0h x ≥不恒成立，综上所述，实数a 的取值范围为(],1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．10分4.解：（1）设点(),P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=，得1111y y x x -+=-+，．．．．2分 整理得轨迹C 的方程为()201y xx x =≠≠-且．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设()()221122,,,P x x Q x x ，由PQ OA λ= ，可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =， 故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， 直线OP 方程为：1y x x =．①直线QA 的斜率为：211111211x x x ---=----+， 所以直线QA 的方程为：()()1121y x x -=--+，即()1121y x x x =-+--，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 联立①②，得12x =-，∴ 点M 的横坐标为定值12-．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由2PQA PAM S S ∆∆=得2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM = ，得11x =，所以P 的坐标为()1,1． 所以，存在点P 满足2PQM PAM S S ∆∆=，点P 的坐标为()1,1．．．．．．．．．．．．．．10分。
(解析版)江苏省如东高级中学2017-2018学年高二4月月考
2017-2018学年如东中学高二数学第二学期第一次学情调研2018.4.14班级学号姓名一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 若复数（为虚数单位），则的虚部为________．【答案】1【解析】由题意，所以复数的虚部为.2. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数_______________”．【答案】均为偶数【解析】试题分析：因为“自然数中至多有2个偶数”指“自然数中没有偶数或恰有1个偶数或恰有2个偶数”，所以其反面为“三个数都是偶数”.考点：命题的否定3. 若复数满足（为虚数单位），则__________．【答案】【解析】设，则，所以，即，解得，所以，所以.4. 已知函数，则的值为__________．【答案】-3【解析】由函数，则，令，所以，解得，即，所以.5. 对大于的自然数的次方幂有如下分解方式：，，，根据上述分解规律，的分解数中有一个是59，则的值是__________．【答案】8【解析】由题意，从到，正好用取从开始的连续奇数共个，其中是从开始的第个奇数，当时，从到，用去从开始的连续奇数共个，当时，从到，用去从开始的连续奇数共个，故.6. 设点是曲线（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】设点是曲线：的任意一点，因为，所以，所以点处的切线的斜率，所以，即，且，所以切线的倾斜角的取值范围是.7. 若复数（）是纯虚数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第__________象限．【答案】四【解析】由题意有：，此复数为纯虚数，则：，解得： .则： ,在复平面内对应的点位于第四象限．8. 已知函数，则过（1,1）的切线方程为__________．【答案】【解析】由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率，所以切线的方程为，即，当点不是切点时，设切点，则，即，解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即.9. 函数在区间上有极小值，则实数的取值范围为_________．【答案】(-1,1)【解析】函数的导函数：，据此可得当时，函数取得极小值，结合题意有：，求解不等式组可得实数的取值范围为.点睛：函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．极大值与极小值没有必然的大小关系．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．10. 已知函数，不等式的解集为__________．【答案】【解析】由函数，则，则当时，递增，且，所以为偶函数，则有，则不等式，即为，即为，所以，即，解得.11. 椭圆中有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上.类比上述结论，双曲线上斜率为1的弦的中点在直线___________上．【答案】【解析】试题分析：将椭圆方程中的变为，变为，右边变为0，于此得到椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上.类比上述结论，将双曲线的方程作为上述变换可知：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线.不妨设弦的两个端点为，，则，中点设为，则，，将上述两端点代入双曲线方程得，两式相减得，而，∴，化简得，而，，于是在直线上.考点：1.类比的思想；2.新定义题.12. 已知函数图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】假设存在实数m,使得函数h(x)的图象上任意不同的两点A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))连线的斜率都大于m,即,不妨设x2>x1>0，则问题可以转化为h(x2)−mx2>h(x1)−mx1，∴y=h(x)−mx在(0,+∞)上是增函数,∴ ,即在(0,+∞)上恒成立，设 ,由 ,得x>1,H′(x)<0，得0<x<1.可知H(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数。